MAT236_Apostila_Unidade1

8/3/2019 MAT236_Apostila_Unidade1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA

INSTITUTO DE MATEMTICADEPARTAMENTO DE ESTATSTICA

NOTAS DE AULAMAT236 MTODOS ESTATSTICOS

1 UNIDADE

Elaborada pelos professores:Giovana Silva, Lia Moraes,

Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone

Revisada em 2011.1Monitora: Tatiana Felix da Matta


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1. INTRODUO

1.1.O que estatstica e suas divises

Para muitos a Estatstica no passa de conjuntos de tabelas de dados numricos.

Mas ser que a estatstica s isso?A Estatstica originou-se com a coleta e construo de tabelas de dados para ogoverno. A situao evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectosda Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definio para a Estatstica:A Estatstica constitui-se num conjunto de tcnicas e mtodos cientficos quetratam da coleta, anlise e interpretao de informaes numricas, cujo objetivoprincipal auxiliar na tomada de decises ou tirar concluses em situaes deincerteza, a partir de informaes numricas.

A Teoria Estatstica moderna se divide em dois grandes campos:Estatstica Descritiva - consiste num conjunto de mtodos que ensinam a reduzir

uma quantidade de dados bastante numerosa por um nmero pequeno de

medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados.Estatstica Indutivaou Inferncia Estatstica - consiste em inferir (deduzir ou

tirar concluses a respeito das) propriedades de um universo a partir deuma amostra. O processo de generalizao, que caracterstico domtodo indutivo, est associado a uma margem de incerteza. A medidada incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos que se fundamentamna Teoria das Probabilidades.

A Estatstica Descritiva abrange mtodos grficos e numricos, utilizados pararesumir dados de maneira que caractersticas importantes da amostra possam serexpostas.

A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de mtodoscomputacionais muito eficientes revigorou a rea da Estatstica denominada EstatsticaDescritiva.

Na maioria das vezes no podemos investigar o fenmeno que estamosinteressados em estudar em todos os elementos da populao por ser o custo muito alto,por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados. Para resolver o problemadevemos trabalhar com um subconjunto da populao, chamado de AMOSTRA.

Se selecionarmos os elementos da amostra de acordo com critrios estatsticos,podemos conhecer as informaes relativas populao atravs da amostra.

A inferncia estatstica procura com base nos dados amostrais tirar conclusessobre a populao. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definies dadas.

Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP) Numa pesquisa eleitoral umInstituto de Pesquisa procura com base nos resultados de um levantamento aplicado auma amostra da populao prever o resultado da eleio. Considere o candidato A:

a) Denomine porp a proporo de pessoas que votaro em A na eleio.b) Denomine por p a proporo de pessoas no levantamento de opinio (amostra)que expressam inteno de voto em A.Podemos usar o valor de p para estimar a proporop da populao.O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatstico:


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1.2.Por que precisamos aprender Estatstica?Quase toda atividade e experincia humana envolvem coleta e anlise de algum

tipo de informao (dados). Na coleta de dados relativos ao comportamento ou outrascaractersticas de um grupo de indivduos, amostras aleatrias de um processo ouresultados de repetitivas medies, sempre envolvem variao.

Mtodos estatsticos representam as ferramentas bsicas para compreender asvariaes, porque a anlise estatstica a nica base para tentar entender variabilidade.

Os mtodos estatsticos so consciente ou inconscientemente usados em vriassituaes, especialmente na apresentao de informaes oriundas de dados numricos.Diversas vezes, apresentaes so baseadas, principalmente, em algum tipo de tcnica

utilizando teorias matemticas; porm durante a preparao e apresentao dos dados,mtodos estatsticos so utilizados para definir a tcnica de coleta de dados e chegar auma concluso atravs das informaes coletadas. Os mtodos estatsticos tmaplicaes em:

Indstrias: coleta de dados na linha de produo, para manter e controlar oprocesso produtivo, o que assegura o nvel de produo e os padres dequalidade; otimizao do processo produtivo; deteco das variveis querealmente influenciam o processo, viabilizando-se as experincias que possamlevar a alteraes efetivas nesse processo; planejamento de experimentosviveis, com vistas economia de observaes e, portanto, de custo;planejamento de mtodos de coleta e anlise de dados para a explorao mineral;

Instituies pblicas: planejamento da coleta, do armazenamento e doprocessamento de informaes; processamento de dados com o objetivo desintetizar e divulgar resultados; montagem de tecnologia adequada de gerao deindicadores econmicos; previso de safras, projeo de demandas;

Hospitais e instituies de pesquisa mdica: prestao de assessoria estatsticano exame da validade de testes clnicos; no estabelecimento de padres dereferncia; na determinao de fatores de risco de doenas; na comparao deresultados de diversos tratamentos clnicos e no planejamento de experimentosclnicos controlados, de estudos de casos e de estudos prospectivos;

Empresas de pesquisa de opinio e mercado: prestao de assessoria estatsticano levantamento de audincias de programas de televiso, da popularidade de

Tcnicas de AmostragemPopulao Amostra

AnliseDescritiva

Concluses sobre ascaractersticas da

populao

InfernciaEstatstica Informaes contidas

nos dados


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candidatos a cargos polticos; na avaliao da aceitao de novos produtos; narealizao de pesquisas para determinao do perfil do consumidor e noplanejamento e execuo e pesquisa para determinao das caractersticas scio-econmicas dos habitantes da regio;

Bancos e companhias de seguro: elaborao de previses a serem utilizadas

como instrumento gerencial; trabalho em associao com a aturia nos clculosdas probabilidades de morte, doena, roubo de carro, etc.; otimizao deprocedimentos de atendimento ao pblico

Centros de pesquisa: prestao de assessoria estatstica em todas as fases de umprojeto de pesquisa que envolva coleta, tratamento e anlise de dados.

Os empregados de uma empresa devem tornar-se mais familiarizados comestatstica. Eles devem entender e conhecer as tcnicas estatsticas disponveis, eadaptao de dados de experimentos para a anlise estatstica. Um profissional treinadoem Estatstica ter maior facilidade em identificar um problema em sua rea de atuao,determinar os tipos de dados que iro contribuir para a sua anlise, coletar estes dados e

a seguir estabelecer concluses e determinar um plano de ao para a soluo doproblema detectado. Qualquer um que derive informaes a partir de dados est agindocomo um estatstico.

2. PROBABILIDADE

2.1.Breve histrico.

Dizse geralmente que a teoria da probabilidade originou-se com Blaise Pascal

(1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido curiosidade de um cavalheiroChevalier de Mer, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemasrelativos probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado pelo assunto Pascaldiscutiu com Fermat sobre o que hoje chamaramos de probabilidades finitas. Mas emverdade a teoria elementar das probabilidades j tinha sido objeto de ateno bem antes,uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascnio sobre os homens.

A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades o livro DeLudo Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em1663. Tambm Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os

jogos de dados para responder a pergunta de um amigo.A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada

a partir do sculo XVII e importantes contribuies de ilustres matemticos devem serregistradas. No famoso livro, Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705)encontramos um teorema de importncia decisiva para a teoria das probabilidades,conhecido com a Lei dos Grandes Nmeros, nome que lhe foi dado pelo matemticofrancs Simon Poisson (1781-1840). Poderamos citar muitos outros com importantescontribuies, mas certamente o matemtico que mais contribuiu para a teoria dasprobabilidades foi Laplace (1749-1827). Seus inmeros trabalhos sobre asprobabilidades foram incorporados em seu monumental Tratado Analtico dasProbabilidades.

Atualmente as teorias das probabilidades tm extrema importncia nas maisdiversa reas desde a engenharia, medicina, epidemiologia, demografia, economia,


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administrao, meteorologia, fotografias de satlites, marketing, predio de desastresnaturais, cincias sociais entre outras.

Alm das muitas aplicaes formais, o conceito de probabilidade est no nossodia a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: Provavelmente vai chover amanh, provvel que o avio se atrase, H boas chances de que eu possa comparecer.

Cada uma desta expresses est baseada no conceito de probabilidade de que certoevento ocorra.

2.2.Conceitos bsicos

Fenmenos ou experimentos aleatrios (E): So aqueles em que o processo deexperimentao est sujeito a incertezas, logo, no possvel controlar todas ascircunstncias relevantes e, portanto, no possvel prever com exatido os resultadosindividuais.

Caractersticas de um experimento aleatrio:

i. Poder ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmas condies;ii. No podemos afirmar que um resultado particular ocorrer, porm, podemos

descrever o conjunto de todos os resultados possveis do experimento - aspossibilidades de resultado;

iii. Quando o experimento repetido um grande nmero de vezes, surgir umaregularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidadeestatstica, que torna possvel construir um modelo matemtico preciso com oqual se analisar o experimento.

A Teoria da Probabilidade utilizada para descrever matematicamente experimentoscujos resultados no podem ser completamente pr-determinados, ou seja, visa definirum modelo matemtico que seja adequado descrio e interpretao de fenmenosaleatrios.

Exemplo 1: Considere o experimento aleatrio de jogar uma moeda uma nica vez.Antes da moeda ser jogada no se sabe o resultado. Conhecem-se apenas os possveisresultados: cara ou coroa. Admitindo-se que a moeda honesta, cada resultado tem amesma chance de ocorrer. Neste exemplo, modelos podem ser estabelecidos paraquantificar as incertezas das diversas ocorrncias.

Fazendo-se algumas suposies adequadas, possvel escrever distribuies deprobabilidades (modelos probabilsticos) que representem muito bem as distribuies defreqncias, que s so obtidas quando o fenmeno observado.

Modelo probabilstico definido por:a) Um espao amostral ();b) Uma probabilidade, P( ), para cada ponto amostral.

Espao amostral (): conjunto de todos os resultados possveis de um experimentoaleatrio.Exemplos de experimentos aleatrios e seus respectivos espaos amostrais:

E1: Jogar uma moeda e observar a face superior.


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1 = { Cara, Coroa }E2: Jogar um dado e observar a face superior.2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }E3: Determinar o tempo de vida til de uma lmpada.3 = { t / t 0 }

Espaos amostrais podem ser finitos ou infinitos.

Evento: Qualquer subconjunto de um espao amostral.Representado pelas letras latinas maisculas A, B, C,...

