GABARITO

1Matemática A

Matemática A – Extensivo – v. 4

Exercícios

01) D

f(x) = ax + b, com a ≠ 0.Considere os pontos (0, 4) e (15, 7).

Para (0, 4), temos:4 = a . 0 + bb = 4.

Para (15, 7), temos:7 = a . 15 + b7 = 15 . a + 4 (b = 4)7 – 4 = 15a3 = 15a

a = 315

⇒ a = 15

.

Portanto, a função é dada por:

f(x) = 15

x + 4.

Segue que o gráfico da função passa pelos pontos(p, 5) e (18, k).

Para o ponto (p, 5), temos:

5 = 15

p + 4

5 – 4 = 15

p

1 = 15

p

p = 5.

Para o ponto (18, k), temos:

k = 15

. 18 + 4

k = 185

+ 4

k = 18 205+ ⇒ k = 38

5.

Portanto,

x + k = 5 + 385

= 25 38

5635

+= = 12,6.

02) B

Valor arrecadado: 100 xValor pago por impostos:24% do valor arrecadado, isto é:

24% de 100x. Logo, o valor pago por impostos é:100x . 0,24 = 24x.

A receita da empresa é dada pelo valor arrecadado menos o valor de impostos e o valor das despesas, assim:

100x – 24x – 6000 = 76x – 6000.

03) D

Vamos encontrar a função que é definida pelos pontos (2008, 347) e (2030, 550).

Considere o eixo catesiano como mostrado abaixo:

y

x5

203

550C

B

2013 203020081980

A

22

347

A forma genérica da função do 1º grau é dada por: f(x) = ax + b.

Temos o ponto B(0, 0) e C(22, 203)

Para B(0, 0), temos:0 = a . 0 + b ⇒ b = 0

Para C(22, 203), temos: 203 = a . 22 + b

203 = 22 . a + 0 (b = 0)

a = 20322

Logo, a lei de formação é f(x) = 20322

x.

Segue,

f(5) = 20322

. 5 = 46,1.

Portanto, o número estimado possível de diabéticos no mundo em 2013 é:46,1 + 347 = 393,1 ≅ 393 milhões.

GABARITO

2 Matemática A

04) D

Temos que a função que relaciona y com x pode ser representada por:y = ax + b.

Do enunciado, temos:120 = 200a + b116 = 210a + b

Resolvendo o sistema, obtemos:a = –0,4 e B = 200.

Logo, y = –0,4x + 200.

Como a receita é dada por:R = x . y = –0,4x2 + 200x.

Portanto, o preço que maximiza a receita é:

xv = 2002 2 0 4. ( , )−

= 250.

05) B

x = 20C(20) = 640

C(20) = 600 2 0 20 02 0

− − + k

1280 = 1180 + 2k1280 – 1180 = 2k100 = 2k

k = 1002

⇒ k = 50

06) C

Empresa E1

Temos n = 400

E(n) = 120 – n20

E(400) = 120 – 40020

E(400) = 2400 40020

200 02 0

−=

E(400) = 2002

= 100

Portanto, o valor da empresa E1 é 100 . 400 = 40 000.

Empresa E2

Como a partir de 500 unidades o valor é constante, então, para n = 600, possui o mesmo valor de n = 500.

E(n) = 120 – n20

.

E(500) = 120 – 50020

E(500) = 2400 50020

190020

−=

E(500) = 95

Portanto, o valor da empresa E2 é 95 600 = R$57 000,00.

07) C

No enunciado temos:f(x) = ax + b

8 2006

15 8 2011

= += +

a b

a b,

Resolvendo o sistema acima, teremos:a = 1,56b = –3121,36Logo, f(x) = 1,56x – 3121,36.

Segue, para x = 2009f(2009) = 1,56 . 2009 – 3121,36f(2009) = 3134,04 – 3121,36f(2009) = 12,68 milhões

08) A

Porcentagem da comissão: 5% de 20 485, isto é, 0,05 . 20 485 = 1024,25 de comissões.

Portanto, o salário do funcionário é: 800 + 1024,25 = 1824,25 reais.

09) D

Na temperatura de 15 °C o cricrilado por minuto é dado por:N = 7 . 15 – 30N = 105 – 30N = 75

Como no momento em que o vestibulando baixou a temperatura do ar o número de cricrilados foi o dobro de cricrilados na temperatura inicial, então na temperatura inicial temos 2 . 75 = 150 cricrilados.

Segue,150 = 7 . T – 30150 + 30 = 7T180 = 7T

T = 1807

T = 25,7 °C ≈ 26 °C.

GABARITO

3Matemática A

10) C

y

3

1 (x,o)0

A

B

x

Do gráfico obtemos o seguinte sistema:a b

ax b

i

ii

+ =+ =

3

0

( )

( )

Fazendo (ii) – (i), temos:ax – a = –3a(x – 1) = –3

x – 1 = – 3a

⇒ x = 1 – 3a

Temos ainda:f(0) = a . 0 + b = b

De (i), concluímos:a + b = 3b = 3 – a

Logo, f(0) = b = 3 – a.

Área do triângulo

A = base altura.2

2A = OA OB.2 . 8 = x . f(0)

16 = 13−

a . (3 – a)

16 = aa−

3 . (3 – a)

16a = (a – 3) . (3 – a)16a = –(3 – a) . (3 – a)16a = –(9 – 6a + a2)16a = –a2 + 6a – 9–a2 – 10a – 9 = 0 . (–1)a2 + 10a + 9 = 0

Resolvendo a equação acima, temos:a' = –1 ou a" = –9.

Portanto,a' + a" = –1 – 9 = –10.

11) E

Portanto, a função que expressa o cálculo do valor a pagar é:y = 0,225 . x – 552,15.

