Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 36, n. 2, 2503 (2014)www.sbfisica.org.br

Maquina de Atwood com massa variavel

em movimento oscilatorio atıpico(Atwood Machine with variable mass in atypical oscillatory motion)

B. Lucatto, M.B. Caprecci, J.V.A. Goncalves, B.N. Sismanoglu1

Laboratorio de Mecanica, Departamento de Fısica, Instituto Tecnologico de Aeronautica, Sao Jose dos Campos, SP, BrasilRecebido em 2/10/13; Aceito em 16/1/14; Publicado em 23/5/2014

O problema da maquina de Atwood com massa variavel e apresentado neste trabalho atraves de uma confi-guracao robusta, que permite a aquisicao de dados da dinamica do movimento oscilatorio durante um intervalode tempo relativamente longo. O sistema e facilmente implementado atraves da utilizacao de uma polia e umconjunto de tres corpos cujas massas obedecem a relacao M > m1 > m2 e M < m1 +m2. O problema pode sertratado de maneira ludica para alunos do ensino medio ou com uma profundidade maior, atraves da utilizacaodo formalismo Lagrangiano, para estudantes de nıvel superior. O movimento oscilatorio do sistema nao se asse-melha com nenhum dos casos de amortecimento periodico ou aperiodico observado na literatura, pois a massado sistema varia em intervalos de tempo nao constantes. Atraves da utilizacao de fotogates (sensores) acopladosa polia e do software Tracker obteve-se um conjunto de variaveis dinamicas para comparacao com os resultadosesperados oriundos da descricao analıtica.Palavras-chave: maquina de Atwood, dinamica, movimento oscilatorio, massa variavel.

An Atwood machine with variable mass is presented in this work using a robust configuration that enablesdata acquisition from the dynamic oscillatory motion during a relatively long time interval. The system is ea-sily implemented through the use of a pulley and a set of three bodies whose masses satisfy the relationshipM > m1 > m2, and M < m1 + m2. The problem can be treated in a playful way for high school students orwith greater depth, using the Lagrangian formalism for undergraduate students. The oscillatory motion of thesystem is not similar to any of the cases of periodic or aperiodic damping reported in the literature, because themass of the system changes with decreasing time intervals. Through the use of photogates (sensors) coupled tothe pulley and Tracker Software it was obtained a set of dynamic variables to be compared with the expectedresults derived from the analytical description.Keywords: Atwood machine, dynamics, oscillatory motion, variable mass.

1. Introducao

Sistemas de massa variavel constituem uma aplicacaointeressante das leis da dinamica, e normalmente saointroduzidos no curso de Fısica 1, a fim de exerceremo papel de uma primeira aplicacao das ferramentas decalculo adquiridas no primeiro semestre do ensino supe-rior. Existem diversos problemas classicos, que geral-mente envolvem correntes em queda, foguetes expelindogases ou esteiras de transporte de minerio. O estudoda dinamica de massa variavel possui grande aplica-bilidade na engenharia, em particular, na engenharianaval, como pode ser visto na Ref. [1], em que ha oestudo de tres sistemas que requerem analises mais so-fisticadas dos efeitos da variacao da massa: o moonpool,que serve para estabelecer o equilıbrio de plataformas

petrolıferas em alto mar; o impacto de corpos rıgidoscontra a superfıcie da agua, que modela o impacto so-frido pela proa de navios que navegam sobre ondas; ea implantacao de cabos no fundo do oceano, que e umprocedimento usual em engenharia naval e offshore.

Um dos desafios de se estudar um sistema de massavariavel e interpretar corretamente as equacoes infinite-simais. Na tese de Casetta [2], ha uma discussao muitocompleta acerca das solucoes propostas por alguns au-tores aos problemas classicos e que, apesar de semprebem argumentadas, por vezes levam a diferentes resul-tados e ate a alguns paradoxos.