Exemplo 2:No lanamento de um dado consideremos o evento ocorrer um nmero par.A: ocorrer um nmero par, em que = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.A = {2, 4, 6}

Exemplo 3:

Vai chover no litoral baiano no fim de semana? = {chove, no chove}Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento.O evento A pode representar a ocorrncia de chuvaA = {chove}

Os conjuntos e tambm so eventos: o evento certo o evento impossvel

Exerccio: Descreva o espao amostral para cada um dos seguintes experimentos a

seguir:a) Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodode 1 hora;

Resp.: ={0,1,2,...,N} em que N o nmero mximo de peas que podem serproduzidas no perodo de 1 hora.b) Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem;

Resp.: ={t / 0 t t0 } em que t0 o tempo mximo de durao da lmpadaacesa, at que ela se queime ou ={t / t 0 }.

c) Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a seqncia de caras ecoroas;

Resp.: ={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); (ca, co, co); (co, ca,co); (co, co, ca); (co, co, co)}.

d) Escolher ao acaso um ponto do crculo de raio um centrado na origem.Resp.: ={ ( ) 2, yx ; 122 +yx }.


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2.3.Operaes com eventos

Ao realizar um experimento aleatrio diz-se que o evento A ocorreu se o resultadoobservado for um elemento do subconjunto A.Dados dois eventos A e B de um mesmo espao amostral:

AB o evento em que A e B ocorrem simultaneamente; AB o evento em que A ocorre ouB ocorre (ou ambos ocorrem); Ac Aou o evento em que A no ocorre.

Exemplo 4: E: Lanamento de um dado ={1, 2, 3, 4, 5, 6}Evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6}Evento C: representa sair uma face mpar => C = {1, 3, 5}Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6}Evento E: representa sair face 1 => E = {1}Evento B D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4,

6}Evento B C: representa sair uma face par e mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = Evento B D: representa sair uma face par ou maior que 3 => {2, 4, 6} {4, 5, 6} ={2, 4, 5, 6}Evento B C: representa sair uma face par ou mpar => {2, 4, 6} {1, 3, 5} = {1, 2, 3,4, 5, 6}Evento Bc = CEvento Cc = B

Se dois eventos quaisquer tm interseco vazia, isto , eles no podem ocorrersimultaneamente, dizemos que eles so mutuamente exclusivos ou disjuntos. Noexemplo 4, os eventos B e C so mutuamente exclusivos ou disjuntos, visto que B C

= .

2.4.Como atribuir probabilidade a um evento?

Calcular uma probabilidade medir a incerteza ou associar um grau deconfiana aos resultados possveis de um experimento. Por exemplo, ao escolher, aoacaso, uma carta de um baralho comum (bem embaralhado), o que mais provvel, sairuma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de copas?

As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo [0,1]. Quantomaior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua possibilidade de ocorrncia.

Seja um espao amostral. Uma funo P definida para todos os subconjuntosde (chamados eventos) chamada de probabilidade se:1) 0 P(A) 1, para todo evento A 2) P() = 13) Se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (A i Aj)

= para todo i j, ento

( ) )(...)()( 211

n

n

i

i APAPAPAP +++==U =

=

n

i

iAP

1

)(


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Existem vrias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do espaoamostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas baseada em espaos amostraisfinitos.

Um espao amostral equiprovvel quando todos os elementos tm a mesmaprobabilidade de ocorrer, isto , todos os seus elementos so igualmente provveis.

Definio: Seja A um evento associado ao espao amostral finito , no qual todos osresultados so igualmente possveis (ou equiprovveis). Vamos definir a probabilidadedo evento A, P(A) como o quociente entre o nmero de elementos em A e o nmero deelementos em :

=

#

#)(

AAP ,

isto , a razo entre os casos favorveis ao evento e o total de casos possveis.Limitaes:

Dificuldade em enumerar #A e #em alguns casos;infinito;Modelo adequado apenas para a classe de fenmenos cujo o espao amostral

equiprovvel.

Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um nmero par no lanamento de um dado? = {1,2,3,4,5,6}A = nmero par = {2, 4, 6}

P(A) =6

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Para calcular probabilidade utilizando a definio clssica, em geral utilizam-se osmtodos de enumerao: Combinaes, arranjos e permutaes.

Resumo de algumas tcnicas sistemticas de enumerao

1 Princpios bsicos da multiplicao

Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas eo segundo pode ocorrer de n maneiras distintas, ento os dois eventosconjuntamente podem ocorrer de m.n maneiras distintas.

Exemplo 6: Uma bandeira formada por 7 listras que devem ser coloridasusando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas umacor e no se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos sepode colorir a bandeira?

Soluo: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. H 3 modosde escolher a cor da primeira listra e, a partir da, 2 modos de escolher a cor decada uma das outras 6 listras. A resposta 3x26 = 192.


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2 Permutaes

Uma coleo de n objetos diferentes pode ser ordenada de n! maneiras distintas.

Portanto, o n de permutaes de n objetos diferentes dado por Pn=n! (Essaregra de permutao, traduz o fato de que o primeiro objeto pode ser escolhidode n maneiras diferentes, o segundo objeto pode ser escolhido de n-1 maneirasdistintas, e assim por diante).

Exemplo 7: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes deMatemtica, 3 livros diferentes de Estatstica e 2 livros diferentes de Fsica, demodo que livros de uma mesma matria permaneam juntos?

Soluo: Podemos escolher a ordem das matrias de 3! Modos. Feito isso, h 5!Modos de colocar os livros de Matemtica nos lugares que lhe foram destinados,

3! Modos para os de Estatsticas e 2! Modos para os de Fsica. A resposta :3!5!3!2!= 6 x 120 x 6 x 2 = 8640.

3 - Arranjos

o nmero de maneiras de escolher p objetos dentre n objetos diferentes (semrepetio), sendo a ordem importante, e permutar os escolhidos (0 p n).

Portanto, o nmero de arranjos dado por:)!(

!

pn

nApn

=

Exemplo 8: No planejamento de um programa noturno da rede de televisoNBC, devem ser escolhidos 6 shows dentre 30 disponveis. Quantasprogramaes diferentes so possveis?

Soluo: Devemos selecionar p=6 dentre n=30 programas disponveis. Aqui aordem tem importncia, por que os espectadores variam no decorrer do tempo.Logo devemos calcular o nmero de arranjos

000.518.427)!630(

!30

)!(

!=

=

=

pn

nA

p

n.

4 Combinao

o nmero de maneiras de selecionar p objetos distintos dentre n objetosdistintos dados, sem considerarmos a ordem. Cada seleo de p objetos chamada de uma combinao simples de classe p dos n objetos. Representamos

o nmero de combinaes simples de classe p de n elementos por pnC ou

p

n.

Assim o nmero de combinaes de p objetos extrados de um conjunto de n


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objetos diferentes )!(!

!

pnp

nCpn

= . ( Basta notar que selecionar p entre os n

objetos equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos, que soselecionados, e um grupo de n-p objetos, que so os no-selecionados.)

Exemplo 9: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comisses de 5 pessoas, comexatamente 3 homens, podem ser formadas?

Soluo: Para formar a comisso devemos escolher 3 dos 5 homens e 2 das 4

mulheres. H60

!2!2

!4.

!2!3

!5

2

4.

3

5. 24

35 ==

=CC

Exemplo 10: Um lote formado de 2 artigos bons e 1 defeituoso. Dois artigosso selecionados ao acaso:

a) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados sem considerarmosa ordem?

Trata-se aqui do nmero de combinaes de p=2 artigos a serem

selecionados dentre 3. Temos 3!1!2

!323 ==C , (PP, DP, PD)

b) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados considerando a

ordem?

Aqui, desejamos o nmero de seqncias (ou permutaes) de p=2 artigos a

serem escolhidos dentre os 3. Temos 6!1

!323 ==A , (P1P2, P2P1, D1P1, P1D1,

D1P2, P2D1).

Exerccios:

1) Trs garotos e 3 garotas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das 3 garotassentarem juntas. Resp.: 0,2.

2) Um lote formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitosgraves. Dois artigos so escolhidos (sem reposio) ache a probabilidade de que:

a) Ambos tenham defeitos graves? Resp.: 0,00833.b) Exatamente um seja perfeito? Resp.: 0,5.

3) Um produto montado em 3 estgios. No primeiro estgio, existem 5 linhas demontagem; no segundo estgio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estgio,existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras diferentes poder o produto se

deslocar durante o processo de montagem? Resp.: 120


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4) Um inspetor visita 6 mquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que osoperrios saibam quando ele os ir inspecionar, o inspetor varia a ordenao de suasvisitas. De quantas maneiras isto poder ser feito? Resp.: 720

5) Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estgios. De quantas maneiras poderfalhar em exatamente 3 desses estgios? Resp.: 455

6) Em uma sala, 10 pessoas esto usando emblemas numerados de 1 at 10. Trspessoas so escolhidas ao acaso e convidadas a sarem da sala simultaneamente. Onmero de seu emblema anotado.a) Qual a probabilidade de que o menor nmero de emblema seja cinco? Resp.:0,0833b) Qual a probabilidade de que o maior nmero de emblema seja cinco? Resp.:0,05

As limitaes da definio clssica de probabilidade, que s se aplica a espaosamostrais finitos e equiprovveis, levaram a considerar outra forma de calcularprobabilidade de um evento partindo da freqncia relativa do evento ao se repetir oexperimento, n vezes, sob as mesmas condies. Em linguagem matemtica, quando ncresce, o limite da freqncia relativa de ocorrncia de A igual a P(A), isto ,

P(A)n

ocorreAquerepetiesde#lim)(lim ==

nn

nAf .

Exemplo 11: Suponha que vamos realizar um experimento de lanar 20 vezes umamoeda e observar o nmero de caras. A cada lanamento vamos considerar o nmero de

caras que at ento ocorreram (n) dividido pelo nmero de lanamentos (na), ou seja, afreqncia relativa de caras. Os resultados referentes a esse experimento encontram-sena tabela abaixo:

N na fa=na/n n na na/n1 1 1 11 6 6/112 1 1/2 12 7 7/123 2 2/3 13 7 7/134 3 3/4 14 8 8/145 3 3/5 15 8 8/156 3 3/6 16 8 8/167 3 3/7 17 8 8/17

8 4 4/8 18 8 8/189 5 5/9 19 9 9/19

10 5 5/10 20 9 9/20

Vejamos o comportamento das freqncias relativas por meio do grfico aseguir:


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A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o nmero delanamentos, a freqncia relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemtica

dizemos que a freqncia relativa converge para 0,5. Dificuldade do ponto de vistamatemtico: o nmero do limite real pode no existir.

Exerccio (TRIOLA):Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmaram quecolavamnos exames, enquanto 2468 afirmaram no colar [com base em dados doJosephson Institute of Ethics (Instituto Josephson de tica)]. Selecionandoaleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade deste estudante tercolado em um exame. Resp.: 0,3201.

Teoremas:

1. P() = 02. Se Ac o evento complementar de A, ento P(Ac) = 1- P(A)3. Sejam A e B dois eventos quaisquer, ento:

P (A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Demonstrao: AB = A[BAc]B = (A B) (BAc)

P(AB) = P(A) + P (BAc)-P(B) = -P(A B) - P (BAc)

P (AB) = P(A) + P(B) - P(A B)

4. Se A, B e C forem trs eventos quaisquer, ento:P (A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

Generalizao:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn

n

rji

rji

n

ji

ji

n

i

in AAPAAAPAAPAPAAP +++=


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Exemplo 12: Se P(ABc)=0,2 e P(Bc)=0,7. Achar P(AB)? (Use diagrama de Veen)P(ABc)= P(A) P(AB) 0,2 = P(A) - P(AB) P(A) = 0,2 + P(AB)P(Bc)= 1 P(B) 0,7 = 1 - P(B) P(B)= 0,3P (A B) = 0,2 + 0,3 = 0,5

Exerccios:

1) Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitosgraves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:a) a pea no tenha defeito grave? Resp.:0,875.b) a pea no tenha defeito? Resp.:0,625.c) a pea seja boa ou tenha defeito grave? Resp.:0,75.

2) Dois processadores tipo A e B so colocados em teste por 50 mil horas. Aprobabilidade que um erro de clculo acontea em um processador do tipo A de

301 , no tipo B,

801 e em ambos,

10001 . Qual a probabilidade de que:

a)Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? Resp.:0,045.b)Nenhum processador tenha apresentado erro? Resp.:0,955.c)Apenas o processador A tenha apresentado erro? Resp.:0,032.

3) O seguinte grupo de pessoas est numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4homens com menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos e 3mulheres menores de 21 anos. Uma pessoa escolhida ao acaso. Define-se osseguintes eventos: A: a pessoa maior de 21 anos; B: a pessoa menor de 21 anos;C: a pessoa homem e D: a pessoa mulher. Calcule:

a)P(B D)b)P( CA )c)P(A B)Resp.: a)0,722; b)0,167; c)0 9

4) Uma remessa de 30 arruelas contm 5 peas defeituosas e 25 perfeitas. Dez arruelasso escolhidas ao acaso (sem reposio) e classificadas.a)Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peas defeituosas?Resp.:0,160b)Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peas defeituosas? Resp.:

0,5512


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2.5. Probabilidade condicional

Considere o exemplo abaixo:

Dados do Censo Demogrfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de

Sergipe, na faixa etria entre 20 a 24 anos com relao s variveis Sexo e Leitura.

Sexo L No l TotalMasculino 39.577 8.672 48.249Feminino 46.304 7.297 53.601

Total 85.881 15.969 101.850

E: Um jovem entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso em Sergipe.

: conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. #=101.850.

Eventos de interesse: M: jovem sorteado do sexo masculino F: jovem sorteado do sexo feminino L: jovem sorteado sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino e sabe ler M L: jovem sorteado do sexo masculino ou sabe ler

Podemos obter algumas probabilidades:

843,0850.101

881.85

dejovensden

lersabemquejovensde)( ==

=

nLP

473,0850.101

245.48

dejovensden

masculinosexodojovensde)( ==

=

nMP

P(F) = P(Mc) = 1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527

850.101

557.39

jovensden

lersabemqueemasculinosexodojovensde)( =

=

nLMP

P (M L) = P(M) + P(L) - P(M L)= 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928

No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado do sexo masculino, qual aprobabilidade de que saiba ler? Temos uma informao parcial: o jovem do sexomasculino.Vamos designar a probabilidade de L quando se sabe que o jovem do sexo masculinopor P (L M ) e denomin-la probabilidade condicional de L dado M.

natural atribuirmos:


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14

0,82048.249

39.577

masculinosexodojovensdetotaln

masculinosexodoaquelesdentrelersabemquejovensden)M(LP ============

Note que:

Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo masculino dado que l dada por:

0,460

850.101881.85

850.101577.39

(L)P

L)(MP)L(MP ==

=

Definio de probabilidade condicional: Sejam A e B eventos de um experimentoaleatrio qualquer, com P(B) > 0. A probabilidade condicional de A dado B(denota-sepor P (A B) definida como:

P(B)

B)P(A

B)P(A

====

2.6. Regra ou Teorema do produto

Como conseqncia da definio de probabilidade condicional, podemos calcular aprobabilidade da ocorrncia conjunta de dois eventos A e B.

( ) ( ) )(|)()(

)(| BPBAPBAP

BP

BAPBAP =

=

Exemplo 13:Uma urna contm fichas numeradas de 1 a 4. Retira-se uma ficha da urna ao acaso eanota-se o nmero. Esta ficha ento recolocada na urna, e retira-se novamente umaficha, ao acaso, da urna. Qual a probabilidade de ter sado a ficha com nmero 1, naprimeira retirada, e de ser 5 a soma dos nmeros das duas fichas retiradas?

Resoluo:

Evento A: sair o nmero 1 na primeira retirada =>P(A) = 41

Evento B: soma = 5

(M)P

L)(MP)M(LP

jovensdetotalnmasculinosexodojovensn

jovensdetotaln

lersabemqueemasculinosexodojovensn

)M(LP

=

=


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15

Evento B|A: {soma = 5 | a primeira ficha 1}, se queremos que a soma seja 5, ento

preciso que a segunda ficha seja o nmero 4 P(B|A) = 41

Pelo teorema do produto temos que,

( ) 1614141)(|)( === APABPBAP

Exemplo 14:Duas vlvulas defeituosas se misturam com duas vlvulas perfeitas. As vlvulas soensaiadas, uma a uma, at que ambas defeituosas sejam encontradas. Qual aprobabilidade de que a ltima vlvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio?

Resoluo:

Evento A: sair uma vlvula defeituosa =>P(A) = 42

Evento B: a ltima vlvula defeituosa

Evento B|A: sair a ltima vlvula defeituosa | saiu uma vlvula defeituosa P(B|A) =

31

Pelo teorema do produto temos que,

( ) 122

31

42)(|)( === APABPBAP

De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que

Esta relao pode ser estendida para um nmero finito qualquer de eventos.

Exerccios:a) As falhas na fundao de um grande edifcio podem ser de dois tipos: A(capacidade de suportar) e B (fundao excessiva). Sabendo-se que P(A)=0,001,P(B)=0,008 e P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade:

i) De haver falha na fundao? Resp.:0,0082

ii) De ocorrer A e no B? Resp.:0,0002

b) Um sistema eletrnico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testesprvios sabe-se que: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15 e P(B falhesozinho)=0,15. Calcule:

i) P(A falhe | B falhou); Respostas: 0,5ii) P(A falhe sozinho); Respostas: 0,05

c) Duas lmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lmpadas boas.Se vamos testando as lmpadas, uma por uma, at encontrar duas defeituosas, qual a

probabilidade de que a ltima defeituosa seja encontrada no quarto teste? Resp.: 3/28


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16

2.7. Regra da probabilidade total

Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. H duas maneiras de B ocorrer,considerando a ocorrncia ou no do evento A: ou A e B ocorrem (A B) ou Ac e B

ocorrem (A

c

B).Deste modo, B = (A B) (Ac B), em que A B e Ac B so conjuntos disjuntos.Ento, P(B) = P(A B) + P(Ac B).Pela regra do produto P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac)

DEFINIO DE PARTIO:

Tem-se uma partio de um espao amostral em um nmero finito de eventos A i ( i =1,2,...,n) se:1) Se A1, A2,..., An forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto , (Ai Aj)

= para todo i j.

2) ==Un

i

iA

1

, isto , os eventos A so exaustivos.

REGRA DA PROBABILIDADE TOTAL: se a seqncia de eventos aleatrios A1,A2,..., An formar uma partio de , ento:

( ) ( ) ( ) ( ) ==n

iii

i

i ABPAPBAPBPn

Exemplo 7.15:Um lote de 100 peas composta de 20 peas defeituosas e 80 peas perfeitas, do qualextrairemos 2 peas sem reposio. Qual a probabilidade da segunda pea extrada serdefeituosa?Soluo:

Evento A: a primeira pea extrada defeituosaEvento B: a segunda pea extrada defeituosaPela regra da probabilidade total temos que,

P(B) = P(A). P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) =5

1

99

20.100

80

99

19.100

20 =+

B AC B A

AAc

B

A1 A2 A3 ..... An


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17

Exemplo 16:Em uma fbrica de parafusos so utilizadas n mquinas. Sejam P(Ai) a probabilidade deum parafuso provir da i-sima mquina, i = 1,2,...,n e P(B iA) indica a probabilidade do

parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi produzido pela isima mquina.Do total de parafusos produzidos pela fbrica, escolhe-se ao acaso um parafuso. Qual aprobabilidade de que o parafuso seja defeituoso?

Soluo:Se B representa o evento parafuso escolhido defeituoso, pela regra da probabilidadetotal, temos que:

P(B) = P(B 1A ) P(A1) + P(B 2A ) P(A2) + ......+ P(B nA ) P(An)

Podemos ainda estar interessados em saber a probabilidade da i-sima mquina terproduzido o parafuso defeituoso.

2.8.Independncia estatstica

Dois eventos so ditos independentes quando a ocorrncia de um deles no interfere naprobabilidade de ocorrncia do outro.

Em linguagem matemtica, dados A,B , A e B so ditos independentes, se esomente se:

P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B)

Nesse caso, temos queP(A B) = P(A). P(B)

Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema de 2/3 e a probabilidade deque B resolva de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade doproblema ser resolvido?

Resoluo:A: A resolveB: B resolveA B: A e B resolvemA B: A ou B resolvem => o problema resolvidoComo so eventos independentes, P(A B) = P(A).P(B) e

P(A B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 2/4 =

12

5

12

38=

.

Generalizando:Os eventos A1, A2,..., An, so independentes se e somente se a independncia forverificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta famlia.

