UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO OESTE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

ALICE BONK SANDI

MATERIAL PEDAGÓGICO

A UTILIZAÇÃO DE JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DE CÁL CULOS

PROPORCIONAIS E PERCENTUAIS

BITURUNA

2011

ALICE BONK SANDI

MATERIAL PEDAGÓGICO

A UTILIZAÇÃO DE JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DE CÁL CULOS

PROPORCIONAIS E PERCENTUAIS

Material Didático Pedagógico elaborado para intervenção no Colégio Estadual Santa Bárbara, Bituruna -, PR, em 2011, atendendo à solicitação do Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná, na área de Matemática, sob Orientação do professor Sebastião Romero Franco da Universidade Estadual do Centro Oeste de Irati – PR.

BITURUNA

2011

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

A UTILIZAÇÃO DE JOGOS PARA O DESENVOLVIMENTO DE CÁL CULOS

PROPORCIONAIS E PERCENTUAIS

IDENTIFICAÇÃO

A) DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

1. Professor PDE: Alice Bonk Sandi

2. Área de Estudo: Tendências em Educação Matemática

3. NRE: União da Vitória – 24ª INRE

4. Professor Orientador: Sebastião Romero Franco

5. Escola de Implementação: Colégio Estadual Santa Bárbara Ensino

Fundamental – Anos Finais, Ensino Médio, Normal e P rofissional.

6. Público objeto da intervenção: alunos da 5ª série, turma ‘A’

7. Período de realização: de 13 a 24 de fevereiro de 2012

1 INTRODUÇÃO

O conteúdo apresentado neste material de produção didático-pedagógica é

composto por unidades que abordam o ensino das quatro operações matemáticas

elementares (adição, subtração, multiplicação e divisão), frações e porcentagem.

Para isso, foram utilizados jogos, uma vez que, além de objeto sociocultural

contribuem para o desenvolvimento de processos psicológicos básicos com

demandas, tais como, exigências, normas, conhecimento e estímulo para o

desenvolvimento do raciocínio lógico.

Essa produção apresenta os conteúdos como aporte metodológico visando

o alcance dos objetivos. O que implica em oportunizar a realização de atividades

diferenciadas capazes de conduzir o aluno à compreensão dos conteúdos

abordados. Esse processo considera as dificuldades apresentadas como parâmetros

para novas propostas de ensino e aprendizagem, enquanto os avanços significam

indicativos para proposição de novos desafios.

Após a explicitação dos conteúdos e desenvolvimento de atividades, os

alunos participarão de jogos educativos que aprimoram o conhecimento em relação

às frações e taxas percentuais, desenvolvendo e utilizando-se de estratégias para

solucionar os desafios apresentados.

A relevância deste trabalho encontra-se no fato de que aprender

matemática ocorre num contexto de interações, sendo imprescindível a troca de

ideias e saberes para a construção coletiva de novos conhecimentos. Há também

que se considerar a importância do professor como mediador e orientador das

interações, evidenciando ao aluno a compreensão de que, ele próprio, pode

aprender e ensinar com seus colegas.

Além disso, o conteúdo selecionado para este trabalho (porcentagem)

demonstra claramente ao educando a utilidade desse conhecimento matemático no

cotidiano, o que torna necessário e adequado que vivencie em sala de aula a

dimensão e aplicabilidade de valores percentuais em diferentes abordagens e

contextos.

2 OBJETIVOS

2.1 Objetivo Geral

� Compreender o significado da porcentagem resolvendo situações-problema,

vivenciadas no cotidiano, por meio de atividades diversas envolvendo o lúdico

e o cálculo mental.

2.2 Objetivos Específicos

1. Compreender o desenvolvimento do símbolo % (por cento) como divisão em

100 partes iguais;

2. Trabalhar a porcentagem a partir de situações do dia-a-dia do educando.

3. Utilizar jogos para desenvolver o raciocínio lógico e o cálculo mental dos

alunos.

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1 As quatro operações fundamentais

O trabalho pedagógico envolvendo as quatro operações básicas da

matemática, segundo Pires e Gomes (2004), deve enfatizar a compreensão dos

diferentes significados de cada operação (adição, subtração, multiplicação e

divisão).

A adição é considerada a operação mais natural por fazer parte das

experiências infantis desde cedo. De acordo com Toledo e Toledo (2009), é

prazerosa pelas ideias de juntar, ganhar ou colecionar coisas. Essa familiaridade

contribui para o trabalho pedagógico.

Assim, enquanto a adição apresenta-se como uma operação simples para

ser trabalhada, a subtração revela-se uma operação mais complexa. Para Toledo e

Toledo (2009, p. 110) “[...] o raciocínio das crianças se concentra em aspectos

positivos da ação, percepção e cognição. Os aspectos negativos, como inverso e

recíproco, são construídos apenas mais tarde”, uma vez que isso aumenta as

dificuldades apresentadas pelos alunos na aprendizagem da subtração, por ser uma

operação inversa.

Em relação às estruturas da multiplicação, para Vergnaud (1993), formam o

conjunto de situações que envolvem a multiplicação e a divisão de dois números

ampliando-se para os conceitos de proporção, fração, semelhança entre figuras

geométricas, razão, números racionais e raciocínio combinatório.

No que diz respeito à divisão, conforme Toledo e Toledo (2009, p. 143): “[...]

está relacionada com a multiplicação e a subtração, assim como a multiplicação se

relaciona com a adição”; a divisão pode ser tratada como uma subtração reiterada

de parcelas iguais.

Nesse contexto, Isolani et. al. (2005) acrescentam que as quatro operações

devem ser amplamente exploradas na resolução de problemas tendo sempre

presente a ideia de que adição é juntar, subtração é tirar, multiplicação é adicionar e

combinar e divisão é quanto dá para um, quantos cabem.

Em relação à matemática é fundamental compreender que a aprendizagem

de seus conteúdos como, por exemplo, as quatro operações, não devem estar

restritas aos problemas da vida prática, mas deve também contribuir para o

desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da coerência, entre outros.

Conforme Barroso (2006, p. 10), “Durante o ensino fundamental os

conhecimentos numéricos devem ser construídos pelo aluno num processo

dialético”, a partir de atividades em que o uso de métodos e técnicas adequados

contribua para a resolução de determinados problemas envolvendo suas

propriedades, relações e o modo como se configuram no contexto histórico.

Assim, a compreensão do significado das operações é um dos aspectos

mais importantes na relação do conhecimento matemático, pois, à medida que o

aluno se depara com situações-problema envolvendo as operações básicas, estará

ampliando seu conceito de número.

É nas últimas séries do ensino fundamental, ou seja, nos anos finais, que o

trabalho com as operações deve ser ampliado e, de acordo com Barroso (2006),

deve estar concentrado na compreensão dos diferentes significados de cada uma,

bem como nas relações entre elas e no estudo reflexivo do cálculo. Este, por sua

vez, conforme a autora citada contemplando os diferentes tipos de cálculo – exato,

aproximado, mental e escrito.

Entre os recursos mais utilizados para a compreensão de

valores/quantidades, está o Material Dourado, assunto tratado a seguir.

3.2 Material Dourado como instrumental de apoio ao processo

ensino/aprendizagem da matemática

Maria Montessori (1870 – 1952), médica italiana, cujo trabalho envolvia

crianças com dificuldades de aprendizagem, criou, no início do século XX, o

chamado material dourado que permite a construção de conceitos e a compreensão

dos significados.

Conforme Toledo e Toledo (2009), a grande vantagem do material dourado

é possibilitar a visualização dos valores de cada peça por correspondência de

tamanhos e formatos. A criança observa a quantidade de cubinhos numa barra, a

quantidade de barras numa placa e a quantidade de placas no cubo.

O material dourado ou Montessori é composto por: cubo maior, placa, barra

e cubinhos.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm. 2011

O cubo maior é formado por 10 placas; a placa é formada por 10 barras; e a

barra é formada por 10 cubinhos.

O material pode ser utilizado para o trabalho com números naturais e para o

trabalho com os decimais. Conforme Pires e Gomes (2004), a mudança de campo

numérico é definida conforme o inteiro tomado por referência, ou seja, no trabalho

com os decimais o cubo maior é considerado como inteiro e as demais peças serão

partes desse inteiro. Assim, a representação posicional permite mostrar que as

frações podem ser expressas como os inteiros, com agrupamentos e trocas na base.

A partir da compreensão de que os denominadores 10, 100, 1000 e

consecutivos, são frações especiais denominadas frações decimais, é possível

desenvolver atividades com os alunos de forma que percebam as frações ordinárias,

o número decimal e a porcentagem como modos distintos de representar os

números racionais. Ex.

