Matematica financeira FGV

ii Versão 1, 2011, Março

Sumário

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1

1.1 EMENTA 1

1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 1

1.3 OBJETIVOS 1

1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1

1.5 METODOLOGIA 2

1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 2

1.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 2

CURRICULUM VITAE DO PROFESSOR 3

2. TEXTO PARA ESTUDO 4

2.1 FUNDAMENTOS 4

2.2 JUROS SIMPLES 8

2.2.1 MÉTODO HAMBURGUÊS 14

2.3 JUROS COMPOSTOS 17

2.3.1 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 27

2.4 TAXAS 31

2.4.1 TAXA EQUIVALENTE E PROPORCIONAL (JUROS SIMPLES) 31

2.4.2 TAXA EQUIVALENTE, EFETIVA E NOMINAL (JUROS COMPOSTOS) 33

2.4.3 TAXA DE INFLAÇÃO 42

2.4.4 DESVALORIZAÇÃO MONETÁRIA ASSOCIADA À INFLAÇÃO 48

2.4.5 TAXA DE JUROS NOMINAIS E REAIS 49

2.5 VALOR PRESENTE DE UM FLUXO DE CAIXA 52

2.6 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXAS 60

2.6.1 PLANOS EQUIVALENTES DE PAGAMENTOS 60

2.6.2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE FINANCIAMENTOS 69

2.7 VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL 76

2.8 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR 82

2.9 DESCONTO DE DUPLICATAS 89

3. MATERIAL COMPLEMENTAR 104

Matemática Financeira – Prof. Marcos Bezerra

1

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA

1.1 Ementa

Juros simples e Juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. Valor Presente e valor Futuro. Equivalência de taxas de juros e equivalência de fluxos de caixa. Sistemas de amortização Price, SAC e SAM. Análise de Investimentos. Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR).

1.2 Carga horária total

24 horas/aula

1.3 Objetivos

Permitir ao aluno:

• Conhecer e compreender as definições e simbologias empregadas nas práticas do mercado financeiro.

• Visualizar a importância dos métodos quantitativos no processo decisório financeiro.

• Praticar os cálculos utilizados na obtenção dos parâmetros que dão sustentação às tomadas de decisão no cotidiano do mercado.

1.4 Conteúdo programático

Juros simples: Conceito de juros simples. Desconto de duplicatas. Desconto de títulos. Valor de face e valor de mercado.

Juros compostos: Conceito de juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. Valor presente e valor futuro.

Equivalência de taxas de juros e equivalência de fluxos de caixa. Períodos de Capitalização. Taxas anuais, mensais e diárias. Equivalência de fluxos de caixa. Perpetuidades e anuidades. Sistemas de amortização Price, SAC e SAM.

Análise de Investimentos: Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno. Taxa de desconto. Valor e custo. Problemas da TIR.


2

1.5 Metodologia

Aulas teóricas expositivas intercaladas com sessões de exercícios de aplicação prática.

1.6 Critérios de avaliação

Prova Individual (sem consulta) 70% Exercícios da lista 30%

1.7 Bibliografia recomendada

PUCCINI, Abelardo L.. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8a Ed. São Paulo: Saraiva, 2009.

TOSI, Armando José. Matemática financeira com Ênfase em Produtos Bancários, 3a Ed. São Paulo: Atlas, 2009.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 11a Ed. São Paulo: Atlas, 2009.

ZENTGRAF, Roberto. Matemática Financeira Objetiva. 8a Ed. Rio de Janeiro: ZTG, 2009.


3

Curriculum Vitae do Professor

Marcos Antônio Bezerra. Mestrado em Engenharia pela Universidade de Brasília – UnB. Pós-Graduado em Transporte Aéreo, Aeroportos e Gestão da Aviação Civil pela Universidade de Brasília - UnB. Pós-Graduado em Análise de Sistemas pela Universidade Veiga de Almeida. Engenheiro Civil pela Universidade Veiga de Almeida. Consultor de Aviação Civil. Professor das disciplinas de Métodos Quantitativos Aplicados à Contabilidade, Matemática, Pesquisa Operacional, Economia, Análise Financeira e Contábil e Matemática Financeira em cursos de graduação e pós-graduação.


4

2. TEXTO PARA ESTUDO

2.1 Fundamentos

Nesta seção serão apresentados os conceitos utilizados no contexto financeiro.

Através da utilização de exemplos, serão expostas as principais definições relativas ao assunto.

DEFINIÇÕES

Juro – é o valor pago/recebido pela captação/aplicação do capital. Ou seja, é o valor pago ou recebido pelo “aluguel” do capital. O juro tem por objetivo compensar àquele que disponibiliza o capital em função dos seguintes fatores: risco, custo de oportunidade e depreciação do capital. Capitalização - é a correção do capital em função do tempo. Ao processo inverso chamamos de Descapitalização.

Exemplo:

Data 27/04/X1 09/10/X1

Saldo da Aplicação $10.000,00 $14.000,00

Período de Capitalização - é o período compreendido entre dois momentos consecutivos de apuração dos juros devidos.

Exemplo: A Poupança tem período de capitalização igual a 1 mês.

Prazo – representado pela letra “n”. É igual ao número de períodos de capitalização envolvidos na operação.

Capitalização

Descapitalização


5

Taxa de Juros “i” - representa a velocidade de crescimento do capital durante o prazo da operação e, ainda, o valor do percentual relativo à operação.

Exemplo:

Data 27/04/X1 27/05/X1 27/06/X1 Saldo da Aplicação $1.000,00 $1.150,00 $1.300,00

Velocidade de crescimento do capital: $150,00 por mês. Em termos percentuais: 150 / 1.000 = 0,15 = 15%.

Regime de Capitalização - é o nome dado ao processo de formação do capital ao longo do tempo. Existem dois regimes que são adotados nesse processo: regime de capitalização simples e regime de capitalização composta. O regime de capitalização simples é caracterizado pelo fato da taxa de juros ser aplicada, ao final de cada período de capitalização e durante todo o prazo da operação financeira, única e exclusivamente sobre o valor inicial da operação.

Exemplo:

Aplicação: $ 1.000,00 Juros do 1o período: $ 110,00 Juros do 2o período: $ 110,00 Juros do 3o período: $ 110,00 Juros do último período:

$ 110,00

O regime de capitalização composta é caracterizada pelo fato da taxa de juros ser aplicada, ao final de cada período de capitalização e durante todo o prazo da operação financeira, sobre o saldo resultante da incorporação dos juros devidos e não pagos em períodos anteriores.

+ $150,00

+ $150,00


6

Exemplo: Saldo Aplicação (10% ao $1.000,00 $1.000,00 Juros do 1o período: $100,00 1.000 + 100 = Juros do 2o período: $110,00 1.100 + 110 = Juros do 3o período: $121,00 1.210 + 121 =

Valor Presente ou Principal - é o valor do capital utilizado no início da operação financeira, ou seja, antes de sofrer qualquer processo de capitalização.

Exemplo:

Você aplicou $1.000,00 e resgatou $1.200,00 após 3 meses. Principal da operação: $1.000,00

Valor Futuro ou Montante - representa a soma do valor presente com os juros devidos no momento da sua apuração. O valor futuro não está, necessariamente, associado ao fim da operação, podendo ser determinado em qualquer instante posterior ao início da mesma.

Exemplo: Aplicação: $1.000,00 Juros do 1o período: $110,00 $1.110,00 Juros do 2o período: $110,00 $1.220,00 Juros do 3o período: $110,00 $1.330,00 Juros do 10o período: $110,00 $2.100,00

Valores Futuros

O DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA

É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de caixa, resultante de uma operação financeira.


7

A linha horizontal representa uma escala temporal, onde cada subdivisão indica um período de capitalização. As movimentações financeiras são representadas por setas apontadas para cima (entradas) ou para baixo (saídas).

Esta representação gráfica é um recurso largamente empregado nas operações de matemática financeira, pois permite uma visão mais ampla e mais precisa do horizonte financeiro do empréstimo/investimento.

Exemplo:

Aplicação (saída) hoje (data 0) de $1.000,00. Resgate (entrada), em três períodos (data 3), no valor de $1.200,00.

Tempo (Períodos)

0 1 2 3 4 5

$1

$2

$3

$4

$5

$6

i

Períodos (n)

$1.200,00

0 1 2 3


8

2.2 Juros Simples

O cálculo dos Juros Simples é feito através do produto das seguintes variáveis: Valor Presente, taxa de juros e prazo da operação. Logo:

niVPJuros ××××××××==== De acordo com as definições vistas anteriormente, o Valor Futuro de uma operação financeira a juros simples é dado por:

niVPVPVF ××××××××++++==== - equação básica Podemos escrever a equação básica das seguintes maneiras:

niVPVPVFJ

iVP)VPVF(

n

nVP)VPVF(

i

)ni1(VF

VP

)ni1(VPVF

niVPVPVF

××××××××====−−−−====

××××−−−−====

××××−−−−====

××××++++====

××××++++××××====

××××××××++++====

Onde:

n é o número de períodos; VP é o Valor Presente ou Principal – valor aplicado; i é a taxa de juros expressa na forma unitária; VF é o Valor Futuro; soma de juros no período com o principal; J é o total de juros pagos sobre a aplicação ou empréstimo.


9

Considerações importantes:

As taxas de juros utilizam uma notação característica para as suas unidades (%), por exemplo: i = 10% ao mês = 10% a. m., i = 20% ao ano = 20% a. a., e assim por diante.

� A taxa de juros e o prazo da operação devem ser compatíveis, ou seja, a taxa deve ser expressa em períodos iguais aos períodos de capitalização. Por exemplo, uma taxa de juros mensal - i = 10% a. m. - para um investimento cujo prazo é de 1 ano, deve assumir em seus cálculos, levando em consideração o fato de que um ano tem 12 meses, n = 1 x 12 = 12 meses, ou então, conservando a unidade do prazo (n = 1 ano), modificar aquela referente a taxa de juros, admitindo nos cálculos i = 10% x 12 = 120% a.a..

