Manual de Mecânica Clássica (Amostra) - Henrique de Figueiredo Marisco

7/26/2019 Manual de Mecnica Clssica (Amostra) - Henrique de Figueiredo Marisco

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MANUAL DE MECNICA CLSSICA

1 Edio

HENRIQUE DE FIGUEIREDO MARISCO

Acadmico de Medicina da Universidade Federal de MatoGrosso (UFMT), campus de Cuiab.

Contato:[email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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Copyright

Autor

Henrique de Figueiredo Marisco

Editora

Lucid Press

Copyright 2016 Lucid Press

Embora toda precauo tenha sido tomada na preparao

deste livro, a editora e o autor no assumem nenhuma

responsabilidade por erros ou omisses, ou por danos

resultantes da utilizao das informaes aqui contidas.

MARISCO, H. F. Manual de Mecnica Clssica. 1 ed. Salt Lake

City - UT: LucidPress, 2016.

Marisco HF. Manual de Mecnica Clsica. 1 ed. Salt Lake City -

UT: LucidPress; 2016.


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Dedicatria

Aos alunos, que so a fora motriz do trabalho de todos os professores

Aos meus pais, pelo amor e apoio incondicionais que sempre meforneceram

Caroline, por ser minha parceira ideal e trilhar comigo o caminho da

Sabedoria


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Nota do autor

Caro leitor,

as Cincias so fundadas em princpios gerais imutveis, que governam todos os novos

conhecimentos adquiridos na vanguarda da pesquisa cientfica. Neste livro, o leitorencontrar uma introduo aos princpios gerais da Mecnica Clssica, apresentados demaneira concisa e objetiva, realizando integraes com outras reas do conhecimentosempre que possvel.

Frequentemente, a Fsica temida pelos alunos do Ensino Mdio por conta da abordagemcompartimentalizada do ensino, que introduz novos conhecimentos atravs de umaviso de tnelfocada em mincias e memorizao passiva de frmulas, negligenciandoa integrao de conhecimentos, bem como a real utilidade das frmulas. Este mtodo

passivo e anacrnico de ensino torna a Fsica uma matria abstrata e entediante, de talmaneira que muitos alunos simplesmente memorizam o suficiente para atingir notas altasnas provas de admisso ao ensino superior, descartando as informaes decoradas assimque ingressam na faculdade. Deste modo, os alunos perdem a oportunidade de adicionarao acervo de conhecimentos uma cincia extremamente interessante, que explica ofuncionamento das coisas e a natureza do universo, podendo ser til na abstrao deconceitos de vrias outras Cincias (desde Medicina at Filosofia).

Esta obra prope uma abordagem de ensino mais ativa, partindo do entendimento de quea reteno de informaes depende no s da absoro de conhecimento (input), mas

tambm da interao do aluno com a informao (output). Deste modo, o aluno deverabstrair a big picturedo assunto antes de mergulhar nos detalhes. Por exemplo, parasedimentar o conhecimento de maneira perene, o aluno deve primeiramente compreenderde maneira conceitual o significado de uma frmula, de tal maneira que a interao entretodas as variveis da frmula seja perfeitamente compreendida. Feito isso, o aluno devertestar o conhecimento atravs da soluo de problemas, identificando falhas deentendimento que motivem a reviso direcionada do assunto. Por fim, a repetioespaada, atravs de constante reviso, permite que o aluno carregue at o fim de suaexistncia o conhecimento adquirido.

luz de tais fatos, convido o leitor a estudar a Fsica de maneira ativa, conceitual,integrativa, na esperana de que esta singela obra possa ser til na sua jornada.

Boa leitura!

- Marisco


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UNIDADE I: TRIGONOMETRIA BSICA

Do grego tri(trs),gono(ngulo) e metria(medida); a Trigonometria uma subdivisoda Matemtica que se destina ao estudo da relao entre os ngulos e as medidas dos

lados de um tringulo.


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Captulo 1: Introduo Trigonometria

1.1Justificativa

Apesar de no ser este um livro didtico voltado exclusivamente ao estudo da

Matemtica, certos conceitos bsicos de Trigonometria so fundamentais para o estudoda Fsica. Na Mecnica Clssica, as relaes trigonomtricas do tringulo retngulo, entreoutros conhecimentos, so exaustivamente utilizadas na anlise vetorial. Para decomporvetores e determinar, por exemplo, a fora resultante de um sistema em que vrias forasatuam, faz-se necessria a anlise vetorial por meio da Trigonometria.

Em ltima anlise, a Matemtica uma ferramenta fundamental e indissocivel no estudotanto da Mecnica Clssica como de qualquer outra subdiviso da Fsica. Alm disso, onovo ENEM e certos vestibulares frequentemente cobram questes de TrigonometriaBsica, seja como parte da resoluo ou o exerccio inteiro.

Tendo em vista tais fatos, conclui-se que a breve unidade de Trigonometria serfundamental para a compreenso do contedo apresentado nesta obra e para o bomdesempenho do candidato nas provas de admisso ao Ensino Superior.

1.2 - Origens

Na Antiguidade, sbios e matemticos ocupavam-se em criar meios que facilitassem amedida de reas, a navegao e o estudo dos astros (astronomia). Neste perodo histricode efervescncia intelectual, surgiu a Trigonometria, que aperfeioou a criao de mapas

em escala e a previso de fenmenos astronmicos.Os grandes expoentes da Trigonometria na Antiguidade foram Tales de Mileto (625 a.C.

558 a.C. aproximadamente) e Hiparco de Niceia (190 a.C. 120 a.C.). O primeiro,conhecido como o primeiro verdadeiro matemtico, usou seus conhecimentos para

prever um eclipse. O segundo, por suas contribuies, ficou conhecido como o pai daTrigonometria.

1.3Teorema de Tales

Em todo e qualquer tipo de tringulo, a soma dos ngulos internos 180. A figura abaixo

demonstra os ngulos alternos (internos e externos):


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As retas re sso paralelas e esto sendo cruzadas pelas retas te u. s retas t e ud-se onome de secantes e, por se cruzarem, concorrentes. So, portanto, secantes concorrentesque formam uma figura geomtrica: o tringulo. Note que os ngulos alternos internos ealternos externos so geometricamente iguais entre si, dois a dois.

1.4Tipos de ngulos

1ngulos complementares:


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2ngulos suplementares:

3ngulos replementares:

1.5Tringulo retngulo

O tringulo retngulo e suas propriedades so os principais objetos de estudo daTrigonometria bsica. Esse tipo de tringulo caracteriza-se por possuir um ngulo reto( = 90) e, consequentemente, dois ngulos complementares. Os nguloscomplementares, quando analisados individualmente, so chamados de agudos, pois tmamplitude menor que 90. O ngulo reto representado graficamente por um pequeno

quadrado com um ponto no centro.


