Engenharia de Produo MecnicaFisica ll Ementa 3 semestre 2012 I. Oscilaes 1. Oscilador Harmnico 2. Equao de movimento 3. Movimentos curvilneos 4. Oscilaes foradas I. Termodinmicas 1. Calor 2. Escalas termomtricas 3. Calor sensvel e calor latente 4. Lei zero de termodinmica 5. Calor, trabalho e energia 6. 1 lei da termodinmica 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. I. Termodinmica Gazes ideais Transmisso de calor Ciclos termodinmicos Entropia 2 lei da termodinmica I. ptica Reflexo Refrao Espelhos

Bibliografias Halliday.D, Rezenick. Fundamentos de Fisica . Vol 2, Rio de Janeiro Ltc 1951 Sears . F. W; Zemansk; Yong HD Fisica . Vol. 2 Rio de Janeiro Ltc 2000.

Oscilaes(* Preparado por C.A. Bertulani para o projeto de Ensino de Fsica a Distncia)

Suponha que um objeto preso a uma mola que esticada e comprimida. A mola exerce uma fora sobre o objeto. Esta fora proporcional ao deslocamento da mola a partir de sua posio de equilbrio e no sentido oposto ao deslocamento F=-kx [9.1] Esta forma para a fora ''e chamada Lei de Hooke. As molas reais obedecem esta lei para pequenos deslocamentos.

Suponha que a mola seja estendida por uma distncia d, e seja liberada. O objeto preso mola acelera com a = - (k/m) x [9.2]

Ele ganha velocidade medida que se move para a posio de equilbrio, j que a acelerao na direo de sua velocidade. Quando a mola est na posio de equilbrio a acelerao zero, mas o objeto possui energia cintica. Ele passa da posio de equilbrio e comea a desacelerar, j que a acelerao no sentido oposto ao sentido da velocidade. Desprezando o atrito, ele parar quando a mola estiver comprimida por uma distncia d e ento se acelerar de volta para a posio de equilbrio. Ela novamente passa pela posio de equilbrio e pra na posio inicial quando a mola est esticada de uma distncia d. O movimento se repete. O objeto oscila de um lado para outro. Ele executa um movimento harmnico simples.

Vamos considerar apenas movimentos em uma dimenso. A equao [9.2] deve ser resolvida para a posio em funo do tempo, x(t). Notamos que a acelerao a derivada temporal da velocidade, de modo que podemos escrever a = dv/dt, e como v = dx/dt, temos que a acelerao a derivada

segunda da posio: a = d2x/dt2. Logo, podemos escrever a equao [9.2] como d2x/dt2 = - (k/m) x [9.3] Como x funo do tempo, temos que encontrar uma funo cuja derivada da derivada seja proporcional prpria funo. Conhecemos duas funes que satisfazem esse critrio: a funo seno e a funo cosseno. Uma conbinao dessas duas funes tambm serve, e deve ser a forma mais geral da soluo procurada. Por exemplo, x(t) = a cos( t) + b sen ( t) se for derivada duas vezes d d2x/dt2 = - 2x(tente fazer esse clculo). No nosso caso, a constante = (k/m)1/2. Logo, x(t) = a cos[(k/m)1/2t] + b sen [(k/m)1/2t] [9.4]

uma soluo da equao [9.3]. Note que as constantes a e b devem depender das condies iniciais do problema. No caso do problema da mola explicada acima, no tempo incial, quando t = 0, x(t =0) = d e v(t = 0) = 0. Da segunda condio, temos que b = 0, j que v(t) = [- a sin( t) + b cos ( t)] . A primeira condio implica que a = d . Logo, a soluo do problema do objeto preso mola dado por [9.5] onde definimos = 2 /T, de modo que

[9.6] A equao [9.5] nos diz que as condies de movimento se repetiro para valores de t = T, 2T, 3T ... Logo, T conhecido como perodo do movimento. A amplitude da oscilao dada por d. Este o valor mximo do deslocamento a partir da posio de equilbrio. O perodo independente da amplitude. No importa quanto a mola seja esticada inicialmente, o movimento possuir o mesmo perodo. A frequncia f = 1/T do movimento d o nmero completo de oscilaes por unidade de tempo. Ela medida em unidades de Hertz, (1Hz = 1/s). A frequncia