� Quando efetuar os cálculos, utilizando a equação, a taxa deve ser colocada na forma unitária. Por exemplo: i = 10% a.m (na forma percentual) deve ser transformada como, i = 0,10 a.m (na forma unitária). Para se obter esta transformação, basta dividir o valor da forma percentual por 100. Exemplo: suponha que você tem uma taxa de juros i = 15% a. a., o valor que deve ser aplicado nas equações é i = 15 / 100 = 0,15 a.a..

� Propriedade da proporcionalidade das taxas de juros: se você estiver trabalhando com uma taxa de juros simples, a conversão de taxa anual para mensal ou vice-versa é feita por meio de uma regra de três simples, como se segue:

i = 10% a. m. = ?% a. a. 10% está para 1 mês X% está para 12 meses (1 ano)

Resolvendo, temos:

.m.a%120%X

%1012%X12

1

%X

%10

=

×=⇒=


10

Observação:

A relação de proporcionalidade descrita acima só será válida quando estivermos trabalhando com regimes de capitalização simples. No caso do regime de capitalização composto, tal relação deverá ser substituída por relações de equivalência de taxas de juros, assunto este que será abordado, oportunamente.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Dada uma aplicação com um rendimento de 10% ao mês, qual será o valor dos Juros recebidos em função do investimento de $1.000,00 durante 1 mês?

Dados: VP = $1.000,00 n = 1 mês i = 10% a. m.

Solução:

Colocando a taxa na representação unitária:

i = 10% a. m. ⇒ i = 0,10 Calculando os Juros:

00,100$Juros

110,0000.1Juros

niVPJuros

=

××=

××=

Resposta: Os Juros recebidos serão de $100,00.

Exemplo 2:

Um investidor aplicou $1.000,00, a uma taxa de 10% ao mês, durante 1 mês. Qual deverá ser o valor de resgate da aplicação no final da operação?

Dados: VP = $1.000,00 n = 1 mês i = 10% a. m.

Solução: Colocando a taxa na representação unitária:

i = 10% a. m. ⇒ i = 0,10


11

Calculando o Valor Futuro:

Valor Futuro = Valor Presente + Juros VF = VP + VP x i x n VF = 1.000 + 1.000 x 0,1 x 1 VF = 1.000 + 100 VF = $1.100,00 Resposta: O valor de resgate é $1.100,00.

Exemplo 3:

Dado um pagamento futuro de $1.300,00 a ser realizado daqui a 2 anos, dentro de um regime de juros simples e sob uma taxa de 15% ao ano, qual o seu Valor Presente?

Dados: VF = $1.300,00 i = 15% a. a. n = 2 anos

Solução: Colocando a taxa na representação unitária:

15,0i.a.a%15i =⇒=

O valor do pagamento que será realizado daqui a 2 anos, ou seja, num tempo futuro, deve ser admitido nos cálculos como o Valor Futuro da operação. Assim, VF = $1.300,00. Aplicando a equação:

000.1VP

3,1

300.1VP

VP3,1300.1

VP0,3VP20,15VPVP1.300

niVPVPVF

=

=

×=×+=××+=

××+=

Resposta: O Valor Presente do pagamento $1.300,00 à taxa de juros de 15% a. a. é $1.000,00.


12

Comentários:

O Valor Presente de $1.000,00 representa quanto vale hoje, nas condições da operação, o pagamento futuro de $1.300,00. Assim, $1.000,00 é o valor que deveria ser aplicado a uma taxa de 15% a. a., durante 2 anos, para se obter um Valor Futuro de $1.300,00.

A diferença entre o pagamento e o valor presente representa os Juros envolvidos na operação.

Exemplo 4:

Qual o tempo de aplicação necessário para que uma aplicação de $2.000,00 a uma taxa de juros simples de 2% ao mês atinja o valor de $2.960,00?

Dados: VP = $2.000,00 VF = $2.960,00 i = 2% a. m.

Solução:

meses24n

40

960

02,0000.2

)000.2960.2(n

iVP

)VPVF(n

=

=×

−=

×−=

Resposta: O prazo de aplicação do capital deve ser de 24 meses ou 2 anos. Comentários:

Como o valor de entrada na equação da taxa de juros se refere a uma taxa mensal, o prazo determinado é dado em meses. Caso houvesse uma transformação da taxa mensal em taxa anual, por exemplo, o prazo determinado estaria em anos.

Exemplo 5:

O prazo necessário para que um certo capital dobre de valor em uma aplicação com uma taxa de juros simples de 25% ao ano é de?

Dados: VP = $X VF = $2X = 2 x VP i = 25% a. a.


13

Solução:

anos4n

25,0

1

X25,0

X

25,0X

)XX2(n

iVP

)VPVF(n

=

==×

−=

×−=

Resposta: O prazo que faz uma aplicação à juros simples de 25% ao ano dobrar é igual a 4 anos. Comentários:

Como podemos notar, se tivermos uma relação entre os valores futuro e presente, mesmo em termos percentuais, no caso deste exemplo VP é metade (50%) do VF, já será suficiente para, dada a taxa da operação, determinar o prazo da mesma.

APLICAÇÕES PRÁTICAS

O regime de capitalização simples encontra aplicação nos cálculos dos juros devidos nas operações com cheques especiais e contas garantidas, cálculo do IOF das operações financeiras e em algumas transações em “DOLAR”, no exterior.

Operações de desconto de duplicatas, além de outros tipos de descontos bancários, utilizam o regime de capitalização simples em seus cálculos. Tais operações serão abordadas posteriormente.

CONCLUSÃO

Como você pôde notar, as várias formas de representação da equação básica dos juros simples servem para facilitar os cálculos. Você deve estar sempre atento àquela que melhor se encaixa na sua necessidade, ou melhor, à solicitação do problema com o qual você está lidando.

Se você tem dificuldades para memorizar, não se preocupe, pois, na verdade, só existe uma equação: niVPVPVF ××+= . Gravando esta expressão, nenhum problema lhe escapará à solução.


14

2.2.1 Método Hamburguês

É empregado largamente pelas instituições financeiras, nas suas operações de bastidores, e envolvem o regime de capitalização simples.

Por representar apenas uma simplificação da metodologia dos Juros Simples, pode ser utilizada nos cálculos sem qualquer restrição. A fórmula:

000.3

iNJuros

os ××××==== ∑∑∑∑

Onde,

∑∑∑∑ osN é a soma dos produtos (valor da operação x prazo

em dias),

i é a taxa mensal expressa na forma percentual.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Suponha que você tenha feito a seguinte movimentação em sua conta bancária:

EXTRATO

Data Histórico D C Saldo

01/03/X1 Saldo 200

02/03/X1 Cheque 0100 500 (300)

08/03/X1 Cheque 0101 1.000 (1.300)

15/03/X1 Depósito em dinheiro 2.000 700

20/03/X1 Cheque 0108 2.500 (1.800)

De posse desses dados, como você faria para saber o valor dos juros que serão debitados em sua conta corrente em 01/04/X1, utilizando o Método Hamburguês? A taxa de juros cobrada pelo seu banco é de 9% ao mês.


15

Solução:

Determinação da soma dos números (∑∑∑∑ osN ):

500.32N

600.21100.9800.1NNNN

600.2112800.1N

100.97300.1N

800.16300N

os

321os

3

2

1

=⇒

++=++=⇒

=×==×=

=×=

∑∑

Cálculo dos juros devidos, substituição na fórmula:

50,97$Juros000.3

9500.32

000.3

iNJuros

os

=⇒×=

×= ∑

Cálculo do IOF:

O cálculo do IOF devido em função da operação de crédito pode ser calculado da mesma forma que os juros, alterando-se apenas a taxa. Neste caso, a taxa de 9% ao mês será substituída pela alíquota do IOF, que atualmente é de 0,246% a. m.. Assim,

66,2$000.3

246,0500.32

000.3=⇒

×=×

= ∑ IOFAlíquotaN

IOFos

Resposta: Em 01/04/X1 deverá ser debitado em sua conta corrente, a título de pagamento de juros e IOF, os valores de $97,50 e $2,66, respectivamente. RESUMO: Equações Básicas:

niVPVPVF

niVPJuros

××××××××++++====

××××××××====


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Variáveis:

VP - Valor Presente VF - Valor Futuro i - Taxa de Juros n - Prazo da Operação

Questões Básicas:

Nos problemas de Juros Simples, normalmente são dados os valores de três das variáveis e solicitado o valor da quarta variável.

Dados Variável Calculada

VP, i, n VF

VF, i, n VP

VF, VP, n i

VF, VP, i n

A solicitação da determinação dos juros resultantes da operação é, também, muito comum nos problemas envolvendo Juros Simples.

Procedimentos Importantes:

Compatibilizar as unidades da taxa de juros e do prazo da operação.

meses12121nano1n

.m.a%10i

=×=⇒==

ou

.a.a%12012%10i.m.a%10i

ano1n

=×=⇒==

Converter a taxa de juros para a representação unitária antes de aplicá-la nas equações.

Método Hamburguês:

Fórmula:

000.3

iNJuros

os ××××==== ∑∑∑∑


17

A taxa de juros deve ser mensal e empregada na forma percentual.

Na obtenção do ∑∑∑∑ osN , o valor individual (principal) de cada operação

deve ser multiplicado pelo respectivo número de dias.

Ler e interpretar, com bastante atenção, os enunciados dos problemas. O correto entendimento da operação que está sendo avaliada será de fundamental importância para o sucesso da solução que você desenvolverá e, em conseqüência, da decisão que você tomará.

2.3 Juros Compostos

Nesta seção será apresentado o regime de capitalização composta. Os juros calculados nesse regime são conhecidos como JUROS COMPOSTOS.

Você vai aprender a calcular várias grandezas, tais como: Valor Presente – VP, Valor Futuro – VF, Juros envolvidos nas operações, prazos de aplicações e empréstimos e taxas de juros. Serão desenvolvidos alguns exemplos, levando em consideração a equação básica.

Com relação à taxa de juros, utilizadas nas equações, deveremos adotar o mesmo procedimento utilizado em juros simples, ou seja, deverá ser transformada para a forma unitária.

Você aprenderá, ainda, a operar a calculadora financeira HP-12C nas várias situações que serão apresentadas. DEFINIÇÕES

Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos) - é caracterizado pelo fato da taxa de juros ser aplicada, ao final de cada período de capitalização, sobre o saldo resultante da incorporação dos juros devidos e não pagos. Portanto, nesse regime de capitalização, os juros devidos e não pagos/recebidos passam a ser capitalizados.