Neste trabalho, o sistema de massa variavel empre-gado e facilmente implementado e de baixo custo. Elee constituıdo por uma maquina de Atwood que inicial-mente encontra-se com a massa do lado direito subindo

1E-mail: bogos@ita.br.

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e, a partir de uma determinada altura, suspende umamassa suficientemente grande para que haja alteracaono sentido da aceleracao, ate que o lado direito passea descer e a massa que fora suspensa retorne ao solo,causando um movimento oscilatorio. A massa do sis-tema sofre variacoes “discretas”, contrastando com avariacao “contınua” utilizada no modelamento dos pro-blemas classicos. Entre duas variacoes consecutivas, haum intervalo de tempo relativamente longo, que per-mite a analise detalhada dos efeitos intermediarios.

Entendemos que o sistema estudado neste artigocontribuira na compreensao dos sistemas de massavariavel, no sentido de que ele possui uma similari-dade com o problema da corrente suspensa na maquinade Atwood, como pode ser visto na Ref. [3], e queseus resultados podem levar a uma melhor avaliacaodas hipoteses estabelecidas na analise da colisao entreos elos da corrente e a superfıcie plana. Na Ref. [3],a maquina de Atwood foi utilizada para o estudo dadinamica de um sistema com massa variavel, atravesda utilizacao de uma corrente cuja extremidade estavapresa a um fio que suspendia um corpo de massa fixado outro lado da polia. Deste modo, a corrente experi-mentava um movimento amortecido devido a variacaocontınua de massa. A dinamica da corrente em seumovimento amortecido foi estudada atraves da solucaonumerica de seu modelo analıtico, que foi confrontadacom os dados experimentais, obtidos de duas manei-ras distintas: mediante a utilizacao de uma solucao deaquisicao de dados comercial (sensores fotogates – quese mostraram ineficazes nas regioes de movimento comelevada aceleracao escalar) e tambem com a utilizacaode um software de domınio publico, o VirtualDub, noqual se emprega a filmagem do movimento, que e poste-riormente convertida em uma sequencia de quadros, cu-jos intervalos entre dois frames sao conhecidos. Atravesda analise destes quadros pode-se obter a variacao doespaco em funcao do tempo de um ponto material quese quer estudar.

Ao estudarmos o comportamento do sistema apre-sentado neste trabalho, adquirimos intuicao acerca dosefeitos da variacao da massa na maquina de Atwood.A partir de entao, e mais facil entender em detalhes oque ocorre com cada elo no problema da corrente em[3], pensando nele como um sistema de varias massasacopladas. Essa analise e complicada na questao ori-ginal, pois as massas sao adicionadas de forma quasecontinua, o que leva muitos autores a considerar umaforca media na base da corrente mesmo quando a cor-rente esta descendo. A luz do nosso experimento, talconsideracao fica evidentemente infundamentada. Asdiscrepancias causadas por essas incorrecoes na analisesao discutidas nas Refs. [2-4].

Problemas que envolvem o movimento de sistemascom massas variaveis, ou com grande variacao temporalda intensidade da aceleracao, ou mesmo aqueles que saomuito rapidos e nao podem ser observados a olho nu,

geralmente sao tratados apenas teoricamente em salade aula nos cursos da area de exatas. A filmagem doexperimento, juntamente com a utilizacao de softwa-res dedicados a aquisicao de dados a partir de vıdeos,permite obter a evolucao do movimento de um sistemadinamico em intervalos de tempo bastante pequenos,o que viabiliza a realizacao de experimentos que estu-dam estes problemas em laboratorio. Isto e importantepara que o aluno possa compreender melhor os con-ceitos fısicos envolvidos nestes experimentos, sendo umfacilitador no processo ensino-aprendizagem nas areascientıfico-tecnologicas.

Como exemplificacao de movimentos muito rapidose que confundem o observador, podemos citar os es-tudados na Ref. [3]: a corrente disposta em “U” quetem umas de suas extremidades liberadas do repouso(movimento similar ao “bungue jump”), e o problemaaparentemente simples da queda livre de um sistema“massa-mola-massa” abandonado na posicao vertical.A analise teorica do primeiro e bastante complicadaenquanto que a do segundo e simples, bastando usaro princıpio fundamental da dinamica adequadamente.Porem, remontando aos experimentos mentais da epocade Galileu (ou mais posteriormente, de Einstein), ondese usava o raciocınio logico para interpretar o fenomenofısico sem o uso da experimentacao, dificilmente algumobservador afirmaria que no primeiro caso, do bunguejump, a aceleracao inicial da corrente em queda e supe-rior a da aceleracao da gravidade e que no segundo caso,da queda livre do sistema com mola, o corpo suspensona posicao inferior so inicia seu movimenta apos prati-camente o corpo superior ter-se deslocado o equivalentea extensao da deformacao da mola. Deste modo, ressal-tamos que o uso de filmadoras para a realizacao de ex-perimentos de mecanica em laboratorios nos cursos daarea de exatas e extremamente importante para se obtermais um parametro muito acurado de comparacao (outalvez o unico) entre os resultados da analise teorica doexperimento, da analise numerica e da observacao emlaboratorio.

2. Abordagem teorica

Para o equacionamento do experimento, optamos porutilizar o formalismo lagrangiano em detrimento aonewtoniano, por sua elegancia e simplicidade ao descre-ver sistemas dinamicos sujeitos a restricoes geometricasou cinematicas. Na visao dos autores, essa opcao einstrutiva, pois fornece um exemplo de aplicacao damecanica analıtica a uma situacao simples. Normal-mente, essa e reservada a problemas de alta complexi-dade, o que dificulta a compreensao por aqueles menosfamiliarizados com a ferramenta.

O sistema estudado consiste de tres massas acopla-das atraves de fios finos de massa desprezıvel, ligados auma polia, de momento de inercia I e raio R, conformemostra a Fig. 1. As massas obedecem as seguintes

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relacoes: M > m1 > m2 e M < m1 +m2. Inicialmenteo sistema encontra-se em repouso, a massa m2 esta emcontato com o solo e o fio que une m1 e m2 esta frouxo,isto e, x1 < l2. Por conveniencia, chamaremos a alturaem que m1 inicia o movimento (na qual tem velocidadenula) de h0.

Figura 1 - Diagrama esquematico do experimento com a indicacaodas variaveis utilizadas na abordagem teorica.

Ao liberarmos o sistema as massas m1 e M ganhamvelocidade, enquanto a massa m2 permanece no solo.Em determinado instante, o fio, que antes estava frouxo,estica, erguendo m2. A partir de entao, o lado direitopossui massa maior que o esquerdo, causando uma de-saceleracao do sistema, ate que esse inverta seu movi-mento. Apos algum tempo, m2 atinge o solo novamentee o sistema ira perder velocidade, ate que essa se anulee obtenhamos uma situacao analoga a inicial.

A diferenca entre essa situacao e o sistema inicialpode ser analisada pela nova altura de velocidade nulade m1, que chamaremos de h1. Dessa forma, e possıvelintuir que o sistema ira repetir o movimento descrito ateque sua energia seja completamente dissipada. A cadaoscilacao, chegaremos a uma nova situacao analoga ainicial, e denotaremos essas sucessivas alturas de m1

por hn, onde n e o numero de oscilacoes completas.

O sistema estudado evolui atraves de duas confi-guracoes, uma com a massa m2 em repouso no chao eoutra com a massa m2 suspensa.