[9.7]

a frequncia natural de ressonncia do sistema. Tambm podemos definir a frequncia angular que engloba o fator 2 da relao acima: = 2 f . A velocidade do objeto em funo do tempo dada por v = vmax sen(2 t/T ) = vmax sen( t ) [9.8] onde vmax = 2 d/T = 2 df = d. Na figura abaixo a posio e velocidade so mostradas em funo do tempo para um movimento oscilatrio com perodo de 5s. A amplitude e a velocidade mxima possuem unidades arbitrrias. A posio e a velocidade esto fora de fase. Como sen(x+ /2) = cos(x), podemos escrever v = vmax cos(2 t/T + ) = vmax cos( t + ) , onde = /2 a fase da velocidade. Logo, dizer que a velocidade e a posio esto fora de fase o mesmo que dizer que a diferena de fase entre elas de /2 . A velocidade mxima quando o deslocamento zero, e o deslocamento mximo quando a velocidade zero.

A energia do sistema dada pela soma da energia cintica e a energia potencial do sistema. A energia cintica Ec = mv2/2 [9.9] A energia potencial , por definio, o negativo do trabalho realizado pela mola, ou seja, a variao da energia potencial dada por dU = - F dx, ou F = - dU/dx [9.10] Como F = - kx, temos que a soluo da equao [9.10] U(x) = kx2/2 [9.11] A definio da energia potencial tal que a energia total do sistema seja constante, isto , Et = Ec + U = (m/2) d2x/dt2 + kx2/2 = constante [9.12] Note que a derivada temporal da equao [9.12] igual equao [9.3] (faa a conta e constate). Logo, a equao [9.12] uma consequncia da equao

[9.3]: ela pode ser obtida por uma integrao da equao [9.3]. Como a energia total constante, podemos calcul-la no ponto x de maior convenincia. Por exemplo, quando a mola est a uma distncia d do suporte, ela est parada. Logo, a energia cintica zero. Consequentemente, a energia total proporcional ao quadrado da amplitude d: Et = (1/2) k d2. [9.13] A equao [9.12] mostra que existe uma mudana contnua entre energia cintica e potencial. Um objeto numa mola um exemplo de um oscilador harmnico. A maioria dos sistemas que possuem uma posio de equilbrio, executam um movimento harmnico simples em torno desta posio quando eles so deslocados do equilbrio, desde que os deslocamentos sejam pequenos. As foras de restituio obedecem lei de Hooke. No entanto, para grandes aceleraes os sistemas se tornam osciladores no-harmnicos, ou seja, as foras de retorno no mais so proporcionais aos deslocamentos. Neste caso, o perodo depende da amplitude. Um exemplo familiar pndulo simples.

Para pequenos deslocamentos, a fora restauradora aproximadamente dada por F = -(mg/L) x. Esta a lei de Hooke com k = mg/L ouk/m = g/L. O perodo de um pndulo simples , portanto dado por

. [9.14] Ela independente da massa m do peso. Depende apenas da acelerao gravitacional g e do comprimento do fio. Medindo-se o comprimento e o perdodo de um pndulo simples podemos determinar g. Movimento harmnico simples versus movimento circular

Outro tipo de movimento harmnico simples que nos permite uma melhor idia dos parmetros envolvidos dado pelo movimento circular de uma bola comparada ao movimento harmnico linear de outra (recarregue o "browser" para ver a animao da figura abaixo).

Parte de cima: movimento circular uniforme (raio A, velocidade angular ). Parte de baixo: movimento harmnico simples (amplitude A, frequncia angular ). Vemos que o movimento harmnico simples uma projeo de o movimento circular uniforme em torno de um eixo. O ngulo de fase, t, no movimento harmnico simples corresponde ao ngulo t atravs do qual a bola se movimentou no movimento circular. Na figura acima o objeto comeou na esquerda com tempo t = 0 s. A fase inicial zero.

