Matemática Elementar I - GOPEM · Adição e subtração de frações com denominadores diferentes Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam

MatemáticaElementar I

Autor Leonardo Brodbeck Chaves

MatemáticaElementar I

Caderno de Atividades

2009

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Todos os direitos reservadosIESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR

www.iesde.com.br

C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba:

IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

CDD 510


Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade

Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em

Eletrônica também pela UFPR.



SumárioContagem | 11

1. A noção básica da Matemática: a contagem | 112. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 171. A adição | 172. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 211. A multiplicação | 212. A divisão | 23

Frações (I) | 251. As frações | 252. Resolução de problemas com frações | 283. Frações próprias e impróprias | 304. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 351. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 352. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 363. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 374. Multiplicação com frações | 405. Divisão com frações | 41

Potenciação | 431. Potenciação | 43


Expressões numéricas | 471. Introdução | 472. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 531. Polígono | 532. Ângulos | 553. Triângulo | 554. Quadrilátero | 565. Perímetro de um polígono | 576. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 651. Unidade de área | 652. Áreas de figuras planas | 663. Volumes | 70

Razão e proporção | 751. Razão | 752. Proporção | 793. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 851. Grandezas diretamente proporcionais | 852. Grandezas inversamente proporcionais | 88

Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 951. Proporcionalidade composta | 952. Regra de três composta | 97


Porcentagem e juro | 1051. Porcentagem | 1052. Juro | 111

Equações do 1.o grau | 1171. Introdução | 117

Equações do 2.o grau | 1251. Noção de equação do 2.o grau | 1252. Forma geral | 1253. Solução de uma equação do 2.o grau | 1274. Resolução de problemas do 2.o grau | 1375. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138

Sistemas lineares 2 x 2 | 1431. Introdução | 1432. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 1443. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 1444. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 1465. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 1516. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

Radiciação | 1591. Introdução | 1592. Quadrados perfeitos | 1603. Raiz quadrada | 161

Gráfico e função | 1631. Plano cartesiano | 1632. Função afim | 1643. Função quadrática | 168



Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E

desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações

matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;

b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre

outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias

matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com

menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante

a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da

natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado

a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais


(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de

comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios

de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo,

percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua

sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações

que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico,

frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de

adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas

de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com

agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma

máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências

lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com

maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias

e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio

de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a

concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma

ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem,

que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e

desenvolvimento para a sociedade.


Frações (II)

1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c)Estudaremos um dispositivo prático para a obtenção do m.m.c. Por exemplo, para obtermos

o m.m.c entre 15 e 25 devemos dividi-los sucessivamente pelos números primos. Números primos são aqueles que são divisíveis somente por 1 e por eles mesmos. Assim, números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.

Veja os exemplos:

a)

15, 25 3

5, 25 5

1, 5 5

1, 1 3 x 5 x 5 = 75

O m.m.c entre 15 e 25 é igual a 75.

b) Agora vamos calcular o m.m.c entre 2, 9 e 18.

2, 9, 18 2

1, 9, 9 3

1, 3, 3 3

1, 1, 1 2 x 3 x 3 = 18

O m.m.c entre 2, 9 e 18 é o número 18.


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades36

2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador

Quando as frações têm o mesmo denominador, juntamos, retiramos ou comparamos pedaços do mesmo tamanho. Para efetuarmos uma adição ou uma subtração com frações do mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador comum.

Veja as figuras:

79

49

39 Adição:

439 9

+ =79

79

29

59

Subtração:

279 9

– =59

Observe mais alguns exemplos:

a) 1

17+ =7

17+ 3

171117

c) 3

10+ = 11

108

10

b) 1943

– =543

1443

d) 2513

– = 1413

1113


Frações (II) 37

Exercícios

1. Calcule:

a) 3

17+

817

b) 7

11+ 2

11+ 5

11

c) 1718

– 318

d) 1610

– 810

– 310

3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam quantidades de “pedaços” internos que têm tamanhos diferentes. Por isso, essas quantidades (os numeradores) não podem ser adicionados.

Então, como calcular 12

+ 16

?

Uma técnica para efetuar adições e subtrações com frações, cujos denominadores são diferentes, é encontrar frações equivalentes às frações dadas com denominadores iguais. Um modo que permite reduzir as frações a um mesmo denominador é encontrando o mínimo múltiplo comum ou m.m.c dos denominadores dados.

Veja, nos exemplos, como funciona:



a)

73

+ =25

3515

+ 615

= 4115x x

3, 5 3

1, 5 5

1, 1 3 x 5 = 15

m.m.c (3, 5) = 15

b)

12

+ =13

36

+ 26

= 56x x

2, 3 2

1, 3 3

1, 1 2 x 3 = 6

m.m.c (2, 3) = 6

c) 187

+ 12

1349

25298x x + = 49

98+ 26

98+ 327

98=x

7, 2, 49 2

7, 1, 49 7

1, 1, 7 7

1, 1, 1 2 x 7 x 7 = 98

m.m.c (7, 2, 49) = 98


Frações (II) 39

Exercícios

2. Calcule:

a) + 1153

b) 7

11– 3

10

c) 32

+ 16

– 12

d) 79

+ 13

25

+

e) 47

+ 18

23

+

f) 42

101+ 3

5

g) 1

10+ 1

315

–



4. Multiplicação com fraçõesO produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o

denominador é o produto dos denominadores.

Veja:

ab

. cd

= a . cb . d

, sendo a, b, c e d números naturais e b e d diferentes de zero.

Acompanhe agora alguns exemplos:

a) 13

. 34

= 1 . 33 . 4

= 312

, simplificando, 14

=3 : 312 : 3

=312

b) 23

. 13

= 2 . 1 . 7 = 1445

. 75 3 . 3 . 5

c) 15

. 15

= 1 . 1 . 1 = 1125

. 15 5 . 5 . 5

Exercícios

3. Calcule:

a) 15

. 12

b) 37

. 314


Frações (II) 41

c) 1213

. 18

d) 89

. 98

e) 34

. 23

5. Divisão com fraçõesPara dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira pela segunda fração invertida.

Veja:

a) 37

: 45

37

= . 54

= 1528

b) 2 : 4 = 2 . 9 = 189 9 9 4 36 Simplificando, 18 = 18 : 18 = 1

36 36 : 18 2

c) 2 : 2 = 2 . 3 = 63 3 3 2 6

Simplificando, 6 = 6 : 6 = 1 = 16 6 : 6 1



Exercícios

4. Calcule:

a) 13

: 12

b) 78

: 34

c) 1110

: 13

d) 1215

: 58


Gabarito

Frações (II)

1. a) 1117

b) 1411

c) 14 = 718 9

d) 5 = 110 2

2. a) 8

15

b) 37

110

c) 76

d) 6845

e) 229168

f) 513505

g) 1330

3. a) 1

10

b) 9

98

Gabarito


Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

c) 12 = 3104 26

d) 72 = 172

e) 6 = 112 2

4. a) 23

b) 28 = 724 6

c) 3310

d) 96 = 3275 25


Documents

Matemática Elementar I - GOPEM · Adição e subtração de frações com denominadores diferentes Quando os denominadores de duas ou mais frações são diferentes, elas representam