MATEMÁTICA - smbrasil.com.br · 15 2971 MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO ˜˚˛˝˙ˆˇ˝˘˜˚˝ EDIÇÕES SM Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida por Edições SM. ENEM CADERNO

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MATEMÁTICAENSINO MÉDIO

organizadoraEDIÇÕES SMObra coletiva concebida, desenvolvida e produzida por Edições SM.

ENEMCADERNO DE

COMPETÊNCIASENEM

CADERNO DE

COMPETÊNCIAS

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São Paulo, 1ª- edição 2014

ENEMCADERNO DE

COMPETÊNCIAS

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Ser Protagonista Matemática – Caderno de Competências ENEM © Edições SM Ltda. Todos os direitos reservados

Direção editorial Juliane Matsubara Barroso

Gerência editorial Angelo Stefanovits

Gerência de processos editoriais Rosimeire Tada da Cunha

Colaboração Regina Vaz

Coordenação de edição Ana Paula Landi, Cláudia Carvalho Neves

Assistência de produção editorial Alzira Aparecida Bertholim Meana, Flávia Romancini Rossi Chaluppe, Silvana Siqueira

Preparação e revisão Cláudia Rodrigues do Espírito Santo (Coord.), Izilda de Oliveira Pereira, Rosinei Aparecida Rodrigues Araujo, Valéria Cristina Borsanelli

Coordenação de design Erika Tiemi Yamauchi Asato

Coordenação de arte Ulisses Pires

Edição de arte Melissa Steiner Rocha Antunes

Projeto gráfico Erika Tiemi Yamauchi Asato

Capa Alysson Ribeiro, Erika Tiemi Yamauchi Asato, Adilson Casarotti

Iconografia Priscila Ferraz, Bianca Fanelli

Tratamento de imagem Robson Mereu

Editoração eletrônica Setup Bureau

Fabricação Alexander Maeda

Impressão

Edições SM Ltda.Rua Tenente Lycurgo Lopes da Cruz, 55Água Branca 05036-120 São Paulo SP BrasilTel. 11 [email protected]

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Ser protagonista : matemática : competências ENEM : ensino médio, volume único / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida por Edições SM. — 1. ed. — São Paulo : Edições SM, 2014. — (Coleção ser protagonista)

Bibliografia. ISBN 978-85-418-0382-3 (aluno) ISBN 978-85-418-0383-0 (professor)

1. ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio2. Matemática (Ensino médio) I. Série.

14-00654 CDD-510.7

Índices para catálogo sistemático:1. Matemática : Ensino médio 510.7 1ª edição, 2014

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Apresentação

Este livro, complementar à coleção Ser Protagonista, contém aproxi-

madamente cem questões elaboradas segundo o modelo das competên-

cias e habilidades, introduzido no universo educacional pioneiramente

pelo Enem e depois adotado por muitos vestibulares do país. A maioria

das questões é do próprio Enem; as demais foram elaboradas pela equi-

pe editorial de Edições SM.

O volume proporciona prática mais do que suficiente para dar ao

aluno o domínio das estratégias de resolução adequadas. Além disso,

ao evidenciar o binômio competência-habilidade explorado em cada

questão, contribui para que ele adquira mais consciência do processo

de aprendizagem e, consequentemente, mais autonomia.

Antes de começar a resolver as questões, recomenda-se a leitura da

seção Para conhecer o Enem, que fornece informações detalhadas sobre

a história do Enem e apresenta a matriz de competências e habilidades

de cada área do conhecimento.

Edições SM

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CONHEÇA SEU LIVRO

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80. (Enem) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

R 5 3 cm

R 5 3 cm

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Figura 1 Figura 2

Considere: Vesfera 5 4 ___ 3 pR3 e Vcone 5 1 __ 3 pR2h

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:

a) 1,33

b) 6,00

c) 12,00

d) 56,52

e) 113,04

C2.H7

81. (SM) Um publicitário criou como logomarca de uma empresa o cubo abaixo. Sabendo que o plano de secção mostrado na figura é um eixo de simetria do cubo, ou seja, a reta que di-vide a figura em duas partes congruentes, semelhante a um espelho, qual a única figura que NÃO pode ser encontrada na secção mostrada?

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74. (Enem) Uma indústria fabrica brindes promocionais em for-ma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

AA

BB

CC DD

OO

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mes-mos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os qua-tro cortes saem de O em direção às arestas XXX AD , XXX BC , XXX AB e XXX CD , nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.

Os formatos dos sólidos descartados são:

a) todos iguais.

b) todos diferentes.

c) três iguais e um diferente.

d) apenas dois iguais.

e) iguais dois a dois.

C2.H7

75. (Enem) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebe-douros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

120 cm

100 cm

60 cm

60 cm

60 cm

30 cm

60 cm

Bebedouro 1 Bebedouro 2

Bebedouro 3

A escolha do bebedouro. In: Biotemas. v. 22, n. 4, 2009 (adaptado).

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C2.H7

82. (SM) Uma empresa fez um levantamento dos salários de seus funcionários, obtendo a seguinte tabela:

Salário Frequência

R$ 700,00 4

R$ 850,00 8

R$ 1 000,00 5

R$ 1 500,00 2

R$ 3 000,00 1

Sobre os valores de média, moda e mediana desse levanta-mento, podemos concluir que:

a) a média salarial é R$ 1 000,00.

b) a moda e a mediana são iguais.

c) a média e a mediana são iguais.

d) a média e a moda são iguais.

e) os valores da média, moda e mediana são todos diferentes.

C7.H27

83. (Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação men-sal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Cotação Ano

Outubro R$ 83,00 2007

Novembro R$ 73,10 2007

Dezembro R$ 81,60 2007

Janeiro R$ 82,00 2008

Fevereiro R$ 85,30 2008

Março R$ 84,00 2008

Abril R$ 84,60 2008

Apresenta questões selecionadas das provas

do Enem e também questões inéditas,

desenvolvidas com base na Matriz de Referência do Enem (identificadas

pela sigla SM).

Todas as questões trazem a indicação da competência e da habilidade que está sendo trabalhada.

Este espaço é destinado a resoluções de exercícios e anotações.

O Ser Protagonista Competências Enem possibilita um trabalho sistemático e contínuo com as principais habilidades exigidas pelo Enem.


SUMÁRIO

5

Para conhecer o Enem 6

Uma breve história do Enem 6

O contexto, a análise e a reflexão interdisciplinar 8

Os eixos cognitivos 9

Competências e habilidades 10

As áreas de conhecimento 10

Ser Protagonista Competências Enem 13

Atividades 14


6

PARA CONHECER O ENEM

O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) tornou-se o exame mais importante realizado pelos alunos que concluem a formação básica. Sem dúvida, essa avaliação ganhou destaque nos últimos anos, na medida em que é, atualmente, a principal for-ma de ingresso no Ensino Superior público e, em grande medida, também no Ensino Superior privado.

Por conta disso, em 2013, a edição do Enem teve mais de 7 milhões de candidatos inscritos. O objetivo de quem faz o exame no contexto atual é, fundamentalmente, in-gressar no Ensino Superior. As informações disponíveis neste material foram elaboradas no sentido de auxiliá-lo nessa tarefa.

Uma breve história do EnemA primeira edição do Enem é de 1998. As características daquela avaliação eram di-

ferentes da atual. Apesar de poucas mudanças pedagógicas, há muitas diferenças no que diz respeito à estrutura do exame.

Em 1998, a prova tinha 63 questões com uma proposta interdisciplinar e mais uma redação, realizada em apenas um dia. Muito diferente do formato atual, no qual as pro-vas são divididas em quatro áreas do conhecimento – Ciências Humanas, Ciências da Natureza, Linguagens e Códigos e Matemática e suas respectivas tecnologias – e mais a redação. Além disso, com 180 questões, a prova ficou muito maior e mais abrangente, exigindo maior capacidade de organização e concentração dos candidatos em dois dias de aplicação.

É importante compreender os sentidos dessas mudanças e os seus significados. Em suma, é relevante esclarecer por que e como o Enem se tornou o exame mais importan-te do país.

Em meados da década de 1990, uma proposta de reforma no sistema educacional brasileiro foi finalmente posta em prática com a criação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB, Lei n. 9 394/1996).

A nova lei apresentava uma proposta, inovadora à época, de organização da chamada educação básica, incluindo nela o Ensino Médio, como última etapa dessa formação. No artigo 35, a lei apresentava os objetivos gerais do Ensino Médio:

O Ensino Médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos, terá como finalidades:

I — a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos;

II — a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores;

III — o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;

IV — a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos pro-dutivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.BRASIL. Presidência da República. Lei de Diretrizes e Bases da Educação (Lei n. 9 394, de 20 de dezembro de 1996). Brasília, DF, 1996. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm>. Acesso em: 11 fev. 2014.

Assim, o Ensino Médio se tornava parte integrante da formação básica dos estudantes brasileiros e seu papel seria a continuação dos estudos, a preparação para o mundo do trabalho e da cidadania, o desenvolvimento dos valores humanos e éticos e a formação básica no que tangem aos aspectos científicos e tecnológicos.

Tentava-se, assim, aproximar a educação brasileira das questões contemporâneas, do-tá-la de capacidade para enfrentar os dilemas do mundo rápido, tecnológico e globaliza-do que começava a se solidificar naquele momento.


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Nesse caminho, pouco mais de dois anos depois, o Ministério da Educação apresen-tou ao país os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. A proposta de elaborar um currículo baseado em competências e habilidades, sustentados na organi-zação de eixo cognitivos e em áreas de conhecimento, foi a estrutura básica dos Parâme-tros e a característica fundamental do modelo pedagógico que se tentava implementar no país a partir de então.

A preocupação era, novamente, dotar os educandos de uma formação adequada para o novo mundo tecnológico, de mudanças rápidas que exigem adaptação quase instan-tânea a realidades que nem bem se cristalizam já estão sendo transformadas. Por isso, a ideia de organizar o currículo a partir de competências que garantam a atuação do indi-víduo numa nova realidade social, econômica e política:

A revolução tecnológica, por usa vez, cria novas formas de socialização, processos de produção e, até mesmo, novas definições de identidade individual e coletiva. Diante desse mundo globalizado, que apresenta múltiplos desafios para o homem, a educação surge como uma utopia necessária indispensável à humanidade na sua construção da paz, da liberdade e da justiça social. [...]

Considerando-se tal contexto, buscou-se construir novas alternativas de organiza-ção curricular para o Ensino Médio comprometidas, de um lado, com o novo significado do trabalho no contexto da globalização e, de outro, com o sujeito ativo, a pessoa hu-mana que se apropriará desses conhecimentos para se aprimorar, como tal, no mundo do trabalho e na prática social. Há, portanto, necessidade de se romper com modelos tradicionais, para se alcancem os objetivos propostos para o Ensino Médio.BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999. p. 25.

Foi com base nesses documentos e na visão que eles carregam sobre o significado da educação da última etapa da formação básica, isto é, uma educação voltada para a cida-dania no contexto de um país e um mundo em constante transformação, que o Enem foi pensado como um exame de avaliação do Ensino Médio brasileiro.

Em 1998, na sua primeira versão, o Enem pretendia dar subsídios para a avaliação do desempenho geral dos alunos ao final da educação básica, buscando aferir o nível de desenvolvimento das habilidades e das competências propostas na LDB e nos Parâmetros Curriculares Nacionais.

O exame tornava-se, assim, uma ferramenta de avaliação que os próprios estudan-tes poderiam utilizar para analisar sua formação geral e, conforme indicavam os do-cumentos que sustentaram sua criação, como uma forma alternativa para processos de seleção para novas modalidades de ensino após a formação básica e mesmo para o mundo do trabalho.

Inscrições para o Sistema de Seleção Unificada – SiSU na Universidade Federal do Maranhão (UFMA) em 2012.

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Ao longo dos anos, o número de inscritos foi crescendo, chegando à casa dos milhões desde 2001, e a prova passou a ser utilizada em vários processos seletivos de universida-des públicas e privadas. Essa transformação tem um momento decisivo no ano de 2004, quando o governo federal criou o Programa Universidade para Todos (ProUni) – onde alunos de baixa renda, oriundos da escola pública ou bolsistas integrais de escolas priva-das, podem cursar o Ensino Superior privado com bolsas de 100% ou 50%.

Nesse momento, quando várias escolas de nível superior privado aderiram ao ProUni, o Enem ganhou uma dimensão gigantesca, com mais de três milhões de inscri-tos em 2005.

Em 2009, com a criação do Sistema de Seleção Unificada (SiSU), no qual a maio-ria das vagas nas universidades federais é disputada pelos candidatos que realizaram o Enem numa plataforma virtual, o exame do Enem passou por uma profunda reformula-ção. Desde então, a avaliação se realiza em dois dias, no último fim de semana do mês de outubro, com 180 questões e uma redação.

A forma de pontuação também mudou. Inspirado no sistema estadunidense, o Minis-tério da Educação implementou a Teoria de Resposta ao Item (TRI), na qual cada ques-tão passa por classificações de dificuldade e complexidade e a pontuação varia de acor-do com essa classificação, as consideradas mais difíceis recebem uma pontuação maior que as consideradas mais fáceis. Além disso, é possível, segundo a TRI, verificar possíveis “chutes”, caso o candidato acerte questões difíceis e erre as fáceis sobre assuntos pareci-dos. Assim, desde então, provas de anos diferentes podem ser comparadas e os resulta-dos do Enem podem ser analisados globalmente.

Com a adesão de mais de 80% das universidades federais ao SiSU e com quase 200 mil bolsas oferecidas em universidades privadas pelo ProUni, o Enem se tornou o exame mais importante do país. Além de avaliar o desempenho dos alunos, ele passou a ser de-cisivo para o ingresso nas escolas de Ensino Superior em todo o país.

O contexto, a análise e a reflexão interdisciplinarDesde sua primeira formulação, o Enem sempre se apoiou na proposta de ser uma

prova interdisciplinar. Desde 2009, no entanto, o exame mantém a interdisciplinari-dade, mas dentro das áreas de conhecimento. Assim, a interdisciplinaridade se reali-za entre as disciplinas das quatro grandes áreas: Linguagens e Códigos, Matemática, Ciências Humanas e Ciências da Natureza.

Em geral, as questões exigem dos candidatos capacidade de análise e reflexão sobre contextos. Procura-se, portanto, estabelecer a relação entre o conhecimento adquirido e a realidade cotidiana que nos cerca, abordando as múltiplas facetas da vida social, desde aspectos culturais até os tecnoló-gico e científico.

As capacidades de leitura e de inter-pretação, nas suas diversas modalidades – textos, documentos, gráficos, tabelas, charges, obras de arte, estruturas arquite-tônicas, etc. –, são elementos centrais da proposta pedagógica do exame. O domí-nio dessas competências se aplica a toda a prova, na medida em que não há, no Enem, questões que exijam apenas me-morização. Na verdade, elas exigem capa-cidade de análise crítica a partir da leitura e da interpretação de situações-problema apresentadas.

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Portanto, em geral, o Enem apresenta diferenças de estilo e proposta pedagógica quando comparado aos vestibulares tradicionais. Entretanto, isso não quer dizer que a prova não exija uma boa formação no Ensino Médio. Ao contrário, esta é essencial para que o desempenho seja satisfatório, já que o exame procura valorizar todo o conheci-mento obtido e relacionado ao cotidiano. Além disso, verifica-se, nos últimos anos, uma aproximação dos vestibulares à proposta do Enem, tornando-os mais reflexivos e críti-cos, em detrimento do caráter memorizador que algumas provas apresentavam anterior-mente, o que vem exigindo também uma reformulação dos currículos e das propostas pedagógicas das escolas.

Dessa forma, não se trata de analisar se o Enem é mais fácil ou mais difícil que os exa-mes vestibulares tradicionais, mas de compreender as suas características e se preparar para realizar a prova da melhor maneira possível.

Os eixos cognitivosO Enem está estruturado em torno de eixos cognitivos. Eles são a base para todas as

áreas do conhecimento e se referem, essencialmente, aos domínios básicos que os candi-datos devem ter para enfrentar, compreender e resolver as questões que a prova apresen-ta. Mas, principalmente, são as referências básicas do que precisamos dominar para atuar na realidade social, política, econômica, cultural e tecnológica que nos cerca.

A Matriz de Referência do Enem apresenta os cinco eixos cognitivos:

I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa.

II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico--geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.

III. Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e en-frentar situações-problema.

IV. Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em dife-rentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente.

V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural.

BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matriz de Referência para o Enem. Brasília, 2009. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=310+enen.br>. Acesso em: 12 fev. 2014.

Conforme podemos perceber pela leitura atenta, os eixos cognitivos são essenciais para a compreensão, o diagnóstico e a ação diante de qualquer situação que se apresen-te a nós. A ideia é que, dominando esses eixos, os candidatos sejam capazes de solucio-nar os desafios colocados diante deles nas provas e na vida. Assim, propõe-se um exa-me que valorize aspectos da vida real, apresentando problemas para que os candidatos demonstrem capacidade de compreensão e diagnóstico, de encarar a situação, analisan-do seu contexto, de construir argumentação em torno do desafio para, por fim, elaborar uma proposta de ação.

Os eixos cognitivos, chamados, até o Enem 2008, de competências gerais, são a es-trutura básica do exame, o sustentáculo pedagógico que dá sentido à prova, na medida em que garante a ela uma coerência, já que todos os desafios apresentados na avaliação têm de se fundamentar nesses eixos.


10


Competências e habilidadesAs diversas áreas do conhecimento possuem as suas competências e habilidades espe-

cíficas, que procuram evidenciar as características das abordagens de cada uma das áreas. Mas afinal, qual a diferença entre competência e habilidade? O que elas significam?

A base para a elaboração da matriz de referência do Enem são os Parâmetros Curri-culares Nacionais para o Ensino Médio. Vejamos, então, como ali se apresenta a ideia de competência:

De que competências se está falando? Da capacidade de abstração, do desenvol-vimento do pensamento sistêmico, ao contrário da compreensão parcial e fragmen-tada dos fenômenos, da criatividade, da curiosidade, da capacidade de pensar múl-tiplas alternativas para a solução de um problema, ou seja, do desenvolvimento do pensamento divergente, da capacidade de trabalhar em equipe, da disposição para procurar e aceitar críticas, da disposição para o risco, do desenvolvimento do pensa-mento crítico, do saber comunicar-se, da capacidade de buscar conhecimento. Estas são competências que devem estar presentes na esfera social, cultural, nas atividades políticas e sociais como um todo, e que são condições para o exercício da cidadania num contexto democrático.BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999. p. 24.

Ora, as competências são entendidas como mecanismos fundamentais para a com-preensão do mundo e atuação nele, isto é, o saber fazer, conhecer, viver e ser. Não basta o domínio dos conteúdos, mas é necessário aplicá-lo ao contexto em que se encontra. Isso é competência: a capacidade de contextualizar o saber, ou seja, comparar, classificar, analisar, discutir, descrever, opinar, julgar, fazer generalizações, analogias e diagnósticos.

As habilidades são as ferramentas que podemos dispor para desenvolver competên-cias. Logo, para saber fazer, conhecer, viver e ser, precisamos de instrumentais que nos conduzam para que a ação se torne eficaz. As habilidades são esses instrumentais que, manejados, possibilitam atingir os objetivos e desenvolver a competência.

Podemos concluir, portanto, que no Exame Nacional do Ensino Médio o conteúdo que aprendemos na escola deve ser utilizado como instrumento de vivência e de apli-cabilidade real, por isso a necessidade de desenvolver competências e habilidades que permitam isso. Assim, os diferentes conteúdos das diversas áreas do conhecimento estão presentes na prova, mas de forma estrategicamente pensada e aplicada a situações da realidade social, política, econômica, cultural, científica e tecnológica.

As áreas de conhecimento

Matemática e suas TecnologiasNa área de Matemática, a principal preocupação do Enem é que os candidatos sejam

capazes de relacionar o conhecimento matemático com o contexto social em que se in-serem. Assim, a noção de números deve vir associada a uma aplicabilidade dela numa realidade dada. Da mesma forma, os conhecimentos geométricos devem servir para uma leitura crítica de alguma situação-problema, para que se desenvolvam propostas de solu-ção para as dificuldades apresentadas.

As diferentes grandezas e as representações algébricas devem ser entendidas como instrumentos de leitura da realidade, assim como as diversas formas de construção grá-fica, de tabelas e de dados estatísticos.

Dessa forma, as questões da área de Matemática apresentam, em geral, situações-pro-blema, nas quais os conceitos matemáticos devem ser deduzidos e aplicados para a solu-ção de dificuldades reais e concretas.

As competências e habilidades da área são as seguintes:


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Competência de área 1Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.

H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

H4Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

H5Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

Competência de área 2Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a

representação da realidade e agir sobre ela.

H6Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.

H8Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

H9Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 3Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão

da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.

H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.

H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

H13Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.

H14Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.


12


Competência de área 4Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da

realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.

H16Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

H17Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

Competência de área 5Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas

ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

H22Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

H23Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

Competência de área 6Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da

leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.

H26Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.


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Competência de área 7Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais

e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis

apresentadas em uma distribuição estatística.

H27Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.

H28Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

H29Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.

H30Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Matriz de referência para o Enem. Brasília, 2009. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=310+enen.br>. Acesso em: 12 fev. 2014.

Para obter mais informações sobre o Enem, consulte <http://portal.inep.gov.br/web/enem>. Acesso em: 27 fev. 2014.

Ser Protagonista Competências EnemDesde sua formulação, os livros da coleção Ser Protagonista concebem a educação

com base nos referenciais das competências e habilidades a serem desenvolvidas em cada uma das áreas do conhecimento. Os exercícios elaborados para os livros procuram traba-lhar esses elementos, destacando-se na contextualização e no propósito de envolver pro-blemas da multifacetada realidade da sociedade atual.

A intenção é ampliar esse olhar, apresentando um material adicional no qual o pro-pósito da coleção é ainda mais aprofundado. Neste caderno, você tem acesso a um material específico, focado no desenvolvimento dos eixos cognitivos e nas competên-cias e habilidades do Enem. O objetivo é complementar e fortalecer o projeto pedagó-gico da coleção Ser Protagonista, com a intenção de fortalecer ainda mais a proposta pedagógica praticada.


14

Atividades

C1.H3

1. (SM) O salário mínimo em fevereiro de 2013 era de R$ 678,00. Segundo o Dieese, o valor necessário para prover o trabalha-dor das condições mínimas de sobrevivência, como alimenta-ção e moradia, deveria ser de R$ 2 743,69. Qual é o reajuste aproximado que o salário mínimo deveria ter para atingir o valor estimado pelo Dieese?a) 10%b) 100%c) 200%

d) 300%e) 400%

C1.H3

2. (Enem) A música e a ma-temática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, con-forme a figura ao lado.

Um compasso é uma uni-dade musical composta por determinada quanti-dade de notas musicais em que a soma das dura-ções coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1 __ 2 , poderia ter um com-passo ou com duas semí-nimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras.

Um trecho musical de oito compassos, cuja fór-mula é 3 ___ 4 , poderia ser preenchido com:a) 24 fusas.b) 3 semínimas.c) 8 semínimas.d) 24 colcheias e 12 semínimas.e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

Semibreve

Mínima

Semínima

Colcheia

Semicolcheia

Fusa

Semifusa

1

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64


15

Cad

erno

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petê

ncia

s

C1.H4

3. (SM) Leia atentamente o trecho da notícia publicada pela Agência Brasil em 27 de março de 2013:

Em cinco anos, pelo menos 300 mil brasileiros que viviam no exterior retornaram ao Brasil

Brasília – A crise econômica internacional associada a problemas específicos em alguns países, como o terremo-to seguido por tsunami no Japão (em 2011), provocou o retorno de 300 mil a 400 mil brasileiros que estavam no exterior para o Brasil. Os números são do Ministério das Relações Exteriores, Itamaraty, e referem-se ao período de 2007 a 2012. A estimativa é que cerca de 2,5 milhões de brasileiros vivam atualmente no exterior.

Os brasileiros que viviam no exterior voltaram, principalmente, do Japão, da Espanha, de Portugal, da França e dos Estados Unidos, além do Paraguai. Porém, o Itamaraty informou que os dados são baseados em es-timativas, pois vários brasileiros que vivem no exterior estão em situação ilegal, o que dificulta a precisão das informações.

O único país, segundo o Itamaraty, que é exceção é o Japão, pois todos os brasileiros são cadastrados pelo go-verno japonês. De 2007 a 2012, o número de brasileiros no país caiu de 313 mil para 193 mil. A avaliação é que o terremoto seguido por tsunami no Nordeste do Japão agravado por explosões e vazamentos nucleares, em mar-ço de 2011, tenha provocado o retorno dos brasileiros.

GIRALDI, Renata. Em cinco anos, pelo menos 300 mil brasileiros que viviam no exterior retornaram ao Brasil. Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/noticia/2013203227/em-cinco-anos-pelo-menos2300-mil-brasileiros-que-viviam-no-exterior-retornaram-ao-brasil>. Acesso em: 23 nov. 2013.

Considerando os dados do texto, é possível afirmar que:

a) a quantidade de brasileiros no Japão caiu cerca de 40% entre 2007 e 2012.

b) se a quantidade de imigrantes continuar caindo na mesma progressão, em 2017, serão 43 mil imigrantes brasileiros no Japão.

c) a quantidade de imigrantes que retornou ao Brasil no pe-ríodo de 2007 a 2012 corresponde a 2% do total.

d) a quantidade de imigrantes que retornou da Europa no período de 2007 a 2012 é 180 mil.

e) no Paraguai existem 500 mil imigrantes brasileiros.


16

C3.H11

4. (Enem) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.

28,5 metros

36 metros

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de pa-pel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?a) 2,9 cm 3 3,4 cmb) 3,9 cm 3 4,4 cmc) 20 cm 3 25 cm

d) 21 cm 3 26 cme) 192 cm 3 242 cm

C3.H11

5. (Enem) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um es-tudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:a) 1:250b) 1:2 500c) 1:25 000

d) 1:250 000e) 1:25 000 000

C1.H3

6. (Enem)

Você pode adaptar as atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte.• Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos:

100 calorias gastas em 20 minutos.• Meia hora de supermercado: 100 calorias.• Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias.


17

Cad

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• Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos.• Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos.• Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias.

Disponível em: <http://cyberdiet.terra.com.br>. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias.

A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades?

a) 50 minutos

b) 60 minutos

c) 80 minutos

d) 120 minutos

e) 170 minutos

C5.H19

7. (Enem) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.

R

BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.

Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do blo-co de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é:

a) y 5 R

b) y 5 2R

c) y 5 pR

d) y 5 2pR

e) y 5 4pR

C1.H4

8. (Enem) Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos.


18

Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30 min e finalizado às 11h07 min. Nesse dia e nesse tempo, Joana:

a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa.

b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamen-te os períodos de descanso especificados em seu programa.

c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter dei-xado de cumprir um dos períodos de descanso especifica-dos em seu programa.

d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min.

e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especi-ficados em seu programa; em alguma dessas séries deve-ria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso.

C2.H7

9. (SM) A simetria axial é muito utilizada na composição de desenhos artísticos. Nesta simetria, parte da figura é obtida pela reflexão da outra parte através de um eixo, chamado de eixo de simetria. É muito comum associar esta simetria à ideia de espelho, em que o eixo de simetria seria o próprio espelho.

Shu

tter

stoc

k.co

m/ID

/BR

Um artesão criou o vitral da figura acima. Quantos eixos de simetria axial existem nesse vitral?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


19

Cad

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petê

ncia

s

C2.H6

10. (SM)

D

B

E

C

A

Shu

tter

stoc

k.co

m/ID

/BR

Maria está em seu carro rosa indo a uma entrevista de em-prego. Ela coloca seu destino no GPS e recebe as seguintes informações:- siga em frente até a próxima bifurcação;- vire à esquerda;- siga em frente até a próxima rua à direita;- entre nessa rua e siga em frente;- entre na próxima rua à esquerda;- siga em frente;- entre na próxima rua à esquerda;- seu destino encontra-se à sua direita.Qual é o ponto que corresponde ao destino de Maria?a) A b) B c) C d) D e) E

C4.H15 H16 H17

11. (SM) Para construir um pré-dio em 12 meses, foram con-tratados 100 operários. Por causa da urgência do pro-prietário, ficou estabelecido que o prazo seria reduzido para 10 meses.

Quantos operários a cons-trutora precisará contratar a mais para conseguir cum-prir o prazo?

a) 17

b) 20

c) 83

d) 120

e) nenhum

Nag

y-B

agol

y A

rpad

/Shu

tter

stoc

k.co

m/ID

/BR


20

C4.H16

12. (SM) Em um único dia, um trabalhador chega a cortar 10 toneladas de cana-de-açúcar. Sabendo que um hectare cor-responde a 10 000 m 2 e que, em média, são produzidas cerca de 80 toneladas de cana-de-açúcar por hectare, a área que um trabalhador consegue cortar por dia corresponde a um retângulo de base e altura iguais, respectivamente, a:

a) 20 m e 40 m

b) 35 m e 35 m

c) 100 m e 40 m

d) 25 m e 100 m

e) 25 m e 50 m

C4.H16

13. (Enem) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas ha-viam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a des-pesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

a) R$ 14,00

b) R$ 17,00

c) R$ 22,00

d) R$ 32,00

e) R$ 57,00

C1.H5

14. (Enem)

Pneus usados geralmente são descartados de forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e roe- dores e provocando sérios problemas de saúde pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam descartados 20 milhões de pneus usados. Como alternativa para dar uma destinação final a esses pneus, a Petrobras, em sua unidade de São Mateus do Sul, no Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de combustível a partir da mis-tura dos pneus com xisto. Esse procedimento permite, a partir de uma tonelada de pneu, um rendimento de cerca de 530 kg de óleo.

Disponível em: <http://www.ambientebrasil.com.br>. Acesso em: 3 out. 2008 (adaptado).


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Considerando que uma tonelada corresponde, em média, a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados anual-mente fossem utilizados no processo de obtenção de com-bustível pela mistura com xisto, seriam então produzidas:a) 5,3 mil toneladas de óleo.b) 53 mil toneladas de óleo.c) 530 mil toneladas de óleo.d) 5,3 milhões de toneladas de óleo.e) 530 milhões de toneladas de óleo.

C1.H2

15. (Enem) No calendário utilizado atualmente, os anos são nu-merados em uma escala sem o zero, isto é, não existe o ano zero. A era cristã se inicia no ano 1 depois de Cristo (d.C.) e designa-se o ano anterior a esse como ano 1 antes de Cristo (a.C.). Por essa razão, o primeiro século ou interva-lo de 100 anos da era cristã terminou no dia 31 de dezem-bro do ano 100 d.C., quando haviam decorrido os primeiros 100 anos após o início da era. O século II começou no dia 1 de janeiro do ano 101 d.C., e assim sucessivamente.

Como não existe o ano zero, o intervalo entre os anos 50 a.C. e 50 d.C., por exemplo, é de 100 anos. Outra forma de repre-sentar anos é utilizando-se números inteiros, como fazem os astrônomos. Para eles, o ano 1 a.C. corresponde ao ano 0, o ano 2 a.C. ao ano 21, e assim sucessivamente. Os anos de-pois de Cristo são representados pelos números inteiros po-sitivos, fazendo corresponder o número 1 ao ano 1 d.C.

Considerando o intervalo de 3 a.C. a 2 d.C., o quadro que re-laciona as duas contagens descritas no texto é:

a) Calendário atual

3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.

Cômputo dos astrônomos

21 0 1 2 3

b) Calendário atual

3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.


22 21 0 1 2

c) Calendário atual

3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.


22 21 1 2 3


22

d) Calendário atual

3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.


23 22 21 1 2

e) Calendário atual

3 a.C. 2 a.C. 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C.


23 22 21 0 1

C1.H3

16. (Enem)

A disparidade de volume entre os planetas é tão gran-de que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segun-do menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.Revista Veja, ano 41, n. 25, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter?

a) 406

b) 1 334

c) 4 002

d) 9 338

e) 28 014

C1.H3

17. (Enem)

Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja am-plamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

IMC 5 massa (kg)

__________ [altura (m) ] 2

RIP 5 altura (cm) __________ 3 dXXXXXXXXXX massa (kg)

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de massa corporal: um questionamento científico baseado em evidências. Arq. Bras. Cardiologia, v. 79, n. 1, 2002 (adaptado).


23

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Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/ m 2 , então ela possui RIP igual a:

a) 0,4 cm/ kg 1 __ 3

b) 2,5 cm/ kg 1 __ 3

c) 8 cm/ kg 1 __ 3

d) 20 cm/ kg 1 __ 3

e) 40 cm/ kg 1 __ 3

C4.H17

18. (Enem) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.

Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 qua-dros retangulares (50 cm 3 100 cm). O valor da segunda enco-menda será:

a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.

b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.

c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altu-ra e a largura dos quadros dobraram.

d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.

e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

C6.H26

19. (Enem) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde.

Trabalhadoresda saúde

Crianças de6 meses a 2 anos

Indígenas

Doentescrônicos

Gestantes

Adultos entre20 e 29 anos

Números da campanha contra a gripe A “H1N1”

Época 26 de abr. 2010 (adaptado).

10,0

%

20,0

%

30,0

%

40

,0%

50

,0%

60

,0%

70,0

%

80

,0%

90

,0%

100

,0%

0,0

%

Época. 26 abr. 2010 (adaptado).


24

De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de:a) indígenas.b) gestantes.c) doentes crônicos.d) adultos entre 20 e 29 anos.e) crianças de 6 meses a 2 anos.

C1.H4

20. (Enem)

Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano.• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne

para cada pessoa.• Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente

para quatro pessoas.• Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por con-

vidado.• Uma garrafa de vinho serve seis pessoas.• Uma garrafa de cerveja serve duas.• Uma garrafa de espumante serve três convidados.

Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.

Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje, 17 dez. 2010 (adaptado).

Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir es-sas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de:a) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz,

120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.

b) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.

c) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.

d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos de arroz, 120 colhe-res de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.

e) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.


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C2.H6

21. (Enem)

Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br>. Acesso em: 28 abr. 2010.

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por ro-tações, em torno de seu centro, de:a) 458

b) 608

c) 908

d) 1208

e) 1808

C1.H3

22. (Enem)

Segundo a Associação Brasileira de Alumínio (ABAL), o Brasil foi o campeão mundial, pelo sétimo ano seguido, na reciclagem de latas de alumínio. Foram reciclados 96,5% do que foi utilizado no mercado interno em 2007, o equiva-lente a 11,9 bilhões de latinhas. Este número significa, em média, um movimento de 1,8 bilhões de reais anuais em função da reutilização de latas no Brasil, sendo 523 milhões referentes à etapa da coleta, gerando, assim, “emprego” e renda para cerca de 180 mil trabalhadores. Essa renda, em muitos casos, serve como complementação do orçamento familiar e, em outros casos, como única renda da família.

Revista Conhecimento Prático Geografia, n. 22 (adaptado).

Com base nas informações apresentadas, a renda média men-sal dos trabalhadores envolvidos nesse tipo de coleta gira em torno de:

a) R$ 173,00.

b) R$ 242,00.

c) R$ 343,00.

d) R$ 504,00.

e) R$ 841,00.


26

C1.H3

23. (SM) Leia o texto a seguir:

Previdência quer ampliar número de empregados domésticos com carteira assinada

Brasília – O número de empregados domésticos inscri-tos na Previdência Social é pequeno, pouco mais de 30%. Na avaliação do diretor do Departamento do Regime Ge-ral da Previdência Social, Rogério Nagamine, o registro do trabalho doméstico tem avançado pouco no país, apesar dos estímulos dados pelo governo.

São 6,3 milhões de empregados dos quais 2 milhões trabalham com carteira assinada. Durante reunião do Conselho Nacional da Previdência Social realizada hoje (21), ele disse que o Ministério da Previdência Social pla-neja criar um setor só para cuidar dessa questão.

Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/noticia/2013203221/ previdencia-quer-ampliar-numero-de-empregados-domesticos-com-carteira-assinada acesso em 25/03/2013>. Acesso em: 23 jan. 2014.

Suponhamos que todos os empregados domésticos recebam apenas o salário mínimo de R$ 678,00 por mês. Sabendo que a alíquota do INSS para esse valor é de 8%, qual é o va-lor aproximado do aumento da arrecadação, caso o governo, atinja a totalidade dos empregados registrados?

a) 2,3 mil

b) 23 mil

c) 2,3 milhões

d) 23 milhões

e) 230 milhões

C1.H2

24. (Enem) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acor-do com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

12 13 2 14 3 2 1

121321

...

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível


27

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prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9a linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9

b) 45

c) 64

d) 81

e) 285

C1.H1

25. (Enem) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pe-quenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

0

5

21 9

47

63

8

Milhar

0

5

89 1

63

47

2

Centena

0

5

89 1

63

47

2

Unidade

0

5

21 9

47

63

8

Dezena

Disponível em: <http://www.enersul.com.br>. Acesso em: 26 abr. 2010.

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é for-mada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.

O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:

a) 2 614

b) 3 624

c) 2 715

d) 3 725

e) 4 162

C1.H1

26. (Enem) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pis-tão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro-velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.

Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro:

a) 68,21 mm

b) 68,102 mm

c) 68,02 mm

d) 68,012 mm

e) 68,001 mm


28

C1.H1

27. (Enem) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 alga-rismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores.Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multipli-cados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 5 (11 2 r). O dígito d2 é calculado pela mes-ma regra, na qual os números a serem multiplicados pela se-quência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, é zero se o resto s da di-visão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 5 (11 2 s).Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF, e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conse-guisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando--se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789.Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente:a) 0 e 9b) 1 e 4

c) 1 e 7d) 9 e 1

e) 0 e 1

C1.H4

28. (Enem) Um dos diversos instrumentos que o homem concebeu para medir o tempo foi a ampulheta, também conhecida como relógio de areia. Suponha que uma cozinheira tenha de marcar 11 minutos, que é o tempo exato para assar os biscoitos que ela colocou no forno. Dispondo de duas ampulhetas, uma de 8 minutos e outra de 5, ela elaborou 6 etapas, mas fez o esque-ma, representado a seguir, somente até a 4a etapa, pois é só depois dessa etapa que ela começa a contar os 11 minutos.

5 min8 min

1a etapa

3 min

5 min 5 min

2a etapa

3 min

5 min

5 min

3a etapa

min

min

5 min

etapa

8 min 3 min

2 min

4a etapa

?5a etapa

?6a etapa


29

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A opção que completa o esquema é:

a)

5 min

8 min

6a etapa

8 min5 min

5a etapa

5 min

apaapa

8 min

6a etapa

5 min

8

6

b)

5 min

5 min8 min

6a etapa

8 min

5a etapa

8 min

5a etapa

n

6a

5 min

apa etapa

min

6

8 5 min

c)

8 min

5 min

3 min2 min

6a etapa

8 min

5a etapa 6

min

5 min

etapa

8 m

6a

8 min

5 etappa

8min

6pa

3 min22 m

d)

2 min6 min

6a etapa

8 min 8 min

5a etapa

5 min 2 minmin6 m

apappapa

e)

8 min

5 min

2 min3 min

6a etapa

8 min

5a etapa

5 min 8 min

apap

2 minmin3 m

papa

C5 H9 H21 H23

29. (SM) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 1 000,00 mais 3% do total de vendas efetuadas no mês. Sendo x o total de vendas, a função que corresponde ao salário do vendedor é:a) y 5 1 000 1 3xb) y 5 1 000 1 0,3xc) y 5 1 000 1 0,03x

d) y 5 1 000 – 0,3x

e) y 5 1 000 – 0,03x

C4.H19

30. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodo-via para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primei-ra cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda co-brou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.


30

Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria en-contrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?a) 100n 1 350 5 120n 1 150

b) 100n 1 150 5 120n 1 350

c) 100(n 1 350) 5 120(n 1 150)

d) 100(n 1 350 000) 5 120(n 1 150 000)

e) 350(n 1 100 000) 5 150(n 1 120 000)

C6.H24

31. (Enem) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de tonela-das produzidas.

Produção (em toneladas)

Emissão de dióxido de carbono (em partes por

milhão – ppm)

1,1 2,14

1,2 2,30

1,3 2,46

1,4 2,64

1,5 2,83

1,6 3,03

1,7 3,25

1,8 3,48

1,9 3,73

2,0 4,00

Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: <www.mec.gov.br>. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação en-tre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é:

a) inferior a 0,18.

b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.

c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.

d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.

e) superior a 2,80.

C6.H26

32. (Enem) A suspeita de que haveria uma relação causal entre taba-gismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a par-tir de observações clínicas. Para testar essa possível associação,


31

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foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.

Número de cigarros consumidos diariamente

Casos de câncer pulmonar dado o número decigarros consumidos diariamente

Cas

os d

e câ

ncer

pul

mon

ar

10

0

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course – 1992 (adaptado).

De acordo com as informações do gráfico:

a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente propor-cionais.

b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-cer de pulmão são grandezas que não se relacionam.

c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-cer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais.

d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnos-ticada com câncer de pulmão.

e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de cân-cer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.

C5.H23

33. (Enem) Na cidade de João e Maria, haverá shows em uma boate. Pensando em todos, a boate propôs pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria melhor para si.

� Pacote 1: taxa de 40 reais por show.

� Pacote 2: taxa de 80 reais mais 10 reais por show.

� Pacote 3: taxa de 60 reais para 4 shows, e 15 reais por cada show a mais.

João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. As melhores opções para João e Maria são, respectivamente, os pacotes:

a) 1 e 2

b) 2 e 2

c) 3 e 1

d) 2 e 1

e) 3 e 3


32

C1.H4

34. (Enem) Três empresas de táxi W, K e L estão fazendo promo-ções: a empresa W cobra R$ 2,40 a cada quilômetro rodado e com um custo inicial de R$ 3,00; a empresa K cobra R$ 2,25 a cada quilômetro rodado e uma taxa inicial de R$ 3,80 e, por fim, a empresa L que cobra R$ 2,50 a cada quilômetro rodado e com taxa inicial de R$ 2,80.Um executivo está saindo de casa e vai de táxi para uma reu-nião que é a 5 km do ponto de táxi, e sua esposa sairá do ho-tel e irá para o aeroporto, que fica a 15 km do ponto de táxi.Assim, os táxis que o executivo e sua esposa deverão pegar, res-pectivamente, para terem a maior economia são das empresas:a) W e Lb) W e K

c) K e Ld) K e W

e) K e K

C5.H19

35. (Enem) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar fi-guras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A es-trutura de formação das figuras está representada a seguir.

Figura I Figura II

Figura III

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?

a) C 5 4Q

b) C 5 3Q 1 1

c) C 5 4Q 2 1

d) C 5 Q 1 3

e) C 5 4Q 2 2

C5.H19

36. (Enem)O saldo de contratações no mercado formal no setor

varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhado-res com carteira assinada.

Disponível em: <http://www.folha.uol.com.br>. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).


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Suponha que o incremento de trabalhadores no setor vare-jista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantida-des nesses meses é:

a) y 5 4 300x

b) y 5 884 905x

c) y 5 872 005 1 4 300x

d) y 5 876 305 1 4 300x

e) y 5 880 605 1 4 300x

C5.H19

37. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa quanti-dade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir.

y

Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são coloca-das dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resulta-dos do experimento realizado.

Número de bolas (x) Nível da água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

Disponível em: <www.penta.ufrgs.br>. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

a) y 5 30xb) y 5 25x 1 20,2c) y 5 1,27x

d) y 5 0,7xe) y 5 0,07x 1 6


34

C5.H21

38. (SM) Joaquim é dono de uma microempresa que fabrica “re-bimbocas da parafuseta”. O custo fixo mensal de sua empresa é R$ 1 800,00, incluindo água, luz, aluguel, etc. O custo variável (depende da quantidade de rebimbocas produzidas) é R$ 30,00 por unidade. Considerando que o preço de venda das rebimbo-cas seja de R$ 80,00 a unidade, quantas rebimbocas Joaquim precisa vender para obter lucro com sua microempresa?a) 36b) menos de 36c) mais de 36d) a empresa de Joaquim sempre dará lucro independente-

mente da quantidade de peças vendida.e) a empresa de Joaquim nunca dará lucro, independente-

mente da quantidade de peças vendida.

C5.H21

39. (SM) Segundo estudo do Dieese, a taxa de desemprego em sete regiões metropolitanas subiu.

Taxas de desemprego totalRegiões metropolitanas e Distrito Federal (1)Fevereiro/2012 – Fevereiro/2013 Em porcentagem

Regiões Fev-12 Jan-13 Fev-13

Total 10,1 10,0 10,4

Belo Horizonte 5,1 5,6 6,2

Distrito Federal 12,4 12,0 12,8

Fortaleza 8,5 8,1 8,5

Porto Alegre 7,0 6,3 6,2

Recife 11,9 12,6 12,9

Salvador 15,8 17,3 18,6

São Paulo 10,4 10,0 10,3

Fonte de pesquisa: Convênio Deade - Dieese. MTE/FAT e convênios regionais(1) Corresponde ao total das regiões metropolitanas de Belo Horizonte, Fortaleza, Porto Alegre, Recife, Salvador, São Paulo e Distrito Federal.Disponível em: <http://www.dieese.org.br/analiseped/2013/201302 pedmet.pdf>. Acesso em: 23 nov. 2013.

Considerando que a taxa de desemprego continue aumentan-do na mesma proporção que a apresentada de janeiro a feve-reiro de 2013 em São Paulo e em Fortaleza, daqui a quantos meses as duas capitais teriam taxas iguais de desemprego?a) 6 mesesb) 12 mesesc) 18 mesesd) 24 mesese) as duas taxas nunca serão iguais


35

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C5.H20

40. (Enem) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou varia-ção de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é:

a) m

n

1,75

1

b) m

n

1,75

1

c) m

n

1,75

1

d) m

n

1,75

1

e) m

n

1,75

1

C5.H19

41. (Enem) A empresa SWK produz um determinado produ-to x, cujo custo de fabricação é dado pela equação de uma reta crescente, com inclinação dois e de variável x. Se não tivermos nenhum produto produzido, a despesa fixa é de R$ 7,00 e a função venda de cada unidade x é dada por 22 x 2 1 229,76x 2 441,84.

Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez algumas demissões. Com isso, caiu em 12% o custo da produção de cada unidade produzida. Nessas condições, a função lucro da empresa pode ser expressa como:

a) L(x) 5 22x2 1 228x 2 448,00

b) L(x) 5 22x2 1 227,76x 2 448,84

c) L(x) 5 22x2 1 228x 2 441,84

d) L(x) 5 22x2 1 229,76x 2 441,84e) L(x) 5 22x2 1 227,76x 2 448,96


36

C5.H21

42. (Enem) A empresa WQTU Cosmético vende um determina-do produto x, cujo custo de fabricação de cada unidade é dado por 3x2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, e deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo.

A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é:

a) 10

b) 30

c) 58

d) 116

e) 232

C5.H21

43. (Enem) Nos processos industriais, como na indústria de ce-râmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garan-tir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para ele-var a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função:

T(t) 5 t 7 __ 5 t 1 20, para 0 < t , 100

2 _____ 125 t2 2 16 ____ 5 t 1 320, para t > 100

[...] T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instan-te em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a tempera-tura for 48 8C e retirada quando a temperatura for 200 8C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:

a) 100

b) 108

c) 128

d) 130

e) 150

C6.H24

44. (Enem)

A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade ori-ginal do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quan-tidade de fármaco existente no organismo no final do interva-lo é igual a 50 da quantidade no início desse intervalo.


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ncia

s

% d

e f

árm

aco

no

org

anis

mo

Número de meias-vidas

30

40

10

1 2

20

70

80

90

100

50

60

0 3 4 5 6 7

O gráfico anterior representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo hu-mano ao longo do tempo.FUCHS, F. D.; WANNMA, Cher l. Farmacologia clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992. p. 40.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um pa-ciente, o percentual dessa dose que restará em seu organis-mo às 13h30 min será aproximadamente de:

a) 10% b) 15% c) 25% d) 35% e) 50%

C5.H21

45. (Enem)A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como

MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em ter-mos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as mag-nitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarít-mica. MW e M0 se relacionam pela fórmula MW 5 210,7 1

1 1 __ 3 log10(M0), onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfí-cie, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina ? cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior im-pacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW 5 7,3.U.S. Geological Survey. Historic Earthquakes. Disponível em: <http://earthquake.usgs.gov>. Acesso em: 1o maio 2010 (adaptado).

U.S. Geological Survey. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: <http://earthquake.usgs.gov>. Acesso em: 1o maio 2010 (adaptado).


38

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina ? cm)?

a) 1025,10

b) 1020,73

c) 1012,00

d) 1021,65

e) 1027,00

C6.H24

46. (SM) Dependendo do valor, o salário do cidadão brasileiro sofre o desconto de impostos como INSS e imposto de renda. Para efetuar o cálculo do salário líquido (aquele que o tra-balhador efetivamente recebe), deve-se descontar primeira-mente o valor do INSS, calculado conforme a tabela abaixo:

Tabela de contribuição mensal1. Segurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos

TABELA VIGENTETabela de contribuição dos segurados empregados,

empregados domésticos e trabalhadores avulsos, para pagamento de remuneração a partir de 1o de janeiro de 2013

Salário de contribuição (R$)Alíquota para fins de recolhimento

ao INSS (%)

até 1.247,70 8,00

de 1.247,71 até 2.079,50 9,00

de 2.079,51 até 4.159,00 11,00

Disponível em: <http://www.previdencia.gov.br/conteudoDinamico.php?id5313>. Acesso em: 25 mar. 2013.

Em seguida, este valor deve ser subtraído do valor bruto do sa-lário, obtendo-se a base de cálculo mensal. Então, calcula-se o imposto de renda sobre este valor, conforme a tabela abaixo:

Tabela Progressiva para o cálculo mensal do Imposto sobre a Renda da Pessoa Física para o exercício de 2014, ano-

-calendário de 2013.

Base de cálculo mensal em R$ Alíquota %Parcela a deduzir do imposto em R$

Até 1.710,78 - -

De 1.710,79 até 2.563,91 7,5 128,31

De 2.563,92 até 3.418,59 15,0 320,60

De 3.418,60 até 4.271,59 22,5 577,00

Acima de 4.271,59 27,5 790,58

Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/Aliquotas/ContribFont2012a2015.htm>. Acesso em: 25 mar. 2013.

Primeiro calcula-se a alíquota, conforme a tabela, e em se-guida desconta-se a parcela a deduzir do imposto, obtendo--se o valor a ser descontado do salário.


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Agora, desconta-se esse valor da base de cálculo mensal (ob-tida anteriormente) e assim, obterá o salário líquido.

Considerando-se um trabalhador que seja contratado por R$ 1 800,00 de salário bruto, qual será o seu salário líquido?

a) R$ 1 602,00

b) R$ 1 631,31

c) R$ 1 638,00

d) R$ 1 656,00

e) R$ 1 800,00

C6.H25

47. (Enem) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5a nação mais rica do plane-ta, o Brasil é a 10a, e ambas se destacam na economia mun-dial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explo-rado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003 -2007.

Investimentos bilaterais (em milhões de dólares)Ano Brasil na França França no Brasil

2003 367 825

2004 357 485

2005 354 1 458

2006 539 744

2007 280 1 214

Disponível em: <www.cartacapital.com.br>. Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor:a) inferior a 300 milhões de dólares.b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 mi-

lhões de dólares.c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 mi-

lhões de dólares.d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 mi-

lhões de dólares.e) superior a 600 milhões de dólares.

C6.H25

48. (Enem) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado ao crescente consumo de água, tem gerado inúmeras preo-cupações, incluindo o uso desta na produção de alimentos. O gráfico mostra a quantidade de litros de água necessária para a produção de 1 kg de alguns alimentos.


40

Litr

os d

e ág

ua

Alimentos (1 kg)

1 0000

2 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 000

10 00011 00012 00013 00014 00015 00016 00017 00018 000

Arroz Carnedeboi

Legumes Banana Óleode

soja

Carnede

porco

Milho Trigo

Com base no gráfico, para a produção de 100 kg de milho, 100 kg de trigo, 100 kg de arroz, 100 kg de carne de porco e 600 kg de carne de boi, a quantidade média necessária de água, por quilo-grama de alimento produzido, é aproximadamente igual a:

a) 415 litros por quilograma.

b) 11 200 litros por quilograma.

c) 27 000 litros por quilograma.

d) 2 240 000 litros por quilograma.

e) 2 700 000 litros por quilograma.

C6.H24

49. (SM) Os gráficos abaixo foram obtidos no Censo 2010 e refe-rem-se ao estado da Paraíba:

Pessoas de 10 anos ou mais de idade,por classes de rendimento nominal mensal

Pessoas de 10 anos ou mais de idade,por classes de rendimento nominal mensal

0

400.000

800.000

1.200.000

1.600.000

Pessoas

Até 1 salário mínimoMais de 1 a 2 salários mínimos

Sem rendimento

Mais de 2 a 3 salários mínimos

Mais de 5 a 10 salários mínimosMais de 10 a 20 salários mínimos

Mais de 3 a 5 salários mínimos

Mais de 20 salários mínimos

Pessoas de 10 anos ou mais de idade,com rendimento

Pessoas de 10 anos ou mais de idade,com rendimento

MulheresHomens

48,3%51,7%

Fonte de pesquisa: Censo 2010.

Disponível em: <http://www.censo2010.ibge.gov.br/apps/mapa/.. Acesso em: 23 nov. 2013.


