MAT-140 Integrais 140/2016-II/slides/Prof. Walter Parte III 2016-II - MAT... · f px qdx F px q C Onde C é uma constante, chamada deconstante de integração, f px qé chamado de‡integrando,

MAT-140 Integrais

Walter T. Huaraca Vargas

1 de Agosto de 2016

Integral Indefinida

Definição

Seja I um intervalo e F : I Ñ R. Uma função F : I Ñ R tal que

F1

pxq “ f pxq, para todo x P I , é chamada de primitiva ou antiderivada de

f em I o que denotaremos por:

F pxq “ Antpf pxqq,@x P I

Exemplo

Achar antiderivadas para as seguintes funções:

1 f pxq “ 4x3

2 gpxq “ ex

Integral Indefinida

Definição

Seja I um intervalo e F : I Ñ R. Uma função F : I Ñ R tal que

F1

pxq “ f pxq, para todo x P I , é chamada de primitiva ou antiderivada de

f em I o que denotaremos por:

F pxq “ Antpf pxqq,@x P I

Exemplo

Achar antiderivadas para as seguintes funções:

1 f pxq “ 4x3

2 gpxq “ ex

Proposição

Seja F : I Ñ R uma função denida no intervalo aberto I e F : I Ñ R uma

antiderivada ou primitiva de f . Se F1 : I Ñ R é uma outra primitiva de f ,

então:

F1pxq “ F pxq ` C

Para alguma constante C P R.

Definição

Seja F pxq uma primitiva de f pxq denida no intervalo I . A integral

indenida de f pxq é o conjunto de todas as primitivas de f pxq denidas no

intervalo I e denotaremos por:

ż

f pxqdx “ F pxq ` C

Onde C é uma constante, chamada de constante de integração, f pxq é

chamado de integrando, f pxqdx é chamado de elemento de integração,ş

f pxqdx é chamada da integral indenida de f pxq em relação à x

Proposição

Seja F : I Ñ R uma função denida no intervalo aberto I e F : I Ñ R uma

antiderivada ou primitiva de f . Se F1 : I Ñ R é uma outra primitiva de f ,

então:

F1pxq “ F pxq ` C

Para alguma constante C P R.

Definição

Seja F pxq uma primitiva de f pxq denida no intervalo I . A integral

indenida de f pxq é o conjunto de todas as primitivas de f pxq denidas no

intervalo I e denotaremos por:

ż

f pxqdx “ F pxq ` C

Onde C é uma constante, chamada de constante de integração, f pxq é

chamado de integrando, f pxqdx é chamado de elemento de integração,ş

f pxqdx é chamada da integral indenida de f pxq em relação à x

Observação

Da denição anterior deduzimos:

1

d

dxp

ż

f pxqdxq “ p

ż

f pxqdxq1

“ pF pxq ` C q1

“ f pxq

2 Se f é uma função derivável em I , então uma primitiva de f1

é f ,

assim:ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Exemplo

Calcular as integrais indenidas:

1

ş

4x3dx

2

ş

exdx

3

ş

lnpxqdx , calcule pxLnpxq ´ xq1

4

ş

dx1`x2

1a Aula

Observação


1

d

dxp

ż

f pxqdxq “ p

ż

f pxqdxq1

“ pF pxq ` C q1

“ f pxq


é f ,

assim:ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Exemplo


1

ş

4x3dx

2

ş

exdx

3

ş


4

ş

dx1`x2

1a Aula

Observação


1

d

dxp

ż

f pxqdxq “ p

ż

f pxqdxq1

“ pF pxq ` C q1

“ f pxq


é f ,

assim:ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Exemplo


1

ş

4x3dx

2

ş

exdx

3

ş


4

ş

dx1`x2

1a Aula

Propriedades

Proposição

Se f e g são funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k P Ruma constante qualquer, então as funções f ˘ g e kf admitem

antiderivadas em I e tems:

1ż

rf pxq ˘ gpxqsdx “

ż

f pxqdx ˘

ż

gpxqdx

2ż

rkf pxqsdx “ k

ż

f pxqdx

Exemplo

Calcularż

rex ´ 4x3 ` Lnpxqsdx

Propriedades

Proposição



1ż


ż

f pxqdx ˘

ż

gpxqdx

2ż

rkf pxqsdx “ k

ż

f pxqdx

Exemplo

Calcularż


Propriedades

Proposição



1ż


ż

f pxqdx ˘

ż

gpxqdx

2ż

rkf pxqsdx “ k

ż

f pxqdx

Exemplo

Calcularż


Integrais Imediatas

Se conhecemos f1

pxq, pela observação anterior, deduzimos que:

ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

Integrais Imediatas

Se conhecemos f1

pxq, pela observação anterior, deduzimos que:

ż

f1

pxqdx “ f pxq ` C

ş

dx “ x ` cş

xndx “ xn`1

n`1` c , n ‰ ´1

ş

undu “ un`1

n`1` c , n ‰ ´1

ş

audu “ au

Lnpaq` c , a ą 0, a ‰ 1

ş

eudu “ eu ` cş

senpuqdu “ ćospuq ` cş

cospuqdu “ senpuq ` c

ş

tgpuqdu “ Lnp|secpuq|q ` cş

ctgpuqdu “ Lnp|senpuq|q ` cş

secpuqdu “

Ln|secpuq ` tgpuq| ` cş

cscpuqdu “

Ln|cscpuq ´ ctgpuq| ` cş

sec2puqdu “ tgpuq ` cş

csc2puqdu “ ćtgpuq ` c

Integrais Imediatas

ş

secpuqtgpuqdu “ secpuq ` cş

cscpuqctgpuqdu “

ćscpuq ` cş

duudu “ Lnp|u|q ` c

ş

duu2à2

“ 1

aarctgpu

aq ` c

ş

duu2á2

“ 1

2aLn|uá

uà| ` c

ş

dua2ú2

“ 1

2aLn|aù

aú| ` c

ş

du?a2ú2

“ arcsenpuaq ` c

ş

du?u2á2

“

Ln|u `?u2 ´ a2| ` c

ş

du?u2à2

“ Ln|u`?u2 ` a2|`c

ş

du

u?u2á2

“ 1

aarcsecpu

aq ` c

ş

du?a2ù2

“ ´1

aLnpa`

?a2ù2

uq`c

ş

du?a2ú2

“ ´1

aLnpa`

?a2ú2

uq`c

ş?a2 ´ u2du “

1

2u?a2 ´ u2 ` a2

2arcsenpu

aq ` c

ş

a?u2 ˘ a2du “

1

2u?u2 ˘ a2 ˘ a2

2Ln|u `

?u2 ˘ a2| ` c

Integrais Imediatas

Exemplo

Calcule as seguintes integrais:

1

ş

p?2´

?xq2dx

2

ş

3x5´6x2`?x

x3dx

3

ş

x2`2x2px2`4q

dx

4

ş

dxx4´9

5

ş

x2`13?x2`9

dx

6

ş

sen2pxqdx

7

ş

p1` x3q665x2dx

métodos de integração: Mudança de Variável

Proposição

Se y “ f puq é uma função derivável em u, u “ gpxq função derivável em x

e F é uma antiderivada de f , então:

ż

f pgpxqqg1

pxqdx “ F pgpxqq ` C

Se fazemos u “ gpxq, então du “ g1

pxqdx, então:

ż

f pgpxqqg1

pxqdx “

ż

f puqdu “ F puq ` C

Exemplo

Calcular as seguintes integrais:

1

ż

x4

7?x5 ` 1

dx

2

ż

arcsenpxqdx?x ´ x2

3

ż

xdx

e3xp1´ xq4

4

ş

c

2`b

2à

2` 2cosp5?x ` 4qx´

1

2 dx

2a Aula

métodos de integração: por partes

Sejam u e v funções denidas e deriváveis no intervalo I , temos

dpuvq “ vdu ` udv

de onde temos:

udv “ dpuvq ´ vdu

integrando obtemos:ż

udv “ uv ´

ż

vdu

Exemplo

Calcular:

1

ş

Lnpxqdx

2

ş

px2 ` 3x ´ 1qe2xdx

3cospxq`xsenpxq´1

psenpxq´xq2dx

4

ż

esenpxqpxcos3pxq ´ senpxqq

cos2pxqdx

3a Aula

métodos de integração: frações parciais

simples

Diremos que uma fração é simples se tem alguma das formas abaixo:

1 f pxq “ ax´r

com integral

ż

a

x ´ rdx “ aLn|x ´ r | ` C

2 f pxq “ apx´rqn

com integral

ż

a

px ´ rqndx “

a

p1´ nqpx ´ rqn´1` C

3 f pxq “ ax`bpx2`qx`r

dx para calcular esta integral, devemos fazer:

ax ` b “a

2pp2px ` qq ´

aq

2p` b

métodos de integração: frações parciais

1 Seja a função racional f pxq “ Ppxq

Qpxq, onde Ppxq e Qpxq são polinômios

de grau m e n respetivamente. Se m ă n diremos que a função

racional é própria e se m ě n, diremos que ela é imprópria.