Movimento circular e oscilatrio com uma fase inicial Na figura acima, o movimento comeou com a fase inicial . No tempo t, a bola est no ngulo = t + [9.15] Esta tambm a fase total da bola oscilatria. Sua posio descrita por x(t) = A cos ( = t + )[9.16] Com uma fase inicial de , o movimento no diferente - a bola ainda oscila de um lado para outro. Com = 0, a bola comea em x = +A. Com a fase inicial de , a bola comea em x(0) = A cos ( )[9.17] Depois que conhecemos a posio do oscilador para todos os tempos, podemos calcular a velocidade e a acelerao:

Note que: 1. A velocidade oscila entre -A and +A . 2 2 2. A acelerao oscila entre -A e +A . 3. A acelerao proporcional posio, mas oposta em direo: a(t) = - 2x(t)[9.19] Oscilador amortecido O que acontece quando o oscilador amortecido, ou seja quando h atrito entre o corpo preso mola e o plano, ou quando se considera a fora de atrito com o pndulo e o ar ? Foras de atrito so geralmente proporcionais velocidade. Logo, em vez da equao [9.3] teremos d2x/dt2 = - 2x - dx/dt[9.20] onde b = m a constante de atrito (daqui em diante simplesmente chamaremos de constante de atrito) . Se no houvesse a fora de restaurao da mola, a equao acima ficaria, d2x/dt2 = - dx/dt[9.21] cuja soluo da forma x(t) = C e- t , onde C uma constante que depende da posio e velocidade inicial. Ou seja, a massa pra com uma taxa de desacelerao exponencial. Sem a fora de atrito o movimento oscilatrio, com frequncia , como vimos anteriormente. fcil ver que no caso do movimento oscilatrio amortecido, ele deve ter uma soluo intermediria, onde a velocidade angular deve ser um pouco modificada pela oscilao. A melhor maneira de resolver a euquao diferencial [9.3] utilizando o conceito de nmeros complexos, em particular da exponencial complexa. A frmula abaixo para a exponencial complexa conhecida como uma prola da matemtica. ei = cos + i sen [9.22] onde i o nmero imaginrio. fcil ver esta relao a partir de um grfico no plano complexo. Neste plano a componente real do nmero complexo Z, com comprimento |Z| unitrio, dada pela projeo de Z na abcissa, cos .A parte imaginria de Z dada pela projeo na ordenada, sen .O mdulo de Z dado por cos2 + sen2 = 1 .

x(t) = A cos ( = t + )[9.18a] v(t) = -A sin ( = t + )[9.18b] a(t) = -A 2 cos ( = t + )[9.18c]

Para resolver a equao [9.20] supomos que a soluo seja na forma x(t) = A ei( t+ )[9.23] A razo para isso que a derivada de uma exponencial proporcional prpria exponencial, o que faz com que equaes do tipo [9.20] fiquem muito simples de resolver, como veremos. Mas, note que a soluo tem que ser real, j que as distncias medidas so reais. O truque est exatamente nesta questo. Usamos [9.23] para achar os valores de que satisfazem a equao [9.22], substitumos as solues possveis de em [9.23] e no final, tomamos a parte real de [9.23], que o que nos interessa. Esse truque funciona, e muito poderoso no clculo diferencial. Vamos constatar isso agora. A derivada de [9.23] dx/dt = i A ei( t+ ). A segunda derivada d2x/dt2 = - 2A ei( t+ ) (j que i2 = -1). Substituindo estes resultados em [9.22] obtemos que (- 2+ i + 2) A ei( t+ ) = 0[9.24] Como esta relao vlida para todo t, temos que o valor em parnteses tem que se anular identicamente: - 2+ i + 2 = 0[9.25] Cujas solues so = i /2 +- ( 2 - 2/4)1/2[9.26] Substituindo esse resultado na soluo, e tomando a sua parte real, temos que a soluo final da equao [9.22] (no importa qual das solues tomemos: a de sinal +, ou a de sinal - ) x(t) = A e- t/2 cos ( 't + )[9.27] Onde ' = ( 2 - 2/4)1/2.

Dependendo se 2/4 for menor, igual, ou maior do que 2, podemos distinguir 3 casos: O caso sobre amortecido: 2/4 < 2 . Neste caso, a oscilao se repete durante vrios ciclos e a amplitude das oscilaes diminui com o tempo. A amplitude decrescente da oscilao chamada de envelope. O caso de amortecimento crtico: 2/4 = 2. Neste caso, no h oscilao completa, antes de a oscilao se completar a massa pra. Vemos isto na figura acima, onde a massa comea da posio de equilbrio, alcana uma distncia mxima, e volta, parando na posio de equilbrio depois de certo tempo. O caso de amortecimento subcrtico ou sobre amortecido: 2/4 > 2. Neste caso, a massa nem alcana a posio de equilbrio em um tempo finito. A distncia diminui exponencialmente no tempo. Oscilador forado e ressonncias Um oscilador pode tambm ser forado a oscilar. Por exemplo, aplicamos uma fora peridica a uma criana em um balano quando queremos que as oscilaes continuem. A fora mais fcil de tratar matematicamente uma fora peridica na forma F = F0 cos( t). Somando todas as foras do oscilador, incluindo a fora de atrito e a fora aplicada, a equao torna-se d2x/dt2 + 2x + dx/dt = (F0 / m) cos( 't)[9.28] Como as oscilaes devem ter a mesma frequncia que a da fora aplicada, tentaremos uma soluo na forma

x(t) = A sen( 't) + B cos( 't)[9.29] Tambm poderamos utilizar o mtodo das exponenciais complexas, que introduzimos na seo anterior. Neste caso, usamos cos( 't) =(ei 't + ei 't )/2, e a equao [9.23] para x(t). No final, os coeficientes da parte real e da parte imaginria da equao so igualados a zero, como fizemos com a equao [9.24]. Porm, utilizando [9.29], obteremos o mesmo resultado. Calculando dx/dt e d2xdt2, obtemos que [(- '2 + 2)A - B] sen( 't) + [(- '2 + 2)B + (F0 / m) ] cos( 't) = 0[9.30] Como este resultado vlido para qualquer tempo, os coeficientes da funo seno e os da funo cosseno devem se anular separadamente, ou seja, (- '2 + 2)A - B = 0[9.31a] (- '2 + 2)B + 0 / m) = 0[9.31b] (F Resolvendo para A e B, encontramos que A = (F0 / m) / [( 2 - '2 )2+ 2 2][9.32a] B = ( 2 - '2 )(F0 / m)/[( 2 - '2 )2+ 2 2][9.32b] Inserindo este resultado em [9.29] e usando a lei dos cossenos, encontramos finalmente que x(t) = xmcos( 't + )[9.33]onde

xm = (F0 / m) /[( 2 - '2 )2+ 2 2]1/2[9.34a] = arctg [ /( 2 - '2 )][9.34b]

Vemos, portanto, que as amplitudes da oscilao, xm , chegam a um valor mximo quando w2 - w'2 = 0 , ou seja quando w'2= w2 . Esta conhecida como frequncia de ressonncia.

Quando a frequncia da fora aplicada igual frequncia natural do oscilador, a amplitude da oscilao mxima. Isto um fenmeno bem conhecido. Por exemplo, no caso da criana no balano sabemos que a oscilao ser mxima se aplicarmos uma fora em ressonncia com a frequncia de oscilao natural do balano. Ressonncias so tambm responsveis por vibraes indesejveis em sistemas mecnicos, ruptura de estruturas como prdios e pontes sob a ao de ventos ou terremotos, etc.

Toda vez que um oscilador sofre uma fora peridica com a mesma freqncia que sua frequncia natural, o fenmeno de ressonncia aparecer. Dizemos que a fora est em fase com a oscilao. MHS Movimento Peridico e Oscilatrio No estudo dos movimentos oscilatrios esto fundamentados alguns dos maiores avanos para a cincia, como a primeira medio com preciso da acelerao da gravidade, a comprovao cientfica da rotao da Terra, alm de inmeros benefcios tecnolgicos, como a inveno dos primeiros relgios mecnicos. Movimento peridico Um movimento peridico caracterizado quando a posio, velocidade e acelerao de um corpo mvel se repetem em intervalos de tempo iguais, como por exemplo, o movimento dos ponteiros dos relgios, de um ponto qualquer demarcado em um aro de uma bicicleta que anda com velocidade constante ou at o movimento realizado pelos planetas em torno do Sol. Chamamos perodo do movimento (T) o intervalo de tempo que estes ciclos levam at se repetirem. Assim, ao decorrem-se um nmero (n) de repeties em um determinado intervalo de tempo (t), seu perodo ser dado pela expresso:

Como n uma grandeza adimensional, o perodo tem unidade igual unidade de tempo. No SI, medido em segundos (s). Alm do perodo, em um movimento peridico, considerada uma grandeza chamada freqncia (f), que corresponde ao numero de repeties do movimento (n) em um determinado intervalo de tempo (t), ou seja:

Analisando as unidades da relao, a frequncia medida pelo inverso de unidade de tempo, ou seja 1/s que recebe o nome de hertz (Hz) no SI. Comparando-se as equaes do perodo e da frequncia, podemos definir a relao entre elas como:

Movimento Oscilatrio

Um movimento oscilatrio acontece quando o sentido do movimento se alterna periodicamente, porm a trajetria a mesma para ambos os sentidos. o caso dos pndulos e das cordas de guitarras e violes, por exemplo. A figura abaixo representa uma corda em vibrao, observe que mesmo se deslocando para baixo e para cima do ponto de origem ela sempre mantm distncias iguais de afastamento deste ponto.

Se considerarmos que o corpo comea a vibrar partindo da linha mais escura, cada vez que a corda passar por esta linha, aps percorrer todas as outras linhas consideradas, dizemos que ela completou um ciclo, uma oscilao ou uma vibrao. Da mesma forma que para o movimento peridico, o intervalo decorrido para que se complete um ciclo chamado perodo do movimento (T) e o nmero de ciclos completos em uma unidade de tempo a frequncia de oscilao. Se voc j esteve em um prdio alto, deve ter percebido que em dias de muito vento a sua estrutura balana. No s impresso! Algumas construes de grandes estruturas como edifcios e pontes costumam balanar em decorrncia do vento. Estas vibraes, porm, acontece com perodo de oscilao superior a 1 segundo, o que no causa preocupao. Uma construo s poderia ser prejudicada caso tivesse uma vibrao natural com perodo igual vibrao do vento no local.

Questes MHS - Movimento peridico e oscilatrio 1. A Terra demora 1 ano para completar uma volta ao redor do Sol. Este chamado um movimento peridico e 1 ano o perodo do movimento. Qual a frequncia do movimento da Terra em torno do Sol? Considere 1 ano = 365 dias. Primeiramente devemos transformar a unidade de ano para a que se utiliza inversamente na frequncia, ou seja, segundo.

Sendo a frequncia igual ao inverso do perodo, temos que:

2. Um pndulo demora 0,5 segundo para restabelecer sua posio inicial aps passar por todos os pontos de oscilao, qual sua frequncia? Como o tempo dado equivale ao movimento completo do pndulo, este considerado o seu perodo de oscilao, ou seja: Como a frequncia equivale ao inverso do perodo temos:

Funes horrias do Movimento Harmnico Simples Chamamos um movimento de harmnico quando este pode ser descrito por funes horrias harmnicas (seno ou cosseno), que so assim chamadas devido sua representao grfica:

Funo Seno

Funo Cosseno

Quando isto acontece, o movimento chamado Movimento Harmnico Simples (MHS). Para que o estudo desse movimento seja simplificado, possvel analis-lo como uma projeo de um movimento circular uniforme sobre um eixo. Assim:

Funo horria da elongao Imagine uma partcula se deslocando sobre uma circunferncia de raio A que chamaremos amplitude de oscilao.

Colocando o eixo x no centro do crculo que descreve o Movimento Curvilneo Uniforme e comparando o deslocamento no Movimento Harmnico Simples:

Usando o que j conhecemos sobre MCU e projetando o deslocamento angular no eixo x podemos deduzir a funo horria do deslocamento no Movimento Harmnico Simples:

Usando a relao trigonomtrica do cosseno do ngulo para obter o valor de x:

Esta a posio exata em que se encontra a partcula na figura mostrada, se considerarmos que, no MCU, este ngulo varia com o tempo, podemos escrever em funo do tempo, usando a funo horria do deslocamento angular: Ento, podemos substituir esta funo na equao do MCU projetado no eixo x e teremos a funo horria da elongao, que calcula a posio da partcula que descreve um MHS em um determinado instante t.