15100

=0,15=15 %

Assim, a expressão ‘por cento’ implica na afirmação de que cada ‘cem’ pode

ser representado pelo sinal %, isto é, porcentagem, cálculo empregado no comércio

e nas inúmeras formas de escrita representacional, fato que justifica sua relevante

importância no ensino da Matemática.

Considerando o exposto, conteúdos como as quatro operações básicas da

matemática, frações e porcentagem, podem ser explorados no processo ensino e

aprendizagem a partir de técnicas estratégicas como a utilização de jogos. Tema

abordado na próxima seção.

3.3 Jogos

Para melhorar o conhecimento lógico-matemático os jogos em grupo

realizados em sala de aula apresentam-se como instrumentos adequados e com a

vantagem de promover, concomitante à realização da atividade (jogo), momentos

agradáveis e lúdicos.

De acordo com Pires e Gomes (2004), o jogo permite a diversificação de

abordagem além das inúmeras possibilidades de envolver números e cada uma das

quatro operações matemáticas, possibilitando a interação com os colegas a partir

dos objetos de conhecimento.

O jogo é também um forte aliado no estímulo do pensamento pelo fato de

exigir, além da presença do jogador, sua atenção às diferentes situações que se

renovam a cada momento.

Embora a criança pequena seja um pouco egoísta, não deixa de ajudar os amigos, mesmo querendo chegar sempre em primeiro lugar, enquanto que

as mais velhas procuram estratégias cada vez mais elaboradas para vencer. O jogo promove a socialização a partir das regras, mesmo as mais simples, destinadas às crianças com menos experiência. Durante o jogo acontecem discussões, debates, troca de ideias, confronto de opiniões polêmicas, numa verdadeira situação de interação e tomam-se decisões que colaboram para a construção do conhecimento (PIRES e GOMES, 2004, p. 24).

A interação proporcionada pela prática dos jogos promove a integração

oportunizando a cooperação entre os pares, ao mesmo tempo em que os mesmos

são motivados a competir. Existem inúmeras formas de propor e explorar diferentes

tipos de jogos nas aulas de matemática contemplando dimensões dos aspectos

educativo e lúdico.

Grando (2000) propõe sete momentos diferentes em relação à intervenção

pedagógica com jogos nas aulas de matemática: familiarização com o material do

jogo; reconhecimento das regras; jogar para garantir regras; intervenção pedagógica

verbal; registro do jogo; intervenção escrita e jogar com competência.

Esses cuidados são reforçados por outros autores que acrescentam às

observações anteriores, a escolha do jogo, a forma de apresentação do jogo aos

alunos, a organização para jogar, o tempo destinado à atividade envolvendo o jogo e

as formas de exploração deste.

Em relação à escolha do jogo, Smole, Diniz e Cândido (2007, p. 18) dizem

que: “Um jogo pode ser escolhido porque permitirá que seus alunos comecem a

pensar sobre um novo assunto, ou para que eles tenham um tempo maior para

desenvolver a compreensão sobre um determinado conceito”, além de

desenvolverem estratégias para resolução de problemas ou para desenvolver

determinadas habilidades que naquele momento surgem como importantes para a

efetivação do processo ensino e aprendizagem.

Depois da escolha é necessário que o professor teste o jogo. É

fundamental ler e compreender as regras simulando jogadas como meio de testar

situações de desafio para os alunos, ao mesmo tempo em que procede a verificação

sobre os conceitos desejados, desenvolvimento do raciocínio e da cooperação entre

os colegas.

Na apresentação do jogo ao aluno é fundamental que este compreenda e

sinta-se motivado a jogar pelos desafios que o jogo suscita, fazendo surgir a

curiosidade em aprender, a vontade de jogar e o desafio em vencer as dificuldades

apresentadas. Segundo Smole, Diniz e Cândido (2007, p. 17): “Aprende-se um jogo

com os amigos, aprende-se um jogo lendo suas regras na embalagem, na Internet,

fazendo experimentações, tentativas”.

Em relação ao tempo destinado à atividade envolvendo o jogo, é

interessante conciliar, de acordo com Smole, Diniz e Cândido (2007, p. 19) mesmo

sendo um jogo envolvente: “[...] e que os jogadores encantem-se por ele, e

principalmente por isso, não é na primeira vez que jogam que ele será

compreendido. Uma proposta desafiante cria no próprio jogador o desejo de

repetição, de fazer de novo”.