2 Se pxq “ Ppxq

Qpxqé uma função racional imprópria, pelo algoritmo de

divisão, existem polinômios C pxq e Rpxq únicos tais que

Ppxq

Qpxq“ C pxq `

Rpxq

Qpxq

Onde o grau de Rpxq é menor que o grau de Qpxq, C pxq e Rpxq são,

respetivamente, o quociente e o resto da divisão entre Ppxq e Qpxq.

3 Do item anterior, temos que:

ż

f pxqdx “

ż

Ppxq

Qpxqdx “

ż

C pxqdx `

ż

Rpxq

Qpxq

Teorema

Se Ppxq e Qpxq são polinômios de grau n e m respetivamente com n ě 1 e

m ă n, então:

Qpxq“apx´r1qn1 px´r2q

n2 ¨¨¨px´rkqnk px2`p1x`q1q

m1 px2`p2x`q2qm2 ¨¨¨px2`psx`qsq

ms

Onde todos os fatores são polinômios irredutíveis e

n “ n1 ` n2 ` ¨ ¨ ¨ nk `m1 `m2 ` ¨ ¨ ¨ms

Teorema (continacao do teorema anterior)

e temos que:

Ppxq

Qpxq“ A11

x´r1` A12

px´r1q2` ¨ ¨ ¨

A1n1

px´r1qn1

` A21

x´r2` A22

px´r2q2` ¨ ¨ ¨

A2n2

px´r1qn2

` ¨ ¨ ¨

Àk1

x´rk`

Ak2

px´rkq2 ` ¨ ¨ ¨

Aknk

px´r1qnk

` B11x`C11x2`p1x`q1

` B12x`C12px2`p1x`q1q2

` ¨ ¨ ¨B1m1

x`C1m1

px2`p1x`q1qm1

` B21x`C21x2`p1x`q1

` B22x`C22px2`p1x`q1q2

` ¨ ¨ ¨B2m2

x`C2m2

px2`p1x`q1qm2

` ¨ ¨ ¨

` Bs1x`Cs1

x2`p1x`q1` Bs2x`Cs2

px2`p1x`q1q2` ¨ ¨ ¨

Bsms x`Csms

px2`p1x`q1qms

Exemplo

1 Calcularş

x3´3x`3x2´x´2

dx

2 Calcularş

x2´6x`8x2`x`5

dx

3 Calcularş

1

x3`1dx

4 Calcularşa

tanpxqdx

3a e 4a Aula

métodos de integração:Substitução

Trigonomêtrica

ż

Rpx ,a

px2 ` qx ` rqdx

Completando quadrados, podemos mudar a expressão numa das formas:

1 a2 ´ u2, fazemos a substituição

"

u “ asenpθq, a ą 0

du “ acospθqdθ

2 a2 ` u2, fazemos a substituição

"

u “ atanpθq, a ą 0

du “ asec2pθqdθ

3 u2 ´ a2, fazemos a substituição

"

u “ asecpθq, a ą 0

du “ asecpθqtanpθqdθ

Exemplo

Calcular as seguintes integrais:

1

ş?9´ x2dx

2

ş

dx

x2?16`9x2

3

ş

dx

p1`x4q??

1`x4´x2

4

ş

e´xdx

p9e´2x`1q3

2

5

ş

x?1´xdx?2´x

Integral Definida: Somatorios

Definição

Sejam m, n P Z tal que m ď n e f piq uma função denida para todo i P Z.Denotaremos

nÿ

i“m

f piq “ f pmq ` f pm ` 1q ` ¨ ¨ ¨ f pnq

i é chamado de indice, m é chamado de limite inferior e n é chamado de

limite superior.

