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Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Um resumo da história
Cálculos que aprendemos nos anos iniciais da escola não eram do
conhecimento de todos alguns séculos atrás. Por exemplo, na Europa
do século XVII as operações de multiplicar e dividir só eram ensinadas
nas universidades e com técnicas bem diferentes das que utilizamos
hoje.
No entanto, as grandes navegações, que buscavam novas terras e
mercados, exigiram cálculos mais precisos e rápidos.
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
O surgimento dos logaritmos
O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII.
A ideia básica era substituir operações mais complicadas, como
multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e
subtração.
Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi
(1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos
foram realizados isoladamente.
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades gerais dos logaritmos
Os logaritmos considerados em uma base qualquer a, gozam de
propriedades gerais:
I) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo da própria base é
igual a 1.
loga a = 1
Exemplos:
log2 2 = 1
log35 35 = 1
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades gerais dos logaritmos
II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 é zero.
loga 1 = 0
Exemplos:
log5 1 = 0
log13 1 = 0
log0,6 1 = 0
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades gerais dos logaritmos
III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, já os
números menores que 1 têm logaritmos negativos.
Exemplos:
log3 10 2,0959
log3 17 2,5789
log3 0,5 0,6309
log3 0,7 0,32466
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades gerais dos logaritmos
V) Os números negativos não têm logaritmos reais.
Exemplos:
log5 ( 8) = Ǝ
log3 ( 11) = Ǝ
log0,8 ( 1) = Ǝ
log0,2 ( 4) = Ǝ
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades gerais dos logaritmos
IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos,
enquanto os números menores que 1 possuem logaritmos positivos.
Exemplos:
log0,5 2 1
log0,5 6 2,58496
log0,5 0,3 1,73697
log0,5 0,01 6,64386
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades gerais dos logaritmos
VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos variam no
mesmo sentido dos números. Se N1 > N2, teremos:
loga N1 > loga N2
Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sentido contrário.
Quando N1 < N2, teremos:
loga N1 > loga N2
Exemplos:
log7 5 > log7 4
log0,6 5 < log0,6 4
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades operatórias
Os logaritmos possuem propriedades que permitem simplificar o cálculo
de expressões numéricas.
I) O logaritmo de um produto de n fatores é igual à soma dos logaritmos
dos fatores.
loga (y1y2y3...yn) = loga y1 + loga y2 + loga y3 + ... + loga yn
Exemplos:
log2 (2 5 3) = log∙ ∙ 2 2 + log2 5 + log2 3
log0,4 (11 9 7) = log∙ ∙ 0,4 11 + log0,4 9 + log0,4 7
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades operatórias
II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do
dividendo e o logaritmo do divisor.
loga (y2/y1) = loga y2 – loga y1
Exemplos:
Log7 (13/5) = log7 13 – log7 5
Log0,1 (4/9) = log0,1 4 – log0,1 9
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades operatórias
III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da
potência pelo logaritmo da base da potência.
loga yn = n log∙ a y
Exemplos:
log8 34 = 4 log∙ 8 3
log0,9 73 = 3 log∙ 0,9 7
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Propriedades operatórias
IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do logaritmo do
radicando pelo índice do radical.
Exemplos:
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Característica e mantissa
Observando um sistema de logaritmos de base qualquer a, vemos que
só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros:
loga an = n
Exemplos:
log2 25 = 5
log7 70,3 = 0,3
log0,6 0,64 = 4
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Característica e mantissa
Qualquer número que não seja potência inteira da base terá seu
logaritmo constando de uma parte inteira denominada característica do
logaritmo mais uma parte fracionária ou decimal (menor que a
unidade), chamada mantissa do logaritmo.
loga N = característica + mantissa
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Logaritmos decimais
Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10x que define os
logaritmos decimais ou logaritmos vulgares. Estes têm propriedades
notáveis que os tornam de emprego obrigatório no cálculo numérico.
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Logaritmos decimais
I) O logaritmo de qualquer potência de 10 é o seu próprio expoente.
Exemplos:
log 103 = 3
log 107 = 7
log 10-4 = 4
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Logaritmos decimais
II) A característica do logaritmo de um número N > 1, é o inteiro que
representa o número de algarismos da parte inteira do número dado,
diminuído de uma unidade.
Exemplos:
log 20,8 1,318
2 algarismos – 1 = 1
log 1024,96 3,0107
4 algarismos – 1 = 3
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Logaritmos decimais
III) A característica do logaritmo decimal de um número positivo menor
que 1 é negativa e coincide com o número de zeros que precedem seu
primeiro algarismo significativo.
Exemplos:
log 0,8 0,09691
log 0,03 1,52288
log 0,005 2,30103
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Logaritmos decimais
IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por uma potência
de expoente inteiro de 10, seus logaritmos têm mantissas iguais.
Exemplos:
log 3 0,477
log 30 = log 3 10 ∙ 1,477
log 300 = log 3 10∙ 2 2,477
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Mudança de base
Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base,
que permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos
logaritmos decimais.
A mudança de base é dada pela fórmula:
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Atividades resolvidas
1) Calcule pela definição de logaritmo.
a) log2 128
b) log8 16
c) log25 0,008
a) Fazendo log2 128 = x
Por definição, teremos:
2x = 128
2x = 27
Logo: x = 7
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
b) Fazendo, também, log8 16 = x, teremos:
8x = 16
(23)x = 24
23x = 24
Assim:
3x = 4
Portanto:
x = 4 .
3
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
c) Mais uma vez, fazendo log25 0,008 = x, teremos:
25x = 0,008
25x = 8 .
1000
25x = 1 .
125
(52)x = 5−3
52x = 5−3
Logo:
2x = − 3 x = 3 .
2
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
2) As propriedades operatórias são úteis, pois podem facilitar alguns
cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule:
a) log 200
b) log 25
8
a) log 200 = log (2 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 10∙ 2
= 0,301 + 2 = 2,301
b) log 25 = log 100 = log 100 – log 32 = log 102 – log 25
8 32
= log 102 – 5 log 2 = 2 – 5 0,301 = 2 – 1,505 = ∙ ∙ 0,495
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
Atividades Propostas
1) Responda às questões.
a) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base?
b) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?
2) Calcule.
a) log2 256
b) log 0,0001
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
3) Admitindo satisfeitas as condições de existência, obtenha loga y,
usando as propriedades operatórias.
a) y = m n∙ p q∙b) y = 3m2(n + 1)2 .
(m + 2)3(n – 1)
4) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule:
a) log 12
b) log 125
c) log 3 600
Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades
LINKS
https://www.youtube.com/watch?v=ctPKkc8hvVM
http://www.brasilescola.com/matematica/propriedades-operatorias-dos-logaritmos.htm
http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdf