Movimento oscilatório Preliminar: Potenciais Movimento oscilatório Exemplo de uma mola em suspensão m

Movimento oscilatórioPreliminar: Potenciais

potencial por se-designa U funçãoA

kx2

1U

dx

kx21

d-FkxF

vaconservati força uma a

origem também dá molas as para Hooke de lei a exemplo, Por

mgzUdz

d(mgz)-FmgF

vaconservati é gravidade a exemplo, Pordx

dUF

que tal

função uma existe se vaconservati se-diz força Uma

2

2

Movimento oscilatórioExemplo de uma mola em suspensão

m

m

kω com 0xωx ou-kx xm

movimento o estudar Para

lk

mgl0)lk(lmg

dl

dU-

:0F equilíbrio No

)lk(l2

1mglU

20

20

0e0ell

20

e

0lel


m

ωv(0)x e x(0)0;t

:

pelas sencontrada são e constantes As

)( t).sin(ωt).cos(ωx(t)

:cos ou sin

função uma ser de tem que sabemos

xωx ou 0xωx

de solução a encontrar Para

00

00

20

20

ba

iniciaiscondições

ba

verificarba

!

0lel


m

inicial fase a é

angular frequência a é ω

amplitude a é

ω

2T2Tωtωcosx(t)

ou

t)sin(ωt)cos(ωx(t)

escrever permite que o

e

pôr podermos implica que o

ponhamos quaisquer e :Nota

0

000

00

δ

A

δA

A

AbAa

(δb

aba

)sin()cos(

)sin()cos(

)tan

0lel


m

ti

i

Ae

ei0

sincos

...

...1

...

x(t)implica que o

z

forma na escrito

ser pode ibaz complexo Qualquer6!

x

5!

x

4!

x

3!

x

2!

xx1e

6!

x

4!

x

2!

xcos(x)

7!

x

5!

x

3!

xxsin(x)

:complexa lExponencia

65432x

642

753

0lel

)(Im)sin(

)(Re)cos(

0

0

txtA

txtA

Movimento oscilatórioOscilador amortecido

m

com xxx

ou

xkxxm

0 com

m

xFatrito

202 2

0

0lel


m

tiωtiω eaea

i

i

x(t)é geral soluçãoA

:soluções Duas

tica)caracterís (equação

ae x(t)solução uma arexperiment vamos

xxx

resolver Para

ti

220

20

2

20

02

:

02

0l

el


m

tAe

eA

aaeA

a

eaeaetx

t

ii

titit

220

220

cos

22

)(

022

022

0

x(t)

temos

e

pondo

:pequeno) (atrito Caso

0lel


m

0lel


m

ooscilatóri é não movimento O

com

:grande) (atrito Caso

tt eaeatx

ii

)(

0

20

2

220

0l

el


m

0lel

Movimento oscilatórioOscilador forçado

m

im

FAe

m

FiAe

Aetx

eFtFm

tFxxx

i

i

ti

ti

2

2

)(

)()(

2

220

0

020

2

020

tipo do

solução uma arexperiment Vamos

com

0lel


m

222220

0

220

022

0

0

22

220

0

4

1)(

22

)(

2

m

FA

im

F

im

F

AAe

im

FAe

i

i

0lel


m

0lel

220

2

2220

222220

222220

0

2

02

04

4

1)(

R

d

d

m

FA


m

22

0

222220

220

022

0

0

222220

220

220

022

0

0

2)(tan

4

2

222

)sin(Im

42

1

222

1

)cos(Re

im

F

im

Fi

AAe

im

F

im

F

AAe

i

i

0lel


m

0lel


m

)(1

2arctan)(

0

220

Para

0lel


m

0lel

Iterlúdio matemáticoDerivadas parciais

x

y

z

z=f(const,y)=g(y)

z=f(const,y)=g(y)

y

y

ygyyg

y

yxfy

constx

)()(lim

),(0

Plano x=const

Plano x=const

Osciladores acoplados

1232222

2

2

1231121

2

1

xxkxkt

xm

xxkxkt

xm

x1x2-x1

x2

k2k3k1

2 gra

us

de

liber

dade


xt

x

xt

x

xxx

xxx

xxxxt

xx

xxt

xx

23

222

2

212

2

2121

212321

222

212

21212

212

2

2;

2

2

se-Defina

Sistema desacoplado!

Coordenadas normais


vibração. de normais modos dos

ainda ou ou

por se-designam

sfrequência As por sedesignam

soluções As

ísticass caracterfrequência

s naturaisfrequência

nâncias de ressofrequência

vibração. de normais modos

xtxx

xtxx

23

22

1

2

0),(

0),(

O caso geral é complicado… massas iguais e k’s iguais

Osciladores acoplados (alt.)

00

00

0

2332

2231

21

322

23

3312

1

2

1

322

23

3312

1

2322

213

231312

1

1232222

2

2

1231121

2

1

kkkmkkmkkmk

kkkm

A

A

kkmk

kkkm

AkkmAk

AkAkkm

eAxxxkxk

t

xm

xxkxkt

xm

tiii

arexperiment

Osciladores acoplados (alt.)

iniciais condições pelas osdeterminad são s' os e s' Os

normais. modos dos ãosobreposiç a é geral soluçãoA

Ae Aos oencontrand e matriz na dosubstituin

Donde

-

c

tctx

tx

tctx

tx

M

KM

K

KKM

)cos(1

1

)(

)(

)cos(1

1

)(

)(

1

1;

1

1

:

3

02

2

1

2

1

22

Múltiplos osciladores acoplados

Física! da simportante mais equações das uma é Esta

ondas das Equação

limite no e

contínua mola uma ter a forma de e Fazemos

tamanho de molas (

22

2

22

2

2

2

112

2

),(),(

),(),(),(),(1),(

0

)

x

txv

t

tx

a

taxtx

a

txtax

am

ka

t

tx

aN

aNkkdt

dm nnnn

n

T

va

mkaT e

Solução da equação das ondas

(x,t)=f(x-vt)

x=vt

(x,0)=f(x) (x,t)=f(x-vt)

Solução da equação das ondasSeja f(x) a solução da equação para t=0. Essa

função f é o perfil da onda. Se a onda se propagar sem mudança de forma com velocidade v para x=vt então (x,t)=f(x-vt)=(x,0).

(x,t)=f(x-vt)

é a solução mais geral da equação das ondas

Ondas harmónicas(x,0)=a cos(mx); a é a amplitude

(x,t)=a cos[m(v-vt)]2π/m=λ é o comprimento de onda. O tempo necessário para que a onda volte ao mesmo valor é o período τ. Dada a periodicidade do coseno ou

Introduzindo o número de onda k= 2π/λ e a frequência = 2π/τ temos

(x,t)=a cos(kx-t+)

22

v

v

Ondas planas

r P

nQd

rnd.

).( vtrnf

Ondas esféricas

)( vtrf

InterferênciaO princípio de sobreposição das ondas diz

que a onda resultante da sobreposição de duas ondas é a soma das duas ondas: ),(),(),( 2211 txatxatx

Interferência

txkk

txkk

a

txkatxkatx

22cos

22cos2

)cos()cos(),(

21212121

2211

grupovkkdk

d

21

21

Interferência

Corpo negro

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