Funo horria da velocidade Partindo da funo horria da elongao podem-se seguir pelo menos dois caminhos diferentes para determinar a funo horria da velocidade. Um deles utilizar clculo diferencial e derivar esta equao em funo do tempo obtendo uma equao para a velocidade no MHS. Outra forma continuar utilizando a comparao com o MCU, lembrando que, para o movimento circular, a velocidade linear descrita como um vetor tangente trajetria:

Decompondo o vetor velocidade tangencial:

Repare que o sinal de v negativo pois o vetor tem sentido contrrio ao vetor elongao, logo, o movimento retrgrado. Mas sabemos que em um MCU: e Assim, podemos substituir estas igualdades e teremos a funo horria da velocidade no MHS:

Funo horria da acelerao Analogamente funo horria da velocidade, a funo horria da acelerao pode ser obtida utilizando clculo diferencial, ao derivar a velocidade em funo do tempo. Mas tambm pode ser calculada usando a comparao com o MCU, lembrando que quando o movimento circular uniforme a nica acelerao pela qual um corpo est sujeito aquela que o faz mudar de sentido, ou seja, a acelerao centrpeta.

Decompondo o vetor acelerao centrpeta:

Repare que o sinal de a negativo, pois o vetor tem sentido contrrio ao vetor elongao, logo, o movimento retrgrado. Mas sabemos que em um MCU:

Podemos substituir estas igualdades e teremos a funo horria da acelerao no MHS:

ou

Algumas observaes importantes: A fase A pulsao sempre medida em radianos. pode ser definida por:

A fase inicial o igual ao ngulo inicial do movimento em um ciclo trigonomtrico, ou seja, o ngulo de defasagem da onda senoidal. Por exemplo, no instante t=0, uma partcula que descreve um MHS est na posio , ento determina-se sua fase inicial representando o ponto dado projetado no ciclo trigonomtrico:

Exemplos: (1) Uma partcula em MHS, com amplitude 0,5m, tem pulsao igual a e fase inicial , qual sua elongao, velocidade e acelerao aps 2 segundos do incio do movimento?

Questes - Funes horrias do MHS 1. Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, pulsao de 2, e no existe defasagem de fase. Quando t=10s, qual a elongao do movimento? Sendo a funo horria da elongao: Substituindo os valores dados temos:

Lembrando que a unidade resultante ser mm, pois os valores no foram passados para o SI.

Como cosseno de 20 um valor mximo (+1), a elongao ser mxima, ou seja, igual a amplitude. 2. Dada a funo horria da elongao:

Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI responda: a) Qual a amplitude do movimento? Retirando o valor da equao, com unidades do SI temos: A=3m b) Qual a pulsao do movimento? Retirando o valor da equao, com unidades do SI temos: c) Qual o perodo do movimento? Conhecendo a pulsao e sabendo que:

Igualando os valores:

d) Qual a fase inicial do movimento? Retirando o valor da equao, com unidades do SI temos:

e) Quando t=2s qual ser a elongao do movimento? Aplicando o valor na equao temos:

3. Um oscilador harmnico tem sua elongao descrita pela seguinte equao:

Sendo todas as unidades encontradas no SI. Qual a velocidade do movimento nos instantes t=1s, t=4s e t=6s? Lembrando que a equao utilizada para a velocidade no mhs : Utilizando os valores encontrados na equao da elongao teremos:

Substituindo os valores de tempo pedidos temos: Para t=1s:

Para t=4s:

Para t=6s:

4. Qual a acelerao de um corpo que descreve mhs quando sua elongao x=0 e quando x=A? Utilizando a equao: Sabendo que a pulsao tem um valor fixo, independente da elongao, fcil perceber que: Em x=0, a acelerao ser nula (a=0) e Em x=A, a acelerao ser mxima (ou mnima, dependendo o sinal de A). Assim como visto anteriormente o valor da acelerao para uma partcula em MHS dada por: Ento, pela 2 Lei de Newton, sabemos que a fora resultante sobre o sistema dada pelo produto de sua massa e acelerao, logo:

Como a massa e a pulsao so valores constantes para um determinado MHS, podemos substituir o produto m pela constante k, denominada constante de fora do MHS. Obtendo: Com isso conclumos que o valor algbrico da fora resultante que atua sobre uma partcula que descreve um MHS proporcional elongao, embora tenham sinais opostos. Esta a caracterstica fundamental que determina se um corpo realiza um movimento harmnico simples. Chama-se a fora que atua sobre um corpo que descreve MHS de fora restauradora, pois ela atua de modo a garantir o prosseguimento das oscilaes, restaurando o movimento anterior.

