Marina de Alvarenga Silva · Marina de Alvarenga Silva Desenvolvimento e controle de um módulo dinâmico sujeito a incertezas Trabalho de conclusão de curso para a ob-tenção do

Marina de Alvarenga Silva

Desenvolvimento e controle de um módulodinâmico sujeito a incertezas

João Monlevade

2016


Desenvolvimento e controle de um módulodinâmico sujeito a incertezas

Trabalho de conclusão de curso para a ob-

tenção do título de Bacharel em Engenharia

Elétrica submetido à Universidade Federal

de Ouro Preto - UFOP.

Orientador: Víctor Costa da Silva Campos.

Coorientador: Márcio Feliciano Braga.

João Monlevade

2016

Dedicatória

Dedico este trabalho a todos que amo, em especial a Deus, aos meus pais, Artur

e Elvira, aos meus irmãos, à vó Lucica, ao vô Juca (in memoriam), a toda minha

família e amigos que acompanharam minha trajetória.


Agradecimentos

Agradeço a Deus, aos meus pais, aos meus irmãos Mariana, Artur, Ana Luiza e espe-

cialmente a Wanessa, ao Pedro, a Kim, a Natália, e aos professores Víctor e Márcio,

pelo suporte e apoio incondicional durante a graduação e execução deste trabalho.

Agradeço também a todos meus amigos por tudo que fizeram e fazem por mim, prin-

cipalmente pelo apoio e carinho.


RESUMO

Sistemas de controle tem como objetivo regular ou manipularalguma variável, tal como fluxo

de energia, informação, dinheiro, entre outras. Muitos controladores são construídos a partir do

modelo do sistema ou planta, ou seja, quanto melhor for esse modelo melhor será o desempenho

do controlador. A ineficiência de um controlador pode ser causada por modificações no com-

portamento da planta, que podem ser por perturbações, errosem função de variáveis ignoradas,

ou presença de incertezas. Esses tipos de problemas são estudados e solucionados por métodos

desenvolvidos na categoria designada Controle Robusto. Deste modo, esse trabalho consiste no

desenvolvimento e implementação de um módulo dinâmico com incertezas em sua dinâmica e,

posteriormente, propor estratégias de controle robusto para estabilizar o sistema, rejeitar per-

tubações e seguir referências. Os métodos utilizados são baseados na teoria de desigualdades

matriciais lineares LMI (do inglês,Linear Matrix Inequalities), teorias de controle clássico e na

utilização do custo garantido da normaH∞. Ao fim do trabalho, o módulo dinâmico incerto e

os métodos implementados para controle serão disponibilizados nos laboratórios de controle da

Universidade Federal de Ouro preto, para uso nas disciplinas de controle e automação.

Palavras-chave: Módulo dinâmico incerto, sistemas instáveis, controle robusto, LMIs.

ABSTRACT

Control systems aim to regulate or manipulate some variable, such as energy stream, informa-

tion, money, among others. Many controllers are built usingthe system or plant model, that

is, the better the model, the better will be the performance of the controller. However, in case

of any modification of the behavior of the plant, that may be induced by disturbance, or even

errors caused by ignored variables in the process of modeling and the presence of uncertainties

in the system that cause the plant to change its behavior, on lead to instability and causes the

designed controller to become inefficient. These issues arestudied and solved by methods de-

veloped in the designated category of Robust Control. In that regard, this work consists on the

development and further improvements of an uncertain dynamic module and later to propose

strategies of robust control to stabilize the system and to follow a reference. The methods used

are based on the theory of Linear Matrix Inequalities (LMI),classical control theory and the

use of theH∞ guaranteed cost. At the end of this study, the uncertain dynamic module and the

implemented methods to control will be available in the control laboratories of the Universidade

Federal de Ouro Preto, for the use in control and automation subjects.

Keywords: Dynamic uncertain module, unstable systems, robust control, LMIs.

iii

LISTA DE FIGURAS

1.1 Válvula reguladora de Watt usada na Tower Bridge em Londres. ...................... 25

1.2 Sistema de controle em malha aberta. ......................................................... 26

1.3 Sistema de controle em malha fechada. ....................................................... 26

2.1 Ponto de equilíbrio estável. ...................................................................... 34

2.2 Ponto de equilíbrio instável. ..................................................................... 35

2.3 Ponto de equilíbrio assintoticamente estável................................................. 35

3.1 Diagrama de blocos da configuração planta-controlador.................................. 39

3.2 Diagrama de bode de um sinal. ................................................................. 41

3.3 Esquema em diagrama de blocos do controlador para rejeitar pertubação. .......... 43

3.4 Diagrama de blocos do controlador com referência. ....................................... 44

3.5 Diagrama de blocos do controlador com referência e integral do erro................. 46

4.1 Configuração do primeiro módulo.............................................................. 49

4.2 Configuração do segundo módulo. ............................................................. 50

4.3 Lugar geométrico das raízes quandoR3 < R2. ............................................. 51

4.4 Lugar geométrico das raízesR3 > R2......................................................... 51

4.5 Teste sem entrada aplicada para a configuração instável.................................. 53

4.6 Teste sem entrada aplicada para a configuração estável. .................................. 54

4.7 Saída (azul) e sinal de controle (vermelho) da simulaçãodo módulo com con-

trolador estabilizante, em que,R2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ eR9 = 1,2KΩ. .......... 55

4.8 Saída da simulação do módulo com o controlador para rejeitar a pertubação

(azul), em queR2 = 1K, R3 = 20K, R9 = 1,2K ......................................... 57

4.9 Saída da planta (azul) com o controlador para seguir uma referência senoidal de

1V de amplitude e frequência de 0.2Hz (verde)............................................. 58

4.10 Saída da planta (vermelho) com o controlador para seguir uma referência senoi-

dal de 1V de amplitude e frequência de 0.2Hz (azul). ..................................... 59

5.1 Resposta do sistema com o controlador estabilizante(azul), quandoR2 = 5KΩ,

R3 = 20KΩ, R9 = 3KΩ ex(0) = [2, 1,−2]T . ............................................. 61

5.2 Resposta do sistema com controladorH∞ para rejeitar pertubação (azul), quando

R2 = 5KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 3KΩ ex(0) = [2, 1,−2]T . ............................ 62

5.3 Saída da simulação (azul) do módulo com pertubação adicionada ao sistema -

Configuração instável, em queR2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 1,2KΩ e

pertubação de1V de amplitude. ................................................................ 63

5.4 Saída da simulação (azul) do módulo com o controlador estabilizante e per-

tubação adicionada ao sistema - Configuração instável, em que R2 = 10KΩ,

R3 = 20KΩ, R9 = 1,2KΩ e pertubação de1V de amplitude. ......................... 64

5.5 Saída da simulação (azul) do módulo com controladorH∞ e pertubação adici-

onada ao sistema - Configuração instável, em queR2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ,

R9 = 1,2KΩ e pertubação de1V de amplitude............................................. 65

5.6 Saída da simulação do módulo com pertubação adicionada ao sistema - Con-

figuração estável, em queR2 = 20KΩ, R3 = 10KΩ e R9 = 10KΩ e uma

pertubação de1V . .................................................................................. 65

5.7 Saída da simulação do módulo com o controlador estabilizante e pertubação

adicionada ao sistema - Configuração estável, em queR2 = 20KΩ, R3 =

10KΩ eR9 = 10KΩ e uma pertubação de1V . ............................................ 66

5.8 Saída da simulação do módulo com o controladorH∞ para rejeitar a pertubação

adicionada ao sistema - Configuração estável, em queR2 = 20KΩ, R3 =

10KΩ eR9 = 10KΩ e uma pertubação de1V . ............................................ 66

5.9 Sinal de referência (azul) e saída do sistema com o controlador para seguir

referência (vermelho). ............................................................................. 68

5.10 Sinal de referência (azul) e saída do sistema com o controlador para seguir

referência com integral do erro (vermelho). ................................................. 68

5.11 Módulos ligados em série......................................................................... 69

5.12 Saída obtida para teste de bancada sem entrada aplicada. ................................ 69

5.13 Teste com entrada aplicada, em destaque, apresenta-seo subsinal na saída (curva

em vermelho), característica de sistemas de fase não mínima. .......................... 70

5.14 Teste de bancada - Planta e controlador estabilizante...................................... 71

5.15 Saída dos módulos em série com o controlador estabilizante em lilás, saída

somente do módulo 1 em azul e sinal de controle em amarelo - Teste de bancada. 72

5.16 Configuração do teste de bancada com controlador para seguir referência com

ação integral. ........................................................................................ 73

5.17 Saída da planta com o controlador para seguir de referência - Teste de bancada. .. 74




7.1 Circuito do módulo I. .............................................................................. 79

7.2 Circuito do módulo II.............................................................................. 81

7.3 Etapas da construção do módulo................................................................ 84

7.4 Módulo I - Físico ................................................................................... 84

7.5 Configuração em malha fechada com controlador estabilizante. ....................... 85

7.6 Configuração em malha fechada com controlador que rejeita pertubações........... 86

7.7 Configuração em malha fechada com controlador para seguir de referência......... 87

7.8 Configuração em malha fechada com controlador para seguir de referência com

ação integral. ........................................................................................ 88

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos

A Amplitude [V]

I Corrente elétrica [A]

P Potência elétrica [W]

R Resistência elétrica [Ω]

t Tempo [s]

V Tensão elétrica [V]

Hz Hertz [Rad/s]

Subscritos

rede rede elétrica

ref referência

RMS RMS (Root Mean Square)

LISTA DE SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers

LMI Desigualdades Matriciais LinearesLinear Matrix Inequalities

SISO Entrada Única Saída Única (Single Input Single Output)

MIMO Entradas Múltiplas Saídas Múltiplas (Multiple Input Multiple Output)

BIBO Entrada Limitada Saída Limitada (Bounded Input / Bounded Output)

LQR Regulador Linear Quadrático (Linear Quadratic Regulator)

LQG Regulador Linear Quadrático Gaussiano (Linear Quadratic Gaussian)

PID Proporcional Integral Derivativo (Proportional Integral Derivative)

UFOP Universidade Federal de Ouro Preto

LISTA DE TABELAS

1.1 Síntese do desenvolvimento da teoria de controle .......................................... 27

5.1 Tempo de acomodação e pico para condição a inicialx(0) = [2,1,− 2]T . ........... 62

5.2 Respostas dos sistemas sujeitos a pertubação ............................................... 67

7.1 Lista de materiais para construção dos módulos ............................................ 83

xiii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Estado da Arte ......................................................................... 23

1.1.1 Controle ...................................................................... 24

1.1.2 Controle Robusto .......................................................... 27

1.2 Justificativa .............................................................................. 29

1.3 Objetivos ................................................................................. 29

1.3.1 Objetivos específicos ..................................................... 29

1.4 Estrutura do Trabalho................................................................. 30

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Fundamentação Inicial ............................................................... 31

2.2 Controlabilidade e Observabilidade .............................................. 32

2.3 Desigualdades Matriciais Lineares — LMI ...................................... 33

2.4 Estabilidade ............................................................................. 33

2.4.1 Estabilidade no sentido de Lyapunov — Estabilidade interna . 34

2.4.2 Teorema de Estabilidade de Lyapunov (Método Direto) - Sis-

temas Autônomos ......................................................... 36

2.5 Sistemas Incertos ..................................................................... 36

3 CONTROLADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Estabilizabilidade ...................................................................... 39

3.2 Controlador H∞ para rejeitar pertubação ....................................... 40

3.3 Controlador H∞ Aumentado para seguir referência .......................... 43

3.4 Controlador H∞ Aumentado com integral do erro............................. 45

3.5 Controladores para sistemas politópicos ........................................ 47

4 DESENVOLVIMENTO E CONTROLE DE UM MÓDULO DINÂMICO SUJEITO

A INCERTEZAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Módulo dinâmico incerto............................................................. 49