Exemplo

1 Se f piq “ i2, calcular6ÿ

i“2

f piq

2 Se f piq “ senpixq, calcularnÿ

i“1

f piq

Integral Definida: Somatorios

Definição

Sejam m, n P Z tal que m ď n e f piq uma função denida para todo i P Z.Denotaremos

nÿ

i“m

f piq “ f pmq ` f pm ` 1q ` ¨ ¨ ¨ f pnq

i é chamado de indice, m é chamado de limite inferior e n é chamado de

limite superior.

Exemplo

1 Se f piq “ i2, calcular6ÿ

i“2

f piq

2 Se f piq “ senpixq, calcularnÿ

i“1

f piq

propriedades dos sumatorios

Seja f e g funções denidas para todo inteiro e k uma constante, então:

1

nÿ

i“m

“ pn ´m ` 1qk

2

nÿ

i“m

kf piq “ k

nÿ

i“m

f piq

3

nÿ

i“m

pf piq ˘ gpiqq “

nÿ

i“m

f piq ˘

nÿ

i“m

gpiq

4

nÿ

i“m

rf piq ´ f pi ´ 1qs “ f pnq ´ f pm ´ 1q

5

nÿ

i“m

rf pi ` 1q ´ f pi ´ 1qs “ f pn ` 1q ` f pnq ´ f pmq ´ f pm ´ 1q



1

nÿ

i“m

“ pn ´m ` 1qk

2

nÿ

i“m

kf piq “ k

nÿ

i“m

f piq

3

nÿ

i“m

pf piq ˘ gpiqq “

nÿ

i“m

f piq ˘

nÿ

i“m

gpiq

4

nÿ

i“m


5

nÿ

i“m




1

nÿ

i“m

“ pn ´m ` 1qk

2

nÿ

i“m

kf piq “ k

nÿ

i“m

f piq

3

nÿ

i“m

pf piq ˘ gpiqq “

nÿ

i“m

f piq ˘

nÿ

i“m

gpiq

4

nÿ

i“m


5

nÿ

i“m




1

nÿ

i“m

“ pn ´m ` 1qk

2

nÿ

i“m

kf piq “ k

nÿ

i“m

f piq

3

nÿ

i“m

pf piq ˘ gpiqq “

nÿ

i“m

f piq ˘

nÿ

i“m

gpiq

4

nÿ

i“m


5

nÿ

i“m




1

nÿ

i“m

“ pn ´m ` 1qk

2

nÿ

i“m

kf piq “ k

nÿ

i“m

f piq

3

nÿ

i“m

pf piq ˘ gpiqq “

nÿ

i“m

f piq ˘

nÿ

i“m

gpiq

4

nÿ

i“m


5

nÿ

i“m


Exemplo

1 Calcular400ÿ

i“5

p?i ´

?i ´ 1` 4q

2 Prove quenÿ

i“1

i “npn ` 1q

2

3 Prove quenÿ

i“1

i2 “npn ` 1qp2n ` 1q

6

Integral definida

Definição

Seja ra; bs um intervalo fechado. Uma particão do intervalo ra; bs é o

conjunto P de pontos x0, x1, ¨ ¨ ¨ xn com x0 “ a ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b e será

denotado por P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu.

Observação

1 A partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs divide ra; bs em n

subintervalos.

2 O comprimento do subintervalo rxi´1; xi s, para i “ 1, 2, ¨, n, édenotado por ∆ix “ xi ´ xi´1 e temos

nÿ

i“1

∆ix “ b ´ a

Integral definida

Definição




Observação


subintervalos.


nÿ

i“1

∆ix “ b ´ a

Integral definida

Definição




Observação


subintervalos.


nÿ

i“1

∆ix “ b ´ a

Observação1 Denominaremos norma da partição P ou diámetro da partição P ao

número denido por:

P “ máxt∆ix ; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu

2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo

comprimento, então temos

∆ix “b ´ a

n

e

x0 “ a, x1 “ a `b ´ a

n, x2 “ a ` 2

b ´ a

n, ¨ ¨ ¨ xn “ a ` n

b ´ a

n“ b

Observação1 Denominaremos norma da partição P ou diámetro da partição P ao

número denido por:

P “ máxt∆ix ; i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , nu

2 Se o intervalo ra; bs for dividivo em n subintervalos de mesmo

comprimento, então temos

∆ix “b ´ a

n

e

x0 “ a, x1 “ a `b ´ a

n, x2 “ a ` 2

b ´ a

n, ¨ ¨ ¨ xn “ a ` n

b ´ a

n“ b

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e não negativa (f pxq ě 0) em

ra; bs. Seja R a região plana limitada pelas grácas de y “ f pxq, as retas

x “ a, x “ b e o eixo X (chamada região embaixo da gráca de f de a até

b).