Quando a massam2 encontra-se em repouso no chaopodemos escrever a lagrangiana para o sistema

L =x21

2

(m1 +M +

I

R2

)+ (M −m1)gx1 ⇒

x1 =(M −m1) g

m1 +M + IR2

. (1)

Por outro lado, quando a massa m2 encontra-se sus-pensa, obtemos

L =x21

2

(m1 +m2 +M +

I

R2

)−

(m1 +m2 −M) gx1 ⇒ x1 = − (m1 +m2 −M)g

m1 +m2 +M + IR2

. (2)

Definimos para o sistema o parametro

γ =m1 +M +

I

R2

m1 +m2 +M +I

R2

. (3)

Quando o sistema passa da configuracao com amassa m2 no chao para a configuracao com ela sus-pensa, o momento angular do sistema e conservado,contanto que nao ocorra deslizamentos na polia. De-finindo x′

1 como a velocidade da massa m1 logo apos otracionamento do fio que une m1 a m2 podemos afirmarque

x′1 = γx′′ (4)

A partir do que foi obtido acima, foi realizado umestudo da evolucao da altura mınima que a massa m1

alcanca com o decorrer do experimento. Para isso,estudou-se a evolucao da energia do sistema, as per-das energeticas no tracionamento e na colisao da massam2 com o chao. Dessa forma obtem-se

h1 = γ2h0 +(1− γ2

)l2 ⇒ hn+1 =

γ2hn +(1− γ2

)l2 ⇒ hn = l2 − (l2 − h0) γ

2n. (5)

Definindo o parametro α como a quantidade de tra-cionamentos do fio mais a quantidade de colisoes damassa m2 com o chao obtem-se uma equacao para aenergia mecanica do sistema

Eα = (M −m1) (l2 − h0)gγα.

3. Procedimentos experimentais e re-sultados

Para a aquisicao de dados, duas tecnicas simples fo-ram utilizadas. Uma delas foi o Photogate Pulley daPasco R⃝[5], que consiste em um tacometro acoplado a

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uma polia, e que nos permite fazer a aquisicao de da-dos atraves da interface Science Worshop 750. A outratecnica consiste numa adaptacao do metodo minuciosa-mente descrito no artigo [6]: filmou-se a realizacao doexperimento com uma camera filmadora de alta taxade captura (Sony HX200V), e posteriormente fez-se aanalise do vıdeo com a utilizacao do software Tracker[7], de domınio publico, que possui diversas ferramen-tas dedicadas aos propositos de aquisicao de dados ci-nematicos, diferente do software VirtualDub utilizadona Ref. [6], tambem de domınio publico, cujo verda-deiro proposito e a edicao de vıdeos.

A utilizacao do software Tracker otimizou a ob-tencao de dados e graficos, pois basta calibra-lo comuma referencia de tamanho no plano do experimentoe um ponto de referencia no corpo (que deve ser con-trastante com o fundo), para que ele construa tabe-las e graficos com informacoes cinematicas referentesao objeto de estudo. Foram obtidos muitos pontos ex-perimentais, pois a camera capturava 60 quadros porsegundo, e o experimento durou 17,5 s.

Para a montagem do sistema a ser estudado,utilizou-se como massas “chumbinhos” de pesca-ria, montados com pequenos ganchos que permitiamamarracao. Eles estavam envoltos em papel alumınio,que foi utilizado para fixar algumas bolinhas de me-tal que serviam como ajuste fino das massas, alem deaumentar o contraste com o fundo preto.

Os comprimentos e os valores das massas foramajustados atraves da execucao exaustiva do experi-mento, ate que se obteve uma configuracao que aten-dia os seguintes requisitos: era necessario que M naocolidisse com o solo na primeira oscilacao (que possuimaior amplitude de movimento) e que fosse grande onumero de oscilacoes perceptıveis; dentre as diferentesmontagens que tentamos, a que se mostrou mais ade-quada foi quando as massas M e m1 possuıam valoresproximos e o valor de m2 era pequeno em relacao asdemais. A Fig. 2(a) mostra a configuracao da monta-gem, enquanto a Fig. 2(b) mostra as condicoes iniciaisdo experimento.