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O lado oposto ao ngulo reto a hipotenusa e os outros dois lados, que formam o nguloreto, so os catetos.

1.6Teorema de Pitgoras

Em qualquer tringulo retngulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa igual soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Demonstrao:

Na forma equacionada do enunciado acima, o nmero real a representa a medida dahipotenusa, que tem o mesmo valor da medida de qualquer um dos quatro lados doquadrado. A rea de um quadrado dada pelo quadrado da medida de qualquer um dos

lados, portanto, tem-se a.A rea do quadrado construdo a partir da medida da hipotenusa igual a quatro vezes area do tringulo retngulo mais a rea do quadrado restante. Como a rea de um tringulo dada pelo produto da base pela altura dividido por dois, tem-se 4.cb/2. possvelsimplificar esse sistema dividindo-se os elementos por dois, obtendo 2cb.

O lado do quadrado restante equivale a (bc). preciso elevar tais termos ao quadradopara determinar o valor da rea do quadrado restante, sendo que isso resulta em umproduto notvel (bc). Para desenvolver um produto notvel com sinal negativo, bastaseguir a seguinte regra:


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O quadrado do primeiro termo menos o produto do primeiro pelo segundo termo somadoao quadrado do segundo termo

Desenvolvido o produto notvel com a regra acima, o resultado : b - 2cb + c. Se oproduto notvel tivesse um sinal positivo, a regra seria:

O quadrado do primeiro termo mais o produto do primeiro pelo segundo termo somadoao quadrado do segundo termo.

De todas as informaes acima, monta-se a equao a = 2cb + b - 2cb + c. Os termos2cbso eliminados pela diferena de sinais, resultando no famoso Teorema de Pitgorasa = b + c.

Do teorema, depreende-se que:

Em qualquer tringulo retngulo, a hipotenusa maior que qualquer um dos catetos, mas

menor que a soma deles.

Aplicabilidade do Teorema de Pitgoras:

Por ser extremamente comum na exemplificao do Teorema de Pitgoras, o tringuloabaixo denominado tringulo pitagrico:

1.7Seno, cosseno e tangente

Imagine uma linha horizontal em uma folha. Em uma das extremidades dessa linhahorizontal, traa-se uma linha inclinada, com um ngulo agudo (menor que 90) emrelao linha horizontal. Feito isso, traam-se vrias linhas perpendiculares linhahorizontal (perpendiculares formam ngulos retos, de 90). Com esse procedimento, soobtidos alguns tringulos retngulos, sendo possvel estabelecer relaes e

proporcionalidades entre eles.


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As constantes k, denominadas razes trigonomtricas do ngulo , permitem determinaro seno, o cosseno e a tangente do ngulo. A ilustrao abaixo elucida isso:

Observe que a razo (diviso) entre o sen pelo cos a tg . Demonstrao:

1.8Arcos notveis

Mesmo com as atuais provas contextualizadas, que exigem o raciocnio lgico, a tabela aseguir deve ser memorizada. Isso porque os valores abaixo so usados com muitafrequncia na resoluo de questes de Trigonometria bsica e Mecnica Clssica.


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1.9Lei dos senos e Lei dos cossenos

Como visto anteriormente, o tringulo retngulo a figura geomtrica mais explorada naTrigonometria bsica. Entretanto, preciso saber como trabalhar com outros tipos de

tringulos, onde as regras restritas ao tringulo retngulo no se aplicam. A Lei dos senose a Lei dos cossenos so utilizadas para determinar as medidas de um tringulo qualquer.Em outras palavras, essas duas leis servem para qualquer tipo de tringulo.

Lei dos senos:

Em um tringulo qualquer, a diviso entre a medida de um lado pelo valor do seno do

ngulo oposto a ele constante (sempre igual) e igual ao dimetro da circunferncia emque o tringulo est inscrito.


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Lei dos cossenos:

Em um tringulo qualquer, o quadrado da medida de um lado igual soma dosquadrados das medidas dos outros dois lados, subtrados do dobro do produto(multiplicao) entre esses outros dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao ladoinicial.

Consideraes finais

A lei dos senos utilizada quando o exerccio fornece a medida de um lado e ainclinao de dois ngulos.

A lei dos cossenos utilizada quando o exerccio fornece a medida de dois ladose a inclinao de um ngulo.

1.10Exerccios

01Determine o valor da medida de x no tringulo abaixo:

02Determine o valor da medida de xno tringulo abaixo:


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03Determine o valor de xno tringulo abaixo:

Observao: o tringulo BCD issceles, portanto, BC = DB = 10.

04(UELPR) Um engenheiro fez um projeto para a construo de um prdio (andartrreo e mais 6 andares), no qual a diferena de altura entre o piso de um andar e o pisodo andar imediatamente superior de 3,5 m. Durante a construo, foi necessria autilizao de rampas para transporte de material do cho do andar trreo at os andaressuperiores. Uma rampa lisa de 21 m de comprimento, fazendo ngulo de 30 com o planohorizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira transportar material,

no mximo, at o piso do

a. 2 andar.b. 3 andar.c. 4 andar.d. 5 andar.e. 6 andar.

05Uma pessoa na calada de uma rua v um prdio no outro lado da rua. Afastando-sea uma distncia de 40 m, em linha reta com o prdio, do ponto onde se encontravainicialmente, e sabendo-se que o ngulo inicial de vista em relao ao topo do prdio era

de 60 e o ngulo final era de 30, pergunta-se:


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a. qual a distncia entre as duas caladas?b. qual a altura do prdio?

1.11Resolues

01R:

02R:


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03R:

04R:


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05R:

a)

b)


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Captulo 2: Circunferncia Trigonomtrica

2.1Sistema Sexagesimal Babilnico

Na antiga Babilnia, os matemticos utilizavam um sistema numrico que continha 60

algarismos diferentes (de 0 a 59). Para registrar os clculos de reas, transaescomerciais, distncias e tributos, os babilnios representavam os nmeros com smboloscuneiformes que eram desenhados em argila mole, posteriormente exposta ao sol paraendurecer e criar um registro permanente.

Os clculos dos matemticos babilnicos eram baseados no nmero 60, que um nmeroaltamente composto e permite vasta fatorao primria: 2 x 2 x 3 x 5 = 60. Isso torna onmero 60 divisvel por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20 e 30. o menor nmero inteiro divisvel

por todos os nmeros inteiros de 1 a 6. Todas essas qualidades da base sexagesimaltornavam as operaes de diviso mais fceis para os babilnios. Outro fato curioso que

o nmero 60 pode ser decomposto em seis diferentes somas de nmeros primos: 7 + 53= 13 + 47 = 17 + 43 = 19 + 41 = 23 + 37 = 29 + 31.