Para que trs eventos sejam independentes necessrio verificar quatroigualdades:

P(A B) = P(A) P(B)


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18

P(A C) = P(A) P(C)P(B C) = P(B) P(C)P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

que corresponde 413

3

3

3

2 =+=

+

, igualdades a serem verificadas

Para quatro eventos necessrio verificar onze igualdades que so:

111464443

42 =++=

+

+

Para n eventos necessrio verificar:

1n2n

k

nn

2k

=

=igualdades

Se Ai, i= 1, 2, 3,..., n, uma famlia finita de eventos independentes, ento

=

==

n

1i

n

1i)A(PAP iiI

Observar que:

==

)()|()(

)()|()(

BPBAPBAP

APABPBAPpara eventos quaisquer (condicional)

{ )()()( BPAPBAP = para eventos independentes

Como conseqncia dos resultados acima, tm-se que e so independentes dequalquer evento A, A . Para ver isto note que:1) P( A) = P( ) = 0 = P() P(A)2) P( A) = P(A) = P() P(A)

Exerccios1) Uma mquina consiste de 4 componentes ligados em paralelo de tal forma que a

mquina falha apenas quando todos os componentes falharem. Supondo que as falhasso independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as probabilidade0,1, 0,2, 0,3, e 0,4 de falhar quando a mquina ligada, qual a probabilidade damquina no falhar ? Resp.: 0,9976.

2) A probabilidade de um homem viver, mais dez anos e a probabilidade de umamulher viver mais dez anos 1/3. Encontre a probabilidade de ambos estarem vivosdentro de dez anos e de ao menos um estar vivo dentro de dez anos. Resp.: 1/12 e 1/2.


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19

1 LISTA DE EXERCCIOS

1) Descrever o espao amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos aseguir:

E1: Lanam-se dois dados perfeitos e observam-se os nmeros nas faces voltadas para

cima; A1: A soma das faces sete;

E2: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e anotar a seqncia de caras (K) ecoroas (C );

A2: Sair pelo menos duas caras;

E3: Lanar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados;A3: Obteno de face impar no dado;

E4: Lanar uma moeda trs vezes, sucessivamente, e registrar o nmero de caras

ocorrido;A4: Sair pelo menos duas caras;

E5: Numa linha de produo conta-se o nmero de peas defeituosas num perodo de 1hora;

A5: Obter menos de 3 defeituosas

E6: Mede-se a durao de lmpadas, deixando-as acesas at que queimem;A6: O tempo de vida da lmpada inferior a 30 horas;

E7: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produo so retirados 3artigos e cada um classificado como bom(B) ou defeituoso(D).

A7: Pelo menos dois artigos so bons.

E8:Um lote de dez peas contm trs defeituosas. As peas so retiradas uma a uma,sem reposio, at que a ultima pea defeituosa seja encontrada. O nmero total depeas retiradas registrado.

A8: Menos de cinco peas foram retiradas.

E9: Peas so fabricadas at que dez peas perfeitas sejam produzidas. O nmero totalde peas fabricadas anotado.

A9: Quinze ou mais peas foram fabricadas2) Suponha-se duas urnas contendo, cada uma, quatro bolas numeradas de 1 a 4.

Considera-se o experimento que consiste, em retirar, ao acaso, uma bola de cadaurna. Descreva o espao amostral. Determine os seguintes eventos:

a) a soma do nmero de pontos mpar;b) a bola extrada da primeira urna contm o nmero dois.

3) Sejam A, B e C trs eventos quaisquer. Estabelea uma expresso para os eventosabaixo:a) A e B ocorrem;

b) A ou B ocorrem;


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20

c) B ocorre, mas A no ocorre;d) A no ocorre;e) no ocorre A e no ocorre B;f) A e B ocorrem, mas C no corre;g) somente A ocorre, mas B e C no ocorrem.

4) Dados P(A) = 1/2; P(B) = 3/8; P(A B) =1/8, calcule:a) P(A B); b) P(A B); c) P(A B ); d) P(A B ); e) P(A B).

5) A MasterCard Internacional efetuou um estudo de fraudes em cartes de crdito; osresultados esto consubstanciados na tabela a seguir. Selecionando aleatoriamenteum caso de fraude nos casos resumidos na tabela, qual a probabilidade de a frauderesultar de um carto falsificado?

Tipo de Fraude QuantidadeCarto roubado 243Carto falsificado 85Pedido por correio / telefone 52Outros 46

6) Um certo tipo de motor eltrico falha se ocorrer uma das seguintes situaes:emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas.Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provvel do que a queima, estasendo quatro vezes mais provvel do que o desgaste das escovas. Qual ser aprobabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas circunstncias?

7) Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas; outra urna U2 contem 3 bolas

brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas.Tira-se uma bola de cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bolabranca e duas bolas pretas.

8) Lana-se uma moeda viciada de modo que a probabilidade de cara(K) igual a 2/3 ea probabilidade de coroa(C) igual a 1/3. Se aparecer cara, ento seleciona-sealeatoriamente um nmero dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-sealeatoriamente um nmero dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um nmeropar ser selecionado. Construa o diagrama em rvore.

9) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a

probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade deocorrncia de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrncia de B.

10)Na tabela abaixo, os nmeros que aparecem so probabilidades relacionadas com aocorrncia de A, B, A B, e assim por diante.. Verifique se A e B soindependentes.

B Bc

A 0,04 0,06 0,10Ac 0,08 0,82 0,90

0,12 0,88 1,00


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21

11)Uma associao de indstrias transformadoras de resinas plsticas composta de 20empresas que produzem sacos plsticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 queproduzem utenslios domsticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Aoescolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:a) seja uma indstria que produza sacos plsticos ou utenslios domsticos;

b) seja uma indstria produtora de sacos plsticos ou brinquedos;c) no seja uma indstria que produza garrafas.

12)Trs alarmes esto dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionarindependentemente, quando qualquer coisa indesejvel ocorrer. Se cada alarme temprobabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual a probabilidade de se ouvir oalarme quando necessrio?

13)Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesmaconfiabilidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente,obtenha a confiabilidade do sistema.

1 2

L 3 R

4 5

14)As 500 propriedades rurais de certa regio foram classificadas de acordo com aextenso em hectares, conforme tabela abaixo. Sejam os eventos:

A = {X: X < 5 ha} ; B = { X: 5 X < 20 } ; C ={X: X 10 ha }

Determine: a) P(A); b) P(B ); c) P(BC); d) P(AB).

rea (ha) N. de Propriedades< 5 130

5 10 17010 20 9020 50 5050 100 40 100 20

15)Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4,enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p.a)Para que valor de p, A e B sero mutuamente exclusivos?b)Para que valor de p, A e B sero independentes?

16)Sob a ao de uma fora F, as probabilidades de falha nas barras a, b e c da estruturamostrada na figura abaixo so respectivamente 0,06; 0,05 e 0,04. Se ocorrer a falhaem qualquer uma das barras, isto leva a falha em toda a estrutura. Supondo que asfalhas nas barras so estatisticamente independentes, ache a probabilidade deocorrer a falha da estrutura.


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b a

c

17)Um sistema composto de 3 componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e0,7, respectivamente. O componente 1 indispensvel ao funcionamento dosistema; se 2 ou 3 no funcionam, o sistema funciona, mas com rendimento inferior.A falha simultnea de 2 e 3 implica o no funcionamento do sistema. Supondo queos componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade dosistema.

18)Um processo industrial produz 4% de itens defeituosos. A experincia mostra que25% dos itens defeituosos produzidos no so percebidos pelo inspetor dequalidade. Os itens bons sempre so aceitos satisfatoriamente pela inspeo. Qual aprobabilidade de que, se voc comprar um desses itens,seja um item defeituoso?

19)Uma fbrica dispe de 3 mquinas para fabricar o mesmo produto. Essas mquinasso antigas e apresentam freqentemente defeitos de funcionamento com asseguintes percentagens do tempo de utilizao:

MQUINA TEMPO COM DEFEITO (%)A 40B 35C 25

Verificam-se nas peas produzidas as seguintes porcentagens de peasdefeituosas:

MQUINA PEAS DEFEITUOSAS (%)A 2B 4C 5

A gerncia decide substituir uma das mquinas a fim de diminuir a porcentagemde peas defeituosas. Qual das trs mquinas deve ser substituda?

20)Um artigo manufaturado que no pode ser usado se for defeituoso, deve passar porduas inspees antes de receber embalagem. A experincia mostra que um dosinspetores deixar passar 5% dos defeituosos, ao passo que o segundo inspetordeixar passar 4% dos tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pelainspeo e se 10% dos artigos processados so defeituosos, que percentagem dosartigos que passaram pelas duas inspees so defeituosos?


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23

21)Uma companhia de seguros analisou a freqncia com que 2000 segurados usaram ohospital, distribudos segundo a tabela abaixo.

DISCRIMINAO HOMENS MULHERESusaram o hospital 100 150

no usaram o hospital 900 850Escolhe-se um segurado ao acaso. Sendo definidos os eventos:A = {o segurado usou o hospital } e B = {o segurado homem }, calcule:

d) P(A B);e) P(A B);f) P(AUB).g) A probabilidade de o segurado escolhido ser homem, sabendo-se que utilizou o

hospital;h) A probabilidade de o segurado escolhido ter utilizado o hospital, dado que era

homem;i) A probabilidade de o segurado ser mulher dado que no utilizou o hospital.

22)Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemtica. Almdisso, 45% dos estudantes so mulheres. Se um estudante selecionadoaleatoriamente est estudando matemtica, qual a probabilidade de que esteestudante seja mulher?

23)Um empreiteiro apresentou oramentos separados para a execuo da parte eltricae da parte de encanamento de um edifcio. Ele acha que a probabilidade de ganhar aconcorrncia da parte eltrica de 1/2. Caso ele ganhe a parte eltrica, aprobabilidade de ganhar a parte de encanamento de 3/4; caso contrrio, essa

probabilidade de 1/3. Qual a probabilidade de ele:a) ganhar os dois contratos;b) ganhar apenas um.

24)Uma grande empresa tem dois departamentos de produo: Produtos Martimos eProdutos para Oficinas. A probabilidade de que a diviso de Produtos Martimostenha no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mnimo 10% estimadaem 0,30; a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha umamargem de lucros de pelo menos 10% 0,20; e a probabilidade de que ambas asdivises tenham uma margem de lucros de no mnimo 10% 0,06. Determine aprobabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem

de lucros de no mnimo 10% dado que a diviso de Produtos Martimos tenhaalcanado tal nvel de lucro.