4.1.1 Desenvolvimento e modelagem em espaço de estados ........ 49

4.1.2 Modelo Politópico da planta............................................. 52

4.1.3 Comportamento............................................................ 53

4.2 Controladores robustos .............................................................. 54

4.2.1 Controlador estabilizante ................................................ 54

4.2.2 Controlador H∞ - Rejeitar pertubação ............................... 56

4.2.3 Controlador H∞ Aumentado - Seguir referência................... 57

4.2.4 Controlador H∞ Aumentado com Integral do erro - Seguir

referência .................................................................... 58

5 ANÁLISES DE DESEMPENHO DOS CONTROLADORES PROJETADOS. . . . 61

5.1 Tempo de acomodação .............................................................. 61

5.2 Comportamento do sistema sujeito a pertubações ........................... 62

5.3 Erro em regime permanente da planta com o controlador para seguir

referência ................................................................................ 65

5.4 Testes de bancada .................................................................... 66

5.4.1 Controlador Estabilizante................................................ 69

5.4.2 Controlador para seguir referência com integral do erro ........ 70

5.4.3 Controlador para seguir referência.................................... 71

6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1 Conclusões.............................................................................. 77

6.2 Melhorias e Trabalhos futuros ...................................................... 78

7 ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1 Anexo I ................................................................................... 79

7.2 Anexo II .................................................................................. 82

7.2.1 Lista de materiais para construção dos módulos.................. 82

7.2.2 Montagem dos módulos ................................................. 82

7.3 Anexo III ................................................................................. 83

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

23

1 INTRODUÇÃO

1.1 ESTADO DA ARTE

Sistemas de controle estão altamente presentes na sociedade moderna, eles são considera-

dos como subsistemas e processos construídos com propósitode regular ou manipular alguma

variável seja ela, fluxo de energia, informação, dinheiro entre outros [Brogan 1982]. Esses

sistemas são utilizados em uma extensa gama de aplicações, que vão desde aviões, naves espa-

ciais e robôs, controle de processos industriais e hospitalares até aplicações mais simples como

automação residencial. Na industria, são principalmente utilizados para controle de tempera-

tura, pressão, umidade, granulometria, velocidade, potência, posição, entre outras variáveis que

influenciam no processo ou na qualidade do produto.

De modo geral, os sistemas de controle são utilizados por quatro razões principais, são

elas: a amplificação de potência, muito utilizada, por exemplo, em antenas que exigem alta

potência, no qual o sistema deve ser capaz de regular a energia necessária realizando um ganho

em potência; controle remoto, muito útil em locais remotos ou onde a habilidade humana não

é suficiente; conveniência da forma de entrada, pelo qual se torna possível alterar a forma da

entrada ou saída. E a quarta razão é a compensação de perturbações, em que o sistema se torna

capaz de fornecer a saída correta mesmo com a presença de interferências [Nise 2007].

As vantagens da utilização de sistemas de controle são vastas. Com eles, por exemplo, é

possível movimentar equipamentos de grande porte com alta precisão. O que não seria possível

caso esses equipamentos fossem controlados por pessoas, pois dependendo da aplicação e local,

a operação poderia colocar a vida e saúde do operário em risco. O controle a longas distâncias

também mostra vantagens evidentes, por meio deles é possível controlar satélites e antenas, o

que seria manualmente impossível.

Por essa e outras razões, vários métodos de projeto de controladores tem sido desenvolvidos,

os quais dependem da aplicação e complexidade do sistema. Emsua grande maioria, os métodos

de projeto dependem do modelo matemático da planta, assim, énítida a importância de se obter

um modelo que represente bem a dinâmica do sistema a ser controlado [Brogan 1982].

Geralmente quando se realiza a modelagem de sistemas, considera-se que o modelo e o

24

comportamento da planta não se altera com o passar do tempo. Essas alterações mudam o

comportamento da planta podendo tornar-la instável, assimfazendo com que o controlador não

exerça sua função. Portanto, existe uma área da teoria de controle denominada controle robusto

que se dedica a estudar esses sistemas. Essa vertente lida com incertezas que podem existir

na própria planta ou na representação do modelo. Deste modo,ao se projetar um controlador

utilizando técnicas de controle robusto, o mesmo têm a capacidade de superar pequenas diferen-

ças entre o modelo real da planta e o modelo nominal utilizadopara realizar o projeto [Brogan

1982].

1.1.1 Controle

As teorias de controle são utilizadas principalmente em processos físicos, nos quais o con-

trolador exerce a função de regular algum tipo de parâmetro.Um dos primeiros sistemas de

controle em malha fechada de que se tem notícia foi a válvula governadora de James Watt,

utilizada para regular a velocidade de máquinas a vapor, as quais alcançaram uma maturidade

de desenvolvimento por volta de 1783 [Villaça e Silveira 2013]. Um exemplo de seu uso pode

ser visto na Figura 1.1. A válvula era utilizada para regulara velocidade do motor a vapor da

Tower Bridge em Londres.

A Teoria de Controle Clássico surgiu nas décadas de 40 e 50, naqual desenvolram-se,

principalmente, estudos no domínio da frequência focados em sistemas SISO, uma entrada e

uma saída (do inglês,Single Input, Single Output). Dentre algumas técnicas se destacam a

resposta em frequência, o lugar das raízes, o critério de estabilidade de Routh, o diagrama de

Nichols e o critério de estabilidade de Nyquist [Nise 2007].

Na Figura 1.2, está representado a forma geral de controle emmalha aberta, no qual, o sinal

de controle enviado ao processo é selecionado a partir dos objetivos e de um conhecimento a

priori do processo. Nota-se também que a saída do sistema não influência na entrada, deste

modo caso ocorra algum distúrbio no sistema a saída não possuirá o comportamento desejado

[Brogan 1982].

Outra estratégia de controle é o emprego de sistemas em malhafechada ou realimentados

(Figura 1.3). Ao contrário do sistema em malha aberta, o sinal de controle é modificado pela

informação do comportamento da saída do sistema. Essa configuração é capaz de lidar com

distúrbios e incertezas sobre o comportamento do sistema dinâmico [Brogan 1982].

25

Figura 1.1: Válvula reguladora de Watt usada na Tower Bridgeem Londres.

Fonte: Próprio autor, 2014.

Os controladores têm por finalidade atender alguma especificação pré-estabelecida. Em al-

guns casos, o principal objetivo é garantir a estabilidade do sistema, que pode ser analisada

aplicando o método do lugar das raízes desenvolvido por Evans no final dos anos 50, ou sim-

plesmente observando as margens de ganho e fase, considerando os conceitos de fase mínima

e não mínima. No entanto essas estratégias se tornam inaplicáveis se os sistemas forem não

lineares ou lineares e variantes no tempo. Para esses casos,emprega-se o método direto de

Lyapunov cujo objetivo é analisar a estabilidade do sistemaem análise.

Com o decorrer do tempo, os sistemas e as exigências se tornavam cada vez mais comple-

xos, aumentando exponencialmente o custo matemático e, em muitas vezes tornando o cálculo

inviável. Essa situação mudou na década de 60 com o surgimento dos computadores digitais

com alta velocidade de processamento, viabilizando assim aanálise no domínio do tempo de

sistemas multivariáveis. E justamente para atender a demanda imposta pelas aplicações indus-

triais, em que os sistemas eram na grande maioria múltiplas-entradas-múltiplas-saídas (MIMO,

do inglêsMultiple Input Multiple Output), causou o desenvolvimento do que se chama hoje de

26

Figura 1.2: Sistema de controle em malha aberta.

Fonte: Adaptada [Nise 2007].

Figura 1.3: Sistema de controle em malha fechada.

Fonte: Adaptada [Nise 2007].

controle moderno. A partir dessa década as modelagens se desenvolveram principalmente sob

a representação em espaço de estados, as formas canônicas e os conceitos de controlabilidade

e observabilidade, técnicas de alocação de polos introduzidas respectivamente por Kalman e

Ackermann [Santos 2005].

As técnicas de controle ótimo representadas, no domínio do tempo, pelos métodos LQR (do

inglês, Regulador Linear Quadrático) e LQG (do inglês, Regulador Linear Quadrático Gaussi-

ano) e, no domínio da frequência, pelos métodosH2 eH∞, despontaram na década de 70. Nas

referidas técnicas, considerava-se que a planta estaria bem representada por um modelo nomi-

nal. O controlador projetado atendia às especificações de desempenho para o modelo nominal

de maneira ótima. Entretanto, na modelagem de plantas, não era levado em conta a possibi-

lidade de modificações do modelo da planta em função de perturbações e distúrbios. Como

solução para esses problemas, surgiu na década de 80 o conceito de robustez em estabilidade, a

partir daí foram considerados as perturbações e distúrbiosque atingem o modelo nominal [Zu-

ben 2003].

27

Tabela 1.1: Síntese do desenvolvimento da teoria de controle

Controle Clássico

1930 - 1960

Controle Moderno

1960 - 1980

Controle Robusto

1980 - dias atuais

ParadigmaDomínio da frequência

SISO

Domínio do tempo

MIMO

Domínio da frequência,

com modelos por espaço

de estados

Análise

Diagramas de Bode

Critério de Nyquist

Critério de Routh-Hurwitz

Lugar das Raízes (Evans)

Margens de Ganho e Fase

Modelo por Espaço de

Estados

Controlabilidade

Observabilidade

Processos Estocásticos

Decomposição em Valores

Singulares

Análiseµ

Fatorização Espectral

Desigualdades Matriciais

SínteseControladores PID

Compensação Lead-Lag

Filtro de Kalman

LQR

LQG

SínteseH∞

SínteseH2

Sínteseµ

Fonte: Adaptado [Zuben 2003].

De forma sintética, a Tabela 1.1 mostra a teoria de controle dividida nos três períodos mais

significativos, levando em conta o paradigma da época, a forma de realizar as análises e como

executar a síntese dos controladores.

1.1.2 Controle Robusto

A grande maioria dos projetos de controladores se dão a partir do modelo do sistema ou

planta, ou seja, depende diretamente de quão próximo do sistema real esse modelo se apresenta.

Assim quanto melhor for o modelo, melhor será o desempenho docontrolador. No entanto,

esse tipo de projeto não prevê modificações no comportamentoda planta, seja por perturbações

externas, erros em função de variáveis ignoradas no processo de modelagem, ou pela presença

de incertezas no sistema que mudam seu comportamento.

Estudos sobre controle robusto começaram a se desenvolver no final dos anos 70 [Dullerud

e Paganini 2013]. Essa teoria visa a garantia da estabilidade (como no controle clássico), o

atendimento de critérios de desempenho ótimos (como no controle ótimo) e devem garantir

esses critérios mesmo na presença de incertezas no modelo daplanta, na operação dos sensores

28

e atuadores ou na própria dinâmica do sistema [Zuben 2003].

Assim a categoria de controladores robustos tem como objetivo manter a saída do sistema

como desejada, mesmo que alguma perturbação ou mudança aconteça na planta. Esse fato faz

com que o sistema como um todo seja muito mais confiável e seguro. O que é desejado em

diversas aplicações, principalmente naquelas que exigem precisão. De modo geral, um sistema

é robusto, quando a sensibilidade e a mudanças à perturbações é baixa [Dorf e Bishop 2001].

Como descrito anteriormente, a teoria de controle robusto apresenta muitas vantagens em

relação às aplicações indústrias. O que pode ser questionado, se de fato essa vertente apresenta

vantagens, pois no ramo industrial ainda se utiliza as ferramentas de controle clássico. Isso

pode ser explicado por dois motivos principais, sendo eles,inércia e custo, ambos entrelaçados

pois a mudança gera custo. Além disso, as técnicas utilizadas atualmente atendem o processo

sem influir fortemente na produtividade, assim a justificativa de se gastar com alguma melhoria

não seria aprovada. Outros motivos, estão relacionados à escassez de mão de obra qualificada,

principalmente aplicada a processos industriais, e a idealização acadêmica, pelo fato de muitos

resultados publicados não considerarem as limitações práticas vinculadas a realidade e imple-

mentação [Zuben 2003].

Neste trabalho, serão utilizadas LMIs (Desigualdades Matriciais Lineares, do inglêsLinear

Matrix Inequalities), as quais tiveram seu primeiro registro em 1890 no trabalhode Lyapu-

nov [Boyd et al. 1994]. Posteriormente surge uma solução analítica para a LMI de Lyapunov

via equação de Lyapunov. O uso de LMIs permite que uma grande variedade de problemas de

controle possam ser reduzidos a problems de otimização convexa ou quase convexa envolvendo

desigualdades matriciais lineares. Os problemas de otimização podem ser resolvidos numeri-

camente de forma eficiente, usando métodos de pontos interiores. Visto as vantagens do uso

das LMIs, despontou a possibilidade de sua aplicação para problemas reais de engenharia de

controle.

No começo eram utilizadas pequenas LMIs que eram resolvidasa mão, o que limitava seu

uso. Por volta de 1980, surgiu a possibilidade de se solucionar as LMIS em computadores por

programas convexos, assim facilitando e expandindo o uso das mesmas [Boyd et al. 1994]. Al-

guns trabalhos utilizando a teoria de Lyapunov em aplicações para sistemas de potência podem

ser observados em [Pai e Sauer 1989] e [Barbazelli 2005].

29

1.2 JUSTIFICATIVA

Em sistemas controlados, principalmente industriais, nosquais a saída da planta deve seguir

níveis de exigências é imprescindível que a planta tenha um modelo bem definido e estável. No

entanto, nem sempre é possível obter um bom modelo e/ou evitar que o mesmo sofra alterações

de variáveis ou até mesmo falha de algum sensor ou atuador. Desse modo, uma das motivações

deste trabalho é desenvolver controladores utilizando técnicas de controle robusto para que a

saída da planta seja estável e atenda as especificações determinadas.

Nas disciplinas de modelagem e controle, as simulações realizadas emsoftwaresde pro-

gramação são comumente utilizadas como a ferramenta principal de aplicação dos conceitos

aprendidos. No entanto, é notável o grande potencial e a necessidade da realização de ativi-

dades práticas, pois elas, além de prover uma consolidação teórica, aproximam o aluno das

dificuldades presentes nas execuções dos projetos no plano não ideal. Por isso, uma das moti-

vações deste trabalho se trata do projeto e construção de um módulo didático incerto a fim de

aproximar a teoria da prática.

1.3 OBJETIVOS

O objetivo deste trabalho é implementar e construir um módulo dinâmico sujeito a incertezas

de baixo custo e, em seguida projetar controladores aplicando técnicas de controle robusto.

1.3.1 Objetivos específicos

• Realizar revisão bibliográfica sobre estabilidade, LMIs, uso das funções de custo garan-

tido para projeto de controladores;

• Construir o módulo de forma didática, para ser disponibilizado para o laboratório de

controle e automação da UFOP;

• Utilizar a teoria de Lyapunov para projetar um controlador estabilizante;

• Utilizar condições de síntese de custo garantido da normaH∞, para projetar um contro-

lador para rejeitar pertubação, um para seguir referência,e um para seguir referência com

ação integral;

30

• Simular todas as configurações em malha fechada utilizando osoftware PROTEUS;

• Obter resultados que concretizem a funcionalidade e a eficiência do módulo e das técnicas

aplicadas.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho foi estruturado em 5 capítulos que visam, individualmente, a consecução de

objetivos específicos, mas, de forma conjunta, permitem queo objetivo apresentado anterior-

mente seja atingido.

O Capítulo 2 trata, essencialmente, da revisão bibliográfica do trabalho e foi elaborado

objetivando o fornecimento de informações úteis à compreensão deste trabalho.

No Capítulo 3, são apresentadas uma fundamentação teórica eas metodologias para os

projetos dos controladores.

No Capítulo 4, são apresentados os desenvolvimentos e métodos utilizados para a elabora-

ção do módulo e dos controladores propostos neste trabalho.Desta forma, este capítulo apre-

senta detalhadamente a descrição do sistema desenvolvido,sua modelagem, seu funcionamento

e as ferramentas úteis à sua implementação.

O projeto desenvolvido sob proposta acadêmica visa à elaboração de um dispositivo que se

torna instável facilmente. De posse de todo o embasamento teórico fornecido pelos capítulos

prévios, o Capítulo 5 destina-se a descrever os processos utilizados e os resultados obtidos pelo

sistema proposto. Os resultados são detalhados conjuntamente com seus respectivos métodos de

obtenção, de maneira que se possa avaliar coerentemente a validade e a qualidade dos resultados

obtidos. Idealiza-se que, até esta etapa de estudo, todos osconceitos relativos à análise dos

sistemas expostos estejam estabelecidos.

Finalmente, o Capítulo 6 destina-se ao registro das conclusões finais do trabalho e das prin-

cipais contribuições deste trabalho, e à indicação de sugestões para o desenvolvimento de tra-

balhos futuros que acrescentem valor ao sistema explorado.

31

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Sistemas de controle são utilizados em diversos lugares comdiferentes aplicações, princi-

palmente nas indústrias químicas, automobilísticas e em todas que envolvem tecnologia. Para

qualquer tipo de aplicação é esperado que os controladores gerem respostas adequadas, ate-

nuem ou eliminem perturbações e que o mesmo seja robusto, ou seja, que garanta um nível de

desempenho quando o sistema estiver sujeito a variações diversas.

Um bom projeto depende de vários conceitos e condições que auxiliam e levam a uma

boa execução. Dessa forma, uma base fundamentada é de extrema importância. A seguir são

explicitados alguns dos principais conceitos teóricos utilizados na a execução e construção do

módulo didático e implementação dos controladores.

2.1 FUNDAMENTAÇÃO INICIAL

Um conceito frequentemente utilizado neste trabalho está ligado a positividade de matrizes,

pois é extensivamente utilizado pelo teorema de estabilidade de Lyapunov. Deste modo, define-

se que uma matrizM é definida positiva quandoxTMx > 0, ∀x 6= 0, x∗ ∈ Cn. E quando a

solução trivial faz parte do conjunto de soluções, a matriz édita como semidefinida positiva, ou

seja,xtMx ≥ 0, ∀x 6= 0, x∗ ∈ Cn [Júdice e Patrício 1996].

De forma alternativa pode-se chegar a positividade da matriz atendendo somente uma das

seguintes condições:

• Todos os autovalores deM devem ser positivos;

• Todos os menores principais líderes deM devem ser positivos;

• Se existir uma matriz não singularN ∈ Rn×n, tal queM = N ∗N ;

• Autovalores, traço, determinante e menores principais positivos.

32

2.2 CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE

O conceito de controlabilidade é essencial para o projeto decontroladores estabilizantes

usando realimentação de estado. Um sistema instável, mas controlável, pode ser estabilizado e,

consequentemente, controlado. Por isso, a importância desse conceito para o presente trabalho,

pois os controladores a serem desenvolvidos para a planta projetada serão por realimentação de

estados.

Dado um sistema contínuo de ordemn,

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t), (2.1)

em que A é a matriz dinâmica do sistema, B é a matriz de entrada,C é a matriz de saída e D é a

matriz de transmissão direta. Exi exf pontos do espaço de estados, o sistema é controlável se

e somente se existe um sinal de controleu(t), definido no intervalo finito [t0, t0 + τ ], que leve

o estado do pontoxi = x(t0) para o pontoxf = x(t0 + τ), ondet0 e τ são números reais, tais

que,τ ≥ 0 [Dullerud e Paganini 2013].

A planta é controlável se o posto de linhas da matriz de controlabilidadeΘ (2.2) for com-

pleto. Assim para o caso do sistema de ordemn, será controlável se o posto da matriz de

controlabilidade forn.

Θ =[B AB A2B ... A(n−1)B

]. (2.2)

Para a execução de esquemas de seguimento robusto de referência, é necessário a utilização

de controle por realimentação de estados. Quando o estado não é mensurável pode-se utilizar

uma ferramenta, conhecida como observador de estado, que estima as variáveis de estado com

base nos sinais de entrada e saída do sistema. Para essa aplicação é necessário que o sistema

seja observável.

Dado um sistema contínuo de ordemn mostrado na Equação (2.1), é observável quando

existe um número real e finitoτ tal que o estado inicialx(0) possa ser determinado a partir

deu(t) e y(t) para 0≤ t ≤ τ . O sistema será observável se o posto de colunas da matriz de

observabilidade (2.3) for completo. Assim para sistemas deordemn, o posto de colunas da

matriz de observabilidade deve ser igual an [Brogan 1982].

33

Φ =

C

CA...

CA(n−1)

. (2.3)

2.3 DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES — LMI

Por volta de 1890, Lyapunov publicou seus principais trabalhos, conhecida atualmente como

Teoria de Lyapunov [Boyd et al. 1994]. Ele mostrou que a equação diferencial,ddtx(t) = Ax(t),

é estável (todas as trajetórias convergem para zero), se e somente se existir uma matriz definida

positivaP que atende a Equação (2.4). O requerimentoP > 0 e da Equação 2.4 é chamado de

desigualdade de Lyapunov emP .

ATP + PA < 0 (2.4)

Dada umaQ = QT > 0, se a equação linearATP + PA = −Q tiver uma soluçãoP > 0

(P definida positiva), então o sistemaA é estável. Em 1940, Lur’e, Postnikov, entre outros na

União Soviética, aplicaram o método de Lyapunov em alguns problemas práticos em engenharia

de controle, especialmente em problemas de estabilidade desistemas de controle.

Outro grande passo foi em 1960 quando Yakubovich, Popov, Kalman e outros pesquisadores

conseguiram reduzir a solução das LMIs que surgiram no problema de Lur’e com critérios

gráficos simples, usando o que hoje chamamos de Lema da Positividade Real. Isto resultou no

célebre critério Popov, o critério do círculo, o critério deTsípkin, e muitas variações [Boyd et

al. 1994].

2.4 ESTABILIDADE

A estabilidade é a especificação mais importante de um sistema, pois sem ela, os outros

critérios, como resposta transiente e os erros do estado estacionário, não têm significado. Assim

sem ela não é possível realizar o projeto de controladores usuais que atendam uma resposta

transiente específica ou um requisito de erro de estado estacionário [Ogata 2001].

34

Existem diversas definições de estabilidade, a mais utilizada principalmente em cursos de

graduação é a estabilidade BIBO(do inglês, Bounded Input / Bounded Output), a qual define

que para qualquer entrada limitada aplicada ao sistema, a saída gerada será limitada. Caso

alguma entrada gere uma saída ilimitada, o sistema é considerado instável [Lathi et al. 2005].

2.4.1 Estabilidade no sentido de Lyapunov — Estabilidade in terna

A estabilidade BIBO ignora completamente o comportamento interno dos estados do sis-

tema. No presente trabalho, a preocupação é com a estabilidade interna, ou seja, com o com-

portamento dos estados em torno de um ponto de equilíbrio.

Desse modo, um ponto de equilíbrio é dito estável se, para todo ξ > 0, existir umδ > 0, tal

que atenda,‖x(0)‖ < δ → ‖x(t)‖ < ξ, ∀t. Caso contrário, o ponto é dito instável. Quando o

ponto é estável, e pode-se escolher um valorδ tal que atenda a Equação (2.5). Nesse caso, ele é

definido como assintoticamente estável [Dullerud e Paganini 2013].

‖x(0)‖ < δ → limt→∞

x(t) = 0 (2.5)

Graficamente, se torna mais fácil a compreensão de estabilidade. Pelo gráfico disposto na

Figura 2.1 é possível notar quex(t) é sempre menor que a região eps (ou pelas fórmulas acima

regiãoξ), ou seja, quandot tende ao infinito a saída permanece limitada à região. O que não

ocorre no gráfico disposto na Figura 2.2, no qual os estadosx(t) ultrapassam o valor da região

eps tendendo a infinito.

Figura 2.1: Ponto de equilíbrio estável.

Fonte: Notas de aula de Controle usando lógica nebulosa do Prof. Víctor Costa, 2016.

Na Figura 2.3 os estados sempre permanecem dentro da região eps (ξ) eδ, e tendem a origem

35

Figura 2.2: Ponto de equilíbrio instável.


Figura 2.3: Ponto de equilíbrio assintoticamente estável.


à medida que o tempo tente ao infinito. Caracterizando um ponto de equilíbrio assintoticamente

estável.

Uma forma de se confirmar a estabilidade se dá calculando todas as trajetórias possíveis

em torno do ponto de equilíbrio e verificando se as especificações discutidas anteriormente

são atendidas. Essa abordagem pode mostrar-se muito complexa ou até mesmo impossível em

alguns casos devido ao número de soluções. Outra possibilidade para se verificar a estabilidade

de um ponto de equilíbrio, sem ter de calcular as soluções da equação diferencial do sistema, é

por meio dos Teoremas de Estabilidade de Lyapunov.

36

2.4.2 Teorema de Estabilidade de Lyapunov (Método Direto) - Sistemas Autô-

nomos

Primeiramente, são ditos sistemas autônomos aqueles que o campo vetorial no espaço de

estados, independe explicitamente do tempo, ou seja,x = f(x).

Considere a origem (x = 0) um ponto de equilíbrio do sistema eD ⊂ Rn (uma região

que inclui a origem). Assim se existir uma funçãoV (x) : D → R, tal que atenda,V (0) = 0,

V (x) > 0, ∀x 6= 0 e V (0) = 0, V (x) < 0, o ponto de equilíbrio é estável no sentido de

Lyapunov [Pai e Sauer 1989].

Se a derivada temporal da função candidata for somente menorque zero (V (0) = 0, V (x) <

0), ou seja, definida negativa o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável. Deste modo,

qualquer função que atenda as condições do teorema é chamadade função de Lyapunov [Pai e

Sauer 1989].

De modo geral, o teorema diz que se for encontrada uma função semelhante à energia do

sistema (definida positiva) cuja derivada temporal é sempremenor ou igual a zero, então a

origem do sistema é estável. Se essa derivada for sempre menor do que zero, então o sistema é

assintoticamente estável.

2.5 SISTEMAS INCERTOS

Sistemas incertos são sistemas que possuem parâmetros que podem variar ou não no tempo

dentro de uma faixa de valores possíveis. Tais variações podem mudar a dinâmica da planta

e levar a ineficiência de controladores que são projetados para um certo comportamento. Para

esse tipo de planta o modelo de incerteza pode ser expresso por diferentes formas [Zuben 2003],

sendo elas:

• Por intervalo de valores para os parâmetros físicos da planta (representação politópica);

• Por limites de variação no perfil de resposta em frequência;

• Por região de localização dos polos e zeros da planta.

No presente trabalho será utilizada a representação politópica que leva em conta um inter-

valo finito de possibilidades. A representação é descrita por x = (A +∑r

i=1 αiAi)x + (B +

37

∑r

i=1 αiB)u. Na qual se observa uma parte fixa dos parâmetros somada com uma que é in-

certa [Dorf e Bishop 2001].

Em uma representação politópica, considera-se que a dinâmica de um sistema é representada

pelo fecho convexo de várias representações lineares. Assim a representação pode ser escrita

da forma:

x = α1 (A1x+B1u) + α2 (A2x+B2u) + . . .+ αr (Arx+Bru) . (2.6)

Assim quando é conhecido os limites em que as incertezas variam, a representação do sis-

tema pode ser realizada pela combinação das possibilidadesde todos os limitantes de cada

incerteza. Ou seja, se a planta possuin parâmetros incertos, a sua representação será por2n

matrizes de possibilidades.

39

3 CONTROLADORES

Neste trabalho foram implementados quatro controladores por realimentação de estados.

Então este capítulo é dedicado à descrição detalhada das teorias e dos os métodos utilizados

para a realização dos projetos.

3.1 ESTABILIZABILIDADE

O controlador descrito nesta sessão tem como objetivo estabilizar uma planta ou sistema

que esteja instável. A configuração controlador-planta é daforma disposta na Figura 3.1, na

qual observa-se o vetor de estados do sistemax(t), o sinal de controleu(t) e o vetor de saída

y(t).

Figura 3.1: Diagrama de blocos da configuração planta-controlador.

Fonte: Adaptado [Nise 2007].

ConsiderandoA,B,C eD, as matrizes que representam a dinâmica do sistema, descreve-se

o comportamento do sistema como:

x(t) = Ax(t) +Bu(t),

y(t) = Cx(t) +Du(t).

Para estabilizar a planta será utilizado a lei de controleu(t) = Kx(t), ondeK é o con-

trolador. Substituindo a lei de controle na representação em espaço de estados descrita acima,

encontram a as equações em malha fechada,

˙x(t) = (A +BK)x(t),

y(t) = (C +DK)x(t).

40

Utilizando a teoria de estabilidade de Lyapunov (Capítulo 2), escolheu-se a função de Lya-

punov candidataV = xTPx, em queP > 0. Procura-se condições para garantir queV < 0.

Assim tem-se que,V = xTPx+ xTP x < 0. Realizando as respectivas substituições e simpli-

ficações emV , encontra-se a inequação não linear disposta na Equação (3.1).

V = xT(ATP + PA+KTBTP + PBK

)x < 0,

ATP + PA+KTBTP + PBK < 0. (3.1)

Visto que a Equação (3.1) não é linear, realiza-se algumas manipulações para chegar a uma

desigualdade linear. Assim, multiplica-se a desigualdade(3.1) à esquerda e à direita porP−1.

Em seguida, definindo a seguinte substituiçãoX = KP−1, e aplicando em (3.1), tem-se:

AP−1 + P−1AT +BX +XTBT < 0. (3.2)

Note que a equação (3.2) é uma desigualdade de Lyapunov e que atransformação linearizante

pode ser reescrita comoK = XP , a qual é utilizada para encontrar o controladorK.

Por fim, definindoP−1 = Y , comY > 0 e aplicando em (3.2), tem-se:

AY + Y AT +BX +XTBT < 0, (3.3)

que é utilizada para encontrar o controladorK que estabiliza a planta.

3.2 CONTROLADOR H∞ PARA REJEITAR PERTUBAÇÃO

Para o projeto de um controlador que rejeite pertubação, sãonecessárias algumas informa-

ções iniciais. A primeira delas é o conceito de norma, a qual pode ser de sinal, vetor ou matriz.

Norma nada mais é que uma forma de medida e pode ser calculada de diferentes formas.

A norma de interesse deste trabalho é a normaH∞ ou norma£2 induzida. Ela indica o

maior ganho (pico de energia, Figura 3.2) que o sistema gera.Ou seja, é capaz de monitorar a

energia do sistema de interesse e, assim, verificar a eficiência do sistema de controle [Trofino,

Barbosa e Coutinho 2000].

41

Ela é muito utilizada como uma função de custo do sistema a serminimizada. No caso de

projetos de controleH∞ é considerado o pior caso de operação e o objetivo é minimizaro pico

de energia da função de transferência no domínio da frequência do sistema analisado. E para

sistemas incertos ou com pertubações, como o deste trabalho, pode-se utilizar a função de custo

garantido para análise de desempenho, em que ao invés de minimizar a normaH∞, minimiza-se

um limitante superior da norma. Assim garantindo que o sistema incerto atenda o limitante (por

isso o nome custo garantido).

Figura 3.2: Diagrama de bode de um sinal.

Fonte: [Trofino, Barbosa e Coutinho 2000].

A Equação‖G‖∞ = max‖z‖2‖w‖2

6 γ é definida para encontrar a normaH∞ dew paraz do

sistema linear descrito por

x(t) = Ax(t) +Bww(t),

z(t) = Czx(t) +Dww(t), (3.4)

no qualw é a entrada com distúrbio ez a saída do sistema.

A seguir são apresentados os passos necessários para encontrar o controlador. Os quais

podem ser obtidos adaptando a teoria e metodologia apresentada em Dullerud e Paganini (2013)

para a obtenção do problema de otimizaçãoH∞ via LMIs.

Dado a Equação (3.5), multiplica-se ambos os lados por1γ

e, pela definição de norma, a

mesma equação pode ser descrita como disposto na Equação (3.6). Na qual é somada em ambos

os lados, dentro da integral, a função de LyapunovV (x), como disposto na Equação (3.7).

42

||z(t)||22 ≤ γ2||w(t)||22, w(t) ∈ L2, (3.5)

1

γ

∫ ∞

0

z(τ)T z(τ)dτ ≤ γ

∫ ∞

0

w(τ)Tw(τ)dτ. (3.6)

∫ ∞

0

(1

γz(τ)T z(τ)− γw(τ)Tw(τ) + V (τ)

)d(τ) ≤

∫ ∞

0

V (τ)d(τ) (3.7)

Analisando a integral do lado direito, pode-se dizer que elaé nula, pois pode ser escrita

como:V (∞)− V (0). Sabe-se que o sistema sistema é relaxado, ou seja, as condições iniciais

são nulas e, para valores no infinito, a função tende a zero porser considerado apenas sistemas

estáveis. Assim, (3.7) reduz-se a

V +1

γzT z − γwTw < 0. (3.8)

Substituindo (3.4) em (3.8), chega-se a presente Equação (3.9).

[xT wT

]A

TP + PA PBw

∗ −γI

+

[Cz Dw

] 1

γI

Cz

Dw

x

w

< 0 (3.9)

Em seguida, aplicando o complemento de Schur, tem-se

ATP + PA PBw CTz

∗ −γI DTw

∗ ∗ −γI

< 0, P > 0. (3.10)

Encontrada a LMI de análise o próximo passo é obter a LMI de síntese do controlador. O

esquema em malha fechada pode ser observado pela Figura 3.3.

Utilizando a lei de controleu = Kx, em queK é o controlador, realiza-se a substituição

para encontrar a função em malha fechada do sistema à ser utilizada na LMI disposta na Equa-

ção (3.10). Deste modo, depois de algumas manipulações, encontra-se a LMI de síntese do

controlador disposta na Equação (3.11).

AX +XAT +BY + Y TBT Bw XCTz + Y TDT

z

∗ −γI DTw

∗ ∗ −γI

< 0, X > 0. (3.11)

43

Figura 3.3: Esquema em diagrama de blocos do controlador para rejeitar pertubação.

Fonte: Adaptado [Dullerud e Paganini 2013].

Desse modo, os ganhos do controlador para rejeitar pertubação podem ser obtidos porK =

Y X−1.

3.3 CONTROLADOR H∞ AUMENTADO PARA SEGUIR REFERÊN-

CIA

Nesta seção será descrito o projeto do controlador para seguir referência. O modelo do

controlador está esquematizado na Figura 3.4. Ou seja, diferentemente dos apresentados an-

teriormente, esse controlador recebe duas variáveis a mais, sendo elas, o sinal de referência

desejador e as variáveis de estado do modelo de referênciaxr.