Mesmo aps o advento do Sistema Numrico Posicional Decimal (de origem hindu),ainda restam heranas do Sistema Sexagesimal Babilnico na Trigonometria. Duasheranas importantes so a Circunferncia Trigonomtrica e a medida do tempo (1 hora= 60 minutos = 3600 segundos).

2.2Circunferncia Trigonomtrica em Graus

A Circunferncia Trigonomtrica dividida em 360 arcos de um grau (1).Consequentemente, o arco de uma volta completa possui 360. Em um relgio deponteiros, o ngulo existente entre as retas que partem do centro da circunferncia e tocamas horas de 30. Uma breve demonstrao:


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possvel associar a Circunferncia Trigonomtrica ao Plano Cartesiano e estabeleceros quadrantes da circunferncia.

Sobrepondo-se a Circunferncia Trigonomtrica imagem acima, so estabelecidas asmedidas dos arcos correspondentes a cada quadrante:

2.3Circunferncia Trigonomtrica em Radianos

Quando um ngulo central define um arco que possui o mesmo comprimento do raio dacircunferncia, afirma-se que o ngulo mede 1 radiano. Isso ocorre quando o ngulo de57.


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Convenciona-se que a circunferncia tenha 1 como o valor da medida do raio. NaGeometria, utiliza-se a frmula C = 2 . r para calcular a medida do comprimento dacircunferncia. Em funo disso, o arco de uma volta completa da circunferncia mede

2 radianos (2 rad).

A imagem abaixo ilustra a Circunferncia Trigonomtrica medida em radianos:

Para se familiarizar completamente com as duas maneiras de se medir um ngulo, convmexpor os arcos notveis em radianos:


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Conclui-se que graus e radianos so sistemas de medida utilizados para indicar ainclinao de um ngulo e a determinao do arco correspondente. Os graus,

desenvolvidos por Hiparco de Niceia, foram baseados no sistema sexagesimal babilnico.Os radianos, por sua vez, foram baseados na equiparao da medida do arco com o raioda circunferncia.

2.4Transformao de UnidadesGraus e Radianos

Na resoluo de exerccios e, muitas vezes, por convenincia na hora de realizar certosclculos, ser necessrio saber como converter radianos em graus e vice-versa. Para isso,

basta utilizar a regra prtica demonstrada a seguir.

Graus em radianos:

Radianos em graus:

Basta lembrar que = 180. Com essa regra prtica, sempre ser possvel realizar aconverso entre graus e radianos.


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2.5Arcos Cngruos

Um arco de 420 cai no mesmo ponto que um arco de 60. Isso ocorre porque o arco de420 d uma volta completa na circunferncia e segue at o ngulo de 60, no primeiroquadrante. O entendimento facilitado quando se escreve o arco de 420 da seguinte

maneira: 360 + 60. Ou seja, o arco deu uma volta completa (360) e continuou at cairno mesmo ponto que o arco de 60. Diz-se, portanto, que 60 e 420 so arcos cngruos.

Em outras palavras, arcos cngruos so aqueles que caem sobre um mesmo ponto, sendodiferenciados pela quantidade de voltas que do sobre a circunferncia trigonomtrica.

O menor valor positivo de todos os arcos cngruos chamado de menor determinao(md). O arco de 420, por exemplo, a segunda determinao positiva do arco de 60,

pois foi dada uma volta + 60. Um arco de 780 a terceira determinao positiva do arcode 60, pois d duas voltas completas e segue at cair em 60 (780 = 360 + 360 + 60).

2.6Menor Determinao (md)

Tanto na Fsica quanto na Matemtica, frequentemente necessrio obter a menordeterminao de arcos que tm valores excepcionalmente altos. Isso permite reduzir oarco, revelando um valor que, no raro, acaba sendo um dos arcos notveis. Alm disso,a menor determinao permite constatar quantas voltas foram dadas pelo arco. H duasregras prticas: uma para arcos medidos em graus, outra para radianos.


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2.7Seno, Cosseno e Tangente na Circunferncia Trigonomtrica

Seno e cosseno so projees de um arco no plano cartesiano. O seno a projeo do arco

que toca o eixo das ordenadas (eixo y), ao passo que o cosseno toca o eixo das abcissas(eixo x). Para obter um conceito menos abstrato, preciso analisar a seguinte imagem:

No arco AB, definido pelo ngulo x, marcada uma reta que parte do centro (O)dacircunferncia e termina em B, uma das extremidades do arco. Da extremidade B, duasprojees so feitas: uma toca na ordenada C e a outra na abcissa D. Atravs dasprojees, so obtidos comprimentos no plano cartesiano, formando um tringuloretngulo na circunferncia. Esses comprimentos obtidos so o seno e o cosseno, que

permitem mesclar a aplicao das propriedades trigonomtricas do tringulo retngulocom a medida da inclinao da reta. Como foi dito anteriormente, o seno representa osvalores do eixo ye o cosseno representa os valores do eixo x.

H, no entanto, ainda outra medida que pode ser obtida e permite estabelecer uma relao

com as medidas anteriores. Trata-se da tangente.


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Matematicamente falando, tangenciar significa tocar em um s ponto. Neste caso, a retavertical tangencia a circunferncia no ponto A, que coincide com o eixo das abcissas (eixox). Faz-se uma projeo a partir da direo original da reta inclinada at que a reta

tangente seja atingida. possvel notar que a projeo atinge a reta vertical no ponto E.A medida de AE a tangente do ngulo.

2.8Arcos Correspondentes e a Reduo ao Primeiro Quadrante

Resumidamente, este captulo tratou dos arcos da circunferncia trigonomtrica, medidosem graus. Esses graus tambm definem a inclinao de uma reta que parte do centro dacircunferncia e toca uma extremidade do arco. A partir dessa extremidade, trs projeesso feitas: verticalmente, horizontalmente e tangencialmente circunferncia. Tais

projees definem, respectivamente, os valores do seno, cosseno e tangente do ngulo.

Tambm vimos que os arcos cngruos caem em um mesmo ponto e se diferenciam unsdos outros apenas pela quantidade de voltas dadas na circunferncia trigonomtrica.Agora, veremos o conceito de arcos correspondentes.

Arcos correspondentes so aqueles que possuem os mesmos valores ou valores inversos(sinal oposto) de seno, cosseno e tangente em relao a arcos de quadrantes diferentes.Assim, diferentemente dos arcos cngruos, arcos correspondentes no caem no mesmo

ponto, pois esto em quadrantes diferentes. No entanto, possuem os mesmos valores (ouvalores inversos) de sen, cos e tg em relao ao respectivo correspondente de outro

quadrante. Observe a imagem:


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Usando como referncia o retngulo inscrito na circunferncia, note que os valores desen, cos e tg sero iguais, independentemente do quadrante no qual dado arco estlocalizado. No entanto, possvel perceber que certas projees, em relao a outras,esto em lados diferentes do plano cartesiano. No eixo y(ordenadas), valores abaixo doeixo xso negativos e acima so positivos; ao passo que no eixo x, valores esquerda do

eixo yso negativos e direita so positivos. Em funo disso, certas projees possuemvalores negativos ou positivos para cada quadrante.