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Considerando que a distribuição de rendimentos ocorra na mesma proporção para homens e mulheres, que quantidade aproximada de mulheres recebe entre 1 e 2 salários mínimos na Paraíba?

a) 150 000

b) 193 200

c) 200 000

d) 206 800

e) 400 000

C5.H21

50. (Enem) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabri-car uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) 5

5 FT(q) 2 CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) 5 5q e CT(q) 5 2q 1 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de pro-dutos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

a) 0

b) 1

c) 3

d) 4

e) 5

C5.H22

51. (Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investi-mento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certi-ficado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Rendimento mensal (%)

IR (imposto de renda)

Poupança 0,560 isento

CDB 0,8764% (sobre o

ganho)

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é:

a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.


42

C5.H20

52. (SM) Observe a tabela referente à contribuição do INSS dos trabalhadores:

Tabela de contribuição mensalSegurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos

TABELA VIGENTETabela de contribuição dos segurados empregados,

empregados domésticos e trabalhadores avulsos, para pagamento de remuneração a partir de 1o de janeiro de 2013

Salário de contribuição (R$)Alíquota para fins de

recolhimento ao INSS (%)

até 1 247,70 8,00

de 1 247,71 até 2 079,50 9,00

de 2 079,51 até 4 159,00 11,00

Disponível em: <http://www.previdencia.gov.br/conteudoDinamico.php?id5313.. Acesso em: 23 nov. 2013.

Considerando o eixo y o valor da contribuição1 e o eixo x o sa-lário de contribuição2, que gráfico corresponde à contribui-ção mensal do INSS de um trabalhador?

a)

b)

c)

d)

e)

C5.H20

53. (Enem) Paulo emprestou R$ 5 000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses.

1. Valor da contribuição: valor calculado dependendo da faixa salarial, conforme a tabela dada.

2. Salário de contribuição: valor do salário recebido pelo trabalhador sem descontos.


43

Cad

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s

Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é:

a)

x

5 000

M(x)

b)

x

5 000

M(x)

c)

x

5 000

M(x)

d)

x

5 000

M(x)

e)

x

5 150

M(x)

C4.H16

54. (Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No pri-meiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corres-ponde ao valor de:a) R$ 4 222,22b) R$ 4 523,80c) R$ 5 000,00

d) R$ 13 300,00e) R$ 17 100,00

C4.H17

55. (SM) Segundo a Agência Brasil, em artigo intitulado “Despe-sas de começo do ano levam muita gente a usar o crédito ro-tativo do cartão”, publicado em 30 de março de 2013, mui-tos brasileiros acabaram se endividando no cartão de crédito apesar de outros tipos de empréstimo oferecerem taxas mais convidativas, conforme a tabela abaixo:

Taxa (% ao mês)

Cartão de crédito 9,37%

Cheque especial 7,75%

Empréstimo pessoal 2,92%

OLIVEIRA, K. Despesas do começo do ano levam muita gente a usar o crédito rotativo do cartão. Disponível em: <http://agenciabrasil.ebc.com.br/noticia/2013-03-30/despesas-de-comeco-do-ano-levam-muita-gente-usar-credito-rotativo-do-cartao>. Acesso em: 23 nov. 2013.


44

Afonso tem uma dívida de R$ 1 000,00 no cartão de crédito. Para quitá-la, ele resolveu contratar um empréstimo pessoal de R$ 600,00 e usar o cheque especial para o restante. Que valor aproximado ele economizará?

a) R$ 25,00

b) R$ 37,00

c) R$ 41,60

d) R$ 45,00

e) Ele não economizará, haverá um acréscimo de cerca de R$ 10,00.

C1.H2.

56. (SM) Em uma fábrica, a produção varia de acordo com os dados abaixo:1o mês: 5 peças2o mês: 12 peças3o mês: 21 peças4o mês: 32 peçasSeguindo esse mesmo padrão, qual será a produção no 10o mês?

a) 60

b) 77

c) 96

d) 117

e) 140

C1.H2

57. (Enem) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nes-ta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.

Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de:a) 1 centavo no 679o dia, que caiu numa segunda-feira.b) 5 centavos no dia 186o, que caiu numa quinta-feira.c) 10 centavos no dia 188o, que caiu numa quinta-feira.d) 25 centavos no dia 524o, que caiu num sábado.e) 50 centavos no dia 535o, que caiu numa quinta-feira.

C2.H8

58. (Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais eleva-da uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.


45

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s

A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

a) 1,16 metros

b) 3,0 metros

c) 5,4 metros

d) 5,6 metros

e) 7,04 metros

C2.H8

59. (Enem) A fotografia mostra uma turista aparentemente bei-jando a esfinge de Gizé, no Egito.

A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posiciona-das a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

a

b

Posição daturista

Posição dacâmera

Posição daesfinge

d

d’

c

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifi-ca-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2 __ 3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua

cabeça. Considere que essas medidas na realidade são re-presentadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano ho-rizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.

A razão entre b e a será dada por:

a) b __ a 5 d’ ___ c

b) b __ a 5 2d ____ 3c

c) b __ a 5 3d’ _____ 2c

d) b __ a 5 2d’ ____ 3c

e) b __ a 5 2d’ ____ c


46

C2.H8

60. (Enem)

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilô-metros a Noroeste de São Paulo), na noite do último do-mingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tem-po previsto de medição.

Disponível em: <http://www.correiodobrasil.com.br>. Acesso em: 2 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 608; a outra estava a 5,5 km da posição verti-cal do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 308.

A B1,8 km 3,7 km

Balão

60° 30°

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8 km

b) 1,9 km

c) 3,1 km

d) 3,7 km

e) 5,5 km

C5.H21

61. (Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mí-nimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, res-pectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por

r(t) 5 5 865 ______________________________ 1 1 0,15 ? cos (0,06t)

Um cientista monitora o movimento desse satélite para con-trolar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no pe-rigeu, representada por S.


47

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s

O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:

a) 12 765 km

b) 12 000 km

c) 11 730 km

d) 10 965 km

e) 5 865 km

C2.H862. (Enem) O governo cedeu terrenos para que famílias cons-

truíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preser-vação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em

que AB 5 BC ____ 2 , Antônio demarcou uma área quadrada no vér-tice A, para a construção de sua residência, de acordo com o

desenho, no qual AE 5 AB ____ 5 é lado do quadrado.

DA

CB

E

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:

a) duplicasse a medida do lado do quadrado.

b) triplicasse a medida do lado do quadrado.

c) triplicasse a área do quadrado.

d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.

e) ampliasse a área do quadrado em 4%.

C2.H8

63. (Enem) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocu-pação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na fi-gura I. Neste caso, a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálcu-lo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q 5 Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões espe-cificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.


48

20 m

2,0 m

41 m

2,5 m

30 m

49 m

Figura I

Figura II

Disponível em: <www2.uel.br>.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?a) 90 m3/sb) 750 m3/s

c) 1 050 m3/sd) 1 512 m3/s

e) 2 009 m3/s

C2.H8

64. (Enem) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.

Biomas continentais brasileiros

Área aproximada (km2)

Área/Total Brasil

Amazônia 4 196 943 49,29%

Cerrado 2 036 448 23,92%

Mata Atlântica 1 110 182 13,04%

Caatinga 844 453 9,92%

Pampa 176 496 2,07%

Pantanal 150 355 1,76%

Área total Brasil 8 514 877

Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas.Nesse caso, qual é o número de campos de futebol corres-pondente à área aproximada do bioma Pantanal?a) 1 400b) 14 000

c) 140 000d) 1 400 000

e) 14 000 000

C5.H19

65. (Enem) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respec-tivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura.


49

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s

Área do setor circular Asc 5 aR2 _____ 2 ,

a em radianos.

A área da região S, em unidades de área, é igual a:

a) 2pR2 _______ 3 2

dXX 3 R2

_______ 2

b) (2p 2 3 dXX 3 )R2

___________________ 12

c) pR2 ______ 12 2

R2

___ 8

d) pR2 ______ 2

e) pR2 ______ 3

C2.H8

66. (Enem) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triân-gulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

M

N CA

B

P

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser cal-çada com concreto.Nessas condições, a área a ser calçada corresponde:a) à mesma área do triângulo AMC.b) à mesma área do triângulo BNC.c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.d) ao dobro da área do triângulo MNC.e) ao triplo da área do triângulo MNC.

C3.H12

67. (Enem) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nes-sa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

2,5 m0,5 m

1,3 m

H1 H2

SR R


50

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:

a) massa.

b) volume.

c) superfície.

d) capacidade.

e) comprimento.

C2.H8

68. (Enem) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões inter-nas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altu-ra. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.

Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte?

a) 10 viagens

b) 11 viagens

c) 12 viagens

d) 24 viagens

e) 27 viagens

C2.H9

69. (Enem) Uma empresa vende tanques de combustíveis de for-mato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque.

4 m 4 m

6 m

6 m

8 m

8 m

(I) (II)

(III)

O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (considere p ù 3)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1 __ 3 .

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4 ___ 3 .

c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3 ___ 4 .

d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2 __ 3 .

e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7 ____ 12 .


51

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s

C2.H8

70. (Enem)

É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é im-portante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O exces-so de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.

Ciência Hoje das Crianças. FNDE: Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medi-das são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize p 5 3):

a) 20 mL

b) 24 mL

c) 100 mL

d) 120 mL

e) 600 mL

C3.H14

71. (Enem) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

20 cm

8 cm

4 cm

4 cm

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja co-locar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 ve-zes maior que o volume do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.


52

c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

C2.H872. (Enem) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro

com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura despre-zível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.

Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de p, então o preço dessa manilha é igual a:

a) R$ 230,40

b) R$ 124,00

c) R$ 104,16

d) R$ 54,56

e) R$ 49,60

C2.H9

73. (Enem) Um artesão construiu peças de artesanato intercep-tando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a in-terseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.

b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígo-nos tem 4 lados.

c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interse-ção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.

d) O número de lados de qualquer polígono obtido como in-terseção de uma pirâmide com um plano é igual ao núme-ro de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.

e) O número de lados de qualquer polígono obtido intercep-tando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 ares-tas laterais, o polígono tem 4 lados.


53

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s

C2.H7

74. (Enem) Uma indústria fabrica brindes promocionais em for-ma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

AA

BB

CC DD

OO

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mes-mos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os qua-tro cortes saem de O em direção às arestas XXX AD , XXX BC , XXX AB e XXX CD , nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.

Os formatos dos sólidos descartados são:

a) todos iguais.

b) todos diferentes.

c) três iguais e um diferente.

d) apenas dois iguais.

e) iguais dois a dois.

C2.H7

75. (Enem) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebe-douros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

120 cm

100 cm

60 cm

60 cm

60 cm

30 cm

60 cm

Bebedouro 1 Bebedouro 2

Bebedouro 3

A escolha do bebedouro. In: Biotemas. v. 22, n. 4, 2009 (adaptado).


54

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

a) 100 cm

60 cm

60 cm

b) 100 cm

60 cm

c) 100 cm

60 cm

d)

100 cm

60 cm

e)

100 cm

60 cm

60 cm

C2.H8

76. (Enem) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625p cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasi-lhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fun-do do vasilhame.

Volume do cone: Vcone 5 pr2h _______ 3

5 cm

5 cm

6 cm

6 cm

30 cm

30 cm

Fundo dovasilhame

Figura 1 Figura 2

h


55

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ncia

s

Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H?

a) 5 cm

b) 7 cm

c) 8 cm

d) 12 cm

e) 18 cm

C2.H7

77. (Enem) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.

Disponível em: <http://mdmat.psico.ufrgs.br.>. Acesso em: 1o maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revo-lução chamada de:

a) pirâmide

b) semiesfera

c) cilindro

d) tronco de cone

e) cone

C2.H8

78. (Enem) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para trans-portá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transporta-das em uma caixa é igual a:

a) 4

b) 8

c) 16

d) 24

e) 32

C2.H8

79. (Enem) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.

Volume da esfera: Vesfera 5 4pr3

_______ 3

Analisando as características das figuras geométricas envolvi-das, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é igual a:

a) 15

b) 12

c) 24

d) 3 3 dXXX 60

e) 6 3 dXXX 60


56

C2.H8

80. (Enem) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

R 5 3 cm

R 5 3 cm

h

Figura 1 Figura 2

Considere: Vesfera 5 4 ___ 3 pR3 e Vcone 5 1 __ 3 pR2h

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:

a) 1,33

b) 6,00

c) 12,00

d) 56,52

e) 113,04

C2.H7

81. (SM) Um publicitário criou como logomarca de uma empresa o cubo abaixo. Sabendo que o plano de secção mostrado na figura é um eixo de simetria do cubo, ou seja, a reta que di-vide a figura em duas partes congruentes, semelhante a um espelho, qual a única figura que NÃO pode ser encontrada na secção mostrada?

Shu

tter

stoc

k.co

m/ID

/BR


57

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petê

ncia

s

a)

b)

c)

d)

e)

C2.H7

82. (SM) Uma empresa fez um levantamento dos salários de seus funcionários, obtendo a seguinte tabela:

Salário Frequência

R$ 700,00 4

R$ 850,00 8

R$ 1 000,00 5

R$ 1 500,00 2

R$ 3 000,00 1

Sobre os valores de média, moda e mediana desse levanta-mento, podemos concluir que:

a) a média salarial é R$ 1 000,00.

b) a moda e a mediana são iguais.

c) a média e a mediana são iguais.

d) a média e a moda são iguais.

e) os valores da média, moda e mediana são todos diferentes.

C7.H27

83. (Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação men-sal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Cotação Ano

Outubro R$ 83,00 2007

Novembro R$ 73,10 2007

Dezembro R$ 81,60 2007

Janeiro R$ 82,00 2008

Fevereiro R$ 85,30 2008

Março R$ 84,00 2008

Abril R$ 84,60 2008


58

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a:

a) R$ 73,10

b) R$ 81,50

c) R$ 82,00

d) R$ 83,00

e) R$ 85,30

C7.H27

84. (Enem) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi de 2 pontos.

As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, en-tretanto esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E.

Pontuação da gincana

? ?1

2

3

0A B C D E

Mesmo sem aparecerem as notas das equipes D e E, pode -se con-cluir que os valores da moda e da mediana são, respectivamente:

a) 1,5 e 1,0

b) 2,0 e 1,5

c) 2,0 e 2,0

d) 2,0 e 3,0

e) 3,0 e 2,0

C7.H27

85. (Enem) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

Quantidades de gols dos artilheirosdas Copas do Mundo

0

2

4

6

8

10

12

14

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

Ano

Gol

s

Disponível em: <http://www.suapesquisa.com>. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quanti-dades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?

a) 6 gols

b) 6,5 gols

c) 7 gols

d) 7,3 gols

e) 8,5 gols


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C7.H29

86. (Enem) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe es-colheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pon-tuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe:

a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.

b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.

c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.

d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.

e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.

C7.H28

87. (SM) Apesar de hoje as máquinas de escrever, como a da foto abaixo, quase não serem mais usadas, há algumas décadas, havia profissionais especialmente dedicados ao seu uso: os datilógrafos. Apertando suas teclas, eram acionadas hastes com as letras que tocavam na fita de tinta e imediatamente imprimiam o papel. Para que as hastes não encavalassem, as teclas foram distribuídas de modo que as letras mais utili-zadas (no teclado americano) não ficassem muito próximas, dando origem ao teclado que até hoje é utilizado nos com-putadores, chamado QWERTY, pois são as seis primeiras letras que aparecem nele.

Quantas palavras podem ser formadas usando essas seis le-tras, sem repetição?

a) 360

b) 720

c) 4 320

d) 25 920

Mai

sei R

aman

/Shu

tter

stoc

k.co

m/ID

/BR


60

C1.H2

88. (Enem) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clien-tes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 le-tras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado en-tre as letras informa o custo do deslocamento entre as cida-des. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

B

E

D

F

CA6 4

5

9 12

36

2

10

5

8

7

13

68

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Exami-nando a figura, percebe que precisa considerar somente par-te das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min 30 s para examinar uma se-quência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as se-quências possíveis no problema é de:

a) 60 min

b) 90 min

c) 120 min

d) 180 min

e) 360 min

C1.H2

89. (SM) Uma empresa multinacional selecionou 16 jovens para participar de uma dinâmica de grupo para contratar estagiá-rios. Sabendo que neste grupo há 10 homens e 6 mulheres, de quantas maneiras esses jovens podem ser organizados em grupos de 8 pessoas, respeitando a proporção entre os gêneros do grupo inicial?

a) 20

b) 250

c) 272

d) 5 040

e) 3 628 800


61

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C1.H2

90. (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candi-dato um número, colocar a lista de números em ordem nu-mérica crescente e usá -la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é:

a) 24

b) 31

c) 32

d) 88

e) 89

C7.H29

91. (Enem) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

C

D

Figura II

B A

0,7

0,30,8

0,5

0,4

0,6

C

D

Figura I

B A

E2

E4E1

E3

E5

E6

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um traje-to com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é:

a) E1E3

b) E1E4

c) E2E4

d) E2E5

e) E2E6

C7.H29

92. (Enem) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a colora-ção, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).


62

O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada.

Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é:

a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.

b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma es-colhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.

c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma es-colhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.

d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma esco-lhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.

e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.

C7.H28

93. (Enem) Rafael mora no centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: rural, comercial, residencial urbano ou residencial suburba-no. A principal recomendação médica foi com as temperatu-ras das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferio-res a 31 8C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico.

Perfil da ilha de calor urbana

85868788899091

°F

30

31

32

°C

92

ComercialRural Centro Residencialurbano

Residencialsuburbano

33

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:

a) 1 __ 5

b) 1 ___ 4

c) 2 __ 5

d) 3 __ 5

e) 3 ___ 4


63

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C7.H28

94. (Enem)

Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplica-das (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas ro-dovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cer-ca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.

Disponível em: <http://www.ipea.gov.br>. Acesso em: 6 jan. 2009.

De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é:a) 2 ____ 17

b) 5 ____ 17

c) 2 __ 5

d) 3 __ 5

e) 12 ____ 17

C7.H28

95. (Enem) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e hoje é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Tamanho dos calçados

Número de funcionárias

39,0 1

38,0 10

37,0 3

36,0 5

35,0 6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é:

a) 1 __ 3

b) 1 __ 5

c) 2 __ 5

d) 5 __ 7

e) 5 ____ 14


64

C7.H30

96. (Enem)

A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamen-te, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da me-ga-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.

Disponível em: <www.caixa.gov.br>. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela difi-culdade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:

a) 1 1 __ 2 vez menor

b) 2 1 __ 2 vezes menor

c) 4 vezes menor

d) 9 vezes menor

e) 14 vezes menor

C7.H28

97. (Enem) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um apa-relho de determinado modelo apresentar defeito de fabrica-ção é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

a) 2 ? (0,2% ) 4 b) 4 ? (0,2% ) 2 c) 6 ? (0,2%)2 ? (99,8% ) 2

d) 4 ? (0,2%)e) 6 ? (0,2%) ? (99,8%)

C7.H28

98. (Enem) Um grupo de pacientes com hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obti-veram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%.


65

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Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os trata-mentos inovadores proporcionaram cura de:

a) 16% b) 24% c) 32% d) 48% e) 64%

C7.H30

99. (Enem) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exa-tamente 2 filhos homens e decide que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um trata-mento específico para garantir que teria os dois filhos homens.Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é:a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento.c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer

um tratamento.e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fa-

zer um tratamento.

C3.H14

100. (Enem) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma re-gião plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitan-do quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo qua-drante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.A reta de equação y 5 x 1 1 4 representa o planeja-mento do percurso da li-nha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cida-de. No ponto P 5 (25, 5), localiza-se um hospi-tal público. A comunida-de solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto:

a) (25, 0)

b) (23, 1)

c) (22, 1)

d) (0, 4)

e) (2, 6)

y

x

2

22

24

26

28

4

6

8

0222242628 4 6 8


66

Gab

arit

o 1. d

2. d

3. a

4. d

5. e

6. b

7. d

8. b

9. d

10. e

11. b

12. e

13. d

14. b

15. b

16. b

17. e

18. b

19. d

20. e

21. d

22. b

23. e

24. d

25. a

26. e

27. a

28. c

29. c

30. a

31. d

32. e

33. e

34. b

35. b

36. c

37. e

38. c

39. c

40. e

41. a

42. b

43. d

44. d

45. e

46. cw

47. d

48. b

49. d

50. d

51. d

52. b

53. a

54. c

55. d

56. e

57. d

58. d

59. d

60. c

61. b

62. c

63. d

64. e

65. a

66. e

67. b

68. c

69. d

70. c

71. a

72. d

73. c

74. e

75. e

76. b

77. e

78. b

79. d

80. b

81. d

82. b

83. d

84. c

85. b

86. d

87. b

88. b

89. d

90. e

91. d

92. c

93. e

94. e

95. d

96. c

97. c

98. b

99. e

100. b


67


68


69


70


71


72


1 5 2 9 7 0



ENSI

NO M

ÉDIO

REVISÃOCADERNO DE

CADE

RNO

DE REV

ISÃO

REVISÃOCADERNO DE

SP CADERNO REVISAO MAT VU LA E15 CAPA.indd 1 6/20/14 4:10 PM



São Paulo, 1ª- edição 2014

REVISÃOCADERNO DE

SPM_VU_LA_CAD_REVISAO_001A002_INICIAIS.indd 1 6/21/14 9:12 AM

Ser Protagonista Matemática – Caderno de Revisão © Edições SM Ltda. Todos os direitos reservados

Direção editorial Juliane Matsubara Barroso

Gerência editorial Angelo Stefanovits

Gerência de processos editoriais Rosimeire Tada da Cunha

Colaboração Carlos Nely Clementino de Oliveira

Coordenação de edição Ana Paula Landi, Cláudia Carvalho Neves

Assistência de produção editorial Alzira Aparecida Bertholim Meana, Flávia Romancini Rossi Chaluppe, Silvana Siqueira

Preparação e revisão Cláudia Rodrigues do Espírito Santo (Coord.), Izilda de Oliveira Pereira, Rosinei Aparecida Rodrigues Araujo, Valéria Cristina Borsanelli

Coordenação de design Erika Tiemi Yamauchi Asato

Coordenação de arte Ulisses Pires

Edição de arte Melissa Steiner Rocha Antunes, Keila Grandis

Projeto gráfico Erika Tiemi Yamauchi Asato

Capa Alysson Ribeiro, Erika Tiemi Yamauchi Asato, Adilson Casarotti

Iconografia Priscila Ferraz, Tatiana Lubarino Ferreira

Tratamento de imagem Robson Mereu

Editoração eletrônica Equipe SM, Setup Bureau

Fabricação Alexander Maeda

Impressão

Edições SM Ltda.Rua Tenente Lycurgo Lopes da Cruz, 55Água Branca 05036-120 São Paulo SP BrasilTel. 11 [email protected]

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Ser protagonista : matemática : revisão : ensino médio, volume único / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida por Edições SM. — 1. ed. — São Paulo : Edições SM, 2014. — (Coleção ser protagonista)

Bibliografia. ISBN 978-85-418-0384-7 (aluno) ISBN 978-85-418-0385-4 (professor)

1. Matemática (Ensino médio) I. Série.

14-00658 CDD-510.7

Índices para catálogo sistemático:1. Matemática : Ensino médio 510.7 1ª edição, 2014

SPM_VU_LA_CAD_REVISAO_001A002_INICIAIS.indd 2 6/21/14 9:12 AM

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Apresentação

Este livro, complementar à coleção Ser Protagonista, traz o conteúdo

resumido dos principais tópicos que constituem o programa curricular

do Ensino Médio.

Ele foi organizado sob a forma de temas seguidos de atividades, o que

possibilita ao aluno fazer uma revisão criteriosa do que aprendeu e, ao

mesmo tempo, aferir seu domínio dos assuntos por meio da realização

de uma série de exercícios de vestibular selecionada com precisão para

cada tema.

No final do livro, há um gabarito com respostas, para que o aluno

possa conferir e corrigir os exercícios que realizou.

Edições SM

TCM_VU_LA_CADERNO_REVISAO_003A005.indd 3 28/02/14 15:50

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CONHEÇA SEU LIVRO

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A ideia de conjunto é de agrupamento ou cole-ção finita ou infinita de objetos. Cada um dos obje-tos que formam um conjunto é um elemento dele.

Noções fundamentaisConjunto unitário: conjunto que tem apenas

um elemento.Conjunto vazio: conjunto que não tem elementos.Conjunto universo: conjunto formado por

todos os elementos considerados no estudo de determinado problema.

Geralmente indica-se esse conjunto por: UIgualdade de conjuntos: dois conjuntos são

iguais quando têm os mesmos elementos.Assim, dois conjuntos A e B são iguais se todo

elemento de A é também elemento de B e todo ele-mento de B é também elemento de A.

Indica-se: A 5 BSubconjunto: um conjunto A é subconjunto

de um conjunto B se todo elemento de A é tam-bém elemento de B.

Indica-se: A , BConjunto das partes: conjunto formado por

todos os subconjuntos de um conjunto A.Indica-se: P(A)Teorema: se um conjunto A tem n elementos,

então o conjunto das partes de A tem 2n elementos.

Conjuntos

Diagrama de VennUm conjunto pode ser representado por um

diagrama de Venn. Os elementos do conjun-to são simbolizados por pontos interiores a uma linha curva fechada simples.

Operações entre conjuntosDados dois conjuntos A e B, definem-se as

seguintes operações.A união de A e B é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A ou a B.Indica-se: A ø B 5 {x [ U | x [ A ou x [ B} A intersecção de A e B é o conjunto formado

pelos elementos que pertencem a A e a B.Indica-se: A ù B 5 {x [ U | x [ A e x [ B} A diferença entre A e B é o conjunto formado

pelos elementos de A que não pertencem a B.Indica-se: A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}Se B é subconjunto de A, o complementar de B

em relação a A é o conjunto A 2 B.Indica-se: CA

B 5 A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}

Nos diagramas a seguir, o destaque em azul corresponde aos possíveis resultados das opera-ções entre dois conjuntos A e B.

Operação Representação por meio de conjunto Representação pelo diagrama de Venn

União de A e B A ø B 5 {x [ U | x [ A ou x [ B}

Têm-se quatro possíveis situações para essa operação.

A BB

B

A

ABA

Intersecção de A e B A ù B 5 {x [ U | x [ A e x [ B}


A BB

B

A

ABA

7

Rev

isão

Questões

Toda

s as

que

stõe

s fo

ram

repr

oduz

idas

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orig

inai

s de

que

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arte

. Alg

umas

das

imag

ens

estã

o fo

ra d

e es

cala

. 1. (PUC-Campinas-SP)

O mascote dos Jogos Pan-Americanos foi escolhido por uma votação popular pela Internet, por mensagens enviadas de telefones celulares e em urnas instaladas nas principais cidades brasileiras, causando grande mobilização. Foram apresentadas três opções de nomes: Cauê, Kuará e Luca, sendo que o nome Cauê venceu com 37,9% dos votos.

Adaptado: <http://www.rio2007.org.br>. Acesso em: 14 out. 2007.

Se o número de votos para Kuará e Luca totalizaram 761 346 e N é igual ao número de milhares de pessoas que participaram da eleição, então:a) N . 1 200b) 1 100 , N , 1 225c) N , 1 215d) N é divisível por 3.e) N é primo.

2. (Uerj) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarca-ram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120.Determine o valor de n.

3. (UCS-RS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produ-to e o seu preço, quando este for x reais por unidade, é dada pela equação q 5 x2 1 3x 2 70. Já a procura por esse produto (quantidade que os consu-midores estão dispostos a comprar), quando o preço for x reais, é dada pela equação d 5 410 2 x.O equilíbrio no mercado ocorre quando q e d são iguais. Sendo y0 o preço e x0 a quantidade quando ocorre o equilíbrio, o valor de y0 2 x0 é:a) 366 d) 410b) 370 e) 414c) 390

4. (Ufam) Se (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 30, então 2xy é igual a:

a) 0b) 15

c) 6

d) 5 __ 2

e) 5 __ 3

5. (Unisinos-RS) O único produto notável correto para dois números reais quaisquer a e b é:a) (a 1 b)2 5 a2 1 b2

b) (a 2 b)2 5 a2 1 b2

c) (a 2 b)2 5 a2 2 b2

d) (a 2 b) ? (a 1 b) 5 a2 1 b2

e) (a 2 b)(a 1 b) 5 a2 2 b2

6. (Ifal) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo a (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede:

12

6

10 2

11 1

8 4

7 5

9 3

a

a) 908 d) 1208

b) 1128 30' e) 1278 30'c) 828 30'

25

Con

junt

os


Diferença entre A e B A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}


A BB

B

A

ABA

Complementar de B em relação a A, com B , A

CAB 5 A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}

Tem-se apenas uma possível situação para os conjuntos A e B.

BA

Conjuntos numéricosNaturais: N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Inteiros: Z 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Racionais: Q 5 { x | x 5 a __ b , a [ Z, b [ Z, b Þ 0 }

Irracionais: I é o conjunto formado por números que não podem ser ex-pressos na forma a __

b , a [ Z, b [ Z, b Þ 0. Exemplo de número irracional: dXX 5

Reais: R é o conjunto obtido pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Ou seja: R 5 Q ø I

Graficamente, podem-se representar esses conjuntos numéricos como no esquema ao lado.

Intervalos reaisDados dois números reais a e b, com a , b, têm-se os seguintes intervalos reais.

Representação gráfica Notação algébrica Representação por meio de conjunto

a b R [a, b] {x [ R | a < x < b}

a b R [a, b[ {x [ R | a < x , b}

a b R ]a, b] {x [ R | a , x < b}

a b R ]a, b[ {x [ R | a , x , b}

a R [a, 1`[ {x [ R | x > a}

a R ]a, 1`[ {x [ R | x . a}

a R ]2`, a] {x [ R | x < a}

a R ]2`, a[ {x [ R | x , a}

a R ]2`, a[ ø ]a, 1`[ {x [ R | x Þ a}

RQ

Z

N

Cada tema apresenta uma síntese dos

principais conteúdos e conceitos estudados, proporcionando uma

revisão do que foi estudado durante os três

anos do Ensino Médio.

Relacionadas ao tema, questões de vestibulares de universidades de todo o Brasil contribuem para a compreensão e fixação dos conteúdos revisados.

Este espaço é destinado a resoluções de exercícios e anotações.

O Ser Protagonista Revisão retoma os conteúdos da disciplina e propõe a resolução de questões dos principais vestibulares do país.


SUMÁRIO

5

Revisão 6

Conjuntos 24

Introdução às funções 30

Função afim 35

Função quadrática 40

Função modular 44

Função exponencial e função logarítmica 46

Noções de estatística e Matemática financeira 54

Progressões 64

Trigonometria no triângulo retângulo 70

Circunferência trigonométrica 74

Funções trigonométricas 80

Relações e transformações trigonométricas 84

Matriz 88

Determinante 92

Sistema linear 94

Áreas de figuras planas 100

Geometria espacial de posição 104

Sólidos 110

Medidas de posição e de dispersão 124

Análise combinatória 128

Probabilidade 132

Geometria analítica 136

Circunferência 142

Cônicas 148

Números complexos 154

Polinômios e equações polinomiais 158

Introdução ao cálculo 166

Gabarito 171


6

Revisão

Números e operações

RazãoA razão entre dois números a e b, com b di-

ferente de zero, é a comparação desses números pelo quociente de a por b.

A razão entre dois números a e b é indicada por:

a __ b ou a:b (lê-se: razão de a para b)

ProporçãoProporção é a igualdade entre duas razões.

Se duas razões a __ b e c __

d são iguais, então elas for-

mam uma proporção:

a __ b 5 c __

d

Duas grandezas são diretamente proporcio-nais quando, ao multiplicar uma delas por um nú-mero, a outra fica multiplicada por esse número.

Duas grandezas são inversamente proporcio-nais quando, ao multiplicar uma delas por um número, a outra fica dividida por esse número.

Regra de trêsSendo desconhecido apenas um termo de uma

proporção, a regra de três pode ser utilizada para determiná-lo.

� Simples:

12 ___ 72

5 25 ___ x ä 12x 5 72 ? 25 5 1 800 ä

ä x 5 1 800 _____ 12

5 150

� Composta:

4 __ x 5 20 ___ 48

? 16 ___ 10

ä 4 __ x 5 2 __ 3

ä 2x 5 12 ä

ä x 5 6

PotenciaçãoSe a é um número real e n é um número natu-

ral, então a potência an é:a1 5 aa0 5 1, com a Þ 0an 5 a ? a ? a ? ... ? a , n . 1

a2n 5 1 __ an , a Þ 0

n fatores

Álgebra

Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2

Quadrado da diferença de dois termos

(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2

Produto da soma pela diferença de dois termos

(a 1 b) ? (a 2 b) 5 a2 2 b2

Cubo da soma de dois termos

(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

Cubo da diferença de dois termos

(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3

Soma de cubos a3 1 b3 5 (a 1 b) ? (a2 2 ab 1 b2)

Diferença de cubos

a3 2 b3 5 (a 2 b) ? (a2 1 ab 1 b2)

EquaçõesUma equação é do 1o grau com uma incógnita

quando pode ser escrita na forma ax 1 b 5 0, em que x é a incógnita real e a e b são números reais (os coeficientes), com a diferente de 0.

Uma equação do 1o grau com uma incógnita ax 1 b 5 0 admite uma única solução real da seguinte forma:

x 5 2 b __ a

Uma equação é do 2o grau com uma incógnita quando pode ser escrita na forma ax2 1 bx 1 c 5 0, em que x é a incógnita real e a, b e c são números reais (os coeficientes), com a diferente de 0.

Uma equação do 2o grau com uma incógni-ta ax2 1 bx 1 c 5 0 admite até duas soluções reais da seguinte forma:

x 5 2b ± dXXXXXXXX b2 2 4ac _____________ 2a


7

Rev

isão

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

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ais

de q

ue fa

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te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (PUC-Campinas-SP)

O mascote dos Jogos Pan-Americanos foi escolhido por uma votação popular pela Internet, por mensagens enviadas de telefones celulares e em urnas instaladas nas principais cidades brasileiras, causando grande mobilização. Foram apresentadas três opções de nomes: Cauê, Kuará e Luca, sendo que o nome Cauê venceu com 37,9% dos votos.

Adaptado: <http://www.rio2007.org.br>. Acesso em: 14 out. 2007.

Se o número de votos para Kuará e Luca totalizaram 761 346 e N é igual ao número de milhares de pessoas que participaram da eleição, então:a) N . 1 200b) 1 100 , N , 1 225c) N , 1 215d) N é divisível por 3.e) N é primo.

2. (Uerj) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarca-ram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120.Determine o valor de n.

3. (UCS-RS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produ-to e o seu preço, quando este for x reais por unidade, é dada pela equação q 5 x2 1 3x 2 70. Já a procura por esse produto (quantidade que os consu-midores estão dispostos a comprar), quando o preço for x reais, é dada pela equação d 5 410 2 x.O equilíbrio no mercado ocorre quando q e d são iguais. Sendo y0 o preço e x0 a quantidade quando ocorre o equilíbrio, o valor de y0 2 x0 é:a) 366 d) 410b) 370 e) 414c) 390

4. (Ufam) Se (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 30, então 2xy é igual a:

a) 0b) 15

c) 6

d) 5 __ 2

e) 5 __ 3

5. (Unisinos-RS) O único produto notável correto para dois números reais quaisquer a e b é:a) (a 1 b)2 5 a2 1 b2

b) (a 2 b)2 5 a2 1 b2

c) (a 2 b)2 5 a2 2 b2

d) (a 2 b) ? (a 1 b) 5 a2 1 b2

e) (a 2 b)(a 1 b) 5 a2 2 b2

6. (Ifal) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo a (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede:

12

6

10 2

11 1

8 4

7 5

9 3

a

a) 908 d) 1208

b) 1128 30' e) 1278 30'c) 828 30'


8

7. (Ufam) Uma empresa distribuirá cestas básicas para seus funcionários. Se cada funcionário receber 10 cestas, sobrarão 36 delas; se cada um receber 12 cestas faltarão 10. A quantidade de funcionários desta empresa é:a) 22b) 23c) 120d) 260e) 266

8. (Uern) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro possui 12 cm de largura e 3 cm de espessura, então o total de livros recebidos é:a) 540b) 450c) 810d) 720

9. (Ifal) O valor da expressão

Q 5 1 ______ 100 3 (0,001)2 3 0,0001 3 1 000

________________________________________________ 100 3 0,00001 é igual a:

a) Q 5 1027

b) Q 5 106

c) Q 5 107

d) Q 5 1028

e) Q 5 1026

10. (Obmep) André partiu de Pirajuba, foi até Quixajuba e voltou sem parar, com velocidade constante. Simultaneamente, e pela mesma estrada, Júlio partiu de Quixajuba, foi até Pirajuba e voltou, também sem parar e com velocidade constante. Eles se encontraram pela primeira vez a 70 km de Quixajuba e uma segunda vez a 40 km de Pirajuba, quando ambos voltavam para sua cidade de origem. Quantos quilômetros tem a estrada de Quixajuba a Pirajuba?a) 120b) 145c) 150d) 170e) 180

11. (Obmep) João vai de bicicleta ao encontro de sua namorada Maria. Para che-gar na hora marcada, ele deve sair às 8 horas e pedalar a 10 km/h ou sair às 9 horas e pedalar a 15 km/h.A que horas é o encontro dos namorados?a) 10 hb) 10 h 30 minc) 11 hd) 11 h 30 mine) 12 h

12. (PUC-GO)

A nossa pequena e faminta heroína [...], ao repousar, tem um ma-ravilhoso sonho em que passeia por um grande e rico pomar, repleto de árvores frutíferas. Então ela encontra 27 montes idênticos (mesma quantidade) de mangas. Após devorar 7 mangas, o restante foi dividido igualmente entre ela e seus 10 primos.


9

Rev

isão

Assinale a alternativa que indica corretamente qual a quantidade de mangas que cada pessoa recebeu nessa partilha, se considerarmos uma quantidade mínima de frutas nos montes.a) 46 mangasb) 19 mangasc) 73 mangasd) 30 mangas

13. (Urca-CE) Um operário levou 15 dias de 8 horas para fazer 2 000 peças de roupa. Quantos dias de 6 horas levará para fazer 1 500 peças de uma outra roupa que apresenta uma dificuldade igual ao dobro da primeira?a) 20 diasb) 30 diasc) 18 diasd) 25 diase) 15 dias

14. (Unisinos-RS) Num determinado processo seletivo, em que as questões são de múltipla escolha, cada acerto vale 3 pontos, e, a cada erro, o candidato perde 1 ponto. Supondo que essa prova tenha 40 questões e que determinado candidato fez 72 pontos, quantas questões ele acertou?a) 24b) 26

c) 28d) 30

e) 32

15. (PUC-Campinas-SP) Em certo município, uma cooperativa dedica-se à fabri-cação da rapadura. Cada barra desse doce pesa 250 g e é vendida ao preço unitário de R$ 1,95. As barras são acondicionadas em caixas, cada qual com 40 unidades, e transportadas em um veículo que leva 200 caixas por viagem. Nessas condições, é verdade que:a) o peso de cada caixa é 12 kg.b) cada caixa é vendida por R$ 85,00.c) o preço de 1 tonelada desse doce é R$ 7 600,00.d) em duas viagens são transportadas 4 toneladas de doces.e) o total arrecadado com a venda de todos os doces transportados em três

viagens é R$ 54 800,00.

16. (Urca-CE) As ações de uma determinada empresa têm valores iguais e estão divididas da seguinte forma: 2 __ 3 pertencem ao sócio A, 1 ___ 6 , ao sócio B, e o restan-te, no valor de R$ 1 400 000,00, pertence aos demais sócios. Qual o valor de todas as ações juntas desta empresa?a) R$ 1 680 000,00b) R$ 1 166 666,67c) R$ 8 400 000,00d) R$ 2 100 000,00e) R$ 7 000 000,00

17. (FGV-SP) Acredita-se que na Copa do Mundo de Futebol em 2014, no Brasil, a proporção média de pagantes, nos jogos do Brasil, entre brasileiros e estran-geiros, será de 6 para 4, respectivamente. Nos jogos da Copa em que o Brasil não irá jogar, a proporção média entre brasileiros e estrangeiros esperada é de 7 para 5, respectivamente. Admita que o público médio nos jogos do Brasil seja de 60 mil pagantes, e nos demais jogos, de 48 mil. Se, ao final da Copa, o Brasil tiver participado de 7 jogos, de um total de 64 jogos do torneio, a proporção média de pagantes brasileiros em relação aos estrangeiros no total de jogos da Copa será, respectivamente, de 154 para:a) 126b) 121c) 118

d) 112e) 109


10

18. (EPCAr-MG) Um aluno da EPCAr possui um relógio que adianta 2 __ 3 do minuto a

cada 12 horas. Às 11 horas e 58 minutos (horário de Brasília) do dia 10/03/07, verifica-se que ele está adiantado 8 minutos. Considerando que não há dife-rença de fuso horário entre o relógio do aluno e o horário de Brasília, marque a alternativa correta.a) Às 23 horas e 58 minutos (horário de Brasília), do dia 05/03/2007, o reló-

gio do aluno marcava 23 horas, 58 minutos e 40 segundos.b) Para um compromisso às 12 horas (horário de Brasília), do dia 06/03/2007,

sem se atrasar nem adiantar, o aluno deveria descontar 1 minuto e 40 se-gundos da hora marcada em seu relógio.

c) No dia 07/03/2007, às 12 horas (horário de Brasília), o relógio do aluno marcava 12 horas e 2 minutos.

d) A última vez em que o aluno acertou o relógio foi às 11 horas e 58 minutos do dia 04/03/2007.

19. (FGV-SP) As duas raízes da equação x2 2 63x 1 k 5 0 na incógnita x são números inteiros e primos. O total de valores distintos que k pode assumir é:a) 4 d) 1b) 3 e) 0c) 2

20. (EPCAr-MG) Um eletricista é contratado para fazer um serviço por R$ 4 200,00. Ele gastou no serviço 6 dias a mais do que supôs e verificou ter ganhado por dia R$ 80,00 a menos do que planejou inicialmente. Com base nisso, é correto afirmar que o eletricista:a) concluiu o serviço em mais de 25 dias.b) ganhou por dia menos de R$ 200,00.c) teria ganho mais de R$ 200,00 por dia se não tivesse gasto mais 6 dias

para concluir o trabalho.d) teria concluído o serviço em menos de 15 dias se não tivesse gasto mais de

6 dias de trabalho.

21. (Unimontes-MG) Numa fazenda, um grupo de 15 trabalhadores colheu 360 sacas de café em 6 horas. No dia seguinte, mais 6 trabalhadores juntaram-se ao grupo e terminaram a colheita, totalizando 420 sacas no dia. Quanto tempo a menos eles trabalharam em relação ao dia anterior?a) 1 h 20 min b) 5 h c) 2 h d) 1 h

22. (UFSCar-SP) No dia do aniversário dos seus dois filhos gêmeos, Jairo e Lúcia foram almoçar em um restaurante com as crianças e o terceiro filho caçula do casal, nascido há mais de 12 meses.O restaurante cobrou R$ 49,50 pelo casal e R$ 4,55 por cada ano completo de idade das três crianças. Se o total da conta foi de R$ 95,00, a idade do filho caçula do casal, em anos, é igual a:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

23. (Unimep-SP) Se ao triplo de um número não nulo adicionarmos o quadrado desse mesmo número, obteremos o mesmo número. Esse número é:a) 5 b) 24 c) 3 d) 22 e) 1

24. (PUC-SP) Felício e Jandira pretendem viajar e foram a uma casa de câmbio, onde receberam as seguintes informações: com os 3 060 reais de que dispu-nha, Felício poderia comprar 1 500 dólares e, com os 3 250 reais de Jandira, seria possível comprar 1 250 euros. Com base nessas informações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do euro em relação ao dólar era de:a) 1,2745 b) 1,2736 c) 1,2625 d) 1,1274 e) 1,1235


11

Rev

isão

25. (FGV-SP) Sejam dois números reais positivos tais que a diferença, a soma e o produto deles são proporcionais, respectivamente, a 1, 7 e 24. O produto desses números é:a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 e) 96

26. (UEM-PR) Uma pequena empresa possui em sua linha de produção 4 funcio-nários que, em conjunto, produzem 800 peças a cada 5 dias (uma semana útil). Sabendo que quaisquer dois funcionários produzem, todos os dias, o mesmo número de peças, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. A produção semanal de cada funcionário é de 200 peças.02. Para conseguir atender a uma encomenda de 1 600 peças, em um prazo

de 2 dias, será necessário contratar mais 12 funcionários.04. Em 4 semanas de trabalho, 2 funcionários produzem 2 000 peças.08. Se cada funcionário ganha um bônus salarial de 10 centavos de real por

peça produzida, em um mês em que trabalhou 22 dias, o bônus é de 88 reais.

16. Se a jornada de trabalho é de 8 horas, é necessário que cada um tra-balhe mais 90 minutos por dia, a fim de produzir 1 000 peças em uma semana útil.

27. (PUC-SP) Uma máquina demora 27 segundos para produzir uma peça. O tem-po necessário para produzir 150 peças é:a) 1 hora, 7 minutos e 3 segundos.b) 1 hora, 7 minutos e 30 segundos.c) 1 hora, 57 minutos e 30 segundos.d) 1 hora, 30 minutos e 7 segundos.e) 1 hora, 34 minutos e 3 segundos.

28. (UEFS-BA)

A água faz parte do patrimônio do planeta. Cada continente, cada povo, cada nação, cada religião, cada cidade, cada cidadão é plenamen-te responsável aos olhos de todos.

De acordo com a Organização das Nações Unidas, cada pessoa ne-cessita de 3,3 m3 de água por mês para atender às necessidades de con-sumo e higiene. Gastar mais do que isso por dia é jogar dinheiro fora e desperdiçar nossos recursos naturais. No entanto, no Brasil, o consumo por pessoa chega a mais de 200 litros/dia.

(CARTILHA..., 2010).

De acordo com o texto, para se adequar ao que a ONU recomenda, cada brasi-leiro, em média, deve economizar, por mês, um volume de água, em m3, pelo menos, igual a:a) 2,4 b) 2,5 c) 2,6 d) 2,7 e) 2,8

Mau

rício

de

Sou

sa P

rodu

ções

Ltd

a.


12

Geometria – grandezas e medidas

Ângulos

Classificação

Ângulo nulo Ângulo raso Ângulo reto

Ângulo cujos lados são semirretas coincidentes.

O D C

O ângulo nulo mede 0o.

Ângulo cujos lados são semirretas opostas.

R D S

O ângulo raso mede 180°.

Ângulo que corresponde à metade de um ângulo raso.

O

T

G

O ângulo reto mede 90°.

Ângulo agudo Ângulo obtuso

Ângulo menor do que o ângulo reto e maior do que o ângulo nulo.

O

L

A

A medida de um ângulo agudo é maior do que 0° e menor do que 90°.

Ângulo menor do que o ângulo raso e maior do que o ângulo reto.

O

V

T

A medida de um ângulo obtuso é maior do que 90° e menor do que 180°.

Ângulos adjacentesDois ângulos são adjacentes quando têm um lado comum, e as regiões convexas determina-

das por esses ângulos não têm outros pontos comuns além dos pertencentes a esse lado.

Ângulos congruentesDois ângulos são congruentes quando têm medidas iguais.

BissetrizA bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice do ângulo, que forma com os

lados desse ângulo dois ângulos adjacentes congruentes.

A bissetriz de um ângulo o divide em dois ângulos adjacentes congruentes.

Ângulos complementares e ângulos suplementaresDois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 908.Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 1808.

Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversalÂngulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma transversal são congruentes.

Sendo r e s duas retas paralelas e t uma reta transversal a essas retas, os ângulos correspondentes formados por essas retas são congruentes.

PolígonosPolígono é a figura plana formada por uma linha poligonal fechada e simples.

Quantidade de diagonaisConsiderando um polígono de n lados, a quantidade d de diagonais é dada por:

d 5 n ? (n 2 3) _________ 2

a

b

b

b

b

a

a

a

t

r

s

r // s


13

Rev

isão

TriângulosTriângulo é um polígono de três lados.

Classificação quanto aos lados

Equilátero Isósceles Escaleno

Um triângulo equilátero tem os três lados com medidas iguais e os três ângulos internos congruentes.

Um triângulo isósceles tem dois lados com medidas iguais e os dois ângulos internos formados entre cada um desses lados e a base são congruentes.

Um triângulo escaleno tem os três lados com medidas diferentes e os três ângulos internos com medidas diferentes.

Classificação quanto aos ângulos

Acutângulo Retângulo Obtusângulo

Um triângulo acutângulo tem os três ângulos internos agudos (suas medidas são menores do que 90°).

Um triângulo retângulo tem um ângulo interno reto (sua medida é 90°).

Um triângulo obtusângulo tem um ângulo interno obtuso (sua medida é maior do que 90°).

Condição de existênciaEm todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor do que a soma das medidas dos

outros dois lados.

Soma das medidas dos ângulos internosA soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 1808.

Relações entre as medidas dos ângulos internos e externosA medida de cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ân-

gulos internos não adjacentes a ele.

Elementos

Mediana Bissetriz interna Altura

A mediana de um triângulo é o segmento cujas extremidades são um de seus vértices e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.

A bissetriz interna de um triângulo é o segmento cujas extremidades são um de seus vértices e um ponto do lado oposto a esse vértice, de modo que esse segmento seja bissetriz do ângulo interno desse vértice.

A altura de um triângulo é o segmento cujas extremidades são um de seus vértices e um ponto na reta que contém o lado oposto a esse vértice, de modo que esse segmento forma um ângulo reto com essa reta.

a

cbB C

A

a 1 b 1 c 5 1808

aa

b ccb

B C

A a 5 c 1 b

b 5 c 1 a

c 5 a 1 b

M


14

Quadriláteros

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Paralelogramo

O paralelogramo é um quadrilátero que tem ambos os pares de lados opostos contidos em retas paralelas.

A B

D C

PropriedadesOs ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.Os ângulos não opostos de um paralelogramo são suplementares.Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.As diagonais de um paralelogramo intersectam-se em seus pontos médios.

Retângulo

O retângulo é um paralelogramo cujos quatro ângulos internos são retos.

A B

D C

PropriedadeAs diagonais de um retângulo são congruentes.

Losango

O losango é um paralelogramo cujos quatro lados são congruentes.

A

D

BC

PropriedadeAs diagonais de um losango são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado

O quadrado é um paralelogramo cujos quatro ângulos internos são retos e os quatro lados são congruentes.

A B

D C

PropriedadeAs diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si e coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos.

Soma das medidas dos ângulos internos A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 3608.

Polígonos regularesUm polígono é denominado regular se todos os seus lados são congruentes e todos os seus

ângulos também são congruentes.

A B

E D

CO

F


15

Rev

isão

Soma dos ângulos internos de um polígonoConsiderando um polígono de n lados, a soma Si das medidas dos ângulos internos é dada por:

Si 5 (n 2 2) ? 1808

Ângulo interno de um polígono regularA medida ai do ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada por:

ai 5 (n 2 2) ? 180° ____________ n

Soma dos ângulos externos de um polígonoConsiderando um polígono de n lados, a soma Se das medidas dos ângulos externos é dada por:

Se 5 360°

Ângulo externo de um polígono regularA medida ae do ângulo externo de um polígono regular de n lados é dada por:

ae 5 360° ____ n

CircunferênciaUma circunferência de centro O e raio r é a figura formada por todos os pontos do plano que

distam r do ponto O.

Comprimento Dada uma circunferência de raio r, seu comprimento C é dado por: C 5 2pr

Relações métricas

Relação entre cordas Relação entre secantes Relação entre secante e tangente

As cordas AB e CD se intersectam no ponto P.

C

PB

A

D

PA ? PB 5 PC ? PD

Os segmentos PA e PC são secantes à circunferência.

C

PB

AD

PA ? PB 5 PC ? PD

O segmento PC é secante à circunferência e o segmento PA é tangente à circunferência

no ponto A.

P

C

B

A

(PA)2 5 PB ? PC

Ângulo centralÂngulo central de uma circunferência é qualquer ângulo cujo vértice é o centro dessa

circunferência e cujos lados contêm raios dela.

Ângulo inscritoÂngulo inscrito em uma circunferência é qualquer ângulo cujo vértice pertence à circunfe-

rência e cujos lados são secantes a ela.

Relação entre ângulo central e ângulo inscritoUm ângulo central de uma circunferência mede o dobro do ângulo inscrito associado ao

mesmo arco.


16

Polígonos inscritos em uma circunferência

Hexágono regularSeja l a medida do lado de um hexágono regular, r o raio da circunferência circunscrita a ele

e a a apótema do hexágono.

A B

E D

CO

F

lr30º30ºa

M

l 5 r a 5 r dXX 3 ____ 2

QuadradoSeja l a medida do lado de um quadrado, r o raio da circunferência circunscrita a ele e a a

apótema do quadrado.

A B

D

O

C

r

l

a45º45º

M

l 5 r dXX 2 a 5 r dXX 2 ____ 2

Triângulo equiláteroSeja l a medida do lado de um triângulo equilátero, r o raio da circunferência circunscrita a

ele e a a apótema do triângulo.

A

BC

l

ra

60º 60º

O

M

l 5 r dXX 3 a 5 r __ 2


17

Rev

isão

Polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes se os ângulos internos de vértices correspondentes são

congruentes e se as medidas dos lados correspondentes são proporcionais. � Lados correspondentes de polígonos semelhantes também são chamados de lados homólogos. � A razão entre as medidas de dois lados correspondentes de polígonos semelhantes é a razão de semelhança e é comumente indicada pela letra k.

Semelhança de triângulosPara identificar se dois triângulos são semelhantes, não é necessário verificar se todos seus

ângulos internos correspondentes são congruentes e se as medidas de todos seus lados corres-pondentes são proporcionais. Para dois triângulos, têm-se os seguintes casos de semelhança.

A.A. Se dois ângulos internos de um triângulo são congruentes a dois ângulos internos correspon-

dentes de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes.