25)Se A e B so dois eventos relacionados com uma experincia E e so conhecidas asprobabilidades P(A), P(B) e P(A B), deseja-se em funo destas, as expresses dasprobabilidades dos seguintes eventos:a) (A B);b) (A B );c) (A B);d) (A B).


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26)Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contmuma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquantoa urna 2 contm uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna escolhida aoacaso; a seguir uma de suas gavetas aberta ao acaso. Verifica-se que a moedaencontrada nesta gaveta de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha

da urna 2?

27)Trs times de futebol so formados selecionando-se jogadores de trs pasesdiferentes da seguinte maneira:

Time A1 5 brasileiros, 4 americanos, 2 argentinosTime A2 - 4 brasileiros, 2 americanos, 5 argentinosTime A3 - 2 brasileiros, 5 americanos, 4 argentinosUm time selecionado ao acaso e deste time dois jogadores tambm so selecionadosao acaso. Os jogadores selecionados so 1 americano e 1 argentino. Qual aprobabilidade do time A3 ter sido escolhido?

28)Uma companhia produz circuitos integrados em trs fbricas, I, II e III. A fbrica Iproduz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30 % cada uma. Asprobabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fbricas nofuncione so 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produoconjunta das trs fbricas, Qual a probabilidade de o mesmo no funcionar?

29)Considere a situao do problema anterior, mas suponha agora que um circuito escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sidofabricado por I.

30)Uma indstria qumica produz uma grande variedade de produtos usando quatrodiferentes processos; a mo de obra disponvel suficiente somente para que apenasum processo seja executado num dado instante. O gerente da indstria sabe que adescarga de uma poluio perigosa no rio que passa em volta da mesma, depende doprocesso que est em operao. As probabilidades de ocorrer poluio perigosa paraos vrios processos, denotando por F uma descarga de poluio perigosa, so:P(F|A) =0,40; P(F|B) = 0,05; P(F|C) = 0,30; P(F|D) = 0,10. Todos os outros produtosda fbrica so considerados inofensivos. Em um determinado ms sabe-se que em20%, 40%, 30% e 10% do tempo respectivamente usam-se os processos A, B, C eD. Deseja-se saber qual a probabilidade de no termos uma descarga de poluioperigosa no determinado ms?


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Gabarito (1 lista)l)E1: 1 = {(1,1); (1,2);.....; (1,6); (2,1); (2,2);.....; (2,6);.........; (6,1); (6,2);.... ; (6,6) }

A1 = {(1,6): (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) }E2: 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC }

A2 = {KKK, KKC, KCK, CKK }E3: 3 = {(K,1); (K,2);......;(K,6); (C,1); (C,2).....; (C,6) }

A3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) }E4: 4 = {0, 1, 2, 3 }

A4 = { 2}E5: 5 = {0, 1, 2, 3, ..., N }, N o n. mximo de peas defeituosas no perodo de 1 h

A5 = { 0,1, 2, 3}E6: 6 = {t: t 0 } ou 6 ={t: 0 t to} onde to o tempo mximo de vida da lmpada.

A6 = {t: t < 30 } ou A6 = { t: 0 t < 30 }E7: 7 = {BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB, DDD }

A7 = {BBB; BBD; BDB; DBB }E8: 8 = {3, 4, 5,...., 10 }A8 = { 3, 4}

E9: 9 = {10, 11, 12,....}A9 = { 15, 16, 17,...}

2) ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1),(4,2), (4,3), (4,4)}

a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)}b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)}

3) a) A B; b) A B; c) A B; d)A; e) A B; f) ABC g) (ABC).

4) a) 0,75; b) 0,25; c) 0,875; d) 0,375; e) 0,25 5) 0,1995 6) 8/13, 4/13 e 1/13

7) 0,3809 8) 0,4296 9) 0,3333 10) A e B no so independentes

11) a) 0,7 b) 0,55 c) 0,75 12) 0,999 13) p + 2p2 - 2p3 - p4 + p5

14) a) 0,26; b) 0,48; c) 0,74; d) 0,78. 15) a )0,3 b ) 0,5 16) 0,1427

17) 0,846 18) 0,01 19) B 20) 0,02% 21) 0,3529

22) a) 1900/2000; b) 900/2000; c) 1150/2000; d) 100/250; e) 100/1000; f) 850/1750

23) a) 0,375 b ) 0,2917 24) 0,2

25) a) 1 - P(AB); b) 1 - P(A) - P(B) + P(AB); c) 1 - P(A) + P(AB); d) P(B) -P(AB).

26) 0,6667 27) 0,5263 28) 0,025 19) 0,16 30) 0,8


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26

3. VARIVEL ALEATRIA

3.1.Conceitos bsicos

Definio 1.

Sejam E um experimento e um espao amostral associado ao experimento.Uma funo X que associe a cada elemento wi um nmero real, X(wi), denominada varivel aleatria.

Uma varivel aleatria X , portanto, uma funo cujo domnio o espao amostral econtra-domnio conjunto dos nmeros reais, ou seja, X: R

Exemplo 1:

a) E: Lanamento de uma moeda.Assim, = {cara, coroa}={w1, w2}

( )

==

=coroadersese

caraderousewX

seja,ou,ww,0

,seseja,ww,1

2

1

b) E: Lanamento de duas moedas.Seja X o nmero de caras obtidas no experimento.Vamos denotar c: cara e k: coroa.

Assim, = { cc, ck, kc, kk }= { w1, w2, w3, w4 }

X(w1) = 2X(w2 ) = X(w3) = 1X(w4) = 0

c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo [0,1]Seja X o quadrado do valor escolhido.

Assim = [0,1], e X(w)= w2 w

d) E: Escolher um ponto ao acaso no crculo unitrio.


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27

Seja X a distncia do ponto escolhido origem.

Assim, = { (x,y) / x2 + y2 1} e X(w)= 22 yx +

Definio 2.Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinitoenumervel, ento X denominada varivel aleatria discreta.

Exemplo 2: Sorteio de n indivduos de uma populao.X: o nmero de indivduos do sexo masculino sorteados => X() = {0, 1, 2, 3,..., n}

Definio3.Seja X uma varivel aleatria. Se X assume valores em um conjunto infinito no

enumervel, ento X denominada varivel aleatria contnua.

Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produo diria de uma fbrica e registro

de seu dimetro (em mm) e comprimento (em mm).Suponha que esta fbrica produza parafusos com dimetro entre 3 e 10 mm ecomprimento entre 20 e 35 mm

X = Dimetro do parafuso => X() = [ 3, 10]Y = Comprimento do parafuso Y() = [20, 35]

3.2.Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria discreta

Seja X uma v.a. discreta que assume os valores x1, x2,...,xn.... A distribuio de

probabilidades de X o conjunto de pares de valores que associa a cada valor davarivel xi a probabilidade P(X = xi):

(x1, P(X = x1)), (x2, P(X = x2)),..., (xn, P(X = xn)),...De maneira que,

a) 1)x(1

========

====iiXP

b) P(X = x) = p(x) 0

Exemplo 4: E: lanamento de um dado honesto.X: nmero da face observada => X() = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A distribuio de probabilidade ( ou funo de probabilidade) de X dada por:X 1 2 3 4 5 6P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lanamento de duas moedas. Seja X onmero de caras

Resultados (w) X (w) ProbabilidadeP (X = xi)

(Cara, Cara) 2 (Cara, Coroa) 1 (Coroa, Cara) 1


29/70

28

(Coroa, Coroa) 0

Obtemos ento,P (X = 0) =

P (X = 1) = + =

P (X = 2) =

Exemplo 6: (Morettin e Bussab, 2006)Um empresrio pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto

composto de uma esfera e um cilindro. As partes so adquiridas em fbricas diferentes,e a montagem consistir em juntar as duas partes e pint-las. O produto acabado deveter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro decertos limites, e isso s poder ser verificado aps a montagem. Para estudar aviabilidade do seu empreendimento, o empresrio quer ter uma idia da distribuio doslucros por pea montada.

Sabe-se que cada componente pode ser classificado como BOM, LONGO ou

CURTO, conforme sua medida esteja dentro da especificao, seja ela maior ou menorque a especificada. Alm disso, foram obtidos dos fabricantes o preo de cadacomponente (5 unidades de dinheiro) e as probabilidades de produo de cadacomponente com as caractersticas BOM, LONGO e CURTO. Estes valores esto natabela abaixo:

Distribuio da produo das fbricas A e B, de acordo com as medidas daspeas produzidas

Produto Fbrica ACilindro

Fbrica BEsfera

Dentro das especificaes...... BOM (B) 0,80 0,70

Maior que as especificaes...... LONGO (L) 0,10 0,20Menor que as especificaes...... CURTO (C) 0,10 0,10Fonte: Retirada das especificaes tcnicas das fbricas A e B

Se o produto final apresentar algum componente com a caracterstica C, ele serirrecupervel, e o conjunto ser vendido como sucata ao preo de 5 unidades. Cadacomponente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades. Se o preode venda de cada unidade de 25 unidades, como seria a distribuio das frequncias davarivel X: lucro por conjunto montado?

A construo desta distribuio de frequncias vai depender de certas suposiesque faremos sobre o comportamento do sistema considerado. Em vista dessas

suposies, estaremos trabalhando com um modelo da realidade, e a distribuio queobteremos ser uma distribuio terica, tanto mais prxima da distribuio defrequncias real quanto mais fiis realidade forem as suposies.

Primeiramente, vejamos a construo do espao amostral para a montagem dosconjuntos segundo as caractersticas de cada componente e suas respectivasprobabilidades. Desde que os componentes vm de fbricas diferentes, vamos supor quea classificao dos cilindros segundo suas caractersticas sejam eventos independentes;assim, obtemos a configurao abaixo.


30/70

29

Cilindro Esfera B0,70 P(BB) = 0,56

B 0,20 L P(BL) = 0,16

0,100,80 CP(BC) = 0,08

0,70 B P(CB) = 0,070,10 C

0,20 L P(CL) = 0,02

0,10 C P(CC) = 0,01

B P(LB) = 0,070,100,70

L0,20 L P(LL) = 0,02

0,10

C P(LC) = 0,01

O espao amostral em questo est apresentado na tabela abaixo, junto com as

respectivas probabilidades.

