8/14/2019 Matemtica - Apostila lgebra - Teoria dos Conjuntos

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Teoria dos conjuntos 1

Teoria dos conjuntos

O que so Conjuntos?

Conjunto qualquer coleo de objetos. Os objetos so os elementos do conjunto e dizemosque pertencem ao mesmo. Como exemplo de conjunto podemos citar o Campeonato Brasileirode Futebol, onde seus elementos so os times e que Corinthians, Flamengo e Grmio pertencema esse conjunto. Outro exemplo de conjunto o conjunto dos nmeros mltiplos de 5 (25, 125,625, etc).

Por qu estudamos os conjuntos em Matemtica?

Os Conjuntos fornecem um padro de linguagem para a Matemtica. Quando determinamos ospossveis resultados de uma inequao, a teoria dos conjuntos nos permite compreendermos deforma simples e rpida os valores que nos interessam. Outra aplicao muito importante dosconjuntos na Estatstica, onde o estudo sobre um conjunto de dados coletados permitetomarmos decises quanto a acontecimentos futuros.

Relaes nos conjuntos

Sejam os conjuntos:a c d

A d B d C f b e f e

e

Matematicamente eles ficam da seguinte forma:A={a, b, c, d, e}

B={d, e, f}C={d, e, f}

Dizemos que:

apertence ao conjunto A. Matematicamente:a ADo mesmo modo:

f B(l-se fno pertence ao conjunto A).

Quando o conjunto possui infinitos valores, como o conjunto dos nmeros pares, utilizamosmatematicamente:

P={x | x par}(l-se P o conjunto dos x tal que x par).

Para que um conjunto seja igual a outro, todos os elementos do primeiro devem ser iguais aosdo segundo. Caso um ou mais dos elementos no seja igual, os conjuntos so diferentes. Assim,no nosso exemplo:

B = CA B

Diz-se conjunto-universo ao conjunto do qual se faz o estudo. Se estivermos analisando oconjunto de crianas que passam fome, seu conjunto-universo poder ser o Brasil, a frica, acidade de So Paulo, etc.Diz-se ainda conjunto unitrio o conjunto formado por apenas um elemento, e conjunto vazioo formado pornenhum elemento. Matematicamente,

D={2} conjunto unitrioT= ou T={ } conjunto vazio

Preste ateno: no se representa o conjunto vazio como A={}; errado.

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NP={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n N (nmeros naturais positivos)NI={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n N (nmeros naturais mpares)P={2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (nmeros primos)Operaes em N:Adio: n, m N n+m N

Multiplicao:

n, mN

n.mN(disso resulta que N fechado em relao adio e multiplicao).

Nmeros Inteiros ZResultam da adio do conjunto dos nmeros menores que zero. So representados por:

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Subconjuntos de Z:Z*={..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} Z*=Z {0}Z+={0, 1, 2, 3, ...} (inteiros no negativos) Z+=NZ+*={1, 2, 3, 4, ...} (inteiros positivos)Z-={-3, -2, -1, 0} (inteiros no positivos)Z-*={-3, -2, -1} (inteiros negativos)Operaes em Z:

Z fechado em relao adio, multiplicao e subtrao.Diz-se que dois nmeros opostos ou simtricos entre si quando eles possurem mesma distnciada origem:

2 e 2 so opostos entre si.Chama-se mdulo de um nmero a distncia, em unidades, da origem.Por exemplo:| 2 | = 2| -2 | = 2

Nmeros Racionais QEnglobam os nmeros resultantes da operao de diviso de inteiros. So representados por Q:

= ,...2

5,2,1,

4

3,

2

1,0,

4

1,1,

2

3,2,3...,Q

Genericamente,

= *ZqeZp|q

pQ

O conjunto Q fechado para as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso.Forma decimal:

1,0101 = , 5,1

23 = , 3,0...333,0

31 == , 450,0...0454545,0

221 == (os dois ltimos so

chamados dzima peridica, pois so uma diviso cujo quociente possui infinitas casasdecimais).Como atingir a forma fracionria (frao geratriz) de um nmero decimal?

No peridicos:

25

19

4:100

4:76

100

7676,0 ===

Peridicos:

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22

1

990

455,499

...0454545,0...54545,4100

...5454545,4100

...0454545,0

:450,0

==

=

=

=

=

x

x

xx

x

x

Nmeros Irracionais ISo nmeros cujas casas aps a vrgula tendem ao infinito sem periodicidade:

...1,414213562 = , ..3,1415926.= Os nmeros racionais no esto contidos nos nmeros irracionais.

Nmeros Reais R a reunio do conjunto dos racionais com os irracionais.

= ,...,3,2,3,2

3

,1,0,3

1

,1,2,2,2

5

,3...,R

{ }{ }{ }

{ }{ }0|R*R

0|R*R

0|RR

0|RR

0RR*

=

=

=

=

+

+

xx

xx

xx

xx

Obs.: vale para os racionais, irracionais e, conseqentemente, para os reais, os conceitos denmeros opostos entre si e mdulo.Intervalos reais

So conjuntos que representam intervalos de nmeros reais:Exemplos:

{ }ba|RA = xx = [a,b] A .

{ }ba|RB