L.L.L.Se as medidas dos lados de um triângulo são proporcionais às medidas dos lados correspon-

dentes de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes.

L.A.L.Se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo e os ângu-

los internos formados por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

Relações métricas no triângulo retânguloSeja ABC um triângulo retângulo em A e sejam a, b e c as medidas da hipotenusa BC e dos

catetos AC e AB, como mostra a figura a seguir.

A

bc

BC a

Traçando a altura relativa à hipotenusa, identificam-se dois outros triângulos retângulos e algumas medidas:

A

bc

BCa

m n

h

h: medida da altura relativa à hipotenusam: medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusan: medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusaPodem-se escrever algumas relações entre essas medidas.

� b2 5 m ? ac2 5 n ? a � h2 5 m ? n � b ? c 5 a ? h � a2 5 b2 1 c2


18

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 29. (Urca-CE) Sejam r e s retas paralelas. A medida do ângulo d é 308 e a medida

do ângulo c é 458. r

s

ab

c

d

A medida de b 2 a é:a) 308 b) 458 c) 608 d) 258 e) 158

30. (Unifor-CE) Ao se colocar V para indicar verdadeiro e F para indicar falso para as afirmações: I. Um quadrilátero que tem as diagonais com comprimentos iguais é um re-

tângulo.II. Todo losango tem as diagonais com comprimentos iguais.

III. As diagonais de um paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V – V – Vb) V – F – V

c) F – V – Vd) F – F – V

e) F – F – F

31. (Unimontes-MG) Os lados de um triângulo obtusângulo medem 3, 4 e x. Po-demos afirmar que:a) 5 , x , 7 c) 1 , x , 7 ou 5 , x , 7b) 1 , x , 7 d) x 5 5 ou x 57

32. (Ifal) Analise cada afirmação a seguir. I. Um triângulo isósceles pode ser um triângulo retângulo. II. Um triângulo escaleno é sempre um triângulo obtusângulo. III. Um triângulo isósceles é sempre acutângulo.Está correto que:a) as afirmações I e II são falsas.b) as afirmações I e III são falsas.c) as afirmações II e III são falsas.d) todas as afirmações são falsas.e) todas as afirmações são verdadeiras.

33. (Ifal) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são indicadas por:x 1 158, 3x, 2x 1 358 e x 1 108

O ângulo que tem medida igual ao valor de x é classificado como um ângulo:a) raso. d) agudo.b) reto. e) meia-volta.c) obtuso.

34. (Ifal) Num polígono regular convexo, a diferença entre cada ângulo interno e o externo adjacente é de 1688; então o polígono tem:a) 12 lados. d) 18 lados.b) 15 lados. e) 24 lados.c) 60 lados.

35. (Unimontes-MG) Na figura abaixo, temos uma circunferência inscrita no triângulo ABC, retângulo em A.

B

A C

T

Se BT 5 9 cm e CT 5 12 cm, a área do triângulo ABC é:a) 162 cm2 b) 108 cm2 c) 216 cm2 d) 135 cm2


19

Rev

isão

36. (Obmep) Duas folhas de papel, uma retangular e outra quadrada, foram cor-tadas em quadradinhos de 1 cm de lado. Nos dois casos obteve-se o mesmo número de quadradinhos. O lado da folha quadrada media 5 cm a menos que um dos lados da folha retangular. Qual era o perímetro da folha retangular?a) 48 cm b) 68 cmc) 72 cmd) 82 cme) 100 cm

37. (Obmep) A figura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os pontos médios dos lados em destaque.

Qual é a área, em cm2, da região cinza?a) 8 d) 14b) 10 e) 16c) 12

38. (Ifal) A planta abaixo mostra as medidas, em metros (m), do telhado de um restaurante.

y

x 9 m

6 m

Sabendo-se que as laterais do telhado são paralelas e que x 1 y 5 20, os va-lores de x e y são, respectivamente,a) 11 m e 9 mb) 13 m e 7 mc) 7 m e 13 md) 12 m e 8 me) 8 m e 12 m

39. (Obmep) Na figura, AEFD é um retângulo, ABCD é um quadrado cujo lado mede 1 cm e os segmentos BF e DE são perpendiculares.

D C F

EA B

Qual é a medida, em centímetros, do segmento AE?a) dXX 2

b) dXX 3 ____ 2

c) 2

d) 8 ___ 5

e) 1 1 dXX 5 __________ 2


20

40. (UFMG) Uma folha de papel quadrada ABCD, que mede 12 cm de lado, é dobrada na reta r, como mostrado nesta figura.Feita essa dobra, o ponto D so-brepõe-se ao ponto N, e o ponto A, ao ponto médio M, do lado BC.É correto afirmar que, nessas condições, o segmento CE mede:a) 7,2 cmb) 7,5 cmc) 8,0 cmd) 9,0 cm

41. (Unimontes-MG) Na figura abaixo, o lado do quadrado ABCD mede x.

A

D

B

C

O

O raio do círculo de centro O, que contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD, mede:

a) 5x ____ 4 c) 5x ____ 8

b) 8x ____ 5 d) 3x ____ 4

42. (UFG-GO) Pretende-se decorar uma parede retangular com quadrados pretos e brancos, formando um padrão quadriculado semelhante ao de um tabuleiro de xadrez e preenchendo toda a parede de maneira exata (sem sobrar espa-ços ou cortar quadrados). A figura a seguir ilustra uma parte desse padrão quadriculado.

Considerando-se que a parede mede 8,80 m por 5,50 m, o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede é:a) 40b) 55

c) 70d) 95

e) 110

43. (Obmep) Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um dos lados de uma fo-lha de papel medindo 30 cm por 40 cm. O pedaço de papel que sobrou tem 68% da área da folha original. Qual é a largura das tiras?

a) 1 cm d) 4 cmb) 2 cm e) 5 cmc) 3 cm

A D

B M

r

E

N

C


21

Rev

isão

44. (UFMT) A figura abaixo representa, esquematicamente, a raia mais interna (número 1) de uma pista de atletismo composta de 7 raias. Os segmentos de reta AB e CD são paralelos e de mesma medida e os arcos AC e BD são semicircunferências.

A B

C D

Admita que as raias, todas com a mesma forma geométrica, são numeradas de 1 a 7, da mais interna para a mais externa, possuindo cada uma 1 m de largura; que a raia 1 tem 400 m de comprimento. Nessas condições, o comprimento da raia 7 excede o da raia 1 em:Considere p 5 3,14.a) 37,68 mb) 43,96 m

c) 31,40 md) 25,12 m

e) 28,26 m

45. (FGV-SP) Uma bobina cilíndrica de papel possui raio interno igual a 4 cm e raio externo igual a 8 cm. A espessura do papel é 0,2 mm.

4 cm

Papel

4 cm

Adotando nos cálculos p 5 3, o papel da bobina, quando completamente de-senrolado, corresponde a um retângulo cuja maior dimensão, em metros, é aproximadamente igual a:a) 20 b) 30 c) 50 d) 70 e) 90

46. (Ifal) O nABC tem perímetro 120 m e é semelhante ao nMNO, de modo que o lado XXXX MN 5 6 m, o lado XXX NO 5 8 m e o lado XXXX OM 5 10 m.As medidas dos lados do nABC são:a) 50 m, 40 m e 30 m d) 70 m, 30 m e 20 mb) 60 m, 40 m e 20 m e) 55 m, 40 m e 25 mc) 55 m, 35 m e 30 m

47. (UFRN) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de:a) 18 m b) 8 m c) 36 m d) 9 m

48. (Unicamp-SP) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm 3 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a seguir.

12 cm 16 cm

6 cma a

a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.


22

49. (Fuvest-SP) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir.

0,80 m

x

1,20 m

0,90 m

0,40 m

Q R

P S

V

B

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na fi-gura e atinja a bola vermelha.Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?

50. (Unesp) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm.Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra?

51. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC 5 3 e AB 5 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto XXX AB , o ponto E pertence ao cateto XXX BC e o ponto F pertence à hipotenusa XXX AC , de tal for-ma que DECF seja um paralelogramo. Se DE 5 3 __ 2 , então a área do paralelogramo DECF vale:

a) 63 ____ 25 c) 58 ____ 25 e) 11 ____ 5

b) 12 ____ 5 d) 56 ____ 25

52. (Unesp) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto sepa-rado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm.

fora de escala15 mm

0,005 mm1 mm

x

Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele pos-sa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, calcule a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados.

A

B

D F

CE


23

Rev

isão

53. (UFSCar-SP) O triângulo ABE e o quadra-do ABCD estão em planos perpendicula-res, conforme indica a figura.

Se EA 5 3 e AB 5 5, então ED é igual a:

a) dXXX 24 d) 4 dXX 2

b) 5 e) dXXX 34

c) 3 dXX 3

54. (Unioeste-PR) Um tubo é fixado verticalmente em uma superfície plana e, para sustentá-lo, alguns fios são presos a ele e esticados até o chão. Dois des-tes fios estão em lados opostos, conforme ilustra a figura a seguir. Um deles está fixado ao tubo no ponto B e o outro está fixado no ponto C.

C

B

A Da

b

O fio CD mede 5 metros, está fixado no chão a 4 metros do tubo (ponto D) e o ângulo que faz com o tubo tem medida a. O fio AB está fixado no chão a 7 metros do tubo (ponto A) e faz com o chão um ângulo de medida b. Saben-do-se que a 5 b, pode-se concluir que o fio AB mede:

a) 35 ____ 4 m

b) 35 ____ 3 m

c) 28 ____ 3 m

d) 28 ____ 5 m

e) 9 m

55. (UCB-DF) Na figura, veem-se representados dois postes: um com 30 m de altura e outro cuja altura é 40 m. Os centros das bases dos postes estão afas-tados um do outro em, exatamente, 50 m.

30 m 4

0 m

50 m

Os dois postes foram colocados em uma posição perfeitamente perpendicular ao solo, suposto plano. Para que eles se mantivessem nessa posição, foram usados dois cabos de comprimentos iguais. Uma extremidade de cada um dos cabos foi atada ao ponto mais alto de cada um dos postes, e a outra extremi-dade deles foi fixada em um ponto que pertence à reta que contém os centros das bases dos postes. Os dois cabos foram, portanto, fixados em um mesmo ponto no solo.Com base nessas informações, calcule, em metros, a distância desse ponto até o centro da base do poste menor [...], desprezando, se houver, a parte de-cimal do resultado final.

C

B A

E

D


24

A ideia de conjunto é de agrupamento ou cole-ção finita ou infinita de objetos. Cada um dos obje-tos que formam um conjunto é um elemento dele.

Noções fundamentaisConjunto unitário: conjunto que tem apenas

um elemento.Conjunto vazio: conjunto que não tem elementos.Conjunto universo: conjunto formado por

todos os elementos considerados no estudo de determinado problema.

Geralmente indica-se esse conjunto por: UIgualdade de conjuntos: dois conjuntos são

iguais quando têm os mesmos elementos.Assim, dois conjuntos A e B são iguais se todo

elemento de A é também elemento de B e todo ele-mento de B é também elemento de A.

Indica-se: A 5 BSubconjunto: um conjunto A é subconjunto

de um conjunto B se todo elemento de A é tam-bém elemento de B.

Indica-se: A , BConjunto das partes: conjunto formado por

todos os subconjuntos de um conjunto A.Indica-se: P(A)Teorema: se um conjunto A tem n elementos,

então o conjunto das partes de A tem 2n elementos.

Conjuntos

Diagrama de VennUm conjunto pode ser representado por um

diagrama de Venn. Os elementos do conjun-to são simbolizados por pontos interiores a uma linha curva fechada simples.

Operações entre conjuntosDados dois conjuntos A e B, definem-se as

seguintes operações.A união de A e B é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a A ou a B.Indica-se: A ø B 5 {x [ U | x [ A ou x [ B} A intersecção de A e B é o conjunto formado

pelos elementos que pertencem a A e a B.Indica-se: A ù B 5 {x [ U | x [ A e x [ B} A diferença entre A e B é o conjunto formado

pelos elementos de A que não pertencem a B.Indica-se: A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}Se B é subconjunto de A, o complementar de B

em relação a A é o conjunto A 2 B.Indica-se: CA

B 5 A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}

Nos diagramas a seguir, o destaque em azul corresponde aos possíveis resultados das opera-ções entre dois conjuntos A e B.


União de A e B A ø B 5 {x [ U | x [ A ou x [ B}


A BB

B

A

ABA

Intersecção de A e B A ù B 5 {x [ U | x [ A e x [ B}


A BB

B

A

ABA


25

Con

junt

os


Diferença entre A e B A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}


A BB

B

A

ABA

Complementar de B em relação a A, com B , A

CAB 5 A 2 B 5 {x [ U | x [ A e x Ó B}

Tem-se apenas uma possível situação para os conjuntos A e B.

BA

Conjuntos numéricosNaturais: N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Inteiros: Z 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Racionais: Q 5 { x | x 5 a __ b , a [ Z, b [ Z, b Þ 0 }

Irracionais: I é o conjunto formado por números que não podem ser ex-pressos na forma a __

b , a [ Z, b [ Z, b Þ 0. Exemplo de número irracional: dXX 5

Reais: R é o conjunto obtido pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Ou seja: R 5 Q ø I

Graficamente, podem-se representar esses conjuntos numéricos como no esquema ao lado.

Intervalos reaisDados dois números reais a e b, com a , b, têm-se os seguintes intervalos reais.

Representação gráfica Notação algébrica Representação por meio de conjunto

a b R [a, b] {x [ R | a < x < b}

a b R [a, b[ {x [ R | a < x , b}

a b R ]a, b] {x [ R | a , x < b}

a b R ]a, b[ {x [ R | a , x , b}

a R [a, 1`[ {x [ R | x > a}

a R ]a, 1`[ {x [ R | x . a}

a R ]2`, a] {x [ R | x < a}

a R ]2`, a[ {x [ R | x , a}

a R ]2`, a[ ø ]a, 1`[ {x [ R | x Þ a}

RQ

Z

N


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QuestõesTo

das

as q

uest

ões

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m re

prod

uzid

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te. A

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as d

as im

agen

s es

tão

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de

esca

la. 1. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {1, 4, 5} e {x, y, 1} sejam

iguais. Então, podemos afirmar que: a) x 5 4 e y 5 5b) x Þ 4c) y Þ 4d) x 1 y 5 9e) x , y

2. (Ifal) Na última eleição para prefeitura de uma cidade, registrou-se o seguin-te resultado: o candidato A recebeu 60% dos votos; o candidato B recebeu 25% dos votos; 2 400 votos foram brancos ou nulos; somente os candidatos A e B disputaram a eleição.

Quantos eleitores votam nesse pleito?a) 16 000b) 13 600c) 9 600d) 18 200 e) 24 000

3. (UEPG-PR) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ù B é 37, o número de elementos de B ù C é 33 e o número de elementos de A ù B ù C é 25. Encontre o número de elementos de B ù (A ø C) e assinale a alternativa correta.a) 70b) 58c) 20d) 48e) 45

4. (Unimontes-MG) Num curral há vacas e bois. Se há 30 vacas, 21 animais ma-gros, 13 bois não magros e 4 vacas magras, então, o número de bois magros é [...]:a) 17 c) 13b) 26 d) 15

5. (Uern) Na 3a série do Ensino Médio de um colégio há 110 alunos matriculados em cursos de Inglês e/ou Espanhol. Sabe-se que:

1 ___ 4 dos alunos matriculados em Inglês está também matriculado em Espanhol;

2 __ 5 dos matriculados em Espanhol estão também matriculados em Inglês.

O número de alunos matriculados nesses dois cursos é:a) 10b) 15

c) 20 d) 25

6. (ITA-SP) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n > 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade:Se A, B [ S, então A , B ou B , A.Então, o número máximo de elementos que S pode ter é:a) 2n 2 1

b) n __ 2 , se n for par, e (n 1 1)

__________ 2 se n for ímpar

c) n 1 1

d) 2n 2 1

e) 2n 2 1 1 1


27

Con

junt

os

7. (UEL-PR) Num dado momento, três canais de TV tinham, em sua programa-ção, novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A, a novela B no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa com 3 000 pessoas, pergun-tou-se quais novelas agradavam. A tabela a seguir indica o número de teles-pectadores que designaram as novelas como agradáveis.

Novelas Número de telespectadores

A 1 450

B 1 150

C 900

A e B 350

A e C 400

B e C 300

A, B e C 100

Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? a) 300 telespectadoresb) 370 telespectadoresc) 450 telespectadoresd) 470 telespectadorese) 500 telespectadores

8. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre determinado eletrodoméstico mostrou que: 37% dos entrevistados preferem a marca X; 40% preferem a marca Y; 30% preferem a marca Z; 25% preferem X e Y; 8% preferem Y e Z; 3% preferem X e Z; 1% prefere as três marcas.

Considerando que há os que não preferem nenhuma das três marcas, a por-centagem dos que não preferem nem X nem Y é: a) 20%b) 23%c) 30%

d) 42%e) 48%

9. (ITA-SP) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que: (X 2 Y) ù Z 5 {1, 2, 3, 4} Y 5 {5, 6} Z ù Y 5 [ W ù (X 2 Z) 5 {7, 8} X ù W ù Z 5 {2, 4}

Então o conjunto {[X ù (Z ø W)] 2 [W ù (Y ø Z)]} é igual a:a) {1, 2, 3, 4, 5}b) {1, 2, 3, 4, 7}c) {1, 3, 7, 8}

d) {1, 3}e) {7, 8}

10. (UPE) Dados A e B conjuntos, a operação de diferença simétrica (?) é definida por A ? B 5 A ø B 2 A ù B. Se A 5 1, {1}, [, a e B 5 1, 2, {[}, a, b , então o conjunto A ? B é igual a: a) 1, {1}, [ {[}, 2, a, b d) {1}, [, {[}, 2, bb) {1, a} e) [

c) {1}, {[}, 2, b


28

11. (PUC-PR) Com o objetivo de melhorar a produtividade das lavouras, um grupo de 600 produtores de uma determinada região resolveu investir no aumento da produção de alimentos nos próximos anos: 350 deles investiram em avanços na área de biotecnologia; 210, em uso correto de produtos para a proteção de plantas; 90, em ambos (avanços na área de biotecnologia e uso correto de produtos

para a proteção de plantas).Com base nas informações acima, considere as seguintes afirmativas: I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia. II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a pro-

teção de plantas. III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso

correto de produtos para a proteção de plantas. IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.Estão corretas as afirmativas:a) I, II e III, apenasb) II e IV, apenasc) I e II, apenas

d) I, II, III e IVe) I e III, apenas

12. (Uesc-BA) Ao se aproximar a data de realização de certo concurso, uma es-cola que se dedica a preparar candidatos a cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus alunos. Do total T de alunos, sabe-se que 80 compareceram à primeira aula, 85, à

segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. Dos alunos que assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas

aulas seguintes, 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas.

Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30 compareceram à segunda e à terceira aulas.

Com base nessas informações, se 1 __ 3 do total de alunos não compareceu às au-

las de revisão, então o valor de T é:a) 165 b) 191 c) 204 d) 230 e) 345

13. (Uece) Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, às de-sigualdades 2 < x < 15 e 3 < y < 18, então todos os números da forma x __ y possíveis pertencem ao intervalo:

a) [5, 9]

b) 2 __ 3 , 5 ___ 6

c) 3 __ 2 , 6

d) 1 ___ 9 , 5

14. (Unir-RO) Sendo H 5 {X tal que X é inteiro e 23 < X < 6} e M 5 {X tal que X é racional e X > 24}, assinale a alternativa verdadeira.a) O conjunto M é um subconjunto do conjunto H.b) O conjunto H é um subconjunto do conjunto M.c) O valor zero não pertence ao conjunto M.d) A interseção entre os conjuntos M e H é vazia.e) O conjunto H possui uma quantidade infinita de elementos.

15. (Urca-CE) Seja N 5 {0, 1, 2, ...} o conjunto dos números naturais. Sobre a subtração de números naturais é incorreto afirmar:a) A subtração de dois números naturais a 2 b só existe quando b , a.b) Para todo a [ N, a 2 a 5 0.c) A subtração é associativa.d) Se a, b e c são números naturais tais que 0 , c , b , a, então

0 , b 2 c , a 2 c , a.e) a 1 b 5 c 1 d se, e somente se, a 2 c 5 d 2 b para todo a, b, c, d [ N.


29

Con

junt

os

16. (EPCAr-MG) Supondo x e y números reais tais que x2 ? y2 e y ? 2x, a

expressão dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

2x ________ x 1 y 2

y ________ y 2 x 1

y2

__________ y2 2 x2 ___________________________________

(x 1 y)21 1 x(x2 2 y2)21 sempre poderá ser calculada em R se,

e somente se,a) x > 0 e y > 0.b) x . 0 e y é qualquer.c) x é qualquer e y > 0.d) x > 0 e y é qualquer.

17. (EPCAr-MG) Considere as alternativas abaixo e marque a correta.

a) Se a e b são números irracionais, então a ___ b

é, necessariamente, irracional.

b) Se a e b são números naturais não nulos, M(a) é o conjunto dos múlti-plos naturais de a e M(b) é o conjunto dos múltiplos naturais de b, então M(b) . M(a) se, e somente se, a é divisor de b.

c) Se a 5 1 __________ 3 2 dXX 3

2 1 __________ 3 1 dXX 3

, então

a [ ([R 2 Q] ù [Z ø Q]).

d) Se A é o conjunto dos divisores naturais de 12, B é o conjunto dos divisores naturais de 24 e C é o conjunto dos múltiplos positivos de 6 menores que 30, então A 2 (B ù C) 5 A 2 C.

18. (UEM-PR) Assinale o que for correto.[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]

01. 2 ( 1 __ 2 2 1 __ 3 ) 5 1 __ 3

02. 3 __ 2 . dXX 2

04. 1 _____ 90 5 0,01010101...

08. 15 ____ 4 , 7 __ 3 e 3 dXXX 80 pertencem ao intervalo real [2, 4].

16. A multiplicação de quaisquer dois números irracionais resulta sempre em um número irracional.

19. (UFF-RJ) O número p 2 dXX 2 pertence ao intervalo:

a) 1, 3 __ 2

b) ( 1 __ 2 , 1

c) 3 __ 2 , 1

d) (21, 1)

e) 2 3

__ 2 , 0)20. (UEPG-PR) Considere os conjuntos:

A 5 {X [ N | X é ímpar}B 5 {X [ N | X < 4}C 5 {X [ Z | 23 , X , 4}

Assinale a alternativa correta, onde o conjunto X, tal que X , C e C 2 X 5 A ù B, é:a) {21, 0, 2}b) {21, 0, 1, 2}c) {0, 1, 2} d) {22, 21, 0, 2}e) {22, 21, 0, 1, 2}


30

FunçãoSejam A e B dois conjuntos não vazios.

A função f de A em B (notação: f: A → B) é a regra que associa cada elemento de A a um único elemento de B. Nesse caso, o domínio da função é o conjunto A; D(f) 5 A e seu contradomínio é o conjunto B; CD(f) 5 B.

O conjunto imagem de f é formado por todas as imagens obtidas pela aplicação de f aos elemen-tos de seu domínio. Mas nem sempre o contra-domínio de uma função é igual ao conjunto ima-gem dela.

A taxa média de variação de uma função f é o

quociente f(x1) 2 f(x0) __________ x1 2 x0

, em que x1 Þ x0.

Representação gráficaO gráfico de uma função f é o conjunto dos

pares ordenados (x, y) em que x pertence ao do-mínio de f e y 5 f(x).

Pode-se representar esse conjunto em um pla-no cartesiano, e, para simplificar a linguagem, é comum chamar essa representação de gráfico da função.

Funções injetiva, sobrejetiva e bijetivaSeja f uma função de A em B.

A função f é injetiva se, quaisquer que sejam x1 [ A e x2 [ A, tem-se f(x1) Þ f(x2).

Dito de outro modo: a função f de A em B é injetiva se elementos distintos de A têm imagens distintas em B.

Observação

Um modo de verificar se uma função f é injetiva consiste em verificar se f(a) 5 f(b) implica em a 5 b. Se sim, então a função f é injetiva.

A função f é sobrejetiva se, para todo y [ B, existe um x [ A, tal que f(x) 5 y.

Dito de outro modo: a função f de A em B é so-brejetiva se todo elemento de B é imagem de al-gum elemento de A, segundo f.

A função f é bijetiva se, e somente se, f é inje-tiva e sobrejetiva.

Funções par e ímparSeja f uma função de A em B.

A função f é par se, e somente se, f(x) 5 f(2x).

Dito de outro modo: a função f de A em B é par se, e somente se, elementos simétricos do domí-nio da função, isto é, x e 2x, têm imagens iguais segundo f, ou seja:

f(x) 5 f(2x).

A função f é ímpar se, e somente se, f(x) 5 2f(2x).

Dito de outro modo: a função f de A em B é ímpar se, e somente se, elementos simétricos do domínio da função, isto é, x e 2x têm imagens iguais segundo f, ou seja:

f(x) 5 2f(2x).

Também pode ser escrito dessa forma:

2f(x) 5 f(2x)

Observação

O gráfico de uma função par apresenta sime-tria axial, pois é simétrico em relação ao eixo y. Já o gráfico de uma função ímpar apresenta simetria central, pois é simétrico em relação à origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Função compostaSeja f uma função de A em B e g uma função

de B em C.

A função composta de f e g é a função f + g de-finida por (f + g)(x) 5 f (g(x)).

Ou seja: aplica-se a x a função g, o que resulta em g(x). Depois, aplica-se a g(x) a função f, resul-tando em f(g(x)). A função f + g tem domínio A e contradomínio C.

Função inversaSeja f uma função bijetiva de A em B.

A função inversa de f é a função f21 tal que, se f(a) 5 b, então:

f21(b) 5 a.

Representação gráficaO gráfico de uma função é simétrico ao gráfico

da sua inversa em relação à reta que representa a função identidade i(x) 5 x.

Introdução às funções


31

Intr

oduç

ão à

s fu

nçõe

s

QuestõesTo

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zem

par

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tão

fora

de

esca

la. 1. (Fuvest-SP) Considere a função f(x) 5 1 2 4x ___________

(x 1 1)2 , a qual está definida para

x Þ 21. Então, para todo x Þ 1 e x Þ 21, o produto f(x)f(2x) é igual a:a) 21 d) x2 1 1b) 1 e) (x 2 1)2

c) x 1 1

2. (UFRJ) Considere o programa representado pelo seguinte fluxograma:

Entre como valor de x

Calculex 2 1

Verifique:x 2 1 . 1 ?

Calcule2x22

SIM NÃO

Calcule(x 1 2)1/3

a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse pro-grama.

b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9.

3. (Unesp) Segundo a Teoria da Relatividade de Einstein, se um astronauta via-jar em uma nave espacial muito rapidamente em relação a um referencial na Terra, o tempo passará mais devagar para o astronauta do que para as pessoas que ficaram na Terra. Suponha que um pai astronauta, com 30 anos de idade, viaje numa nave espacial, numa velocidade constante, até o planeta recém-descoberto GL581C, e deixe na Terra seu filho com 10 anos de idade. O tempo t decorrido na Terra (para o filho) e o tempo T decorrido para o as-tronauta, em função da velocidade v dessa viagem (ida e volta, relativamente ao referencial da Terra e desprezando-se aceleração e desaceleração), são

dados respectivamente pelas equações t 5 40c ______ v e T 5 40c ______ v dXXXXXXX 1 2 ( v __ c ) 2 , onde

c é uma constante que indica a velocidade da luz no vácuo e t e T são medidos em anos.Determine, em função de c, a que velocidade o pai deveria viajar de modo que, quando retornasse à Terra, ele e seu filho estivessem com a mesma idade.

4. (Unesp) Uma função de variável real satisfaz a condição f(x 1 2) 5 2f(x) 1 f(1), qualquer que seja a variável x.Sabendo-se que f(3) 5 6, determine o valor de:a) f(1) b) f(5)

5. (Mackenzie-SP) Considere a função f tal que para todo x real tem-se f(x 1 2) 5 3f(x) 1 2x.

Se f(23) 5 1 ___ 4 e f(21) 5 a, então o valor de a2 é:

a) 25 ____ 36

b) 36 ____ 49

c) 64 ______ 100

d) 16 ____ 81

e) 49 ____ 64


32

Texto para as questões 6 e 7.

(FGV-SP) Para determinado produto, o número de unidades vendidas está rela-cionado com a quantia gasta em propaganda, de tal modo que, para x milhares

de reais investidos em propaganda, a receita R é dada por: R(x) 5 50 2 50 _______ x 1 5 milhares de reais

6. Pode-se dizer então que a receita, ainda que nenhuma quantia seja investida em propaganda, será igual a:a) R$ 40 000,00 b) R$ 50 000,00 c) R$ 0,00d) R$ 10 000,00e) R$ 100 000,00

7. Pode-se afirmar também que: a) a receita cresce proporcionalmente ao aumento da quantia gasta em pro-

paganda.b) quanto maior o investimento em propaganda, menor será a receita.c) por maior que seja o investimento em propaganda, a receita não ultrapas-

sará R$ 40 000,00.d) quanto menor o investimento em propaganda, maior será a receita. e) por maior que seja o investimento em propaganda, a receita não ultrapas-

sará R$ 50 000,00.

8. (Unesp) Os professores de Matemática e Educação Física de uma escola orga-nizaram um campeonato de damas entre os alunos.Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da escola comprou 310 chocolates, que foram divididos entre os 1o, 2o e 3o colocados no campeona-to, em quantidades inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respec-tivamente.As quantidades de chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no campeonato, foram: a) 155, 93 e 62b) 155, 95 e 60c) 150, 100 e 60d) 150, 103 e 57e) 150, 105 e 55

9. (Unicamp-SP) Considere três modelos de televisores de tela plana, cujas di-mensões aproximadas são fornecidas na tabela a seguir, acompanhadas dos preços dos aparelhos.

Modelo Largura (cm) Altura (cm) Preço (R$)

23’’ 50 30 750,00

32’’ 70 40 1 400,00

40’’ 90 50 2 250,00

Com base na tabela, pode-se afirmar que o preço por unidade de área da tela:a) aumenta à medida que as dimensões dos aparelhos aumentam. b) permanece constante do primeiro para o segundo modelo, e aumenta do

segundo para o terceiro. c) aumenta do primeiro para o segundo modelo, e permanece constante do

segundo para o terceiro. d) permanece constante.


33

Intr

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nçõe

s

10. (FGV-SP) Uma partícula desloca-se em movimento retilíneo uniforme a 20 mm/s. Mantendo-se constante essa velocidade, ela percorrerá 1 km em:a) 6 ? 103 minutos d) 5 ? 105 segundosb) 8 ? 103 minutos e) 5 ? 106 segundosc) 5 ? 104 segundos

11. (Unesp)

No Brasil, desde junho de 2008, se for constatada uma concentração de álcool no sangue acima de 0,6 g/L, o motorista é detido e processado criminalmente.

<www.planalto.gov.br/ccivil_03/Ato2007-2010/2008/ Decreto/D6488.htm>. Adaptado.

Determine o número máximo de latas de cerveja que um motorista pode in-gerir, antes de dirigir, para não ser processado criminalmente caso seja sub-metido ao teste.Dados: o volume médio de sangue no corpo de um homem adulto é 7,0 litros; uma lata de cerveja de 350 mL contém 16 mL de álcool; 14% do volume de álcool ingerido por um homem adulto vão para a cor-

rente sanguínea; a densidade do álcool contido em cervejas é de 0,8 g/mL.

Observação: Os resultados de todas as operações devem ser aproximados por duas casas decimais. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

12. (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura, medida em metros. É uma referência adotada pela Organização Mundial da Saúde para classificar um indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura, conforme a tabela a seguir.

IMC Classificação

até 18,4 abaixo do peso

de 18,5 a 24,9 peso normal

de 25,0 a 29,9 sobrepeso

de 30,0 a 34,9 obesidade grau 1

de 35,0 a 39,9 obesidade grau 2

a partir de 40,0 obesidade grau 3

Levando em conta esses dados, considere as seguintes afirmações: I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta obesidade grau 1. II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade na população é aumentar a

altura média de seus indivíduos por meio de atividades físicas orientadas para adultos.

III. Uma nova classificação que considere obesos somente indivíduos com IMC maior que 40 pode diminuir os problemas de saúde pública.

Está correto o que se afirma somente em:a) Ib) IIc) IIId) I e IIe) I e III


34

13. (Unifesp) Uma função f: R é R diz-se par quando f(2x) 5 f(x) para todo x [ R, e ímpar quando f(2x) 5 2f(x), para todo x [ R.a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representa funções pares ou

funções ímpares? Justifique sua resposta.

x

y

0

Gráfico I

121

x

y

0

Gráfico II

2 321

x

y

0

Gráfico III

121

x

y

0

Gráfico IV

1

1

21

21

x

y

0u

u

Gráfico V

b) Dê dois exemplos de funções y 5 f(x) e y 5 g(x), sendo uma par e outra ím-par, e exiba os seus gráficos.

14. (ITA-SP) Considere os conjuntos S 5 {0, 2, 4, 6}, T 5 {1, 3, 5} e U 5 {0, 1} e as afirmações: I. {0} [ S e S > U Þ [ II. {2} , (S 2 U) e S > T > U 5 {0, 1} III. Existe uma função f: S é T injetiva. IV. Nenhuma função g: T é S é sobrejetiva.Então, é(são) verdadeira(s):a) apenas Ib) apenas IVc) apenas I e IV

d) apenas II e IIIe) apenas III e IV

15. (UFC-CE) O coeficiente b da função quadrática f: R é R, f(x) 5 x2 1 bx 1 1, que satisfaz a condição f (f(21)) 5 3, é igual a:a) 23b) 21c) 0

d) 1e) 3

16. (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f (g(x)) 5 g(x) é igual a:a) 4b) 5

c) 6d) 7

e) 8

17. (EPCAr-MG) Considere o conjunto A 5 {0, 1, 2, 3} e a função f: A é A tal que f(3) 5 1 e f(x) 5 x 1 1, se x Þ 3. A soma dos valores de x para os quais (f + f + f )(x) 5 3 é:a) 2 b) 3 c) 4 d) 5


35

Função afim é toda função f: R é R da forma f(x) 5 ax 1 b, em que a e b são números reais.

Casos particulares

Valor dos coeficientes a e b Lei da função Nomenclatura

a Þ 0 e b 5 0 f(x) 5 ax função linear

a 5 0 f(x) 5 b função constante

a 5 1 e b 5 0 f(x) 5 x função identidade

Representação gráfica de uma função afimO gráfico de uma função afim é uma reta. A tabela abaixo mostra as possibilidades desse gráfico,

dependendo dos sinais dos coeficientes a e b.

a . 0Função crescente

a 5 0Função constante

a , 0Função decrescente

b . 0b 5 1

y

x1

2

2121

2223 2 3

y 5 2x 1 1b 5 2

y

x1

1

2121

2223 2 3

y 5 2

y

x1

b 5 1

2121

2223 2

2

3

y 5 22x 1 1

b 5 0

y

x1

1

2121

2223 2

2

3

b 5 0

y 5 2xy

x1

1

2121

2223 2

2

3

y 5 0b 5 0

y

x1

1

2121

2223 2

2

3

y 5 22x

b 5 0

b , 0

y

x1

1

21b 5 21

2223 2

2

3

y 5 2x 2 1

y

x1

1

21

b 5 21

2223 2

2

3

y 5 2 1b 5 21

y

x1

1

212223 2

2

3

y 5 22x 2 1

O zero da função afim é o valor de x que anula y 5 ax 1 b, ou seja, é a raiz da equação ax 1 b 5 0.

ax 1 b 5 0 à x 5 2 b __ a

Observando o gráfico de uma função afim, têm-se: � o coeficiente a indica a inclinação da reta em relação ao eixo x; � o coeficiente b indica o ponto em que a reta intersecta o eixo y; � o zero da função indica o ponto em que a reta intersecta o eixo x.

Função afim


36

Estudo do sinal de uma função afim

Função crescente (a . 0) Função decrescente (a , 0)

1

2 x2

ba

Se x , 2 b __ a , então f(x) , 0.

Se x 5 2 b __ a , então f(x) 5 0.

Se x . 2 b __ a , então f(x) . 0.

1

22

ba

x

Se x , 2 b __ a , então f(x) . 0.

Se x 5 2 b __ a , então f(x) 5 0.

Se x . 2 b __ a , então f(x) , 0.

Inequação do 1o grauSendo f e g duas funções afins, uma inequação do 1o grau é qualquer senten-

ça da forma: � f(x) . g(x); � f(x) , g(x); � f(x) > g(x); � f(x) < g(x).

O estudo do sinal de uma função afim é útil para resolver graficamente uma inequação do 1o grau.

Inequação simultâneaSendo f, g e h três funções afins, uma inequação simultânea é qualquer sen-

tença da forma f(x) , g(x) , h(x).Cada um dos sinais de uma inequação simultânea pode ser ,, <, . ou >.

Inequação produtoSendo f e g duas funções afins, uma inequação produto é qualquer sentença

da forma: � f(x) ? g(x) . 0; � f(x) ? g(x) > 0; � f(x) ? g(x) , 0; � f(x) ? g(x) < 0.

Inequação quocienteSendo f e g duas funções afins, uma inequação quociente é qualquer senten-

ça da forma:

� f(x)

____ g(x)

. 0;

� f(x)

____ g(x)

> 0;

� f(x)

____ g(x)

, 0;

� f(x)

____ g(x)

< 0.

A resolução de uma inequação quociente é feita de modo análogo ao de uma inequação produto.

I. Faz-se o estudo do sinal de f e do sinal de g. II. Monta-se o quadro de resolução, tomando-se o cuidado de observar que o

denominador da fração não pode ser igual a zero. Determina-se, então, o conjunto solução obtido.


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Funç

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la. 1. (UFRJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada, e sua posição (em

metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t.

2 P(t)

8

a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t 5 0).b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos

pontos obtidos pela variação de t no intervalo 0, 3 __ 2 .

2. (UCS-RS) As funções definidas por f(x) 5 ax 1 b e g(x) 5 cx 1 d, cujos gráfi-cos estão em parte representados na figura abaixo, são modelos matemáticos que podem ser usados para determinar, respectivamente, a oferta e a procura de determinado produto.

g(x)

f(x)

y

x

De acordo com os gráficos, os sinais de a, b, c e d são tais que:a) a ? c , 0 e b ? d . 0 d) a ? c . 0 e b ? d , 0b) a ? b . 0 e c ? d . 0 e) a ? b , 0 e c ? d , 0c) a ? b . 0 e c ? d , 0

3. (FGV-RJ) Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fi-xas que não dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variá- veis, tais como matéria-prima, por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00.Em 2009, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 terá de ser x% maior que a de 2009. O valor mais próximo de x é: a) 120 b) 100 c) 80 d) 60 e) 40

4. (Unicamp-SP) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 8C em 1995 para 13,8 8C em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de:a) 13,83 8C b) 13,86 8C c) 13,92 8C d) 13,89 8C

5. (Unama-PA) As funções reais f(x) 5 x 1 3 e g(x) 5 5 2 x estão representadas no gráfico abaixo.

gf

C

BA

Assim sendo, a área do triângulo ABC, em cm2, mede:a) 4 c) 16b) 12 d) 24


38

6. (UFG-GO) O gráfico apresentado a seguir mostra como o comprimento, L, de uma barra metálica varia em função da temperatura, u.

100,00

100,15

25 100 u (ºC)

L (cm)

Um recipiente feito desse mesmo metal, inicialmente à temperatura ambiente de 25 8C, é aquecido. Para que o volume do recipiente aumente 0,3%, a varia-ção de temperatura necessária, em graus Celsius, é de:a) 1,5 d) 75b) 37,5 e) 150c) 50

7. (UFMG) Elenice possui um carro flex, isto é, que funciona com uma mistura de gasolina e etanol no tanque em qualquer proporção. O tanque desse veí-culo comporta 50 L e o rendimento médio dele pode ser auferido no gráfico abaixo, formado por segmentos de reta.

10

0

12

15

13

km/L

% gasolina no tanque

20 50 100

Nesse gráfico estão indicados: no eixo horizontal, a proporção de gasolina presente no tanque; no eixo vertical, o rendimento do carro, em km/L.

Elenice vai fazer uma viagem, de ida e volta, nesse carro, da cidade A para a cidade B, que distam, uma da outra, 600 km.a) Elenice sai de A com o tanque cheio apenas de gasolina. Determine quanto

de gasolina ainda vai restar no tanque, quando ela chegar a B.b) Ao chegar na cidade B, Elenice completa o tanque do carro com etanol. Na

volta para A, a 300 km de B, ela resolve parar e completar o tanque, no-vamente com etanol. Determine quanto de etanol ela precisou colocar no tanque nessa parada.

c) Determine quanto ainda restava de combustível no tanque, quando Elenice chegou a A, na volta.

8. (Unifacs-BA) X e Y partem, no mesmo instante, dos pontos P e Q, respectiva-mente, e andam em linha reta, um em direção ao outro. Ao se encontrarem, X continua a caminhar no mesmo sentido, mas Y retorna ao seu ponto de partida, chegando 8 minutos antes de X.Sabendo-se que ambos caminham a velocidades constantes e que a velocidade de X é 2 __ 3 da velocidade de Y, pode-se afirmar que o tempo gasto, do início da caminhada até se encontrarem, foi igual a:a) 12 minutos d) 15 minutosb) 13 minutos e) 16 minutosc) 14 minutos


39

Funç

ão a

fim

9. (Uerj) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura.Observe o gráfico que representa as altu-ras de cada uma das velas em função do tempo a partir do qual a vela A foi acesa.Calcule a altura de cada uma das velas an-tes de serem acesas.

altu

ra (

cm)

tempo (h)10 2 5 6

y

x

10. (UEA-AM) A tabela fornece os valores da função g para os valores correspon-dentes de t. A função g é definida em R e expressa por g(t) 5 at 1 b, onde a e b são números reais.

t 21 0 1

g(t) 4 2 0

Desse modo, pode-se concluir que:

a) g(t) 5 2 1 __ 2 t 1 1 d) g(t) 5 2t 1 2

b) g(t) 5 1 __ 2 t 1 1 e) g(t) 5 22t 1 2

c) g(t) 5 2t 1 1

11. (Unicamp-SP) Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$ 2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24 W, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâmpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Responda às questões a seguir, lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de 100 W consome uma quantidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus cálculos, considere que 1 kWh de energia custa R$ 0,50.a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o

custo de aquisição da lâmpada, determine quanto custa manter uma lâm-pada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de 24 W.

b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou apenas lâmpadas fluorescentes de 24 W. Fernando, por sua vez, comprou e instalou somente lâmpadas incandescentes de 100 W para iluminar sua casa. Considerando o custo de compra de cada lâmpada e seu consumo de energia, determine em quantos dias Fernando terá gasto mais com iluminação que João. Supo-nha que cada lâmpada fica acesa 3 horas por dia. Suponha, também, que as casas possuem o mesmo número de lâmpadas.

12. (UFSCar-SP) O gráfico esboçado re-presenta o peso médio, em quilogra-mas, de um animal de determinada espécie em função do tempo de vida t, em meses.

a) Para 0 < t < 10 o gráfico é um segmento de reta. Determine a expressão da função cujo gráfico é esse segmento de reta e calcule o peso médio do animal com 6 meses de vida.

b) Para t > 10 meses a expressão da função que representa o peso médio do

animal, em quilogramas, é P(t) 5 120t 2 1 000 ___________________ t 1 10 .

Determine o intervalo de tempo t para o qual 10 , P(t) , 70.

100

5

10

Tempo (meses)

Peso médio (kg)


40

Função quadrática é toda função f: R é R da forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são núme-ros reais e a Þ 0.

Os números a, b e c são as constantes da função.Os zeros de uma função quadrática são os valores de x que anulam f(x). Graficamente, os zeros de

uma função quadrática são as abscissas dos pontos, em que o gráfico dessa função intersecta o eixo x. Se

existirem esses zeros, serão dados por x1 5 2b 1 dXX D ________ 2a

e x2 5 2b 2 dXX D ________ 2a

, em que D 5 b2 2 4ac.

O valor D é o discriminante da função quadrática, pois conhecendo seu valor é possível concluir quantos zeros a função tem.

� Se D . 0, então a função tem dois zeros reais distintos. � Se D 5 0, então a função tem um zero real duplo. � Se D , 0, então a função não tem zeros reais.

Representação gráfica de uma função quadráticaO gráfico de uma função quadrática é uma curva denomi-

nada parábola.

ElementosA figura ao lado mostra a parábola, em azul, que repre-

senta a função dada por y 5 x2 2 2x 2 1. � Concavidade da parábola: para cima � Intersecção da parábola com o eixo x (zeros da função): x1 e x2

� Eixo de simetria da parábola: reta x 5 1

� Coordenadas do vértice da parábola: ( 2 b ___ 2a , 2

D ___ 4a )

� Intersecção da parábola com o eixo y: (0, c)

Estudo do sinal de uma função quadrática

D . 0Dois zeros reais distintos

D 5 0Um zero real duplo

D , 0Nenhum zero real

a . 0Concavidade

para cimax1 x2

2

11

x

Se x , x1 ou x . x2, então f(x) . 0.Se x 5 x1 ou x 5 x2, então f(x) 5 0.

Se x1 , x , x2, então f(x) , 0.

x1 5 x2

11

x

1

Se x 5 x1, então f(x) 5 0.Se x Þ x1, então f(x) . 0.

1 1

x

1

Se x [ R, então f(x) . 0.

a , 0Concavidade para baixo

x1 x21

2 2 x

Se x , x1 ou x . x2, então f(x) , 0.Se x 5 x1 ou x 5 x2, então f(x) 5 0.

Se x1 , x , x2, então f(x) . 0.

x1 5 x2

2 22 x

Se x 5 x1, então f(x) 5 0.Se x Þ x1, então f(x) , 0.

222

x

Se x [ R, então f(x) , 0.

y

x

1

2

21c 5 21

22

22

2 3 41

Eixo de simetriay 5 x2 2 2x 2 1

x1 x2

Vértice

Função quadrática


41

Funç

ão q

uadr

átic

a

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (Insper-SP) Uma função do 2o grau f é tal que, para todo x [ R, tem-se

f(x) 5 f(1 2 x). Assim, o gráfico de f é uma parábola cujo vértice é um ponto de abscissa:

a) 1 ___ 4 b) 1 __ 2 c) 1 d) 2 e) 4

2. (UEL-PR) O óxido de potássio, K2O, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram tes-tadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir.

Dose do nutriente (kg/hectare)

Produção de cana-de-açúcar (toneladas/hectare)

0 42

70 56

140 61

Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo y(x) 5 ax2 1 bx 1 c, de-termine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. [...]

3. (FGV-SP) Um número real x, 10 < x < 110 é tal que (x 2 10)% da diferença entre 14 e x, nessa ordem, é igual ao número real y.Nessas condições, o valor máximo que y pode assumir é:

a) 1 ____ 20

b) 1 ____ 21

c) 1 ____ 24

d) 1 ____ 25

e) 1 ____ 27

4. (Mackenzie-SP) Na figura, estão representados os gráficos das funções f(x) 5 x2 2 2x 2 3 e g(x) 5 3x 1 11.

P

x

y

A soma da abscissa do ponto P com o valor mínimo de f(x) é:

a) 1,5 b) 25 c) 22 d) 26 e) 0,5

5. (PUC-SP) Suponha que no século XVI, (n 2 23) anos antes do ano n2, Leonardo da Vinci pintou o famoso quadro Mona Lisa. Se Leonardo nasceu em 1452 e morreu em 1519, então quantos anos ele tinha ao pintar esse quadro? a) 59 b) 56 c) 55 d) 53 e) 51


42

6. (Fuvest-SP) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) 5 x2 1 mx 1 2. [...]a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de

equação y 5 f(x).b) Determine os valores de m [ R para os quais a imagem de f contém o con-

junto {y [ R ; y > 1}.c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto

{y [ R ; y > 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x [ R ; x > 0}.d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c e para cada

y > 2, o único valor de x > 0 tal que f(x) 5 y.

7. (FGV-SP) A função quadrática f(x) 5 16x 2 x2 definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima igual a: a) 64b) 63,5c) 63

d) 62,5e) 62

8. (Unicamp-SP) Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a al-tura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são forneci-dos na tabela a seguir.

Distância (m) Altura (m)

1 2,0

2 2,7

3 3,2

Seja y(x) 5 ax2 1 bx 1 c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso,a) determine os valores de a, b e c.b) calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.

9. (EPCAr-MG) Um cabo de suspensão de uma ponte tem a forma de uma pará-bola, e seu ponto mais baixo está a 2,0 m acima do piso da ponte. A distância do piso da ponte em relação à superfície da baía é de 83,7 m. O cabo passa sobre as torres de sustentação, distantes 1 200,0 m entre si, numa altura de 265,7 m acima da baía e é ligado ao piso da ponte por hastes rígidas perpen-diculares a ela.

Haste

2,0 m

1 200,0 m

Piso da ponte

Torr

e de

su

sten

taçã

o

Baía

83,7 m

265,7 m

O comprimento de cada uma das hastes que ligam o cabo à ponte, distantes 50,0 m do centro da ponte é, em metros, igual a:a) 1,25 b) 3,00c) 3,25d) 3,50


43

Funç

ão q

uadr

átic

a

10. (Unimontes-MG) Um mergulhador quer resgatar a caixa preta de um avião que caiu em um rio. Como havia um pouco de correnteza, a trajetória descrita pelo mergulhador foi como na figura abaixo.

x (m)

y (m)

2Bote

0 2 6

Avião

Sabendo-se que a distância, na horizontal, do bote de resgate ao local onde está a caixa é de 6 m e que a trajetória do mergulhador é descrita pela fun-

ção dada por f(x) 5 2 1 ___ 4 x2 2 1 __ 2 x 1 2, a profundidade que o mergulhador terá de alcançar será:a) 9 m c) 10 mb) 12 m d) 11 m

11. (Uern) Seja uma função do 2o grau y 5 ax2 1 bx 1 c, cujo gráfico está repre-sentado a seguir.

x

y

210

02 5

A soma dos coeficientes dessa função é:a) 22 c) 24b) 23 d) 26

12. (UEM-PR) O pregão da bolsa de valores de São Paulo se inicia às 10 h e é encerrado às 17 h. Supondo que em um dia de pregão o índice Ibovespa (em pontos) obedeceu à função I(t) 5 2200t2 1 800t 1 68 000, em que t repre-senta horas decorridas a partir da abertura do pregão, é correto afirmar que:[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. o pregão se encerrou com queda entre 3% e 4%.02. a diferença entre o valor máximo do índice no dia e o valor inicial foi

maior do que 1% sobre o índice inicial.04. às 14 h o índice Ibovespa ficou igual ao índice da abertura do pregão.08. ao meio-dia o índice atingiu seu valor máximo.16. o valor mínimo do índice ao longo do pregão foi de 65 000 pontos.

13. (Fatec-SP) Seja f a função quadrática, de R em R, definida por f(x) 5 5 (k 1 3) ? (x2 1 1) 1 4x, na qual k é uma constante real.Logo, f(x) . 0, para todo x real, se, e somente se:a) k . 23 d) k , 1 ou k . 5b) k . 21 e) k , 25 ou k . 21c) 23 , k , 1


44

Função definida por mais de uma sentençaUma função f pode ser definida por várias sentenças, cada uma delas relativa a um intervalo do

domínio da função f.

Exemplo

A função dada por f(x) 5

é definida pela sentença 2x para x < 21, pela sentença x2 para 21 , x , 1 e pela sentença x para x > 1. Ao lado, tem-se a re-presentação gráfica dessa função.

Módulo de um número realO valor absoluto, ou módulo, de um número real x é igual a x, se x é positivo ou nulo; ou é igual a

2x, se x é negativo.Denota-se o valor absoluto de x por |x|. Então: |x| 5 x, se x > 0

2x, se x , 0Observações

� Para todo número real x, tem-se |x|2 5 x2.

� Sendo a um número real não negativo, como dXX a indica a raiz quadrada positiva de a, pode-se pro-var que dXX x2 5|x|.

Função modularFunção modular é uma função que associa cada número real de seu domínio ao módulo desse

número.

Denota-se uma função modular f por f: R é R, tal que: f(x) 5 |x| ou f(x) 5 x, se x > 02x, se x , 0

Representação gráfica

A seguir tem-se a representação gráfica de f(x) 5 |x| à

à f(x) 5 x, se x > 02x, se x , 0

y

x1

1

2

3

4

21

21

222324 2 3 4

2x, se x < 21 x2, se 21 , x , 1x, se x > 1

|x|

y

x0

1

2

3

212223 21 3

Função modular

Equação e inequação modularSendo f e g duas funções e k um número real positivo, têm-se:

Equação modular Inequação modular

DefiniçãoEquação modular é uma equação que apresenta a

incógnita entre módulos.Inequação modular é uma inequação que apresenta

a incógnita entre módulos.