12) C

Sabemos que a função que passa pelos pontos (C e D) é representada por:f(x) = ax + b.

Como as retas que passam pelos pontos (A e B) e (C e D) são paralelas, então os coeficientes angulares são iguais, isto é, aAB = aCD.

Logo,

ay yx x

aABA B

A BCD=

−−

=−

− −=−−= =

0 21 2

23

23

.

Daí,

f(x) = 23

x + b.

Como o ponto C(4, 2), então:

2 = 23

. 4 + b

2 = 83

+ b

b = 2 – 83

b = 6 8

3−

b = –23

.

Portanto, f(x) = 23

x – 23

.

Segue,

f(4, 5) = 23

. 4,5 – 23

= 93

– 23

= 73

f(7) = 23

. 7 – 23

= 143

– 23

= 123

= 4

Logo, f(7) – f(4, 5) = 4 – 73

= 12 73− =

53

.

GABARITO

4 Matemática A

13) B

y x

y x

− =−+ =

3 1

2 9

( )

( )

i

ii

O valor do preço x para que a oferta e a demada sejam iguais será o preço x para a solução do sistema acima.Fazendo (i) – (ii), teremos:–5x = –10 (–1)5x = 10

x = 105

⇒ x = 2

14) D

Seja f(x) = ax + b, a função linear definida no intervalo 6 ≤ x ≤ 21.

Segundo o gráfico, temos o seguinte sistema:12 6

3 21

= += +

a b

a b

mm /g3

3

6 14 °C21

y

12

Resolvendo, obtemos:

a = – 35

b = 785

Daí, a função que representa o intervalo 6 ≤ x ≤ 21 é dada por:

f(x) = – 35

x + 785

Segue,

f(x) = – 35

. 14 + 815

42 785

365

=− +

= = 7,2 mm3/g.

15) 05

01. Correta. m = 72 kg h = 1,8 m

IMC = mh2

= 72

182

,( ) = 22,2

02. Incorreta. O índice TG é uma função que depende do IMC e da idade.

Se o IMC é constante, então obtemos TG uma função linear da idade crescente. Portanto, quanto maior a idade, maior será TG.

04. Correta.

IMC kg m

IMCmh

i

ii

=

=

30 2

2

/ ( )

( )

m

h

30

De (i) e (ii), temos:

30 = mh2

30 h2 = m

h2 = m30

⇒ h = m30

08. Incorreta. Alternativa referente a biologia.16. Incorreta. Alternativa referente a biologia.

16) B

Analisando o gráfico, obtemos a função receita mensal (R(x)). Note que passa pela origem (b = 0), então:

Observe que ambas as funções são lineares: R(x) = 15x Custo mensal. Analisando o gráfico, obtemos:

5000

15 000 1000

== +

b

a b

i

ii

( )

( )

Substituindo (i) em (ii) teremos:15 000 =1000a + 500015 000 – 5000 =1000a10 000 =1000a

a = 10 0001000

⇒ a = 10

Logo, C(x) = 10x + 5000.

Segue,R(1350) = 15 . 1350 = 20 250C(1350) = 10 . 1350 + 5000 = 18 500

GABARITO

5Matemática A

Portanto,L(x) = R(x) – C(x)L(1350) = R(1350) – C(1350)L(1350) = 20 250 – 18 500 = 1750

17) B

(a – 100) – a−

1002

= 64,5

2a – 200 – a + 100 = 64,5a = 164,5 cm (altura da mulher)

Peso do marido: 1,46 x 64,5 kg = 94,17 kgAltura do marido: 184,5 cm = 1, 845 m

IMC = 94 17

1845

94 173 4040252

,

,

,,( )

= = 27,664

Portanto, o IMC do marido pertence ao intervalo 25 ≤ IMC < 30, logo ele está levemente obeso.

18) C

Como hipótese do problema temos que o crescimento do raio da base do tronco da árvore é linear, portanto a equação que fornece esse crescimento é dada por: (y – y0) = m(t – t0).

Temos que: Em 1991, t0 = 0 anos, o raio da base do tronco da árvore é y0 = 0 cm.

Em 2011, t = 20 anos, o raio da base do tronco da árvore é y = 16 cm.

Substituindo esses dados em (y – y0) = m(t – t0), segue que:

m = 1620

= 45

, de modo que a equação y = 45

t descreve o raio da

base.

Desse tronco de árvore, como em 2026 a árvore terá t = 35 anos, o raio do tronco será:

y = 45

. 35 = 28 cm.

19) B

O deslocamento é dado pela área formada abaixo, entre o gráfico e o eixo x:

T(s)

V(km/h)

10

120

20

1

30km/s

b

B

h

Note que a figura é de um trapézio.

AB b h

=+( ) .

2

A =+( ) .20 10 1

302

A =

30 130

2

.

A = 12

km = 500 m

20) 06

01. Incorreta. a > 0 ⇒ crescente b ⇒ corta o eixo y.

x

y

b

raiz positiva

02. Correta. my yx x

A B

A B

=−−

=−− −

=−−=

1 51 3

44

1

Da fórmula (y – y0) = m(x – x0), temos: (y – 1) = 1 . (x – (–1)) (y – 1) = x + 1 y = x + 1 + 1 y = x + 2 Segue, f(–3) = –3 + 2 f(–3) = –1 Portanto, f(f –3)) = –1 + 2 f(f(–3)) = 1

04. Correta. Para x = 0 f(0) + f(–3) = 0 b – 3a + b = 0 –3a + 2b = 0

Para x = 3 f(3) + f(0) = 3 3a + b + b = 3 3a + 2b = 3

GABARITO

6 Matemática A

Daí temos o seguinte sistema:− + =+ =

3 2 0

3 2 3

a b

a b

i

ii

( )

( )

Fazendo (i) + (ii):4b = 3

b = 34

Substituindo b em (i), obtemos:

–3a + 2 . 34

= 0

3a = 234

.