Como calcular áreapRq?

1 Denamos uma partição P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu de ra; bs.

2 Pela continuidade de f , para cada i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ n podemos escolher

pontos ui P rxi´1, xi s de forma tal que f pui q seja o valor mínimo de f

em rxi´1, xi s.

3 Construimos n retângulos que tem como base os subintervalos

denidos por P e de alturas f pui q, estes retângulos tem área igual a

f pui q∆ix .

4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular inscrito

em R , a área deste poligono será denotado por I pPq e temos

I pPq “

nÿ

i“1

f pui q∆ix




b).





em rxi´1, xi s.



f pui q∆ix .



I pPq “

nÿ

i“1

f pui q∆ix




b).





em rxi´1, xi s.



f pui q∆ix .



I pPq “

nÿ

i“1

f pui q∆ix




b).





em rxi´1, xi s.



f pui q∆ix .



I pPq “

nÿ

i“1

f pui q∆ix

Outra forma de calcular áreapRq?



pontos vi P rxi´1, xi s de forma tal que f pvi q seja o valor máximo de f

em rxi´1, xi s.


denidos por P e de alturas f pvi q, estes retângulos tem área igual a

f pvi q∆ix .

4 Os n retângulos considerados denem o polígono retangular

circunscrito em R , a área deste poligono será denotado por C pPq e

temos

C pPq “

nÿ

i“1

f pvi q∆ix





em rxi´1, xi s.



f pvi q∆ix .



temos

C pPq “

nÿ

i“1

f pvi q∆ix





em rxi´1, xi s.



f pvi q∆ix .



temos

C pPq “

nÿ

i“1

f pvi q∆ix

Observação

1 Sejam P1 e P2 partições de ra; bs, então

I pP1q ď ApRq ď C pP2q

2 Se L “ tI pPq;P é uma partição de ra; bsu eU “ tC pPq;P é uma partição de ra; bsu, podemos denir

Ai “ suppLq e As “ inf pUq

, como isso temos

I pPq ď Ai ď A ď As ď C pPq

3 Podemos provar que Ai “ As “ ApRq

4 Podemos provar que se t1, t2, ¨ ¨ ¨ tn são pontos escolhidos nos n

subintervalos, então:

A “ limPÑ0

˜

nÿ

i“1

f pti q∆ix

¸

Observação





, como isso temos





A “ limPÑ0

˜

nÿ

i“1

f pti q∆ix

¸

Observação





, como isso temos





A “ limPÑ0

˜

nÿ

i“1

f pti q∆ix

¸

Observação





, como isso temos





A “ limPÑ0

˜

nÿ

i“1

f pti q∆ix

¸

6a Aula

Exemplo1 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x ` 1, x “ 0,

x “ 3 e o eixo X .

2 Calcular a área da região limitada pelo gráco de y “ x2, x “ 3 e o

eixo X .

Integral

Definição

1 Seja f : ra; bs Ñ R uma função limitada, e P “ tx0, x1, ¨ ¨ ¨ xnu uma

partição de ra; bs denamos a soma superior de f em relação a P por

Spf ,Pq “nÿ

i“1

supxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix


partição de ra; bs denamos a soma inferior de f em relação a P por

I pf ,Pq “nÿ

i“1

infxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix

Integral

Definição


partição de ra; bs denamos a soma superior de f em relação a P por

Spf ,Pq “nÿ

i“1

supxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix


partição de ra; bs denamos a soma inferior de f em relação a P por

I pf ,Pq “nÿ

i“1

infxPrxi´1;xi spf pxqq∆ix

Definição

Considere uma função limitada f : ra; bs Ñ R. Se

limPÑ0

Spf ,Pq “ limPÑ0

I pf ,Pq

Diremos que a integral de Riemann de f existe ou que a função f é

Riemann integrável e denotaremos porşb

af pxqdx, assim temos:

ż b

a

f pxqdx “ limPÑ0

Spf ,Pq “ limPÑ0

I pf ,Pq

Exemplo

Considere a função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denida por:

f pxq “

"

0 se x P I1 se x P Q

Verique que ela não é integrável.