Propriedades I. |f(x)| 5 k (k . 0) à f(x) 5 k ou f(x) 5 2k II. |f(x)| 5 |g(x)| à f(x) 5 g(x) ou f(x) 5 2g(x)

I. |f(x)| , k à 2k , f(x) , k II. |f(x)| . k à f(x) , 2k ou f(x) . k

Observações▪ |f(x)| 5 k (k , 0) ä S 5 [▪ |f(x)| 5 0 à f(x) 5 0

▪ |f(x)| , 0 ä S 5 [

▪ |f(x)| > 0 à S 5 R


45

Funç

ão m

odul

ar

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (Unimontes-MG) Considere uma função f; R é R, cujo gráfico está esboçado

abaixo.

x

y 5 f(x)

y

0

Então, o esboço do gráfico da função g: R é R, definida por g(x) 5 |f(x)|, é:a)

x

y 5 f(x)

y

0

b)

x

y 5 f(x)y

0

c)

x

y 5 f(x)

y

0

d)

x

y 5 f(x)

y

0

2. (ITA-SP) O produto das raízes reais da equação |x2 2 3x 1 2| 5 |2x 2 3| é igual a:a) 25 b) 21 c) 1 d) 2 e) 5

3. (UTFPR) Considere a função f de R em R definida por f(x) 5 |x 1 1|. O valor de x tal que f(x 1 1) 5 f(x 2 1) é:a) 22 b) 21 c) 0 d) 1 e) 2

4. (Ufam) O conjunto solução de |3x 2 5| > 2x 2 2 é o conjunto:

a) 2`, 7 __ 5 < [3, 1` c) ( 2`, 7 __ 5 ) e) ( 7 __ 5 , 3 ) b) `, 23] < 7 __ 5 , 1` d) (3, 1`)

5. (CN-RJ) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação 4 dXXXXXXXX (2x 1 1)4 5 3x 1 2:

a) é vazio.b) é unitário.c) possui dois elementos.d) possui três elementos.e) possui quatro elementos.


46

PotenciaçãoSeja a um número real não nulo e n um número natural.A potência an de base a e expoente n é definida por:

Essa definição pode ser estendida para n [ R, tomando-se a . 0.

PropriedadesSendo a . 0, a [ R, b [ R, m [ R e n [ R, têm-se:

I. am ? an 5 am 1 n V. ( a __ b )

n 5 a

n __

bn , b ? 0

II. am __ an 5 am 2 n VI. n dXXX am 5 a

m __ n

III. (am)n 5 am ? n VII. a2n 5 1 ___ an

IV. (a ? b)n 5 an ? bn

Função exponencialSeja a um número real positivo e diferente de 1.A função exponencial de base a é toda função f : R é R

1 da forma f(x) 5 ax.

Representação gráficaA tabela abaixo mostra as possibilidades do gráfico de uma função exponencial, dependendo do

sinal do coeficiente a.

a . 1Função crescente

0 , a , 1Função decrescente

y

x1

1

2

3

21222324 2 3 4

f(x) 5 ax

0

y

x1

1

2

3

21222324 2 3 4

f(x) 5 ax

0

Equação e inequação exponencialSendo f e g duas funções e a um número real positivo e diferente de 1, têm-se:

Equação exponencial Inequação exponencial

DefiniçãoEquação exponencial é uma equação que apresenta a

incógnita no expoente.Inequação exponencial é uma inequação que

apresenta a incógnita no expoente.

Propriedade a f(x) 5 a g(x) à f(x) 5 g(x)Para a . 1: a f(x) . a g(x) à f(x) . g(x)

Para 0 , a , 1: a f(x) . a g(x) à f(x) , g(x)

an

1, se n 5 0a, se n 5 1a ? a ? a ??? a, se n > 2

n vezes

Função exponencial e função logarítmica


47

Funç

ão e

xpon

enci

al e

fun

ção

loga

rítm

ica

LogaritmoSejam a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1.O logaritmo de a na base b é o número real x, tal que b elevado a x resulta a.Denota-se o logaritmo de a na base b por logb a; a é o logaritmando: logb a 5

5 x à bx 5 a.

Consequências da definição Propriedades operatórias

I. logb 1 5 0

II. logb b 5 1

III. logb bn 5 n

IV. blogba 5 a

V. logb x 5 logb y à x 5 y

I. logb(x ? y) 5 logb x 1 logb y

II. logb ( x __ y ) 5 logb x 2 logb y

III. logb xn 5 n ? logbx

IV. logb a 5 logca ________ logcb

V. logbn a 5 1 __ n ? logb a

Logaritmo naturalO logaritmo natural é todo logaritmo cuja base é o número irracional e.

O número irracional e é obtido pela potência ( 1 1 1 __ n ) n

quando n aumenta inde-

finidamente; seu valor se aproxima de 2,718 281 828 459.

Função logarítmicaSeja b um número real positivo e diferente de 1.A função logarítmica de base b é toda função f : R

1 é R da forma f(x) 5 logb x.

Representação gráficaA tabela mostra as possibilidades do gráfico de uma função logarítmica, depen-

dendo do sinal da base b.

b . 1 Função crescente 0 , b , 1 Função decrescente

y

x1

1

21 021

22

22

23 2 3 4 5

f(x) 5 logb xy

x1

1

2121

22

22

23 2 3 4 5

f(x) 5 logb x

0

Equação e inequação logarítmicaSendo f e g duas funções e b um número real positivo e diferente de 1, satisfei-

tas as condições para a existência dos logaritmos abaixo, têm-se:

Equação logarítmica Inequação logarítmica

DefiniçãoEquação logarítmica é uma equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.

Inequação logarítmica é uma inequação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.

Propriedade logb f(x) 5 logb g(x) à f(x) 5 g(x)Para b . 1: logb f(x) . logb g(x) à f(x) . g(x)Para 0 , b , 1: logb f(x) . logb g(x) à f(x) , g(x)


48

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (Fuvest-SP) Seja f(x) 5 a 1 2bx 1 c, em que a, b e c são números reais. A ima-

gem de f é a semirreta ]21, [ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados

nos pontos (1, 0) e ( 0, 2 3 ___ 4 ) . Então, o produto abc vale:

a) 4

b) 2

c) 0

d) 22

e) 24

2. (UFF-RJ) O gráfico da função exponencial f, definida por f(x) 5 k ? ax, foi cons-truído utilizando-se o programa de geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura abaixo:

x

y

0

B 5 (2, )92

A 5 (1, 3)

Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine:a) Os valores das constantes a e k.b) f(0) e f(3)

3. (Unicamp-SP) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado.

t

M(t)

12

16

4

50 100

8

0 150 200

Pelo gráfico, podemos concluir que:

a) M(t) 5 2 4 2 t ____ 75

b) M(t) 5 2 4 2 t ____ 50

c) M(t) 5 2 5 2 t ____ 50

d) M(t) 5 2 5 2 t ______ 150

4. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é re-

duzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 2 2 t ____ 15 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a va-riação do valor desse equipamento.


49

Funç

ão e

xpon

enci

al e

fun

ção

loga

rítm

ica

Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a:a) R$ 3 750,00b) R$ 7 500,00 c) R$ 10 000,00d) R$ 20 000,00

5. (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V 5 Ae−kx, em que e 5 2,7182…. Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00.Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será: a) R$ 17 500,00b) R$ 20 000,00c) R$ 22 500,00

d) R$ 25 000,00e) R$ 27 500,00

6. (UFRRJ) Considere que num recipiente, no instante t 5 0, um número N0 de bactérias está se reproduzindo normalmente. É aceito cientificamente que o número de bactérias num certo instante t . 0 é dado pela equação N(t) 5 N0Kt, sendo N(t) o número de bactérias no instante t e K uma constan-te que depende do tipo de bactéria.Suponhamos que, num certo instante, observou-se que havia 200 bacté-rias no recipiente reproduzindo-se normalmente. Passadas 12 horas, havia 600 bactérias.Após 48 horas do início da observação, quantas bactérias existirão?

7. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. Suponha que a decomposição de uma substância siga a lei dada por

Q(t) 5 k ? 220,2t, em que k é uma constante positiva e Q(t) é a quantidade da substância (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t0, em minutos, considerando os dados desse processo de decomposição mos-trados no gráfico a seguir, é 15.

t

(t)

0

1

8

t0

02. Zero é o menor número real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio cubo.

04. Para a função f(x) 5 x 1 1, se 0 < x < 25 2 x, se 2 , x < 5 , a área da região limitada

pelos eixos coordenados (x 5 0 e y 5 0) e pelo gráfico de f é 8,5 uni-

dades de área.

08. Se a receita mensal de uma loja de bonés é representada por R(x) 52200(x 2 10)(x 2 15) reais, na qual x é o preço de venda de cada boné (10 < x < 15), então a receita máxima será de R$ 2 500,00.


50

8. (UEPG-PR) Assinale a alternativa correta.a) Se f(x) 5 10x, então f( dXX 2 ) , f(1)

b) Se f(x) 5 ( 1 ___ 4 ) x

, então f(0) , f(1)

c) Se f(x) 5 2x, então f ( 2 1 __ 2 ) . f ( 2 3 __ 2 ) d) A função f(x) 5 52x é crescentee) A função f(x) 5 3

x __ 2 é decrescente

9. (ESPM-SP) O valor de y no sistema:

(0,2)5x 1 y 5 5(0,5)2x 2 y 5 2

é igual a:

a) 2 5 __ 2

b) 2 __ 7

c) 2 2 __ 5

d) 3 __ 5

e) 3 __ 7

10. (UFSM-RS) Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que defi-nem uma relação de igualdade. Dessa forma, dadas as funções f(x) 5 1 _________

(9x 2 1)

e h(x) 5 3x 1 1, para que seus gráficos tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas fun-ções, coincidam. Isso ocorre no ponto:

a) (1, 21)

b) (21, 1)

c) (3, 81)

d) ( 1 __ 3 , 4 ___ 3 ) e) ( 1 __ 3 , 3 3 dXX 3 )

11. (UTFPR) A soma de todas as soluções da equação 22x 1 1 1 2x 1 3

___________________ 3 ? 2x 1 1 1 22 2 1 5 0 é:

a) 0b) 21c) 1

d) [e) 3

12. (Unifesp) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumula-do a cada 2 horas. Daí, se K é o volume da substância no organismo, pode-se

utilizar a função f(t) 5 K ? ( 1 __ 2 ) t __ 2 para estimar a sua eliminação depois de um

tempo t, em horas.Neste caso, o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única dose, é de: a) 12 horas e meia.b) 12 horas.c) 10 horas e meia. d) 8 horas.e) 6 horas.

13. (Unimontes-MG) Se 4x 2 4x 2 1 5 24, então (2x)x é igual a:

a) 5 __ 2

b) 25 dXX 5

c) 5 dXX 5

d) 125


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14. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analoga-mente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H1.Considere as seguintes afirmações: I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações

exponenciais das grandezas envolvidas. II. A concentração de íons H1 de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes

maior que a de uma solução alcalina com pH 8. III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais

energia que outro, de magnitude 3.Está correto o que se afirma somente em:a) Ib) IIc) III

d) I e IIe) I e III

15. (Mackenzie-SP) O pH do sangue humano é calculado por pH 5 log ( 1 __ x ) , sendo

x a molaridade dos íons H3O1. Se essa molaridade for dada por 4,0 ? 1028 e,

adotando-se log 2 5 0,30, o valor desse pH será: a) 7,20b) 4,60c) 6,80

d) 4,80e) 7,40

16. (Fuvest-SP) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tem-po, de acordo com a relação m(t) 5 ca−kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c e k são cons-tantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? a) 10% b) 5%c) 4%

d) 3%e) 2%

17. (Unifesp) A figura refere-se a um sistema cartesiano ortogonal em que os pontos de coordenadas (a, c) e (b, c), com a 5 1 __________ log5 10 , pertencem aos gráficos de y 5 10x e y 5 2x, respectivamente.

x

y y 5 10x

y 5 2x

a

1

c

b

A abscissa b vale:

a) 1

b) 1 ________ log3 2

c) 2

d) 1 ________ log5 2

e) 3

18. (ITA-SP) Analise se a função f: R é R, f(x) 5 3x 2 32x

____________ 2 é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f21.


52

19. (UFF-RJ) Considere o seguinte modelo para o crescimento de determinada população de caramujos em uma região: “A cada dia o número de caramujos

é igual a 3 __ 2 do número de caramujos do dia anterior.”Suponha que a população inicial seja de 1 000 caramujos e que n seja o nú-mero de dias transcorridos a partir do início da contagem dos caramujos. O gráfico que melhor representa a quantidade Q de caramujos presentes na re-gião em função de n é o da opção:

a) d)

b) e)

c)

20. (Uern) O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número in-teiro positivo que pertence ao domínio da função f(x) 5 log3(x

2 2 2x 2 15) é:a) 224b) 215c) 210d) 28

21. (Unicamp-SP) Para certo modelo de computadores produzidos por uma em-presa, o percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte função:

P(T) 5 100 (1 2 2 20,1T )

a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apresentado falhas?

b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função na forma Q(T) 5 100 (1 2 2cT), o percentual de processadores defeituosos

após 10 anos de uso equivale a 1 ___ 4 do valor observado, nesse mesmo perío-

do, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, utilize log2(7) > 2,81.

n0

1 000

1 2 3 4 5 6 7

n0 1 2 3 4 5 6 7

1 000

n0 1 2 3 4 5 6 7

1 000

n0 1 2 3 4 5 6 7

1 000

n0 1 2 3 4 5 6 7

1 000


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22. (UFSCar-SP) Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocor-reu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do ins-tante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pôde ser expressa pela função T(t) 5 2t 1 400 ? 22t, com t em horas, t > 0, e a tempe-ratura em graus Celsius.a) Determine as temperaturas do forno no instante em que ocorreu a falha de

energia elétrica e uma hora depois.b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era

de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação log2 5 5 2,3.)

23. (Unesp) A função f(x) 5 500 ? ( 5 ___ 4 ) x ____ 10 , com x em anos, fornece aproximada-

mente o consumo anual de água no mundo, em km3, em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x 5 0) ao ano 2000 (x 5 100). Determine, utili-zando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900. Use as aproximações log 2 5 0,3 e log 5 5 0,7.

24. (Fatec-SP) Seja a função f: R é R*1

definida por f(x) 5 log10 x 2 log10 ( x3 _____

104 ) . A abscissa do ponto de intersecção do gráfico de f com a reta de equação y 2 2 5 0 é: a) 1027

b) 1023

c) 10

d) 102

e) 104

25. (FGV-SP) Considere o gráfico das funções reais f(x) 5 2 log x e g(x) 5 log 2x, nos seus respectivos domínios de validade. A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que:a) não se interceptam.b) se interceptam em apenas um ponto.c) se interceptam em apenas dois pontos. d) se interceptam em apenas três pontos. e) se interceptam em infinitos pontos.

26. (Fuvest-SP) Tendo em vista as aproximações log102 ù 0,30, log103 ù 0,48, en-tão o maior número inteiro n, satisfazendo 10n ø 12418, é igual a:a) 424b) 437c) 443

d) 451e) 460

27. (FGV-SP) A reta definida por x 5 k, com k real, intersecta os gráficos de

y 5 log5 x e y 5 log5(x 1 4) em pontos de distância 1 __ 2 um do outro. Sendo

k 5 p 1 dXX q , com p e q inteiros, então p 1 q é igual a:a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

28. (Unifesp) Uma das raízes da equação 22x 2 8 ? 2x 1 12 5 0 é x 5 1. A outra raiz é:

a) 1 1 log10 ( 3 __ 2

)

b) 1 1 ( log10 3 _________ log10 2 )

c) log10 3

d) (log10 6)

___________ 2

e) log10 ( 3 __ 2

)


54

Pesquisa estatísticaPopulação é um conjunto formado de pessoas, objetos ou outros elementos que interessam a deter-

minado estudo.Amostra é qualquer subconjunto não vazio de uma população.Variável é qualquer característica observável nos elementos de uma população ou de uma amostra dela.As variáveis são classificadas como:

Noções de estatística e Matemática financeira

Variável

QualitativaA característica observada é uma

qualidade dos elementos.

QuantitativaA característica observada pode

ser expressa numericamente.

DiscretaÉ representada por valores inteiros.

ContínuaPode assumir qualquer valor real.

A frequência absoluta (FA) de uma variável é a quantidade de vezes que essa variável ocorre em uma pesquisa estatística. Já a frequência relativa (FR) de uma variável é a razão entre a quantidade de vezes que essa variável ocorre em uma pesquisa estatística e a quantidade total de resultados observados nessa pesquisa.

Representações gráficasOs gráficos estatísticos são recursos utilizados para representar e organizar os dados de uma pes-

quisa estatística, pois facilitam a visualização e a percepção do comportamento desses dados. Os dados de uma pesquisa podem ser organizados pelos seguintes tipos de gráfico:

Indecisos

Humanas

Biológicas

Exatas

Gráfico de barras horizontaisGráfico de barras horizontais

5 10 15 20 25 30 35 400

Área

Quantidadede alunos

Gráfico de barras verticaisGráfico de barras verticais

Humanas

Biológicas

Exatas

Indecisos

0510152025303540

Área

Quantidadede alunos

Gráfico de linhasGráfico de linhas

Humanas

Biológicas

Exatas

Indecisos

0510152025303540

Área

Quantidadede alunos

Gráfico de setoresGráfico de setores

Biológicas

Exatas

Indecisos

31,25%

25%

Humanas37,5%

6,25%

Esses tipos de gráfico podem ser utilizados tanto para variáveis qualitativas quanto para variáveis quantitativas. Para as variáveis quantitativas, também é possível representar as frequências absolutas e as relativas: o histograma é um gráfico de barras verticais, no qual o eixo das abscissas indica a variável observada e o eixo das ordenadas representa a frequência (absoluta ou relativa) dessa variável.


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Razão e proporçãoA razão entre dois números reais é o quociente entre eles.

Dados os números reais a e b, com b ? 0, a razão entre a e b é o quociente a __ b .

A proporção é uma igualdade entre duas razões.

Considere os números reais a, b, c e d, sendo b ? 0 e d ? 0. Se as razões a __ b e c __

d são iguais, então elas formam uma

proporção: a __ b 5 c __

d .

Proporcionalidade direta Proporcionalidade indireta

Os números reais não nulos a, b, c, d, ... são diretamente proporcionais aos números a’, b’, c’, d’, ... se e somente se:

a ___ a’ 5 b ___

b’ 5 c ___ c’ 5 d ___

d’ 5 ... 5 k

Os números reais não nulos a, b, c, d, ... são inversamente proporcionais aos números a’, b’, c’, d’, ... se e somente se:

a ___ 1 ___ a’

5 b ___ 1 ___ b’

5 c ___ 1 ___ c’

5 d ___ 1 ___ d’

5 ... k , ou seja,

aa’ 5 bb’ 5 cc’ 5 dd’ 5 ... 5 k

Em que k é a constante de proporcionalidade.

PorcentagemPorcentagem, ou taxa percentual, é a razão entre um número real e o número 100.Aumentos e descontos sucessivos. Considere V

i o valor inicial de um produto.

Após um aumento por uma taxa percentual i: Vf 5 (1 1 i) ? ViApós um desconto por uma taxa percentual i: Vf 5 (1 2 i) ? Vi

ExemploUma jaqueta de R$ 120,00 teve um aumento de 10%. No inverno seu preço aumentou 5%. No verão o preço teve um desconto de 15%. Quanto custava a jaqueta no verão?

Solução: Sendo Vf e Vi os valores final e inicial da jaqueta: Vf 5 (1 1 0,10) ? (1 1 0,15) ? (1 2 0,15) ? Vi 5 1,07525 ? Vf 5 1,07525 ? 120 5 129,03

A jaqueta custava R$ 129,03.

Relações comerciais: lucro e prejuízo

Sendo Pc, P

v e L o preço de custo, o preço de venda e o lucro de certa mercadoria, tem-se: L 5 P

v 2 P

c

JurosUma pessoa toma um empréstimo de um capital C por um período de tempo, após o qual ela devolve o capital

C, acrescido de uma remuneração J, para compensar o empréstimo.

Juro simples Juro composto

No regime de capitalização simples (juro simples), o juro gerado em cada período é constante e é igual ao produto do capital pela taxa de juros. Portanto, o valor pago pelos juros em cada período será dado por J 5 C ? i e, assim, o montante M a ser pago após o período total t

do empréstimo é dado por: M 5 C ? (1 1 i ? t)

No regime de juro composto, o juro gerado em cada período é incidente sobre o montante do período anterior. Assim, o montante M a ser pago após o período total t do empréstimo é dado por:

M 5 C ? (1 1 i)t

Em que C é o capital emprestado; t é o período do empréstimo; J são os juros, a remuneração devida pelo empréstimo; M é o valor total devolvido a quem fez o empréstimo, isto é, M 5 C 1 J; i é a taxa de juros aplicada ao capital C – essa taxa determina o valor dos juros J a pagar.


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QuestõesTo

das

as q

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te. A

lgum

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agen

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tão

fora

de

esca

la. 1. (PUC-MG) Um dos indicadores usados para medir a inclusão digital da popu-

lação de um país é o número de hosts, isto é, o número de computadores que estão conectados à internet. A tabela a seguir mostra a evolução do número de hosts, em milhares de unidades, nos três países que lideram o setor de tecnologia da informação na América Latina.

2003 2004 2005 2006 2007

Brasil 2 238 3 163 3 935 5 095 7 422

Argentina 496 742 1 050 1 465 1 837

Colômbia 56 115 325 441 721

De acordo com os dados dessa tabela, os dois desses três países que apresen-taram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no núme-ro de hosts, no período 2003-2007, foram: a) Brasil e Colômbia.b) Argentina e Brasil.c) Colômbia e Argentina.d) Colômbia e Brasil.

2. (UFRGS-RS) A lâmpada incandescente atravessou o século XX, mas, hoje, de-vido à preocupação com o aquecimento global, tende a se apagar. Nos anos 90, houve a expansão dos modelos compactos das lâmpadas fluorescentes; e, em 2008, foi patenteada a lâmpada LED.O quadro abaixo apresenta os gastos estimados, ao longo de cinco anos, com o uso desses três tipos de lâmpadas, para uma casa com vinte lâmpadas.

Incandescente Fluorescente LED

Investimento inicial com lâmpadas

R$ 36,00 R$ 700,00* R$ 1 500,00

Potência média de consumo das lâmpadas

60 W 18 W 8 W

Consumo de energia 6 480 kWh 1 944 kWh 1 080 kWh

Lâmpadas queimadas 110 14 zero

Gasto com energia R$ 2 628,00 R$ 778,00 R$ 348,00

Gasto com lâmpadas R$ 195,00 R$ 140,00 zero

Total R$ 2 859,00 R$ 1 618,00 R$ 1 848,00

*Inclui os reatores.Adaptado de: Veja, 30 dez. 2009.

Com base nessas informações, considere as seguintes afirmações: I. Quarenta lâmpadas incandescentes custam mais que uma lâmpada LED.

II. O consumo de energia de uma lâmpada LED equivale a 1 ___ 6 do consumo de energia de uma lâmpada incandescente.

III. Em média, o tempo que uma lâmpada fluorescente leva para queimar é sete vezes maior que o tempo que uma incandescente leva para queimar.

Quais estão corretas? a) Apenas I d) Apenas I e IIb) Apenas II e) Apenas II e IIIc) Apenas III


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3. (Insper-SP) O gráfico a seguir mostra as vendas bimestrais (V), em unidades monetárias, de um fabricante de sorvetes ao longo de três anos e meio.

V

Bimestre1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Se o bimestre 1 corresponde aos meses de março e abril de 2007, então, no período considerado, o bimestre em que as vendas atingiram seu maior valor corresponde aos meses de:a) janeiro e fevereiro de 2009.b) março e abril de 2009.c) novembro e dezembro de 2009.

d) janeiro e fevereiro de 2010.e) março e abril de 2010.

4. (UFRGS-RS) Muitos brasileiros acessam a internet de banda larga via celular.Abaixo, está indicado, em milhões de pessoas, o número de brasileiros com acesso à internet de banda larga, fixa ou móvel, desde o início do ano de 2007 até março de 2010, segundo dados publicados na imprensa.

Banda larga móvel

Banda larga fixa

2007

0,3

7,7

2008

2,1

10

2009

7

11,4 11,9 11,8

2010 (até março)

Com base nessas informações, é correto afirmar que:a) o número de usuários da internet de banda larga fixa decresceu nesses anos. b) o número de usuários de cada uma das duas bandas largas cresceu igual-

mente nesses anos. c) menos de 4% dos usuários da banda larga usavam a banda larga móvel em

2007. d) o número de usuários da banda larga móvel era 50% do número dos usuá-

rios da banda larga fixa em 2009. e) o número de usuários da banda larga era menor que 23 milhões em março

de 2010.

5. (PUC-MG) A tabela abaixo contém dados divulgados pela Controladoria Geral da União (CGU) sobre o número de processos abertos contra servidores fede-rais no ano de 2007.

Razão da abertura do processo Número de servidores

Uso do cargo público em benefício próprio 779

Improbidade administrativa 474

Abandono de cargo 242

Recebimento de propina (suborno) 141

Desvio de dinheiro público 140

Total 1 776

Com base nesses dados, é correto afirmar que a porcentagem de processos abertos devido ao uso do cargo público em benefício próprio, em relação ao total, é aproximadamente igual a: a) 38% b) 44% c) 56% d) 62%


58

6. (UFPR) O gráfico de setores a seguir ilustra como a massa de um homem de 80 kg está distribuída entre músculos, gordura, ossos e outros.

O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, res-ponda às perguntas:a) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui?b) Juntos, gordura e ossos representam que percentual da massa desse homem?

7. (Unesp) O gráfico representa o consumo mensal de água em uma determinada residência no período de um ano. As tarifas de água para essa residência são dadas a seguir.

Met

ros

cúbi

cos

de á

gua

Meses

Consumo em metros cúbicos

10

0

20

30

3740

Dez

06

38Ja

n 0

7

18

Fev

07

34

Mar

07

33

Abr

07

32

Mai

o 0

7

28

Jun

07

26

Jul 0

7

30

Ago

07

29

Set

07

32

Out

07

30

Nov

07

Faixa ƒ ( m 3 ) Tarifa (R$)

0 < ƒ < 10 0,50

10 , ƒ < 20 1,00

20 , ƒ < 30 1,50

30 , ƒ < 40 2,00

Assim, por exemplo, o gasto no mês de março, que corresponde ao consumo de 34 m3, em reais, é: 10 ? 0,50 1 10 ? 1,00 1 10 ? 1,50 1 4 ? 2,00 5 38,00Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo. Note que nos me-ses de janeiro e fevereiro, juntos, foram consumidos 56 m3 de água e para pagar essas duas contas foram gastos X reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto, juntos, mas para pagar essas duas contas foram gastos Y reais. Determine a diferença X 2 Y.

8. (ESPM-SP) A composição de uma certa população, por faixa etária, é verifi-cada na tabela abaixo:

Crianças (0 a 14 anos)

Jovens (15 a 24 anos)

Adultos (25 a 60 anos)

Idosos (1 de 60 anos)

32% 24% 38% 6%

Num gráfico de setores, o ângulo central correspondente à população de jo-vens medirá, aproximadamente, a) 868

b) 548

c) 788

d) 678

e) 948

GorduraMúsculos

Outros

Ossos

638

728

1358


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9. (FGV-SP) Uma empresa desconta do salário anual de seus funcionários certa porcentagem para um plano de previdência privada. O desconto é de p% so-bre R$ 28 000,00 de renda anual, mais (p 1 2)% sobre o montante anual do salário que excede R$ 28 000,00. João teve desconto total de (p 1 0,25)% do seu salário anual para o plano de previdência privada. O salário anual de João, em reais, sem o desconto do pla-no de previdência é:a) R$ 28 000,00b) R$ 32 000,00c) R$ 35 000,00

d) R$ 42 000,00e) R$ 56 000,00

10. (Furb-SC) A tabela abaixo fornece dados sobre o número total de veículos em-placados circulando na cidade de Florianópolis no período de 2002 a 2011.

Frota de veículos na cidade de Florianópolis

Ano Total de veículos

2002 159 423

2003 178 339

2004 186 422

2005 196 768

2006 208 842

2007 223 442

2008 237 992

2009 254 942

2010 270 463

2011 281 116

Fonte: Detran-SC.

Segundo dados do IBGE, a população de Florianópolis em 2007 era de 396 723 habitantes, enquanto que em 2010 era de 421 203 habitantes. Com base nessas informações, analise as seguintes afirmações: I. O crescimento médio do número de veículos de 2003 a 2011 foi de

21 977,49.

II. O maior crescimento percentual na frota de veículos aconteceu no ano de 2002 para o ano de 2003.

III. Considerando os dados do IBGE e do Detran-SC, conclui-se que a taxa per-centual de crescimento do número de veículos em Florianópolis seja aproxi-madamente 3,4 maior que a taxa de crescimento de habitantes da cidade.

Assinale a alternativa correta.a) Apenas I e II estão corretas.b) Apenas II e III estão corretas.c) Apenas a afirmação III está correta.d) Todas as afirmações estão corretas.

11. (Ufam) Duas irmãs, Júlia e Beatriz, têm uma conta poupança conjunta. Do total do saldo, Júlia tem 60% e Beatriz 40%. A mãe das meninas recebeu uma quantia extra em dinheiro e resolveu realizar um depósito exatamente igual ao saldo da caderneta. Por uma questão de justiça, a mãe disse às meninas que o depósito será dividido igualmente entre as duas. Nessas condições, a participação de Beatriz no novo saldo:a) aumentou para 50%.b) aumentou para 45%.c) permaneceu 40%.

d) diminuiu para 35%.e) diminuiu para 30%.


60

12. (UCB-DF) Um automóvel, quando novo, tem seu preço fixado em R$ 28 000,00. Segundo pesquisas de mercado, esse automóvel sofre uma desvalorização média de 5% ao ano ao longo de sua vida útil. Em relação ao valor desse automóvel, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.a) O valor do automóvel, após um ano de uso, será igual a R$ 1 400,00.b) Após dois anos de uso, o valor do automóvel será reduzido em dez por cen-

to em relação ao inicial.c) Os valores do automóvel, a cada ano de sua vida útil, constituem termos

consecutivos de uma progressão aritmética.d) Após três anos de uso, o valor do automóvel ainda será maior que

R$ 24 000,00.e) Com esse índice de desvalorização, o preço do automóvel jamais será re-

duzido a menos de R$ 1,00.

13. (Furb-SC)

Confaz reajusta preços – “A partir do dia 16 de abril o consumidor vai pagar mais caro pelo combustível. O Conselho Nacional de Política Fazendária, o Confaz, reajustou a planilha de preços. (...) O valor pre-visto para a gasolina é de R$ 2,86. Já para o álcool é de R$ 1,98; o diesel R$ 2,23. A maior alteração no valor foi no querosene para avião (QVA) que passa de R$ 2,03 para R$ 2,42 o litro.”Extraído de <http://www.reportermt.com.br/?p=direto_ao_ponto&id=7594>. Acesso em: 25 abr. 2011.

Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. I. Os R$ 0,39 a mais cobrados pelo litro do QVA representam um aumento superior

a 20% em relação ao preço anterior desse combustível. II. 1 m 3 de diesel custará R$ 250,00 a mais que 1 m 3 de álcool. III. 20 litros de gasolina custarão 13% a mais que 20 litros de álcool.Assinale a alternativa correta.a) I e II estão corretas.b) I e III estão corretas.c) Apenas a II está correta.d) Apenas a III está correta.

14. (Insper-SP) O preço de um produto na loja A é 20% maior do que na loja B, que ainda oferece 10% de desconto para pagamento à vista. Sérgio deseja comprar esse produto pagando à vista. Nesse caso, para que seja indiferente para ele optar pela loja A ou pela B, o desconto oferecido pela loja A para pagamento à vista deverá ser de:a) 10%b) 15%c) 20%d) 25%e) 30%

15. (FGV-SP) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.Podemos concluir que o número de alunos da escola é:a) 1 000b) 1 050c) 1 100d) 1 150e) 1 200


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16. (PUC-SP) Em março de 2011, a garrafa de 500 mL de suco de bujurandu cus-tava R$ 5,00. Em abril, o valor subiu 10% e, em maio, caiu 10%. Qual o preço da garrafa em junho?a) R$ 4,50b) R$ 4,95c) R$ 5,00d) R$ 5,50e) R$ 6,00

17. (PUC-RJ) Em abril, João ganhava R$ 2 000,00 por mês. Em maio, ele ganhou um reajuste de 2% no salário e, em junho, foi promovido e ganhou um aumen-to de 8%. Qual o salário de João em julho?

a) R$ 2 010,00

b) R$ 2 203,20

c) R$ 3 127,00

d) R$ 2 200,00

e) R$ 2 183,40

18. (UFMG) O preço de venda de determinado produto tem a seguinte compo-sição: 60% referentes ao custo, 10% referentes ao lucro e 30% referentes a impostos.Em decorrência da crise econômica, houve um aumento de 10% no custo des-se produto, porém, ao mesmo tempo, ocorreu uma redução de 20% no valor dos impostos. Para aumentar as vendas do produto, o fabricante decidiu, en-tão, reduzir seu lucro à metade.É correto afirmar, portanto, que, depois de todas essas alterações, o preço do produto sofreu redução de:

a) 5%

b) 10%

c) 11%

d) 19%

19. (UEL-PR) Um comerciante pagou R$ 600,00 por 150 caixas de um produto. Em qual intervalo de valores deverá ser escolhido o valor V, de venda de cada caixa, para que o comerciante tenha um lucro entre R$ 150,00 e R$ 300,00? a) R$ 3,00 , V , R$ 4,50b) R$ 4,00 , V , R$ 5,00c) R$ 4,00 , V , R$ 4,50d) R$ 5,00 , V , R$ 6,00e) R$ 6,00 , V , R$ 7,00

20. (UFMG) No início de cada ano escolar, a livraria Futura compra e vende livros

didáticos usados. Para tanto, cada livro usado é comprado por 1 ___ 4 do valor de

capa do mesmo livro novo e vendido por 1 __ 3 do valor do livro novo.

a) Determine o lucro obtido pela livraria Futura nesse processo de compra e venda de um livro usado de Matemática do 6o ano, que, novo, custa R$ 90,00.

b) Considerando esse processo de compra e venda de um livro usado qual-quer, determine o lucro percentual, referente ao preço do mesmo livro, novo, obtido pela livraria Futura.

c) Se quiser passar a lucrar 10% do valor de um livro novo, então, a livraria

Futura deve substituir a fração 1 ___ 4 por um número a. Determine o valor de a.


62

21. (FGV-SP) Numa loja, os preços dos produtos expostos na vitrine incluem um acréscimo de 50% sobre o preço de custo. Durante uma liquidação, o lojista decidiu vender os produtos com um lucro real de 20% sobre os preços de custo.

a) Calcule o desconto que ele deve dar sobre os preços da vitrine.b) Quando não há liquidação, sua venda é a prazo, com um único pagamen-

to após dois meses e uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Nessa condição, qual será a porcentagem do lucro sobre o preço de custo?

22. (Unicamp-SP) O valor presente VP de uma parcela de um financiamento, a ser

paga daqui a n meses, é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percentual mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da parcela.

Vp 5

p _______________

h1 1 r ______ 100 j n

a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria V

p supondo uma taxa de ju-

ros de 1% ao mês.b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas

iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercado-ria Vp e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.

23. (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação financeira, comprando um título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi: a) R$ 1 000,00b) R$ 1 009,09c) R$ 900,00d) R$ 909,09e) R$ 800,00

24. (Fuvest-SP) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50 000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10 000,00 de Edson e R$ 10 000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de: a) R$ 400,00b) R$ 500,00c) R$ 600,00d) R$ 700,00e) R$ 800,00

25. (FGV-SP) A caderneta de poupança teve rendimento de 0,68% e 0,54% nos meses de janeiro e fevereiro de 2009, respectivamente. Um índice de preços ao consumidor, nesses mesmos meses, foi de 0,46% e 0,27%, respectivamen-te. Ao final de fevereiro de 2009, o ganho real de uma aplicação em caderne-ta de poupança (ganho da poupança descontando-se a inflação medida pelo índice de preços ao consumidor) acumulado desde janeiro de 2009 foi de: a) (100,68 ? 1,0054 2 100,46 ? 1,0027)%b) (100,68 ? 100,54 2 100,46 ? 100,27)%c) (1,0068 ? 1,0054 2 1,0046 ? 1,0027)%d) (0,0068 ? 0,0054 2 0,0046 ? 0,0027)%e) (0,68 ? 0,54 2 0,46 ? 0,27)%


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26. (UFMG) Um banco oferece dois planos para pagamento de um empréstimo de R$ 10 000,00, em prestações mensais iguais e com a mesma taxa mensal de juros: no plano 1, o período é de 12 meses; no plano 2, o período é de 24 meses.

Contudo a prestação de um desses planos é 80% maior que a prestação do outro.a) Considerando essas informações, determine em qual dos dois planos – pla-

no 1 ou plano 2 – o valor da prestação é maior.b) Suponha que R$ 10 000,00 são investidos a uma taxa de capitalização

mensal igual à taxa mensal de juros oferecida pelo mesmo banco. Calcule o saldo da aplicação desse valor ao final de 12 meses.

27. (UFBA) Um indivíduo aplicou um capital por três períodos consecutivos de um ano. No primeiro ano, ele investiu em uma instituição financeira que remunerou seu capital a uma taxa anual de 20%, obtendo um montante de R$ 3 024,00. Em cada um dos anos seguintes, ele buscou a instituição finan-ceira que oferecesse as melhores condições para investir o montante obtido no ano anterior.Com base nessas informações, pode-se afirmar que:[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. o capital aplicado inicialmente foi de R$ 2 520,00.02. os montantes obtidos ao final de cada período de um ano formam uma

progressão geométrica se, e somente se, as taxas de juros anuais dos dois últimos anos forem iguais.

04. se, em comparação com o primeiro ano, a taxa anual de juros do segun-do ano foi o dobro, então o rendimento anual também dobrou.

08. se a taxa de juros anual dos dois últimos anos foi igual a 30%, o capital acumulado ao final do terceiro ano foi de R$ 5 110,56.

16. supondo-se que as taxas de juros anuais para o segundo e terceiro anos foram, respectivamente, de 30% e 10%, o montante, ao final do terceiro ano, seria o mesmo se, nos dois últimos anos, a taxa de juros anual fosse constante e igual a 20%.

28. (EPCAr-MG) Dois capitais a e b, a . b, cuja diferença entre eles é igual aos 2 __ 3 de 3 __ 5 de 1 ___ 8 de R$ 4 000,00, foram aplicados às taxas de juros simples de:

20% ao ano, o capital maior; 30% ao ano, o capital menor.

Após 257 dias de aplicação, o investidor solicitou resgate do maior valor apli-cado e mais os juros das duas aplicações que naquela data representavam valores iguais. Sabendo-se que o ano comercial possui 360 dias e que em qualquer dia do ano que o investidor resgatasse as aplicações ele receberia o rendimento proporcional ao tempo de aplicação, é correto afirmar que:a) o valor total aplicado é menor que R$ 900,00.b) se os dois capitais só fossem resgatados ao final do primeiro ano, eles teriam

rendido, juntos, 1 __ 4 de seu valor.c) o capital menor corresponde a 60% do capital maior.d) após o resgate do maior valor aplicado e dos juros das duas aplicações, se

for mantida a aplicação do capital menor, à mesma taxa, após meio ano, ele renderá um valor correspondente a 10% do capital maior.

29. (UFMG) No período de um ano, certa aplicação financeira obteve um rendi-mento de 26%. No mesmo período, porém, ocorreu uma inflação de 20%.Então, é correto afirmar que o rendimento efetivo da referida aplicação foi de:a) 3%b) 5%c) 5,2%d) 6%


64

SequênciaUma sequência finita é uma função cujo domínio é o conjunto numérico {1, 2, 3, ..., n} e cujo con-

tradomínio é o conjunto dos números reais.Uma sequência infinita é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais positivos e

cujo contradomínio é o conjunto dos números reais.Indica-se uma sequência f pelas imagens obtidas quando f é aplicada aos elementos do domínio. As-

sim, em vez de indicar os pares de valores {(1, a1); (2, a

2); … (n, a

n), … } associados por f, indicam-se

apenas as imagens obtidas pela aplicação de f: (a1, a

2, a

3, ..., a

n, ...). Os elementos a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ... são

os termos da sequência.

Sequência numérica

Uma sequência numérica pode ser determinada por Exemplo

I. Uma fórmula de recorrênciaa1 5 2 e a

n 5 a

n – 1 1 n, n [ N*

Nesse caso, a sequência é: (2, 4, 7, 11, 16, ...)

II. Uma propriedade dos seus termosSequência dos números ímpares.Nesse caso, a sequência é: (1, 3, 5, 7, 9, ...)

III.Uma fórmula que expressa cada termo em função de sua posição na sequência

Sequência infinita cujos termos são dados por an 5 n2 2 1.

Nesse caso, a sequência é: (0, 3, 8, 15, 24, …)

Progressão AritméticaProgressão Aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é

obtido pela soma do termo anterior a um valor constante, a razão da P.A.

Em uma P.A. de razão r, tem-se: an 5 a

n 2 1 1 r , n . 1. Essa P.A. pode ser classificada de acordo

com o valor de r.

Classificação Exemplos

Crescente, quando a razão é positiva (r > 0).(2, 5, 8, 11, 14, ...)

(27, 25, 23, 21, 1, 3, ...)

Decrescente, quando a razão é negativa (r , 0).(6, 2, 22, 26, 210, ...)

(2 dXX 2 , 22 dXX 2 , 23 dXX 2 , 24 dXX 2 , ...)

Constante, quando a razão é nula (r 5 0).(7, 7, 7, 7, 7, ...)

(2p, 2p, 2p, 2p, …)

Fórmula do termo geral de uma P.A.O termo geral da P.A. (a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...), de razão r, é dado por:

an 5 a

1 1 (n 2 1) ? r

Como consequência, para se obter um termo qualquer an a partir de um termo de ordem p, isto é, a

p,

pode-se utilizar a fórmula an 5 a

p 1 (n 2 p) ? r , em que n [ N* e p [ N*.

Interpolação aritméticaInterpolar ou inserir k meios (ou termos) aritméticos entre dois números x e y conhecidos significa

determinar uma P.A. com k 1 2 elementos, em que a1 5 x e a

n 5 y. Para isso, deve-se determinar a ra-

zão r da P.A., a partir da fórmula do termo geral:

an 5 a

1 1 (n 2 1) ? r ä y 5 x 1 (k 1 2 2 1) ? r

Progressões


65

Pro

gres

sões

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.Dada uma P.A. (a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...), a soma S

n de seus n primeiros termos, isto é, a

1 1 a

2 1 a

3 1 ... a

n, é dada

por: Sn 5

n ? (a1 1 a

n) __________

2

Progressão GeométricaProgressão Geométrica (P.G.) é uma sequência numérica não nula, em que cada termo, a partir do segundo, é

obtido pelo produto entre o termo anterior e uma constante, a razão da P.G.

Em uma P.G. de razão q, tem-se: an 5 a

n 2 1 ? q , n > 1. Para que essa sequência não seja nula, a

1 deve ser sem-

pre diferente de 0. Essa P.G. pode ser classificada de acordo com o valor de q.

Classificação Exemplos

Crescente, quando o primeiro termo é positivo e a razão é maior do que 1 (a1 . 0 e q . 1) ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é positiva e menor do que 1 (a1 , 0 e 0 , q , 1).

(2, 6, 18, ...)

(26, 23, 2 3

__ 2 , …)

Decrescente, quando o primeiro termo é positivo e a razão é positiva e menor do que 1 (a1 . 0 e 0 , q , 1) ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é maior do que 1 (a1 , 0 e q . 1).

(16, 8, 4, …)(21, 24, 216, …)

Constante, quando a razão é igual a 1 (q 5 1).( dXX 7 , dXX 7 , dXX 7 , ...)

(25, 25, 25, 25, ...)

Estacionária, quando a razão é igual a zero (q 5 0).(43, 0, 0, 0, ...)

(2 dXX 5 , 0, 0, 0, ...)

Alternada, quando a razão é negativa (q , 0).(3, 212, 48, 2192, ...)

(p, 2p, p, 2p, …)

Fórmula do termo geral de uma P.G.O termo geral da P.G. (a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...), de razão q, é dado por:

an 5 a

1 ? qn 2 1

Como consequência, para se obter um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p, isto é, a

p, pode-se

utilizar a fórmula an 5 a

p ? qn 2 p , em que n [ N* e p [ N*.

Interpolação geométricaInterpolar ou inserir k termos geométricos entre dois números x e y conhecidos significa determinar uma P.G.

com k 1 2 elementos, em que a1 5 x e a

n 5 y. Para isso, deve-se determinar a razão q da P.G., a partir da fórmula

do termo geral:a

n 5 a

1 ? qn 2 1 ä y 5 x ? qk 1 2 2 1

Soma dos n primeiros termos de uma P.G.Sejam (a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...) uma P.G. de razão q e S

n a soma de seus n primeiros termos.

� Se a P.G. for constante (q Þ 1), então: Sn 5 n ? a

1

� Se a P.G. não for constante (q Þ 1), então: Sn 5

a1 ? (qn 21)

__________ q 2 1

Soma dos termos de uma P.G. infinitaSe uma P.G. infinita tem o primeiro termo a

1 e sua razão q satisfaz a condição 21 , q , 1, então a soma S dos

infinitos termos dessa P.G. é dada por: S 5 a

1 _____ 1 2 q


66

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

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rova

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zem

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te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (Uece) Se a sequência de números reais (x

n) é definida por

xn 5

0, se n 5 11, se n 5 2x

n 2 2 1 xn 2 1, se n > 3

, então a raiz quadrada positiva de x13 é igual a:

a) 10 c) 12b) 11 d) 13

2. (UPE) Sandra iniciou uma sequência de figuras formadas por quadrados nas cores branco e cinza, sendo todos iguais. A seguir, temos as três primeiras figuras.

Dando continuidade à montagem de figuras com esse mesmo padrão, quantos quadrados brancos serão necessários para Sandra construir a décima figura?a) 792 d) 804b) 796 e) 896c) 800

3. (Unifesp) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. É conveniente defi-nir 1 como o primeiro número triangular.Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

1 3 6 10

Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 5 1, T2 5 3, T3 5 6,

T4 5 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relação T

n 5 T

n 2 1 1 n, para n 5 2, 3, 4, ..., pode-se deduzir que T100 é igual a:a) 5 050b) 4 950c) 2 187d) 1 458e) 729

4. (Unifesp) Uma pessoa resolveu fazer sua caminhada matinal passando a per-correr, a cada dia, 100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar o 21o dia de caminhada, observou ter percorrido, nesse dia, 6 000 metros. A distância total percorrida nos 21 dias foi de: a) 125 500 mb) 105 000 mc) 90 000 md) 87 500 me) 80 000 m

Figura 1

Figura 2

Figura 3


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5. (Unicamp-SP) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladri-lhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico.

1a camada cinza

1a camada branca

2a camada cinza

2a camada branca

3a camada cinza

Observando a figura, podemos concluir que a 10a camada de ladrilhos cinza contém:a) 76 ladrilhos c) 112 ladrilhosb) 156 ladrilhos d) 148 ladrilhos

6. (Mackenzie-SP) A média aritmética de 20 números em progressão aritmética é 40. Retirados o primeiro e o último termos da progressão, a média aritmé-tica dos restantes será:a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

7. (Uerj) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37.Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética.Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o nú-mero máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:a) 6 b) 7 c) 9 d) 12

8. (Unifor-CE) Para a confecção de uma árvore de Natal estilizada, utilizou-se uma prancha de madeira, em forma triangular, onde foram encaixadas lâmpa-das enfileiradas conforme esquematizado na figura abaixo.

1a fila 5 1 lâmpada

2a fila 5 2 lâmpadas



35a fila 5 35 lâmpadas (fim)- - - -

-------

A quantidade de lâmpadas utilizadas para a confecção desta árvore foi:a) 200 b) 460 c) 560 d) 630 e) 700


68

9. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvi-mento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resga-tam essa história.

Fragmento do papiro de Rhind.

Nesse papiro encontramos o seguinte problema:

Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.

Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de:

a) 115 _____ 3 pães d) 65 ____ 6 pães

b) 55 ____ 6 pães e) 35 pães

c) 20 pães

10. (PUC-Campinas-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) de um adulto é uma medida utilizada para verificar se uma pessoa está ou não com o peso consi-derado saudável. Ele é obtido dividindo-se o peso da pessoa, em quilogramas, pelo quadrado de sua altura, em metros. A tabela abaixo é utilizada pela Organização Mundial de Saúde.

IMC Avaliação

abaixo de 18,5 abaixo do peso normal

18,5 a 24,99 peso normal

25 a 29,99 acima do peso

Adaptado de <www.calculoimc.com.br>.

Um homem de 1,7 m de altura estava com sobrepeso e resolveu fazer a dieta de carboidratos. Curiosamente, seu peso foi diminuindo de maneira unifor-me: 300 g ao fim de cada semana de dieta. Se, ao iniciá-la, ele pesava 84 kg, o número de semanas que ele levou para alcançar a faixa de IMC de peso nor-mal foi:a) 37 d) 40b) 38 e) 41c) 39

11. (Ifal) Em uma caixa há 1 000 bolinhas de gude. Retiram-se 15 bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira e assim, sucessivamente, na mes-ma razão. Após a 15a retirada, o número de bolinhas que sobrará na caixa é:a) 250b) 200

c) 300d) 500

e) 750

Alb

um/a

kg-im

ages

/VIS

IOA

RS

/Lat

inst

ock


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12. (ITA-SP) A progressão geométrica infinita (a1, a2, ..., an, ...) tem razão r , 0. Sabe-

-se que a progressão infinita (a1, a6, ..., a5n 1 1, ...) tem soma 8 e a progressão infinita (a5, a10, ..., a5n

, ...) tem soma 2. Determine a soma da progressão infinita (a1, a2, ..., an

, ...).

13. (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos par-ticipantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas no-vos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, au-mentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos

associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros?

14. (Unesp) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar men-salmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atin-gisse R$ 2 048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21o aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 5 1 024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de:a) 42 947,50b) 49 142,00c) 57 330,00d) 85 995,00e) 114 660,00

15. (Fuvest-SP) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 1 3, a2 2 3, a3 2 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 . 0 e a2 5 2, conclui-se que r é igual a:

a) 3 1 dXX 3

b) 3 1 dXX 3 ____ 2

c) 3 1 dXX 3 ____ 4

d) 3 2 dXX 3 ____ 2

e) 3 2 dXX 3

16. (PUC-MG) Os números inteiros não nulos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c, nessa ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de x é:

a) 13 ____ 5 c) 15

b) 17 ____ 5 d) 25

17. (Unimontes-MG) Em uma progressão aritmética, a soma do primeiro termo com o quarto é 16, e a soma do terceiro com o quinto é 22. O primeiro termo dessa progressão é:a) 4 c) 5b) 3 d) 2


70

Trigonometria no triângulo retângulo

Razões trigonométricas no triângulo retânguloConsidera-se um triângulo retângulo ABC, com ângulo agudo de medida a.As razões mostradas abaixo são definições e recebem os nomes de seno de

a, cosseno de a e tangente de a.

sen a 5 cateto oposto a a ______________

hipotenusa 5 a __

c

cos a 5 cateto adjacente a a _________________

hipotenusa

5 b __ c

tan a 5 cateto oposto a a _________________

cateto adjacente a a 5 a __

b

A tangente de um ângulo também pode ser obtida pela razão entre o seno e o cosseno desse ângulo.

Assim: tan a 5 sen a _____ cos a

Relações entre seno e cosseno de ângulos complementaresNo triângulo ABC, mostrado acima, tem-se a 1 b 5 90°, isto é, a e b são as medidas de ângulos

complementares. De acordo com as definições dadas, pode-se deduzir que, quando dois ângulos são complementares, têm-se:

� o seno de um é igual ao cosseno do outro: sen a 5 cos b 5 cos (90° 2 a)

� a tangente de um é o inverso da tangente do outro: tan a 5 1 _____ tan b

5 1 ____________ tan (90° 2 a)

Ângulos de 30°, 45° e 60°

Medida a do ângulo308 458 608

sen a 1 __ 2 dXX 2 ____ 2

dXX 3 ____ 2

cos a dXX 3 ____ 2

dXX 2 ____ 2 1 __ 2

tan a dXX 3 ____ 3 1 dXX 3

Razões trigonométricas em um triângulo qualquer

Lei dos senosConsiderando um triângulo qualquer, tem-se o seguinte teorema.A razão entre a medida de qualquer lado e o seno do ângulo oposto é igual ao

diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

a _____ sen a

5 b _____ sen b

5 c _____ sen g

5 2r

Lei dos cossenosConsiderando um triângulo qualquer, tem-se o seguinte teorema:O quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das

medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

a2 5 b2 1 c2 2 2 ? b ? c ? cos a

A

B

C

ca

a

b

b

c r

a

a

g b

b

C B

A

O

c

a

a

b

C B

A


71

Trig

onom

etri

a no

tri

ângu

lo r

etân

gulo

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (UEA-AM) Pretende-se obter a altura aproximada de uma árvore.

27 m

30°

h

Com base nos dados apresentados na figura, podemos afirmar que a altura h da árvore, em metros, é:

a) 27 ____ 2

b) 9 dXX 3

c) 27 dXX 3 _______ 2

d) 27 dXX 2

e) 27 dXX 3

2. (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

3°Ponto departida

Topo darampa

30 m

Use a aproximação sen 38 5 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ci-clista levou para percorrer completamente a rampa é:a) 2,5b) 7,5c) 10d) 15e) 30

3. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, tem-se AC 5 3, AB 5 4 e CB 5 6.

C D B

A

O valor de CD é:

a) 17 ____ 12

b) 19 ____ 12

c) 23 ____ 12

d) 25 ____ 12

e) 29 ____ 12


72

4. (PUC-Campinas-SP) O Farol de Alexandria, uma das sete maravilhas do Mun-do Antigo, foi destruído por um terremoto em 1375. Segundo descrições feitas no século X, tinha cerca de 120 m de altura e sua luz podia ser vista à noite a mais de 50 km de distância. Suponha que, na figura abaixo, N1 e N2 re-presentam as posições de dois navios que se encontram, em dado momento, alinhados com o ponto P, centro da base de certo farol.

