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Função modular

. Entender funções definidas por mais de uma sentença;

. Compreender o módulo de um número.

oBJETIVos proposTos

O Imposto de Renda Devido (IRD) a ser pago pelo contribuinte, relativo ao ano de 1995, dependia de sua renda Líquida (RL). O manual para preenchimento da declaração de rendimentos apresentava a tabela abaixo, que permitia calcular o IRD a partir da RL:

RL (em reais) Alíquota de imposto

Parcela a deduzir

Até 8 803,00 0% 0

De 8 803,01 a 17 166,00

15% 1 320,45

De 17 166,01 a 158 457,00

26,6% 3 311,70

Acima de 158 457,00 35% 16 622,09

De acordo com essa tabela, temos:

a) Um contribuinte com RL = R$ 8 000,00 teria IRD = 0.

b) Um contribuinte com RL = R$ 12 000,00 teria IRD = 15% de 12 000 – 1 320,45 = 0,15 x 12 000 = 1 320,45 = 23 288,30

c) Um contribuinte com RL = R$ 100 000,00 teria IRD = 26,6% de 100 000 – 3 311,70 = 0,266 x 100 000 – 3 311,70 = 23 288,30

d) Um contribuinte com RL = R$ teria IRD = 53 377,91

Em geral, se um contribuinte apresentasse RL = x, como poderia ser calculado o IRD = y? A resposta seria:

. Se 0 ≤ x ≤ 8 803, então y = 0;

. Se 8 803 < x ≤ 17 166, então y = 0,15x – 1 320,45;

. Se 17 166 < x ≤ 158 457, então y = 0,266x – 3 311,70;

Se x > 158 457, então y = 0,35x – 16 622,09.

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 de Agosto de 1601 — Castres, 12 de Janeiro de 1665) foi um matemático e cientista francês. Realizou estudos em cálculo algébrico e infinitesimal. Enunciou o

chamado “O último teorema de Fermat”, que levou mais de 3 séculos para ser provado.

Podemos observar que y é uma função de x, definida por quatro sentenças. Usa-se uma sentença ou outra dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra. Uma função desse tipo é chamada função definida por mais de uma sentença.

Ex.:

Sendo uma função definida pelas sentenças:

Se x < 0,então f(x) = 1

Se x ≥ 0,então f(x) = x + 1

Vamos calcular f(- 3),f(- 2),f(0),f(2) e construir o gráfico de f.

Temos:

−3 < 0 ⇒ f(−3) =1

− 2 < 0 ⇒ f(− 2) =1

0 ≥ 0 ⇒ f(0) = 0 + 1 = 1

2 < 0 ⇒ f(2) = 2 + 1 = 3

Para construir o gráfico de f, fazemos assim:

1º Passo: Construímos o gráfico da função constante f(x) = 1, mas só consideramos o trecho em que x < 0. Veja:

2º Passo: Construímos o gráfico da função afim f(x) = x + 1, mas só consideramos o trecho em que x ≥ 0. Veja:

1

1

maTEmÁTICa

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Conjuntos numéricos

módulo de um númeroDefinição: Dado um número real x, chama-se

módulo ou valor absoluto de x, que se indica com |x|, o número real não negativo tal que:

|x|= x, se x ≥ 0

|x|= −x, se x < 0

Isso significa que:

O módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;

O módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número;

O módulo de um número real qualquer é sempre maior ou igual a zero: |x| ≥ 0, ∀ x.

Assim, podemos identificar alguns módulos:

|+1| = +1 |-5|= + 5 |0|=0

Ex1.:

Qual é o valor de |3 – π|?

Sabemos que π = 3,141592…, então:

3 < π ⇒ 3 − π< 0 ⇒ |3 − π|= −(3 − π) = π − 3 =

=0,141592…

Ex2.:

Simplifiquemos a fração

E = x - 1x-1

:

Da definição de módulo, temos:

x − 1,se x − 1 ≥ 0, isto é, se x ≥ 1

|x − 1| ou

−(x − 1),se x − 1 < 0, isto é, se x < 1{

Temos então duas possibilidades para E:

1ª) se x > 1, então E = x-1x-1=1

2ª) se x < 1, então E = x-1- x-1^ h =-1

1) Seja f: N Q R I Z → N Q R I Z definida por 2, se x ≥ 0f(x)= . Calcule: 3, se x < 0

a) f(-1)

b) f(5)

c) f - 83

c m

2) Seja f: N Q R I Z → N Q R I Z definida por 3x + 5 se x ≥ 0f(x) = x, se < 0

a) f(5)

b) f(−3)

3) Calcule:

a) |−3 + 2|

b) |2 – 10|

São conhecidos 51539600000 casas decimais de (pi), calcu-ladas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997

{

{

+72 =+7

2 - 2 =+ 2 +72 =+7

2 - 2 =+ 2