3a = 32

a=3

3 2. ⇒ a =

12

Portanto, f(x) = 12

x + 34

.

08. Incorreta. Se f(x) = ax + b e b = –3, então: f(x) = ax – 3.

f(f(x) = a ( a x – 3 ) – 3 = a2x – 3a – 3

Logo, f(f(–2)) = – 2a2 – 3a – 3 = –5 ⇒ –2a2 – 3a – 3 + 5 = 0 –2a2 – 3a + 2 = 0 (–1) 2a2 + 3a – 2 = 0.

Resolvendo a equação acima, teremos:

a' = 12

ou a'' = –2

16. Incorreta. Se a . b > 0, então a > 0 e b > 0 ou a < 0 e b < 0. Se a > 0 e b > 0 acontecer, temos o gráfico:

x

y

braiz negativa

a > 0 ⇒ crescente

Se a < 0 e b < 0 acontecer, temos o gráfico:

x

y

b

raiz negativa

21) E

AB b h

=+( ) .

2

121 32

=+( ) .y

24 = (y + 1) . 3243

= y + 1

8 = y + 18 – 1 = yy = 7

Logo, os pontos (0, 1) e (3, 7) pertencem ao gráfico.Note que o gráfico cruza o eixo y em 1, então b = 1.

Ainda analisando o gráfico, notamos que ele é de uma função linear, isto é, f(x) = ax + b.

Para (3, 7) e b = 1, temos:f(x) = ax + 1 7 = a . 3 + 16 = 3a

a = 63

a = 2

Portanto, a função é dada por:f(x) = 2x + 1.

22) A

Segundo a fórmula:

f = 1

2L

Fµ

quanto maior a tensão (F), maior a frequência (f) e, portanto, mais agudo.

Temos ainda, quanto menor o comprimento (L), maior a frequência, isto é, mais agudo o som produzido.

GABARITO

7Matemática A

23) A

A cada 2 12

= 2,5 dias de trabalho diminui 8 horas,

então para diminuir 3 . 8 = 24 h = 1 dia deve-se trabalhar 3 . 2,5 = 7,5 dias.

Como queremos saber quantos dias deve-se trabalhar para reduzir 2 anos = 730 dias.

Logo, 730 . 7,5 = 5475 dias.

Portanto, deve-se trabalhar 5475 dias = 5475365

anos = 15

anos para reduzir 2 anos.

24) A

Sejam b a taxa fixa e a o valor por m3 de água consu-mida.

Do problema temos:

2 5 90

4 105

, ( )

( )

a b

a b

i

ii

+ =+ =

Fazendo (ii) – (i), teremos:1,5a = 15

a = 1515,

a = 10.

Substituindo a em (ii), obtemos:4 . 10 + b = 105b = 105 – 40b = 65

Logo, obtemos a funçãoP(x) = 10x + 65.

Segue que para uma conta de R$130,00 o consumo foi, em m3, de:130 = 10x + 65130 – 65 = 10x65 = 10x

x = 6510

x = 6,5

25) C

Note que para cada grau aumentado, a venda de sor-vete aumenta em 20 bolas.

Logo, a função é expressa por:f(x) = 20x + 400.

Portanto, serão 20 bolas de sorvete, pois esse é o valor a na equação.

26) 15

Como a soma dos coeficientes de f(x) = 4, então f(1) = 4.

Segue,f

f

f

( )

( )

( )

1 4

0 3

1 6

==

− =

Seja f(x) = ax2 + bx + c. Logo,f a b c

f c

f a b c

( )

( )

( )

1 4

0 3

1 6

= + + == =

− = − + =

⇒+ + =− + =

⇒+ =− =

a b

a b

a b

a b

i

ii

3 4

3 6

1

3

( )

( )

Fazendo (i) + (ii), teremos:2a = 4a = 2

Substituindo a = 2 em (i), obtemos:2 + b = 1b = –1Logo, f(x) = 2x2 – x + 3.

01. Correta. Δ = b2 – 4ac Δ = (–1)2 – 4 . 2 . 3 Δ = 1 – 24 Δ = – 23 < 0 Logo, não possui raiz real, isto é, não intercepta o

eixo x.

02. Correta. Soma = −=−

−( )=

ba

12

12

.

04. Correta. Produto = ca

= 32

> 0.

08. Correta. Pois a = 2 > 0.16. Incorreta. Pois C = 3 > 0.

27) 14

01. Incorreta. Raiz de f(x) = 5x – x² : ↗

↘

x

x

’

’’

==

0

5

Raiz de g(x) = – x² + 11x – 10: ↗

↘

x

x

’

’’

==

1

10 Raízes em ordem crescente (0, 1, 5, 10). Logo, não é uma P.G.02. Correta. f(x) = g(x)

5x −x2 = −x2 + 11x – 10 5x = 11x – 10 10 = 6x

GABARITO

8 Matemática A

x = 106

= 53

Portanto, possui apenas um x tal que f(x) = g(x).04. Correta. f(x) = 5x – x²

xMAX = xR = −ba2

Então:

xMAX = −−=−−

52 1

52( )

= 52

.