Tabela: Distribuio de probabilidade das possveis composies das montagensMontagem Probabilidade Lucro por montagem (X)

BB 0,56 15BL 0,16 10BC 0,08 -5LB 0,07 10LL 0,02 05LC 0,01 -5CB 0,07 -5

CL 0,02 -5CC 0,01 -5Fonte: Informaes no texto

Assim, com os dados da tabela acima, vemos que X pode assumir um dosseguintes valores:15 se ocorrer o evento A1 = {BB}10 se ocorrer o evento A2 = {BL,LB}05 se ocorrer o evento A3 = {LL}-5 se ocorrer o evento A4 = {BC,LC,CB,CL,CC}

Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja,

P(A1) = 0,56 P(A2) = 0,23 P(A3) = 0,02 P(A4) = 0,19


31/70

30

o que nos permite escrever a distribuio de probabilidade da varivel X, que oempresrio poder usar para julgar a viabilidade econmica do projeto que ele pretenderealizar.

x P(X = x)15 0,56

10 0,2305 0,02-5 0,19

Total 1,00Exerccios:

1) Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua funo distribuio de probabilidade

seja P(X = k) = ck, para k = 1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. Res. 151 .

2) Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos ao acaso trs

peas com reposio para anlise. Seja X a varivel aleatria que representa onmero de peas defeituosas. Estabelea a funo distribuio de probabilidade deX.

Resp.:x 0 1 2 3

P(X=x) 0,512 0,384 0,096 0,008

3) Determine o valor de c para que p(x)=

=

contrriocaso,0

,....3,2,1xpara,3

2c

x

seja uma funo distribuio de probabilidade. Resp. 21

3.3.Distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria contnua

Seja X uma varivel aleatria contnua. A distribuio de probabilidade dadana forma de uma funo, chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x).

Uma funo de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as seguintes condies:

a) f(x) 0, Rx b)

+

= 1f(x)dx

Exemplos de funes de densidade:


32/70

31

0 1 2 3 4 5 6 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

f(

x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f

(x

)

A funo densidade, por definio, possui rea sob a curva limitada pelo eixo x

igual a 1 e a probabilidade de X tomar um valor entre a e b obtida calculando-se a reacompreendida entre esses dois valores. Isto , para qualquer a < b emR

( ) ( )=


33/70

32

Para ser funo densidade temos que +

= 1)( dxxf , ento =1

0

1dxx)-(1xk

13

x

2

xkdxx-xdxk

1

0

31

0

21

0

1

0

2 =

=

6k =

Exerccios:

1) Dada a funo densidade de probabilidade f(x) =

contrriocaso0,

1x0x,2

Determine i. P( X ) ii. P(1/3 X 2/3) iii. )X|( 323121 XP R: i) 1/4; ii)1/3 ; iii) 5/12

2) Seja X uma v.a. contnua com funo densidade de probabilidade dada por:

f(x) =

>>>>


34/70

33

Exemplo 8: Considere um lote de peas que contm 20% de defeituosas. Extramos aoacaso trs peas com reposio para anlise. Seja X a varivel aleatria que representa onmero de peas defeituosas. A funo de probabilidade de X

( ) ( ) x3x 0,80,2x

3x)P(X

== , x=0,1,2,3

e a funo de distribuio acumulada de X.

F(x) =


35/70

34

X x1 x2 ... xn P(X=x) p1 p2 ... pn

O valor esperado de X dado por:

( )

=

=

===1

ii1i

ii pxxXPxE(X)i

Exemplo 10: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro,uma pergunta que logo ocorreria ao empresrio qual o lucro mdio por conjuntomontado que ele espera conseguir.

Resoluo:Lucro mdio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = 9,85Isto , caso sejam verdadeiras as suposies feitas para determinar a distribuio da

varivel aleatria, o empresrio espera ter, em mdia, lucro de 9,85 unidades porconjunto montado.

Caso contnuo:Seja X uma varivel aleatria contnua com funo densidade de probabilidade

f(x). O valor esperado de X definido por

E(X) =

xf(x)dx

Exemplo 11: Uma certa liga formada, combinando a mistura fundida de dois metais.A liga resultante contm uma certa porcentagem de chumbo X, que pode serconsiderada uma v.a. com funo densidade:

100x0,x)-x(100)10(5

3f(x) 5 =

Ento,

E(X) = 100

0

5- x)dx-x(100(10)5

3x = 50

Isto significa que em mdia a liga contm 50% de chumbo.3.5.1. Propriedades da Esperana

1) Dada uma constante a, temos:

E(a+X) = a + E(X) e E(aX) = a. E(X)

2) Sejam X1, X2,..., Xn variveis aleatrias

E(X1+X2+...+Xn) = E(X1) + E(X2) +... + E(Xn)

3) Sejam X e Y variveis aleatrias independentes. Ento,

E(XY) = E(X). E(Y)


36/70

35

Exemplo 12: Suponha que L, o lucro lquido obtido na venda da liga do exemploanterior (por unidade de peso), a seguinte funo da porcentagem de chumbo:L = C1 + C2X.Ento o lucro esperado :

E(L) = E(C1 + C2X) = C1 + C2(50)

3.6.Varincia e Desvio-padro de uma varivel aleatria

De modo geral, o desvio-padro mais importante e mais til medida devariao. O desvio-padro de um conjunto de valores uma medida de variao dosvalores em relao mdia aritmtica. A varincia o quadrado do desvio-padro. Oupodemos dizer que o desvio-padro igual a raiz quadrada positiva da varincia. Umadificuldade com a varincia que ela no expressa nas mesmas unidades dos dadosoriginais, enquanto que o desvio-padro tem a mesma unidade de medida dos dadosoriginais. Assim se um conjunto de dados tem desvio-padro de 3,00 dlares e uma

varincia de 9,00 dlares quadrado, temos que dlar quadrado um conceito abstrato,logo a varincia difcil de ser compreendida.

Uma aplicao do desvio-padro quando temos um conjunto de dados comdistribuio aproximadamente em forma de sino. Conforme a figura abaixo:

3 2 1

1+ 2+ 3+

68%

95%

99,7%

Essa figura mostra como a mdia e o desvio-padro esto relacionados com aproporo dos dados que se enquadram em determinados limites. Assim, com umadistribuio em forma de sino, temos que:

Cerca de 68% dos valores esto a 1 desvio-padro a contar da mdia; Cerca de 95% dos valores esto a 2 desvios-padro a contar da mdia; Cerca de 99,7% dos valores esto a 3 desvios-padro a contar da mdia.

3.6.1. Varincia de uma varivel aleatria

SejaXuma v.a. com esperana E(X). Define-se a varincia deXpor:

V(X) = E[(X E(X))2 = E(X2) [E(X)]2

em que


37/70

36

, para X discreta

, para X contnuaExemplo 13: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro,calcule a varincia.

X W = X2 P(X = x) P(W = x2)15 225 0,56 0,5610 100 0,23 0,2305 25 0,02 0,02-5 25 0,19 0,19

Total 1,00 1,00

E(X2) = =

=3

1i)x.P(Wx 2i

2

i= 225.0,56 + 100. 0,23 + 25.0,21 = 154,25

V(X) = 154,25 (9,85)2 = 57,23

Exemplo 14: Para o exemplo 11, a varincia :

E(X2) = 100

0

5-2 x)dx-x(100(10)

5

3x = 3000

V(X) = 3000 (50)2 = 500

2.6.1.1 Propriedades da varincia

a) Dada uma constante a, temos:V(X+a) = V(X)

b) Dada uma constante a, temos:V(aX) = a2. V(X)

c) Sejam X1, X2,..., Xn, n variveis aleatrias independentes. Ento

V(X1 + X2 +... + Xn) = V(X1) + V(X2) +... + V(Xn)

Exemplo 15: No exemplo 12, a varincia de L :

V(L) = 22C V(X) =

2

2C (500)


38/70

37

3.6.2. Desvio-padro de uma varivel aleatria

)X(V)X(DP =

Exerccios:

1)Suponha que uma caixa contenha 5 bolas ( 1 preta e 4 brancas ). Retira-sealeatoriamente uma bola de cada vez (com reposio) at que saia 4 vezes a bolapreta. Seja X o nmero de retiradas necessrias at que isto ocorra.

a) Determine os possveis valores de X e sua funo de probabilidade.

Resp.: 4,5,6,...x,5

4

5

1

3

1xx)P(X

4x4

=

==

2) O tempo T, em minutos, necessrio para um operrio processar certa pea, uma v.a.com a seguinte distribuio de probabilidade:

T 2 3 4 5 6 7P 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

a) Calcule o tempo mdio de processamento. Resp. 4.6E(T) =

b) Estabelea a funo de distribuio acumulada.Resp.:


39/70

38

Resp.:


40/70

39


41/70

40

2) Uma urna contm 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. Se 2 bolas de gude soextradas aleatoriamente sem reposio e X denota o numero de bolas brancasobtidas, encontre a distribuio de probabilidades de X.

3) O nmero de carros vendidos semanalmente num stand uma varivel aleatria X

com a seguinte funo de probabilidade:

X 1 2 3 4P(X=x) c c/2 c/3 c/4

j) Encontre o valor de c.k) Determine a funo de distribuio de X.l) Calcule a probabilidade do nmero de carros vendidos no chegar a 4, sabendo

que este valor superior a 1.m)Se os custos fixos semanais so de 30 unidades monetrias (u.m.) quando so

vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2 carros e, alm

disso, por cada carro vendido h um lucro de 35 u.m., determine a funo dedistribuio da receita lquida semanal.

4) A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal detransmisso digital 0,1. Assuma que as transmisses sejam ensaios independentes.a) SejaXo nmero de bits transmitidos at que ocorra o primeiro erro. Determine a

distribuio deX.b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de

transmisso.c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de

transmisso, aps j se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro.d) Determine o nmero esperado de ensaios at o primeiro erro.e) Seja Yo nmero de transmisses at a ocorrncia do quarto erro. Determine a

distribuio de Y.f) Determine a probabilidade de se precisar observar no mximo 6 ensaios de

transmisso.g) Determine o nmero esperado do nmero de ensaios at o quarto erro.

5) A probabilidade de um bem sucedido lanamento de foguete 0,8. Suponha quetentativas de lanamento sejam feitas at que tenham ocorrido 3 lanamentos bemsucedidos.

a) Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessrias?b) Qual a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessrias?c) Se cada tentativa de lanamento custa 5.000 u.m. e se um lanamento falho

custa500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operao.d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas at que trs lanamentos

consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b)nesse caso.

6) Os valores abaixo representam a distribuio de probabilidade de D, a procura diriade certo produto. Calcule E(D) e V(D):


42/70

41

D 1 2 3 4 5P(D=d) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2

a)Calcule E(D) e V(D);b)Estabelea a funo de distribuio acumulada.