Ainda pela Figura 3.4, pode-se observar que a saídaz utilizada é a diferença entre o sinal

desejado e a saída real da planta (erro). Deste modo, o controlador tem o objetivo de minimizar

‖z‖∞, ou seja, o erro. Em síntese, para encontrar o controlador, oprimeiro passo é encontrar

o novo modelo em espaço de estados do sistema, adicionado as novas variáveis, obtendo assim

um modelo aumentado. Em seguida, definir a lei de controle e, por fim, substituir as matrizes

aumentadas na LMI de análise descrita no projeto do controlador H∞ para seguir referência.

Deste modo, encontra-se a LMI de síntese do controlador, todo esse processo está disposto

detalhadamente a seguir.

Inserindo as novas variáveis no sistema, e definindo que as matrizes aumentadas, como por

44

Figura 3.4: Diagrama de blocos do controlador com referência.


exemplo a matriz A, será nomeada comoA e assim por diante para as demais matrizes e vetores,

então tem-se que:

A =

A 0

0 Ar

, B =

B0

, Br =

BN

Br

, C =

[C −Cr

]eD = [Du +Dr].

Assim o novo modelo se apresenta da forma disposta em (3.4), observa-se a nova variável

de estadoxr, o sinal de referênciar e oN que representa umfeedforward. x

xr

=

A 0

0 Ar

x

xr

+

B0

u+

BN

Br

r,

z =[C −Cr

] x

xr

+ (Du +Dr)r. (3.12)

Portando, de forma análoga, a representação do modelo em espaço de estados pode ser

observada na Equação (3.13).

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Br

, z(t) = Cx(t) + Dr. (3.13)

Definido a lei de controle como:

u =[K1 K2

] x

xr

= Kx,

45

realiza-se as contas para encontrar a equação em malha fechada do sistema. Feito isso, obtém-

se:

˙x = (A + BK)x+ ¯Bwr,

z = (Cz + DK)x+DNr.

Dado as equações em malha fechada, o próximo passo é realizaras devidas substituições na

LMI de análise para gerar a LMI de síntese. Feito isso, encontra-se a LMI disposta na Equação

(3.14).

ATP + PA+ KT BTP + PBK P Bw CzT+ KTDT

∗ −γI DN

∗ ∗ −γI

< 0. (3.14)

No entanto, a Equação (3.14) não é linear, deste modo faz-se uma transformação linearizante

em queX = P−1 e Y = KP−1. Assim encontrando a LMI de síntese do controlador para

seguir referência.

AX +XAT + BY + Y T B Bw XCZT+ Y TDT

∗ −γI DN

∗ ∗ −γI

< 0, X > 0. (3.15)

3.4 CONTROLADOR H∞ AUMENTADO COM INTEGRAL DO ERRO

Idealmente, deseja-se que o sistema apresente erro nulo em regime permanente. Assim, para

melhorar o erro em regime permanente, foi adicionado um bloco integrador ao sistema, como

disposto na Figura 3.5.

Como disposto na Figura 3.5, o controlador receberá mais umavariável. Assim o processo

para se obter o novo controlador segue o mesmo projeto como noanterior. No qual o primeiro

passo é aumentar o sistema. Assim as matrizes aumentadas são:

A =

A 0 0

0 Ar 0

C −Cr 0

, B =

B

0

0

Br =

BN

Br

DN

, C =

[0 0 I

]eD = 0,

46

Figura 3.5: Diagrama de blocos do controlador com referência e integral do erro.


o que resultou nas Equações (3.16) e (3.17).

x

xr

xi

=

A 0 0

0 Ar 0

C −Cr 0

x

xr

xi

+

B

0

0

u+

BN

Br

DN

r (3.16)

z =[0 0 I

]

x

xr

xi

+ 0r (3.17)

Depois de levantar o modelo, define-se a lei de controle, que será de forma similar à lei do

controlador anterior com mais um ganho, assim a sua forma é:

u =[K1 K2 K3

]

x

xr

xi

= Kx.

Encontra-se a equação em malha fechada do sistema e substitui-se na LMI de análise para

gerar a LMI de síntese. Realizando as manipulações necessárias encontra-se a LMI de síntese

do controlador (Equação (3.18)).

AX +XAT + BY + Y T B Bw XCZT

∗ −γI 0

∗ ∗ −γI

< 0, X > 0. (3.18)

47

3.5 CONTROLADORES PARA SISTEMAS POLITÓPICOS

Para sistemas lineares incertos a estabilidade robusta pode ser garantida por uma função

de Lyapunov que seja uma solução factível para o conjunto de LMIs descritas nos vértices do

domínio de incertezas do sistema em questão [Leite et al. 2004]. O uso das LMIs para plantas

com incertezas politópicas pode ser observado em [Shaked 2001], [Leite et al. 2004] e [Fu, Ni

e Sun 2009].

Para o caso de sistema sujeitos a incertezas politópicas, pode-se extender todos os resultados

apresentados neste capítulo, bastando considerar que as restrições sejam válidas para todos os

vértices do sistema [Feron, Apkarian e Gahinet 1996].

49

4 DESENVOLVIMENTO E CONTROLE DE UM

MÓDULO DINÂMICO SUJEITO A INCERTEZAS

4.1 MÓDULO DINÂMICO INCERTO

A primeira parte deste trabalho foi dedicada ao projeto e construção de um módulo dinâmico

incerto de baixo custo, a qual foi desenvolvida em conjunto com a aluna Natália Augusto Ke-

les, do curso de Engenharia Elétrica da UFOP. O circuito projetado possui em sua composição

elementos passivos, tais como, resistores, capacitores e indutores, os quais compõem circui-

tos em sua grande maioria estáveis ou marginalmente estáveis [Boylestad e Nashelsky 1998].

Também foram utilizados elementos ativos (amplificadores operacionais) tornando possível a

permutação entre estabilidade e instabilidade, dependendo dos valores adotados.

A construção física dos módulos está disposta no Anexo II.

4.1.1 Desenvolvimento e modelagem em espaço de estados

O modelo proposto é formado basicamente por 4 estágios, são eles, circuito subtrator, cir-

cuito amplificador inverso, filtro passa-tudo, os quais estão dispostos na Figura 4.1 e, por fim,

um filtro passa baixa de segunda ordem (Figura 4.2).1

Figura 4.1: Configuração do primeiro módulo.


1Todos os desenhos de circuitos foram desenvolvidos no simuladorPSIM

50

Figura 4.2: Configuração do segundo módulo.


A modelagem do circuito foi realizada em espaço de estados, pois se mostra mais simples

quando o sistema tem múltiplas entradas e saídas. Além de permitir observar o comportamento

interno do sistema. Assim o modelo resultante tem a forma disposta na Equação (4.1). A

modelagem encontra-se no Anexo I).

x1

x2

x3

=

R3−R2

RC1(R2+R3)0 0

1RC2

( 2R2

R2+R3) −1

RC20

0 1RC3

(1 + R9

R) −1

RC3

x1

x2

x3

+

−R3

RC1(R2+R3)

1RC1

R3

(R2+R3)

0

u,

y =[0 0 2

]

x1

x2

x3

+

[0]u (4.1)

O circuito possui três estados, que são representados porx1, x2 e x3, que são as tensões

nos capacitoresC1, C2 eC3 respectivamente. As incertezas presentes na planta são represen-

tadas pelas resistênciasR2, R3 e R9 (Figuras 4.1 e 4.2), assim dependendo dos valores que

elas assumam, pode-se fazer com que o circuito se torne instável. Para melhor observar esse

comportamento, foi simulado no MATLAB algumas possibilidades de valores para ambos.

DefinidoR3 com um valor menor queR2, foi possível observar e comprovar a estabilidade

do sistema, conforme observado na Figura 4.3, na qual apresenta-se o lugar das raízes para a

configuração em queR3menorqueR2. O sistema possui um polo do lado esquerdo do eixo jω,

que caracteriza a estabilidade e um zero do lado direito do eixo imaginário, caracterizando um

51

sistema de fase não mínima. Igualando o valor deR3 aR2, o sistema se apresenta como de fase

não mínima e marginalmente estável, pois o polo se localiza em cima do eixo imaginário e o

zero permanece do lado direito do eixo jω. A partir da igualdade, qualquer valor queR3 assuma

maior queR2, o sistema permanece com a fase não mínima e torna-se instável pela existência

de um polo localizado à direita do eixo jω, como disposto na Figura 4.4.2

Figura 4.3: Lugar geométrico das raízes quandoR3 < R2.


Figura 4.4: Lugar geométrico das raízesR3 > R2.


2Simulações realizadas nosoftware MATLAB

52

4.1.2 Modelo Politópico da planta

Até o momento foi realizado a modelagem por espaço de estadosgeral do sistema, ou seja,

sem substituir os valores das variáveis. O próximo passo é encontrar o modelo que descreve

realmente o comportamento da planta.

O sistema possui três estágios incertos representados pelos potenciômetrosR2, R3 e R9

(Figuras 4.1 e 4.2). Assim neste trabalho o modelo de incertezas supõe que os valores dos

parâmetros físicos pertencem a um intervalo conhecido, isto é, estão limitados superior e infe-

riormente.

Para encontrar as matrizes que representam o polítopo de incerteza do sistema, considera-

mos queR2 eR3 variam de0 a 20K Ω eR9 de0 a10K Ω . Deste modo, o modelo politópico

será formado por 8 matrizes. De acordo com a teoria descrita no Capítulo 3, foi realizado no

MATLAB uma rotina para obter as matrizes que compõe o modelo real da planta, para isso ela

utiliza a combinação dos limites de cada incerteza. As matrizes geradas pelo código implemen-

tado, que representam a dinâmica da planta, estão dispostasabaixo. Elas serão utilizadas para

gerar os controladores nos métodos descritos nas próximas sessões.

A1 =

0 0 0

833.33 −833.33 0

0 834.02 −833.33

, A2 =

833,25 0 0

0,083 −833,33 0

0 834,02 −833,33

,

A3 =

833,25 0 0

0,083 −833,33 0

0 7777 −833,33

, A4 =

0 0 0

833,33 −833,33 0

0 7777 −833,33

,

A5 =

−833,25 0 0

1666 −833,33 0

0 834,02 −833,33

, A6 =

0 0 0

833,33 −83,333 0

0 834,02 −833,33

,

A7 =

−833,25 0 0

1666 −833,33 0

0 7777 −833,33

, A8 =

0 0 0

833.33 −833,33 0

0 7777 −833,33

.

53

B1 =

−416,66

416,66

0

, B2 =

−833,29

833,29

0

, B3 =

−833,29

833,29

0

, B4 =

−416,66

416,66

0

,

B5 =

−0,0417

0,0417

0

, B6 =

−416,66

416,66

0

, B7 =

−0,0417

0,0417

0

, B8 =

−416,66

416,66

0

.

4.1.3 Comportamento

Simulação

Como citado, a planta pode transitar da estabilidade para a instabilidade por meio de mo-

dificações dos valores dos potenciômetrosR2 e R3. Esse comportamento pode ser melhor

observado monitorando a saída do sistema. Para isso, foi realizado a implementação do circuito

nosoftwarePSIM.

O primeiro teste realizado foi para a configuração em queR2 = 5KΩ, R3 = 15KΩ e

R9 = 1,2KΩ. Deste modo como explicitado na sessão anterior pela análise de polos e zeros

o sistema deve se mostrar instável, para qualquer entrada limitada deve gerar uma saída ilimi-

tada, a qual será limitada pelo valor de saturação dos amplificares operacionais, ou seja,15V .