08. Correta. f(x) + g(x) = 5x – x² – x² + 11x – 10 = –2x2 + 16x – 10

yMAX = yV = −�4a

Δ = b2 – 4ac Δ = 162 – 4 . (–2) . (–10) Δ = 256 – 80 Δ = 176 Segue,

yV = –176

4 2176

8.( )−= = 22

16. Incorreta. h(x) = f(x) – g(x) h(x) = 5x – x2 – (– x² + 11x – 10)

h(x) = 5x – x2 −x2 = +x2 – 11x – 10 h(x) = –6x + 10 (função de 1º grau)

28) A

Da figura ao lado concluímos que:

12 84

área rentável

L(12) = –(12)² + 12b + c = 012b + c – 144 = 012b + c = 144 = 0 (i)

L(84) = –(84)² + 84b + c = 084b + c – 7056 = 084b + c = 7056 (ii)

De (i) e (ii), obtemos o seguinte sistema:

12 144

84 7056

b c

b c

i

ii

+ =+ =

( )

( )

Fazendo (ii) – (i), teremos:72b = 6912

b = 6912

72 ⇒ b = 96

Substituindo b = 96 em (i), obtemos: 12 . 96 + c = 144 1156 + c = 144 c = –1008 Logo, L(x) = –x2 + 96x – 1008.

Vamos calcular o número de assinantes que obtém o lucro máximo.

x

baV =− =

−−= =

296

2 1962

48( )

Vamos calcular o lucro máximo. L(48) = –(48)2 + 96 . 48 – 1008 L(48) = –2304 + 4608 – 1008 L(48) = 1296.

29) C

Função de 1º grau:Segundo o gráfico, temos:

• Do ponto (–2, 0) f(–2) = –2a + b = 0 (i)

• Do ponto (0, 2) f(0) = b = 2 (ii) b = 2

Substituindo b = 2 em –2a + b = 0, obtemos:–2a + 2 = 0 (÷2)–a + 1 = 0a = 1Logo, f(x) = x + 2.

Função de 2º grau:A função do segundo grau é dada por:g(x) = (x – x1) . (x – x2)

em que, x1 e x2 são os zeros da função. Logo,g(x) = (x – 0) . (x – 1)

g(x) = x . (x – 1)

g(x) = x2 – x

Segue,h(x) = f(x) + g(x) = x + 2 + x2 – xh(x) = x2 + 2

1

2

y

x

xba

xV V=−=−⇒ =

20

2 10

.

GABARITO

9Matemática A

30) A

Comparando:

x t x v t at

x t t t

( )

( ) ,

= + +

= + −

0 02

2

12

25 35 3 5

x t x v t at

x t t t

( )

( ) . .

= + +

= + −

0 02

2

12

25 3512

7

Temos:a = –7 m/s2

x0 = 25 mv0 = 35

Precisamos saber 15

da velocidade inicial(v0), logo:

15

. v0 = 15

. 35 = 7 m/s.

Basta substituir essa velocidade na equação da velo-cidade que vamos montar:v = v0 + a . tv = 35 – 7 . t

Para v = 7 m/s:7 = 35 – 7t7 – 35 = –7t–28 = –7t (–1)28 = 7t

t = 287

⇒ t = 4

31) 01

Para t = 10 h, temos n(t) = 0. Então,n(10) = q + p . 10² = 0.

Para t = 0 h, temos n(t) = 200. Então,n(0) = q + p . 0 = 200q = 200.

Substituindo q = 200 em q + 102 p = 0, obtemos:200 + 10² p = 010² p = 200

p = −200102

⇒ P = –2.

Logo, n(t) = 200 – 2t2

Segue:

Em 5 horasn(5) = 200 – 2(5)² = 200 – 50 = 150

Em 6 horasn(6) = 200 – 2 . 6² = 200 – 72 = 128Portanto, na 6ª hora temos:150 – 128 = 22 indivíduos mortos.

32) B

x

y

2 2 2 400p x y

A x y

i

ii

= + ==

.

( )

( )

De (i), temos:2y + 2x = 400 (÷2)y + x = 200x = 200 – y

Substituindo x = 200 – y em (ii).

A = (200 – y) y = 200y – y2

O valor da área máxima é:

AMÁX = −�4a

Δ = [(200)2 – 4 . (–1) . 0] = + 40 000

AMÁX = − +( )−

=40000

4 140000

4.( ) = 10000 = 104

33) V − F − F − F − V

I. Verdadeira. Se o ponto (1, – 6) é ponto de inter-seção das parábolas A e B, então o ponto deve satisfazer as funções.

Verificação: y = –x² + 8x – 13 para (1, – 6) – 6 = –1 + 8 – 13 – 6 = – 6 (ok)

y = x² – 4x – 3 para (1, – 6) – 6 = 1 – 4 – 3 – 6 = – 6 (ok) Portanto, o ponto (1, –6) é ponto de intersecção.

II. Falsa. y = –x² + 8x – 13

xbav =−=−−= =

28

2 182

4.( )

Substituindo xv = 4 na equação obtemos yv. yv = –16 + 32 – 13 = 3 Logo, V(4, 3).

III. Falsa. Pontos de interseção yA = yB

–x² + 8x – 13 = x² – 4x – 3 x² – 4x – 3 + x² – 8x + 13 = 0 2x² – 12x + 10 = 0 (÷2) x² – 6x + 5 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos:x' = 5 ou x'' = 1.

GABARITO

10 Matemática A

Logo, os pontos de intersecção são (1, –6) e (5, 2).Segue,

my yx x

A B

A B

=−−

=− −−

=−−=

6 21 5

84

2

Segundo a fórmula y – y0 = m(x – x0), temos:

y – 2 = 2 (x – 5)

y – 2 = 2x – 10y = 2x – 10 + 2y = 2x – 8

IV. Falso. Vértice de A

xbav =−=−−=

28

2 14

.( )

yv = –16 + 32 – 13 = 3

Logo, VA(4, 3).

Vértice de B

xbav =−=−−

=+2

42 1

2( ).( )

yv = 4 – 8 – 3 = –7

Logo, VB(2, –7).

A distância dos vértices é:

d x x y yAB A B A B= −( ) + −( )2 2

dAB = −( ) + − −( )4 2 3 7

2 2( )

dAB = +2 102 2

dAB = 104

V. Verdadeira. O ponto cujo gráfico interprepta o eixo das ordenadas é dado para x = 0. Então,

yB = 0² – 4 . 0 – 3 = –3. Logo, o ponto que o gráfico intercepta o eixo das

ordenadas é (0, –3).

34) C

y

x

2 2 2 100p x y

A x y

i

ii

= + ==

.

( )

( )

De (i), temos:2y + 2x = 100 (÷2)y + x = 50y = 50 – y

Substituindo y = 50 – x em (ii), obtemos:

A = (50 – x) x A = 50x – x2

Logo, a área máxima será dada, em m2, por:

AMÁX = −�4a

, onde Δ = b2 – 4a.c.

Δ = (50)2 – 4 . (–1) . 0 = 2500

AMÁX = −−= =

25004 1

25004

625.( )

35) E

Note que a soma dos vértices será o vértice da fun-ção h(x).Como yVF

= 2,5 e yVG = –6,25, então:

yVh = 2,5 – 6,25 = –3,75

Portanto, o único gráfico que tem yV = –3,75 é letra e.

36) A

A = x . yΔABC ∼ ΔBDE9

9 4−=

x y

4 99−( )x = y (i)

A = x . 4 99−( )x

A = 4 9

9

. . x – 49

x2

A = 4x – 49

x2

Logo, o valor de x que implica área máxima é:

x = −ba2

x = −

−

=4

249

4 9

2 4.

.

.

x = 92

⇒ x = 4,5 m

Substituindo 92

em (i), obtemos:

y = 4 9

92

9

492

94 9

2 9

. . .

.

−

=

=

y = 42

⇒ y = 2 m

GABARITO

11Matemática A

37) B

D = V2

80 +

V5

Para V = 60 km/h

D = 6080

605

2

+

D = 3600

80 + 12

D = 45 + 12D = 57 m

38) B

Considere o eixo cartesiano com origem na marca do pênalti.Do gráfico abaixo, temos:

400a + 20b + c = 0 (i)400a – 20b + c = 0 (ii)100a + 10b + c = 3 (iii)Fazendo, (i) + (ii), teremos:800a + 2c = 0 (÷2)400a + c = 0

a = −C400

Multiplicando (iii) por 2, temos 200a + 20b + 2c = 6.Somando a equação anterior com (ii), obtemos:600a + 3c = 6 (÷3)200a + c = 2

Substituindo a = −C400

na equação acima, teremos:

2 0 04 0 0

.−C + c = 2

−2

4

C + C = 2

–C2

+ C = 2

C2

= 2 ⇒ C = 4

Como o vértice é um ponto na ordenada, então o vértice é o valor C da função f(x) = ax2 + bx + c.Portanto, o vértice está no intervalo 3,8 e 4,1.

39) A

t

t

1 1

4 2

1 1 1−

= –t2 + 2 + 4 – t – 2t + 4

= –t2 – 3t + 10 11 7

2 t = 11t – 14

Logo,f(x) = –t2 – 3t + 10 + 11t – 14f(x) = –t2 + 8t – 4

A altura máxima é dada por:

yv = −�4a

Δ = b2 – 4acΔ = 82 – 4 . (–1) . (–4)Δ = 64 – 16Δ = 48

yv = −−48

4 1.( ) = 12 m

40) 21

Segundo o problema temos:2

3 2

7 15 15 22

== + += + +

c

a b

a b

⇒225 15 5

1

5a b

a b

+ =+ =

÷

( )

⇒45 3 1

1 1

a b

a b b a

i

ii

+ =+ = ⇒ = −

( )

( )

Substituindo (ii) em (i), obtemos:

45a + 3 (1 – a) = 1

45a + 3 – 3a = 142a = –2 (÷2)21 a = –1

a = −121

Substituindo a = –121

em (ii), obtemos:

b = 1 – a

b = 1 – −

121

b = 1 + 121

b = 2221

GABARITO

12 Matemática A

Logo, f(x) = −121

x2 + 2221

x + 2.

01. Correta. f(14) = 7,33 f(8) = 7,33 Logo, f(14) = f(8)

02. Incorreta. O lucro máximo é obtido no mês:

xV = −ba2

= −

−

= = =

2221

2121

2221221

222

11.

04. Correta. Lucro máximo

Logo, f(11) = −121

(11)2 + 2221

. 11 + 2

= − +121 24221

+ 2

= 12121

+ 2

= 7,76 milhões

08. Incorreta. Pois oscilou de 2 a 7,76 milhões de reais.

16. Correta. Pois a < 0, isto é, concavidade para baixo.

41) 06

O gráfico da função f(x) = t² – 10t é representado por:

y

24

12 x0 10

01. Incorreta. Pois a temperatura ficou abaixo de zero até às 10 h.

02. Correta. A temperatura da região ficou abaixo de zero entre 0 h e 10 h, ou seja, a temperatura ficou negativa entre 1 h e 9 h.

04. Correta. A temperatura mínima: f(5) = 5² – 10 . 5 = 25 – 50 = –25 A temperatura em 11 h foi: f(11) = 11² – 10 . 11 = 11°.08. Incorreta. A temperatura ficou abaixo de zero no

período entre 0 h e 10 h.

42) 09

f(x) = x² – mx + (m + 3)

01. Correta. Para que a equação possua duas raízes distintas, devemos ter Δ > 0.

Δ = (–m)2 – 4 . (1) . (m + 3) > 0 m2 – (4m + 12) > 0 m2 – 4m – 12 > 0

–2 6

Portanto, f(x) admite 2 soluções para m < –2 ou m > 6.