7) O nmero de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente uma v.a.com funo de probabilidade:

x 0 1 2 3 4P(X=x) w z t z w

a) Sabendo que em 10% dos dias as vendas so inferiores a um e que em 70% dosdias so superiores a um, determine w, z e t.

b) Determine o nmero mdio de seguros vendidos diariamente.c) Determine E[2X 1] e V [2X 1].d) Determine a probabilidade de que, quando considerados dois dias, as vendas

sejam superiores, em cada um deles, a duas unidades.e) Se cada seguro feito por 15000 unidades monetrias, determine a funo de

probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia.f) Se num dia a receita for inferior a 50000 unidades monetrias, determine a

probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetrias.

8) Considere a varivel aleatria discreta coma seguinte funo distribuio:


43/70

42

11)Em uma determinada localidade, a distribuio de renda em mil u.m. uma varivelaleatria X com funo densidade.

1/10 x + 1/10, para 0 x 2f(x) = - 3/40 x + 9/20, para 2 < x 6

0, para x < 0 ou x 6.

a) Qual a renda mdia nesta localidade?b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a

3.000,00 u.m?c) Estabelea a funo de distribuio acumulada.

12)Suponha queXseja uma varivel aleatria com densidade:

( )

=

c.c.0,

1x1-,|x|1kf(x)

a) Determine o valor de k.b) Determine P(1/2 < X < 2/3).c) Determine P(1/2 < X < 2/3 | X > 0).d) Determine a funo de distribuio acumulada deX.

13)Seja X uma v.a. contnua, que representa o tempo necessrio para a pintura de umapea de automvel, em horas, com funo densidade de probabilidade dada por:

>

6.

12) a) 1 b) 17/144 c) 34/144 d) F(x) =


47/70

46

4. ALGUNS MODELOS PROBABILSTICOS PARAVARIVEIS ALEATRIAS

Existem modelos probabilsticos que ocorrem com frequncia na prtica. Nasprximas sees, sero definidos alguns modelos, apresentando as condies que devemser satisfeitas e algumas caractersticas, tais como, esperana, varincia e como calcularprobabilidade.

4.1.VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS

4.1.1. Distribuio de Bernoulli

Muitos experimentos so tais que os resultados possveis apresentam ou no umadeterminada caracterstica.

Exemplos:a) Uma pea escolhida, ao acaso, de um lote contendo 500 peas: esta pea

defeituosa ou no.b) Uma pessoa escolhida, ao acaso, dentre 1000 pessoas, ou no do sexo masculino.c) Uma pessoa escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade, e pergunta-se

se ela diz SIM ou NO a um projeto governamental.

Em um experimento aleatrio com apenas dois resultados possveis podemosassociar o valor 1, se sucesso ocorre e o valor 0, se fracasso ocorre. Um experimentodeste tipo chamado de ensaio de Bernoulli. Suponha que um sucesso ocorra com

probabilidadep.

Seja X uma v.a. definida para este experimento. Ento,

X 1 0P(X=x) p 1-p =q

Funo de distribuio de X: F(x) =


48/70

47

b) A probabilidade de sucesso igual a p em cada ensaio e q a probabilidade defracasso, sendo p + q = 1.

Seja a varivel aleatria Y o nmero de sucessos nos n ensaios. Nestas condies

dizemos que Y tem distribuio binomial com parmetros n ep, onde os valorespossveis de y so {0,1,2,...,n}:

n = nmero de repeties do experimento ep = probabilidade de sucesso em cada repetio

Notao: )pB(n,~Y

( )

=

==

c.c0,

0,1,2,...nk,p1pk

nk)P(Y

knk

Por meio do binmio de Newton, verifica-se que

Exemplo 1:Uma usina hidroeltrica tem 5 geradores que funcionam independentemente, cada umcom probabilidade 0,98 de estar em operao. Qual a probabilidade de que exatamentedois estejam em funcionamento em determinado instante?

Y = nmero de geradores em funcionamento

p = 0,98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento (a probabilidade desucesso)

Entre os 5 estabelecimentos, ou seja, n = 5, qual a probabilidade de 2 terem tratores:

P(Y = 2) =

2

5(0,98)2 (1 - 0,98)5 - 2 = 10. (0,98)2.(0,02)3 = 0,000077

Esperana e Varincia da distribuio Binomial

Se Y tem distribuio binomial de parmetros n e p

==

=

=

=

),(varincianpq[E(Y)]-)E(YVar(Y)

(mdia)npp)(1pk

nkE(Y)

22

n

0k

nk k

=

=

n

0k

nk22 p)(1pk

nk)E(Yqueem k


49/70

48

Demonstrao:

Fazendo s = k-1, tem-se:

.

Com varincia: V(X) = npq DP(X) = npq

Exemplo 2:Com os dados do exemplo anterior, calcular o nmero esperado de geradores emfuncionamento, a varincia e o desvio-padro:

E(X) = np = 5(0,98) = 4,9

Var(X) = npq = 5 (0,98) (0,02) = 0,098

DP(X) = npq = 098,0 = 0,3130

Exerccios:1) Das variveis abaixo descritas, assinale quais so binomiais, e para estas d osrespectivos campos de definio e distribuio de probabilidades. Quando julgar que avarivel no binomial, aponte as razes de sua concluso.

a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposio, cincobolas.Seja X o nmero de bolas brancas nas 5 extraes. Resp.: Binomial

b) Refaa o problema anterior, mas desta vez as n extraes so sem reposio. Resp.:No Binomial.

c) De 5 urnas com bolas pretas e brancas, vamos extrair de cada uma delas uma bola.Suponha que X o nmero de bolas brancas obtidas no final. Resp.: No binomial.

d) Em uma indstria existem 100 mquinas que fabricam determinada pea. Cada pea classificada como sendo boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante detempo, e verificamos uma pea de cada uma das mquinas. Suponha que X seja onmero de peas defeituosas. Resp.: No Binomial

2) Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conter,

no mximo, 2 defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia tem demonstrado


50/70

49

que esse processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, qual a probabilidadede que uma caixa satisfaa a garantia? Resp.: 0,9419.

4.1.3. Distribuio de Poisson

Em muitos casos, conhece-se o nmero de sucessos, porm se torna difcil e, svezes, sem sentido, determinar o nmero de fracassos ou o nmero total de provas. Porexemplo: automveis que passam numa esquina. Pode-se num determinado intervalo detempo anotar o nmero de carros que passaram, porm, o nmero de carros quedeixaram de passar pela esquina no poder ser determinado. Veremos que adistribuio de Poisson se aplica nestes casos.

A distribuio de Poisson largamente usada quando de deseja contar o nmerode eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, superfcie, ouvolume.

Exemplos:

a) nmero de falhas de um computador em um dia de operao;b) nmero de defeitos num pneu;c) nmero de buracos por quilometro em uma rodovia;d) nmero de clientes que chegam a uma determinada agncia bancria durante o

expediente.

Seja a varivel aleatria X o nmero de eventos de um certo tipo, que ocorrem emum intervalo de tempo, ou superfcie, ou volume. Suponha que estes eventos ocorremem instantes aleatrios de tempo ou de espao e que as hipteses abaixo sejamvlidas:1) o nmero de ocorrncias de um evento em um intervalo de tempo, ou superfcie,

ou volume independente do nmero de ocorrncias do evento em qualqueroutro intervalo disjunto.

2) a probabilidade de duas ou mais ocorrncias simultneas praticamente zero.3) o nmero mdio de ocorrncias por unidade de tempo, ou superfcie, ou volume,

, constante ao longo do tempo, ou superfcie, ou volume.

Nestas condies dizemos que X tem distribuio Poisson com parmetro = t, o nmero mdio de eventos por unidade de intervalo de tempo, ou superfcie, ouvolume.

Notao:

x!

ex)P(X)Poisson(~X

- x== , x=0,1,2,...,n,...

Se X tem distribuio Poisson com parmetro

==

)(varinciaVar(X)

(mdia)E(X)


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50

Demonstrao:

1. Sabe-se que E(X) =

=

=

==00 !

)(x

x

x xxxXxP e

=

=

1x

x

1)!-x(x

ex =

=

1x

x

1)!-(x

e

Fazendo x 1 = y, tem-se:

E(X) =

=

+

0y

1y

y!

e=

=

0y

y

y!

e

Utilizando-se a frmula de Maclaurin (caso particular da frmula de Taylor),

====

====0y

y

ey!

,

obtm-se, E(X) =

2. De acordo com a definio de varincia, tem-se:

V(X) = E(X2) [ E(X) ]2, onde j vimos que, [ E(X)]2= 2, e,

E(X2) =

=

=

= =

=

11

2

0

2

)!1()!1(! x

x

x

xx

x x

ex

xx

ex

x

ex

, fazendo y = x 1, tem-se:

E(X2) =

+=+=+

=

=

=

+2

000

1

!!!)1(

y

y

y

y

y

y

y

e

y

ey

y

ey

V(X) = 2 + - 2, assim V(X) = .

Se a varincia DP(X) =

Exemplo 3: Em mdia h duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular aprobabilidade de se receber no mximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade denenhuma chamada em 90 minutos.

X= nmero de chamadas telefnicas em duas horas

Ento, = 2 (nmero mdio chamadas por hora )t = 2 horas = t = 4 (nmero mdio chamadas em duas horas )

P(X 3) = =

====

3

0

x43

0x x!4e)xP(X

x0,4331

Y= nmero de chamadas telefnicas 90 minutosEnto,t = 90 minutos = 2/60 ( nmero mdio de chamadas por minuto) = t = 2/60 x 90 = 3 (nmero mdio chamadas em 90 minutos )

P(Y = 0) =( )

!0

3e 03= 0,0498


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Exerccios:

1)Uma fbrica produz tecidos com mdia de 2,2 defeitos por jarda quadrada.Determine as seguintes probabilidades:a) no mais de 4 defeitos numa jarda quadrada; Resp.:0,9275

b) nenhum defeito em duas jardas quadradas; Resp.:0,0123c) duas jardas quadradas cada uma com dois defeitos. Resp.: 0,0719

2) O nmero de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundouma distribuio de Poisson, com = 2. As atuais instalaes podem atender, nomximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso enviado a outro porto.a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

Resp.: 0,1431b) De quanto devero ser aumentadas as instalaes para permitir atender a todos

os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? Resp.: 2

c) Qual o nmero mdio de petroleiros que chegam por dia? Resp.: 2.