Exemplo:


18

Saldo Aplicação (10% ao $1.000,00 $1.000,00 Juros do 1o período: $100,00 1.000 + 100 = Juros do 2o período: $110,00 1.100 + 110 = Juros do 3o período: $121,00 1.210 + 121 =

EQUAÇÕES

Basicamente, quando você se dispõe a investir um certo capital (Principal ou Valor Presente – VP) a uma dada taxa de juros “i” (do inglês interest), por um prazo “n” (número de períodos de capitalização), espera, em um momento futuro, receber um certo valor (Montante ou Valor Futuro – VF) que deve ser igual à soma do capital aplicado com os rendimentos (Juros).

Pela colocação anterior, podemos concluir que os juros representam as diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente. Sendo assim,

VPVFJuros −−−−==== .

O Valor Presente e o Valor Futuro são relacionados, em juros compostos, levando-se em consideração a taxa “i” e o número de períodos envolvidos na operação “n”, pela seguinte expressão:

n)i1(VPVF ++++××××====

A partir da equação básica, podemos, por meio de manipulações algébricas, obter as seguintes equações alternativas:

( )

VPVFJ

iLNVP

VFLN

n

VP

VFi

i

VFVP

n

n

−=

+

=

−

=

+=

1

1

)1(

1


19

Onde:

J é o total de juros recebidos/pagos sobre a aplicação/empréstimo; LN é o logaritmo na base “e” (número de Neper).

Observações:

Da mesma maneira como procedemos nos cálculos do regime de juros simples, as unidades do período da operação e da taxa de juros devem ser compatibilizadas. Em outros termos, se a taxa é dada ao mês, o prazo deve ser aplicado nas equações em meses, se a taxa é anual, o prazo tem que estar em anos, e assim por diante.

Vale lembrar, também, que a taxa, antes de ser substituída nas equações, deve ser transformada para a forma unitária, ou seja, se i= 10% a. m., então o valor de “i” adotado para os cálculos será i = 0,10.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Suponha que você obtenha um empréstimo no valor de $100,00. O regime da capitalização é composto, a uma taxa de 10% ao ano. Após 1 ano, qual será o valor da sua dívida?

Dados: VP = $100,00 n = 1 ano i = 10% a. a.

Solução:

Fazendo os cálculos passo a passo:

Juros ao final de 1 ano: 10% de 100 = 10 Saldo devedor ao final do ano: Empréstimo + Juros = 100 + 10 = $110,00 Vamos fazer uma comparação com Juros simples:

1 - Substituindo os valores na equação de juros compostos:

00,110$VF

)1,1(100)10,01(100VF

)i1(VPVF11

n

=×=+×=

+×=


20

2 - Substituindo os valores na equação dos juros simples:

00,110$VF

1,1100)1,01(100)110,01(100VF

)ni1(VPVF

=×=+×=×+×=

×+×=

Resposta: Após o período de 1 ano, a sua dívida será de $110,00. Comentários:

A utilização dos valores na equação dos juros compostos e na equação dos juros simples nos leva a concluir que: em qualquer operação na qual esteja envolvido um único período de capitalização o valor futuro independerá do regime de capitalização, ou seja, VFJuros Simples = VFJuros Compostos. Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

10 i 10,00

1 n 1,00

FV -110,00

VF = FV = $110,00 O primeiro procedimento de digitação:

f CLEAR FIN

Serve para “zerar” todas as variáveis envolvidas nas operações financeiras. A ausência de tal procedimento pode levar a grandes erros nos cálculos.

O Valor Futuro e o Valor Presente são representados na calculadora, respectivamente pelas siglas FV e PV. Isto se dá em função da tradução para o inglês, Future Value e Present Value.


21

A taxa de juros deve ser lançada na calculadora na forma percentual. Por exemplo, para uma taxa de 34,56% por período, devemos entrar com o valor 34,56.

Nos cálculos efetuados na HP-12C também deve haver uma compatibilidade entre as unidades da taxa de juros e do prazo.

O sinal negativo apresentado para o Valor Futuro resulta do fato de que a calculadora trabalha em função de um saldo nulo de entradas e saídas de caixa, ou seja, ela admite que, ocorrendo uma entrada no caixa (sinal positivo), em contrapartida, deve existir uma saída equivalente (sinal negativo). Na prática, despreze o sinal, utilize somente o valor absoluto.

Exemplo 2:

Suponha que você faça a mesma operação do exemplo anterior, porém, agora, com um prazo de 2 anos. Qual será o valor da sua dívida ao final desse prazo?

Dados: PV = $100,00 n = 2 anos i = 10% a. a.

Solução:

Fazendo os cálculos passo a passo:

Juros ao final do 1o ano: Empréstimo x Taxa de Juros = 10% de 100 = 10 Saldo devedor ao final do 1o ano: Empréstimo + Juros = 110 Se os juros do primeiro ano não forem pagos, os Juros no final do 2o ano serão: Saldo devedor x Taxa de juros = 110 x 10% = 11 Saldo devedor no final do 2o período: Empréstimo + Juros 1o + Juros 2o 100 + 10 + 11 = $121,00 Comparando com Juros Simples:

1 - Substituindo os valores na equação de juros compostos:

00,121$

21,1100)1,1(100)10,01(100

)1(22

=×=×=+×=

+×=

VF

VF

iVPVF n


22

2 - Substituindo os valores na equação dos juros simples:

00,120$

2,1100)2,01(100)210,01(100

)1(

=×=+×=×+×=

×+×=

VF

VF

niVPVF

Resposta: Após dois anos a sua dívida atingirá o valor de $121,00. Comentários:

Como você pode perceber, já não há mais coincidência entre os valores calculados a juros simples e a juros compostos. É importante frisar que isso se dá apenas para o primeiro período de capitalização. Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

10 i 10,00

2 n 2,00

FV -121,00

FV = VF = $121,00

Exemplo 3:

Você pegou um empréstimo de $1.500,00, cujos juros resultam de um processo de capitalização composta. Supondo que você vá pagar, ao final de um período de 3 anos, um valor de $1.996,50, qual a taxa de juros aplicada sobre esse empréstimo?

Dados: VP = $1.500,00 n = 3 anos VF = $1.996,50

Solução:

1 - Substituindo os valores na equação de juros compostos (equação alternativa):


23

1

1

−

=n

VP

VFi

100,500.1

50,996.1 3

1

−

=i

i = 0,10 (na forma unitária) = 0,10 x 100 = 10% (forma percentual) 2 - Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

1500 PV 1.500,00

1996,5 CHS FV -1.996,50

3 n 3,00

i 10

i = 10% a. a. Obs: Os valores de PV e FV devem ter sinais opostos. No caso deste exemplo, adotamos o comando:

1996,5 CHS FV Para efetuar a mudança do sinal do FV. A tecla CHS significa “mudar sinal”, do inglês change sign. Se tal procedimento não for adotado, aparecerá no visor a indicação do erro 5, que está exatamente associado ao não atendimento ao princípio adotado pela calculadora do saldo nulo de entradas e saídas do caixa.

Resposta: A taxa de juros cobrada para este empréstimo é de 10% ao ano.


24

Exemplo 4:

Você pegou emprestado $2.000,00 hoje, para pagar este empréstimo com uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Sabendo que você terá que pagar $2.928,20 para saldara sua dívida, qual será o prazo desse empréstimo?

Dados: VP = $2.000,00 VF = $2.928,20 i = 10% a. a.

Solução: 1 - Substituindo os valores na equação de juros compostos (equação alternativa):

( )iLN

VP

VFLN

n+

=1

( )10,01

00,000.2

20,928.2

+

=LN

LN

n 4=n

2 - Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

2000 PV 2.000,00

2928.2 CHS FV -2.928,20

10 i 10,00

n 4

n = 4 anos

Resposta: O prazo do empréstimo será de 4 anos.

Exemplo 5:

Em função de um empréstimo pego hoje, você tem uma dívida, vencível em um prazo de 2 anos, no valor $1.210,00. A taxa de juros compostos cobrada é de 10% ao ano. Assim, qual foi o valor do empréstimo?

Dados: VF = $1.210,00 n = 2 anos i = 10% a. a.


25

Solução:

1 - Substituindo os valores na equação de juros compostos (equação alternativa):

2 - Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

1210 FV 1.210,00

2 n 2,00

10 i 10,00

PV -1.000,00

PV = VP = $1.000,00 Resposta: O empréstimo que você pegou foi de $1.000,00.

Exemplo 6:

Você pegou um empréstimo de $2.000,00 hoje. O regime de capitalização adotado nesse tipo de operação é o de juros compostos. A taxa aplicada sobre o valor do empréstimo é de 10% ao ano. Sabendo que você deverá pagar $2.928,20 daqui a 4 anos para quitar o débito, quanto você vai pagar de juros?

Dados: VP = $2.000,00 VF = $2.928,20 i = 10% a.a. n=4 anos

Solução: Como sabemos, os Juros de uma operação são dados pela diferença entre o Valor Futuro e o seu Valor Presente. Aplicando a equação:


26

20,928$Juros

000.220,928.2Juros

VPVFJuros

=

−=

−=

Resposta: Você pagará de juros $928,20.


O regime de capitalização composta é amplamente utilizado nas operações do mercado financeiro. Da mesma maneira que ocorre nas suas aplicações, os empréstimos e financiamentos que você obtém no mercado têm seus juros calculados por meio de capitalizações compostas.

CONCLUSÃO

Através dos cálculos elementares com juros compostos que realizamos, pudemos perceber, na prática, a idéia fundamental deste tipo de capitalização: os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor que engloba o valor original da operação e a soma dos juros não pagos.

A equação básica dos juros compostos:

n)i1(VPVF ++++××××====

Como podemos observar, existem, basicamente, quatro variáveis na equação dos juros compostos: a Taxa de Juros “i”, o Valor Presente “VP”, o Valor Futuro “VF” e o Número de Períodos ou Prazo da Operação “n”. Sendo assim, incluindo os Juros resultantes da operação, existem apenas cinco tipos básicos de questões que podem ser formuladas. Quais sejam: Qual o VF? Qual o VP? Qual o Prazo da Operação? Qual a Taxa de Juros? Qual o valor dos Juros? Vale a pena recordar:

As unidades de “n” e de “i” devem estar sempre compatibilizadas na hora dos cálculos. A taxa de juros deve ser aplicada à equação na forma unitária. Ex.: i = 10% = 0,10.