O seno positivo no 1Q e 2Q e negativo no 3Q e 4Q.

O cosseno positivo no 1Q e 4Q e negativo no 2Q e 3Q.

A tangente positiva no 1Q e 3Q e negativa no 2Q e 4Q.Muitos exerccios do ENEM e de vestibulares exibem ngulo altos, que no esto no

primeiro quadrante (0 < a < 90). Quando o ngulo maior que 360, necessrio obtero menor determinante. Mas quando o ngulo menor que 360 e simplesmente no est

no primeiro quadrante, possvel reduzi-lo ao primeiro quadrante.A reduo numrica ao primeiro quadrante est intimamente ligada com o conceito dearcos correspondentes. O ngulo de 150, por exemplo, est no segundo quadrante (90< a < 180) da circunferncia trigonomtrica. Como faltam 30 para completar 180, ongulo de 150 corresponde ao ngulo de 30. Reduzimos, portanto, o ngulo de 150

para o primeiro quadrante. Para obter o seno do ngulo de 150, basta lembrar-se do valortabelado do arco notvel de 30, que . Como o seno positivo tanto no primeiro quantono segundo quadrante, o valor do seno de 150 mantm-se com o sinal positivo.

A seguinte regra prtica lhe ser muito til:


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Exemplos de reduo numrica ao 1Q utilizando a regra prtica:

2Q 150 = faltam 30para 180.

3Q 225 = passam 45de 180.

4Q 300 = faltam 60para 360.Lembre-se que o valor final da projeo do arco (sen, cos ou tg) deve ter sinalcorrespondente ao quadrante onde o arco se encontrava antes de ser reduzido ao primeiro.

H uma boa tcnica para memorizao dos sinais que as projees assumem em cadaquadrante. Decore os seguintes nmeros nesta ordem: 12, 14, 13. Memorizou? Observe:

12 = seno, positivo no 1Q e 2Q.

14 = cosseno, positivo no 1Q e 4Q.

13 = tangente, positiva no 1Q e 3Q.Sabendo quando sen, cos e tg assumem valores positivos, voc saber por eliminaoquando assumem valores negativos. Se o seno positivo no 1Q e 2Q, obviamente sernegativo no 3Q e 4Q. A mesma lgica vale para o cosseno e a tangente.

Isso conclui toda a teoria da Trigonometria Bsica.

2.9Exerccios

01(ENEM) Nos X-Games Brasil, em Maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias,apelidado Mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade

skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A

denominao 900 refere-se ao nmero de graus que o atleta gira no ar em torno de seuprprio corpo, que, no caso, corresponde a


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a. uma volta completa.b. uma volta e meia.c. duas voltas completas.d. duas voltas e meia.e. cinco voltas completas.

02(UEPB) O valor de cos 1200 igual ao valor de

a. cos 30.b. sen 30.c. sen 60.d. cos 60.e. cos 45.

03(UFAL) Se a medida de um arco, em graus, igual a 128, sua medida em radianos igual a

a. /4 17.b. 64/15.c. 64/45.d. 16/25.e. 32/45.

04(Udesc) Se tg 20 = a, o valor de :

a. 2.b. a.c. 0.d. a.e. -2.

05(Cefet-MG) O valor de y = cos 150 + sen 300 - tg 225 - cos 90

a.b. (3) + 1.c. (3) 1.d. (3) 1.

2.10Resolues

01R:


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02R:

03R:

04R:


30/58

05R:


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REFERNCIAS

CAMERON, Edward A. Algebra and Trigonometry. New York: Holt, Rinehart &Winston, 1960. 290 p.

COLECAO Objetivo: Sistema de Mtodos de Aprendizagem: Trigonometria.SoPaulo: CERED, 1987. 62 p.

GUELLI, Oscar. Contando a Histria da Matemtica. 11 ed. So Paulo: tica, [199-].7 v. ISBN 8508038852 (v. 2)

REES, Paul; SPARKS, Fred W; REES, Charles Sparks. Algebra and Trigonometry. 3ed. San Diego: McGraw-Hill, c1975. 563 p.

RICH, Barnet. lgebra Elementar. So Paulo/ Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1975. 508p.


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UNIDADE II: ESTTICA

Esttica o ramo da Fsica que estuda as condies de equilbrio em corpos. Nesse ramo,busca-se explicar a manuteno das condies de equilbrio, bem como os conceitos de

foras que se equilibram, momento ou torque e o equilbrio nos corpos que descrevemmovimentos uniformes.


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Captulo 3: Introduo Mecnica - Fora

3.1 - Tipos de Fora

Foras so interaes entre corpos, que causam variaes em seu estado de movimento

ou deformaes. A unidade de medida da fora o Newton (N), que equivale a 1 kg.m/s.H cinco tipos fundamentais de foras na Mecnica Clssica, que descrevem a origemdos diversos tipos de movimentos que sero estudados posteriormente neste livro.

1 Fora de atrito: a fora que se ope ao movimento. Em uma representaopictogrfica, os vetores (setas) dessa fora sempre apontam na direo contrria aomovimento. Um carro freando um clssico exemplo da fora de atrito agindo paradesacelerar um corpo em movimento, com dissipao de energia na forma de calor e som

(ondas mecnicas). Para haver atrito, necessrio que haja contato entre duas superfciesdistintas.

2Fora normal: a reao da superfcie a uma fora aplicada. Em uma representaopictogrfica, os vetores dessa fora sempre so perpendiculares superfcie, mesmo queesta ltima seja inclinada. A intensidade da fora normal proporcional fora aplicada,

porm, as foras no se anulam, j que cada uma age em um corpo diferente.

Uma pessoa lesiona a mo ao dar um soco em uma parede devido reao de superfcie.Outro exemplo de reao de superfcie a propulso de um foguete: os gases gerados


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pela combusto so expelidos perpendicularmente superfcie, transmitindo a fora dareao de superfcie s paredes internas do foguete. Esse um dos vrios mtodosutilizados para a propulso de naves espaciais.

Por fim, um exemplo de reao de superfcie presente no cotidiano o ato de caminhar.

Quando se d um passo, o p exerce uma fora no cho para trs. A reao de superfcieage na direo oposta e impulsiona a pessoa para frente.

Tendo em vista tais fatos, v-se que a fora normal consequncia direta do Princpio daAo e Reao (Terceira Lei de Newton). Se A exerce uma fora sobre B, tambm Bexerce uma fora sobre A.

3Fora de trao: a fora transmitida por um fio. Para transmitir com sucesso a foraaplicada, preciso que o fio seja tracionado. Em outras palavras, o fio precisa ser puxadoe esticado.