02. Incorreta. Δ = m2 – 4m – 12 Para m = 2, temos: 4 – 8 – 12 = –16 < 0 Logo, f(x) não possui solução para m = 2.

04. Correta. m = 4 f(x) = x2 – 4x + 7

xV = −ba2

= −−( ).4

2 1 = 4

2= 2

08. Correta. Para f(x) não possuir raízes devemos ter: Δ = m2 – 4m – 12 < 0

–2 6

Logo, f(x) não admite raiz real para –2 < x < 6.

16. Incorreta. Para que possua duas raízes distintas e positivas, devemos ter:

b > � b2 > Δ

b b ac2 2 4> − 0 > –4ac 0 > –4 . (1) . (m + 3)

0 > –4 (m + 3)

0 > –4m – 12 4m > – 12

m > −124

⇒ m > –3

GABARITO

13Matemática A

43) E

A 2

2 C

y

x

D

B

Seja l o lado do quadrado ABCD.A = l24 = l2l = 2

Temos que as coordenadas dos pontos C e D são respectivamente (2, 2) e (0, 2).Daí,2 4 2

2

= + +=

m n p

p

Logo,

4m + 2n + 2 2=4m + 2n = 02n = – 4mn = – 2m

Portanto, a ordenada do vértice da parábola é:

yV = −�4a

Δ = b2 – 4acΔ = n2 – 4 . m . pΔ = (–2m)2 – 4 . m . 2Δ = 4m2 – 8 m

Logo,

yV = − −

=− +

=− +( )

.

( )4 8

4

2 22 2m m

m

m mm

m m

myV = 2 – m.

44) 04

6

24x

y

Segundo o problema, o projétil atingiu altura máxima em x = 10. Então,

xV = −ba2

= 10

–b = 20 ab = –20a

Como o projétil descreve uma parábola, logo temos que o percurso é descrito pela função f(x) = ax² + bx + c.

Dos pontos (0, 6) e (24, 0), obtemos os seguintes sis-temas:

6

0 576 24

== + +

c

a b c

i

ii

( )

( )

Substituindo, (i) em (ii).576a + 24b + 6 = 0 (iii)

Substituindo b = –20a em (iii), obtemos:576a + 24 . (–20a) + 6 = 0576a – 480a = –696a = –6

a = −696

a = −116

Daí temos:b = –20 . a

b = –20 . −

116

b = 2016

= 54

Logo, f(x) = – x2

16 + 5

4x + 6.

Portanto, o valor de H é:

H = f(10) = –1016

2

+ 54

. 10 + 6

H = –10016

+ 504

+ 6

H = – 504

+ 504

+ 6

45) A

L(x) = R(q) – C(q)L(x) = – q² + 27q – (q + 48)L(x) = – q² + 27q – q – 48L(x) = – q² + 26q – 48O valor de q, de modo que o lucro seja máximo, é:

qMÁX = −ba2

q = −−=

262 1

262.( )

q = 13

GABARITO

14 Matemática A

46) B

A = 105 . 280 = 29 400 cm2

Máximo divisor comum MDC(105, 280)

70 35 0

280 105 70 35

2 1 2

MDC (105, 280)

Logo, x = 35.Portanto, 2p = 4x = 4 . 35 = 140 cm.

47) E

Ao ser iniciada a administração, temos t = 0.f(0) = – 0² + 7 . 0 + 60f(0) = 60

O tempo que durou a administração será dada no in-tervalo t = 0 (início da administração) até atingir o pico máximo (xv).

Portanto, o tempo que irá durar a administração:

xV = −ba2

= −−=

72 1

72.( )

= 3,5 horas.

48) D

f(x) = x² + bx + c Como o gráfico intercepta o eixo y no ponto 4, então

c = 4. Logo, f(x) = x² + bx + 4.

Sabemos que para que a função f(x) admita raízes reais devemos ter:

Δ ≥ 0b² – 4ac ≥ 0b² – 4 . (1) . (4) ≥ 0b² – 16 ≥ 0b² ≥ 16

|b| ≥ 16|b| ≥ 4Logo, b ≤ –4 ou b ≥ 4.

49) B

1

f(x)

y = k

g(x)

Da figura, temos que:

f k

g kR

( )

( )

1

1

= += −

∈αα

α

Mas,

f A B C

g D E F

( )

( )

1

1

= + += + +

Logo,f(1) + g(1) = A + B + C + D + E + Fk + α + k – α = A + B + C + D + E + F2k = A + B + C + D + E + F

50) E

Sejam f(x) = 0,05x2 e g(x) = –0,05x2 + 4x – 40

De (t1, 20) temos:20 = 0,05 t1

2

t12 =

200 05,

t12 = 400

t1 = 400t1 = 20

GABARITO

15Matemática A

De (t2, V) temos:

(t2, V) vértice ⇒ t2 = − =−−

=ba2

42 0 05

40 1( , ) ,

= 40

Como 0 < t < t1 = 20, então a função definida no intervalo f(x) = 0,05 x2. Logo,

f(10) = 0,05(10)2 = 0,05 . 100 = 5

51) E

f(x) > g(x)|x² − 4x| > 3x − 6

Logo,x² − 4x > 3x − 6 ou x² − 4x < – 3x + 6.

Segue,x² − 4x > 3x − 6x² − 4x – 3x + 6 > 0x² − 7x + 6 > 0.

1 6

S1 = (–∞, 1) ∪ (6, ∞)

Temos ainda,x² − 4x < – 3x + 6x² − 4x + 3x – 6 < 0x² − x – 6 < 0.

–2 3

S2 = (–2, 3)

Portanto,S = S1 ∪ S2 = (–∞, 3) ∪ (6, ∞), isto é,S = {x ∈ R| x < 3 ou x > 6}.