Para o teste sem entrada foi adicionado cargas iniciais em todos os capacitares da forma que

x(0)=[2, 1,−2]T , lembrando que o sistema está em malha aberta, obteve-se a saída disposta na

Figura 4.5.

Figura 4.5: Teste sem entrada aplicada para a configuração instável.


Para a configuração estável foi escolhido,R2 = 18KΩ,R3 = 12KΩ eR9 = 1,2KΩ, a saída

54

encontrada está disposta na Figura 4.6, por ela observa-se que quando a carga dos capacitores

esgotam o sistema apresenta saída nula, como deveria ser, pois não existe entrada. O que não

ocorre quando o sistema está na configuração instável, na qual a saída se mantém saturada

mesmo sem entrada para a mesma condição inicial (Figura 4.5 )

Figura 4.6: Teste sem entrada aplicada para a configuração estável.


4.2 CONTROLADORES ROBUSTOS

Para o desenvolvimento desta sessão foram utilizados osoftwareMATLAB e os pacotes

computacionaisSeDuMie Yalmip para implementar as rotinas de acordo com as teorias do

Capítulo 3 de projeto de controladores. Feito isso, foi utilizado osoftwarePSIM para simular

os controladores encontrados.

4.2.1 Controlador estabilizante

Desenvolvimento

Realizada a construção do módulo incerto, o primeiro controlador realizado é justamente

para manter o sistema sempre estável, sejam quais forem os valores queR2 eR3 assumam.

Para se obter o controlador estabilizante para o modelo da planta, utiliza-se a teoria explici-

tada no Capítulo 3 para sistemas com incerteza potitópica. Feito isso o seguinte vetor de ganhos

foi obtido:

K =[11,80 5,52 −0,39

].

55

De acordo com o controladorK encontrado, foi estruturado o esquema planta controlador,o

qual está disposto no Anexo III. O controlador é composto pordois estágios, um para inverter o

sinal de entrada, caso o ganho seja negativo, ou garantir o isolamento do circuito, caso o ganho

seja positivo. E o segundo para de fato realizar os ganhos. Demodo geral o controlador recebe

as tensões dos estados (Vc1, Vc2 e Vc3), realiza os respectivos ganhos e efetua a soma desses

sinais resultando no sinal de controle que será enviado paraa entrada do módulo dinâmico.

Comportamento - Simulado

Para conferir a efetividade do controlador foi simulado nosoftwarePSIM, o circuito está

disposto no Anexo III. Como o teste estabilizante será realizado sem entrada e o sistema pre-

cisa de um valor inicial para que a saída cresça ate saturar, para isso, foi adicionado como na

simulação anterior valores de carga nos três capacitores daplanta (x(0)=[2,1,− 1]T ).

Realizada a simulação para uma configuração em queR2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ eR9 =

1,2KΩ, foi obtido o sinal de saída disposto na Figura 4.7, por ela pode-se notar uma oscilação

até aproximadamente0,03 segundos e, em seguida, a saída vai pra zero, não se apresentando

saturada como no teste sem o controlador. Infere-se que o sistema se mostra estável mesmo

quandoR3 é maior queR2, confirmando a eficácia do controlador.

Figura 4.7: Saída (azul) e sinal de controle (vermelho) da simulação do módulo com controlador

estabilizante, em que,R2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ eR9 = 1,2KΩ.


56

4.2.2 Controlador H∞ - Rejeitar pertubação

Desenvolvimento

Utilizando a respectiva rotina implementada no MATLAB, de acordo com a LMI (3.11), e

as matrizes levantadas para o modelo potitópico, obteve-seo vetor de ganhos:

K =[237,4K 17,6M 1,6M

].

Seguindo os mesmos procedimentos empregados no controlador anterior, foi implementada

a estrutura do controlador, cuja composição está disposta no Anexo III.

Para verificar o comportamento do conjunto planta mais controlador quando existe pertuba-

ção no sistema, foi inserido um circuito somador entre o passa-tudo e o filtro passa baixa, assim

à saída do primeiro módulo é somado um sinal que representa uma pertubação e enviada para a

entrada do segundo módulo (filtro passa baixa).

Como o controlador é robusto, ele não necessariamente é o melhor controlador em todos

os pontos em termos de rejeição de pertubação. O controladorencontrado garante que todas

as saídas para as diferentes possibilidades respeitem o ganho encontrado. Ou seja, sempre

apresentaram amplitude menor que o custo garantido pelo controlador.

O melhor controlador encontrado, apresentou o custo garantido de 8,3. Desse modo, a

pertubação inserida no sistema apresentará um ganho de no máximo 8,3. Esse fato pode ser

melhor observado e discutido observando as saídas encontradas na simulação.


Para a configuração, em queR2 = 1K, R3 = 20K, R9 = 1,2K e uma pertubação em

forma de pulso com amplitude de1V e duração de0,1 segundo. O sistema em malha fechada

apresentou a resposta disposta na Figura 4.8. Por ela nota-se que o sinal de saída (curva em

azul) tem uma amplitude de1,8V . Respeitando assim o custo garantido encontrado e não

deixando o sistema saturar em nenhum dos momentos, antes durante e depois da pertubação, o

que ocorreria caso não existisse o controlador.

57

Figura 4.8: Saída da simulação do módulo com o controlador para rejeitar a pertubação (azul),

em queR2 = 1K, R3 = 20K, R9 = 1,2K .


4.2.3 Controlador H∞ Aumentado - Seguir referência

Desenvolvimento

Como descrito no Capitulo 3, o controlador para seguir referência recebe os três estados

da planta, um estado do modelo de referência e o próprio sinala ser seguido. Implementada a

rotina no MATLAB utilizando a LMI (3.15) e as matrizes levantadas pelo modelo politópico,

encontrou-se o seguinte vetor de ganhos:

G =[20M 15M 2,6M −5,6M −1,6

],

que serão dados nos estados da planta, no estado no modelo de referência e no sinal de referên-

cia, respectivamente, de acordo com o vetor acima.

O custo garantido encontrado deste controlador foi de0,8. Ou seja, o controlador garante

que a saída da planta apresentará para o pior caso um erro de até 0,8 para um sinal de entrada

unitário.

Foram denominados deK2 e N , o ganho dado no estado do modelo de referência e o do

próprio sinal de referência, respectivamente. A configuração pode ser observado no Anexo III,

a qual apresenta a configuração do controlador em conjunto com a planta.

58


Como referência foi utilizado um sinal senoidal de1V de amplitude e frequência de0,2Hz

na entrada do modelo de referência. Notasse que o sinal de referência (curva em verde) da

Figura 4.10 se apresenta atenuado, fato explicado pelo circuito utilizado para gerar o mesmo

(filtro passa baixa).

Pode-se observar que o sinal de saída da planta (curva azul) segue o sinal de referência

(curva verde) com mesma fase, mas com módulo maior, o que podeser notado pela curva

vermelha que representa o erro entre a referência e saída real (Figura 4.9).

Figura 4.9: Saída da planta (azul) com o controlador para seguir uma referência senoidal de 1V

de amplitude e frequência de 0.2Hz (verde).


4.2.4 Controlador H∞ Aumentado com Integral do erro - Seguir referência

Desenvolvimento

Para minimizar o erro entre o sinal desejado e a saída da planta, foi implementado o con-

troladorH∞ aumentado, com ação integral. De acordo com a metodologia apresentada no

Capítulo 3, pela rotina implementada, foi encontrado o controlador representado pelos ganhos:

G =[436,1K 258,4K 46,9K −362,7K 19,6M −1,2

].

O vetor de ganhos é composto respectivamente, pelos três ganhos dos estados da planta, o

ganho do estado do circuito de referência (K2), o ganho da integral do erro entre o sinal de

saída do modelo de referência e a saída da planta (K3) e o ganho do sinal de referência (N).

59

No Anexo III pode-se compreender melhor como é a estrutura docontrolador e como o sinal

de controle é obtido. Ou seja, que o sinal de controle é formado pela soma dos ganhos dados

nos sinais dos estados da planta, no estado do modelo de referência, do sinal de referência e da

integral do erro.


Para a simulação foi utilizado como referência um sinal senoidal de 1V de amplitude e

frequência de 0.2Hz da mesma forma como no controlador sem a integral mostrado anteri-

ormente a fim de comparação. Deste modo, observa-se pela Figura 4.10 a saída obtida (em

vermelho) e a referência (em azul) praticamente uma por cimada outra, fato melhor observado

quando olha-se para a curva do erro (em verde), a qual permanece praticamente em zero.

Figura 4.10: Saída da planta (vermelho) com o controlador para seguir uma referência senoidal

de 1V de amplitude e frequência de 0.2Hz (azul).


61

5 ANÁLISES DE DESEMPENHO DOS

CONTROLADORES PROJETADOS

5.1 TEMPO DE ACOMODAÇÃO

A fim de observar o tempo que o sistema leva para de fato estabilizar e a amplitude das

oscilações iniciais, foi implementado a mesma configuraçãode resistências e cargas iniciais

nos capacitores. A comparação é realizada entre o sistema com controlador estabilizante e com

oH∞ para rejeitar pertubação.

Para a configuração em queR2 = 5KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 3KΩ ex(0) = [2, 1,−2]T , foi

possível obter as respostas dispostas nas Figuras 5.1 e 5.2.Para esse ponto o controlador para

rejeitar pertubação apresentou menor amplitude de oscilação e menor tempo de acomodação,

no entanto apresenta mais oscilações do que o controlador estabilizante. Mas como somente um

ponto não é suficiente para se definir uma tendência, então foram levantados mais pontos, os

quais estão dispostos na Tabela 5.1. Pela tabela, infere-seque o controladorH∞ apresentou um

tempo de acomodação para estabilizar menor para todos os pontos analisados e, quanto menos

instável o circuito se torna, maior é a amplitude da oscilação.

Figura 5.1: Resposta do sistema com o controlador estabilizante(azul), quandoR2 = 5KΩ,

R3 = 20KΩ, R9 = 3KΩ ex(0) = [2, 1,−2]T .


62

Figura 5.2: Resposta do sistema com controladorH∞ para rejeitar pertubação (azul), quando

R2 = 5KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 3KΩ ex(0) = [2, 1,−2]T .


Tabela 5.1: Tempo de acomodação e pico para condição a inicial x(0) = [2,1,− 2]T .

Parâmetros Controlador Estabilizante Controlador H∞

R2

[kΩ]

R3

[kΩ]

R9

[kΩ]

Pico

[V]

Tempo

[s]

Pico

[V]

Tempo

[s]

1 20 3 7,23 0,01 5,69 0,005

5 20 3 7,36 0,01 6,82 0,004

10 20 3 7,46 0,009 8.85 0,004

20 20 3 7,61 0,009 8,93 0,005

20 10 3 7,59 0,009 9,10 0,005

20 1 3 7,73 0,01 7,51 0,006

Esta comparação mostrou que, no geral, o controlador para rejeitar pertubação apresenta

melhores resultados, como esperado, pois o mesmo foi projetado para esse fim. No entanto isso

não elimina a possibilidade de existir um ponto que o controlador estabilizante apresente um

comportamento mais eficaz.

5.2 COMPORTAMENTO DO SISTEMA SUJEITO A PERTUBAÇÕES

De fato, ambos controladores (estabilizante eH∞ para rejeitar pertubação) estabilizam o sis-

tema para qualquer configuração queR2, R3 eR9, assumam. Mas outro ponto importante para

63

análise é o comportamento da saída na existência de pertubações. Para isso, foram definidos

valores para as três incertezas e uma pertubação para analisar e comparar os resultados.