120 m

PN1

N2

T

Se as respectivas distâncias de N1 e N2 ao topo do farol, localizado no ponto T, fossem 200 m e 150 m, então a distância de N1 e N2, em metros, seria igual a:a) 70 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90

5. (Fatec-SP) No sistema cartesiano ortogonal xOy, considere a circunfe-rência de centro O e pontos A(2, 0) e Q( dXX 3 , 0). Sabendo-se que P é um ponto dessa circunferência e que a reta

‹

____

› AT é tan-

gente à circunferência no ponto A, tal que

‹

____ › AT é paralela a

‹

_____

› PQ , então a me-

dida do segmento XXX AT é:

a) 2 dXX 3 ______ 3 d) 5 dXX 3 ______ 3

b) dXX 3 e) 2 dXX 3

c) 4 dXX 3 ______ 3

6. (PUC-GO) Suponha hipoteticamente que um Zepelim passou em São José de Coroa Grande e que Leléu teve a oportunidade de observá-lo de uma certa distância. Tal momento, histórico para a cidade, pode ser representado pela seguinte figura, onde o ponto A é a posição do Zepelim e B a linha de visada de Leléu.

1 Km

B C

A

Com base na figura acima e sabendo-se que o ângulo de elevação da linha visa-da (ângulo) é de 308, pode-se afirmar que a distância de Leléu ao Zepelim é de:a) 2 km b) 1 km c) 3 km d) dXX 2 km

y

xO

P T

Q A


73

Trig

onom

etri

a no

tri

ângu

lo r

etân

gulo

7. (UEPG-PR) Um observador, em posições diferentes, mede duas vezes o ângu-lo sob o qual ele observa o ponto mais alto de um prédio, encontrando 308 e 608. Entre uma medida e outra, ele caminha 20 metros em direção ao prédio.Com relação à altura do prédio, desprezando a altura do observador, assinale a alternativa correta.a) Está entre 14 e 16 metros.b) Está entre 15 e 18 metros.c) É maior que 20 metros.

d) É menor que 15 metros.e) Está entre 10 e 12 metros.

8. (Unifor-CE) Ao se mover, a partir da vertical, um pêndulo de 100 cm de com-primento forma um ângulo de 60° com a vertical [...].

60°

Quantos centímetros sobe a extremidade inferior do pêndulo? (sen 60° 5 dXX 3 ____ 2 ,

cos 60° 5 1 __ 2 , tg 60° 5 dXX 3 )

a) 35 b) 50 c) 60 d) 75 e) 80

9. (Fuvest-SP) No triângulo ABC da figura, a mediana XXX AM , relativa ao lado XXX BC , é perpendicular ao lado XXX AB . Sabe-se também que BC 5 4 e AM 5 1.

B

A

C

M

Se a é a medida do ângulo A

B C, determine:a) sen a.b) o comprimento AC.c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado XXX AB .d) a área do triângulo AMC.

10. (Fuvest-SP) Na figura, tem-se XXX AE paralelo a XXX CD , XXX BC paralelo a XXX DE , AE 5 2, a 5 458, b 5 758.

a

b

A B

C

D

E

Nessas condições, a distância do ponto E ao segmento XXX AB é igual a:

a) dXX 3 c) dXX 3 ____ 2 e)

dXX 2 ____ 4

b) dXX 2 d) dXX 2 ____ 2

11. (Fuvest-SP) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma P.A. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo

A

mede 1208, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125


74

Medida de arcos e ângulosDois pontos distintos de uma circunferência determinam nela dois arcos de cir-

cunferência. Na circunferência de centro O representada ao lado, os pontos A e B determinam dois arcos: um arco AB menor (destacado em vermelho) e um arco AB maior (destacado em azul).

Quando um arco AB é mencionado, sem citar se é o maior ou o menor arco, con-sidera-se o menor dos arcos o compreendido entre A e B. Assim, na figura ao lado, o arco AB é o indicado em vermelho. A esse arco associa-se um ângulo central A

O B.

Medida angularEssa medida é associada à abertura do arco e é igual à medida do ângulo central correspondente ao

arco. Possíveis unidades: grau e radiano.

Grau: dividindo uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes representa um arco de medida angular 1 grau (1°).

ABO

1 grau

Radiano: determinando um arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém, esse arco tem medida angular 1 radiano (1 rad).

A

BO

r

r

r

1 rad

Relação entre grau e radianoSe x é a medida angular de um arco em grau e a é a medida angular desse mesmo arco em radiano,

então a relação entre essas medidas é dada por:

x ____ 180

5 a __ p

Circunferência trigonométricaCircunferência trigonométrica é a circunferência de raio unitário (r 5 1), cujo centro é a origem

(0, 0) do plano cartesiano.Dada uma circunferência trigonométrica, os eixos cartesianos do plano dividem essa circunferência

em quatro quadrantes. A seguir tem-se a divisão de uma circunferência trigonométrica em quadrantes e as respectivas medidas dos arcos em grau e em radiano.

08

3608

908

1808

2708

x

y

1o quadrante2o quadrante

3o quadrante 4o quadrante

0x

y



2p

p2

p

3p2

Em grau Em radiano

A

BO

Circunferência trigonométrica


75

Cir

cunf

erên

cia

trig

onom

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ca

A representação de um arco na circunferência trigonométrica é feita a par-tir do ponto A(1, 0) e sua medida é positiva no sentido anti-horário e negati-va no sentido horário.

Relações trigonométricas

Seno de um arcoSeno de um arco na circunferência trigonométrica é a ordenada do ponto que é ex-

tremidade desse arco.Denota-se o seno de um arco de medida a por sen a.A seguir têm-se as representações de alguns arcos em circunferências trigonométri-

cas e de seus senos. Nota-se que há arcos distintos com senos iguais.

x

y

3p4

5p4

7p4

p4

22

22

2

x

y

5p6

7p6

11p6

p6

12

122

x

y2p3

4p3

5p3

p3

3

23

2

2

Cosseno de um arcoCosseno de um arco na circunferência trigonométrica é a abscissa do ponto que é

extremidade desse arco.Denota-se o cosseno de um arco de medida a por cos a.A seguir têm-se as representações de alguns arcos em circunferências trigonométri-

cas e de seus cossenos. Nota-se que há arcos distintos com cossenos iguais.

x

y

3p4

5p4

p4

22

222

7p4

x

y

322

32

5p6

p6

7p6

11p6

x

y

12

12

2

p3

2p3

5p3

4p3

Tangente de um arcoTangente de um arco na circunferência trigonométrica é a ordenada do ponto de

intersecção do eixo das tangentes com a reta que passa pelo centro da circunferência e pela extremidade desse arco.

Denota-se a tangente de um arco de medida a por tan a.

Outras relações trigonométricasSendo a a medida de um ângulo, têm-se as seguintes relações.

Relação fundamental Secante Cossecante Cotangente

sen2 a 1 cos2 a 5 1 sec a 5 1 ________ cos a csc a 5 1 ________ sen a cot a 5 cos a

________ sen a

Das relações apresentadas decorrem-se mais algumas relações trigonométricas.

1 1 tan2 a 5 sec2 a 1 1 cot2 a 5 csc2 a cot a 5 1 _____ tan a

x

y

BP

P(0, sen a)

r 5 1sen a a

A(1, 0)

x

y

A

B

P

P(cos a, 0)

cos a

ar 5 1

(1, 0)

x

y

A

B

P(1, tan a)

tan aa

(1, 0)

x

y



A(1, 0)

B(0, 1)

D

Cr 5 1

O

1anti-horário

horário2


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prod

uzid

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zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (UEL-PR) Um relógio marca que faltam 20 minutos para meio-dia. Então, o

menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é:a) 908

b) 1008

c) 1108

d) 1158

e) 1258

2. (UCS-RS) Uma roleta de 50 cm de raio está fixada por um parafuso em seu centro, que se encontra a uma altura de 1,5 m. Girando a roleta no sentido horário, seu ponto inicial, posicionado na horizontal à direita, foi deslocado para uma altura de 1,75 m à esquerda.Se a opção tivesse sido girar a roleta no sentido anti-horário, qual teria sido o ângulo de rotação para que o ponto inicial fosse deslocado para a mes-ma posição?

a) p ___ 6 rad

b) 5p _____ 6 rad

c) 2p ____ 3 rad

d) 3p _____ 4 rad

e) p ___ 3 rad

3. (Unemat-MT) Quanto ao arco 4 5558, é correto afirmar que:a) pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 558.b) pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 758.c) pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 1958.d) pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3 1158.e) pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4 1958.

4. (ITA-SP) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja me-dida, em radianos, é igual a:

a) 23 ____ 11 p

b) 13 ____ 6 p

c) 24 ____ 11 p

d) 25 ____ 11 p

e) 7 __ 3 p

5. (Unimontes-MG) Uma partícula que descreve um arco de 5108, num círculo de raio 6 cm, percorre:

a) 12p cm c) 5p cm

b) 17p cm d) 17p ______ 6 cm

6. (UEG-GO) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equa-dor: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 788 Oeste e 528 Oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio 6 400 km, qual é a distância entre essas duas cidades?

7. (UFSCar-SP) As coordenadas dos vértices do triângulo ABC num plano cartesiano são A(24, 0), B(5, 0) e C(sen u, cos u). Sendo u um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e

sendo a área do triângulo ABC maior que 9 ___ 4 , o domínio de validade de u é o conjunto:

a) p __ 3

, p __ 2

b) p __ 6

, p __ 3

c) 0, p __ 6

d) 0, p __ 4

e) 0, p __ 3

8. (UTFPR) Os arcos cujas medidas são 7p _____ 3 , 8p _____ 5 , 20p ______ 9 e 10p ______ 3 têm extremidades,

respectivamente, nos seguintes quadrantes:a) terceiro, primeiro, primeiro e quarto.b) primeiro, segundo, quarto e primeiro.c) segundo, primeiro, primeiro e segundo.d) primeiro, quarto, primeiro e terceiro.e) primeiro, segundo, terceiro e quarto.


77

Cir

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cia

trig

onom

étri

ca

9. (Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras A, B,..., L estão igualmente espaçadas (o ângulo cen-tral entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se encontra fechado, é a indicada.

A

L

K

B

CDE

F

H

IJ

G

Para abrir o cofre, são necessárias três operações (o segredo), girando o dis-co menor (onde a seta está gravada), de acordo com as seguintes instruções, a partir da posição indicada:

I. 2 __ 3 p, no sentido anti-horário.

II. 3 __ 2 p, no sentido horário.

III. 3 ___ 4 p, no sentido anti-horário.

Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre será aberto quando a seta estiver:a) no ponto médio entre L e A.b) na posição B.c) na posição K.d) em algum ponto entre J e K.e) na posição H.

10. (UEG-GO) Considerando 18 como a distância média entre dois meridianos, e que na linha do Equador corresponde a uma distância média de 111,322 km, e tomando-se esses valores como referência, pode-se inferir que o comprimen-to do círculo da Terra, na linha do Equador, é de, aproximadamente,a) 52 035 km c) 44 195 kmb) 48 028 km d) 40 076 km

11. (IFMG) Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de medida em radianos, igual a:

M

0

a) 2 56p

______ 3 c) 5p _____ 6

b) 2 7p _____ 4 d) 21p ______ 5

12. (Insper-SP) Se a sequência (3, x, cos u) é uma progressão aritmética, sendo x e u números reais, então:a) 21,5 < x < 0 d) 1 < x < 2b) 21 < x < 1 e) 2 < x < 4c) 0,5 < x < 1,5


78

13. (Ibmec-RJ) O valor de m para que exista um ângulo x com cos x 5 2 _________ m 2 1 e

tan x 5 dXXXXXX m 2 2 é dado por:a) um número par.b) um número ímpar.c) um número negativo.d) um número natural maior que 10.e) um número irracional.

14. (Uesc-BA) Se 0 < a < p, 0 < b < p

___ 2 , e sen a 1 cos b 5 2, então sen (a 1 b) é igual a:

a) sen ( p ___ 3 ) b) sen ( 3p

_____ 2 ) c) cos ( 2p ____ 3 ) d) tan ( p ___ 6 )

e) tan ( p ___ 4 )

15. (Unimontes-MG) Um arco trigonométrico, com extremidade no quarto qua-drante, tem medida a. Se cos a 5 23sen a, então o valor de sen a 1 cos a é:

a) 2 2 __ 5 dXXX 10 b) 2 __ 5 dXXX 10 c) dXXX 10 ______ 5 d) 2

dXXX 10 ______ 5

16. (UPE) Na figura a seguir, estão representados o ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB.

A

B

Oa

x

y

Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo OAB em função do ângulo a?a) tg a ? sen a

b) 1 __ 2 tg a ? cos a

c) sen a ? cos ad) 1 __ 2 tg a ? sen a

e) tg a ? cos a

17. (UFRN) Considere a figura abaixo, na qual a circunferência tem raio igual a 1.

A

P

M

X

N 0

Nesse caso, as medidas dos segmentos XXX ON , XXXX OM e XXX AP , correspondem, respec-tivamente, a:a) sen x, sec x e cotg xb) cos x, sen x e tg x

c) cos x, sec x e cossec xd) tg x, cossec x e cos x

18. (FGV-SP) Se cos x 1 sec (2x) 5 t, então cos² x 1 sec² x é igual a:a) 1b) t2 1 2

c) t2

d) t2 2 2e) t2 1 1


79

Cir

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19. (Unimontes-MG) Se log0,1 10 5 y, então o valor de x para o qual sen x 5 y, no intervalo [0, 2p[, é:

a) p

b) p ___ 2

c) 3p _____ 2

d) 0

20. (Uece) Se x é um arco localizado no segundo quadrante e cos x 5 2 3 __ 5 , então o valor de cos x 1 sen x 1 tg x 1 cotg x 1 sec x 1 cosec x é:a) 22,3b) 23,4c) 24,5d) 25,6

21. (Unioeste-PR) É correto afirmar que a expressão

cos2 (x) 2 sen2 (x) 1 3tg (2x)

_______________________________________ 1 2 (sen (x) 2 cos (x))2 é igual a:

a) 3tg (2x)b) cotg (2x) 1 3sec (2x)c) tg (2x)1 3cossec (2x)d) tg (2x)1 3sec (2x)e) cotg (2x)1 3cossec (2x)

22. (UFC-CE) Calcule o valor numérico da expressão: log tan ( p ___ 5 ) 1 log tan ( 3p _____ 10 )

em que log indica o logaritmo na base 10 e tan indica a tangente do ângulo.

23. (UEPG-PR) Sobre as comparações abaixo, assinale a alternativa correta. I. sen 1 2008 5 cos 308

II. cos 2108 , sen 2108 , tg 2108

III. sec p ___ 6 5 cossec 5p _____ 6

a) Apenas a comparação I é verdadeira.b) Apenas as comparações I e II são verdadeiras.c) Apenas as comparações I e III são verdadeiras.d) Apenas a comparação III é verdadeira.e) Todas as comparações são verdadeiras.

24. (UEPG-PR) Simplifique a expressão abaixo e assinale a alternativa correta.

sen x ? cos ( p ___ 2 2 x ) 1 sen ( p ___ 2 2 x ) ? cos (2x)

____________________________________________________________ 1 2tg (2x) ? tg (p 1 x)

a) sec2 xb) sen2 xc) cos2 xd) cossec2 xe) tg2 x

25. (Unimontes-MG) Considere x um arco com extremidade no segundo quadrante,

tal que sec (x) 5 2 5 __ 3 . Assim, o valor da expressão A 5 5(sen x ) 2 2 3 tg x vale:

a) 2 36

____ 5

b) 2 32

____ 15

c) 4 ___ 5

d) 36 ____ 5


80

Função senoFunção seno é a função f: R é R que associa cada número real x ao número real sen x.Indica-se a função seno f por f(x) 5 sen x. A seguir apresenta-se o gráfico da função seno.

y

x

21

1

p2p 2pp2

3p2

2p2

y 5 sen x

Observações � A função seno é periódica. O período dessa função é 2p. � A função admite valor máximo 1 e valor mínimo 21; assim, qualquer que seja x [ R, tem-se sempre que 21 < sen x < 1. Logo, o conjunto imagem de f é o intervalo [21, 1].

� A amplitude do gráfico dessa função é dada por: y

máx 2 y

mín _________ 2

5 1 2 (21) ________ 2

5 1

Função cossenoFunção cosseno é a função f : R é R que associa cada número real x ao número real cos x.

Indica-se a função cosseno f por f(x) 5 cos x. A seguir apresenta-se o gráfico da função cosseno.

y

x

21

1

2p2

2p p2

p 3p2

2p

y 5 cos x

Observações � A função cosseno é periódica. O período dessa função é 2p. � A função admite valor máximo 1 e valor mínimo 21; assim, qualquer que seja x [ R, tem-se sem-pre que 21 < cos x < 1. Logo, o conjunto imagem de f é o intervalo [21, 1].

� A amplitude do gráfico dessa função é dada por: y

máx 2 y

mín _________ 2

5 1 2 (21) ________ 2

5 1

Função tangenteFunção tangente é a função f: R 2

p __ 2 1 kp, k [ Z é R que associa cada número real x do domínio

ao número real tan x.Indica-se a função tangente f por f(x) 5 tan x. Ao

lado apresenta-se o gráfico da função tangente.

Observações � A função tangente é periódica. O período dessa função é igual a p.

� A função não admite valor máximo nem valor mínimo.

y

x21

1

y 5 tan x

2p2

p2

5p2

3p2

3p2

9p2

7p2

2

período 5 p

Funções trigonométricas


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la. 1. (Unesp) Considere a representação gráfica da função definida por:

f(x) 5 sen ( 3p _____ 2 x ) ? (21 1 dXXXXX x 2 1 )

1

P R S

y

x

Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pontos de interseção do gráfico da função f com o eixo das abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R e S, nessa ordem.

2. (PUC-SP) Seja f(x) 5 Rsen (x 2 a). Sabemos que f ( p ___ 4 ) 5 0 e f ( p ___ 2

) 5 1.

a) Calcule f(0).

b) Encontre as soluções reais de f(x) 5 dXX 2 ____ 2 , 0 < x < 2p.

c) Encontre as soluções reais de f(x) 5 dXX 3 , 0 < x < 2p.

3. (UCB-DF)

A

rO

P

a

b

A figura representa um mecanismo encontrado em uma máquina agrícola. Nesse mecanismo, o círculo de raio r gira em torno do eixo representado pelo ponto A. A haste OP, que é fixada em O, representa um braço articulado que, pressionado por uma mola, permanece apoiado no círculo de raio r.Com relação à geometria desse mecanismo, julgue os itens a seguir, assina-lando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.a) O ângulo a, indicado na figura, é tal que a . 0, em qualquer posição do

mecanismo.b) O maior valor do ângulo a é tal que sen a 5 2r ____

b .

c) À medida que o mecanismo gira, o gráfico da função f(a) 5 sen a é o que se apresenta na seguinte figura:

0

21

1

2pp

d) Se os valores r e b mostrados na figura são tais que b 5 4r, então a é tal que 0 < a < p ___ 6 .

e) O maior valor que se poderia ter para o ângulo a, preservando-se o movi-mento do mecanismo, seria a 5 p ___ 2 .

4. (UPE) Na função trigonométrica y 5 23 1 sen ( x 2 p ___ 4 ) , o período e o conjunto imagem são iguais, respectivamente, a:

a) p ___ 4 e [21, 1] d) 5p _____ 4 e [21, 1]

b) 2p e [24, 22] e) 2p e [2, 24]c) 2p e [24, 4]


82

5. (UFPB) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das ma-rés na vida de várias espécies em certo manguezal, conclui que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função:

A(t) 5 1,6 2 1,4sen ( p ___ 6 t ) Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no inter-valo [0, 12], está representada pelo gráfico:a)

t (h)

A (m)

3

30 6 9 12

1,6

0,2

b)

t (h)

A (m)

3

3 6 9 12

1,6

0,20

c)

d)

t (h)

A (m)

3

3 6 9 12

1,6

0,20

e)

t (h)

A (m)

3

3 6 9 12

1,6

0,20

t (h)

A (m)

3

3 6 9 12

1,6

0,20

6. (PUC-RS) A representação gráfica da função f dada por f(x) 5 2sen ( x 1 p ___ 2 ) 2 2 é:

a) d)

b) e)

c)

2

24

22

4

20 424 22x

y

2

24

22

4

20 424 22x

y

2

24

22

4

20 424 22x

y

2

24

22

4

20 424 22x

y

2

24

22

4

20 424 22x

y

x


83

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7. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. Se f: R é R é a função definida por f(x) 5 sen x, então f(10) . 0.02. Sejam f e g funções reais definidas por f(x) 5 2x e g(x) 5 cos x para todo

x [ R. Então existe uma infinidade de pontos em que os gráficos dessas funções se interceptam.

04. Na figura 1, a reta r é tangente à circunferência l, de centro no ponto O(0, 0) e raio 1.

M

P

r

x

y

O

a

l

Para a 5 p ___ 6 rad as coordenadas do ponto P são ( 2 ____ dXX 3

, 0 ) .08. O valor numérico da expressão cos 36° 1 cos 72° 1 cos 108° 1 cos 144°

é zero.16. O menor número inteiro que satisfaz a inequação 20 2 3(2x 1 15) , 0

é 25.

8. (UEA-AM) A imagem da função f(x) 5 dXXXXXXXXX 1 2 cos2 x é o conjunto:a) [–1, 1[b) [–1, 1]c) ]0, 1[

d) [0, 1]e) [–1, 0[

9. (UCPel-RS) Sabendo que sen 308 5 1 __ 2 , então pode-se afirmar que sen 158 ? cos 158 é:

a) 1 ___ 4

b) 2 __ 3

c) 3 ___ 4

d) 3 __ 2

e) 1 __ 2

10. (PUC-RS) Em uma animação, um mosquitinho aparece voando, e sua trajetó-ria é representada em um plano onde está localizado um referencial cartesia-no. A curva que fornece o trajeto tem equação y 5 3cos (bx 1 c). O período é 6p, o movimento parte da origem e desenvolve-se no sentido positivo do eixo das abscissas.Nessas condições, podemos afirmar que o produto 3bc é:

a) 18p b) 9p c) p d) p2 ____ 2 e) p ___ 2

11. (Uern) Um determinado inseto no período de reprodução emite sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a variável tempo em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor representa a variação da inten-sidade sonora com o tempo I(t) é:

a) 50 2 10cos ( p ___ 6 t ) b) 30 1 10cos ( p ___ 6 t )

c) 40 1 20cos ( p ___ 6 t ) d) 60 2 20cos ( p ___ 6 t )


84

Se f e g são duas funções trigonométricas tais que f(x) 5 g(x) para todos os valores de x para os quais essas funções são definidas, então f(x) 5 g(x) é uma identidade trigonométrica.

Caso exista um número a pertencente ao domínio de f ou ao domínio de g, para o qual f(a) Þ g(a), então f(x) 5 g(x) é uma equação trigonométrica.

Identidades trigonométricasPara verificar se f(x) 5 g(x) é uma identidade trigonométrica, pode-se proceder de três modos. I. Manipula-se um dos membros da igualdade por meio do uso de substituições ou simplificações

para transformá-lo no outro membro. II. Manipula-se cada membro da igualdade para se determinar uma expressão que lhes seja comum. III. Verifica-se se f(x) 2 g(x) é igual a zero.

Equações trigonométricasA maioria das equações trigonométricas são redutíveis a uma das seguintes formas:

sen x 5 sen a cos x 5 cos a tan x 5 tan a

Casos particulares:

sen x 5 sen p ___ 6 cos x 5 cos p ___ 4 tan x 5 tan p ___ 3

x

y

5p6

p6

12

S 5 x [ R | x 5 p ___ 6 1 2kp ou

x 5 5p

_____ 6 1 2kp, k [ Z

x

y

p4

p4

2

22

S 5 x [ R | x 5 ± p ___ 4 1 2kp, k [ Z

x

y p3

p3

5p3

1 p 5

3

S 5 x [ R | x 5 p

___ 3 1 kp, k [ Z

Adição e subtração de arcos

Seno da soma de dois arcos: sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a

Seno da diferença de dois arcos: sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a

Cosseno da soma de dois arcos: cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b

Cosseno da diferença de dois arcos: cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b

Tangente da soma de dois arcos: tan (a 1 b) 5 tan a 1 tan b ______________ 1 2 tan a ? tan b

Tangente da diferença de dois arcos: tan (a 2 b) 5 tan a 2 tan b ______________ 1 1 tan a ? tan b

ObservaçãoAs duas últimas fórmulas só podem ser usadas para valores que não anulem o denominador da fração.

Relações e transformações trigonométricas


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la. 1. (UPE) No círculo trigonométrico, qual o menor arco positivo x para o qual

4sen (x) 5 1 __ 2 ?

a) p ___ 3 rad d) 7p _____ 6 rad

b) p ___ 6 rad e) 2p rad

c) 5p _____ 6 rad

2. (UFSCar-SP) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fra-ção visível da superfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em

função do ângulo u, mostrado na figura, pela expressão f(u) 5 1 2 sen u _____________ 2 .

A

B

C N

R

d

u

a) Determine o ângulo u, em graus, para o qual é visível da nave a quarta par-te da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R 5 6 400 km.)

b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfí-cie da Terra com ângulo u 5 158, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as aproximações dXX 2 5 1,4 e dXX 6 5 2,4.)

3. (Fuvest-SP) O número real x, com 0 , x , p, satisfaz a equação log3(1 2 cos x) 1 log3(1 1 cos x) 5 22. Então, cos 2x 1 sen x vale:

a) 1 __ 3 b) 2 __ 3 c) 7 ___ 9 d) 8 ___ 9 e) 10 ____ 9

4. (ITA-SP) Seja x [ [0, 2p] tal que sen (x) ? cos (x) 5 2 __ 5 . Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg (x) são, respectivamente:

a) 1 e 0

b) 1 e 5 __ 2

c) 21 e 0

d) 1 e 5

e) 21 e 2 5

__ 2

5. (ITA-SP) Num triângulo ABC o lado XXX AB mede 2 cm, a altura relativa ao lado XXX AB mede 1 cm, o ângulo A

B C mede 1358 e M é o ponto médio de XXX AB . Então a

medida de B

A C 1 B

M C, em radianos, é igual a:

a) 1 __ 5 p

b) 1 ___ 4 p

c) 1 __ 3 p

d) 3 ___ 8 p

e) 2 __ 5 p

6. (Fuvest-SP) Sejam x e y números reais positivos tais que x 1 y 5 p ___ 2 . Saben-

do-se que sen (y 2 x) 5 1 __ 3 , o valor de tg2y 2 tg2x é igual a:

a) 3 __ 2

b) 5 ___ 4

c) 1 __ 2

d) 1 ___ 4

e) 1 ___ 8


86

7. (FGV-SP) No intervalo [0, p], a equação 8 sen2 x 5 4 sen x 2 1 ___ 8 admite o seguinte

número de raízes:a) 5b) 4c) 3

d) 2e) 1

8. (Unifesp) A função D(t) 5 12 1 (1,6)cos ( p ______ 180 (t 1 10) ) fornece uma aproxi-

mação da duração do dia (diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A variável t, que representa o dia, varia de 1 a 365, sendo t 5 1 correspon-dente ao dia 1o de janeiro e t 5 365 correspondente ao dia 31 de dezembro. O argumento da fun ção cosseno é medido em radianos. Com base nessa função, determine:a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado em horas e minutos.b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia naquela cidade foi me-

nor ou igual a doze horas.

9. (PUC-Campinas-SP)

No Rio de Janeiro com o privilegiado cenário natural, muitos devem ter visitado o Pão de Açúcar com o bondinho partindo da Praia Verme-lha e passando pelo Morro da Urca, como mostra a figura abaixo.

Praia Vermelha

Morro da Urca

Pão de Açúcar528 m

735 m

395 m220 m

b

a

Adaptado: Jornal O Estado de S. Paulo - V4 - Viagem & Aventura - 2 nov. 2007.

Nessas condições, é verdade que cossec a 1 cossec b é igual a:a) 6,8b) 6,6

c) 6,4d) 6,2

e) 6,0

10. (UTFPR) A expressão

y 5 (sec x 2 tg x)(sec x 1 tg x)

___________________________________________________________________ (1 2 sen2 x)(cotg x 2 cossec x)(cotg x 1 cossec x)

é equivalente a:

a) 2sec2 x d) cos2 xb) cossec2 x e) 2cos2 xc) 2cossec2 x

11. (Fuvest-SP) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está

em XXX BC , XXX BF mede dXX 5 ____ 4 , o ponto E está em XXX CD e XXX AF é bissetriz do ângulo B

A E.

A

D

B

C

F

E

Nessas condições, o segmento XXX DE mede:

a) 3 dXX 5 ______ 40

b) 7 dXX 5 ______ 40

c) 9 dXX 5 ______ 40

d) 11 dXX 5 _______ 40

e) 13 dXX 5 _______ 40


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12. (Uece) O número de soluções da equação 3sen2 x 2 3|sen x| 1 cos2 x 5 0 que estão no intervalo [0, 2p] é:a) 2 b) 8 c) 4 d) 6

13. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números

reais p e q, sen p 1 sen q 5 2sen ( p 1 q ________ 2 ) ? cos ( p 2 q

________ 2 ) .Logo, a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a:

a) sen 10x 1 sen 8x

b) 2(sen 6x 1 sen 2x)

c) 2(sen 10x 1 sen 8x)

d) 1 __ 2 (sen 6x 1 sen 2x)

e) 1 __ 2 (sen 10x 1 sen 8x)

14. (UTFPR) O número de raízes da equação cos (x) 2 2sen (x) ? cos (x) 5 0, no intervalo [0, 2p], é igual a:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. (UTFPR) A expressão sec (x) 1 1

_______________ sec (x)

, tal que sec (x) Þ 0 para todo x, é equiva-lente a:

a) 1 2 cos ( x __ 2 ) b) 1 1 cos ( x __ 2 ) c) 4 2 sen2 ( x __ 2 ) d) 2 2 2tg2 (x)

e) 2 2 2sen2 ( x __ 2 ) 16. (Uece) O número de soluções (p, q) do sistema

cos2 p 2 2sen q 5 0 cos2 p 1 2sen q 5 1,5

com p, q [ [2p, p] é:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

17. (UFT-TO) Se sen u 5 5 ____ 13 e u [ 3p _____ 4 , p , então o valor de tg (2u) é:

a) 2 12 ____ 13

b) 2 120 ______ 119

c) 120 ______ 119

d) 1

e) dXX 3 ____ 3

18. (IFSP) Sabendo que cos u 2 sen u 5 dXX 6 ____ 3 , então o valor de sen (2u) é:

a) 21

b) 2 5

___ 9

c) 1 ___ 6

d) 1 __ 3

e) 5 ___ 6


88

Uma matriz m 3 n é uma tabela com m ? n números reais dispostos em m linhas e n colunas.Diz-se que uma matriz m 3 n é de ordem m 3 n. Os números que compõem uma matriz são os

elementos ou termos da matriz.A matriz A do tipo m 3 n é formada pelos elementos genéricos a

ij que estão na linha i e na coluna j.

Sua representação é:

coluna 1 coluna 2 coluna n ç ç ç

a11

a12

… a1n

ê linha 1

Am 3 n

5 a21

a22

… a2n

ê linha 2. . .. . .. . .

am1

am2

… amn

ê linha m

Matriz quadradaMatriz quadrada é toda matriz que tem quantidade de linhas igual à quantidade de colunas.Diz-se que uma matriz quadrada n 3 n é uma matriz de ordem n.

Diagonais Há duas diagonais em uma matriz quadrada: uma principal e uma secundária.A diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n é o conjunto formado pelos elementos

cujos índices (linha-coluna) são iguais.A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é o conjunto formado pelos elementos

cuja soma dos índices (linha-coluna) é igual a n 1 1.diagonal secundária

a11

a12

a13

… a1n

a21

a22

a23

… a2n

an1

an2

an3

… ann

diagonal principal

Matriz identidadeMatriz identidade de ordem n é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são

iguais a 1.Indica-se uma matriz identidade de ordem n por I

n.

Igualdade de matrizesDuas matrizes são iguais se têm ordens iguais e elementos correspondentes iguais.Considerando as matrizes A 5 (a

ij)

m 3 n e B 5 (b

ij)

m 3 n, dizemos que A 5 B se, e somente se, a

ij 5 b

ij,

para quaisquer i e j, em que 1 < i < m e 1 < j < n.

Operações com matrizes

Adição de matrizesA soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é a matriz C obtida pela adição dos elementos cor-

respondentes dessas matrizes.

Matriz opostaSendo uma matriz A de ordem m 3 n, tem-se: A matriz oposta da matriz A é a matriz 2A tal que A 1 (2A) 5 0

m 3 n.

Matriz


89

Mat

riz

PropriedadesConsiderando as matrizes A, B e C de ordem m 3 n, valem as propriedades a seguir.

� Comutativa: A 1 B 5 B 1 A

� Associativa: (A 1 B) 1 C 5 A 1 (B 1 C)

� Existência do elemento oposto (matriz oposta): A 1 (2A) 5 0m 3 n

� Existência do elemento neutro (matriz nula): A 1 0m 3 n

5 0m 3 n

1 A 5 A

Subtração de matrizesA diferença entre duas matrizes A e B de mesma ordem é a matriz C obtida pela subtração dos elementos cor-

respondentes de A e de B.A matriz C, diferença entre as matrizes A e B, é obtida pela adição da matriz A com a matriz oposta de B.

Multiplicação de um número real por uma matrizO produto de um número real k por uma matriz A é uma matriz C obtida pela multiplicação dos elementos de

A por k.

Matriz transpostaA matriz transposta de uma matriz A é a matriz At em que os elementos que formam as linhas são, ordenada-

mente, os elementos que formam as colunas da matriz A.

a11

a12

a13

… an

a11

a21

a31

… an1

a21

a22

a23

… a2n

a12

a22

a32

… an2

A 5 a31

a32

a33

… a3n

ä At 5 a13

a23

a33

… an3

. .

. .

. .a

n1a

n2a

n3… a

nna

1na

2na

3n… a

nn

Dada uma matriz A e sua transposta At, se At 5 A, então a matriz A é simétrica; se At 5 2A, então a matriz A é antissimétrica.

Multiplicação de matrizesO produto de duas matrizes A 5 (a

ik) e B 5 (b

kj) é a matriz C 5 (c

ij) cujos elementos são a soma dos produtos

ordenados dos elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.De acordo com a definição, o produto A ? B de duas matrizes só existe no caso em que o número de colunas da

matriz A é igual ao número de linhas da matriz B e a matriz C obtida desse produto tem o número de linhas da ma-triz A e o número de colunas da matriz B.

Se A 5 2 2 14 21 5

e B 5 2 265 103 0

, então a matriz C 5 A ? B, é dada por:

C 5 2 2 14 21 5

? 2 265 103 0

5 2 ? 2 1 2 ? 5 1 1 ? 3 2 ? (26) 1 2 ? 10 1 1 ? 04 ? 2 1 (21) ? 5 1 5 ? 3 4 ? (26) 1 (21) ? 10 1 5 ? 0

5

5 4 1 10 1 3 212 1 20 1 08 2 5 1 15 224 2 10 1 0

5 17 818 234

ObservaçãoA multiplicação entre uma matriz quadrada de ordem n e uma matriz identidade de ordem n tem como resulta-

do a própria matriz quadrada de ordem n. A ? I

n 5 I

n ? A 5 A

Matriz invertívelSendo uma matriz quadrada A de ordem n, tem-se: A matriz A é invertível se existir uma matriz quadrada X, também de ordem n, tal que:A ? X 5 X ? A 5 I

n

Indica-se a matriz inversa de A por A21.


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la. 1. (UFSM-RS) O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de

um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra es-pécie se alimenta.

Atribuindo valor 1, quando a espécie se alimenta de outra, e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:

Urso Esquilo Inseto Planta

Urso 0 1 1 1

Esquilo 0 0 1 1

Inseto 0 0 0 1

Planta 0 0 0 0

A matriz A 5 (aij)4 3 4, associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

a) aij 5 0, se i < j

1, se i . j

b) aij 5 0, se i 5 j

1, se i Þ j

c) aij 5 0, se i > j

1, se i , j

d) aij 5 0, se i Þ j

1, se i 5 j

e) aij 5 0, se i , j

1, se i . j

2. (PUC-RS) No projeto Sobremesa Musical, o Instituto de Cultura Musical da PUC-RS realiza apresentações semanais gratuitas para a comunidade univer-sitária. O número de músicos que atuaram na apresentação de número j do i-ésimo mês da primeira temporada de 2009 está registrado como o elemento a

ij da matriz abaixo:

43 12 6 6 543 5 5 12 1243 13 20 13 03 5 54 43 43

A apresentação na qual atuou o maior número de músicos ocorreu na _________ semana do _________ mês.a) quinta – segundob) quarta – quartoc) quarta – terceirod) terceira – quartoe) primeira – terceiro


91

Mat

riz

3. (Fuvest-SP) Considere a matriz A 5 a 2a 1 1a 2 1 a 1 1 em que a é um número

real. Sabendo que A admite inversa A21 cuja primeira coluna é 2a 2 12 1 , a

soma dos elementos da diagonal principal de A21 é igual a:a) 5b) 6

c) 7d) 8

e) 9

4. (FGV-SP) Os alunos de uma classe foram consultados sobre quatro possibili-dades diferentes de horário para o exame final da disciplina (possibilidades A, B, C e D). Cada aluno ordenou sua preferência da 1a à 4a escolha (a 1a é a mais desejada, e a 4a, a menos desejada). A apuração dos resultados dessa consulta mostrou que foram escolhidas apenas 9 ordenações diferentes, den-tre as 24 possíveis. A tabela indica os resultados da consulta com os dados agrupados.

Número de votos 3 4 7 8 2 5 8 2 11

1a escolha A A A B B B C C D

2a escolha B B C C A C D A C

3a escolha C D B D C A B D A

4a escolha D C D A D D A B B

Exemplo: do total de 50 alunos, 3 preferem A à B, B à C e C à D (primeira co-luna da tabela).a) Usando os dados da tabela, determine o horário vencedor, e com que por-

centagem de votos, em uma eleição majoritária simples. Definição: eleição majoritária simples é aquela em que se leva em consideração apenas a 1a escolha de cada eleitor.

b) Admita, agora, que são atribuídos peso quatro (4 pontos) à 1a escolha de cada aluno, três (3 pontos) à 2a escolha, dois (2 pontos) à 3a escolha e um (1 ponto) à 4a escolha. Dada a matriz V1 3 9 5 [3 4 7 8 2 5 8 2 11], determi-ne a matriz P9 3 4 de forma que V1 3 9 ? P9 3 4 resulte a matriz T1 3 4 5 [A B C D] do total de pontos dos horários A, B, C e D. Em seguida, ordene a classifi-cação dos quatro horários, do que obteve mais pontos para o que obteve menos pontos.

5. (Unicamp-SP) Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se Pt 5 P 21, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.

a) Considere a matriz P 5

2 1 __ 3 2

2 __ 3 2 2 __ 3

2 2 __ 3 a 2

1 __ 3

2 2 __ 3 b 2 __ 3

. Determine os valores de a e b

para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P 21 ? P 5 I, em que I é a matriz identidade.b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A 5 QR, sendo

Q 5

1 _ 2 2 1 _ 2 2

dXX 2 ___ 2

1 _ 2 2 1 _ 2

dXX 2 ___ 2

dXX 2 ___ 2

dXX 2 ___ 2 0

e R 5 2 0 00 22 00 0 dXX 2

. Sabendo que Q é ortogonal,

determine a solução do sistema Ax 5 b, para o vetor b 5 6

220

, sem obter explicitamente a matriz A.

Dica: lembre-se de que x 5 A21b.


92

Determinante de uma matriz quadrada é uma função que associa à matriz um número real, ob-tido por meio de operações entre os elementos da matriz.

Determinante de uma matriz quadrada de ordem até 3

� O determinante de uma matriz quadrada de or-dem 1 é o único elemento da matriz.

� O determinante de uma matriz quadrada de or-dem 2 é o número obtido por meio da diferença entre o produto dos elementos da diagonal prin-cipal e o produto dos elementos da diagonal se-cundária.

� Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3:

Dada a matriz A 5 a

11a

12a

13a

21a

22a

23

a31

a32

a33

, o determinante

de A é o número det A 5 a

11a

12a

13a

21a

22a

23

a31

a32

a33

5

5 (a11

? a22

? a33

1 a12

? a23

? a31

1 a13

? a21

? a32

) 2 2 (a

13 ? a

22 ? a

31 1 a

11 ? a

23 ? a

32 1 a

12 ? a

21 ? a

33).

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 existe um dispositivo práti-co denominado regra de Sarrus, em que:

I. Escrevem-se as duas primeiras colunas da matriz à direita da terceira coluna. Em se-guida, multiplicam-se os elementos da dia-gonal principal e os elementos das outras diagonais paralelas a ela.

II. Multiplicam-se os elementos da diagonal se-cundária e os elementos das outras diagonais paralelas a ela.

III. Calcula-se o determinante da matriz sub-traindo o resultado da soma algébrica obti da em II do resultado da soma algébrica obtida em I.

Determinante de uma matriz quadrada qualquerConsiderando uma matriz quadrada A de ordem n,

com n > 2, define-se menor complementar e cofator.

Determinante

� O menor complementar de A, segundo o ele-mento a

ij, é o determinante D

ij da matriz que se

obtém quando são suprimidas a linha e a colu-na em que se encontra o elemento a

ij.

� O cofator do elemento aij é o número real

cij 5 (21) i 1 j ? D

ij, em que D

ij é o menor com-

plementar de A segundo o elemento aij.

Teorema de LaplaceDada uma matriz quadrada qualquer, tem-se o

seguinte teorema.O determinante de uma matriz quadrada é

dado pelo produto dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores.

PropriedadesPara as propriedades a seguir utiliza-se o termo

“fila” para se referir a uma linha ou a uma coluna da matriz.

� O determinante de uma matriz quadrada em que todos os elementos de uma fila são iguais a zero é zero.

� Se duas filas de uma matriz quadrada são iguais (ou proporcionais), então o determinante dessa matriz é zero.

� Ao multiplicar todos os elementos de uma fila de uma matriz quadrada por uma constante, o determinante dessa matriz também fica multiplicado por essa constante.

� O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua matriz transposta.

� O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal dessa matriz.

� Ao inverter a posição de duas filas paralelas de uma matriz quadrada, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante da matriz original.

� Teorema de Binet. O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto do determinante de cada matriz.

Determinante da matriz inversaUma matriz A é invertível se, e somente se, o

determinante de A é diferente de zero. Nesse caso,

se A21 é a matriz inversa da matriz A, então:

det A–1 5 1 _____ det A


93

Det

erm

inan

te

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la.

1. (ESPM-SP) Dadas as matrizes A 5 x 21 1

e B 5 1 x21 2

, a diferença entre os

valores de x, tais que det (A ? B) 5 3x, pode ser igual a:a) 3 b) 22 c) 5 d) 24 e) 1

2. (Ifal) Se A 5 1 221 0

e B 5 1 221 0

, o determinante da matriz (AB)21 é:

a) 2 1 ____ 10

b) 21 ____ 10

c) 13 ____ 10

d) 2 13 ____ 10

e) nda

3. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:

I. 2 221 4

. 3 41 5

II. 3 265 22

, 4 721 5

III. 8 122 26

. 9 221 27

É correto afirmar que:a) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II.b) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.c) são verdadeiras apenas as desigualdades I e III.d) as três desigualdades são verdadeiras.e) as três desigualdades são falsas.

4. (Udesc) Dada a matriz [...] A 5 1 21 21

[...]. Seja a matriz B tal que A21 BA 5 D,

onde a matriz [...] D 5 2 121 2

[...], então o determinante de B é igual a:

a) 3b) 25c) 2

d) 5e) 23

5. (Furb-SC) Sendo det 22 1

log2 x 1 5 0, então, o valor de x será igual a:

a) 4b) 8

c) 32d) 16

6. (Uerj) Considere a matriz A3 3 3 abaixo:

A 5

1 __ 2 a12 a13

a21 1 1a31 1 1

Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:a

ij 5 2 ? (sen u

i) ? (cos u

j), ? i, j [ {1, 2, 3}

Nessa relação, os arcos u1, u2 e u3 são positivos e menores que p ___ 3 radianos.

Calcule o valor numérico do determinante da matriz A.


94

Sistema linear

Equação linearEquação linear é toda equação que pode ser expressa na forma a

1x

1 1 a

2x

2 1 a

3x

3 1 ... 1 a

n 2 1x

n 2 1 1

1 anx

n 5 b, em que x

1, x

2, x

3, …, x

n, são as incógnitas e a

1, a

2, ..., a

n e b são números reais.

Os números a1, a

2, ..., a

n são os coeficientes das incógnitas da equação linear e o número b é o

termo independente.

Solução de uma equação linearConsiderando a equação linear a

1x

1 1 a

2x

2 1 a

3x

3 1 … 1 a

nx

n 5 b, a sequência (a

1, a

2, a

3, ..., a

n)

denominada ênupla ordenada, é solução dessa equação se e somente se: a

1a

1 1 a

2a

2 1 a

3a

3 1 ... 1 a

na

n 5 b

Sistema de equações linearesSistema linear é um conjunto L de m equações lineares com n incógnitas cada uma, expresso

na forma L 5

a11

x1 1 a

12x

2 1 a

13x

3 1 ... 1 a

1nx

n 5 b

1

a21

x1 1 a

22x

2 1 a

23x

3 1 ... 1 a

2nx

n 5 b

2

a31

x1 1 a

32x

2 1 a

33x

3 1 ... 1 a

3nx

n 5 b

3

A A A A Aa

m1x

1 1 a

m2x

2 1 a

m3x

3 1 ... 1 a

mnx

n 5 b

m

, em que x1, x

2, x

3, …, x

n são as incógnitas,

a11

, a12

, a13

, ..., amn

são os coeficientes e b1, b

2, b

3, ... , b

m, são os termos independentes.

Quando os termos independentes de um sistema linear são todos nulos, o sistema é denominado sistema linear homogêneo.

Solução de um sistema linearUma ênupla ordenada (a

1, a

2, a

3, ..., a

n) é solução de um sistema linear se, e somente se, é solução

de cada uma das equações desse sistema.Quando o sistema linear é homogêneo ele tem, pelo menos, a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução.

Essa solução é a solução trivial do sistema linear.

Classificação de um sistema linear � Sistema impossível (SI): um sistema é impossível quando não admite solução. � Sistema possível e indeterminado (SPI): um sistema é possível e indeterminado quando admite in-finitas soluções.

� Sistema possível e determinado (SPD): um sistema é possível e determinado quando admite uma única solução.

Matriz associada a um sistema linear

Considerando o sistema L 5

a11

x1 1 a

12x

2 1 a

13x

3 1 ... 1 a

1nx

n 5 b

1

a21

x1 1 a

22x

2 1 a

23x

3 1 ... 1 a

2nx

n 5 b

2

A A A A Aa

m1x

1 1 a

m2x

2 1 a

m3x

3 1 ... 1 a

mnx

n 5 b

m

, é possível associá-lo a três

matrizes – à matriz A dos coeficientes, à matriz X das incógnitas e à matriz B dos termos independen-tes, de modo que AX 5 B.

A 5

a11

a12

a13

... a1n

a21

a22

a23

... a2n

A A A A A a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n

X 5

x1

x2

Ax

n

B 5

b1

b2

Ab

m

A matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas, é a matriz incompleta do sistema.A matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes é chamada de

matriz completa do sistema.


95

Sist

ema

linea

r

Teorema de CramerSeja L um sistema linear com m equações e n incógnitas cada uma, tal que m 5 n.

Assim, a matriz A, incompleta do sistema, é quadrada de ordem n. Sendo D o de-terminante de A, tem-se o seguinte teorema:

Se D Þ 0, então o sistema L é possível e determinado e sua única solução (a1,

a2, a

3, ..., a

n) é obtida por a

1 5

Di __ D , em que i 5 1, 2, ..., n e D

i é o determinante

da matriz que se obtém ao se substituir a i-ésima coluna da matriz A pela coluna

formada pelos termos independentes das equações do sistema L.

Sistemas escalonadosUm sistema está escalonado quando aumenta, de uma equação para a próxi-

ma, o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo.Dado um sistema escalonado de m equações com n incógnitas cada uma, pode-

-se classificar esse sistema quanto ao número de soluções analisando-se apenas a última linha.

� Se o sistema tiver número de equações igual ao número de incógnitas (m 5 n), então o sistema escalonado terá a última linha na forma a

nnx

n 5 b

n.

Nesse caso, há três classificações possíveis: I. se a igualdade é uma equação de 1o grau, o sistema é possível e determinado. Para determinar a solução desse sistema, determina-se o valor da última incóg-nita na última equação a

nnx

n 5 b

n; substitui-se esse valor na equação anterior e

assim por diante. II. se a igualdade é verdadeira, o sistema é possível e indeterminado. III. se a igualdade é falsa, o sistema é impossível.

� Se o sistema tiver número de equações menor do que o número de incógnitas, sua

forma escalonada será da forma L 5

a11

x1 1 a

12x

2 1 a

13x

3 1 ... 1 a

1nx

n 5 b

1

a2j

x2 1 a

23x

3 1 ... 1 a

2nx

n 5 b

2

A A Aa

mrx

3 1 ... 1 a

mnx

n 5 b

m

,

em que j > 2, r . j e m , n. Para resolver esse sistema, isolam-se as incógnitas que não aparecem no iní-cio de nenhuma das equações. O novo sistema assim obtido pode ser entendi-do como um sistema cujas incógnitas são apenas as que constam no primeiro membro de cada equação. Ao atribuir valores às incógnitas do segundo mem-bro, obtém-se um sistema possível e determinado, como no primeiro caso. Como se podem atribuir infinitos valores para tais incógnitas, o sistema tem in-finitas soluções; logo, o sistema é possível e indeterminado.

Sistemas lineares equivalentesDois ou mais sistemas lineares são equivalentes quando têm soluções iguais.

Processo de escalonamentoEscalonar um sistema linear consiste em transformar um sistema linear em ou-

tro sistema linear, escalonado, e que seja equivalente ao primeiro. Para isso são utilizadas operações que não alteram o conjunto solução do sistema.

� Alterar a ordem das equações não altera a solução do sistema. � Multiplicar ambos os membros de uma equação qualquer por um número real não nulo não altera a solução do sistema.

� Substituir uma equação do sistema pela soma, membro a membro, dessa equa-ção com outra desse mesmo sistema também não altera a solução do sistema.


96

Passos para escalonar um sistema

I. Escolhe-se como primeira equação do sistema aquela em que o coeficiente da primeira incógnita não seja nulo. Supondo que esse coeficiente seja um número a diferente de 1 ou de 21, dividem-se ambos os membros dessa primeira equação por a, pois isso não altera a solução do sistema.

II. Para anular o coeficiente da primeira incógnita da segunda equação, adicio-na-se a ela a primeira equação multiplicada por um número conveniente.

III. Considera-se o sistema a partir da 2a equação e repetem-se os passos I e II. Depois, considera-se o sistema a partir da 3a equação e repetem-se os

passos I e II; e assim sucessivamente, até a última equação, obtendo um sistema escalonado.

Exemplo

Resolução do sistema linear:

2x 1 y 1 z 5 3x 1 2y 1 z 5 0

3x 2 y 1 z 5 8

Processo de escalonamento

I II III

Inverte-se a posição da primeira equação com a da segunda, pois esta já tem o primeiro coeficiente igual a 1. Obtém-se assim um novo posicionamento para as equações.

x 1 2y 1 z 5 0 (1a equação)2x 1 y 1 z 5 3 (2a equação)3x 2 y 1 z 5 8 (3a equação)

Substitui-se a segunda equação pela soma dessa equação com a primeira multiplicada por 22.

x 1 2y 1 z 5 023y 2 z 5 3

3x 2 y 1 z 5 8

Divide-se a segunda equação por 23:

x 1 2y 1 z 5 0y 1 z __ 3 5 –1

3x 2 y 1 z 5 8

Substitui-se a terceira equação pela soma dessa equação com o produto da primeira equação por 23:

x 1 2y 1 z 5 0y 1 z __ 3 5 21

27y 2 2z 5 8

Substitui-se a terceira equação pela soma dessa equação com o produto da segunda equação por 7.

x 1 2y 1 z 5 0y 1 z __ 3 5 21

z __ 3 5 1

Resolução do sistema escalonado

O sistema escalonado tem última equação z __ 3

5 1, cuja solução é z 5 3. Substi-

tuindo z por 3 na 2a equação, verifica-se que y 5 22. Substituindo z por 3 e y por 22 na primeira equação, obtém-se x 5 1.

Portanto, a solução do sistema é a terna ordenada (1, 22, 3), e o conjunto so-lução do sistema é S 5 {(1, 22, 3)}.

Discussão de um sistema linearUm sistema linear pode estar representado em função de um parâmetro.

Discutir um sistema linear é dizer para quais valores desse parâmetro o siste-ma será possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou im-possível (SI).

Tal discussão pode ser baseada no teorema de Cramer. � Se o determinante da matriz incompleta do sistema for diferente de zero, então o sistema será possível e determinado (SPD).

� Se o determinante da matriz incompleta do sistema for igual a zero, então o sis-tema será possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Para classificá-lo, é necessário substituir no sistema o valor do parâmetro que anula o determi-nante da matriz incompleta, escalonar o sistema e verificar se ele é possível e indeterminado ou impossível.