No intuito de reduzir os desvios devidos as condicoesexperimentais, tomaram-se algumas medidas que refle-tiram no aspecto final do experimento. As mais impor-tantes foram a utilizacao de massas densas e delgadas,de forma a evitar colisoes entre elas, e a utilizacao deuma superfıcie amortecedora no local em que a massam2 atinge o solo, a fim de evitar que ela se distanciemuito da direcao do movimento, o que provocaria os-cilacoes indesejadas.

Os parametros do sistema experimental foram:M = 33,95 g; m1 = 28,95 g; m2 = 8,70 g; I/R2 = 3 g;h = 14 cm; l2 = 54,5 cm.

Como pode ser observado na Eq. (6), a energiamecanica total segue uma progressao geometrica cujarazao e o fator gama. Para a montagem apresentadana Fig. 2, o valor desse fator era 0,8834. As previsoes

teoricas mostravam muito mais oscilacoes do que se ob-servou na pratica, de forma que resolveu-se observarcomo a energia diminuiu durante a execucao do expe-rimento. Notou-se que o carater exponencial se man-teve, porem a razao era menor do que gama, o quegerou o fator efetivo q corrigindo o valor de gama, ondeprocurou-se ajustar o valor de q de forma a aproximaros valores de energia nos primeiros patamares. A es-colha de aproximar estes valores apenas nos primeirospatamares se deu por observar-se que os ultimos saomenos confiaveis, tendo em vista que devido aos traci-onamentos, o sistema comeca a oscilar na direcao hori-zontal, e que a parcela da energia cinetica devida a essemovimento nao e levada em consideracao.

Figura 2 - (a) Montagem experimental: sistema na sua posicaode equilıbrio (note as massa maiores aproximadamente a meiaaltura). (b) Condicao inicial do experimento.

Atraves de uma regressao linear, decidiu-se que omelhor valor para o fator q era 0,92. Com essa correcao,houve uma grande adequacao dos dados experimentaiscom os teoricos nas primeiras iteracoes do sistema.

A respeito dos dados obtidos atraves do sistema daPasco R⃝, estes nao puderam ser utilizados diretamente,pois o sensor nao era capaz de identificar a direcao domovimento, de forma que se obteve apenas o modulo davelocidade escalar e a distancia percorrida pela massa,ao inves da posicao dela. Para contornar este problema,criou-se um algoritmo simples que atribuıa o sinal de-vido a velocidade, o que permitiu realizar a integracaonumerica e obtencao da posicao em funcao do tempo.

Com os dados do Tracker, nao se observou este pro-blema, pois ele fornece a velocidade escalar e a posicaodo objeto em funcao do tempo. Alem dessa vantagem,ha tambem a garantia de fidelidade com a realidade,pois a menos da calibracao e de variacoes no intervalode captura pela camera (que assumiu-se serem insigni-ficantes), nao ha outras fontes de erro. Por esses moti-vos, os dados obtidos com o Tracker foram consideradoscomo corretos.

O grafico de velocidades escalares intantaneas(Fig. 3) apresenta um formato triangular, que corres-

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ponde aos trechos de aceleracao positiva e negativa.Como a aceleracao e constante nesses intervalos, temosque a velocidade varia linearmente em cada um deles.Nas pontas de cima dos triangulos, nota-se a presencade descontinuidades no grafico, que ocorrem pelos tra-cionamentos do fio que liga as massas m1 e m2, cau-sando variacoes bruscas na velocidade. Nas pontas debaixo essas descontinuidades nao estao presentes, poisas colisoes da massa m2 com o solo nao influenciamdiretamente na velocidade do sistema, somente na ace-leracao.

Figura 3 - Grafico da velocidade em funcao do tempo.

Comparando as previsoes teoricas com os resulta-dos experimentais, nota-se que o modelo preve muitobem o comportamento inicial, porem a partir da ter-ceira iteracao ha um distanciamento entre os valores,provavelmente devido a efeitos dissipativos nao consi-derados no modelo, como atrito no eixo da polia, desli-zamento do fio sobre a polia, dentre outros.