Definição

Considere uma função limitada f : ra; bs Ñ R. Se

limPÑ0

Spf ,Pq “ limPÑ0

I pf ,Pq

Diremos que a integral de Riemann de f existe ou que a função f é

Riemann integrável e denotaremos porşb

af pxqdx, assim temos:

ż b

a

f pxqdx “ limPÑ0

Spf ,Pq “ limPÑ0

I pf ,Pq

Exemplo

Considere a função de Dirichlet f : r0; 1s Ñ R denida por:

f pxq “

"

0 se x P I1 se x P Q

Verique que ela não é integrável.

Definição1 Se a ă b, deniremos

ż a

b

f pxqdx “ ´

ż b

a

f pxqdx

2 Se f esta denida em a, então

ż a

a

f pxqdx “ 0

Propriedades da Integral Definida

1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.

2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em

qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é

integrável e temos:ż b

a

pkf qpxqdx “ k

ż b

a

f pxqdx

4 Se f e g são integráveis em ra; bs, então f ˘ g é integrável e temos:ż b

a

pf ˘ gqpxqdx “

ż b

a

f pxqdx ˘

ż b

a

gpxqdx

5 Se f é integrável em ra; cs e em rc ; bs, então f é integrável em ra; bs etemos:

ż b

a

f pxqdx “

ż c

a

f pxqdx `

ż b

c

f pxqdx (c qualquer)


1 Se f é uma função contínua no intervalo ra; bs então ela é integrável.2 Se f é uma função integrável em ra; bs então ela é integrável em

qualquer subintervalo rc ; d s Ă ra; bs.

3 Se f é integrável em ra; bs, e k é qualquer constante, então kf é


a

pkf qpxqdx “ k

ż b

a

f pxqdx


a

pf ˘ gqpxqdx “

ż b

a

f pxqdx ˘

ż b

a

gpxqdx


ż b

a

f pxqdx “

ż c

a

f pxqdx `

ż b

c






a

pkf qpxqdx “ k

ż b

a

f pxqdx


a

pf ˘ gqpxqdx “

ż b

a

f pxqdx ˘

ż b

a

gpxqdx


ż b

a

f pxqdx “

ż c

a

f pxqdx `

ż b

c






a

pkf qpxqdx “ k

ż b

a

f pxqdx


a

pf ˘ gqpxqdx “

ż b

a

f pxqdx ˘

ż b

a

gpxqdx


ż b

a

f pxqdx “

ż c

a

f pxqdx `

ż b

c






a

pkf qpxqdx “ k

ż b

a

f pxqdx


a

pf ˘ gqpxqdx “

ż b

a

f pxqdx ˘

ż b

a

gpxqdx


ż b

a

f pxqdx “

ż c

a

f pxqdx `

ż b

c



1 Se f é integrável em ra; bs e f pxq ě 0 para todo x P ra; bs então:ż b

a

f pxqdx ě 0

2 Se f e g são integráveis em ra; bs e f pxq ď gpxq para todo x P ra; bsentão:

ż b

a

f pxqdx ď

ż b

a

gpxq

3 Se f é integrável em ra; bs e m ď f pxq ď M para todo x P ra; bsentão:

mpb ´ aq ď

ż b

a

f pxqdx ď Mpb ´ aq

4 Se f é integrável em ra; bs então:

|

ż b

a

f pxqdx | ď

ż b

a

|f pxq|dx



a

f pxqdx ě 0


ż b

a

f pxqdx ď

ż b

a

gpxq


mpb ´ aq ď

ż b

a



|

ż b

a

f pxqdx | ď

ż b

a

|f pxq|dx



a

f pxqdx ě 0


ż b

a

f pxqdx ď

ż b

a

gpxq


mpb ´ aq ď

ż b

a



|

ż b

a

f pxqdx | ď

ż b

a

|f pxq|dx



a

f pxqdx ě 0


ż b

a

f pxqdx ď

ż b

a

gpxq


mpb ´ aq ď

ż b

a



|

ż b

a

f pxqdx | ď

ż b

a

|f pxq|dx

Teoremas Fundamentais do Cálculo

7a Aula

Teorema (valor intermediario para integrais)