Já em relação ao jogo e sua exploração, os autores citados enfatizam a

importância do jogar para construção de relações, criação de jogadas, análise de

possibilidades, reflexões sobre as regras para melhor compreendê-las e utilizá-las.

Para tanto é importante conversar sobre o jogo, registrar (por escrito ou em forma de

desenho) as aprendizagens e vivências experimentadas como, por exemplo,

explicando o porquê de um tipo de jogada e não outra, porque uma decisão foi

tomada dessa forma, entre outras colocações.

Dessa forma, o jogo não pode ser visto ou pensado como uma atividade

esporádica para tornar as aulas diferentes ou divertidas. O jogo deve manter

profunda relação entre a aprendizagem e a construção do conhecimento matemático

dos jogadores. Para Moura (1996, p. 80), visto desta forma, o jogo na educação

matemática: “[...] passa a ter o caráter de material de ensino quando considerado

promotor de aprendizagem. O aluno, colocado diante de situações lúdicas, apreende

a estrutura lógica da brincadeira”, e assim, aprende a estrutura matemática.

4 METODOLOGIA

O desenvolvimento do trabalho exposto neste material didático será

efetuado em 8 aulas de 50 minutos cada, numa turma de 5ª série do colégio Santa

Barbara, localizado em Bituruna – PR. Para o desenvolvimento das atividades, será

apresentado as propostas de trabalho aos alunos e em seguida será efetuada uma

sondagem verbal com o intuito de identificar o conhecimento prévio dos participantes

em relação ao tema ‘porcentagem’.

As informações obtidas sob esse procedimento servirão de marco inicial

para o trabalho abordando conteúdos como, as quatro operações básicas da

matemática, frações, números decimais e porcentagem.

Para tanto, as aulas constarão de exposição oral oportunizando a

participação do aluno para manifestação de suas dúvidas e expressão de suas

interpretações e conclusões, favorecendo a compreensão de conceitos matemáticos

e construção de conhecimentos, bem como, o desenvolvimento do raciocínio lógico

por meio de jogos e manipulação de materiais concretos, como o material dourado.

No desenvolvimento das atividades, os alunos formarão grupos de quatro

ou cinco integrantes. Esta formação será orientada pela professora objetivando a

interação entre os sujeitos e treino de diferentes habilidades conforme as

experiências partilhadas com diferentes integrantes e, consequentemente, diferentes

estratégias e abordagens.

As regras serão apresentadas, explicadas e registradas no caderno pelos

alunos em etapa que precede ao jogo; a professora ficará à disposição para

orientação nas dúvidas e controvérsias que possam surgir com a prática efetiva dos

jogos e mediação dos mesmos.

Em relação à avaliação, conforme as Diretrizes Curriculares da Educação

Básica (2008) deve ser entendida como instrumento do processo

ensino/aprendizagem determinado a investigar para intervir concretizando o trabalho

pedagógico e contribuindo para a formação dos sujeitos/alunos.

5 PLANO DE AÇÃO

Atividade 1

Nesta aula os alunos serão conduzidos, a partir de uma conversa informal, a

expor seus conhecimentos sobre as quatro operações básicas. A seguir alguns dos

exemplos a serem utilizados:

Exemplo 1 – Adição

a) Quantos meninos há na sala?

b) Quantas meninas?

c) Então, quantos alunos há na sala?

Exemplo 2 - Subtração

a) Dos X alunos Y utilizam o transporte escolar. Quantos não fazem uso do

referido transporte?

b) Dos X alunos Y não pediram lanche. Quantos tomarão o lanche?

Exemplo 3 – Multiplicação

a) Quantas aulas de matemática por semana têm nessa turma?

b) Quantas aulas serão dadas em 8 semanas?

c) Qual o tempo de duração de cada aula?

d) Quantas horas/minutos são utilizadas na semana para as aulas de

matemática?

e) Quantas horas/minutos são utilizadas em 8 semanas de aulas de

matemática?

Exemplo 4 – Divisão

a) Do total de alunos dessa turma, vamos formar grupos de três elementos.

Quantos grupos formaremos? Sobrarão alunos que não formam um grupo?

b) E grupos de quatro elementos? E de cinco? E de seis?...

Os exemplos serão registrados no quadro de giz a medida que forem sendo

formulados e resolvidos (calculados mentalmente ou por escrito) pelos alunos;

posteriormente serão registrados no caderno do e pelo aluno, individualmente.

Atividade 2

Depois de retomar o conteúdo da aula anterior (as quatro operações) a

professora solicita que os alunos recortem (de folhas de caderno quadriculado

utilizado para esse fim) uma malha de 100 (cem) quadrinhos (são quadros maiores

que aquele normalmente utilizado).

Em seguida, os alunos deverão pintar os quadrinhos seguindo os comandos

da professora (registrados no quadro-de-giz): 20 quadrinhos em azul escuro; 15 em

lilás; 10 em preto; 25 em amarelo ouro; 30 em verde claro.

Concluída essa etapa, deverão calcular e registrar as frações encontradas.

Após a correção no quadro em conjunto com a professora, os alunos

deverão preparar outra base com 100 (cem) quadrinhos e no verso especificar a

quantidade e a cor dos quadrinhos a serem representados em forma de frações;

essa tarefa será trocada entre os educandos e, depois de realizada pelo colega,

será corrigida pelo autor da tarefa.

Atividade 3

Nesta aula será apresentado o Material Dourado aos alunos, permitindo

inicialmente, que eles manuseiem as peças, verifiquem formatos, tamanhos,

correspondências, entre outras observações.

Concluído esse primeiro contato, cada grupo (de cinco alunos) receberá um

jogo de material dourado para acompanhar as explicitações da professora em

relação a cada peça que compõe o referido material.

Em seguida serão propostas atividades nas quais a professora formula a

situação demonstrando com as peças (e registrando no quadro-de-giz) a ação que

deve ser repetida em cada grupo e, em seguida, após a resolução, a resposta será

registrada no quadro-de-giz.

Exemplo 1

a) Sabendo que o cubo maior é formado por 10 placas, se o tomarmos como

unidade, que fração do cubo maior uma placa representa?

b) E duas placas?

c) E três? E assim consecutivamente até chegar um inteiro.

Exemplo 2

a) Tomando a placa, que fração uma barra representa?

b) E duas barras? E assim consecutivamente.

Exemplo 3

a) Tomando-se a barra, que fração um cubinho representa?

b) E dois cubinhos? E três? E assim consecutivamente.

Na etapa seguinte os alunos acompanharão as explicações da professora

que demonstrará no quadro valor lugar – QVL, a representação de agrupamentos e

trocas de unidades, dezenas, centenas e milhar. Os resultados serão registrados no

quadro de giz para fixação da atividade.

Fonte: ZINI e SALVADOR, 2008.

Posteriormente as atividades serão desenvolvidas no caderno com o

registro dos respectivos resultados e o QVL (desenhado) em forma de tabela:

UM C D U

Realizadas essas atividades, sanadas as dúvidas seguidas dos comentários

necessários para maiores esclarecimentos, cada grupo deverá elaborar situações-

problema envolvendo o cubo maior, a placa e a barra.

As atividades deverão ser registradas em folha de papel sulfite, previamente

preparada para isso, contendo o nome dos integrantes, a descrição dos exercícios

formulados e as respectivas soluções. As folhas serão recolhidas para efeitos de

avaliação.

Atividade 4

As atividades previstas nesta etapa serão desenvolvidas em duas aulas de

50 minutos cada, nas quais serão apresentadas aos alunos as taxas percentuais

decorrentes das frações centesimais, com explicações sobre o desenvolvimento

histórico do símbolo % (porcentagem).

Em duplas, os alunos receberão atividades sobre a construção de tabelas,

utilizando-se das frações centesimais e taxas percentuais.

Exemplo 1

Outros exemplos:

Descobrindo a taxa de porcentagem

11 100

112 100

45 100

231 100

95 100

4 100

100 100

19 100

31 100

1) Em uma academia com um total de 90 praticantes, 36 são atletas. Represente os

atletas em números decimais e porcentagem:

36/90 = 0,4 = 0,40 = 40/100 = 40%

Tabela

FRAÇÃO CENTESIMAL TAXA PERCENTUAL

11

100

11%

Exemplo 3

Para preencher a tabela a seguir o aluno deverá realizar os cálculos

conforme exemplo 1 da atividade 4, ou seja, escolhe um dos números sugeridos nos

quadrinhos, aloca-o na coluna correspondente e, para obter os resultados das outras

duas colunas, deverá realizar os cálculos respectivos.