Sempre que a partcula passa pela posio central, a fora tem o efeito de retard-la para depois poder traz-la de volta. Ponto de equilbrio do MHS No ponto mdio da trajetria, a elongao numericamente igual a zero (x=0), conseqentemente a fora resultante que atua neste momento tambm nula (F=0). Este ponto onde a fora anulada denominado ponto de equilbrio do movimento. Perodo do MHS Grande parte das utilidades prticas do MHS est relacionado ao conhecimento de seu perodo (T), j que experimentalmente fcil de medi-lo e partindo dele possvel determinar outras grandezas. Como definimos anteriormente: k=m A partir da podemos obter uma equao para a pulsao do MHS:

Mas, sabemos que:

Ento, podemos chegar a expresso:

Como sabemos, a frequncia igual ao inverso do perodo, logo:

Exemplo: (1) Um sistema formado por uma mola pendurada verticalmente a um suporte em uma extremidade e a um bloco de massa 10kg. Ao ser posto em movimento o sistema repete seus movimentos aps cada 6 segundos. Qual a constante da mola e a freqencia de oscilao? Para um sistema formado por uma massa e uma mola, a constante k equivalente constante elstica da mola, assim:

Questes - Fora no MHS 1. Qual a fora exercida em um oscilador massa-mola de amplitude 0,3m, com massa 0,5kg, tendo um perodo de 3 segundos, no momento em que sua elongao mxima? Utilizando a equao: Lembrando que:

E que, no momento onde a elongao mxima: x=A Podemos escrever a equao da fora:

2. Qual a frequncia de um oscilador que tem pulsao =? Utilizando:

Descobriremos que o perodo do movimento :

Sabendo que a frequncia igual ao inverso do perodo:

Oscilador massa-mola Um oscilador massa-mola ideal um modelo fsico composto por uma mola sem massa que possa ser deformada sem perder suas propriedades elsticas, chamada mola de Hooke, e um corpo de massa m que no se deforme sob ao de qualquer fora. Este sistema fisicamente impossvel j que uma mola, por mais leve que seja, jamais ser considerada um corpo sem massa e aps determinada deformao perder sua elasticidade. Enquanto um corpo de qualquer substncia conhecida, quando sofre a aplicao de uma fora, deformado, mesmo que seja de medidas desprezveis. Mesmo assim, para as condies que desejamos calcular, este um sistema muito eficiente. E sob determinadas condies, possvel obtermos, com muita proximidade, um oscilador massa-mola. Assim podemos descrever dois sistemas massa-mola bsicos, que so: Oscilador massa-mola horizontal composto por uma mola com constante elstica K de massa desprezvel e um bloco de massa m, postos sobre uma superfcie sem atrito, conforme mostra a figura abaixo:

Como a mola no est deformada, diz-se que o bloco encontra-se em posio de equilbrio. Ao modificar-se a posio do bloco para um ponto em x, este sofrer a ao de uma fora restauradora, regida pela lei de Hooke, ou seja:

Como a superfcie no tem atrito, esta a nica fora que atua sobre o bloco, logo a fora resultante, caracterizando um MHS. Sendo assim, o perodo de oscilao do sistema dado por:

Ao considerar a superfcie sem atrito, o sistema passar a oscilar com amplitude igual posio em que o bloco foi abandonado em x, de modo que:

Assim podemos fazer algumas observaes sobre este sistema: O bloco preso mola executa um MHS; A elongao do MHS, igual deformao da mola; No ponto de equilbrio, a fora resultante nula.

Energia do Oscilador

Analisando a energia mecnica do sistema, tem-se que:

Quando o objeto abandonado na posio x=A, a energia mecnica do sistema igual energia potencial elstica armazenada, pois no h movimento e, consequentemente, energia cintica. Assim:

Ao chegar na posio x=-A, novamente o objeto ficar momentaneamente parado (v=0), tendo sua energia mecnica igual energia potencial elstica do sistema. No ponto em que x=0, ocorrer o fenmeno inverso ao da mxima elongao, sendo que:

Assim podemos concluir que na posio x=0, ocorre a velocidade mxima do sistema massa-mola, j que toda a energia mecnica resultado desta velocidade. Para todos os outros pontos do sistema:

Como no h dissipao de energia neste modelo, toda a energia mecnica conservada durante o movimento de um oscilador massa-mola horizontal. Oscilador massa-mola vertical Imaginemos o sistema anterior, de uma mola de constante K e um bloco de massa m, que se aproximam das condies de um oscilador massamola ideal, com a mola presa verticalmente um suporte e ao bloco, em um ambiente que no cause resistncia ao movimento do sistema:

Podemos observar que o ponto onde o corpo fica em equilbrio :

Ou seja, o ponto onde a fora elstica e a fora peso se anulam. Apesar da energia potencial elstica no ser nula neste ponto, considerar-se este o ponto inicial do movimento. Partindo do ponto de equilbrio, ao ser "puxado" o bloco, a fora elstica ser aumentada, e como esta uma fora restauradora e no estamos

considerando as dissipaes de energia, o oscilador deve se manter em MHS, oscilando entre os pontos A e -A, j que a fora resultante no bloco ser:

Mas, como o peso no varia conforme o movimento, este pode ser considerado como uma constante. Assim, a fora varia proporcionalmente elongao do movimento, portanto um MHS. Tendo seu perodo expresso por:

Questes - Oscilador Massa- Mola 1. Qual deve ser a constante elstica de uma mola para que, quando colocada em um oscilador massa-mola horizontal, considerando a fora mxima admissvel igual a 100N, suporte um movimento de uma massa de 2kg em uma amplitude de 1m? Utilizando a equao da fora, lembrando que para osciladores massamola a constante k equivale a constante elstica da mola temos: Para este caso utilizaremos os valores de alongao mxima (amplitude) e de maior fora admissvel (lembrando que esta ser restauradora, portanto, negativa), assim:

Pndulo Simples Um pndulo um sistema composto por uma massa acoplada a um piv que permite sua movimentao livremente. A massa fica sujeita fora restauradora causada pela gravidade. Existem inmeros pndulos estudados por fsicos, j que estes o descrevem como um objeto de fcil previso de movimentos e que possibilitou inmeros avanos tecnolgicos, alguns deles so os pndulos fsicos, de toro, cnicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilizao o Pndulo Simples. Este pndulo consiste em uma massa presa a um fio flexvel e inextensvel por uma de suas extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma:

Quando afastamos a massa da posio de repouso e a soltamos, o pndulo realiza oscilaes. Ao desconsiderarmos a resistncia do ar, as nicas foras que atuam sobre o pndulo so a tenso com o fio e o peso da massa m. Desta forma:

A componente da fora Peso que dado por P.cos se anular com a fora de Tenso do fio, sendo assim, a nica causa do movimento oscilatrio a P.sen. Ento: No entanto, o ngulo , expresso em radianos que por definio dado pelo quociente do arco descrito pelo ngulo, que no movimento oscilatrio de um pndulo x e o raio de aplicao do mesmo, no caso, dado por , assim:

Onde ao substituirmos em F:

Assim possvel concluir que o movimento de um pndulo simples no descreve um MHS, j que a fora no proporcional elongao e sim ao seno dela. No entanto, para ngulos pequenos, , o valor do seno do ngulo aproximadamente igual a este ngulo. Ento, ao considerarmos os caso de pequenos ngulos de oscilao:

Como P=mg, e m, g e so constantes neste sistema, podemos considerar que:

Ento, reescrevemos a fora restauradora do sistema como: Sendo assim, a anlise de um pndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilaes, um pndulo simples descreve um MHS. Como para qualquer MHS, o perodo dado por:

e como

Ento o perodo de um pndulo simples pode ser expresso por:

Questes - Pndulo Simples 1. Qual o perodo e a frequncia de um pndulo simples, que tem comprimento de 0,25m? Considere g=10m/s. Utilizando a equao:

Substituindo os valores dados:

Sabendo que a frequncia igual ao inverso do perodo:

Formulrio MHS

Movimento peridico e oscilatrio

Perodo do movimento

Frequncia do movimento

Equivalncia entre frequncia e perodo

Funes horrias Elongao

Velocidade

Acelerao

Pulsao

Fora no MHS

Fora

Constante de fora do MHS

Pulsao

Perodo do movimento

Frequncia do movimento

Oscilador massa-mola

Fora

Perodo

Pndulo simples

Fora

Perodo