27

Quando estivermos utilizando a HP-12C, a taxa deve ser colocada na forma percentual, ou seja, para uma taxa de 15%, devemos atribuir o valor 15 à variável “i”.

Na calculadora, os sinais dos valores monetários, PV (VP), FV (VF) e PMT, serão sempre opostos. Na entrada de dados, quando você tiver dois valores monetários, lembre-se sempre de atribuir a um deles o sinal negativo. Na obtenção de um dos valores monetários, despreze o sinal e assuma apenas o valor absoluto como resposta.

Atenção redobrada na leitura dos enunciados, esta etapa é fundamental para se chegar às soluções corretas. Não esqueça, dados corretos levam a resultados e análises corretas e, por conseguinte, a tomadas de decisão acertadas.

2.3.1 Série Uniforme de Pagamentos

Quando desejamos calcular o valor presente de uma dívida com vários pagamentos distribuídos ao longo do tempo, devemos calcular primeiro o valor presente de cada parcela e, então, somá-los. Ou seja,

VPTotal = VPParc.1 + VPParc.2 + ... + VPParc.n

Ex.: VP de uma dívida a ser paga em dois pagamentos, um no final do mês 2 e outro no final do mês 5. Nos casos especiais, nos quais todos os pagamentos têm o mesmo valor, ou seja, são uniformes, e realizados dentro de intervalos de

VF2 VF5

VP = VP2 + VP5

n (perí

0 1 2 3 4 5


28

tempo regulares – mês a mês, ano a ano... – existe uma equação de aplicação direta relacionando as variáveis envolvidas, como se segue:

Onde: R representa o valor do pagamento regular.

Nas calculadoras financeiras, o valor da prestação uniforme R é representado pela sigla PMT, do inglês payment, que significa pagamento. No caso das prestações antecipadas, deverá ser acionada a função “BEG” da calculadora financeira. Ex1.: Empréstimo pago em cinco prestações iguais, com a primeira vencendo ao final do primeiro período após a operação. Ex2.: Empréstimo pago em cinco prestações iguais, com a primeira vencendo no início da operação (no ato do empréstimo).

∑=

=5

1kkVPVP

n (períodos) 0 1 2 3 4 5 i

R

(para prestações postecipadas)

(para prestações antecipadas)


29

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Um automóvel está sendo financiado em 24 prestações mensais iguais e postecipadas a juros de 1,55% a.m.. Sabendo-se que o preço à vista é de $ 38.500,00. Calcule o valor das prestações.

Dados: n = 24 i = 1,55 a.m. PV = 38.500,00

Solução:

Utilizando a HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

38.500 PV 38.500,00

1,55 i 1,55

24 n 24,00

PMT -1933,26

PMT = $1.933,26

Exemplo 2:

O preço de um equipamento, hoje, é de $11.600,00. Uma loja oferece as seguintes condições para a aquisição desse equipamento: $1.400,00 de entrada, e mais quatro prestações mensais de $2.630,00. Calcule a taxa cobrada pela loja.

∑=

=5

1kkVPVP

n (períodos) 0 1 2 3 4 i

R


30

Dados: Bem = $11.600 Entrada = $1.400 PMT = $2.630 n = 4

PV = 11.600 – 1.400 (entrada) � PV = 10.200,00 Solução:


Digitar Visor

f CLEAR FIN

10.200 PV 10.200,00

2.630 CHS PMT -2.630,00

4 n 4,00

i 1,247

i = 1,25% a. m.

Exemplo 3:

Um investidor deposita mensalmente, a quantia de $2.000,00, num Banco que remunera seus depósitos com a taxa efetiva de 2,0% a.m.. Considere o ano comercial de 360 dias. Calcule o saldo na conta desse investidor imediatamente antes da efetivação do seu sexto depósito.

Dados: PMT = $2.000,00 i = 2%

Solução:


Digitar Visor

f CLEAR FIN

2.000 CHS PMT -2.000,00

6 n 6,00


31

2 i 2,00

FV 12.616,24

Saldo antes do sexto depósito = 12.616,24 – 2.000,00 = $10.616,24

2.4 Taxas

Nesta seção, veremos como fazer as conversões em juros simples e em juros compostos, bem como saber identificar as principais taxas utilizadas nos cálculos de matemática financeira.

2.4.1 Taxa Equivalente e Proporcional (Juros Simples)

DEFINIÇÕES

Taxa nominal - É aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é normalmente fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais etc. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes - Duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final da operação.

No regime de capitalização simples, a taxa equivalente é também chamada de taxa proporcional. TAXA EQUIVALENTE (Equações):

Equações de equivalência de taxas – Juros Simples

anualsemestraltrimestralmensaldiária i2i4i12i360i ====××××====××××====××××====××××

EXEMPLOS


32

Exemplo 1: Qual é a taxa de juros simples mensal equivalente a uma taxa de juros simples de 25% ao bimestre?