3 LISTA DE EXERCCIOS

1) Se X ~ B(n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e 2 = 3, determinar:a) n e) E(Z) e V(Z),onde Z = (X-12)/ 3 b) p f) P(Y 14/16), onde Y = X/nc) P(X < 12) g) P(Y 12/16), onde Y = X/nd) P(X 14)

2) Uma fileira de luzes de Natal contm 20 lmpadas ligadas em srie, isto , se umadelas falha, toda a fileira falhar. Cada lmpada tem 0,02 de probabilidade de falhardurante um perodo de 3 anos. As lmpadas falham independente umas das outras.Qual a probabilidade de toda a fileira de lmpadas permanecer sem falhar durantetrs anos?

3) O nmero de partculas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuio dePoisson com = 0,5 partculas por segundo.a) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partcula em um segundo;b) Qual a probabilidade de a fonte emitir mais de uma partcula em um segundo;

c) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partcula em trs segundos;d) Qual a probabilidade de a fonte emitir no mximo duas partculas em 3

segundos;e) Uma chapa fotogrfica sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partculas.

Se 5 chapas so colocadas, uma aps outra, durante 2 segundos cada uma emfrente fonte, qual a probabilidade de exatamente uma delas ser sensibilizada?

4) Seja X o nmero de peas defeituosas sadas de certa linha de produo. Sabe-seque, para determinado lote, X binomial com mdia 240 e varincia 48. Determinea distribuio de probabilidade de X e a probabilidade do lote no conter nenhumapea defeituosa.


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5) Um industrial fabrica peas, das quais 1/5 so defeituosas. Dois compradores, A eB, classificaram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando 1,20 u.m. e 0,80u.m. respectivamente do seguinte modo:

Comprador A: retira uma amostra de 5 peas; se encontrar mais que uma

defeituosa, classifica como II.Comprador B: retira uma amostra de 10 peas; se encontrar mais que duasdefeituosa, classifica como II.

Em mdia, qual comprador oferece maior lucro?

6) Numa via de mo nica que termina numa ponte, quer se estudar o trfego.Encontra-se que esse volume de 120 veculos/hora, em mdia. Assume-se que achegada de veculos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que:a) num perodo de um minuto mais de trs veculos cheguem ao pedgio;b) em 3 minutos cheguem mais do que 1 veculo.

7) Numa linha adutora de gua, de 60 km de extenso, o nmero de vazamento noperodo de um ms em mdia 4. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o ms,pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extenso?

8) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as vlvulas que produz tem duraoinferior a 20 h. Uma indstria compra semanalmente um grande lote de vlvulasdesse fabricante, mas sob a seguinte condio: ela aceita o lote se, em 10 vlvulasescolhidas ao acaso, no mximo uma tiver durao inferior a 20 horas; casocontrrio o lote rejeitado.a) Se o fabricante de fato tem razo, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto , na verdade a proporo

de vlvulas com durao inferior a 20 h de 10%. Qual a probabilidade do loteser aceito, segundo o critrio acima?

9) Certa fbrica produz fusveis eltricos, dos quais 15% so defeituosos. Achar aprobabilidade de que, numa amostra de 10 fusveis selecionados ao acaso,tenhamos:a) nenhum defeituoso.b) pelo menos um defeituoso.c) no mximo um defeituoso.

10)Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conterno mximo duas defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia temdemonstrado que este processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, quala probabilidade de que uma caixa satisfaa a garantia?

11)Certa companhia area chegou concluso de que 4% das pessoas que comprampassagens no comparecem ao embarque. De modo a obter maior aproveitamentonas vendas, passou a adotar o critrio de vender 77 passagens para um vo com 75lugares. Determine a probabilidade de que todas as pessoas que compareamencontraro lugar no citado vo.


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12)Em um certo tipo de fabricao de fita magntica, ocorrem cortes a uma taxa de 1por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000cm tenha:a) nenhum corte?b) no mximo dois cortes?c) pelo menos dois cortes?

13)Numa determinada estrada ocorrem em mdia 2 acidentes para cada 100km. Qual aprobabilidade de que:a) em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes?b) em 300 km ocorram 5 acidentes?

14)Uma fonte mineral contm um nmero mdio de quatro bactrias por cm3 de gua.Dez tubos de ensaio, de 1 cm3, so enchidos com este lquido. Supondo que adistribuio de Poisson aplicvel, encontre a probabilidade:a) de que todos os 10 tubos de ensaio apresentem bactrias, isto , contenham ao

menos uma bactria cada;

b) de que exatamente oito tubos de ensaio apresentem bactrias.

Gabarito (3 lista)

1) a) n = 16 e p=0,75 c) 0,3699 d) 0,1971 e) E(Z) = 0 e V(Z) = 1 f) 0,1971 g)0,6301

2) 0,6676 3) a) 0,3033 b) 0,0902 c) 0,3347 d) 0,8088 e) 0,2873

4) n = 300 p=0,83000

5

1

5

40

3000)P(X

==

5) Comprador A 6) a) 0,1429 b) 0,9826 7)0,1813 8) a) 0,0861 b) 1-0,2639

9) a) 0,1969 b) 0,8031 c) 0,5443 10) 0,9419 11) 0,8185

12) a) 0,3679 b) 0,9197 c) 0,2642 13) a) 0,8753 b) 0,1606

14) a) (0,9816) b) 0,16%


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4.2.VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS

4.2.1. Distribuio Exponencial

Esta distribuio bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os

tempos de espera entre ocorrncias de eventos em um Processo de Poisson. Em geraleste modelo probabilstico tambm utilizado para modelar tempo de espera em umafila, tempo de sobrevivncia de um grupo de pacientes aps o incio de um tratamento etempo de vida de material eletrnico.

O histograma a seguir foi construdo a partir de dados provenientes de umadistribuio exponencial. A curva desenhada sobre o histograma representa a funodensidade de uma distribuio exponencial. Vemos que este grfico do tipoassimtrico positivo.

Grfico da funo densidade da Distribuio exponencial com parmetro =1000

Uma varivel aleatria contnua X, que assume valores no-negativos, ter umadistribuio exponencial com parmetro > 0, se sua fdp for dada por:

contrriocaso,0

0x,1

)f(xx

1

=

e

Notao: X ~ exp()

Propriedades:a) A funo de distribuio dada por:

F(x) = P(X x) =

x ) = e-(1/)x

b) E(X) =

=

0

x1

dx1

x e

c) V(X) = E(X2) E2(X) = 2222 = em que E(X2) = .dx1

x 2

0

x12

=

e

d) P( X > s + t | X > s) =t

1--

s1

-

t)s(1

e

e

e

s)P(X

)tsP(X

s)P(X

s)XetsP(X

==>

+>=

>>+>

+

para

quaisquer s, t > 0

Este ltimo resultado mostra que a distribuio exponencial apresenta apropriedade de no possuir memria. Isto significa que a probabilidade desobreviver mais tunidades de tempo a mesma, quer j se tenham passado s unidadesde tempo, ou 0 unidades. Ou seja, no h envelhecimento. Esta hiptese frequentemente razovel para a vida de materiais eletrnicos.

Exemplo 5: Uma lmpada tem a durao de acordo com a densidade exponencial com=1000.

Determinar:a) a probabilidade de que essa lmpada queime antes de 1.000 horas;b) a probabilidade de que ela queime depois de sua durao mdia;c) a varincia da distribuio do tempo de durao dessa lmpada.

Resoluo: Seja T o tempo de durao da lmpada.

a) P( T < 1.000) = ==

1-1000

0

t1000

1

e-1dte1000

11 - 0,3679 = 0, 6321

b) P( T > 1000) = 0,3679c) V(T) = (1000)2

4.2.2. Distribuio Weibull

A distribuio Weibull tem uma aplicao importante em Teoria deConfiabilidade.

O histograma a seguir foi construdo a partir de dados provenientes de umadistribuio Weibull. A curva desenhada sobre o histograma representa a funodensidade desta distribuio, que tambm do tipo assimtrico positivo.

Grfico da funo densidade da Distribuio Weibull com parmetros =2 e =2


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x

f(x)

0 1 2 3 4

0.

0

0.1

0.

2

0.3

0.

4

Uma varivel aleatria contnua X, que assume valores no-negativos, ter uma

distribuio Weibull com parmetros > 0 e > 0, se sua fdp for dada por:

contrriocaso,0

0x,x

expx)f(x

1-

=

Propriedades:

a) E(X) =

+ 1

1

b) V(X) =

+

+

2

2 11

12

c)

= 0xxexp-1

0x0,

F(x)

d) Se =1 tem-se

x

exf

=1

)( . Portanto, a distribuio exponencial um caso

particular da distribuio Weibull.

Obs: O smbolo denota a funo gama, que dada por:

( )

>=0

x1p 0.kparadefinidadx,exk


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Pode-se mostrar que se kfor um nmero inteiro positivo, obtm-se que (k) = (k-1)!

Exemplo 7: O tempo de vida, em horas, de um componente eletrnico segue adistribuio Weibull com = 0,4 e = 0,5.a) Qual a vida mdia?

b) Calcule a varincia do tempo de vida desse componente.c) Qual a probabilidade do tempo de vida desse componente ultrapassar 30 horas?

Resoluo:T: tempo de vida do componente eletrnico em horasa) E(T) = ( ) 8,03)4,0( =

b) V(T) = ( )[ ]{ } 2,33)5()4,0( 2 =

c) P( T > 30 ) =

5,0

0,4

30exp = 0,8909

4.2.3. Distribuio Normal (ou Gaussiana)

Existem vrias distribuies tericas que podem ser usadas para representarfenmenos reais. Dentre estas, uma das mais importantes a distribuio normal. Aseguir faremos um breve estudo desta distribuio.

Importncia da distribuio normal:

1- Representa com boa aproximao as distribuies de freqncias observadasde muitos fenmenos naturais e fsicos;

2- Distribuies importantes, como por exemplo a binomial e Poisson, podemser aproximadas pela normal, simplificando o clculo de probabilidades;

3- A distribuio amostral das mdias (e propores) em grandes amostras seaproxima da distribuio normal, o que nos permite fazer estimaes e testesestatsticos.

Uma varivel aleatria X, que assume valores em R, tem distribuio normal comparmetros e 2 se sua funo de densidade probabilidade dada por:

0e,x,

x

2

1exp

2

1f(x)

Documents

MAT236_Apostila_Unidade1