97

Sist

ema

linea

r

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (Unir-RO) Pagou-se uma conta de R$ 9,50 com moedas de R$ 0,50 e R$ 0,25,

ao todo 28 moedas. A equação que representa esta sentença é:a) 0,50 ? x 1 0,25 ? (28 2 x) 2 9,50 5 0b) 0,50 ? x 1 0,25 ? (28 2 x) 1 9,50 5 0c) 0,50 ? x 1 0,25 ? (28 1 x) 2 9,50 5 0d) 0,50 ? x 2 0,25 ? (28 2 x) 2 9,50 5 0e) 0,50 ? x 2 0,25 ? (28 1 x) 2 9,50 5 0

2. (Fuvest-SP) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convida-dos na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presen-tes inicialmente na festa era igual a:a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135

3. (Unisinos-RS) Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2 camisas e pagou R$ 240,00. Roberto comprou 2 calças e 3 camisas e pagou R$ 405,00. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente?a) 70 e 95b) 75 e 90

c) 80 e 85d) 85 e 80

e) 90 e 75

4. (Uerj) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem:

Volume da embalagem (L) Preço (R$)

20 10,00

10 6,00

2 3,00

Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do nú-mero de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corres-ponde a n.O valor de n é um divisor de: a) 32 b) 65 c) 77 d) 81

5. (Unesp) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomés-ticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1 288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3 698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2 588,00.A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nessas três lo-jas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de:a) 3 767,00 d) 3 797,00b) 3 777,00 e) 3 807,00c) 3 787,00

6. (UCPel-RS) A solução do sistema linear

x 1 2y 1 3z 5 22x 2 5z 5 1 é:3x 2 y 5 11

a) x 5 2, y 5 3 e z 5 21b) x 5 23, y 5 2 e z 5 21c) x 5 2 3, y 5 22 e z 5 21

d) x 5 2, y 5 23 e z 5 1e) x 5 3, y 5 22 e z 5 1


98

7. (PUC-RS) A soma das idades de Luís (L), Paulo (P) e Juliano (J) é 114 anos. Luís é pai de Paulo, que é pai de Juliano. Retirando a idade de Paulo do dobro da idade de Juliano e somando a idade de seu avô, obtemos 42 anos. Dimi-nuindo a idade de Paulo da idade de Luís, obtemos 18. Um sistema de equações lineares que descreve esse problema é:

a)

J 1 P 1 L 5 1142J 2 P 1 L 5 42

2 P 1 L 5 18 d)

J 1 P 1 L 5 1142J 1 P 2 L 5 42

2 P 1 L 5 —18

b)

J 1 P 1 L 5 1142J 2 P 1 L 5 42

2 P 1 L 5 218 e)

J 1 P 1 L 5 114J2 1 P 2 L 5 42

2 P 1 L 5 18

c)

J 1 P 1 L 5 1142J 1 P 2 L 5 42

2 P 1 L 5 18

8. (Unifor-CE) Num final de feira livre, um feirante tem ainda um pequeno esto-que de abacaxis, melancias e graviolas. Se vender cada abacaxi por R$ 2,00, cada melancia por R$ 3,00 e cada graviola por R$ 4,00, obtém uma receita de R$ 50,00. Se vender cada abacaxi, cada melancia e cada graviola respec-tivamente por R$ 2,00, R$ 6,00 e R$ 3,00, a receita será de R$ 60,00. Con-siderando que ele só vende cada fruta inteira (não frações), podemos com certeza afirmar que:a) não é possível, com estes dados, determinar o estoque de cada tipo de fruta.b) existem exatamente duas soluções (distintas) determinando o estoque de

cada tipo de fruta. c) é imprescindível uma outra informação para determinar o estoque de cada

tipo de fruta.d) os dados são suficientes para determinar o estoque de cada tipo de fruta.e) existem infinitas soluções determinando o estoque de cada tipo de fruta.

9. (PUC-RS) Se n é o número de soluções do sistema

x 1 y 2 z 5 12x 2 y 1 z 5 2x 1 2y 1 z 5 3

, então:

a) n 5 0b) n 5 1c) n 5 2d) n 5 3e) n . 3

10. (UEA-AM) Em uma determinada gleba, 6 000 mudas de seringueira foram plantadas alinhadas em linhas e colunas, conforme indicado na figura, sendo que o número de linhas é 40 unidades maior que o número de colunas.

coluna

linha

Desse modo, é correto afirmar que o número de mudas plantadas em cada li-nha é igual a:a) 60b) 70c) 80

d) 90e) 100


99

Sist

ema

linea

r

11. (EsPCEx-SP) Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou dois dígitos, denominados dígitos verifi-cadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digitação.Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por alga-rismos de 0 a 9, na forma abcdef-xy, em que a sequência (abcdef) representa, nessa ordem, os algarismos do número da conta e x e y, nessa ordem, repre-sentam os dígitos verificadores.Para obter os dígitos x e y o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes matrizes:

A 5 1 22 10 1 00 2 21

B 5

xyz

C 5 (a 2 b)(c 2 d)(e 2 f )

Os valores de x e y são obtidos pelo resultado da operação matricial A ? B 5 C, desprezando-se o valor de z. Assim, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 356281 são:a) 34b) 41c) 49d) 51e) 54

12. (Ifal) Geralmente a aquisição de material escolar é feita no início de cada semestre letivo. Em virtude disso, acredita-se que, no mês de julho, será maior o fluxo de clientes nas livrarias e estabelecimentos que ofertam material escolar. Nesse mês, o faturamento desses estabelecimentos, pro-vavelmente, será superior ao do mês de junho. Para evitar desperdícios, é salutar uma pesquisa de preços antes da efetivação da compra. Numa dessas pesquisas, descobriu-se que, numa das lojas de Maceió, uma lapi-seira custa R$ 1,20 a mais do que o triplo do preço de uma caneta, e as duas juntas custam R$ 2,50.Assim: I. Sendo l o valor da lapiseira e c o valor da caneta, a sentença matemática

que representa as informações fornecidas é o sistema l 1 c 5 2,50l 1 3c 5 1,20

II. O preço da lapiseira é de R$ 1,85 e o da caneta é de R$ 0,65. III. Os preços aproximados da lapiseira e da caneta são, respectivamente,

R$ 2,18 e R$ 0,32. IV. O produto do preço da caneta pelo preço da lapiseira é, aproximadamen-

te, R$ 0,70.a) Todas as afirmações são falsas.b) Três afirmações são falsas.c) Duas afirmações são verdadeiras.d) Três afirmações são verdadeiras.e) Todas as afirmações são verdadeiras.

13. (EPCAr-MG) Três amigos, Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5 reais. Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4 reais. Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou k reais.

Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu, é correto afirmar que:a) o guaraná custou o dobro da esfirra.b) os três amigos, juntos, consumiram 16 reais.c) cada esfirra custou 2 reais. d) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu.


100

Áreas de figuras planas

Área de polígonosQuadrado Retângulo Paralelogramo

l

l

h

b

h

b

A área é dada por:

A 5 l2


A 5 b ? h


A 5 b ? h

Triângulo Losango Trapézio

h

b

d

D

h

b

B


A 5 b ? h _______ 2


A 5 D ? d _____ 2


A 5 (B 1 b) ? h

_______________ 2

Do cálculo da área dessas figuras planas, pode-se deduzir a fórmula para o cálculo da área de qual-quer polígono regular.

Triângulo equilátero Hexágono regular Polígono regular de n lados

l2

l2

h l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

a

Sendo l a medida do lado de um triângulo equilátero, pelo teorema de Pitágoras

sua altura mede l dXX 3 _____ 2 . Assim, a área desse

triângulo equilátero é dada por:

A 5 b ? h _______ 2 ä A 5 l ?

l dXX 3 _____ 2 _________ 2 ä A 5 l

2 dXX 3 ____ 4

Um hexágono regular cujos lados medem l pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros cujos lados também medem l. Assim, a área desse hexágono regular é dada por:

A 5 6 ? l2 dXX 3 ______ 4 ä A 5 3l2 dXX 3 _____

2

Um polígono regular de n lados de medida l pode ser decomposto em n triângulos isósceles cuja base também mede l e a altura é igual ao apótema do polígono. Sendo a a medida do apótema do polígono, sua área é dada por:

A 5 n ? l ? a ______ 2 ä A 5 n ? l ? a __________ 2 ä

ä A 5 P ? a ____ 2

(em que P é o perímetro do polígono)

Área do círculoCírculo Coroa circular Setor circular

rr

R

r

r

a

A 5 pr 2A 5 p(R2 2 r2) A 5

apr2

____ 360


101

Áre

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e fig

uras

pla

nas

QuestõesTo

das

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ões

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prod

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s or

igin

ais

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te. A

lgum

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as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (UCS-RS) A avaliação do número de pessoas em eventos públicos costuma ser

feita considerando a concentração de um número máximo de quatro pessoas por m2.Segundo esse critério, em uma área ao ar livre, com a forma da figura abai-xo, em que A, B e C são quadrados e os perímetros de A e B são, respectiva-mente, 16 m e 40 m, e somente a região D é destinada ao público, o número máximo de pessoas que poderão participar do evento é:

C

D

BA

50 m

a) 2 560 b) 4 656 c) 3 248 d) 4 800 e) 3 456

2. (Urca-CE) Considere o quadrado ABCD de lado a, como na figura abaixo.

BA

CD

Sabendo que AB, BC, CD e DA são semicircunferências, calcule a área da re-gião sombreada.

a) a2 ( 2 2 p ___ 2 ) u.a.

b) a2 ___ 2 (p 2 2) u.a.

c) a2 ( 2 2 p ___ 4 ) u.a.

d) a2(2 2 p) u.a.

e) 2a2(p 2 1) u.a.

3. (Unifacs-BA) O piso de uma sala é revestido com lajotas quadradas de dois tamanhos distintos, combinadas no padrão representado na figura. As linhas tracejadas representam dois riscos, que formam um ângulo de 308, e que fo-ram feitos no piso ao se arrastar, inadvertidamente, um móvel pesado.

Com base nessas informações e analisando-se a figura, pode-se afirmar que a razão entre as áreas de um quadrado maior e um quadrado menor é:a) 2 2 dXX 3

b) 7 2 4 dXX 3 c) 2 1 dXX 3 d) 7

e) 7 1 4 dXX 3


102

4. (UFMG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mos-trado nesta figura:

FS RE

AP

C

D

H

G

B

Então, é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é:

a) 1 1 2 dXX 2 dm2 c) 3 1 2 dXX 2 dm2

b) 1 1 dXX 2 dm2 d) 3 1 dXX 2 dm2

5. (Unimontes-MG) Com uma linha de 40 cm de comprimento, construímos um quadrado e, depois, com a mesma linha, construímos um trapézio isósceles, cuja base maior é o dobro da menor e os seus lados não paralelos têm medida igual à da base menor. É correto afirmar que a razão entre a área do trapézio e a área do quadrado é:

a) 25 ____ 12 dXX 3

b) 48 dXX 3

c) 12 ____ 25 dXX 3

d) 12 ____ 10 dXX 3

6. (Ifal) Qual é a área aproximada, em cm2, da figura sombreada abaixo, saben-do-se que o triângulo inscrito é equilátero e tem 6 cm de altura? (Use dXX 3 > 1,7 e p > 3.)

30°r 2 cm

a) 108b) 27,6

c) 67,2d) 60

e) 87,6

7. (UFSC) Calcule a área, em cm2, de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferência inscrita mede 1 cm. [...]

8. (Uece) A medida da área de um triângulo equilátero inscrito em uma circun-ferência, cuja medida do raio é igual a 1 m, é:

a) 3 dXX 3 ______ 4 m²

b) 3 dXX 3 ______ 2 m²

c) 2 dXX 3 m²

d) dXX 3 m²


103

Áre

as d

e fig

uras

pla

nas

9. (Unisinos-RS) Um quadrado tem área de 100 cm2. Se aumentarmos os com-primentos dos lados desse quadrado em 20%, a área do novo quadrado (em cm2) será igual a:a) 120b) 140c) 144

d) 164e) 200

10. (UEA-AM) De um triângulo equilátero ABC foram recortados 3 triângulos con-gruentes também equiláteros, conforme mostra a figura.

CA

B

Se a área do triângulo ABC, calculada pela fórmula l2 dXX 3 ______ 4 , era igual a 225 dXX 3

cm², então a área do hexágono regular remanescente é igual a:

a) 100 dXX 2 cm2 d) 150 dXX 6 cm2

b) 100 dXX 3 cm2 e) 175 dXX 3 cm2

c) 150 dXX 3 cm2

11. (FGV-SP) Em um mesmo plano estão contidos um quadrado de 9 cm de lado e um círculo de 6 cm de raio, com centro em um dos vértices do quadra-do. A área da região do quadrado não interceptada pelo círculo, em cm², é igual a:a) 9(9 2 p) d) 3(9 2 2p)

b) 9(4p 2 9) e) 6(3p 2 9)c) 9(9 2 2p)

12. (PUC-SP) Um retângulo tem lados a e b com a 1 b 5 14. Sabemos que sua diagonal mede 10. Qual a sua área?a) 10 d) 28b) 14 e) 48c) 24

13. (UEM-PR) Considere um triângulo equilátero ABC cuja base AB está apoiada sobre uma reta r e mede L cm. A partir do ponto B, constrói-se um novo triân-gulo equilátero BB’C’ cuja base BB’ também está apoiada na reta r e mede a metade de AB. Esse processo é novamente repetido a partir do ponto B’ e assim por diante, gerando uma sequência infinita de triângulos. Com base nessas informações, assinale o que for correto.[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. A sequência numérica, formada pelas medidas das áreas dos triângulos

em ordem decrescente, é uma progressão geométrica de razão 1 __ 2 .

02. A soma das áreas dos triângulos mede L2 dXX 3 _______ 3 cm².

04. Para qualquer que seja L . 0, a sequência numérica formada pelas áreas dos triângulos sempre conterá pelo menos um número inteiro.

08. A sequência numérica, formada pelas medidas das alturas dos triângu-los em ordem decrescente, é uma progressão aritmética de razão 2.

16. A soma das medidas das alturas é L dXX 3 cm.


104

Noções primitivas e postuladosO ponto, a reta e o plano são noções primitivas da geometria espacial. Utilizando essas noções ob-

têm-se definições de entes geométricos.Figura é um conjunto não vazio de pontos.Pontos colineares são pontos que pertencem à mesma reta.Pontos coplanares são pontos que pertencem ao mesmo plano.Semiespaços são os dois subconjuntos do espaço separados por um plano.Além disso, admitem-se alguns postulados na geometria espacial.

� Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma única reta à qual ambos pertencem. � Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. � Em um plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. � Três pontos não colineares determinam um único plano. � Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida no plano. � Todo plano divide o espaço em dois semiespaços.

Posição relativa de elementos do espaço

Posição relativa de dois pontosDados dois pontos no espaço, há duas possibilidades para a posição relativa desses entes

geométricos: ou os pontos são coincidentes ou os pontos são distintos.

Os pontos são coincidentes.

AB

A ù B

Os pontos são distintos.

A B

Posição relativa de ponto e retaDados um ponto e uma reta no espaço, há duas possibilidades para a posição relativa desses entes

geométricos: ou o ponto pertence à reta ou o ponto não pertence à reta.

O ponto P pertence à reta r.

Pr

P [ r

O ponto P não pertence à reta r.

P

r

P Ó r

Posição relativa de ponto e planoDados um ponto e um plano, há duas possibilidades para a posição relativa desses entes geométricos:

ou o ponto pertence ao plano ou o ponto não pertence ao plano.

O ponto P pertence ao plano a.

a

P

P [ a

O ponto P não pertence ao plano a.

a

P

P Ó a

Geometria espacial de posição


105

Geo

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ria

espa

cial

de

posi

ção

Posição relativa de duas retas

Dadas duas retas no espaço, há quatro possibilidades para a posição relativa desses entes geométricos: ou as retas são concorrentes, ou as retas são coincidentes, ou são paralelas, ou são reversas.

Se as retas têm um ponto comum, então elas são concorrentes.

a

Pr s

r > s 5 {P}

Se as retas têm todos os pontos comuns, então elas são coincidentes.

r ; s r ù s

Se as retas não têm ponto comum e estão contidas no mesmo plano, então elas são paralelas.

a r

P

s r > s 5 [

Se as retas não têm ponto comum e não estão conti-das no mesmo plano, então elas são reversas.

a

r

s

r > s 5 [

Duas retas que não têm ponto comum podem ser paralelas ou reversas, dependendo de elas estarem contidas ou não no mesmo plano. Se as retas estão contidas no mesmo plano, diz-se que são retas coplanares.

Observações � Duas retas concorrentes determinam um único plano. Duas retas concorrentes são sempre coplanares. � Duas retas paralelas determinam um único plano. Duas retas paralelas são sempre coplanares. � Duas retas reversas nunca são coplanares.

Posição relativa de reta e plano

Dados uma reta e um plano no espaço, há três possibilidades para a posição relativa desses entes geométricos: a reta está contida no plano, ou a reta é paralela ao plano, ou a reta é secante ao plano.

Se todos os pontos pertencentes à reta também pertencem ao plano,

então a reta está contida no plano.

a

r

r > a 5 r

Se a reta e o plano não têm pon-to comum, então a reta é parale-

la ao plano.

a

r

r > a 5 [

Se a reta e o plano têm um pon-to comum, então a reta é secante

ao plano.

a

r

P

r > a 5 {P}

ParalelismoA seguir são enunciados três teoremas a respeito do paralelismo entre entes do espaço.

� Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. � Se uma reta está contida em um plano e é paralela a um plano secante a ele, então a reta é paralela à intersecção dos dois planos.

� Se duas retas concorrentes são paralelas a um plano, então o plano determinado pelas retas também é paralelo a esse outro plano.


106

PerpendicularismoA seguir são enunciadas três definições a respeito do perpendicularismo entre

elementos do espaço.

Duas retas são ortogonais se elas são reversas e o ângulo entre elas mede 908.

Uma reta é perpendicular a um plano se ela for perpendicular a todas as retas contidas no plano e que são concorrentes a ela.

Dois planos são perpendiculares se um deles contiver uma reta perpendicular ao outro.

Do perpendicularismo entre uma reta e um plano tem-se o seguinte teorema.Se uma reta forma 908 com duas retas concorrentes de um plano, então ela é

perpendicular ao plano.

Projeção ortogonalA seguir têm-se as definições para algumas projeções ortogonais.

� A projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta é a intersecção da reta per-pendicular à reta dada que passa pelo ponto dado.

� A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é a intersecção da reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto dado.

� A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é o conjunto formado pelas projeções ortogonais de todos os pontos da reta sobre o plano.

� A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto formado pe-las projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano.As projeções ortogonais de um ponto P sobre uma reta r e de um ponto Q so-

bre um plano a estão ilustradas abaixo. A projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta ou sobre um plano é sempre um ponto.

P’ é a projeção ortogonal de P sobre a reta r.

P

P’ r

Q’ é projeção ortogonal de Q sobre a.

a ’

Teorema das três retas perpendicularesSão dadas uma reta r perpendicular a um plano a, uma reta s contida nesse

plano e concorrente à reta r, e ainda uma terceira reta t, perpendicular à reta s, tal que t ù r 5 [. Então as retas determinadas pela intersecção entre s e t e um pon-to qualquer de r são perpendiculares à reta t.

a

s

r

t

a

rr’

s

a a b

r

x

a

b

s

r


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la. 1. (UEPG-PR) Considerando dois planos a e b e uma reta r, assinale o que for

correto.[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. Se r é perpendicular a a e a b, então a é paralelo a qualquer plano que

contenha r.02. Se r é perpendicular a a e a b, então a e b são paralelos entre si.04. Se a e b são perpendiculares e a reta r está contida em a, então r é tam-

bém perpendicular a b.08. Se r é paralelo a a, então todo plano contendo r é paralelo a a.16. Se r ù a 5 [, então r e a são paralelos.

2. (UFPB) A figura abaixo representa uma escultura que se encontra em uma praça de certa cidade, conforme figura abaixo.

A B

C

H

G

E

F

D

J I

LK

Essa escultura foi feita com tubos de ferro, soldados uns aos outros, de for-ma que: os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices de um paralelepípedo reto

retangular; os pontos I, J, K e L são os vértices de um quadrado; os quatro triângulos, ADK, EFJ, GHI e BCL, são isósceles e congruentes

dois a dois; os oito trapézios, AFJK, DEJK, CDKL, EHIJ, CHIL, BGIL, ABLK e FGIJ, são

congruentes dois a dois.Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas.a) Os lados EJ e HI são coplanares.b) Os lados BG e DE são congruentes.c) Os lados AD e EF são paralelos.d) Os pontos A, B, E e G são coplanares.e) Os trapézios AFJK e EJKD têm um lado em comum.

3. (UEG-GO) Observe e classifique as afirmações abaixo como sendo verdadei-ras ou falsas. I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então as interseções

são retas paralelas. II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qual-

quer reta do outro. III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode ser reversa a uma

reta do outro.Marque a alternativa correta.a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras.


108

4. (Unifesp) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Neste caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é:

A

B

C

D

a) 6

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

5. (Urca-CE) Com relação às posições relativas de ponto, reta e plano no espaço é incorreto afirmar que:a) planos que não se tocam no espaço são paralelos.b) planos distintos e não paralelos se interceptam sobre uma reta.c) se uma determinada reta não intercepta um determinado plano, então es-

tes são paralelos.d) três pontos distintos e não colineares pertencem a um único plano.e) retas que não se tocam no espaço são paralelas.

6. (Ifal) É correto afirmar que:a) duas retas distintas não paralelas são sempre concorrentes.b) duas retas coplanares podem ser classificadas como reversas.c) um ponto A pode ser a intersecção dos planos a e b.d) a classificação que diz quando um poliedro é regular e quando é oblí-

quo leva em conta a medida dos lados dos polígonos que constituem suas faces.

e) todas as alternativas anteriores são falsas.

7. (UFMT) Sobre geometria espacial de posição, assinale a afirmativa correta.a) Se dois planos são paralelos a uma reta, então eles são paralelos entre si.b) Quatro pontos no espaço determinam quatro planos.c) Três planos distintos podem se cortar, dois a dois, segundo três retas duas

a duas paralelas.d) A interseção de dois planos secantes pode ser um único ponto.e) Duas retas reversas determinam um plano.

8. (Uece) Sejam r e s retas paralelas cuja distância entre elas é 3 m e MN um segmento unitário sobre a reta s. Se X é um ponto em r tal que a medida do segmento MX é 6 m e se P é a projeção ortogonal de N sobre MX ou seu pro-longamento, então a medida do segmento NP é:a) 1,20 mb) 0,50 mc) 1,00 md) 0,80 m


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posi

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9. (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano a. A reta s, perpen-dicular a a, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 dXX 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de XXX AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a:a) 9 dXX 5 b) 9c) 7d) 4e) 3 dXX 5

10. (Unioeste-PR) Dados dois planos paralelos e distintos no espaço, podemos afirmar quea) toda reta paralela a um destes planos está obrigatoriamente contida no

outro.b) uma reta que compartilha dois pontos distintos com um destes planos é

paralela ao outro plano.c) uma reta contida em um destes planos é paralela a qualquer reta que este-

ja contida no outro plano.d) se um terceiro plano intercepta estes dois planos, então esta interseção

são duas retas ortogonais.e) existem infinitas retas que interceptam um destes planos em apenas um

ponto e não interceptam o outro plano.

11. (Fatec-SP) No cubo ABCDEFGH, da figura, cuja aresta tem medida a, a . 1, sejam: P um ponto pertencente ao interior do cubo, tal que DP 5 1; Q o ponto que é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano ABCD; a a medida do ângulo agudo que a reta

_________

› DP forma com o plano ABCD;

R o ponto que é a projeção ortogonal do ponto Q sobre a reta _________

› AD ;

b a medida do ângulo agudo que a reta __________

› DQ forma com a reta

_________

› AD .

A B

CD

E

H

F

G

Nessas condições, a medida do segmento XXX DR , expressa em função de a e b, é:a) sen a ? sen bb) sen a ? tg bc) cos a ? sen bd) cos a ? cos be) tg a ? cos b

12. (Fuvest-SP) O ângulo u formado por dois planos a e b é tal que tg u 5 dXX 5 ____ 5 . O

ponto P pertence a a e a distância de P a B vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de a e b é igual a:a) dXX 3

b) dXX 5

c) dXX 6

d) dXX 7

e) dXX 8


110

PoliedrosUm conjunto de pontos é convexo se qualquer segmento de reta com extremidades em dois pontos

quaisquer desse conjunto está inteiramente contido nele.Poliedro é a união de um número finito de polígonos, denominados faces, e a região do espaço limi-

tada por eles, em que são válidas as seguintes afirmações. � Cada lado de um desses polígonos é também lado de um único outro polígono. � A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia.Acrescentando a definição de conjunto convexo à definição de poliedro, tem-se a definição de

poliedro convexo.

Relação de EulerRepresentando por V, A e F o número de vértices, de arestas e de faces, respectivamente, de um po-

liedro convexo, é sempre válida a seguinte relação.

V 2 A 1 F 5 2

Poliedros regularesUm poliedro convexo é regular se satisfaz às seguintes condições.

� Todas as suas faces são polígonos regulares e congruentes. � Em todos os seus vértices concorrem o mesmo número de arestas.Da definição de poliedros regulares, tem-se o seguinte teorema.Existem apenas cinco poliedros convexos regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e

icosaedro.

Poliedro regular

tetraedro hexaedro (cubo) octaedro dodecaedro

icosaedro

V 4 8 6 20 12

A 6 12 12 30 30

F 4 6 8 12 20

Polígono regular que forma cada face

triângulo quadrado triângulo pentágono triângulo

Quantidade de arestas por vértice

3 3 4 3 5

Sólidos


111

Sólid

os

PrismaSejam a e b dois planos paralelos, r uma reta secante a esses planos e P um po-

lígono contido no plano a. Consideram-se todos os segmentos de reta contidos em retas paralelas à reta r, de modo que uma extremidade do segmento pertença ao polígono P e a outra pertença ao plano b. A união de todos esses segmentos é um poliedro denominado prisma.

Elementos �Base: são os polígonos contidos nos planos a e b. �Aresta da base: são os lados das bases do prisma. � Aresta lateral: são os segmentos contidos em retas paralelas à reta r e cujas ex-tremidades são vértices das bases. � Face lateral: são os paralelogramos delimitados por duas arestas laterais conse-cutivas e os planos das bases. �Altura: é a distância entre os planos a e b. � Diagonal: é qualquer segmento de reta cujas extremidades são vértices do pris-ma que não pertencem à mesma face lateral.

ClassificaçõesUm prisma é reto quando a reta r é perpendicular aos planos a e b; caso contrário, o prisma é oblíquo.Um prisma é regular se for reto e se sua base for um polígono regular.

Área da superfície e volume de prismasEm um prisma, tem-se que AL é a área da superfície lateral, AB é a área da base e h é

a medida da altura.Sendo A a área total da superfície de um prisma e V o volume, têm-se as seguintes relações.

A 5 AL 1 2AB V 5 AB ? h

ParalelepípedoO paralelepípedo é um prisma cujas faces são paralelogramos. Se esse paralelepípedo é reto, ou seja, se suas fa-

ces são retângulos, então ele é denominado paralelepípedo reto-retângulo. Se essas faces também são quadrados, o paralelepípedo reto-retângulo é um cubo. Para esses sólidos geométricos, têm-se:

Representação geométrica Volume Área Medida D da diagonal

Paralelepípedo reto-retângulo

b

c

a

DV 5 a ? b ? c A 5 2(ab 1 ac 1 bc) D 5 dXXXXXXXXXXX a2 1 b2 1 c2

Cubo

aa

aDV 5 a3 A 5 6 ? a2 D 5 a dXX 3

CilindroSejam a e b dois planos paralelos, r uma reta secante a esses planos e C um círculo

contido no plano a. Consideram-se todos os segmentos de reta contidos em retas pa-ralelas à r, de modo que uma das extremidades do segmento pertença ao círculo C e a outra pertença ao plano b. A união de todos esses segmentos é um cilindro circular.

Para simplificar a linguagem, refere-se ao cilindro circular apenas como cilindro.

b

r

aP

DiagonalAltura

Base

Face lateral Aresta da base

Aresta lateral

Base

AB

h

b

a

Cr


112

Elementos � Base: são os círculos contidos nos planos a e b. � Raio: é o raio da base. � Eixo: é a reta que passa pelos centros das bases. � Geratriz: é qualquer segmento paralelo ao eixo, cujas extremidades são pontos das circunferências que delimitam as bases.

� Superfície lateral: é a união de todas as geratrizes. � Altura: é a distância entre os planos a e b.

ClassificaçõesUm cilindro é reto quando seu eixo é perpendicular aos planos a e b; caso con-

trário, o cilindro é oblíquo.Um cilindro é equilátero quando é um cilindro reto cuja geratriz (ou altura) é

congruente ao diâmetro da base.

Secção meridianaA secção meridiana de um cilindro é a intersecção entre o cilindro e um plano

que contém o seu eixo. As secções meridianas de um cilindro são paralelogramos.Se o cilindro é reto, então as secções meridianas são retângulos. Se o cilindro é

equilátero, então as secções meridianas são quadrados.

Área da superfície e volume de cilindros retosEm um cilindro reto, tem-se que AL é a área da superfície lateral, AB é a área da

base, h é a medida da altura e r é a medida do raio da base.

hh

r

2pr

Sendo A a área total da superfície de um cilindro reto e V o volume, têm-se as seguintes relações.

A 5 AL 1 2AB V 5 AB ? h

PirâmideDados um polígono P contido em um plano a e um ponto V não pertencente

a a. Consideram-se todos os segmentos de reta de modo que uma extremidade seja o ponto V e a outra pertença ao polígono P. A união de todos esses segmen-tos é uma pirâmide.

Elementos � Vértice: é o ponto V considerado na definição de pirâmide. � Base: é o polígono contido no plano a. � Aresta da base: são os lados da base da pirâmide. � Aresta lateral: são os segmentos que têm como extremidades o ponto V e um vértice da base.

� Face lateral: são os triângulos delimitados por duas arestas laterais consecuti-vas e o plano da base.

� Altura: é a distância entre o vértice e o plano a.

Altura

EixoRaio

Geratriz

BaseSuperfície lateral

Base

Secçãomeridiana

Secçãomeridiana

Eixo

V

aP

Vértice

Aresta lateral

Aresta da baseBase

Face lateral Altura

V


113

Sólid

os

ClassificaçãoUma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular e a projeção

ortogonal de seu vértice sobre o plano da base é o centro da base. Como conse- quência, as arestas laterais de uma pirâmide regular são congruentes e, desse modo, as faces laterais são triângulos isósceles.

Para uma pirâmide regular podemos destacar outro elemento: o apótema de uma pirâmide regular é a altura de uma de suas faces laterais.

b Apótemah

r

Área da superfície e volume de pirâmidesEm uma pirâmide, tem-se que AL é a área da superfície lateral, AB é a área da

base, h é a medida da altura, r é a medida do raio da base e b é a medida do apó-tema.

Sendo A a área total da superfície de uma pirâmide e V o volume, têm-se as se-guintes relações.

A 5 AL 1 AB V 5 1 __ 3

? AB ? h

ConeDados um círculo C contido em um plano a e um ponto V não pertencente a a.

Consideram-se todos os segmentos de reta de modo que uma extremidade seja o ponto V e a outra pertença ao círculo C. A união de todos esses segmentos é um cone circular.

Para simplificar a linguagem, refere-se ao cone circular apenas como cone.

Elementos � Vértice: é o ponto V considerado na definição de cone.

� Base: é o círculo contido no plano a.

� Eixo: é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

� Geratriz: é qualquer segmento cujas extremidades são o vértice e um ponto da circunferência que delimita a base.

� Superfície lateral: é a união de todas as geratrizes.

� Altura: é a distância entre o vértice e o plano a.

ClassificaçõesUm cone é reto ou de revolução quando seu eixo é perpendicular ao plano a;

caso contrário, o cone é oblíquo.Um cone é equilátero quando é um cone reto cuja geratriz é congruente ao diâ-

metro da base.

AB

b

a

c

h

r

a

V

C

Base

VérticeEixo

Superfície lateral

Geratriz

Altura

V


114

Secção meridianaA secção meridiana de um cone é a intersecção entre o cone e um plano que

contém o seu eixo. As secções meridianas de um cone são triângulos.Se o cone é reto, então as secções meridianas são triângulos isósceles. Se o

cone é oblíquo, então pelo menos uma de suas secções meridianas é um triân-gulo isósceles. Se o cone é equilátero, então as secções meridianas são triângulos equiláteros.

Área da superfície e volume de cones retosEm um cone reto, tem-se que AL é a área de sua superfície lateral, AB é a área de

sua base, g é a medida de sua geratriz, h é sua altura e r é a medida do raio da base.

g

g

g

2pr

rr

Sendo A a área total da superfície de um cone e V o volume, têm-se as seguin-tes relações.

A 5 AL 1 ABV 5 1 __

3 ? AB ? h

EsferaDados um ponto O e uma distância R maior do que zero. Consideram-se os

pontos do espaço cuja distância entre eles e o ponto O é menor do que ou igual a R. O conjunto formado por esses pontos é uma esfera.

Elementos

� Centro: é o ponto O considerado na definição de esfera.

� Superfície esférica: é o conjunto de pontos da esfera que distam R do centro.

� Raio: é qualquer segmento cujas extremidades são o centro e um ponto da superfície esférica.

SecçõesA secção plana de uma esfera é a intersecção entre a

esfera e um plano com pelo menos um ponto comum a ela. As secções planas de uma esfera são círculos.

Se o plano que intersecta a esfera contém o centro O, tem-se uma secção meridiana.

Área da superfície e volume de esferasEm uma esfera, tem-se que R é a medida de seu raio.Sendo A a área total da superfície de uma esfera e V o volume, têm-se as se-

guintes relações.

V 5 4 __ 3

pR3A 5 4pR2

Secçãomeridiana

Secçãomeridiana

Eixo

Superfície esférica

Raio

Centro

O

Secçãomeridiana

O

RO


115

Sólid

os

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (UEM-PR) Considere um prisma reto cuja base é um pentágono não regular

ABCDE, em que os lados AB e EA medem 10 dXX 2 cm, o lado CD mede 20 cm e os lados BC e DE são perpendiculares ao lado CD e têm metade da sua medi-da. Sabendo que a altura desse prisma é de 10 cm, assinale o que for correto.[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. A área lateral desse prisma mede 600 dXX 2 cm².02. O volume do prisma é 3 000 cm³.04. O prisma tem 7 faces retangulares.08. A área total do prisma é 1 200 cm².16. O prisma tem 10 vértices.

2. (UEL-PR) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir.

Eixocomum

10 c

m

12 cm

4 cm

A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares [...].Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? a) 640 dXX 3 cm3 d) 320 dXX 3 cm3

b) 1 280 dXX 3 cm3 e) 1 920 dXX 3 cm3

c) 2 560 dXX 3 cm3

3. (Unimontes-MG) Um bloco de madeira, com a forma de um prisma reto retan-gular, foi serrado na parte superior e deu origem ao sólido da figura abaixo.

2x 1 2

x 1 2

x 1 1

x

Com base nas informações da figura, o volume desse sólido é igual a:a) 1 __ 2 x(x 1 1)(x 12) c) 1 __ 3 x(x 1 1)(x 1 2)

b) x(x 1 1)(x 1 2) d) 3 __ 2 x(x 1 1)(x 1 2)

4. (UEA-AM) A água contida em um reservatório com a forma de um prisma reto de base quadrada, de área igual a 16 m², ocupava 75% da sua capacidade total. Foram consumidos 14 400 litros, que correspondem a 30% dessa água.Desse modo, pode-se concluir que a altura desse reservatório, em metros, é igual a:a) 3 b) 3,25 c) 3,5 d) 3,75 e) 4

5. (Unicap-PE) Classifique as afirmações em verdadeiro ou falso.a) Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são

semelhantes.b) Todo quadrado é um losango.c) Dois planos são secantes, quando têm apenas uma reta em comum. d) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. A soma das medidas dos ân-

gulos das faces desse poliedro é 3 660°.e) Um prisma quadrangular regular tem 10 cm de aresta lateral e 6 cm de aresta

da base; o seu volume é 360 cm³.


116

6. (UCPel-RS) Em um paralelepípedo retângulo, somando duas a duas as suas dimensões se obtêm, respectivamente, 26 cm, 24 cm e 20 cm. Então, o volu-me desse paralelepípedo é:a) 1 485 [cm3]b) 1 845 [cm3]

c) 1 458 [cm3]d) 1 854 [cm3]

e) 1 584 [cm3]

7. (PUC-PR) Num determinado dia foram registrados 10 mm de precipitação pluviométrica (chuva) no município de Curitiba, cuja área é de 435 km2. Su-ponha que toda essa água seja armazenada numa caixa de base retangular cujos lados medem 15 m 3 29 m.A altura desse reservatório, em metros, será de:a) 435 b) 29 c) 6 525 d) 189 225 e) 10 000

8. (Unicamp-SP) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm 3 8 cm 3 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces.

Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a:a) 360 b) 344 c) 324 d) 368

9. (Unicamp-SP) Uma caixa-d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colo-cada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo.

C

A Bx

xx

Supondo que XXX AB 5 6 m e XXX AC 5 1,5 m:a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa?b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da cai-

xa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa?

10. (PUC-PR) Certa empresa fabrica latas cilíndricas de dois tipos, A e B. As super-fícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas. Observe a ilustração abaixo:

a

2a

a

a

2a

2a

Se VA e VB indicam os volumes das latas dos tipos A e B, respectivamente, tem-se:a) VB 5 2VA

b) VB 5 4VA

c) VA 5 4VB

d) VA 5 2VB

e) VA 5 VB


117

Sólid

os

11. (Furb-SC) Um posto de combustíveis abastece mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas estão indicadas no esquema a seguir.

Reservatório

5 m

3 m

Considerando que o reservatório esteja vazio e que será abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão tanque, a uma vazão de 10 L por segun-do, em aproximadamente quantos minutos o reservatório será abastecido?a) 59 min c) 47 minb) 51 min d) 48 min

12. (Furb-SC) Um reservatório de água é alimentado por 4 tubos, cada um com 40 cm de diâmetro interno. Pretende-se substituir os quatro tubos por um único, capaz de alimentar o mesmo reservatório num mesmo intervalo de tempo. O novo tubo deverá ter um diâmetro de:a) 80 cm c) 120 cmb) 160 cm d) 100 cm

13. (Cesgranrio-RJ) Um sólido totalmente maciço é composto pela união de dois cilindros circulares retos de mesmo diâmetro. As densidades do cilindro me-nor e do cilindro maior valem, respectivamente, 8 900 kg/m3 e 2 700 kg/ m3.

4 m

2 m

3 m

Considerando-se p 5 3, a massa desse sólido, em toneladas, vale:a) 97,2b) 114,5c) 213,6d) 310,8e) 320,4

14. (UPE) Considere uma caixa de vidro, fechada, com formato de paralelepípe-do, de dimensões internas 20 cm, 20 cm e 50 cm. Observa-se que a água existente no interior dessa caixa atinge a altura de 16 cm, quando uma face não quadrada está no plano horizontal. Com base nesses dados, analise as afirmativas abaixo: I. A área total do interior da caixa é igual a 4 800 cm². II. O volume de água no interior da caixa é de 16 litros. III. Se for alterada a posição da caixa, de modo que uma face quadrada fique

no plano horizontal, então a altura do líquido será de 40 cm. IV. A caixa de vidro tem a mesma capacidade de uma lata cilíndrica, com raio

da base de 10 cm e altura de 50 cm, considerando p 5 3.Somente está correto o que se afirma em:a) I e IIb) II e IIIc) III e IVd) II, III e IV e) I, II e III


118

15. (Unimontes-MG) Um tanque de óleo cilíndrico, em posição horizontal, tem um comprimento de 10 m e um diâmetro interno de 6 m. Se a superfície re-tangular do óleo dentro do tanque é de 40 m2, então a profundidade do óleo é:

a) 2 dXX 5 m

b) (3 2 dXX 5 ) m ou (3 1 dXX 5 ) m

c) (3 1 dXX 5 ) m

d) (3 2 dXX 5 ) m

16. (Fatec-SP) O volume de um cilindro circular reto de raio r é 1 ___ 4 do volume de um bloco retangular com base quadrada de lado 10. Se o cilindro e o bloco retangular têm alturas iguais, conclui-se que a medida de r é:

a) 1 _____ dXX p

b) 2 _____ dXX p

c) 3 _____ dXX p

d) 4 _____ dXX p

e) 5 _____ dXX p

17. (UCS-RS) A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâ-metro, durante uma chuva torrencial, é depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 24p cm. Qual é a altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 200 mm de altura?a) 1,2 cmb) 12 cmc) 3,6 cmd) 7,2 cme) 72 cm

18. (PUC-Campinas-SP) Uma comunidade deseja construir uma réplica de um tem-plo antigo. Para tanto, devem ser feitas 2 fileiras com 6 colunas em cada uma.O formato de cada uma das colunas é o de um cilindro circular reto, de 4 m de altura e cujo diâmetro da base mede 50 cm. Supondo a aproximação p 5 3,1, a soma dos volumes dessas colunas, em metros cúbicos, é:a) 9,3b) 7,75c) 6,5

d) 5,24e) 4,65

19. (Ulbra-RS) O princípio de Cavalieri permite afirmar que um cilindro e um prisma, com áreas das bases equivalentes e mesma altura, possuem o mesmo volume. Uma empresa, preocupada com o meio ambiente, resolve rever as suas embalagens, com o objetivo de economizar matéria-prima. Entre o cilin-dro de raio 3 cm e altura de 10 cm ou o prisma quadrangular de aresta da base 5,32 cm e altura de 10 cm, ela deve optar pelo:a) cilindro, pois são necessários aproximadamente 245 cm² de alumínio para

fabricá-lo.b) prisma, pois são necessários aproximadamente 200 cm² de alumínio para

fabricá-lo.c) prisma, pois são necessários aproximadamente 270 cm² de alumínio para

fabricá-lo.d) cilindro, pois são necessários aproximadamente 145 cm² de alumínio para

fabricá-lo.e) prisma, pois são necessários aproximadamente 214 cm² de alumínio para

fabricá-lo.


119

Sólid

os

20. (FGV-SP) Um cubo de aresta 12 cm é seccionado duas vezes, formando três prismas de bases triangulares, sendo dois deles congruentes, como mostra a figura 1.

P

Figura 1

Em seguida, o cubo é novamente seccionado, como indicam as linhas tra-cejadas na figura 2, de modo que os dois cortes feitos dividem o cubo ori-ginal em três prismas de bases triangulares, sendo dois deles congruentes, como no primeiro caso. Ao final de todas as secções, o cubo foi dividido em nove peças.

P

Figura 2

O volume da peça final que contém o vértice P, em cm3, é igual a:a) 144b) 152c) 288

d) 432e) 466

21. (FGV-SP) Os centros das faces de um cubo de lado igual a 1 m são unidos formando um octaedro regular. O volume ocupado pelo cubo, em m3, e não ocupado pelo octaedro, é igual a:

a) 7 ___ 8

b) 5 ___ 6

c) 3 ___ 4

d) 2 __ 3

e) 1 __ 2

22. (Unesp) Há 4 500 anos, o imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo.As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide, hoje, são: sua base é um quadrado com 220 metros de lado; sua altura é de 140 metros.

Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 ? 104 m3, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2, 2 2 ? 1,4 > 6,78 e 2,26 4 1,88 > 1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente,a) 20b) 30c) 40

d) 50e) 60


120

23. (UTFPR) Um prisma pentagonal regular reto tem 15 cm² de área da base e 10 cm de altura. Dele foi retirada uma pirâmide de base inferior coincidente e metade da altura. O volume do sólido remanescente, em centímetros cúbicos, é:a) 125b) 150c) 25

d) 100e) 75

24. (UFMG) Nesta figura, estão representadas uma pirâmide, em forma de um tetraedro regular ABCD, e sua sombra, em forma de um quadrilátero ACBP:

A

B

C

D

Pa

Sabe-se que: cada aresta da pirâmide mede 20 m; o segmento CP está contido na mediatriz do segmento AB; o seno do ângulo a 5 C

P D é 2 __ 3 .

[...]a) Calcule a altura da pirâmide.b) Calcule a área da sombra da pirâmide.

25. (Unimontes-MG) Por uma pirâmide quadrangular regular passa um plano paralelo à base, o qual determina uma secção transversal de 20,25 m2, cuja distância ao vértice é de 6 m. Se a altura da pirâmide é 8 m, a aresta da base mede:a) 8 m b) 4,5 m c) 6 m d) 4 m

26. (PUC-RS) O metrônomo é um relógio que mede o tempo musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a foto.

Na representação abaixo, a é o lado da base maior, b é o lado da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide ABCDEFGH.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

aa

bb

Se a 5 4b e P é o volume total da pirâmide ABCDI, então:

a) V 5 3 ___ 4 P

b) V 5 3 ____ 16 P

c) V 5 15 ____ 16 P

d) V 5 15 ____ 64 P

e) V 5 63 ____ 64 P


121

Sólid

os

27. (UFMG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbi-cas, cujo lado mede a.Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pi-râmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a __ 2 .Considerando-se essas informações, é correto afirmar que, com a parafina ar-mazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de:a) 6 moldes.b) 8 moldes.

c) 24 moldes.d) 32 moldes.

28. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l. Os pontos M e N são pontos médios das arestas XXX AB e XXX BC , respectivamente.

A B

CD

E

H G

F

M

N

Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.

29. (Unimontes-MG) Na figura abaixo, XXX OC 5 1 cm e XXX CD 5 2 cm.

y

x

BG

E F

D

ACO

O volume do sólido que se obtém girando o triângulo OCD em torno da reta XXX OB é:

a) 4p _____ 3 cm3

b) 2p ____ 3 cm3

c) p ___ 3 cm3

d) p cm3

30. (UTFPR) Seja o sólido mostrado na figura a seguir, formado por um tronco de cone vazado por um cone invertido com vértice no centro da base maior do tronco de cone.

Se o volume do cone invertido é 12 cm3, então o volume deste sólido, em cm3, é igual a:a) 24b) 84

c) 96d) 36

e) 72


122

31. (PUC-SP) Um artesão dispõe de um bloco maciço de resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem usadas 50 contas, então, con-siderando o volume do cordão utilizado desprezível e a aproximação p 5 3, a área total da superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados, é:a) 1 250b) 1 480c) 1 650d) 1 720e) 1 850

32. (UEM-PR) Uma caixa com tampa possui a forma de um cilindro circular reto, com altura de 10 cm e a base com diâmetro medindo o triplo da altura. Essa caixa será preenchida com esferas idênticas que possuem o maior volume possível e de modo que uma das esferas tangencie o centro do disco que forma o fundo da caixa. Com base nessas informações, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. O volume da caixa é de 2 250p cm³.

02. O volume de cada esfera é de 500 ______ 3 p cm³.04. A caixa conterá 13 esferas.08. O volume livre restante na caixa, após a colocação das esferas, é de

3 250 ________ 3 p cm³.

16. Seja C a esfera no centro da caixa e C1 uma esfera tangente a C, o volume da região interna da caixa determinada por dois planos, ambos tangen-tes a C1 , que contenham o eixo do cilindro (caixa), é de 750p cm3.

33. (Uern) A figura representa um sorvete de casquinha, no qual todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um volume de meia bola de sorvete.

Considerando que o cone tem 12 cm de altura e raio 6 cm, então o volume to-tal de sorvete é:a) 216p cm3 c) 288p cm3

b) 360p cm3 d) 264p cm3

34. (Unisc-RS) Uma esfera de 60 cm de diâmetro está inserida em um aquário de base quadrada (60 cm 3 60 cm) com 70 cm de altura. Este aquário está repleto de água até a borda. Assinale a alternativa que informa a altura da coluna de água do aquário (em centímetros) quando a esfera for retirada.Obs.: para os cálculos, utilize p 5 3,14.a) 10,0b) 11,3c) 31,4

d) 35,0e) 38,6


123

Sólid

os

35. (Fuvest-SP) A esfera e, de centro O e raio r . 0, é tangente ao plano a. O plano b é paralelo a a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de e com b e, como vértice, um ponto em a, é igual a:

a) dXX 3 r3

_______ 4

b) 5 dXX 3 r3 ________ 16

c) 3 dXX 3 r3 ________ 8

d) 7 dXX 3 r3 ________ 16

e) dXX 3 r3

_______ 2

36. (UPE) Quatro bolas de isopor estão perfeitamente acondicionadas em uma caixa cilíndrica, ou seja, as bolas tangenciam as paredes da caixa.

Se o diâmetro de cada bola mede 6 cm, que percentual aproximado do volume da caixa é ocupado pelas quatro bolas?a) 78%b) 72%

c) 67%d) 62%

e) 58%

37. (UTFPR) Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de área igual a 64p cm2. Se a altura da calota determinada por este círculo é igual a 4 cm, então pode-se afirmar que o volume da esfera, em cm3, é igual a:

a) 4 000p ___________ 3

b) 1 000p

c) 1 000p ___________ 3

d) 2 000p

e) 2 000p ___________ 3

38. (UEM-PR) Alguns tipos de embalagens de bolas de tênis têm a forma de um cilindro, onde as bolas são colocadas umas sobre as outras. Considere uma embalagem contendo 4 bolas de tênis, cada bola com diâmetro de 6,4 cm, e suponha que a embalagem fechada seja um cilindro circular reto com diâmetro da base igual ao das bolas e cuja altura seja a soma dos diâmetros das 4 bolas. Desprezando as espessuras das bolas e da embalagem, bem como quaisquer deformações nelas, e considerando p 5 3, assinale o que for correto.[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. O volume da embalagem é menor do que 800 cm³.02. Cada bola ocupa um espaço com volume menor do que 130 cm³.04. A área de superfície de cada uma das bolas é menor do que 120 cm².08. O volume do espaço livre, entre as bolas e a embalagem, é menor do que

280 cm³.16. A área lateral da embalagem é maior do que 520 cm².


124

Medidas de posição

Média aritmética A média aritmética dos valores observados

de uma variável quantitativa é o quociente entre a soma desses valores e a quantidade de valores observados.

Se x1, x2, ..., xn são os n valores observados de uma variável quantitativa, então a média aritmé-tica X x desses valores é dada pela fórmula abaixo.

Quando os valores observados de uma variável tiverem graus de importância distintos são atribuí- dos pesos a esses valores e sua média aritmética é calculada pela soma do produto de cada um dos valores pelo seu peso, dividida pela soma dos pe-sos. Essa é a média aritmética ponderada.

Se x1, x2, ..., xn são os valores de uma variável quantitativa e p1, p2, ..., pn são seus pesos, então a média aritmética X x desses valores é dada pela fór-mula abaixo.

Média geométricaA média geométrica dos valores positivos ob-

servados de uma variável quantitativa é a raiz ené-sima do produto desses valores.

Se x1, x2, ..., xn são os valores de uma variável quantitativa, então a média geométrica X x desses valores é dada pela seguinte fórmula.

x 5 n dXXXXXXXXXXXXX x1 ? x2 ? ... ? xn

Média harmônicaA média harmônica dos valores não nulos ob-

servados de uma variável quantitativa é o quo-ciente entre a quantidade de valores observados e a soma dos inversos desses valores.

Se x1, x2, ..., xn são

os n valores observados de uma variável quantitativa, então a média harmô-nica X x desses valores é dada pela seguinte fórmula.

X x 5 n _______________ 1 __ x1

1 1 __ x2 1 ... 1 1 __ xn

X x 5 x1 1 x2 1 ... 1 xn _______________ n

X x 5 x1 ? p1 1 x2 ? p2 1 ... 1 xn ? pn _________________________

p1 1 p2 1 ... 1 pn

ModaA moda dos valores observados de uma variá-

vel quantitativa é o valor observado que aparece com maior frequência.

A moda dos valores observados de uma variá-vel é denotada por Mo.

MedianaA mediana dos valores observados de uma va-

riável quantitativa é: � o valor que ocupa a posição central dos dados observados ordenados, se essa quantidade de dados for ímpar;

� a média aritmética dos dois valores que ocu-pam as posições centrais dos dados observa-dos ordenados, se essa quantidade de dados for par.A mediana dos valores observados de uma va-

riável é denotada por Me.

Medidas de dispersão

VariânciaA variância é uma medida que quantifica a

dispersão dos valores observados de uma variá-vel quantitativa em relação à sua média aritmética.

A variância dos valores observados de uma va-riável é denotada por s2.

Se x1, x2, ..., xn são os n valores observados de uma variável quantitativa e X x é a média aritmética des-ses valores, então a variância dos valores x1, x2, ..., xn é dada pela seguinte fórmula.

s2 5 (x1 2 X x )2 1 (x2 2 X x )2 1 ... 1 (xn 2 X x )2

________________________________ n

Desvio-padrãoO desvio-padrão dos valores observados de

uma variável quantitativa é a raiz quadrada da va-riância desses valores.

O desvio-padrão dos valores observados de uma variável é denotado por s. Portanto, s 5 dXXX s2 .

Esse desvio também é uma medida estatística de dispersão. Quanto mais próximo de zero es-tiver o desvio-padrão de uma variável observa-da, mais homogênea é a distribuição dos valores dessa variável.

Medidas de posição e de dispersão


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la. 1. (Unimontes -MG) Dada a função f: [21, 0] é R definida por f(x) 5 2x2 1 6x 2 5,

a média aritmética entre o máximo e o mínimo de f é:a) 5,5 b) 27,5 c) 28,5 d) 6,5

2. (FGV -SP) A média aritmética de 20 números reais é 30, e a média aritmética de 30 outros números reais é 20. A média aritmética desses 50 números é:a) 27 b) 26 c) 25 d) 24 e) 23

3. (Unimontes -MG) Em um conjunto de 10 números, se cada um deles for au-mentado em 20 unidades, a média aritmética dos dez números originais:a) é aumentada em 200 unidades.b) permanece a mesma.c) é aumentada em 2 unidades.d) é aumentada em 20 unidades.