4 Fora de campo: a fora que ocorre em funo de um campo de fora, mesmo adistncia. Na Mecnica, o peso a nica fora de campo, porm, existem outras forasdesse tipo na Fsica, como a fora eltrica e a magntica. O peso pode ser calculado pelo

produto da massa pela acelerao da gravidade.

O valor aproximado da acelerao da gravidade na Terra g = 10 m/s.

Obs: cuidado para no confundir peso com massa. A massa, dada em quilogramas (kg)no Sistema Internacional (SI), invarivel, a menos que parte do corpo em estudo seja

extirpada. O peso, no entanto, varia conforme a intensidade do campo gravitacional. Por


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exemplo, uma pessoa que tem 60 kg de massa pesa 600 N na Terra e 100 N na Lua(pois o campo gravitacional da Lua possui apenas 1/6 da intensidade do campo

terrestre), mas sua massa permanece a mesma.

Obs: a acelerao da gravidade no depende da massa. Uma consequncia disso que

todos os corpos dentro de um mesmo campo gravitacional, independentemente damassa, esto submetidos mesma acelerao. por isso que uma pena e um martelo

caem ao mesmo tempo, caso sejam abandonados em queda livre, no vcuo e mesmaaltura. No vcuo, a resistncia do ar desprezada, mas na presena do ar, a pena

demoraria mais que o martelo para chegar ao cho. Isso ocorre porque a pena apresentagrande superfcie de contato com o ar, o que causa atrito entre a pena e as molculas do

ar.

5Fora elstica: alm de originar movimentos, a fora capaz de deformar corpos.Diz-se que um corpo elstico quando a deformao desaparece ao cessar a aplicao

de fora. A intensidade da fora elstica pode ser calculada pelo produto de k(constanteelstica, dada em Newtons por metro [N/m]) pela deformao em metros. Essa relao

chamada de Lei de Hooke, em homenagem ao fsico britnico Robert Hooke (16351703).

Obs: x representa a deformao/alongamento, dada em metros.

3.2 - Fora Resultante

Rotineiramente, possvel observar que os corpos raramente esto submetidos a umanica fora. Na interpretao dos resultados de vrias foras aplicadas em um corpo,

conveniente substituir todas as foras por uma nica equivalente, que garanta o mesmoresultado final. Essa fora denominada de fora resultante. Em um sistema de duasforas, possvel determinar o mdulo da fora resultante atravs da Regra doParalelogramo.

Demonstrao:


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Resumo:

Note que a Regra do Paralelogramo baseada na Lei dos Cossenos (Trigonometria).Lembre-se: o sinal que antecede o produto na Regra do Paralelogramo positivo, ao

passo que na Lei dos Cossenos o sinal negativo.H, no entanto, quatro casos particulares onde possvel obter a fora resultante semutilizar a Regra do Paralelogramo.

1Foras de mesmo sentido: ( = 0)


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2Foras em sentidos opostos: ( = 180)

3Foras perpendiculares: ( = 90)

4Foras de mdulos iguais: ( = 120)


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3.3 - Decomposio de Foras

Em situaes prticas, muitas vezes preciso obter o valor de foras inclinadas, ou seja,que no coincidem com os eixos do plano cartesiano. Para obter o valor de tais foras,

preciso decomp-las em suas componentes ortogonais. Feito isso, basta aplicar asrelaes trigonomtricas do tringulo retngulo, como mostra a ilustrao:

As foras Fx e Fy so ditas componentes ortogonais, pois no so atuantes e constituem

apenas um mtodo de clculo para obter a intensidade de foras inclinadas.


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3.4 - Exerccios

01(PUCMG) Um dinammetro construdo utilizando-se uma mola cuja constante

elstica k = 800 N/m. Pode-se afirmar que um deslocamento de 1,0 cm, nas escala dessedinammetro, corresponde a uma fora, em newtons, de

a. 60.

b. 8.

c. 800

d. 40

02(PUCPR) Em uma partcula, atuam duas foras, de 50 N e 120 N, perpendicularesentre si. Determine o valor da fora resultante.

a. 70 N c. 140 N e. 6000 N

b. 130 N d. 170 N

03(UTFPR) Determine as intensidades das componentes ortogonais de uma fora deintensidade 10 N que forma com o eixo x um ngulo de 60. (Adote: sen 60 = 0,86 e cos

60 = 0,5).a. 10 N e 17,32 N

b. 10 N e 10 N

c. 10 N e 8,6 N

d. 10 N e 5 N

e. 5 N e 8,6 N

04Calcule a resultante das foras:


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05(PUC MG) Uma partcula submetida ao de duas foras, uma de 60 N e aoutra de 80 N. Sobre o mdulo da fora resultante sobre essa partcula, pode-se afirmarque ser

a. de 140 N necessariamente.

b. de 20 N em qualquer situao.

c. de 100 N se as foras forem perpendiculares entre si.

d. obrigatoriamente diferente de 80 N.

3.5 - Resolues01R:

Lei de Hooke F = k.x F = 800 . 0,01

k = 800 N/m F = 8 N (alternativa b)

x = 1,0 cm = 0,01 m

02R:

03R:


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04R:

Regra do Paralelogramo: R = F1 + F2 + 2 . F1. F2. cos

R = 50 + 30 + 2 . 50 . 30 . 0,5

R = 2500 + 900 + 1500

R = 4900

R = 70 N

05R:


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Captulo 8: Propriedades dos Lquidos Contidos em Recipientes

8.1Vasos Comunicantes

Vasos comunicantes so mltiplos recipientes interligados entre si pela base, permitindoque sejam preenchidos simultaneamente pelo mesmo lquido.

Note que o lquido permanece em equilbrio na mesma altura (h) em cada recipiente. Issoocorre porque a altura da coluna de lquido em equilbrio no depende da rea de seotransversal e nem do formato dos recipientes. O fator que define a altura da coluna de

lquido a presso atmosfrica. Por ser ligeiramente contraintuitiva, esta propriedade chamada de paradoxo hidrosttico.

Este paradoxo hidrosttico explicado pelo Teorema de Stevin, visto no captulo anterior.O teorema enuncia que todos os pontos que estiverem no mesmo nvel, em um mesmolquido em equilbrio, estaro sujeitos mesma presso.

8.2Ligaes Qumicas

Para enunciar os conceitos sobre ligaes qumicas, a gua ser utilizada como exemplo. preciso lembrar que as molculas de gua so constitudas por dois tomos dehidrognio e um de oxignio (H2O).


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O tomo de oxignio possui 16 u de massa atmica, ao passo que os tomos de hidrogniopossuem, cada um, 1,01 u. Todos os tomos possuem uma eletrosfera, que compostapor vrias rbitas de eltrons em torno do ncleo. Os eltrons mais energizados ocupama rbita mais afastada do ncleo, chamada de camada de valncia, a mais energtica ereativa das rbitas. Para ficarem estabilizados, os tomos de um elemento naturalmente

procuram estabilizar ligaes com outros tomos atravs da troca de eltrons, visandoposicionar 8 eltrons na camada de valncia.