Tabela

TAXA PERCENTUAL FRAÇÃO CENTESIMAL NUMERAL DECIMAL

15% 15

100

0,15

25

145%

80

15 250%

10

Atividade 5

Para as atividades dessa fase, serão necessárias duas aulas de 50 minutos

cada. Serão utilizados os jogos dominó, que em suas peças tem valores

representados por frações, números decimais e porcentagens.

Os conteúdos estudados nas aulas anteriores serão revistos por meio de

jogos tipo dominó. Considera-se para esta proposta, as vantagens oferecidas pelos

jogos em relação ao conhecimento lógico-matemático.

Para tanto, foram confeccionados dez jogos de dominó com vinte e oito

peças cada um. Cada jogo consta de uma base original de dominó na qual foram

fixadas as matrizes contendo taxas percentuais, números decimais e frações

impressas em sua face.

Cada grupo, composto por quatro integrantes, receberá um jogo de dominó

com frações e porcentagens. Será solicitado aos educandos que acompanhem a

explicitação das normas e/ou regras do jogo, estando atentos também à forma de

contagem de pontos para posterior registro dessas observações no caderno.

Obs. As regras a serem utilizadas para os jogos propostos serão as mesmas do

dominó tradicional, apenas com uma alteração, serão empregadas frações, decimais

e porcentagens. Os alunos terão oportunidade de ‘encaixar’ valores iguais como, por

exemplo: 0,4 com 40% ou com 2/5 e assim por diante.

No final das partidas, conforme tempo determinado para essa atividade, os

alunos deverão demonstrar os resultados em relação ao número de partidas jogadas

e vitórias conquistadas.

Modelo de jogos utilizados

AVALIAÇÃO

Tendo em vista que o real sentido da avaliação, de acordo com Luchesi

(2002) implica em acompanhar o desenvolvimento no momento da atividade

buscando orientar as possibilidades de desempenho num futuro bem próximo,

modificando práticas que não tenham se mostrado eficientes, o objetivo é encontrar

caminhos para superar possíveis problemas, ampliando o processo de ensino e

aprendizagem.

Assim, a avaliação contínua prevista na aplicação deste material didático,

consiste na reflexão crítica sobre a prática, buscando identificar avanços e

dificuldades permitindo que novas estratégias possam ser utlizadas pelo aluno e

também pelo professor, para que este processo auxilie na construção de

conhecimentos significativos.

REFERÊNCIAS

BARROSO, J. M. Projeto Araribá: matemática. 5ª série. São Paulo: Moderna, 2006. GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. Tese de Doutorado. São Paulo: Faculdade de Educação, UNICAMP, 2000. ISOLANI, C. M. M.; BÔAS, R. R. V.; ANZZOLIN, V. L. A.; MELÃO, W. S.

Matemática. Coleção Construindo o Conhecimento. São Paulo: IBEP, 2005. LUCHESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. 14. ed. São Paulo: Cortez, 2002. MOURA, M. O. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática. In: KISHIMOTO,

T.M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. São Paulo: Cortez, 1996.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Matemát ica. Governo do Estado do Paraná. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Departamento de Educação Básica. Paraná: 2008. PIRES, M. N. M.; GOMES, M. T. Fundamentos Teóricos do Pensamento

Matemático. Curitiba: IESDE, 2004. SÃO PAULO. Material dourado . Disponível em:

<http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm>. Acesso em 10 de julho de 2011.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. Cadernos do Mathema: Jogos de

matemática. Porto Alegre: Artmed, 2007. TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teria e Prática de Matemática: como e dois. São

Paulo: FTD, 2009. VERGNAUD, G. Teoria dos campos conceituais. In: NASSER, L. Anais dos 1º

Seminário Internacional de Educação Matemática do R io de Janeiro. Rio de Janeiro, 1993.

ZINI, M. F. da. S.; SALVADOR, T. M. Jogos pesquisados e elaborados pelas

assessoras pedagógicas. Rio Grande do Sul: SMED, 2008. Disponível em: http://www.caxias.rs.gov.br/geemac/_upload/encontro_66.pdf . Acesso em 19 de

julho de 2011.