4. (Unifor -CE) O gráfico abaixo, publicado na Folha de S.Paulo, mostra os gastos (em bilhões de reais) do Governo Federal com os juros da dívida pública no período de 2004 a 2010.

Bilh

ões

de r

eais

Ano

20

40

60

80

100

120

19,5 23,6

102,2

70,0

54,757,4

20,6

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Adaptado.

Analisando o gráfico, podemos afirmar que o item correto é:a) em 2006, o gasto foi maior do que em 2005.b) o menor gasto foi em 2006.c) em 2006, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 2005.d) a média dos gastos nos anos de 2009 e 2010 foi de R$ 63,7 bilhões.e) os gastos decresceram de 2006 a 2008.

5. (Furb -SC) O gráfico abaixo representa a quantidade de lixo reciclável (em toneladas) produzido pelos bairros A e B durante cinco meses.

Ton

elad

as

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio

Bairro A Bairro B

Analisando o gráfico [...], é correto afirmar:a) o bairro A produziu duas toneladas a mais de lixo do que o bairro B nesses

cinco meses.b) a maior diferença (em toneladas) entre os dois bairros ocorreu no mês de

março.c) o bairro B produziu mais lixo que o bairro A durante todos os cinco meses.d) a média de produção de lixo foi de 5 t/mês para o bairro A e 7 t/mês para o

bairro B.


126

6. (UEL-PR) A média aritmética dos números a e b é a 1 b ________ 2 e a média geométrica de a e b é dXXXX (a b) . Dois números têm média aritmética 4,1 e média geométrica 4. A alternativa correta que apresenta o maior deles é:a) 1 c) 2 e) 5b) 4 d) 8,2

7. (UFPR) Um professor de estatística costuma fazer duas avaliações por semes-tre e calcular a nota final fazendo a média aritmética entre as notas dessas duas avaliações. Porém, devido a um problema de falta de energia elétrica, a segunda prova foi interrompida antes do tempo previsto e vários alunos não conseguiram terminá -la. Como não havia a possibilidade de refazer a ava-liação, o professor decidiu alterar os pesos das provas para não prejudicar os alunos. Assim que Amanda e Débora souberam da notícia, correram até o mural para ver suas notas e encontraram os seguintes valores:

Nome 1a prova 2a prova Nota final da disciplina

Amanda 82 52 72,1

Débora 90 40 73,5

Qual foi o peso atribuído à segunda prova?a) 0,25 d) 0,35b) 0,30 e) 0,40c) 0,33

8. (FGV -SP) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a:a) 1,70 d) 1,73b) 1,71 e) 1,74c) 1,72

9. (Ulbra -RS) Preocupada com a sua locadora, Marla aplicou uma pesquisa com um grupo de 200 clientes escolhidos de forma aleatória, sobre a quantidade de filmes que esses locaram no primeiro semestre de 2011. Os dados coleta-dos estão apresentados na tabela a seguir:

Número de filmes alugados

Número de filmes Frequência

0 25

1 30

2 55

3 90

Total 200

A média, a moda e a mediana destes dados são, respectivamente, as seguintes:a) 2,05; 3; 2b) 1,5; 2; 3c) 1,5; 3; 3d) 1,5; 3; 2e) 2,05; 2; 3

10. (FGV -SP) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O maior valor possível para a mediana dos nove números da lista é:a) 5 d) 8b) 6 e) 9c) 7


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11. (FGV -SP) O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos.

1

2

3

03 4 6

Massa de cada objeto (em kg)

Núm

ero

de o

bjet

os

Acrescentando -se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada, sabe -se que a mé-dia não se altera, mas o desvio-padrão se reduz à metade do que era. Assim, é correto afirmar que n é igual a:a) 18 b) 15 c) 12 d) 9 e) 8

12. (UEFS -BA) Em estatística, as medidas de dispersão indicam o quão próximos ou afastados os valores (xi) de um conjunto de dados estão em relação à mé-dia aritmética ( X x ) dos valores desse conjunto. Uma das medidas de dispersão é o desvio -padrão. Ela é definida como a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios (xi 2 X x )2.O gráfico representa o consumo de água em certa residência de Feira de San-tana no primeiro semestre de 2011.

Con

sum

o

Mês

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho

15

17

13

1819

14

Nessas condições, de acordo com a ilustração e o texto, pode -se afirmar que:a) houve uma regularidade no consumo dos dois trimestres, pois o desvio-pa-

drão calculado para o 1o trimestre foi igual ao calculado para o 2o trimestre.b) o consumo do 2o trimestre foi mais regular, pois o desvio -padrão calculado

para o 2o trimestre foi maior que o calculado para o 1o trimestre.c) o consumo do 2o trimestre foi mais regular, pois o desvio -padrão calculado

para o 2o trimestre foi menor que o calculado para o 1o trimestre.d) o consumo do 1o trimestre foi mais regular, pois o desvio -padrão calculado

para o 1o trimestre foi maior que o calculado para o 2o trimestre.e) o consumo do 1o trimestre foi mais regular, pois o desvio -padrão calculado

para o 1o trimestre foi menor que o calculado para o 2o trimestre.

13. (UFPel -RS) Em um concurso, as notas finais dos candidatos foram as seguintes:

Número de candidatos Nota final

7 6,0

2 7,0

1 9,0

Com base na tabela anterior, é correto afirmar que a variância das notas finais dos candidatos foi de:

a) 0,75 b) 0,65 c) dXXXXX 0,65 d) dXXXXX 0,85 e) 0,85


128

Problemas de contagem

Princípio multiplicativoSe um acontecimento A pode ocorrer de m ma-

neiras diferentes e se, para cada uma das m ma-neiras possíveis de ocorrências de A, um segun-do acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocor-rer o acontecimento A seguido do acontecimento B é m ? n.

Esse princípio é conhecido como princípio multiplicativo e pode ser estendido a mais do que dois acontecimentos.

FatorialDado um número natural n, com n > 2, o

fatorial de n é o produto dos números naturais de 1 a n.

O fatorial de n é denotado por n! (lê -se “n fato-

rial”) e é calculado por: n! 5 1 ? 2 ? 3 ?...? (n 2 1) ? n

Define -se também que 0! 5 1 e 1! 5 1.

ObservaçãoPela propriedade comutativa da multiplicação,

também se pode escrever:

n! 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? (n 2 3) ? ... ? 3 ? 2 ? 1

PermutaçõesPermutação simples é uma ordenação de n

elementos distintos.A permutação simples é denotada por Pn e é

calculada por: Pn 5 n!

Permutação com repetição é uma ordenação de n elementos, em que alguns elementos se re-petem.

Considerando n elementos, entre os quais há n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nk elementos iguais a ak, a permutação de n elementos, com esses elementos repeti-dos, é denotada por P

n n1, n2, ..., nk e é calculada por:

P n n1, n2, ..., nk 5 n! _________________

n1! ? n2! ? n3! ? ... ? nk

ObservaçãoA permutação das letras de uma palavra é de-

nominada anagrama, mesmo que as novas pala-vras não tenham significado.

Análise combinatória

Combinação

Combinação simples é um subconjunto de k elementos, escolhidos entre n elementos.

A combinação simples é denotada por Cn, k e é

calculada por: Cn, k 5 n! __________ k! ? (n 2 k)!

Observações

Para k 5 0, k 5 1 e k 5 n, têm -se Cn, 0 5 1, Cn, 1 5 n e Cn, n 5 1.

Coeficiente binomial

Uma combinação simples, Cn, k, também pode ser indicada por ( n

k ) , denominado coeficiente

binomial, em que n é o numerador e k é o denominador.

Binômio de NewtonO desenvolvimento do binômio (x 1 a)n, em

que n [ R, x [ R e a [ R, é dado por:

(x 1 a)n 5 S k 5 0 n ( n

k ) ? xkan 2 k

Ou seja:

(x 1 a)n 5 ( n 0 ) ? x0an 2 0 1 ( n 1 ) ? x1an 2 1 1

1 ( n 2 ) ? x2an 2 2 1 ... 1 ( n n ) ? xnan 2 n

Características do binômio de Newton

� O desenvolvimento do binômio (x 1 a)n tem n 1 1 termos.

� Se os termos do desenvolvimento do binômio (x 1 a)n forem escritos na ordem decrescente das potências de x, então um termo qualquer desse ordenamento é dado por:

Tk 1 1 5 ( n k ) ? akxn 2 k

� Os coeficientes do desenvolvimento do binômio (x 1 a)n são os elementos da linha n do triân- gulo de Pascal.

� A soma dos coeficientes numéricos do desen-volvimento do binômio (x 1 a)n é 2n.


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la. 1. (PUC -PR) No jogo da Mega-Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15

números, de um total de 60 opções disponíveis. O valor da aposta é igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número de sequências de seis números que são possíveis, a partir daqueles números assinalados pelo apostador.Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas uma sequência favorável e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 números, tem sete sequências favoráveis, ou seja, é possível formar sete sequências de seis números a partir dos sete números escolhidos. Neste caso, o valor da aposta é R$ 14,00.Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem apologia a qualquer tipo de jogo, assinale a única alternativa correta.a) A aposta máxima custará R$ 5 005,00.b) Uma aposta com 14 números assinalados custará entre R$ 3 000,00 e

R$ 3 050,00.c) O custo de uma aposta com 12 números assinalados será inferior a

R$ 1 830,00.d) Apostar um cartão com 13 números assinalados custará o dobro da aposta

de um cartão com 12 números assinalados.e) Apostar dois cartões com dez números assinalados, ou cinco cartões com

nove números assinalados, são opções equivalentes em termos de custo e de chance de ser ganhador do prêmio máximo.

2. (Urca -CE) Seja k 5 (n! 1 1)! 2 n!!

__________________ n!! . Então, podemos afirmar que:

a) k 5 n!! d) k 5 n!! ? n!b) k 5 n! e) k 5 (n 2 1)! 2 1c) k 5 n 2 n!

3. (Unesp) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. As-sim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquer-da para a direita”.

A

B

O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:a) 95 040 b) 40 635 c) 924 d) 792 e) 35

4. (PUC -RS) O número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T é:a) 15 b) 30 c) 180 d) 360 e) 720

5. (UFSCar -SP) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mu-lheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sendo exatamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas:a) dentre todos os seus amigos no trabalho.b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre

seus respectivos amigos.


130

6. (Unicamp -SP) O grêmio estudantil do colégio Alvorada é composto por 6 alu-nos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu -se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode -se formar essa comissão? a) 6 720 c) 806 400b) 100 800 d) 1 120

7. (Unesp) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de se-rem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prê-mio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar: a) R$ 15,00 d) R$ 70,00b) R$ 30,00 e) R$ 140,00c) R$ 35,00

8. (FGV -SP) Um hospital dispõe de três médicos e de quatro enfermeiras para formar uma Comissão de Ética (CE) e uma Comissão de Controle de Infecções Hospitalares (CCIH). Cada comissão deve ser composta de um médico e duas enfermeiras e ninguém pode pertencer às duas comissões. Juntas, uma CE e uma CCIH constituem uma “formação”. O número de “formações” distintas que podem ser constituídas é: a) 36 b) 18 c) 324 d) 144 e) 6

9. (Uerj) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina -se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que con-têm uma quadra é igual a:a) 624 b) 676 c) 715 d) 720

10. (Unifesp) Duzentos e cinquenta candidatos submeteram -se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo -se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode -se afirmar que pelo menos:a) um candidato errou todas as respostas.b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas.c) um candidato acertou todas as respostas.d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas.e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.

Paul

o M

anzi

/ID/B

R


131

Aná

lise

com

bina

tóri

a

11. (UCS -RS) Em uma prova, as seis primeiras questões eram do tipo C/E, em que o candidato devia optar entre certo ou errado para sua resposta. Nas outras quatro questões, o candidato devia escolher, entre três alternativas, a verdadeira.Quantas sequências de respostas são possíveis na resolução da prova?a) (6 ? 2)2

b) (6 ? 2) 1 (4 ? 3)c) 62 ? 43

d) 102 1 3

e) 26 ? 34

12. (PUC -GO) [...] No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra “MODERNIDADE”, partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo?

MODERNIDADE

MODERNIDAD

MODERNIDA

MODERNID

MODERNI

MODERN

MODER

MODE

MOD

MOM

a) 11 b) 1 024 c) 22 d) 1 036

13. (UFRN) A figura [...] mostra um quadro com sete lâmpadas fluorescentes, as quais podem estar acesas ou apagadas, independentemente umas das outras. Cada uma das situações possíveis corresponde a um sinal de um código.

Nesse caso, o número total de sinais possíveis é:a) 21 b) 42 c) 128 d) 256

14. (UFMG) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o progra-mador musical conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop.Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos pro-gramas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas.Assim sendo, é correto afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado por:a) 4! ? 3! ? 3! ? 3! c) 4! ? 3! ? 3!

b) 10! _____ 7! d) 10! ________ 7! ? 3!

15. (UEA -AM) Um determinado artesanato terá uma faixa colorida composta de três listas de cores distintas, uma lista abaixo da outra. As cores utilizadas serão azul, vermelha e laranja.O número de maneiras distintas em que essas listas coloridas podem ser dis-postas de forma que as cores azul e vermelha fiquem sempre juntas é:a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9


132

Experimento aleatórioExperimento aleatório é todo experimento

que, repetido em condições idênticas, apresenta re-sultados imprevisíveis entre os possíveis resultados.

Espaço amostralO espaço amostral é o conjunto finito forma-

do pelos possíveis resultados de um experimen-to aleatório. Esse espaço amostral é equiprovável quando todos os seus elementos têm chances iguais de ocorrer.

EventoEvento é todo subconjunto do espaço amostral

de um experimento aleatório. � Dois eventos são mutuamente exclusivos se não têm elementos comuns.

� Dois eventos são complementares se a ocor-rência de um deles acarreta a não ocorrência do outro.

� Dois eventos são dependentes se a ocorrência de um interfere na ocorrência do outro. Caso contrário, os eventos são independentes.

� Se A e B são dois eventos de um espaço amos-tral S, então A > B também é um evento de S, denominado evento intersecção de A e B. Esse evento só acontece quando ocorrem os eventos A e B, simultaneamente. Diz-se então que esses eventos são sucessivos.

� Se A e B são dois eventos de um espaço amos-tral S, então A < B também é um evento de S, denominado evento união de A e B. Esse even-to só acontece quando ocorre o evento A ou o evento B (ou ambos).

ProbabilidadeA probabilidade de ocorrência de um evento

de espaço amostral equiprovável é a razão entre a quantidade de elementos desse evento e a quanti-dade de elementos do espaço amostral.

Sendo S um espaço amostral equiprovável e E um evento desse espaço, a probabilidade P(E) de ocorrência do evento E é:

P(E) 5 n(E) ____ n(S)

Em que, n(E) e n(S) é o número de elementos de E e S.

Observações � A probabilidade P(E) de um evento E ocorrer é sempre um número entre 0 e 1:

0 < P(E) < 1

� Se P(E) 5 0, então o evento é impossível. � Se P(E) 5 1, então o evento é certo. � A probabilidade de ocorrência do evento inter-secção A > B é:

P(A > B) 5 n(A > B) ________ n(S)

� A probabilidade de ocorrência do evento união A < B é:

P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B)

Probabilidade condicionalDados dois eventos A e B, com P(B) . 0, a proba-

bilidade condicional de ocorrer o evento A, dado que o evento B já ocorreu, é a razão entre a pro-babilidade de ocorrer o evento intersecção A > B e a probabilidade de ocorrer o evento B.

Indica-se por P(A|B) a probabilidade condicio-nal de ocorrer um evento A, dado que um evento B já ocorreu.

P(A|B) 5 P(A > B) ________

P(B)

Probabilidade de eventos sucessivosSe A e B são dois eventos sucessivos e depen-

dentes, então a probabilidade de ocorrer o evento intersecção A > B é:

P(A > B) 5 P(B) ? P(A|B)

Se esses eventos forem sucessivos e indepen-dentes, então P(A|B) 5 P(A), e a probabilidade de ocorrer o evento intersecção A > B é:

P(A > B) 5 P(A) ? P(B)

Probabilidade


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la. 1. (EsPCEx-SP) Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de

bases triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte re-versas é:

a) 1 __ 3

b) 2 __ 3

c) 1 ___ 6

d) 1 ___ 4

e) 1 __ 2

2. (Fatec-SP) O Centro Paula Souza administra Escolas Técnicas (Etecs) e Facul-dades de Tecnologia (Fatecs) estaduais em 149 municípios, no estado de São Paulo. Para participar de um simpósio sobre educação a distância, a Fatec São Paulo enviou cinco alunos, sendo dois homens; a Fatec Sorocaba enviou três alunos, sendo uma mulher; e a Fatec da Baixada Santista enviou quatro alunos, sendo dois homens. Para a abertura desse simpósio, será selecionada, ao acaso, uma dessas Fatecs e dela se escolherá, também ao acaso, um aluno para representar o Centro Paula Souza. A probabilidade de que o aluno esco-lhido seja uma mulher é:

a) 16 ____ 45

b) 37 _____ 90

c) 19 ____ 45

d) 43 _____ 90

e) 28 ____ 45

3. (FGV-SP) Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que: 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança; 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento; 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimen-

to simultaneamente.Sorteando uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: a) 0,05b) 0,20c) 0,35

d) 0,50e) 0,65

4. (UFMG) Dois jovens partiram do acampamento em que estavam em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:

Cachoeira Grande

Cachoeira Pequena

Acampamento

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabili-dade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é correto afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é:

a) 1 __ 2 c) 3 ___ 4

b) 2 __ 3 d) 5 ___ 6

5. (PUC-SP) Considere uma urna contendo 10 bolas vermelhas e 6 bolas verdes. Retirando-se simultaneamente duas bolas da urna, qual é a probabilidade de que as duas bolas selecionadas sejam vermelhas?

a) 1 ___ 4 d) 2 __ 3

b) 3 ___ 8 e) 2

c) 1 __ 2


134

6. (UPE) A figura a seguir mostra 12 soldados formados, cada um com um núme-ro de identificação.

O coronel vai sortear três desses soldados para carregar a bandeira na for-matura. Qual a probabilidade de serem sorteados três soldados alinhados?

a) 1 ___ 4 d) 3 ____ 12

b) 1 ____ 11 e) 3 ___ 8

c) 1 ____ 12

7. (PUC-PR) Ana e Helena, paranaenses, e Júlia e Mariana, paulistas, foram as quatro finalistas de um concurso de beleza promovido por uma rede de televi-são. Destas, duas viajarão de graça para a Europa. A escolha das ganhadoras da viagem acontecerá mediante um sorteio realizado ao vivo durante um dos programas da referida emissora. A probabilidade de as ganhadoras serem de estados diferentes é de:a) 66,67% d) 83,33%b) 50,00% e) 16,67%c) 33,33%

8. (Uerj) Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbi-tros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa esco-lha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal.

9. (Ufam) No ano de 2011, julho terá cinco sextas-feiras, cinco sábados e cinco domingos.

DOMJulho

SEG TER QUA QUI SEX SAB

1 2

3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

31

Se escolhermos ao acaso um dia do mês de julho de 2011, a probabilidade de este dia ser um domingo é aproximadamente:a) 12,23% d) 16,66%b) 14,28% e) 19,35%c) 16,13%

10. (PUC-SP) Um baralho comum tem 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas.a) Ana Lúcia retira uma carta do baralho completo, a examina e a devolve ao

baralho. Depois de embaralhar novamente as cartas, ela volta a retirar uma carta.

Qual é a probabilidade de que, nas duas retiradas, a cor da carta tenha sido a mesma?

b) Ana Lúcia retira, simultaneamente, duas cartas de um baralho completo. Qual é a probabilidade de que as duas cartas sejam da mesma cor?


135

Pro

babi

lidad

e

11. (Fuvest-SP) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a, b), em que 11 < a < 22 e 43 < b < 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, b) de tal forma que a fração a __

b seja irredutível e com denominador par?

a) 7 ____ 27

b) 13 ____ 54

c) 6 ____ 27

d) 11 ____ 54

e) 5 ____ 27

12. (Unesp) O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de au-tomóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo.

A B C D E

A 0,6 0,1 0,2 0,1 0,0

B 0,3 0,5 0,0 0,1 0,1

C 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1

D 0,3 0,2 0,2 0,3 0,0

E 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2

A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca C, após duas compras, é: a) 0,25 d) 0,09b) 0,24 e) 0,00c) 0,20

13. (ITA-SP) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade de o alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a:

a) 2 ___ 9 d) 5 ___ 9

b) 1 __ 3 e) 2 __ 3

c) 4 ___ 9

14. (ITA-SP) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são nor-mais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é re-tirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é:

a) 7 ___ 8 d) 3 __ 5

b) 5 __ 7 e) 3 __ 7

c) 5 __ 8

15. (Unicamp-SP) Uma empresa tem 5 000 funcionários. Desses, 48% têm mais de 30 anos e 36% são especializados. Entre os especializados, 1 400 têm mais de 30 anos. a) Quantos funcionários têm até 30 anos e não são especializados?b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a probabilidade de ele ter até

30 anos e ser especializado?


136

Ponto

Distância entre dois pontosDados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), a distância d(A, B) entre eles é dada por:

d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (xB 2 xA)2 1 (yB 2 yA)2

Ponto médio de um segmentoDados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), as coordenadas do ponto médio M(xM, yM) do segmento AB

são dadas por: xM 5 xA 1 xB ______

2 e yM 5

yA 1 yB ______ 2

Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são colineares se, e somente se, xA yA 1xB yB 1xC yC 1

5 0

RetaDados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), a equação da reta que passa por esses pontos é dada por:

x y 1xA yA 1

xB yB 1

5 0

Inclinação e coeficiente angularA inclinação de uma reta é o ângulo que ela forma com o eixo das abscissas, medido no sentido po-

sitivo (anti-horário). O coeficiente angular de uma reta r é a tangente de sua inclinação.Dada uma reta r, há quatro possibilidades para a inclinação u e o coeficiente angular m dessa reta.

Representação no plano cartesiano

x

y

r

r

x

yr

u

A

xB

xA

yA

yB

B

x

y

r

u

Ax

Ay

A

yB

B

x

y

xB

Inclinação (em graus)

0 Não se define. u u

Coeficiente angular

0 Não se define.m 5 tan u 5

Dy _____

Dx 5

yB 2 yA _________ xB 2 xA

Nesse caso, mr . 0.

m 5 tan u 5 Dy

_____ Dx

5 yB 2 yA _________ xB 2 xA

Nesse caso, mr , 0.

Conhecendo um ponto A(xA, yA) de uma reta e seu coeficiente angular m, a equação dessa reta é dada por:

y 2 yA 5 m(x 2 xA)

Geometria analítica


137

Geo

met

ria

anal

ític

a

Equações

Forma reduzida Forma segmentária Forma paramétrica

Dada uma reta de coeficiente angular m e que intersecta o eixo y no ponto de ordenada n, sua equação na forma reduzida é dada por:

y 5 mx 1 n

Dada uma reta que intersecta o eixo x no ponto de abscissa q e o eixo y no ponto de ordenada n, sua equação na forma reduzida é dada por:

x __ q 1 y __ n 5 1

Dada uma reta de equação y 5 mx 1 n, sua equação na forma paramétrica é escrita utilizando funções f e g calculadas para um parâmetro t, t [ R, da seguinte maneira:

x 5 f(t)

y 5 g(t)

ExemploDada a equação da reta y 5 22x 1 dXX 3 , essa reta intersecta o eixo y no ponto (0, dXX 3 ).

Exemplo

Dada a equação da reta x __ 7 1 y _____

25 5 1,

essa reta intersecta os eixos x e y nos pontos (7, 0) e (0, 25).

Exemplo

Dada a equação da reta x 5 t 1 1

y 5 t 2 2, t [ R, quaisquer

pontos da forma (t 1 1, t 2 2) pertencem a essa reta.

Isolando t na primeira equação (t 5 x 2 1) e substituindo na segunda, obtém-se a equação dessa reta na forma reduzida:

y 5 t 2 2 5 x 2 1 2 2 5 x 2 3 ä y 5 x 2 3

Posição relativa de duas retas coplanares

Retas coincidentesRetas coincidentes têm todos os pontos comuns; nesse caso, suas equações são iguais ou uma equação é igual à

outra, multiplicada por uma constante real não nula.

Retas paralelasRetas paralelas não têm ponto comum; nesse caso, ou as retas são paralelas ao eixo das abscissas ou seus coefi-

cientes angulares são iguais.

Retas concorrentesRetas concorrentes têm um ponto comum; nesse caso, o ponto de intersecção dessas retas é a solução do siste-

ma formado pelas equações das retas.

Caso particularQuando duas retas concorrentes são perpendiculares, seus coeficientes angulares são inversos e simétricos. Isto é,

se r e s são retas perpendiculares, com coeficientes angulares mr e ms, então: mr 5 2 1 __ ms ou mr ? ms 5 –1

Ângulo entre duas retas concorrentesDadas duas retas concorrentes r e s de coeficientes angulares mr e ms, ambas oblíquas

em relação aos eixos coordenados, o ângulo u entre essas retas é dado por:

Distância entre ponto e retaDado um ponto A(xA, yA) e uma reta r: ax 1 by 1 c 5 0, a distância d(A, r) en-

tre eles é dada por:

Cálculo da área de um triângulo

Dados os vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) de um triângulo, a área S desse triângulo é dada por:

tan u 5 u ms 2 mr __________ 1 1 ms ? mr

u

d(A, r) 5 u a ? xA 1 b ? yA 1 c u

________________ dXXXXXXX a2 1 b2

S 5 1 __ 2

|D|, em que D 5

xA yA 1xB yB 1

xC yC 1


138

QuestõesTo

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la. 1. (UPE) Robotina endoidou. Ela se desloca em espiral sobre um plano cartesia-

no, partindo da origem e indo de um ponto de coordenadas inteiras a outro, como mostra a figura abaixo, gastando um segundo para percorrer uma uni-dade de comprimento.

y

x0

Unidade decomprimento

Após 6 minutos, em que ponto se encontrará Robotina?

a) (24, 24)

b) (26, 8)

c) (8, 28)

d) (8, 6)

e) (9, 9)

2. (UCS-RS) Conforme divulgado pela ONU (Organização das Nações Unidas), a população mundial atingiu, em outubro último, 7 bilhões de pessoas. Su-ponha que o modelo matemático que permita obter uma estimativa dessa população, no mês de outubro, daqui a t anos, seja a equação da reta do gráfico abaixo.

p (bilhões)

t (anos)

4

6

2

8

10

0 13

Assinale a alternativa em que constam, respectivamente, essa equação e o ano em que, de acordo com ela, a população mundial atingiria 10 bilhões de seres humanos.

a) p 5 1 ___ 8 t 1 7 2050

b) p 5 1 __ 7 t 1 8 2039

c) p 5 1 ____ 13 t 1 7 2050

d) p 5 1 ____ 13 t 1 7 2100

e) p 5 1 ___ 8 t 1 7 2013

3. (Ibmec-RJ) Considere o triângulo ABC, onde A(2, 3), B(10, 9) e C(10, 3) repre-sentam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale:a) 2 dXX 3 b) 3c) 5

d) 3 dXX 2 e) 6


139

Geo

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ria

anal

ític

a

4. (Unifacs-BA) Considere uma matriz quadrada A 5 (ai j), de ordem 2, cujos ter-mos são definidos por ai j 5 2i 2 j 1 1.

Uma reta que passe pelo ponto P 5 (a11, a12) e tenha coeficiente angular igual ao determinante de A pode ser representada analiticamente, no sistema car-tesiano, pela equação:

01. 2x 2 y 1 1 5 0 04. x 2 2y 1 2 5 002. 2x 2 y 2 3 5 0 05. 3x 2 2y 2 6 5 003. x 2 2y 5 0

5. (UTFPR) Duas retas r e s, distintas, formam, com os eixos coordenados, triân- gulos de 5 unidades de área. Se os coeficientes angulares dessas retas são

iguais a 2 __ 5 , então pode-se afirmar que a equação geral dessas retas é:

a) 5x 2 2y 1 5 5 0 e 5x 2 2y 2 5 5 0b) 2x 2 5y 1 10 5 0 e 2x 2 5y 2 10 5 0c) 2x 2 5y 1 5 5 0 e 2x 2 5y 2 5 5 0d) 5x 2 2y 1 5 5 0 e 5x 1 2y 1 5 5 0

6. (ESPM-SP) Sobre um segmento de reta de extremidades A(29, 1) e B(6, 29) são marcados alguns pontos que o dividem em n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das ordenadas.O número n pode ser igual a: a) 4 d) 10b) 6 e) 12c) 8

7. (Unicamp-SP) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é:y

x

2

01

B

A

a) 21 ____ 4 c) 25 ____ 4

b) 23 ____ 4 d) 10 ____ 3

8. (ITA-SP) Sejam A 5 (0, 0), B 5 (0, 6) e C 5 (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triân gulo ao vértice A, em unidades de dis-tância, é igual a:

a) 5 __ 3 d) dXX 5 ____ 3

b) dXXX 97 ______ 3 e) 10 ____ 3

c) dXXXX 109 ________ 3

9. (UFRN) A cada equação do tipo ax 1 by 5 c, com a, b e c reais, sendo a ou b não

nulos, corresponde uma única reta no plano xy. Se o sistema a1x 1 b1x 5 c1

a2x 1 b2x 5 c2,

com ai, bi e ci nas condições acima, tiver uma única solução, as respectivas retas:a) se interceptarão em um só ponto.b) se interceptarão em dois pontos.c) não se interceptarão.d) serão coincidentes.


140

10. (Insper-SP) A figura, feita fora de escala, mostra o gráfico da função f(x) 5 lognx, em que n é um número inteiro maior do que 1. Dado um nú-mero real k, k . 1, são traçadas as retas r e s, que passam pela origem e in-terceptam o gráfico de f(x) em pontos de abscissas 1 __

k e k, respectivamente.

k

s

r

y

x

1k

Se as retas r e s são perpendiculares, então:

a) k 5 n dXX n

b) k 5 dXX n

c) k 5 n

d) k 5 n2

e) k 5 nn

11. (Unimontes-MG) Um raio luminoso, emitido por uma lanterna localizada no ponto M(4, 8), reflete-se em N(6, 0). A equação da semirreta r, trajetória do raio re-fletido, é:a) y 1 4x 2 24 5 0

b) y 2 4x 2 24 5 0

c) y 2 4x 1 24 5 0

d) y 1 4x 1 24 5 0

12. (IFSP) Considere duas retas, r e s, passando pelo ponto (3, 1) e equidistantes da origem do plano cartesiano. Se a equação da reta r é y 5 1, então a equa-ção da reta s é:a) x 1 3y 1 2 5 0b) 3x 1 y 1 2 5 0c) 3x 2 y 2 2 5 0d) 3x 2 4y 2 5 5 0e) 3x 2 4y 1 1 5 0

13. (UFMG) Nesta figura, está representada a região T, do plano cartesiano, limi-tada pelo eixo y e pelas retas y 5 x 1 1 e y 5 3x:

x

y

Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do eixo y.Então, é correto afirmar que o volume de S é:

a) p ____ 24

b) p ____ 12

c) p ___ 8

d) p ___ 4

0

y

x4 8N

8M P


141

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a

14. (UFPR) Calcule a área do quadrilátero P1P2P3P4, cujas coor denadas cartesia-nas são dadas na figura abaixo.

y

x

C

A

B

P1 (0, 5)

P4 (6, 2)

P2 (4, 0)O

P3 (8, 3)

15. (Udesc) A região sombreada na figura tem como limitantes as retas y 5 0, y 5 2x, y 5 x 1 2, y 5 7 e y 5 25 2 3x.

y

xA E

B

C D

A área da região sombreada é:

a) 152 _____ 3

b) 319 ______ 6

c) 107 ______ 3

d) 241 ______ 3

e) 86 ____ 3

16. (ITA-SP) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r: x 2 3y 1 3 5 0 e s: 3x 1 y 2 21 5 0, em unidades de área, é igual a:

a) 19 ____ 2

b) 10

c) 25 ____ 2

d) 27 ____ 2

e) 29 ____ 2

17. (Unifesp) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação r: 3x 2 5y 2 11 5 0.

y

x

D C

A Br

A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígo-nos de mesma área terá por equação:a) 3x 2 5y 2 5 5 0b) 3x 2 5y 5 0c) 6x 2 10y 2 1 5 0

d) 9x 2 15y 2 2 5 0e) 12x 2 20y 2 1 5 0


142

CircunferênciaLugar geométrico é o conjunto de pontos do espaço que atendem a uma mesma propriedade.Dados um ponto C e uma distância r, define-se:A circunferência de centro C e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância entre

eles e o centro C é igual a r.

Equação na forma reduzida Equação na forma geral

Dada uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, sua equação na forma reduzida é dada por:

(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2

Dada uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, sua equação na

forma geral é dada por: x2 1 y2 2 2ax 2 2by 1 a2 1 b2 2 r2 5 0

Fazendo M 5 22a, N 5 22b e P 5 a² 1 b² 2 r², também se pode escrever a equação geral da seguinte maneira:

x2 1 y2 1 Mx 1 Ny 1 P 5 0

Exemplo

Dada a equação da circunferência (x 2 2)2 1 ( y 1 dXX 3 ) 2 5 9,

essa circunferência tem centro C ( 2, 2 dXX 3 ) e raio r 5 3.

Exemplo

Dada a equação da circunferência x2 1 y2 1 4x 2 1y 5 47 ____ 4 , essa

circunferência tem centro C ( 22, 1 __ 2 ) e raio r 5 4.

Posição relativa de elementos do espaço

Posição relativa de um ponto e uma circunferênciaDados um ponto e uma circunferência, há três possibilidades para a posição relativa desses entes geo-

métricos: ou o ponto é exterior à circunferência, ou o ponto é interior a ela, ou o ponto pertence a ela.

Se a distância entre o ponto e o centro da circunferência é maior do que o raio da circunfe-rência, então o ponto é exterior à circunferência.

rC

d

P

d(P, C) . r à (x0 2 a)2 1 (y0 2 b)2 . r2

Se a distância entre o ponto e o centro da circunferência é me-nor do que o raio da circunfe-rência, então o ponto é interior à circunferência.

rC

d

P

d(P, C) , r à (x0 2 a)2 1 (y0 2 b)2 , r2

Se a distância entre o ponto e o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência, então o ponto pertence à cir-cunferência.

rC

d

P

d(P, C) 5 r à (x0 2 a)2 1 (y0 2 b)2 5 r2

Posição relativa de uma reta e uma circunferênciaDadas uma reta e uma circunferência, há três possibilidades para a posição relativa desses entes geo-

métricos: ou a reta é exterior à circunferência, ou a reta é secante a ela ou a reta é tangente a ela.

Se a distância entre a reta e o centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência, então a reta é exterior à circun-ferência.

r

dC

t

d(C, t) . r

Se a distância entre a reta e o centro da circunferência é menor do que o raio da circunferência, então a reta é secante à circun-ferência.

rd

C

t

d(C, t) , r

Se a distância entre a reta e o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência, então a reta é tangente à circunferência.

rd

C

t

d(C, t) 5 r

Circunferência


143

Cir

cunf

erên

cia

Posição relativa de duas circunferênciasDadas duas circunferências, há seis possibilidades para a posição relativa desses entes geométricos: ou as circun-

ferências são coincidentes, ou as circunferências são externas uma à outra, ou uma das circunferências é interna à outra, ou as circunferências são secantes, ou as circunferências são tangentes externamente, ou as circunferências são tangentes internamente.

Se a distância entre os centros das circunferências é igual a zero e os raios têm medidas iguais, então elas são coincidentes.

C1 5 C2

r1 5 r2

d(C1, C2) 5 0 e r1 5 r2

Se a distância entre os centros das circunferências é maior do que a soma dos raios, então as circunferências são externas uma à outra.

C1

C2

r2

r1

d

d(C1, C2) . r1 1 r2

Se a distância entre os centros das circunferências é menor do que o módulo da diferença dos raios, então uma circunferência é interna à outra.

C2

C1

r1

d

r2

d(C1, C2) , ur1 2 r2u

Se a distância entre os centros das circunferências é maior do que o módulo da diferença dos raios e me-nor do que a soma dos raios, então as circunferências são secantes.

C2

C1

r1

r2

d

ur1 2 r2u, d(C1, C2) , r1 1 r2

Se a distância entre os centros das circunferências é igual à soma dos raios, então as circunferências são tangentes externamente.

C1

r1

C2

r2

d

d(C1, C2) 5 r1 1 r2

Se a distância entre os centros das circunferências é igual ao módulo da diferença dos raios, então as cir-cunferências são tangentes internamente.

dC2

C1

r1

r2

d(C1, C2) 5 r1 2 r2

ObservaçãoSe a distância entre os centros das circunferências é menor do que o módulo da diferença dos raios e esses cen-

tros são coincidentes, então essas circunferências são concêntricas, uma interna à outra.

C2 C1

r1r2


144

QuestõesTo

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la. 1. (Unisc-RS) A equação x2 1 Ay2 1 Bxy 1 2x 2 4y 1 C 5 0 representa uma cir-

cunferência cujo diâmetro mede 10 unidades de distância. Esta afirmação nos permite determinar o valor dos coeficientes reais A, B e C e também garantir que a expressão A 2 B 2 C é igual a:a) 220b) 210c) 11d) 21e) 30

2. (UPE) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos A(22, 4), B(6, 22) e C(22, 22) são os vértices do triângulo ABC. Qual a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo?

a) x2 2 12x 1 y2 2 16y 1 100 5 0

b) x2 2 4x 1 y2 2 2y 2 95 5 0

c) x2 2 4x 1 y2 2 4y 2 92 5 0

d) x2 2 4x 1 y2 2 4y 2 17 5 0

e) x2 2 4x 1 y2 2 2y 2 20 5 0

3. (UCPel-RS) O centro e o raio da circunferência x2 1 y2 2 10y 2 24 5 0 são, respectivamente:

a) C(0, 5) e r 5 7

b) C(5, 0) e r 5 7

c) C(0, 7) e r 55

d) C(7, 0) e r 5 5

e) C(5, 5) e r 5 7

4. (Urca-CE) Sabe-se que a circunferência de equação x2 1 y2 2 4x 2 6y 1 11 5 0 está inscrita no quadrado ABCD. Calcule a medida da diagonal desse qua-drado.

a) 1 u.c.

b) 2 u.c.

c) 3 u.c.

d) 4 u.c.

e) 5 u.c

5. (UCS-RS) Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 1,0 cm. O movimento é referenciado por um sistema de eixos cartesianos, cuja origem coincide com o centro do círculo. Quando a partícula passa pelo ponto (x, y) do primeiro quadrante, em que x 5 0,6, o valor de y é:

a) 0,4

b) 0,3

c) 0,6

d) 0,2

e) 0,8

6. (PUC-RS) O comprimento da curva de equação (x 2 1)2 1 (y 1 1)2 2 9 5 0 é:

a) 21

b) 3

c) p

d) 3p

e) 6p


145

Cir

cunf

erên

cia

7. (UEA-AM) Na figura, tem-se que o segmento AB é um diâmetro da circunfe-rência de centro O, r é a reta que contém esse diâmetro e s é uma reta paralela a r e tangente à circunferência em P.

A

O

B

P

s

r

(figura fora de escala)

Dado que AB mede 6 cm, a medida do segmento PB, em centímetros, é:a) dXX 3 b) 6

c) 3d) 2 dXX 3

e) 3 dXX 2

8. (ESPM-SP) A circunferência de equação (x 1 1)2 1 (y 2 1)2 5 1 tangencia os ei-xos coordenados nos pontos A e B. A cir-cunferência l, de centro C, passa pelo ponto B e tangencia o eixo das abscissas no ponto D.Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir que a abscissa do centro C é igual a: a) 2 1 dXX 2 d) 2 dXX 2 1 1b) 1 1 dXX 2 e) 2 dXX 2 c) 2 dXX 2 2 1

9. (Fuvest-SP) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equa-ção (x 2 2)2 1 (y 2 2)2 5 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível.Então, a área de PQR é igual a:

a) 2 dXX 2 2 2 d) 2 dXX 2 1 2

b) 2 dXX 2 2 1 e) 2 dXX 2 1 4

c) 2 dXX 2

10. (FGV-SP) Uma circunferência de raio 3, situada no 1o quadrante do plano car-tesiano, é tangente ao eixo y e à reta de equação y 5 x. Então, a ordenada do centro dessa circunferência vale: a) 3 dXX 2 2 1 d) 2 dXX 3 1 3b) 2 dXX 3 1 1 e) 3 dXX 2 1 3c) 3 dXX 2 1 2

11. (Fuvest-SP) A circunferência dada pela equação x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 5 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale:a) p 2 2 d) p 1 6b) p 1 2 e) p 1 8c) p 1 4

xA

M

C

N

B

0

y

x

y

l

B

C

A D


146

12. (UEA-AM) Na figura, o segmento XXX AB , que mede 12 dXX 3 cm, tangencia os círculos de centros O e O’, cujas áreas são, respectivamente, 64p cm² e 16p cm², e o círculo b, cujo centro pertence ao segmento XXX OO ’, tangencia os círculos de centro O e O’.

b

B

O O’

A

O comprimento do círculo b, em cm, é:a) 8p

b) 12p

c) 14p

d) 16p

e) 20p

13. (Fuvest-SP) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale:a) dXX 5 b) 2 dXX 5 c) 5

d) 3 dXX 5 e) 10

14. (Unicamp-SP) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y 5 3x é perpendicular à reta que passa pelo ponto (2, 0). O ponto de interseção des-sas retas é A.

A

y

x(2,0)0

y 5 3x

A equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por:

a) ( x 2 1 __ 5 ) 2 1 ( y 2 3 __ 5 ) 2

5 3 __ 5

b) ( x 2 3 __ 5 ) 2

1 ( y 2 1 __ 5 ) 2 5 1 __ 5

c) ( x 2 1 __ 5 ) 2 1 ( y 2 3 __ 5 ) 2

5 9 ____ 25

d) ( x 2 3 __ 5 ) 2

1 ( y 2 1 __ 5 ) 2 5 1 ____ 25


147

Cir

cunf

erên

cia

15. (Uece) Uma circunferência, cujo centro está localizado no semieixo positivo dos x, é tangente à reta x 1 y 5 1 e ao eixo dos y. A equação desta circunferência é:

a) x2 1 y2 2 2x __________ dXX 2 1 1

5 0

b) x2 1 y2 2 x __________ dXX 2 1 1

5 0

c) x2 1 y2 2 2x _________ dXX 2 2 1

5 0

d) x2 1 y2 2 x _________ dXX 2 2 1

5 0

16. (Uece) Se c é um número real positivo, a equação uxu 1 uyu 5 c dXX 2 é represen-tada no sistema cartesiano usual por um quadrado Q. Se Q é circunscrito à circunferência x2 1 y2 5 r2, então a relação c _ r é igual a:a) 0,5 b) 2,0 c) 1,5 d) 1,0

17. (UEM-PR) Dados números inteiros p e q de forma que a fração p __ q seja irredu-

tível, e considerando um sistema de coordenadas cartesianas xOy, o círculo

de centro no ponto ( p __ q , 1 _____ 2q2 ) e raio 1 _____

2q2 é chamado de círculo de Ford e é repre-

sentado por C[p, q].

Com base no exposto, assinale o que for correto.

[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]

01. A área de C[p, q] é 1 _______ 16q4 .

02. Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo das abscissas.

04. A equação cartesiana da circunferência que delimita C[1, 2] pode ser es-

crita como x2 1 y2 2 x 2 y ___ 4 5 2

1 ___ 4 .

08. Se dois círculos de Ford, com centros nos pontos M e N, com M Þ N, são tangentes no ponto T, então, os pontos M, N e T são colineares.

16. Os círculos C[1, 2] e C[1, 3] são tangentes entre si.

18. (UPE) Sejam dois números reais x e y que satisfazem a relação x2 1 y2 5 16. Sobre isso, analise os itens a seguir. I. Existem apenas dois pares de números reais x e y, tais que x 1 y 5 4.

II. Existem infinitos pares de números reais x e y, tais que x 2 y 5 4.

III. Existem apenas três pares de números reais x e y, tais que x 1 y 5 4 e x 2 y 5 4.

Somente está correto o que se afirma em:a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

19. (Fuvest-SP) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 5 3 e r2 5 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta

‹

_______ › O1O2 no ponto Q.

Sendo assim, determine:a) o comprimento P1P2;

b) a área do quadrilátero O1O2P2P1;

c) a área do triângulo QO2P2.


148

ElipseDados dois pontos F1 e F2 no plano, cuja distância entre eles é 2c, e um número real a, tal que 2a . 2c,

define-se:A elipse de focos F1 e F2 é o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que:

d(P, F1) 1 d(P, F2) 5 2a

F2F2

F2F1 F1F1F2 F1

Elementos � Focos: são os pontos F1 e F2 considerados na definição de elipse. � Distância focal: é a distância 2c entre os focos. � Vértices: são os pontos A1 e A2 da elipse que pertencem à reta de-terminada por F1 e F2.

� Centro: é o ponto médio C de F1 e F2. � Eixo maior: é o segmento cujas extremidades são os vértices A1 e A2; por construção, o comprimento desse eixo é 2a.

� Eixo menor: é o segmento cujas extremidades são os pontos B1 e B2, intersecções da elipse com a mediatriz do segmento F1F2; por construção, o comprimento desse eixo é 2b.

� Excentricidade: é a razão e 5 a __ b .

EquaçãoA equação de uma elipse depende da posição do centro e do eixo maior no plano cartesiano.

Centro na origem e eixo maior sobre o eixo das abscissas Centro na origem e eixo maior sobre o eixo das ordenadas

F1(c, 0)x

y

F2(2c, 0)

A1(a, 0)A2(2a, 0)

B1(0, b)

B2(0, 2b)

C(0, 0) x

2 ___

a2 1 y2

___ b2 5 1

y

F2(0, 2c)

F1(0, c)

A1(0, a)

A2(0, 2a)

B1(b, 0)B2(2b, 0) C(0, 0) x x2 ___

b2 1 y2

___ a2 5 1

Centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo das abscissas

Centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas

x

y

F1F2A1A2

B1

B2

Cy0

x0O

(x 2 x0)2

____________ a2 1

(y 2 y0)2

____________ b2 5 1

y

F2

F1

A1

A2

B1B2 C

x

y0

x0O

(x 2 x0)2

_____________ b2 1

(y 2 y0)2

____________ c2 5 1

x

y

ab

cCF2 F1A1A2

B1

B2

Cônicas


149

Côn

icas

HipérboleDados dois pontos F1 e F2 no plano, cuja distância entre eles é 2c, e um número real a, tal que 2a , 2c, define-se:A hipérbole de focos F1 e F2 é o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que:

|d(P, F1) 2 d(P, F2)| 5 2a

F2 F1 F2F1

F2F1 F2 F1

Elementos � Focos: são os pontos F1 e F2 considerados na definição de hipérbole. � Distância focal: é a distância 2c entre os focos. � Vértices: são os pontos A1 e A2 da hipérbole que pertencem à reta determi-nada por F1 e F2.

� Centro: é o ponto médio C de F1 e F2. � Eixo real: é o segmento cujas extremidades são os vértices A1 e A2; por cons-trução, o comprimento desse eixo é 2a.

� Eixo imaginário: é o segmento cujas extremidades são os pontos B1 e B2, intersecções da hipérbole com a mediatriz do segmento F1F2; por constru-ção, o comprimento desse eixo é 2b.

� Excentricidade: é a razão e 5 c __ a .

EquaçãoA equação de uma hipérbole depende da posição do centro e do eixo real no plano cartesiano.

Centro na origem e eixo real sobre o eixo das abscissas Centro na origem e eixo real sobre o eixo das ordenadas

x

y

C F1F2

A1A2

B1

B2

x2 ___

a2 2 y2

___ b2 5 1

y

xC

F1

F2

A1

A2

B2 B1 y2

___ a2 2 x

2 ___

b2 5 1

Centro fora da origem e eixo real paralelo ao eixo das abscissas Centro fora da origem e eixo real paralelo ao eixo das ordenadas

x

y

C F1F2A1A2

B1

B2

y0

x0O

(x 2 x0)2

_____________ a2 2

(y 2 y0)2

____________ b2 5 1

y

x

C

F1

F2

A1

A2

B2B1

y0

x0O

(y 2 y0)2

____________ a2 2

(x 2 x0)2

_____________ b2 5 1

x

y

a

b c

C F1F2A1A2

B1

B2


150

ParábolaDado um ponto F e uma reta r no plano, define-se:A parábola de foco F é o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que:

d(P, F) 5 d(P, r)

FF

r r r

F F

Elementos � Foco: é o ponto F considerado na definição de parábola. � Diretriz: é a reta r considerada na definição de parábola. � Eixo de simetria: é a reta e que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz r; a intersecção do eixo de simetria e a diretriz determinam um ponto A.

� Vértice: é o ponto V da parábola que pertence ao eixo de simetria; esse ponto é também ponto médio do segmento AF.

� Parâmetro: é a distância p entre o foco F e o vértice V.

EquaçãoA equação de uma parábola depende da posição do vértice, da diretriz e do

foco no plano cartesiano.

Vértice na origem e diretriz paralela ao eixo das ordenadas Vértice na origem e diretriz paralela ao eixo das abscissas

Foco à direita do vértice Foco à esquerda do vértice Foco acima do vértice Foco abaixo do vértice

F(p, 0)

P(x, y)

V(0, 0)A(2p, 0)

(2p, y)r

x

y

x 5 1 ____ 4p y2

F(2p, 0)

P(x, y)

V(0, 0) A(p, 0)

(p, y)

r

x

y

x 5 2 1 ____ 4p y2

F(0, p)

P(x, y)

V(0, 0)

A(0, 2p)

(x, 2p) r

y

x

y 5 1 ____ 4p x2

F(0, 2p)

P(x, y)

V(0, 0)

A(0, p) (x, p) r

y

x

y 5 2 1 ____ 4p x2

Vértice fora da origem e diretriz paralela ao eixo das ordenadas Vértice fora da origem e diretriz paralela ao eixo das abscissas

Foco à direita do vértice Foco à esquerda do vértice Foco acima do vértice Foco abaixo do vértice

FVA

r

x

y

y0

x0

(y 2 y0)2 5 4p(x 2 x0)

F AV

r

x

y

x0

y0

(y 2 y0)2 5 24p(x 2 x0)

F

V

A r

y

xx0

y0

(x 2 x0)2 5 4p(y 2 y0)

F

V

Ar

y

x

y0

x0

(x 2 x0)2 5 24p(y 2 y0)

F

VA

r

p e


151

Côn

icas

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

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uzid

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rova

s or

igin

ais

de q

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zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la. 1. (UFPB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arqui-

teto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m 3 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.

80 m

120 m

10 m 10 m

10 m

10 m

A

B

C

D

F1 F2

Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação.Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproxima damente, de: a) 68 m d) 80 mb) 72 m e) 84 mc) 76 m

2. (Unesp) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas ci-dades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.

1,5 m

1,5 m

7 m

Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na for-

ma de uma elipse de excentricidade 0,943. II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no

meio da rua. III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura

da rua (calçadas e pista).Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos ei-xos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:Dado: 0,9432 > 0,889 e dXXXXX 0,111 > 0,333a) 35 d) 20b) 30 e) 15c) 25

3. (UFT-TO) Considere R o conjunto dos números reais e b [ R. Encontre os valores de b, tais que, no plano cartesiano xy, a reta y 5 x 1 b intercepta a

elipse x2 ___ 4 1 y2 5 1 em um único ponto.

A soma dos valores de b é:a) 0b) 2c) 2 dXX 5

d) dXX 5 e) 22 dXX 5


152

4. (UCB-DF) Considere as figuras dadas no plano cartesiano pelas equações e1: x 5 y; e2: x

2 1 y2 5 25; e e3: x 1 y 2 5 dXX 2 5 0. Em relação às figuras representadas por essas equações no plano cartesiano, julgue os itens a seguir, assinalando (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.a) e1 representa uma hipérbole no plano cartesiano.b) A equação e2 representa, no plano cartesiano, uma circunferência cujo raio

vale 5.c) Não há ponto de interseção entre as figuras dadas por e1 e e2.d) As figuras dadas por e1 e e3 são paralelas.e) Há pelo menos dois pontos distintos de interseção entre as figuras dadas

por e2 e e3.

5. (UEL-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y 5 x2 são dados por:

a) vértice: (0, 0); foco: ( 0, 1 ___ 4 ) ; reta diretriz y 5 2 1 ___ 4 .

b) vértice: (0, 0); foco: ( 0, 1 __ 2 ) ; reta diretriz y 5 2 1 __ 2 .

c) vértice: (0, 0); foco: (0, 1); reta diretriz y 5 21.

d) vértice: (0, 0); foco: (0, 21); reta diretriz y 5 1.

e) vértice: (0, 0); foco: (0, 2); reta diretriz y 5 22.

6. (UCB-DF) A área interna de uma elipse de semieixos a e b é dada por A 5

5 pab. Considere as duas curvas dadas pelas equações (e) x 2 1 4 y 2 2 36 5 0 e (q) 3 x 2 1 3 y 2 1 12x 2 11 5 0, adote p 5 3 e calcule a área que é interna a uma delas e externa à outra [...], desprezando, se houver, a parte decimal do resultado final.