Como pode ser observado na imagem acima, o tomo de hidrognio possui carga positiva.Ao interagir com tomos de carga fortemente negativa, o hidrognio estabelece umainterao molecular chamada ponte de hidrognio. Isso ocorre quando o hidrognio (H)interage com tomos dos seguintes elementos: flor (F), oxignio (O) e nitrognio (N).

Na molcula de gua, so estabelecidas pontes de hidrognio entre os tomos dehidrognio e oxignio. Essa relao ocorre tanto entre os tomos que constituem amolcula de H2O quanto entre as molculas em si. Portanto, a molcula de guaestabelece foras intramoleculares (entre tomos da molcula) e foras intermoleculares(entre as molculas) baseadas nas pontes de hidrognio. Esse tipo de ligao qumicatambm observado nas protenas e nos cidos nucleicos.

importante lembrar as seguintes propriedades da molcula de gua: ela (1) umamolcula polar (possui duas cargas positivas e uma negativa) e (2) forma pontes dehidrognio. Essas duas propriedades sero necessrias para entender os conceitos detenso superficial e capilaridade.

8.3Tenso Superficial dos Lquidos

Dentro de um lquido, as foras de atrao intermoleculares agem em todas as direes,de modo que a resultante das foras em cada molcula praticamente nula. No entanto,as molculas da superfcie de um lquido esto submetidas apenas a foras inferiores elaterais, pois no h molculas acima delas. Isso faz com que as molculas da superfciecontraiam e criem tenso entre si, formando uma fina camada que se comporta como uma

pelcula elstica.

O diagrama acima mostra um objeto sendo equilibrado pela tenso superficial do lquido.


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Em funo da tenso de superfcie, alguns objetos mais densos que a gua podem flutuarnela, tais como, por exemplo, pequenas agulhas metlicas. O mesmo fenmeno permiteque alguns insetos andem sobre a gua. A forma esfrica das gotas de gua tambm causada pela tenso superficial.

No filme Kari-gurashi no Arietti (2010), uma famlia de Borrowers pessoas topequenas quanto insetos, vive sob o assoalho de uma casa, escondendo-se de humanoscomo ns. Esse filme respeita o princpio da tenso superficial nos lquidos, pois o bulede ch em miniatura, retratado em algumas uma cenas, completamente preenchido poralgumas gotas de gua, que so retratadas como grandes hemisfrios lquidos em relaoaos Borrowers. A aluso ao filme busca explicar que criaturas pequenas, tais comoinsetos, no experimentam certos fenmenos fsicos da mesma maneira que ns. Umagota de chuva, por exemplo, ao cair nas costas de um mosquito, equivale a um objeto de300 kg caindo sobre nossas costas. O mosquito resiste ao impacto porque possui um forte

exoesqueleto e, alm disso, ele acompanha a rota de queda livre da gota, no oferecendoresistncia ao movimento dela.

Outro fenmeno causado pela tenso superficial o desnvel observado em lquidoscontidos em recipientes. Em um copo de gua, o observador atento perceber que a alturada gua no centro do copo menor do que nas laterais. Isso ocorre porque as molculasde um lquido, ao entrarem em contato com uma superfcie slida, estabelecem uma forade adeso entre o lquido e o slido. Como as molculas do centro do copo no tm ondeagarrar, elas se aproximam umas das outras, contraindo-se e, por conseguinte, baixandoo nvel da gua no centro.

A tenso superficial tambm aproveitada pelos pintores para pentear as cerdas dospincis. Um pintor, ao trabalhar em uma tela, deve lidar com o fato de que as cerdas dopincel ficam desorganizadas, em funo dos traumas mecnicos que sofrem durante o atoda pintura. Para organizar as cerdas, o pintor mergulha o pincel na gua e o retiravagarosamente. Isso faz com que as cerdas se organizem, pois a pelcula de lquido nasuperfcie resiste ascenso dos fiapos desviados na horizontal, pondo todos juntos, na

posio vertical.


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Alis, a situao do pincel a mesma que ocorre quando, ao mergulharmos em umapiscina, samos com os cabelos lambidos.

As informaes acima concluem o que a tenso superficial e relatam alguns dosfenmenos que dela se originam.

8.4Capilaridade

Ao entrar em contato com uma superfcie slida, um lquido estar submetido a duas

foras opostas entre si, que so as foras de adeso e coeso. A coeso a atraointermolecular, ou seja, a fora de atrao entre as molculas de um lquido. No caso dagua, essa fora surge a partir da interao entre os tomos de polaridades opostas,estabelecendo pontes de hidrognio entre as molculas de H2O. A adeso ocorre emfuno das interaes entre as molculas do lquido e a superfcie do recipiente slido.

Em um tubo muito fino (capilar), as molculas do lquido se aderem intensamente aorecipiente. Como as molculas do lquido esto ligadas por coeso, as molculas que seaderiram ao recipiente arrastam as outras molculas, resultando no fenmenodenominado capilaridade.


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Note que a capilaridade a exceo do paradoxo da hidrosttica, pois as colunas de guaformadas dentro dos recipientes, apesar de estarem no mesmo lquido em equilbrio, estoem diferentes nveis de altura.

Lembre-se: a capilaridade ocorre somente em tubos muito finos.

As plantas tiram proveito desse fenmeno fsico para conduzirem a seiva bruta cauleacima. No entanto, a capilaridade s suficiente para conduzir a seiva bruta por poucoscentmetros de altura. As rvores utilizam um sistema que permite elevar a seiva bruta a140 metros de altura. A ascenso da seiva bruta pelos vasos lenhosos (xilema) d-se daseguinte maneira:

Desde as razes de absoro, percorrendo todos os vasos lenhosos no cerne da rvore echegando at os vasos capilares das folhas, h uma coluna de seiva bruta em equilbrio.A evapotranspirao de gua atravs das folhas cria tenso no xilema (vasos lenhososcondutores de seiva bruta), estabelecendo uma suco que impele a ascenso da colunade seiva bruta para cima, chegando at s folhas. Tal transpirao ocorre atravs dosestmatos, que so estruturas das folhas responsveis pela difuso gasosa e pelo controleda atividade fotossinttica da planta.

Nas folhas, a seiva bruta transformada em seiva elaborada atravs da fotossntese,

processo em que a luz solar utilizada como fonte de energia. A seiva elaborada


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conduzida das folhas at as razes atravs do floema (vasos responsveis pela conduode seiva elaborada), em uma rota descendente, nutrindo as clulas da planta.

Por fim, resta ressaltar que a capilaridade e a adeso conferem ao lquido a capacidade demolhar as coisas. Um tecido de algodo, por exemplo, possui espaos entre suas fibras.

Tais espaos agem como capilares e, atravs da adeso, o lquido penetra as fibras e molhao tecido de algodo.

8.5Tubos em U e Lquidos Imiscveis

Tubos em U so dois vasos comunicantes conectados pela base. o caso de vasoscomunicantes que aparece com mais frequncia em exerccios de livros, vestibulares eafins. Quando um tubo em U preenchido por um nico lquido, a altura das colunas delquido ser igual em ambos os tubos.

No entanto, h casos em que dois ou mais lquidos imiscveis (que no se misturam) sopostos dentro de um tubo em U. Neste caso, as colunas de lquido tero alturas diferentesem funo da diferena de densidade entre os lquidos.


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Na figura acima, note que a presso recebida por ambos os lquidos a mesma, no entanto,as colunas de lquido tm alturas diferentes. Isso causado pela diferena entre a massaespecfica (ou densidade absoluta) dos lquidos, sendo que o lquido menos denso sempreficar flutuando acima do lquido mais denso. Como a presso a mesma nos doislquidos, possvel estabelecer a seguinte relao:

Para dois lquidos imiscveis, em equilbrio no interior de um tubo em U, as alturasmedidas a partir do nvel de separao dos dois lquidos so inversamente

proporcionais s massas especficas dos lquidos.

A gua e o leo so o exemplo mais clssico de lquidos que no se misturam. A densidade

da gua de 1 g/cm, ao passo que a do leo de 0,92 g/cm. Por ser menos denso, o leoflutua acima da gua. Mas por que a gua e o leo no se misturam? Alis, por que certoslquidos so imiscveis?

Primeiramente, preciso entender o conceito de soluto e solvente. Soluto o materialdissolvido no solvente. Por conseguinte, solvente o material que dissolve o soluto.Geralmente, mas no necessariamente, h mais solvente do que soluto em uma soluo.A gua o solvente universal, porque age como solvente em todas as solues.

Na Qumica, a seguinte regra explica como saber quais solutos podem ser diludos em

quais solventes:

Solvente polar dissolve soluto polar e solvente apolar dissolve soluto apolar.Como foi explicado no ttulo 7.2, a gua uma molcula polar. O leo apolar, sendoessa a razo pela qual gua e leo so imiscveis. Solventes apolares como o hexano e oetanol so utilizados para diluir o leo. Isso nos leva a outra pergunta: se as reaesmetablicas do nosso organismo ocorrem em meio aquoso, como conseguimos diluirleos e gorduras?

A resposta simples. Nosso fgado produz um emulsificante de leos e gorduras chamado

bile. A bile possibilita a diluio de leos e gorduras na gua atravs da emulsificao.Alm disso, a lipase pancretica, enzima produzida no pncreas, atua juntamente com a


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bile para digerir gorduras no intestino delgado. No entanto, a bile em si no possuienzimas. O fgado produz a bile e a armazena na vescula biliar, que libera o emulsificanteno duodeno (tubo gstrico de transio entre o estmago e o intestino delgado).

Outro fato interessante que h 0,3% de colesterol na composio qumica da bile. Isso

significa que necessrio retirar colesterol do sangue para sintetizar a bile no fgado. Aingesto de fibras insolveis, provenientes de vegetais folhosos, estimula a produo de

bile e, consequentemente, reduz a quantidade de colesterol no sangue. Alm disso, osvegetais folhosos possuem vitaminas essenciais para o funcionamento de vrias enzimasdo corpo. As vitaminas agem como co-enzimas, que so fatores de ativao das enzimas.Como sugere o prefixo latino vita, as vitaminas so essenciais manuteno da vida. Semelas, o corpo definha.

8.6Barmetros e Manmetros: aparelhos que medem a Presso

Na elaborao de aparelhos medidores de presso, comum usar tubos em U. Em um dosramos do tubo, h um recipiente fechado que contm o fluido do qual se quer medir ovalor da presso. A outra extremidade aberta para a atmosfera e h um fluido dereferncia (mercrio, geralmente) localizado entre o recipiente fechado e a extremidadeaberta. Para se obter o valor da presso exercida pelo fluido contido no recipiente,

preciso calibrar o ramo aberto do tubo com alguma unidade de medida de presso. Acoluna do fluido de referncia ser empurrada pela presso que o fluido contido norecipiente exerce, indicando o valor da presso no ponto calibrado em que a colunaequilibrada tocar.

Note que os pontos 1 e 2 esto no mesmo nvel e no mesmo lquido em equilbrio.Segundo o Teorema de Stevin, tambm esto sob mesma presso. Isso significa que a

presso exercida pelo gs (PG) sobre o ponto 1 igual presso no ponto 2. Deve-seconsiderar a presso absoluta no ponto 2, ou seja, a presso exercida pela coluna demercrio somada presso atmosfrica.


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Caso as unidades de presso utilizadas forem de comprimento de coluna de lquido(mmHg ou cmHg), possvel substituir a presso efetiva por h. Nesse caso, ter-se-ia noexemplo acima: PG = Patm+ h.

O termo barmetro referente aos aparelhos que medem a presso atmosfrica, ao passoque manmetro um termo genrico que se refere a todos os aparelhos destinados mensura de presso. Geralmente, a palavra manmetro acompanhada por um prefixo

que especifica sua funo. O prefixo contido na palavra esfigmomanmetro, aparelhousado para aferir a presso sistlica e diastlica, tem origem na palavra gregasphygms(pulsao, bater do corao). O esfigmomanmetro inflado manualmente pelo

profissional da sade at que comprima o brao do paciente, ocluindo a artria braquial.Quando a presso no manguito do esfigmomanmetro estiver quase abaixo da pressosistlica (sstole = contrao do corao), o sangue da artria ocluda ser ejetado sob

presso, provocando perturbaes (sons de Korotkoff) secas, semelhantes a pancadas, quepodem ser ouvidas atravs de um estetoscpio posicionado sobre a artria braquial. Nessemomento, o manmetro indicar a presso sistlica, que de, aproximadamente, 120

mmHg em um indivduo saudvel. medida que a presso continua a baixar, o valor dapresso diastlica (distole = relaxamento do corao) ser atingido e os sons deKorotkoff mudaro de ritmo e timbre, tornando-se abafados, at que desapareaminteiramente. No momento em que os sons se abafam, o manmetro indicar a pressodiastlica, que de, aproximadamente, 80 mmHg em um indivduo saudvel.

8.7Princpio de Pascal

Nos fluidos ideais, toda presso recebida transmitida uniformemente em todas asdirees e sentidos.


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Note que o gs ejetado atravs da seringa infla o balo em todas as direes, de maneirauniforme. Nos slidos, a presso exercida na mesma direo e sentido da fora que agerou.

A distribuio uniforme de presso, em todas as direes, peculiar aos fluidos. Talpropriedade foi determinada experimentalmente pelo cientista francs Blaise Pascal(16231662). O Princpio de Pascal assim e enunciado:

Todo acrscimo depresso, em um ponto de um fluido ideal, em equilbrio, transmitidointegralmente a todos os pontos desse fluido e s paredes do recipiente que o contm.

Esse princpio est presente em vrios mecanismos utilizados rotineiramente. Algunsexemplos: prensa hidrulica, elevador hidrulico, direo hidrulica, macaco hidrulico,

etc.

8.8Prensa Hidrulica

A prensa hidrulica resume o funcionamento das mquinas hidrulicas e como isso serelaciona com o Princpio de Pascal. De maneira simples, a prensa hidrulica constituda

por dois vasos comunicantes conjugados pela base (tubo em U), sendo que cada vasopossui um dimetro de abertura diferente. Em cada vaso, h um mbolo mvel de reacorrespondente ao dimetro de abertura.


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Uma fora F1 aplicada sobre o mbolo 1, de rea A1, provocando um aumento de pressoP1no lquido. De acordo com o Princpio de Pascal, a presso aplicada pelo mbolo distribuda uniformemente por todos os pontos do lquido ideal e do recipiente que o

contm. O mbolo 2, de rea A2, tambm recebe a presso que foi exercida pelo mboloe distribuda atravs do lquido, ficando sujeito uma fora F2. Conclui-se, portanto, queos dois mbolos ficam sujeitos ao mesmo aumento de presso.

Como os vasos so, na maioria das vezes, cilndricos, possvel determinar os valores deA1e A2como sendo a rea do crculo dos mbolos. Na Geometria, a rea de um crculo dada pelo produto de pelo quadrado do raio da circunferncia (A = . r2).


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Na equao acima, r o raio do mbolo. Lembre-se que o raio a medida do comprimentodesde o centro da circunferncia at um dos pontos do crculo. Levando-se em conta afrmula acima, possvel constatar que as foras aplicadas nos mbolos so diretamente

proporcionais s reas deles.

O deslocamento x1do mbolo 1 provoca um deslocamento x2do mbolo 2.

Na Geometria, o volume de um cilindro calculado atravs do produto da rea da basepela altura. Analisando-se a imagem acima, possvel perceber que as alturas doscilindros correspondem, em ambos os mbolos, ao deslocamento. Como os volumes delquido movidos por cada mbolo so idnticos, possvel estabelecer a seguinte relao:

Usa-se a relao acima, normalmente, para descobrir o deslocamento de um mbolo emfuno do deslocamento do mbolo associado e da rea de ambos.

Obs: a prensa hidrulica um mecanismo que multiplica fora, exclusivamente. Nomultiplica, portanto, grandezas como trabalho, energia e potncia.

8.9Consideraes tericas sobre as Prensas Hidrulicas

Como foi explicado no ttulo anterior, as foras aplicadas nos mbolos das prensas sodiretamente proporcionais s reas deles. Observe a figura:


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Note que uma fora peso de 100 N, aplicada no mbolo que tem 1 m2de rea, capaz deequilibrar uma fora peso de 1000 N, que repousa no mbolo de 10 m de rea. Quantomais se reduz a rea do primeiro mbolo, ou quanto mais se aumenta a do segundo, maiorser, em tese, a multiplicao de fora que a prensa hidrulica poder gerar.

Na Mecnica, h uma lei denominada Princpio da Conservao de Energia Mecnica,que assim enunciada:

A quantidade de energia que se tem ao final de um processo a mesma que se tinha noincio do processo.

A palavra processo, no enunciado acima, entendida como qualquer movimento,reao qumica ou situao fsico-qumica que envolva energia. Em outras palavras, no possvel criar nem destruir energia. A energia do Universo mantm-se sempre constante.

Tendo em vista tais fatos, a prensa hidrulica parece, a princpio, desrespeitar a Lei deConservao de Energia Mecnica. No entanto, isso no ocorre, porque o decrscimo nadistncia ao longo da qual o maior mbolo movimentado compensa o crescimento dafora sobre ele. Em virtude disso, correto afirmar que as prensas hidrulicas nomultiplicam energia. De fato, as prensas hidrulicas multiplicam somente fora. No

multiplicam trabalho, energia e potncia.Obs: energia, trabalho e potncia so grandezas que sero estudadas posteriormente nestelivro.

8.10 - Exerccios

01(PUCPR) A figura representa uma prensa hidrulica.


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Determine o mdulo da fora F aplicada no mbolo A, para que o sistema esteja emequilbrio.

a. 800 Nb. 1600 Nc. 200 Nd. 3200 Ne. 8000 N

02(UFPE) Uma fora vertical de intensidade F, atuando sobre o mbolo menor de umaprensa hidrulica, mantm elevado um peso P = 400 N, como mostra a figura. Sabendoque a rea do mbolo maior 8 vezes a rea menor, determine o valor de F, em newtons.

03(UFSM) Um dos ramos de um tubo em forma de U est aberto atmosfera e o outro,conectado a um balo contendo um gs, conforme ilustra a figura. O tubo contm gua

cuja densidade 1 . 103

kg/m3

. Sabendo que a presso exercida pela atmosfera 1 . 105


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N/m2e considerando a acelerao da gravidade 10 m/s2, a presso exercida pelo gs ,em N/m2,

a. 0,9 . 105.b. 1,0 . 105.c. 1,1 . 105.d. 1,2 . 105.e. 1,3 . 105.

04(UFES) A tubulao da figura a seguir contm lquido incompressvel que est retido

pelo mbolo 1 (de rea igual a 10,0 cm2) e pelo mbolo 2 (de rea igual a 40,0 cm2). Se afora F tem mdulo igual a 2,00 N, a fora F2, que mantm o sistema em equilbrio, temmdulo igual a

a. 0,5 N.b. 2,0 N.c. 8,0 N.d.

500,0 N.


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e. 800,0 N.05Em uma prensa hidrulica, h um lquido incompressvel contido entre dois mbolos.Conforme a figura abaixo, os mbolos tm reas diferentes entre si. Ao receber uma fora,o mbolo menor sofre um deslocamento de 30 cm. Nessa situao, calcule odeslocamento, em centmetros, do mbolo maior.

8.11Resolues

01R:

02R:

03R:

PG = PAtm+ . g . h

PG = 1,0 . 10

5

+ 1,0 . 10

3

. 10 . 1PG = 1,0 . 105+ 1,0 . 104


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PG = 1,0 . 105+ 0,1 . 105(para realizar soma ou subtrao, necessrio igualar os expoentes).

PG = 1,1 . 105Pa

Alternativa c.

Obs: Pa (Pascal) = N/m2.

04R:

05R:

Documents

Manual de Mecânica Clássica (Amostra) - Henrique de Figueiredo Marisco