O grafico de posicao em funcao do tempo (Fig. 4)apresenta um formato que se assemelha ao modelo deoscilacoes amortecidas (cuja equacao e uma exponen-cial decrescente multiplicada por uma funcao senoidal),porem sao arcos de parabola encaixantes, cuja ampli-tude decresce de acordo com o numero de oscilacoes dosistema. Este movimento difere dos movimentos osci-latorios encontrados na literatura porque na maquinade Atwood a massa do sistema varia em intervalos detempo decrescentes ao longo do tempo.

Figura 4 - Grafico da posicao em funcao do tempo.

Ao compararmos as previsoes teoricas com as ex-perimentais notamos que, assim como a velocidade, nocomeco ha um otimo ajuste entre as curvas, mas osefeitos dissipativos distanciam os resultados a partir daterceira iteracao.

Na Fig. 5 e facil notar os patamares de energia entreas colisoes e os tracionamentos. Nas iteracoes proximasao fim do movimento, ha um aparente paradoxo: ha ins-tantes onde a energia mecanica total aumenta. Isso sedeve principalmente ao fato de existir energia cineticadevido as oscilacoes indesejadas e que nao esta sendocomputada na energia mecanica total.

Figura 5 - Grafico da energia mecanica em funcao do tempo.

Finalmente, observa-se nas figuras anteriores que ascurvas cinematicas e dinamicas obtidas atraves da teo-ria e do software Tracker foram bastante concordante,a menos da dissipacao de energia ao longo do movi-mento, e que o emprego do fotogate da Pasco, de custobastante elevado, gerou resultados nao tao satisfatorios.Isto se explica pela demora do software para o inıcio dacaptura de dados, pois o sensor ligado a polia inicia acaptura de dados da aceleracao angular desta apenasapos um giro de 36◦, o que em movimento rapidos oca-siona erros nas medicoes.

4. Conclusao

Os sistemas de massa variavel sao de importanciainquestionavel em diversos contextos: na engenhariamecanica, na fısica e em outras areas nao tao dire-tamente relacionadas, como o modelamento do cresci-mento tumoral [8], na biologia. Por conseguinte, e ne-cessario que sejam utilizados bons modelos, que levemem conta as fugas a idealidade, inerentes ao mundo real.Conforme constatado, mesmo nos sistemas mais sim-ples, pequenos efeitos dissipativos provocam, a longoprazo, uma divergencia muito grande entre o resultadoteorico e o experimental. Atraves do estudo dos siste-mas cujas variacoes de massa sao discretas, podemosavaliar as dissipacoes em um sistema cujas variacoes demassa sejam contınuas. Essa abordagem e conveniente,pois ao adicionarmos um intervalo de tempo perceptıvel

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entre duas variacoes, podemos analisar o efeito de cadauma delas isoladamente.

Agradecimentos

Os autores agradecem a FAPESP pelo amparo apesquisa no Laboratorio de Mecanica e no Labo-ratorio de Optica e Espectroscopia do Depto de Fısicado ITA (processo 12/13064-4) e ao CNPq (Processo406035/2013-0). O autor B. Lucatto agradece ao CNPqpela bolsa PIBIC (processo 129372/2013-7).

Referencias

[1] C.P. Pesce, L. Casetta and E.A. Tannuri, Journal ofthe Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engi-neering, XXVIII, 496 (2006).

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[3] B.N. Sismanoglu, J.S.E. Germano, R. Caetano, M.V.O.Rezende e Y.D. Hoyer, Revista Brasileira de Ensino deFısica 33, 2310 (2011).

[4] C.P. Pesce e L. Casetta, In: 19◦ International Congressof Mechanical Engineering, Brasılia, 2007.

[5] www.pasco.com, acesso em 31/2/2013.

[6] B.N. Sismanoglu, J.S.E. Germano, J. Amorim e R. Ca-etano, Revista Brasileira de Ensino de Fısica 31, 1501(2009).

[7] http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/, acessoem 29/3/2013.

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