Para a configuração instável em queR2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 1,2KΩ e uma

pertubação com amplitude de1V que dura0,1 segundo, pode-se observar pelas Figuras 5.3, 5.5

e 5.4 os diferentes comportamentos do sistema. As curvas em azul são as respectivas saídas

da planta e a curva em vermelho a pertubação inserida. A saídaencontrada para o sistema

sem controlador satura com a presença da pertubação e, após ofim da pertubação, a saída se

mantém saturada. Por outro lado, o controlador estabilizante apresenta uma saída de2,68V

durante o período em que a pertubação é aplicada, mas retornaao ponto de equilíbrio com o fim

da aplicação da pertubação. Note ainda que o controlador para rejeitar pertubação apresentou

o melhor desempenho para esse teste, uma vez que a saída estabilizou em 1,89V durante a

perturbação e, como era de se esperar, retornou ao ponto de equilíbrio com o fim da aplicação

da perturbação.

Figura 5.3: Saída da simulação (azul) do módulo com pertubação adicionada ao sistema - Con-

figuração instável, em queR2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 1,2KΩ e pertubação de1V de

amplitude.


Escolhendo uma configuração em que o sistema seja estável,R2 = 20KΩ, R3 = 10KΩ e

R9 = 10KΩ e uma pertubação de1V e duração de0,1 segundos, foram obtidas as saídas dis-

postas nas Figuras 5.6, 5.7 e 5.8. Nota-se que os sistemas semcontrolador e com o controlador

estabilizante saturam a saída durante o período da pertubação. Por outro lado, o controlador

para rejeitar pertubação, como esperado, obedeceu o critério de custo garantido, apresentando

uma saída de7,29V , não deixando o sistema saturar.

Como os controladores apresentam comportamentos diferentes dependendo do ponto ana-

64

Figura 5.4: Saída da simulação (azul) do módulo com o controlador estabilizante e pertubação

adicionada ao sistema - Configuração instável, em queR2 = 10KΩ,R3 = 20KΩ,R9 = 1,2KΩ

e pertubação de1V de amplitude.


lisado, foi criada a Tabela 5.2, a fim de observar e compreender melhor o comportamentos dos

mesmos. Deste modo, para os pontos analisados, notou-se que, no geral, os sistemas com a

presença dos controladores apresentaram melhores resultados tanto para a configuração está-

vel quanto para a instável. Além disso, restringindo a comparação entre os dois controladores

sintetizados, o que foi projetado para rejeitar pertubaçãoapresentou os melhores resultados.

Lembrando queR9 modifica o ganho do sistema, é importante destacar que para valores

grandes deR9, a saída do controlador estabilizante se apresentou saturada, como visto na Fi-

gura 5.7 e pelos pontos dispostos na Tabela 5.2. Isso não querdizer necessariamente que o

controlador não estabilizou a planta, mas que o ganho dado pelo sistema gera uma saída maior

que a capacidade do circuito (15V ).

Desta maneira, como o controlador estabilizante não possuicritério de custo garantido, para

grandes valores deR9, ou pertubações com alta amplitude, a saída da planta se apresentará

saturada. Por outro lado o controladorH∞ para rejeitar a pertubação, obedeceu o críterio de

custo garantido, não deixando a saída saturar em nenhum dos pontos analisados.

65

Figura 5.5: Saída da simulação (azul) do módulo com controlador H∞ e pertubação adicio-

nada ao sistema - Configuração instável, em queR2 = 10KΩ, R3 = 20KΩ, R9 = 1,2KΩ e

pertubação de1V de amplitude.


Figura 5.6: Saída da simulação do módulo com pertubação adicionada ao sistema - Configura-

ção estável, em queR2 = 20KΩ, R3 = 10KΩ eR9 = 10KΩ e uma pertubação de1V .


5.3 ERRO EM REGIME PERMANENTE DA PLANTA COM O CON-

TROLADOR PARA SEGUIR REFERÊNCIA

Como observado no Capítulo 4, os controladores para seguir referência apresentaram erro

em regime permanente. Para mensurar esse erro, foi realizado o teste com um sinal degrau

como referência para ambos os controladores (com e sem ação integral).

Pela Figura 5.9, observa-se que o sinal de referência foi um degrau de amplitude 1. Assim

se torna intuitivo mensurar o erro que foi de0,5V . Já o controlador para seguir referência com

o ação integral, apresentou um ótimo resultado. Como esperado o erro em regime permanente

foi praticamente nulo, sendo por volta de0,0001, como observado na Figura 5.10, na qual as

66

Figura 5.7: Saída da simulação do módulo com o controlador estabilizante e pertubação adici-

onada ao sistema - Configuração estável, em queR2 = 20KΩ, R3 = 10KΩ eR9 = 10KΩ e

uma pertubação de1V .


Figura 5.8: Saída da simulação do módulo com o controladorH∞ para rejeitar a pertubação

adicionada ao sistema - Configuração estável, em queR2 = 20KΩ,R3 = 10KΩ eR9 = 10KΩ

e uma pertubação de1V .


curvas praticamente se sobrepõem.

5.4 TESTES DE BANCADA

Feito o projeto, análise e construções, foram feitos algunstestes de laboratório, os quais es-

tão dispostos nesta seção. Para todos os testes o circuito daplanta foi alimentada com uma fonte

simétrica de+15 e−15V , e as saídas e sinais de interesse foram coletadas por um osciloscópio.

Alguns testes possuem particularidades, as quais serão dispostas nos seus respectivos tópicos.

67

Tabela 5.2: Respostas dos sistemas sujeitos a pertubação

Parâmetros Tensão de saída

R2

[kΩ]

R3

[kΩ]

R9

[kΩ]

Amp. da

pertubação

[V]

Sem

Controlador

[V]

Controlador

Estabilizante

[V]

Controlador

H∞

[V]

1 20 1,2 1 15 2,66 1,89

5 20 1,2 1 15 2,68 1,89

10 20 1,2 1 15 2,69 1,89

20 20 1,2 1 15 2,72 1,89

20 10 1,2 1 4 2,78 1,89

20 5 1,2 1 4 2,87 1,89

20 1 1,2 1 4 3,21 1,89

20 10 10 1 15 15 7,29

10 10 10 1 15 15 7,29

10 20 10 1 15 15 7,29

Resultados dos módulos

Os primeiros testes foram realizados para verificar o funcionamento e certificar que a placa

projetada realmente se comporta como esperado. Na Figura 5.11 pode-se observar o sistema

montado, pronto para a realização do teste.

O primeiro teste foi realizado para observar o comportamento quando não se aplica sinal de

entrada. Na Figura 5.12 está disposto o comportamento observado. Em aproximadamente1,0

segundo o sistema apresenta saída não nula que cresce até chegar ao valor−15V , que é o valor

de saturação do sistema. Essa mudança de comportamento se deu justamente pela alteração

dos valores do potenciômetro, ficando claro que a saída após otempo de1,0 segundo se torna

"ilimitada", caracterizando assim o sistema como instável.

É válido destacar que se o sistema fosse ideal, não existiriam ruídos, portanto, para o caso

sem entrada, o sistema deveria apresentar a mesma resposta (nula) anterior a mudança deR3,

pois o sistema estaria em equilíbrio. Mas, como o módulo é real, os sinais existentes na planta,

assim como os dados coletados, estão sujeitos a variadas interferências. Entre elas, destacam-

68

Figura 5.9: Sinal de referência (azul) e saída do sistema como controlador para seguir referência

(vermelho).


Figura 5.10: Sinal de referência (azul) e saída do sistema com o controlador para seguir refe-

rência com integral do erro (vermelho).


se, a frequência da rede elétrica (60Hz), as perdas térmicas, precisões dos componentes do

circuito, assim como as dos instrumentos de medição, entre outros.

Desse modo, a resposta do circuito se altera devido à presença desses fatores, que são agra-

vados devido a realimentação, pois ela transporta esse ruído para entrada e essas pequenas

variações, são interpretadas como pequenos sinais de entrada. Como o sistema está instável,

devido aos ajustes realizados, a mínima variação nos terminais de entrada faz com que o sis-

tema decresça até o valor da saída saturar. Assim observandoque uma entrada limitada gerou

uma saída "ilimitada".

Também foi realizado um teste com uma entrada, para executá-lo foi utilizado o gerador

de funções para obter uma onda quadrada de5V pico a pico. O sinal gerado e a saída estão

dispostos na Figura 5.13, por ela observa-se o sistema sempre estável, na qual a saída é invertida

69

Figura 5.11: Módulos ligados em série.


Figura 5.12: Saída obtida para teste de bancada sem entrada aplicada.


e com ganho de1,5V . Em destaque, está apresentada a identificação da fase não mínima do

circuito, como prevista no projeto do circuito da placa.

5.4.1 Controlador Estabilizante

O segundo teste realizado foi para verificar o comportamentoda planta com ação do con-

trolador estabilizante, assim como no primeiro teste, estetambém é sem entrada aplicada, jus-

tamente para se comparar com resultado anterior. O circuitodo controlador e todo o sistema

montado está disposto na Figura 5.14.

Como explicado no primeiro teste, o sistema não é ideal e qualquer ruído por mais que

70

Figura 5.13: Teste com entrada aplicada, em destaque, apresenta-se o subsinal na saída (curva

em vermelho), característica de sistemas de fase não mínima.


pequeno leva o sistema a saturação quandoR3 maior queR2, deste modo, para essa configura-

ção, o sistema satura logo que a alimentação é ligada. Na Figura 5.15 pode se notar o sistema

saturado em15V até que o controlador é adicionado ao sistema. Quando isso ocorre, ambas

as saídas (Azul - saída do primeiro estágio, Roxo - Saída do módulo completo) vão para zero,

como esperado, pois o teste é sem entrada.

5.4.2 Controlador para seguir referência com integral do er ro

Para o teste de bancada do controlador para seguir referência, foi utilizado somente o pri-

meiro módulo. Com a rotina implementada e a modelagem da primeira parte do circuito, foi

projetado o circuito e realizado sua montagem possibilitando os testes, como disposto na Figura

5.16.

O modelo de referência utilizado foi de primeira ordem e o sinal utilizado como referência

foi uma onda quadrada. Pela Figura 5.17, é possível visualizar os sinais coletados pelo osci-

loscópio, a referência é a curva em vermelho e a saída da planta é a curva em azul. Durante o

teste foi realizado a variação dos parâmetros incertos (potenciômetrosR2 eR9), o controlador

apresentou bons resultados para a maioria dos valores, no entanto o controlador não conseguiu

controlar a planta para alguns pontos como disposto na Figura 5.18.

71

Figura 5.14: Teste de bancada - Planta e controlador estabilizante.


Notou-se que quanto mais instável o sistema se tornava mais ocontrolador apresentava

dificuldade em controlar, fazendo da saída da planta um sinal"aleatório". Esse comportamento

pode ser explicado por alguns motivos, um deles é que o controlador montado não é exatamente

igual ao projetado, devido a dificuldade de encontrar um valor de resistência exatamente igual ao

projetado, e mesmo se o valor fosse de fato o mesmo, ainda existe a tolerância dos componentes

que varia de10% a25%. Mas o mais provável seja que, para a saída seguir a referência nesses

pontos, seria necessário utilizar ganhos muito grandes para a composição do sinal de controle,

fazendo com que partes do controlador saturem, assim gerando um sinal de controle ineficiente

e, consequentemente gerando esse sinal alternado e aleatório disposto na Figura 5.18.

5.4.3 Controlador para seguir referência

Utilizando a mesma montagem disposta na Figura 5.16 e modificando somente o controla-

dor, foram realizados os testes para o controlador para seguir referência sem a ação integral.

Pelo projeto desenvolvido, somente para o primeiro módulo,o controlador apresentou um custo

garantido de0,4, ou seja, no pior caso ele apresentaria uma saída com erro em relação ao sinal

de referência de0,4 em módulo.