52) C

f(x) = 2 – |1 – x| = 2 1 1 0

2 1 1 0

− − − ≥− − −[ ] − <

( ),

( ) ,

x se x

x se x

Isto é,

f(x) = x se x

x se x

+ ≤− >

1 1

3 1

,

,

y

x–1 0 1 2 3

1

2

3

4

53) C

|x| –x x x

|x – 1| 1 – x 1 – x x 1–

|x| + |x – 1| 1 – 2x 1 2x 1–

0 1

f(x) = |x| + |x – 1|

y

x1–1

3

54) D

f(x) = 1 1

0 1

,

,

se x

se x

≤

>

f(x) = 1 1 1

0 1 1

,

,

se x

sex ou x

− ≤ ≤<− >

y

x1–1

1

GABARITO

16 Matemática A

55) C

Com o módulo, os valores negativos do gráfico f(x) serão refletidos em relação ao eixo x.

0 x

y

1–1

56) B

f(x) = x . |1 – x| = x x se x

x x se x

. ,

. ,

1 1

1 1

−( ) ≤− −( ) >

Isto é:

f(x) = − + ≤− >

x x se x

x x se x

2

2

1

1

,

,

x

y

57) C

f(x) = ||x + 2| – 2| =

− ≤−+ − < <−− − ≤ <

≥

x se x

x se x

x se x

x se x

de,

,

,

,

(4

4 4 2

2 0

0

ccrescente

crescente

decrescente

crescente

)

( )

( )

( )

Logo, o gráfico assemelha-se a:

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x

58) A

Sabemos que o gráfico da função modular g(x) = |f(x)| é o gráfico da função f(x) com os valores negativos refletidos em relação ao eixo x.

Para y = |2–x – 1|

y

x

Gráfico 3

Para y = |x² – 3x + 2|

Gráfico 4

Para y = 2 – |x – 1| = 3 1

1 1

− ≥+ <

x se x

x se x

,

,

–3 –2 –1 1

2

y

x Gráfico 1

Finalmente para y = x

GABARITO

17Matemática A

y

x

Gráfico 2

59) B

|f(x)| = 1 ⇔= ≥=− <

f x se f x

f x se f x

( ) , ( )

( ) , ( )

1 0

1 0

x

y

–5 –4 –3 –2 –1

f(x) = 1

f(x) = –1

Portanto, temos 5 soluções.

60) B

As interseções das funções f(x) e g(x) são dadas por:f(x) = g(x)|1 − x²| = |x|

Observe a tabela abaixo:

|1 – x |2 x – 12 1 – x2

|x| –x – x x

|1 – x | = x2 x – 1 = –x2 1 – x = –x2

–1 0 1

1 – x = x2

1 – x2 x – 12

x

x 12 – = x

Para x < 1x2 – 1 = – xx2 + x – 1 = 0

Resolvendo obtemos:

x' = − +1 52

ou x'' = − −1 52

Para –1 ≤ x < 01 – x2 = – x–x2 + x + 1 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos:

x' = 1 52+ ou x'' = 1 5

2−

Para 0 ≤ x ≤ 11 – x2 = x–x2 – x + 1 = 0 .(–1)x2 + x – 1 = 0

Resolvendo a equação acima, teremos:

x' = − ±1 52

ou x'' = − −1 52

Para x > 1x2 – 1 = xx2 – x – 1 = 0

Resolvendo a equação acima, teremos:

x' = 1 52+ ou x'' = 1 5

2−

Portanto, as soluções são:

x' = − +1 52

, x'' = − −1 52

,

x''' = 1 52+ ou x'''' = 1 5

2− ,

ou seja, temos 4 soluções.

61) E

f(x) = x + 1x

I. Verdadeira. f(x) = –x – 1x

= –(x + 1x

)

f(x) = – f(x)

II. Verdadeira. f 1x

=

1x

+ 11x

= 1x

+ x = f(x)

III. Verdadeira.

f(x) + f(1) = x + 1x

 + 1 + 1 = x + 1x

 + 2

xx

+

12

= x + 2 + 1x

Logo, f(x) + f(1) = xx

+

12

.

62) 15

01. Correta. f(x) = 2x x2 4− − 18

= 0

2x x2 4− = 18

2 22 4 3x x− −=

x² – 4x = – 3 x² – 4x + 3 = 0

GABARITO

18 Matemática A

Resolvendo a equação acima, obtemos: x' = 3 ou x'' = 1

Agora g(x) = x² – 4x + 3 = 0 = x² – 4x + 3

Temos que as soluções são: x' = 3 ou x'' = 1

Portanto, f(x) e g(x) possuem as mesmas soluções.

02. Correta. A função g(x) será crescente a partir do xv. Então,

xv = − =− −( )

=ba2

42 1

42.

= 2

04. Correta. g(1) = (–1)2 – 4 . (–1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 Logo, h[g(–1)] = 8 – 2 = 6.

08. Correta.

Logo, g(x) > 0 para x < 1 ou x > 3.

16. Incorreta. Pois h(x) é uma função do primeiro grau com coeficiente angular positivo e portanto, cres-cente.

63) A

f(–x) = (–x)² + 3 = x² + 3 = f(x)Logo, f(x) é par.g (–x) = − 2(–x) = 2x = –g(x)Logo, g(x) é ímpar.

64) C

f(–x) = 11+−

−

−

ee

x

x = 1

1

11

1

111

+

−=

+

−=

+−

e

e

e

ee

e

ee

x

x

x

x

x

x

x

x

f(–x) = – ee

x

x

+−

11

= –f(x)

Portanto, f(x) é ímpar.

g (–x) = –x sen (–x) (sen (–x) = –sen (x))g (–x) = –x (–sen x)g (–x) = x sen (x)g (–x) = g (x)

Portanto, g(x) é par.