Se f é uma função contínua em I “ ra; bs então existe c P I tal que

ż b

a

f pxqdx “ f pcqpb ´ aq


Teorema (Primeiro teorema Fundamental do Cálculo)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R a função denida

por:

F pxq “

ż x

a

f ptqdt

Então:

F1

pxq “d

dx

ˆż x

a

f ptqdt

˙

“ f pxq

Observação1 Este teorema é uma ponte entre as integrais indenidas e integrais

denidas: Pois prova que para uma função contínua em ra; bs admite

uma antiderivada F pxq “şx

af ptqdt pois F

1

pxq “ f pxq

2 Este é um teorema de existência: Para f existe F tal que

F1

pxq “ f pxq para todo x P ra; bs. Como F paq “ 0, F é uma

antiderivada de f passando pelo ponto pa; 0q.




por:

F pxq “

ż x

a

f ptqdt

Então:

F1

pxq “d

dx

ˆż x

a

f ptqdt

˙

“ f pxq




af ptqdt pois F

1

pxq “ f pxq


F1






por:

F pxq “

ż x

a

f ptqdt

Então:

F1

pxq “d

dx

ˆż x

a

f ptqdt

˙

“ f pxq




af ptqdt pois F

1

pxq “ f pxq


F1




Teorema (Segundo teorema Fundamental do Cálculo)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R uma

antiderivada de f , Então:

ż b

a

f ptqdt “ F pbq ´ F paq “ rF pxqsba

Observação

1 A diferença F pbq ´ F paq independe la eleção da antiderivada de f ,

pois todas a s antiderivadas deferem aprenas numa constante.

8a Aula


Teorema (Segundo teorema Fundamental do Cálculo)

Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e F : ra; bs Ñ R uma

antiderivada de f , Então:

ż b

a

f ptqdt “ F pbq ´ F paq “ rF pxqsba

Observação

1 A diferença F pbq ´ F paq independe la eleção da antiderivada de f ,

pois todas a s antiderivadas deferem aprenas numa constante.

8a Aula

Exemplo

1 Se F pxq “şx

0

1

1`t2dt calcular F

1

pxq.

2 Calcularş

1

0exdx

3 Seja G pxq “şu

af ptqdt, onde f : ra; b Ñ Rs e u : rc ; d s Ñ ra; bs é uma

função diferenciável, então:

G1

pxq “ f puqu1

“ f puqd

dxpupxqq

4 Seja Hpxq “şa

uf ptqdt, onde f : ra; b Ñ Rs e u : rc ; d s Ñ ra; bs é uma

função diferenciável, então:

H1

pxq “ ´f puqu1

“ ´f puqd

dxpupxqq

5 Se G pxq “şx4

´31

1`9seneptqdt, calcular G

1

pxq.

6 Calcularş

1

´1

|x |

1`x2dx

cálculo de áreas de regiões planas

Caso I: Seja f : ra; bs Ñ R uma função contínua e f pxq ě 0 para

todo x P ra; bs, a área da região R limitada pelo gráco de f ,

o eixo X , as retas x “ a e x “ b é dado por:

ApRq “ p

ż b

a

f pxqdxqu2

cálculo de áreas de regiões planas

Caso II: Sejam f , g : ra; bs Ñ R funções contínuas e gpxq ď f pxq

para todo x P ra; bs, a área da região Ω limitada pelos

grácos de f e de g , e as retas x “ a e x “ b é dado por:

ApRq “ p

ż b

a

rf pxq ´ gpxqsdxqu2

Exemplo1 Calcular a área da região limitada por:

y “ senpxq, x “ 0, x “π

2, y “ 0

2 Calcular a área da região limitada pela parábola y “ x2 ` 4x , o eixo X

e as retas x “ ´2 e x “ 2.

3 Calcular a área da região limitada por:

y “ |x3 ´ 4x2 ` x ` 6|, 3y ` x2 “ 0, x “ 0x “ 4

9a Aula

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MAT-140 Integrais 140/2016-II/slides/Prof. Walter Parte III 2016-II - MAT... · f px qdx F px q C Onde C é uma constante, chamada deconstante de integração, f px qé chamado de‡integrando,