A resposta obtida para o sinal de referência degrau, ou pulso, e uma configuração em que

R2 era bem maior queR3 pode ser observada na Figura 5.19. Nota-se uma boa resposta,a

72

Figura 5.15: Saída dos módulos em série com o controlador estabilizante em lilás, saída somente

do módulo 1 em azul e sinal de controle em amarelo - Teste de bancada.


qual segue bem o sinal de referência, mas apresenta um erro maior na parte inferior da curva.

Assim como no teste anterior, variou-se os valores deR2 e R3 para observar a efetividade do

controlador.

Notou-se que à medida queR2 se tornava menor, ou seja, o circuito tendia a instabilidade,

a resposta da planta piorava e o módulo do sinal de controle aumentava, justamente para tentar

manter o erro da saída da planta pequeno, esse comportamentopode ser observado na Figura

5.20.

É importante destacar que mesmo a saída da planta apresentando o mesmo formato da re-

ferência, o erro apresentado é maior do que o custo garantido, ou seja, a saída não obedece as

especificações do projeto. Como discutido no teste anteriordo controlador com a ação inte-

gradora, isso pode ser explicado pela tolerância dos componentes, ou pelo fato de existir um

estágio da formação do sinal de controle saturado devido a necessidade de um ganho maior do

que a capacidade dos componentes eletrônicos, que limitam as tensões em -15V/15V.

Análises de desempenho dos controladores na prática

De modo geral os testes de bancadas apresentaram bons resultados. Em relação a construção

dos módulos, ambos funcionaram como o projeto previa, ou seja, o sistema transita de estável

73

Figura 5.16: Configuração do teste de bancada com controlador para seguir referência com ação

integral.


para instável com a mudança deR2, R3 eR9. Além disso, a sua saída apresenta a característica

de sistemas com fase não mínima.

Os testes dos controladores, de modo geral, apresentaram bons resultados. O controlador

estabilizante realizado para o sistema completo (os dois módulos) se comportou conforme pro-

jeto. Já os controladores para seguir referência apresentaram bons resultados, mas com algumas

ressalvas, como já discutido.

74

Figura 5.17: Saída da planta com o controlador para seguir dereferência - Teste de bancada.




75





77

6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

6.1 CONCLUSÕES

Este trabalho apresentou o desenvolvimento de um módulo controlável e também as caracte-

rísticas e os métodos de elaboração de quatro controladorespara esse módulo. Os controladores

sintetizados foram implementados sob as teorias de controle robusto utilizando LMIs e condi-

ções de síntese de custo garantido da normaH∞, a fim de manter a saída da planta sempre como

desejada independente da existência de incertezas. O módulo construído é de fácil implementa-

ção e custo reduzido o que o torna um bom aliado para o ensino doconceito de controle robusto,

o qual normalmente não se ensina em nível de graduação e pode ser de difícil assimilação. O

trabalho exigiu conhecimentos adicionais aos aprendidos na graduação, assim possibilitando o

conhecimento em outras áreas de controle, além de promover um maior contato e desenvolvi-

mento de projetos e modelagens de circuitos e controladores.

As simulações realizadas permitiram concluir que a metodologia utilizada para o projeto foi

adequada ao objetivo inicial do trabalho, além de possibilitar análises preliminares de desem-

penho dos controladores encontrados, o que facilita, caso seja necessário, escolher um tipo de

controlador dependendo da aplicação.

Em relação à planta e aos controladores implementados fisicamente, todos atenderam as

premissas dos respectivos projetos, com resultados similares entre simulação e experimento de

bancada mas com algumas diferenças, pois na simulação não foram consideradas as perdas,

ruídos e precisão dos componentes. Entretanto, a construção de um controlador capaz de se

adaptar às variações da planta apresentaria melhores resultados se os componentes fossem de

maior precisão e com maior limite de saturação. Desta maneira, a versatilidade e a robustez do

sistema apresentaria uma melhor desempenho se aproximandodos resultados simulados.

Os sistemas foram implementados utilizando o amplificador operacional LM741. No en-

tanto, o mesmo não apresentou bom desempenho, por mau funcionamento, e em muitos casos

ele inseriu umoffsetao sistema, tornando a saída muito incompatível com o esperado. As-

sim, foi realizado a troca do amplificador operacional LM741pelo TL081. Desta maneira, foi

possível realizar testes bem sucedidos com saídas mais coerentes.

78

Diante da exposição dos resultados obtidos mediante a implementação dos sistemas, observa-

se a versatilidade, a importância e o valor de contribuição dos mesmos na área de controle ro-

busto. As principais contribuições deste trabalho se dão, principalmente, em relação ao custo-

benefício dos módulos e ao desenvolvimento de práticas de implementação de módulos de

controle, as quais são escassas em nível de graduação.

6.2 MELHORIAS E TRABALHOS FUTUROS

Melhorias podem ser implementadas de acordo com as dificuldades enfrentadas no decorrer

do trabalho.

Primeiramente em relação ao módulo, pode-se adicionar uma proteção em caso de se ligar

erroneamente a alimentação do circuito. Assim como melhorar a qualidade dos pontos de acesso

aos sinais do circuito.

A implementação física dos controladores, apresentou diversas dificuldades, principalmente

quando o número de estados e realimentações aumenta, assim acrescentando componentes e

fios ao circuito. O que acentua diretamente os erros, tais como, a imprecisão dos próprios

componentes, mau contato, até mesmo a dificuldade da montagem e detecção de erros. O que

afeta significamente o desempenho do controlador. Desta maneira, uma forma alternativa para

realizar o controle pode ser por meio da utilização do controle robusto digital.

79

7 ANEXOS

7.1 ANEXO I

A modelagem dos módulos está descrita a seguir.

Figura 7.1: Circuito do módulo I.


O primeiro estágio é o subtrator, ele é composto por 4 resistoresR1 de1,2kΩ. Como todos

os resistores são idênticos a saída desse estágio pode ser expressa por:

V1 = Vi − V′

o . (7.1)

O segundo estágio é o amplificador inversor no qual a saída é dada por:

V2 = −V1R3

R2. (7.2)

SubstituindoV1, encontra-se:

V2 = −R3

R2(Vi − V

′

o ). (7.3)

Os componentesR3 eR2 são potenciômetros que variam de aproximadamente 0 a 20kΩ.

Um filtro passa tudo completa o primeiro módulo, o qual é composto por três resistores e

um capacitor. Para fins de simplificação os resistoresR4 e R5 possuem valores iguais. Para

que os estados do modelo em espaço de estados tenham sentido físico e possam ser medidos,

considerou-se a tensão sobre o capacitorC1 como o estado do filtro. Fazendo as seguintes

considerações:

80

x1 = Vc,

u = V2,

y = V′

o ,

Pode-se levantar o seguinte modelo em espaço de estados:

x =−1

R6Cx1 +

1

R6Cu, (7.4)

y = (1 +R5

R4)x1 −

R5

R4u. (7.5)

Considerando queR4 = R5, chega-se a:

u =−R3

R2 +R3

V1 +2R3

R2 +R3

x1. (7.6)

Substituindou nas equações do filtro passa-tudo, encontram-se as equaçõesem espaço de

estados do primeiro módulo. Em quey define a saída do módulo principal.

x1 = (R3 − R2

R6C(R2 +R3))x1 − (

R3

R6C(R2 +R3))Vi,

y = (2R2

R2 +R3)x1 − (

R3

R2 +R3)Vi. (7.7)

A saída da planta principal é acoplada na entrada do módulo dos filtros (ligando os dois

sistemas em cascata). Então o próximo passo é realizar a modelagem do segundo módulo

(Figura 7.2).

Considerando a entradau = V′

o , V3 a saída do primeiro filtro,x2 a tensão no capacitor do

primeiro filtro do módulo II, eR” = R9 tem-se:

x2 = (V

′

o

RC2))− (

x2

RC2

),

V3 = (R9 +R

R)x2. (7.8)

(7.9)

81

Figura 7.2: Circuito do módulo II.


Como a entrada deste módulo é a saída do primeiro, realiza-sea substituição da saíday

(Equação 7.7) noV′

o da Equação 7.9. Assim encontra-se:

x2 = (2R2

RC2(R2 +R3))x1 − (

1

RC2

)x2 +R3

RC2(R2 +R3))u,

V3 = (R9 +R

R)x2

Por fim, realiza-se a modelagem do segundo filtro, que é idêntica a do primeiro filtro. Onde

a entradau é a saída do primeiro filtro,Vo = y é a saída do final de todo o sistema ex3 é a

tensão no capacitor do segundo filtro do módulo II. Deste modotem-se:

x3 = (u− x3

RC3),

Vo = 2x3.

Realizando a substituição deu, encontra-se a equação do terceiro estado, disposta na Equa-

ção (7.1) .

x3 = (R9 + R

R)RC3

)x2 − (1

RC3

)x3,

y = 2x3.

Assim organizando na forma de matricial, foi obtido o modeloem espaço de estados total

82

do sistema que é composto por três variáveis de estados:

x1

x2

x3

=

R3−R2

R6C1(R2+R3)0 0

1R7C2

( 2R2

R2+R3) −1

R7C20

0 1R11C3

(1 + R9

R8) −1

R11C3

x1

x2

x3

+

−R3

R6C1(R2+R3)

1R7C1

R3

(R2+R3)

0

u (7.10)

y =[0 0 1 + R13

R12

]

x1

x2

x3

+

[0]u (7.11)

7.2 ANEXO II

7.2.1 Lista de materiais para construção dos módulos

Pra a construção dos módulos foram utilizados os componentes listados na Tabela 7.1, na

qual também estão dispostos as respectivas quantidades e preços. Desse modo o custo total para

a construção dos módulos foi de89,10 reais.

7.2.2 Montagem dos módulos

Realizadas as modelagens, o próximo passo foi a construção do módulo. Primeiramente

montado emProtoborde verificado o funcionamento, o circuito foi realizado no software PRO-

TEUS para possibilitar a impressão em uma placa de fenolite e, em seguida soldar os compo-

nentes. Algumas das etapas estão dispostas na Figura 7.3.

O módulo construído possui pontos de acesso para todas as entradas, saídas e para as ten-

sões dos capacitores, para facilitar o monitoramento dos estados e o uso quando adicionar os

controladores, como se observa na Figura 7.4.

83

Tabela 7.1: Lista de materiais para construção dos módulos

Componente QuantidadePreço unitário

(reais)

Total

(reais)

Placa de fenilite10x10cm 1 6,00 6,00

Placa de fenilite10x15cm 1 8,00 8,00

AmpOp TL081 5 2,00 10,00

Potenciômetro20K 2 1,80 3,60

Potenciômetro10K 1 1,80 1,80

Capacitor 100µF 3 0,40 1,20

Resistores1.2K 15 0,10 1,50

Bornes 14 3,00 42,00

Soquetes 5 3,00 15,00

Total 89,10

7.3 ANEXO III

A seguir estão dispostos as configurações dos circuitos em malha fechada para todos os con-

troladores implementados. Os desenhos foram realizados naferramenta computacional PSIM.

84

Figura 7.3: Etapas da construção do módulo.


Figura 7.4: Módulo I - Físico


85

Figura 7.5: Configuração em malha fechada com controlador estabilizante.


86

Figura 7.6: Configuração em malha fechada com controlador que rejeita pertubações.


87

Figura 7.7: Configuração em malha fechada com controlador para seguir de referência.


88

Figura 7.8: Configuração em malha fechada com controlador para seguir de referência com ação integral.


89

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Documents

Marina de Alvarenga Silva · Marina de Alvarenga Silva Desenvolvimento e controle de um módulo dinâmico sujeito a incertezas Trabalho de conclusão de curso para a ob-tenção do