7. (ITA-SP) Dada a cônica l: x2 2 y2 5 1, qual das retas abaixo é perpendicular à l no ponto P 5 (2, dXX 3 )?

a) y 5 dXX 3 x 2 1

b) y 5 dXX 3

____ 2 x

c) y 5 dXX 3 ____ 3

x 1 1

d) y 5 2 dXX 3

____ 5 x 2 7

e) y 5 2 dXX 3

____ 2 x 2 4

8. (Urca-CE) [...] O lugar geométrico de um ponto que se move no plano de modo que o quadrado de sua distância ao ponto (1, 4) é igual a sua distância ao eixo das abscissas é:a) uma elipse.b) uma parábola.c) uma hipérbole.d) uma circunferência.e) uma reta.

9. (Uece) Se a reta r, tangente à circunferência x2 1 y2 5 1 no ponto ( dXX 2 ____ 2 , dXX 2 ____ 2 ) ,

intercepta a parábola y 5 x2 1 1 nos pontos (x1, y1) e (x2, y2), então x1 1 x2 é igual a:a) 22b) 21c) 21 2 dXX 2 d) 1 2 dXX 2


153

Côn

icas

10. (UEL-PR) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, in-vadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. [...]

A

4 m 6 m

20 m

16 mB

Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular? a) 10 m d) 25 mb) 15 m e) 30 mc) 20 m

11. (Unesp) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa

ser descrita aproximadamente pela equação ( x2 ______ 100 ) 1 ( y2

____ 25 ) 5 1, com x e y em milhões de quilômetros.

A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo P

O A mede p ___ 4 .

y (milhões de km)

x (milhões de km)O A = (10,0)

B = (0,5)

figura fora de escala

P

�/4

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante repre-sentado na figura, é:

a) 2 dXX 5 d) 10 dXX 2

b) 2 dXXX 10 e) 5 dXXX 10

c) 5 dXX 2

12. (Unimontes-MG) O gráfico da equação x2 2 4y2 5 0 é:a) um par de retas.b) uma hipérbole que corta o eixo dos x.c) uma hipérbole que corta o eixo dos y.d) uma hipérbole que não corta nenhum dos eixos.


154

Números complexos

O conjunto dos números complexos é o conjunto de todos os pares ordenados de coordenadas reais.O conjunto dos números complexos é denotado por C e seus pares ordenados por z 5 (a, b).

Unidade imagináriaO número complexo (0, 1) é representado pelo símbolo i, a unidade imaginária. Utilizando a pro-

priedade fundamental dos números complexos, verifica-se que: i2 5 21

Representação algébricaO número z 5 (a, b) é um número complexo que pode ser dado na forma algébrica z 5 a 1 bi,

com a [ R e b [ R; a é a parte real de z, denotada por Re(z); b é a parte imaginária de z, denotada

por Im(z).

Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais se suas partes reais são iguais e se suas partes imaginárias tam-

bém são iguais.

Dados os números complexos z 5 a 1 bi e w 5 c 1 di, z e w são iguais se, e somente se, a 5 c e b 5 d.

Conjugado de um número complexoO conjugado de um número complexo z 5 a 1 bi é o número complexo X z 5 a 2 bi.

Operações com números complexos

Sendo z 5 a 1 bi e w 5 c 1 di números complexos escritos na forma algébrica, têm-se o seguinte.

� Adição: z 1 w 5 (a 1 bi) 1 (c 1 di) 5 (a 1 c)1 (b 1 d)i

� Subtração: z 1 w 5 (a 1 bi) 1 (c 1 di) 5 (a 1 c)1 (b 1 d)i

� Multiplicação: z ? w 5 (a 1 bi) ? (c 1 di) 5 ac 1 adi 1 bci 1 bdi2 5 (ac 2 bd) 1 (ad 1 bc)i

� Divisão: z __ w 5 a 1 bi ______ c 1 di

5 a 1 bi ______ c 1 di

? c 2 di _____ c 2 di

5 (ac 1 bd) 1 (bc 2 ad)i

___________________ c2 1 d2 5 ac 1 bd _______ c2 1 d2 1

(bc 2 ad)i _________

c2 1 d2

Potências de iSobre potências no conjunto dos números reais, temos estas potências da unidade imaginária:

i0 5 1 i1 5 i i2 5 21

i3 5 i2 ? i 5 2i i4 5 i3 ? i 5 2i ? i 5 2i2 5 2(21) 5 1

Observação

As potências da unidade imaginária, iniciando pelo expoente 0 (zero), alternam-se assim: 1, i, 21,

2i, 1, i, 21, 2i, ... O valor de uma potência de i, por exemplo i123, é dado pelo resto do expoente por 4.

Por exemplo: i123 5 i3 5 2i.


155

Núm

eros

com

plex

os

Representação geométricaComo todo número complexo é um par ordenado de números reais, é possível representá-los em um sistema de coor-

denadas cartesianas denominado, nesse caso, plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Nesse sistema têm-se:

� Eixo real Re(z): eixo horizontal. � Eixo imaginário Im(z): eixo vertical. � Ponto P: imagem do número complexo z 5 a 1 bi. � Número complexo z 5 a 1 bi: afixo do ponto P.

Módulo de um número complexoO módulo de um número complexo é a distância entre a imagem desse número e a origem do plano de Argand-Gauss.O módulo de um número complexo z é representado por |z| e algebricamente é calculado por:

|z| 5 dXXXXXXX a2 1 b2

Argumento de um número complexoO argumento de um número complexo é o ângulo que o segmento com extremidades na imagem desse número

e na origem do plano de Argand-Gauss forma com o eixo real, no sentido anti-horário.

O argumento de um número complexo z 5 a 1 bi é representado por u, tal que cos u 5 a __ |z|

e sen u 5 b __ |z|

.

u

ZzZ

Re(z)

Im(z)

Pz 5 a 1 bib

a

ObservaçãoTodo número complexo tem infinitos argumentos, que diferem por um múltiplo de 2p. Considera-se como

argumento principal do número complexo o argumento que pertença ao intervalo [0, 2p[.

Representação trigonométricaDado um número complexo z 5 a 1 bi, como cos u 5

a __ |z| e sen u 5 b __ |z| , podem-se escrever a e b da seguinte maneira.

a 5 |z| ? cos u

b 5|z| ? sen u

Assim:z 5 a 1 bi 5 |z| ? cos u 1 ( |z| ? sen u ) ? i à z 5 |z| ? (cos u 1 i ? sen u)

Operações com números complexosSendo z 5 |z| ? (cos u1 1 i ? sen u1) e w 5 |w| ? (cos u2 1 i ? sen u2) números complexos escritos na forma trigono-

métrica, têm-se as seguintes operações no conjunto dos números complexos.

Operação Representação algébrica

Multiplicação z ? w 5 |z| ? |w| ? [cos (u1 1 u2) 1 i ? sen (u1 1 u2)]

Divisão z : w 5 |z| : |w| ? [cos (u1 2 u2) 1 i ? sen (u1 2 u2)]

Potenciaçãozn 5 |z|n ? [cos(nu1) 1 i ? sen (nu1)]

1a fórmula de De Moivre

Radiciação n dXX z 5 zk 5 n dXXX |z| ? [ cos ( u __ n 1 2kp ______ n ) ] , em que k 5 0, 1, 2, ..., n 2 1

2a fórmula de De Moivre

Re(z)

Im(z)

Pz 5 a 1 bi

a

b


156

QuestõesTo

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fora

de

esca

la. 1. (FGV-SP) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrá-

tica com o eixo x, um aluno encontrou as soluções 2 1 i e 2 2 i. Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0, 5).

2. (Uerj) Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do ter-ceiro grau:

(x 1 2)4 5 x4

Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias. Determine as três raí-zes dessa equação.

3. (FGV-SP) Sendo i a unidade imaginária, então (1 1 i)20 2 (1 2 i)20 é igual a: a) 21 024 d) 1 024b) 21 024i e) 1 024ic) 0

4. (UTFPR) O valor de ( 1 2 i _______ 1 1 i ) 2009

é:

a) 2i d) 21b) i e) indeterminadoc) 1

5. (Ufam) Simplificando o número complexo ( dXX 2 ____ 2 2 dXX 2 ____ 2 i )

2010

, obtemos:

a) 2i d) 1b) i e) 21c) 2i

6. (Mackenzie-SP) Se y 5 2x, sendo x 5 1 1 i _______ 1 2 i e i 5 dXXX 21 , o valor de (x 1 y)2 é:

a) 9i d) 9b) 29 1 i e) 9 2 ic) 29

7. (UEA-AM) Dados z1 5 dXX 3 1 i dXX 2 e z2 5 dXX 2 1 i dXX 3 , pode-se afirmar que:a) XXXXX z1 ? z2 5 z1 ? z2

b) XXXXX z1 ? z2 5 25ic) XXXXX z1 ? z2 5 5id) z1 ? z2 5 dXX 6 1 i dXX 6 e) z1 ? z2 5 dXX 6 2 i dXX 6

8. (Unifacs-BA) A parte imaginária do número complexo z 5 (1 1 i)10 é igual a:a) 1b) 10c) 18

d) 20e) 32

9. (Unicap-PE) [Considere as alternativas como verdadeiras (V) ou falsas (F).]a) ( ) O trinômio y 5 (x!)2 2 5(x!) 1 6 tem duas raízes inteiras distintas.

b) ( ) O logaritmo decimal do resto da divisão do número 85 430 451 237 por 9 é igual ao logaritmo decimal de 2 mais o logaritmo decimal de 3.

c) ( ) Se x e y são números reais, então dXX x2 5 x.

d) ( ) O logaritmo decimal de |x 2 1| sempre existirá, se x [ R.

e) ( ) Sejam z1 5 2 2 i e z2 5 1 2 i dois números complexos; então, z1 ___

z2 5 5 3 2 2i.

10. (Ufam) Sejam os números complexos z 5 5 2 12i __________ 5 1 12i e w 5 1 2 i. Então o valor da expressão |z| 1 w8 será:a) 13 d) 19b) 15 e) 21c) 17


157

Núm

eros

com

plex

os

11. (Unimontes-MG) Na figura abaixo, o ponto M representa a imagem geomé-trica de z 5 a 1 bi.

d XX30

1M

y

x

A forma trigonométrica de z é:

a) 2 ( cos p ___ 3 1 isen p ___ 3 ) c) dXX 3 ____ 2 ( cos p ___ 3 1 isen p ___ 3 )

b) dXX 3 ( cos p ___ 6 2 isen p ___ 6 ) d) 2 ( cos p ___ 6 1 isen p ___ 6 ) 12. (Unesp) Considere os números complexos w 5 4 1 2i e z 5 3a 1 4ai, onde

a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centíme-tros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z ? w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.

13. (UFMG)a) Escreva na forma trigonométrica os números complexos ( dXX 3 1 i ) e

2 dXX 2 (1 1 i), em que i2 5 21.b) Calcule os menores inteiros positivos m e n tais que

( dXX 3 1 i ) m 5 [ 2 dXX 2 (1 1 i) ] n.

14. (Uece) Um octógono regular está inscrito na circunferência representada no sistema cartesiano usual pela equação x2 1 y2 5 16. Se quatro dos vértices do octógono estão sobre os eixos coordenados, então o produto dos dois nú-meros complexos que geometricamente representam os vértices do octógono que estão respectivamente no primeiro e no terceiro quadrantes (não perten-centes aos eixos coordenados) é: [...]a) 16i c) 16 1 16ib) 216i d) 16 2 16i

15. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da orques-tra da PUC-RS estão representados no plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distri-buídos, respectivamente, como mostra a figura:

1

Im

Re

i

Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos núme-ros complexos z que satisfazem a equação:a) z8 5 ib) z8 5 2 i

c) z8 5 1d) z8 521

e) z8 5 1 1 i


158

Função polinomial ou polinômioFunção polinomial é toda função p: C é C escrita na forma p(x) 5 an ? x

n 1 an 2 1 ? x n 2 11 ... 1 1 a1 ? x 1 a0, em que an, an 2 1, ..., a1 e a0 são números complexos e n é um número natural.

A expressão p(x) 5 an ? xn 1 an 2 1 ? xn 2 11 ... 1 a1 ? x 1 a0 é o polinômio associa-do à função polinomial, em que os números complexos an, an 2 1, ..., a1 e a0 são os coeficientes e an ? x

n, an 2 1 ? xn 2 1, ..., a1 ? x e a0 são os termos.

Grau O grau de um polinômio p(x) é o maior expoente de x entre os termos cujos coeficientes não

são nulos.

Valor numéricoO valor numérico de um polinômio p(x) para x 5 z, z [ C é o valor que se obtém ao substituir x

por z na expressão do polinômio e efetuar as operações indicadas.

IgualdadeDois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, assumem valores numéricos iguais para

todo número complexo.Sendo p(x) e q(x) dois polinômios, tem-se: p(x) 5 q(x) à p(z) 5 q(z), para todo z [ C.

TeoremaSendo p(x) 5 anx

n 1 an 2 1 xn 2 1 1 ... 1 a2x

2 1 a1x 1 a0 e q(x) 5 bnxn 1 bn 2 1 x

n 2 1 1 ... 1 b2x2 1 b1 x 1 b0

polinômios de mesmo grau, tem-se que:

p(x) 5 q(x) à an 5 bn, an 2 1 5 bn 2 1, ..., a2 5 b2, a1 5 b1 e a0 5 b0

Logo, pelo teorema enunciado, dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes dos ter-mos de mesmo grau são iguais.

Raiz de um polinômioUm número complexo a é raiz do polinômio p(x) se p(a) 5 0.

Operações com polinômios

Adição e subtraçãoA soma ou a diferença de dois polinômios é obtida adicionando-se ou subtraindo-se os coeficientes

dos termos de mesmo grau e mantendo-se a parte literal.

MultiplicaçãoO produto de dois polinômios é obtido multiplicando-se cada termo do primeiro polinômio por

todos os termos do segundo. Em seguida adicionam-se os termos semelhantes (que têm partes lite-rais iguais).

DivisãoDividir um polinômio p(x) por um polinômio d(x), com d(x) não nulo, é determinar os polinômios

q(x) e r(x), tais que o grau de r(x) seja menor do que o grau de d(x) e p(x) 5 q(x) ? d(x) 1 r(x).Nesse caso, p(x) é o dividendo, d(x) é o divisor, q(x) é o quociente e r(x) é o resto.

ObservaçãoSe r(x) é o polinômio nulo, significa que o polinômio p(x) é divisível pelo polinômio q(x).A seguir são apresentados dois procedimentos para efetuar a divisão de um polinômio por outro.

Polinômios e equações polinomiais


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Método da chaveEsse método assemelha-se à divisão de dois números naturais.Dividir os polinômios p(x) 5 2x3 1 4x2 1 6 e d(x) 5 x2 2 1 pelo método da chave.

2x3 1 4x2 1 0x 1 6 x2 2 0x 2 1

22x3 1 0x2 1 2x 2x 1 4

4x2 12x 16

24x2 10x 14

2x 110

Logo, q(x) 5 2x 1 4 e r(x) 5 2x 1 10.

Dispositivo de Briot-RuffiniEsse dispositivo é utilizado quando o divisor é um binômio do primeiro grau, ou seja, da forma x 2 a.Dividir os polinômios p(x) 5 5x3 1 3x 2 6 por d(x) 5 x 1 2 pelo dispositivo de Briot-Ruffini.

Raiz de d(x)

5 0 3 26 22

5 5 ? (22) 1 0 (210) ? (22) 1 3 23 ? (22) 1 (26)

repete-se o coeficiente do termo de maior grau

210 23 252

q(x) 5 5x2 2 10x 1 23 r(x) 5 252

Logo, q(x) 5 5x2 2 10x 1 23 e r(x) 5 252.

Teorema do restoSendo p(x) um polinômio de grau maior do que ou igual a 1, o resto da divisão de p(x) por x 2 a é p(a).

Teorema de D'AlembertUm polinômio p(x) é divisível por x 2 a se, e somente se, a é raiz de p(x).

Teorema do fatorSe a é raiz de um polinômio p(x) de grau maior do que ou igual a 1, então x 2 a é um fator de p(x).A seguinte proposição decorre do teorema do fator.Um polinômio p(x) é divisível por (x 2 a) e por (x 2 b), com a Þ b se, e somente se, p(x) é divisível pelo produto

(x 2 a) ? (x 2 b).

Teorema fundamental da álgebraTodo polinômio de grau n, com n > 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Teorema da decomposiçãoTodo polinômio p(x) 5 anx

n 1 an 2 1xn 2 1 1 ... 1 a2x

2 1 a1x 1 a0, de grau n, com an Þ 0, n > 1, pode ser decom-posto na forma p(x) 5 an ? (x 2 a1) ? (x 2 a2) ? … ? (x 2 an), ou seja, como produto de uma constante an e n fatores de primeiro grau, em que an é o coeficiente do termo de maior grau e a1, a2, …, an são as raízes complexas de p(x).

Equação algébricaEquação polinomial ou equação algébrica é toda equação redutível à forma p(x) 5 0, em que p(x) é um poli-

nômio de grau n.


160

RaizUm número complexo a é raiz da equação polinomial p(x) 5 0 se, e somente se, p(a) 5 0.A fatoração é um recurso que pode ser utilizado para determinar as raízes de uma equação

algébrica. Por exemplo, para determinar o conjunto solução da equação algébrica x3 2 8x2 1 1 15x 5 0, é possível reescrevê-la na forma x(x2 2 8x 1 15) 5 0.

O trinômio que aparece entre parênteses na última equação pode ser fatorado por soma e produto: x(x2 2 8x 1 15) 5 0 à x ? (x 2 3) ? (x 2 5) 5 0.

O produto de três termos só pode ser igual a zero se pelo menos um deles for igual a zero. Ou seja, deve-se ter, obrigatoriamente, x 5 0 ou x 5 3 ou x 5 5.

Portanto, S 5 {0, 3, 5}.

Quantidade de raízesToda equação polinomial de grau n, com n > 1, admite exatamente n raízes complexas, que

não são necessariamente distintas.

Multiplicidade da raizNa equação polinomial p(x) 5 0, em que p(x) é um polinômio de grau n, diz-se que uma

raiz a é de multiplicidade m, m [ N* e m < n, quando p(x) 5 (x 2 a)m ? q(x), com q(a) Þ 0.

Equações algébricas com coeficientes reaisPara resolver uma equação algébrica p(x) 5 0, de grau maior do que 2, pode-se determinar

uma (ou mais) raízes e, por meio de divisões, utilizar a forma fatorada do polinômio p(x).A seguir são enunciados três teoremas.Se um número complexo não real é raiz de uma equação algébrica com coeficientes reais, en-

tão o seu conjugado também é raiz dessa equação.Se p(x) é um polinômio de coeficientes reais e grau n, com n ímpar, então a equação algébri-

ca p(x) 5 0 tem pelo menos uma raiz real.Se o número racional

p __ q , com p e q primos entre si e q Þ 0, é raiz da equação algébrica de

coeficientes inteiros an ? xn 1 an 2 1 ? x

n 2 1 1 ... 1 a1 ? x 1 a0, an Þ 0, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Relações de GirardAs relações de Girard são relações entre os coeficientes de equações algébricas e suas

raízes. Elas podem ser utilizadas na resolução dessas equações. A seguir são enunciadas al-gumas proposições.

Equação de 2o grau Equação de 3o grau

Se x1 e x2 são raízes da equação ax2 1 bx 1 c 5 0, em que a Þ 0, então:

� x1 1 x2 5 2 b __ a

� x1 ? x2 5 c __ a

Se x1, x2 e x3 são raízes da equação ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, em que a Þ 0, então:

� x1 1 x2 1 x3 5 2 b __ a

� x1 ? x2 1 x1 ? x3 1 x2 ? x3 5 c __ a

� x1 ? x2 ? x3 5 2 d __ a

Equação de grau n

Se x1, x2, x3, ..., xn são raízes da equação an ? xn 1 an 2 1 ? x

n 2 1 1 ... 1 a1 ? x 1 a0 5 0, então:

� x1 1 x2 1 x3 1 ... 1 xn 5 2 an 2 1 _______ an

� x1 ? x2 1 x1 ? x3 1 ... 1 x1 ? xn 1 x2 ? x3 1 x2 ? x4 1 ... 1 xn 2 1 ? xn 5 an 2 2 _______ an

� x1 ? x2 ? x3 1 x1 ? x2 ? x4 1 ... 1 x2 ? x3 ? x4 1 x2 ? x3 ? x5 1 ... 1 xn 2 2 ? xn 2 1 ? xn = 2 an 2 3 _______ an

� x1 ? x2 ? x3 ? ... ? xn 2 2 ? xn 2 1 ? xn 5 (21)n ? a0 ____ an


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la. 1. (UEL-PR) Seja A uma matriz quadrada 2 3 2 de números reais dada por:

A 5 1 23 4

O polinômio característico de A é definido por c(t) 5 det (A 2 t ? I), onde I é a matriz identidade 2 3 2. Nessas condições, o polinômio característico da matriz A é:a) t2 2 4b) 22t 2 1c) t2 1 t 1 1d) t3 1 2t2 1 3t 1 4e) t2 2 5t 2 2

2. (Fuvest-SP) O polinômio p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x 2 2 e x 2 1, respectivamente. Assim, o valor de a é: a) 26 d) 29b) 27 e) 210c) 28

3. (Unifor-CE) N e P são números naturais constituídos pelos algarismos a e b de acordo com os seguintes formatos: N 5 ab e P 5 ba. No quadro abaixo, temos o algoritmo da divisão aplicado às divisões de N por a 1 b e de P por a 2 b, respectivamente.

N a 1 b P a 2 b6 7 2 6

Então, podemos afirmar que N 2 2P é igual a:a) 8 d) 22b) 10 e) 25c) 15

4. (Unifacs-BA) O Sistema de Posicionamento Global ou GPS é formado a partir de uma constelação de satélites e suas estações na Terra e já começa a fazer parte do cotidiano da vida das pessoas. Dentre outras informações relativas ao seu deslocamento, o portador de um receptor GPS padrão pode ser situado no mapa em um determinado local, como também ter seu caminho traçado por um mapa à medida que se mova.A trilha, mostrando no mapa o caminho percorrido por determinada pessoa que se deslocou de um ponto A até um ponto B, quando representada no sis-tema de coordenadas cartesianas, corresponde à parte da curva definida pela expressão algébrica P(x) 5 ax3 2 x2 1 bx 1 c representada no gráfico.

y

x

4

0 2

9

21

A

B

Com base nessas informações, pode-se afirmar que o resto na divisão de P(x) por Q(x) 5 2x2 1 3x 2 2 é:a) x 2 2b) x 1 2

c) 22d) 0

e) 3


162

5. (Unicap-PE) [Classifique as alternativas em verdadeiras ou falsas.]a) O polinômio (x2 2 5x 1 6)10 é divisível por (x 2 2) (x 2 3)2.b) O volume de uma esfera é 12p cm³; o seu raio mede dXX 3 cm.c) O quociente entre cada lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é

constante.d) A idade de Pedro está para a de João na razão de 16 para 3 e ambas as ida-

des somam 38 anos. A idade de Pedro é 30 anos.e) No plano cartesiano ortogonal, as retas de equações x 1 y 2 5 5 0 e

2x 1 y 2 1 5 0 são concorrentes no ponto (4, 9).

6. (UEFS-BA) O dispositivo de Briot-Ruffini recebeu este nome em homenagem ao matemático francês Charles A. A. Briot (1817-1882) e ao matemático italia-no Paolo Ruffini (1765-1822).O esquema a seguir representa a divisão de um polinômio P(x) por outro do tipo D(x) 5 (x 2 1)(x 2 c) pelo método de Briot-Ruffini, com a, b, c e d cons-tantes reais, d Þ 0.

1 a 27 b

1 1 1 d 0

c 1 2 d __ 2 0

Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo i a unidade imaginária dos nú-meros complexos, o valor de (a 1 bi)(c 2 di) é:a) 236 1 12i d) 12 1 36ib) 212 2 36i e) 36 2 12ic) 12 2 36i

7. (ITA-SP) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4 1 x2 1 ax 1 b 5 0, com a, b [ R, então a2 2 b3 é igual a:a) 264 d) 18b) 236 e) 27c) 228

8. (FGV-SP) O polinômio P(x) 5 x4 2 5x3 1 3x2 1 5x 2 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) 5 d) 2b) 4 e) 1c) 3

9. (FGV-SP) Os vértices do quadrado na figura a seguir representam, no plano de Argand-Gauss (plano complexo), todas as raízes de um polinômio p(x) cujo coeficiente do termo de maior grau é 1.

y

x3

3i

23

23i

a) Determine a expressão do polinômio p(x).b) Calcule o resto da divisão de p(x) pelo polinômio q(x) 5 x3 2 2x2 1 4x 2 8.


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10. (Unioeste-PR) O sistema de controle de uma empresa que vende um determi-nado produto agrícola pela internet considera que o estoque deste produto, em toneladas, em um dado momento t, t em dias, é positivo se a quantidade totalizada pelos pedidos existentes neste momento for menor que a quanti-dade existente em seu depósito, negativo se o total dos pedidos for maior que a quantidade disponível e nulo se o total dos pedidos for igual ao total disponível. O polinômio P(t) 5 (t 2 10)(a2t

2 1 a1t 1 a0), a2 Þ 0, dá uma apro-ximação para o estoque em um período de 12 dias consecutivos observados. A parte do gráfico deste polinômio que corresponde aos valores de t tais que 0 < t < 7 está esboçado na figura a seguir.

t

P (t)

1 3 7

P

Com base nas informações dadas, para o período de 12 dias considerados, pode-se afirmar que:a) o estoque ficou sempre positivo para t . 3.b) a empresa ficou exatamente dois momentos com estoque nulo.c) a empresa permaneceu apenas 3 dias com estoque negativo.d) em dois períodos distintos, totalizando 4 dias, o estoque ficou negativo.e) o estoque permaneceu positivo durante 6 dias.

11. (FGV-SP) Sendo m um número inteiro, considere a equação polinomial

3x4 1 2x3 1 mx2 2 4x 5 0, na incógnita x, que possui uma raiz racional entre

2 4 ___ 5 e 2

1 __ 2 . Nessas condições, a menor raiz irracional da equação é igual a:a) 2 dXX 3

b) 2 dXX 2

c) 2 dXX 2 ____ dXX 2

d) dXX 2

e) dXX 3

12. (Mackenzie-SP) Se a, b e c são as raízes do polinômio p(x) 5 x3 2 5x2 1 2x 1 8, tais que a 5 22bc, o valor de a __

b 1 a __ c é:

a) 2

b) 1 __ 2

c) 22

d) 3

e) 2 1 ___ 4

13. (Urca-CE) Sejam A 5 (aij) uma matriz n 3 n e p(x) 5 anxn 1 an 2 1x

n 2 1 1 ... 1 a1x 1 a0 um polinômio na indeterminada x com coeficientes reais. Dizemos que A é um zero de p(x) se p(A) 5 O, onde O é a matriz nula n 3 n, isto é, p(A) 5 anA

n 1 an 2 1An 2 1 1 ... 1 a1A 1 a0I 5 O, onde I é a matriz identidade

n 3 n. Considere A 5 ( 4 5 k 1 ) e p(x) 5 x2 2 5x 2 6. O valor de k para que A seja um zero de p(x) é:a) 0b) 2

c) 1d) 3

e) 5


164

14. (Unifesp) Considere o polinômio p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c, sabendo que a, b e c são números reais e que o número 1 e o número complexo 1 1 2i são raízes de p, isto é, que p(1) 5 p(1 1 2i) 5 0. Nestas condições existe um polinômio q(x) para o qual p(x) 5 (1 2 x) ? q(x). Uma possível configuração para o gráfico de y 5 q(x) é:

a) d)

b) e)

c)

15. (UEM-PR) Dado um número natural n > 1 e considerando que as raízes n-ésimas da unidade são as raízes complexas do polinômio xn 2 1 assinale a(s) alternativa(s) correta(s).[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]01. O módulo de qualquer raiz n-ésima da unidade é igual a 1.02. Todas as raízes de x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x 1 1 são também raízes sextas

(6-ésimas) da unidade.04. Se z1 e z2 são raízes n-ésimas da unidade, ambas distintas de 1, então z1

z2 também é uma raiz n-ésima da unidade.

08. Se z1 é uma raiz quinta da unidade e z2 é uma raiz sétima da unidade,

então z2 ___ z1

é uma raiz quinta da unidade.

16. x 5 21 é sempre raiz da unidade para n > 2.

16. (UTFPR) Se 2 e 2 23i são raízes da equação ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, então a soma c 1 d é igual a:a) 5 d) 23b) 24 e) 25c) 4

17. (Uece) Se os números x1, x2, x3 e x4 são as soluções da equação x4 2 4x3 2 2x2 1 12x 1 9 5 0, então o valor da soma log3 |x1| 1 log3 |x2| 1

1 log3 |x3| 1 log3 |x4| é:a) 0b) 1c) 2d) 3

y

x1

y

x

y

x1

y

x

y

x


165

Pol

inôm

ios

e eq

uaçõ

es p

olin

omia

is

18. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).[A resposta será a soma dos números associados às alternativas corretas.]

01. Se 3n 5 5, então log5 225 5 2 1 2n __________ n .

02. Os valores reais de x que satisfazem a equação 4x 1 4 5 5 ? 2x perten-cem ao intervalo (2, 4].

04. Suponha que “Chevalier de Mére”, um jogador francês do século XVII, que ganhava a vida apostando seu dinheiro em jogos de dados, decidiu apostar que vai sair um “3” no lançamento de um dado perfeito de seis faces numeradas de 1 a 6. Com relação a esse experimento, há dois re-sultados possíveis: ou sai “3” e Chevalier ganha, ou não sai “3” e ele per-de. Cada um destes resultados – “sai um 3” ou “não sai um 3” – tem a mesma probabilidade de ocorrer.

08. Para que a função P(x) 5 x2 1 px seja divisível por 4x 2 1, é necessário

que p seja igual a 1 ___ 4 .

16. Se a, b e c são raízes reais da equação x3 2 20x2 1 125x 2 250 5 0, en-

tão o valor de log ( 1 __ a 1 1 __ b 1 1 __ c ) é nulo.

32. Se A é o número de arranjos de 6 elementos tomados 2 a 2; B é o núme-ro de permutações de 5 elementos e C é o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, então A 1 B 2 C 5 140.

19. (PUC-RS) Ao visitar a Faculdade de Matemática em Coimbra, Tales fez amiza-de com um estudante, que lhe propôs a seguinte questão:

Um polinômio tem tantas raízes imaginárias quantas são as consoan- tes da palavra Coimbra, e o número de raízes reais é no máximo igual ao número de vogais.

Então, o grau deste polinômio é um número n tal que:a) 4 < n , 7b) 4 < n < 7c) 4 , n < 7d) 4 , n , 7e) n < 7

20. (Unioeste-PR) Considere o polinômio p(x) 5 det A, onde A 5 x 2x 2x

213 2x2 15

0 2x 1 __ 2 .

Se x1, x2 e x3 são as raízes de p(x) e a 5 x1 1 x2 1 x3, então é correto afirmar que a é igual a:a) 4b) 0c) 2 1 3id) 2 1 6ie) 213

21. (UCPel-RS) As raízes da equação x3 2 13x2 1 39x 2 27 5 0 são reais e estão em progressão geométrica. Então, a solução dessa equação é o conjunto:a) {1, 3, 9}b) {2, 4, 8} c) {21, 22, 24}

d) { 6, 3, 3 __ 2 } e) { 1, 1 __ 2 , 1 ___ 4 }

22. (Uece) Se x, y, z e w são as raízes da equação x4 1 2x2 1 1 5 0, então log2 |x| 1 log2 |y| 1 log2 |z| 1 log2 |w| é igual a:a) 0 c) 21b) 1 d) 2


166

Introdução ao cálculo

Limite de uma sequênciaO limite de uma sequência (a1, a2, a3, …, an, ...) – quando a quantidade n de termos aumenta

indefinidamente – é L se os termos an dessa sequência tornam-se arbitrariamente próximos de L.

Denota-se esse limite por: lim néÜ

an 5 L

Limite de uma funçãoO limite de uma função f quando x tende a um número a é L se os limites laterais dessa função exis-

tem e também são iguais a L.

Denota-se esse limite por: lim xéa

f(x) 5 L à lim xéa2

f(x) 5 lim xéa1

f(x) 5 L

PropriedadesConsidere um número a, uma constante k [ R e as funções f e g, tais que existam os limites lim

xéa f(x) 5 L

e lim xéa

g(x) 5 M. Nessas condições são válidas as seguintes propriedades.

Propriedade Representação algébrica

O limite da soma de duas funções é a soma dos limites dessas funções. lim xéa

f(x) 1 g(x) 5 lim xéa

f(x) 1 lim xéa

g(x) 5 L 1 M

O limite do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pelo limite dessa função. lim

xéa k ? f(x) 5 k ? lim

xéa f(x)

O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções. lim xéa

f(x) ? g(x) 5 lim xéa

f(x) ? lim xéa

g(x) 5 L ? M

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções. lim xéa

f(x)

______ g(x)

5 lim xéa

f(x) ___________

lim xéa

g(x) 5 L ___ M

Limites infinitosDados os números a e L e uma função f, têm-se os seguintes limites infinitos:

Limites infinitos Representação algébrica

O limite de f(x) quando x tende ao valor a é mais infinito (os valores de f(x) aumentam indefinidamente). lim xéa

f(x) 5 1Ü

O limite de f(x) quando x tende ao valor a é menos infinito (os valores de f(x) diminuem indefinidamente). lim xéa

f(x) 5 2Ü

O limite de f(x) quando x tende a mais infinito é L. lim xé2Ü

f(x) 5 L

O limite de f(x) quando x tende a menos infinito é L. lim xé2Ü

f(x) 5 L

O limite de |f(x)| quando x tende a mais infinito ou a menos infinito é infinito.

Se f(x) é positivo e x é positivo, então o limite de f(x) quando x tende a mais infinito é mais infinito.

lim xé1Ü

f(x) 5 1Ü

Se f(x) é negativo e x é positivo, então o limite de f(x) quando x tende a mais infinito é menos infinito.

lim xé1Ü

f(x) 5 2Ü

Se f(x) é positivo e x é negativo, então o limite de f(x) quando x tende a menos infinito é mais infinito.

lim xé2Ü

f(x) 5 1Ü

Se f(x) é negativo e x é negativo, então o limite de f(x) quando x tende a menos infinito é menos infinito.

lim xé2Ü

f(x) 5 2Ü

Quando a quantidade n de termos de uma se- quência aumenta indefinidamente, diz-se que ela tende a infinito.


167

Intr

oduç

ão a

o cá

lcul

o

Limite de uma função polinomialDadas as funções polinomiais f e g definidas por f(x) 5 anx

n 1 an21xn21 1 ... 1 a1x 1 a0 e

g(x) 5 bmxm 1 bm21xm21 1 ... 1 b1x 1 b0 têm-se os seguintes limites:

lim xé1Ü

f(x) 5 lim xé1Ü

(an ? xn) lim

xé2Ü f(x) 5 lim

xé2Ü (an ? x

n)

lim xé1Ü

f(x)

____ g(x) 5 lim

xé1Ü

an ? xn

______ am ? xm lim xé2Ü

f(x)

____ g(x) 5 lim xé2Ü

an ? x

n

______ am ? xm

DerivadaA taxa média de variação de uma função f no intervalo [x0, x0 1 h] é o quociente

f(x0 1 h) 2 f (x0) ______________

h , em que h Þ 0. Essa taxa é, geometricamente, o coeficiente angular da reta

secante ao gráfico de f nos pontos A x0, f(x0) e B x0 1 h, f(x0 1 h) .y

A

x0 x0 1 h

Dx

0

f(x0)

f(x0 1 h)

A taxa de variação instantânea de uma função f no ponto x0 é lim h é 0

( f(x0 1 h) 2 f(x0) ______________ h ) , quan-

do esse limite existe. Essa taxa é, geometricamente, o coeficiente angular mt da reta tangente ao

gráfico de f no ponto de abscissa x0. Ou seja, mt 5 lim h é 0

f(x0 1 h) 2 f(x0) ______________

h , quando o limite existe.

y

A

x0

f(x0)

f

t

0

A taxa de variação instantânea da função f no ponto x0 é denominada derivada da função f nesse ponto e é indicada por f ’(x).

f ’(x0) 5 lim h é 0

f(x0 1 h) 2 f (x0) ______________

h , quando o limite existe.

Assim, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x0 é igual à derivada da função f nesse ponto.


168

Função derivadaSendo I um intervalo contido no domínio de uma função f, que possui derivadas em todos

os pontos de seu domínio, define-se:A função derivada de f é a função que associa cada x [ I à sua derivada f ’(x).Para simplificar, denomina-se a função derivada de f apenas por derivada de f. A seguir têm-

-se as derivadas de algumas funções:

� Função constante: f(x) 5 k, k [ R ä f ’(x) 5 0

� Função potência: f(x) 5 xn ä f ’(x) 5 n ? xn 2 1

� Produto de uma constante por uma função: f(x) 5 k ? g(x) ä f ’(x) 5 k ? g’(x)

PropriedadesDadas as funções f e g deriváveis, são válidas as seguintes propriedades.

� Derivada da soma de duas funções.

h(x) 5 f(x) 1 g(x) ä h’(x) 5 f ’(x) 1 g’(x)

� Derivada da diferença de duas funções.

h(x) 5 f(x) 2 g(x) ä h’(x) 5 f ’(x) 2 g’(x)

� Derivada do produto de duas funções.

h(x) 5 f(x) ? g(x) ä h’(x) 5 f ’(x) ? g(x) 1 f(x) ? g’(x)

� Derivada do quociente de duas funções.

h(x) 5 f(x)

____ g(x) , com g(x) ? 0 ä h(x) 5 f ’(x) ? g(x) 2 f(x) ? g’(x)

____________________ [g(x)]2

� Derivada da função composta (regra da cadeia).

h(x) 5 f g(x) ä h’(x) 5 f ’ g(x) ? g’(x)

Derivada de segunda ordemSeja f uma função derivável. A função f’, derivada de f, também pode admitir uma função de-

rivada, que é denotada por f’’. Essa função é denominada derivada de segunda ordem da fun-ção f ou, simplesmente, segunda derivada de f.

Problemas de cinemáticaSeja s a função que relaciona a posição s(t) de um objeto em movimento em função do

tempo t. A velocidade média vm desse objeto no intervalo de tempo [t0, t0 1 h] é igual à taxa média

de variação da função s nesse intervalo.

vm 5 s(t0 1 h) 2 s(t0) _____________

h

A velocidade instantânea em t0 é igual à taxa de variação instantânea da função s no instan-te t0, ou seja, é a derivada da função s nesse ponto.

v(t0) 5 lim h é 0

5 s(t0 1 h) 2 s(t0) _____________

h

A aceleração instantânea em t0 é igual à taxa de variação instantânea da função velocidade v no instante t0, ou seja, é a derivada da função v nesse ponto. Portanto, a aceleração desse objeto no instante t0 é igual à segunda derivada de s no ponto t0.

a(t0) 5 lim h é 0

5 v(t0 1 h) 2 v(t0) _____________

h


169

Intr

oduç

ão a

o cá

lcul

o

QuestõesTo

das

as q

uest

ões

fora

m re

prod

uzid

as d

as p

rova

s or

igin

ais

de q

ue fa

zem

par

te. A

lgum

as d

as im

agen

s es

tão

fora

de

esca

la.

1. (UFRJ) Para cada número natural n > 1, seja Fn a figura plana composta de quadradinhos de lados iguais a 1 __ n , dispostos da seguinte forma:

Fn é formada por uma fila de n quadradinhos, mais uma fila de (n 2 1) quadra-dinhos, mais uma fila de (n 2 2) quadradinhos e assim sucessivamente, sendo a última fila composta de um só quadradinho (a figura ilustra o caso n 5 7).Calcule o limite da área de Fn quando n tende a infinito.

2. (UEL-PR) Considere a função real com domínio R 2 {2}, dada por f(x) 5 1 ________ x 2 2 . É verdade que:

a) se x tende para 1`, f(x) tende para zero.

b) se x tende para 1`, f(x) tende para 2`.

c) para qualquer valor de x, f(x) é um número negativo.

d) se x é um número muito próximo de 2, f(x) é um número muito próximo de 1 __ 2 .

e) f(2) 5 0

3. (Unimontes-MG) Considere a soma An 5 1 __ n2 1 2 __

n2 1 ... 1 n 2 1 _____ n2 1 n __

n2 , em que

n é um número inteiro positivo. Então, para valores de n suficientemente gran-des, é correto afirmar que An possui valores convenientemente próximos de:

a) 1 __ 2

b) 0

c) 1

d) 3 __ 2

4. (PUC-MG) O valor da derivada da função f(x) 5 dXXXXXX (7 2 x) no ponto (22, 3) é:

a) 2 1 __ 2

b) 2 1 ___ 6

c) 1 ___ 6

d) 2

e) 3

5. (Cesgranrio-RJ) A tangente à curva y 5 x3 no ponto (1, 1) tem coeficiente angular igual a: a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

6. (UEL-PR) A derivada da função f, de R em R, definida por f(x) 5 22x5 1 4x3 1 1 3x 2 6, no ponto de abscissa x0 5 21, é igual a: a) 25b) 19c) 9

d) 5e) 3

7. (ITA-SP) Os valores de a, 0 , a , p e a Þ p ___ 2 , para os quais a função f: R é R dada por f(x) 5 4 x 2 2 4x 2 t g 2 a assume seu valor mínimo igual a 24, são:

a) p ___ 4 e 3p _____ 4

b) p ___ 5 e 2p _____ 5

c) p ___ 3 e 2p _____ 3

d) p ___ 7 e 3p _____ 7

e) 2p ____ 5 e 3p _____ 5

1n


170

8. (IFMG) O valor de lim xé3

x2 1 2x 2 15 ____________

dXXXXXXX 3x 2 6 2 dXX x é:

a) 2 dXX 3

b) 4 dXX 3

c) 6 dXX 3

d) 8 dXX 3

9. (Cesgranrio-RJ) Na poligonal da figura [ao lado], de lados P0P1, P1P2, P2P3, ... cada lado é perpendicular ao anterior e tem comprimento igual à metade do comprimento do lado anterior. Se P0P1 5 1, então, quando n tende para infinito, o limite da distância entre os vértices P0 e Pn vale:

a) 1

b) 2 dXX 5 ____ 3

c) 2 dXX 3 ____ 5

d) 4 ___ 5

e) 2 dXX 5 ______ 5

10. (UTFPR) Uma progressão geométrica de razão 1 __ 2 tem seu primeiro termo igual a 2. Seja uma progressão aritmética com primeiro termo também igual a 2 e razão igual ao limite da soma dos termos da progressão geométrica. Então, o décimo termo da progressão aritmética é igual a:a) 36b) 37c) 38d) 39e) 40

11. (IFMG) A derivada da função f(x) 5 sen x 1 cos x 1 tg x, no ponto x 5 p, é:a) 22b) 21c) 0d) 1

12. (UEL-PR) A equação da reta tangente à curva de equação y 5 x3 1 2x 2 1, no ponto em que x 5 21, é:a) y 5 5x 1 1b) y 5 4x 1 1c) y 5 3x 2 1d) y 5 23x 1 1e) y 5 24x 1 1

13. (UEL-PR) A equação horária de um móvel é y 5 t3

___ 3 1 2t, sendo y sua altura em relação ao solo, medida em metros, e t o número de segundos transcorridos após sua partida. Sabe-se que a velocidade do móvel no instante t 5 3 s é dada por y’(3), ou seja, é a derivada de y calculada em 3. Essa velocidade é igual a: a) 6 m/sb) 11 m/sc) 15 m/sd) 27 m/se) 29 m/s

P1 P

2

P3

P4

P5

P0


171

Gabarito

Revisão

página 7

1. a

2. n 5 125

3. b

4. b

5. e

6. b

7. b

8. d

9. e

10. d

11. c

12. a

13. b

14. c

15. d

16. c

17. e

18. d

19. d

20. c

21. d

22. d

23. d

24. a

25. d

26. 01 1 08 5 09

27. b

28. d

29. e

30. b

31. a

32. c

33. d

34. c

35. b

36. d

37. d

38. d

39. e

40. c

41. c

42. a

43. c

44. b

45. d

46. a

47. b

48. a) O retalho semicircular pode ser usado para obtenção da tira.

b) Não é possível obter a tira a partir do retalho triangular.

49. 6 ____ 17 m

50. 90 dm ou 9 m

51. a

52. 3 m

53. e

54. b

55. 32 m

Conjuntos

página 26

1. d

2. a

3. e

4. a

5. c

6. c

7. c

8. e

9. c

10. c

11. d

12. c

13. d

14. b

15. c

16. d

17. d

18. 02

19. c

20. d

Introdução às funções

página 31

1. b

2. a) x > 0

b) x 5 0 temos 3 dXX 2 , x 5 4 temos 3 dXX 6 e

x 5 9 temos 2 ____ 81

3. v 5 4c ____ 5

4. a) f(1) 5 2

b) f(5) 5 14

5. e

6. a

7. e

8. c

9. d

10. c

11. b

12. a

13. a) IV

b) f(x) 5 x 2 e g(x) 5 x

14. b

15. d

16. d

17. b

Função afim

página 37

1. a) 2

b) 9

2. e

3. e

4. b

5. c

6. e

7. a) 10 litros

b) 25 litros

c) 22,73 litros

8. a

9. vela A: 8 cm; vela B: 6 cm

10. e

11. a) lâmpada incandescente: R$ 37,50; lâmpada fluorescente: R$ 9,00

b) mais que 100 dias

12. a) 8 kg

b) entre 10 e 34 meses

Função quadrática

página 41

1. b

2. 143,88 kg/hectare

3. d

4. d

5. d


172

Gabarito

6. a) f( x V ) 5 8 2 m 2 __________ 4

b) m < 22 ou m > 2

c) m 5 2

d) x 5 dXXXXX y 2 1 2 1

7. c

8. a) a 5 20,1, b 5 1 e c 5 1,1

b) 11 metros

9. c

10. c

11. c

12. 02 1 04 1 08 5 14

13. b

Função modular

página 45

1. a

2. a

3. b

4. a

5. b

Função exponencial e função logarítmica

página 48

1. a

2. a) a 5 3 __ 2 e k 5 2

b) f(0) 5 2 e f(3) 5 27 ____ 4

3. a

4. b

5. c

6. 16 200

7. 01 1 04 5 05

8. c

9. e

10. e

11. a

12. b

13. b

14. d

15. e

16. c

17. d

18. A função f é sobrejetora e, portanto, bije-tora. Logo, a função inversa de f é f 21 (x) 5 5 lo g 3 ( x 1 dXXXXXX x 2 1 1 ) .

19. a

20. a

21. a) em 20 anos

b) 20,019 aproximadamente

22. a) 202 °C

b) 4,3 h

23. em 1960

24. c

25. b

26. d

27. a

28. b

Noções de estatística e Matemática financeira

página 56

1. d

2. b

3. d

4. c

5. b

6. a) 30 kg de músculos

b) 37,5% de ossos e gordura

7. R$ 5,00

8. a

9. b

10. b

11. b

12. a) F

b) F

c) F

d) V

e) F

13. c

14. d

15. e

16. b

17. b

18. a

19. d

20. a) R$ 7,50

b) 8,3%

c) a 5 7 ____ 30

21. a) 20

b) 81,5%

22. a) aproximadamente R$ 398,00

b) A loja deve dar um desconto de aproxi-madamente 1,5% para que seja vanta-joso para o cliente a compra a vista.

23. d

24. c

25. a

26. a) o plano 1.

b) R$ 12 500,00

27. 01 1 02 1 08 5 11

28. d

29. b

Progressões

página 66

1. c

2. b

3. a

4. b

5. d

6. e

7. b

8. d

9. a

10. e

11. a

12. 14 2 6 dXX 2

13. a) Daqui a 6 semanas o site A pretende adquirir 3 200 membros e obter, ao todo, 6 450 membros.

b) O site B espera obter 10 000 membros em 12 semanas.

14. d

15. e

16. a

17. c

Trigonometria no triângulo retângulo

página 71

1. b

2. a

3. e

4. a

5. a

6. a

7. b

8. b


173

9. a) a 5 30°

b) AC 5 dXX 7

c) 2

d) dXX 3 ____ 2

10. a

11. d

Circunferência trigonométrica

página 76

1. c

2. b

3. e

4. c

5. b

6. 2 902,76 km

7. e

8. d

9. a

10. d

11. a

12. d

13. b

14. e

15. c

16. c

17. b

18. d

19. c

20. a

21. b

22. 0

23. b

24. c

25. d

Funções trigonométricas

página 81

1. P 5 ( 4 ___ 3 , 0 ) , Q 5 (2, 0),

R 5 ( 8 ___ 3 , 0 ) e S 5 ( 10 ____ 3 , 0 ) 2. a) 21

b) e 5p _____ 12 , 13p

______ 12 r

c) Como dXX 3 ____ dXX 2

. 1, a equação não apresenta

solução.

3. a) F

b) V

c) F

d) V

e) V

4. b

5. a

6. c

7. 02 1 04 1 08 5 14

8. d

9. a

10. e

11. b

Relações e transformações trigonométricas

página 85

1. d

2. a) 6 400 km

b) 3 ___ 8

3. e

4. b

5. b

6. a

7. b

8. a) 12 h 48 min

b) 181 dias

9. b

10. a

11. d

12. d

13. e

14. e

15. e

16. c

17. b

18. d

Matriz

página 90

1. c

2. d

3. a

4. a) B é o horário vencedor, com 30% dos votos.

b)

P 5 k

4 3 2 14 3 1 24 2 3 11 4 3 23 4 2 12 4 3 11 2 4 33 1 4 22 1 3 4

l; C, B, A, D

5. a) a 5 2 __ 3 e b 5 2 1 __ 3

b) x 5 f11

24g

Determinante

página 93

1. c

2. e

3. b

4. d

5. d

6. Det A 5 0

Sistema linear

página 97

1. a

2. d

3. e

4. c

5. c

6. e

7. a

8. d

9. b

10. a

11. e

12. c

13. c

Áreas de figuras planas

página 101

1. e

2. a

3. e

4. c

5. c

6. e

7. 11 c m 2


174

Gabarito

8. a

9. c

10. c

11. a

12. e

13. 02 1 16 5 18

Geometria espacial de posição

página 107

1. 02 1 16 5 18

2. b, c, e

3. c

4. b

5. e

6. e

7. c

8. b

9. b

10. b

11. d

12. c

Sólidos

página 115

1. 02 1 16 5 18

2. e

3. d

4. e

5. a) F

b) V

c) V

d) F

e) V

6. a

7. e

8. a

9. a) 1,2 m

b) 1 468,8 litros

10. a

11. c

12. a

13. d

14. e

15. c

16. e

17. d

18. a

19. a

20. a

21. b

22. a

23. a

24. a) 20 dXX 6 ________ 3

b) 100 dXX 3 __________ 3 ( dXXX 10 2 2 ) m 2

25. c

26. e

27. c

28. 13l dXX 2 ________ 4

29. a

30. e

31. c

32. 01 1 02 1 04 5 07

33. c

34. e

35. e

36. c

37. a

38. 01 1 08 5 09

Medidas de posição e de dispersão

página 125

1. c

2. d

3. d

4. d

5. a

6. e

7. c

8. e

9. a

10. d

11. a

12. e

13. e

Análise combinatória

página 129

1. e

2. b

3. d

4. c

5. a) 40 maneiras distintas b) 18 maneiras distintas

6. d

7. b

8. a

9. a

10. b

11. e

12. b

13. c

14. a

15. b

Probabilidade

página 1331. a

2. d

3. c

4. c

5. b

6. b

7. a

8. 10%

9. c

10. a) 1 __ 2

b) 25 ____ 51

11. e

12. d

13. d

14. b

15. a) 2 200

b) 8%

Geometria analítica

página 1381. e

2. c

3. c

4. 02

5. b

6. d

7. c

8. b

9. a

10. c

11. c

12. d

13. b

14. 22


175

15. c

16. d

17. c

Circunferência

página 144

1. d

2. e

3. a

4. d

5. e

6. e

7. e

8. b

9. d

10. e

11. b

12. b

13. c

14. c

15. a

16. d

17. 02 1 04 1 08 1 16 5 30

18. e

19. a) P 1 P 2 5 12b) 90c) 96

Cônicas

página 151

1. d

2. b

3. a

4. a) Fb) Vc) Fd) Ve) V

5. a

6. 31p ______ 3

7. e

8. d

9. b

10. c

11. b

12. a

Números complexos

página 156

1. (2, 1)

2. S 5 {21; 21 1 i; 21 2 i}

3. c

4. a

5. c

6. c

7. b

8. e

9. a) V

b) V

c) F

d) F

e) F

10. c

11. d

12. a 5 3

13. a) Z 1 5 2 ? ( cos p ___ 6 1 i ? sen p ___ 6 ) e

Z 2 5 4 ? ( cos p ___ 4 1 i ? sen p ___ 4 ) b) n 5 24 e m 5 48

14. b

15. c

Polinômios e equações polinomiais

página 161

1. e

2. a

3. b

4. d

5. a) V

b) F

c) V

d) F

e) F

6. a

7. c

8. a

9. a) P(x) 5 x 4 2 81

b) Q(x) 5 x 1 2 e R(x) 5 265

10. d

11. b

12. c

13. b

14. b

15. 01 1 02 1 04 5 07

16. d

17. c

18. 01 1 32 5 33

19. b

20. a

21. a

22. a

Introdução ao cálculo

página 169

1. 1 __ 2

2. a

3. a

4. b

5. c

6. d

7. c

8. d

9. e

10. c

11. c

12. b

13. b



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MATEMÁTICA - smbrasil.com.br · 15 2971 MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO ˜˚˛˝˙ˆˇ˝˘˜˚˝ EDIÇÕES SM Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida por Edições SM. ENEM CADERNO