65) A

y = 3x – 2 (ax – 2)

y = 3x − 2ax + 4y = (3 − 2a)x + 4

Para que a função seja crescente, devemos ter:3 − 2a > 03 > 2a

a < 32

66) D

Como f x f y

x y( ) ( )−−

> 0, temos duas possibilidades:

• f(x) – f(y) > 0 e x – y > 0 f(x) > f(y) e x > y ou• f(x) – f(y) < 0 e x – y < 0 f(x) < f(y) e x < y

Portanto, a função f é crescente.

67) C

I. Correta. f(x) – g(x) > 0 ax² – ax > 0 x . (ax – a) > 0 ax – a > 0

x < aa

(a < 0)

x < 1

x

ax – a

0

1

10

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

Logo, f(x) > g(x) para 0 < x < 1.

II. Incorreta. Pois a < 0 e portanto f(x) é decrescente.

III. Correta. Como a < 0 e g(x) é uma função linear, então g(x) é decrescente.

GABARITO

19Matemática A

68) B

No Brasil o desmatamento caiu na ordem de:2 8 3 2 2

3, ,+ + =

83

= 2,6 hectares por ano.

69) B

71.1

63.6P

r

e

c

i

p

i

t

a

ç

ã

o

56.1

48.6

41.1

33.7

26.2

18.7

11.2

3.7

22/12 03/01 15/01 27/1 08/02 20/02 03/03 15/03

Dia

Analisando o gráfico, observamos que a precipitação ultrapassou 30 mm/dia nos dias 10/01, 16/01, 18/01 e 11/02, ficando a cidade de Campinas durante 4 dias com risco de alagamento.

70) B

A distância percorrida é dada pela área limitada pelo eixo x com o gráfico.

15

10 20 30 40 50 60

t (min)

10

5

0

v (c

m/m

in)

Logo, a distância percorrida, em cm, é: Dx = 600.Portanto, a distância percorrida, em metros, é dada por: Dx = 6.

71) B

Facilmente observamos que o tempo de duração média é o mesmo. Note que a frequência de A é maior que B, logo há um consumo maior de peças A, isto é, as peças A duram menos.

GABARITO

20 Matemática A

72) E

Para mover para direita uma unidade do gráfico, devemos subtrair uma unidade do argumento da função, ou seja, g(x) = f(x – 1).

Agora, para mover o gráfico para cima devemos somar uma unidade à imagem de f(x), ou seja, g(x) = 1 + f(x – 1).

73) D

Média dos gastos nos anos 2009 e 2010:

M=+

= =57 4 70

2127 4

263 7

, ,,

74) E

I. Correta. Pois a vazão no intervalo de A até B é 0.

II. Correta. Pois a vazão no intervalo de B até E é maior que zero e, portanto, o volume é crescente.

III. Correta. Pois a vazão no intervalo de E até V é menor que zero, isto é, o volume é decrescente.

IV. Correta. Pois no intervalo de C até D é o maior valor, ou seja, a água no tanque está crescendo.

V. Correta. Pois no intervalo de F até G o valor é negativo, ou seja, o volume da água é decrescente.

75) B

I. Correta. Pois no intervalo t ∈ (t3, t7) temos f(t) = 1,5, isto é, f(x) é constante para t(t3, t7).

II. Incorreta. Para t = 0, temos:

f(0) = cos(0) + 2 = 1 + 2 = 3 (absurdo, pois f(0) = 0).

III. Incorreta. Pois no intervalo t ∈ (t7, t10) a função que representa f(t) é crescente, ou seja, m < 0.

IV. Correta. Note que o maior valor que f(x) pode assumir é f(t2) = 2 e, portanto, valor máximo.

76) E

Questão complicada caso o aluno não tenha prestado atenção na informação "crescimento dos voos". De ano a ano haverá um crescimento com relação ao ano anterior.

Portanto, os itens A e B estão descartados.

Analisando os próximos itens, veja a tabela montada a partir de um valor adotado para o ano de 2006 com relação ao número de voos.

2006 → 10 000 valor adotado.

2008 → 10 000 . (1,119) = 11 190 voos.

2008 →

2010 → (2009) . 1,36 = 12 125 . 1,36 = 16 490 voos.

2011 → (2010) . 1,49 = 16 490 . 1,49 = 24 571 voos.

Não teve aumento mais acentuado em 2009 do que em 2010 e o número de voos em 2010 não é o dobro de 2009. Resta-nos, então, a alternativa E, em que o número de voos em 2011 é mais que o dobro de 2006.

77) B

No intervalo h ∈ (0, 5) o fluxo de água que abastece a caixa é maior que o fluxo de consumo, ou seja, o volume da caixa é crescente e chega ao seu pico, enquanto no intervalo h ∈ (6,24) o fluxo de consumo é maior que o fluxo que abastece a caixa, isto é, o volume da caixa é decrescente.

Portanto, no intervalo (5, 6) o volume, em m3, é maior em relação ao período de 0 a 24 horas.

78) E

Área da piscina:

A = t s.2

= 50

t . s = 100

Segundo o gráfico, o custo máximo é dado por C(8) = 1200.

Temos ainda que o custo é dado por: 48s + 75t = C

Daí,C(8) = 48s + 75t = 1200

Obtemos o seguinte sistema:

t s ts

s t

i

ii

. ( )

( )

= ⇒ =

+ =

100100

48 75 1200

Substituindo (i) em (ii), obtemos:

48s + 75 . 100s

= 1200

48 75002ss+

= 1200

48s2 + 7500 = 1200s48s2 – 1200s + 7500 = 0 (÷12)4s2 – 100s + 625 = 0

Resolvendo a equação acima teremos:s' = s'' = 12,5