Solução:

%5,12i

2

25i

252i

i2i

mensal

mensal

mensal

bimestralmensal

=

=

=×

=×

Resposta: Em juros simples, 12,5% ao mês é equivalente a 25% ao bimestre. Podemos observar que, quando se trata do regime de Juros Simples, as taxas bimestrais e mensais são proporcionais. Isto significa dizer que: podemos calcular as taxas equivalentes pela simples aplicação de uma regra de três.

Exemplo 2: Converta uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês em uma taxa anual que produza os mesmos resultados para o investidor. Solução:

%18

125,1

12

=×=

×=

anual

anual

mensalanual

i

i

ii

Resposta: Em juros simples, 1,5% ao mês é equivalente a 18% ao ano. Conservam também uma relação de proporcionalidade.

OBSERVAÇÃO:


33

Devido à relação linear conservada no regime de juros simples, podemos concluir que as taxas equivalentes são também proporcionais.

2.4.2 Taxa Equivalente, Efetiva e Nominal (Juros Compostos)

DEFINIÇÕES

Taxa efetiva - É aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Ex.: 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente. 10% ao ano, capitalizados anualmente.

Taxa nominal - É aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é, normalmente, fornecida em termos anuais, enquanto os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais etc.

Ex.: 36% ao ano, capitalizados semestralmente. 10% ao ano, capitalizados trimestralmente.

A taxa nominal é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usado nos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois ela é a taxa que, como o próprio nome diz, será efetivamente aplicada sobre o capital.

Após a determinação da taxa efetiva embutida na taxa nominal, esta última deve ser abandonada. A partir de então, todos os cálculos devem ser realizados com a taxa efetiva. Por exemplo:

Taxa nominal: 12% ao ano, capitalização mensal.

Taxa efetiva mensal: 1% a. m..


34

A taxa nominal, no caso dos juros compostos, será sempre menor que a respectiva taxa efetiva para o mesmo período. A proporcionalidade entre as taxas nominal e equivalente só existe no regime de juros simples.

No regime de capitalização composta não podemos trabalhar com valores proporcionais, como fizemos em juros simples. Nesse caso existe um procedimento específico para a determinação da taxa equivalente, conforme veremos a seguir. Taxas Equivalentes - são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante ou valor futuro.

Exemplo:

Taxa i1 = X1 a. m. Taxa i2 = X2 a. a. n1 = n2 = 2 anos

i1 aplicada sobre VP durante 2 anos leva a VF1.

i2 aplicada sobre VP durante 2 anos leva a VF2.

Se VF1 = VF2, então i1 e i2 são equivalentes. TAXA EQUIVALENTE (Equações):

Equação de equivalência de taxas de juros compostos:

)i1()i1( a12

m ++++====++++

Onde,

im é a taxa de juros mensal (a. m.);

ia é a taxa de juros anual (a. a.).

Considerando outros períodos teremos:

Equação de equivalência das taxas – Juros Compostos:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))anual2

semestral4

trimestral12

mensal360

diária i1i1i1i1i1 ++++====++++====++++====++++====++++

SITUAÇÕES PRÁTICAS

Como podemos perceber, fica difícil utilizar, na prática, a equação de equivalência acima, pois íamos desperdiçar um tempo razoável, para encontrarmos o resultado. Para que essa tarefa fique altamente facilitada poderemos utilizar os recursos de uma calculadora financeira, conforme a seguir: Calculando taxas equivalentes com a HP-12C:


35

De MÊS para ANO:

Temos uma taxa de juros compostos de 1% a. m., e queremos determinar a sua taxa equivalente anual.

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

12 n 12,00

1 i 1,00

FV -112,68

VF = $112,6825

Uma aplicação de $100,00 que ao final de um ano tem o saldo igual a $112,68, rendeu, neste período, $12,68, que equivale a 12,68% da aplicação inicial.

Sendo assim, a taxa de juros compostos de 1% a. m. equivale a uma taxa anual de 12,68%.

Sem pensar muito, podemos realizar os seguintes procedimentos na HP-12C:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

12 n 12,00

1 i 1,00

FV -112,68

100 + -12,68


36

Como podemos perceber, nada mudou, a menos da última linha onde somamos o valor 100. Através deste procedimento, temos agora representada no visor da nossa máquina, o valor da taxa de juros anual na forma percentual, ou seja, 12,68% com um sinal menos ”“ que deve ser ignorado. De ANO para MÊS: Temos uma taxa de juros compostos de 12% a. a., e queremos determinar a sua taxa equivalente mensal.

Digitar Visor

f CLEAR FIN

112 FV 112,0000

100 CHS PV -100,0000

12 n 12,0000

i 0,9489

i = 0,9489% a. m.

Uma aplicação de $100,00 (PV) que rende 12% ao ano tem um saldo igual a $112,00 (FV) ao final de um período de 1 ano que, por sua vez, tem 12 meses (n). Assim, a taxa equivalente mensal para esta aplicação é de 0,9489% a. m..

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Você aplicou $100,00 a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês e deixou sua aplicação render por 2 meses. Quanto você terá ao final desse prazo?

Dados: VP = $100,00 n = 2 meses i = 20% a. m.

Solução:

Utilizando a fórmula:


37

00,144$VF44,1100VF

)2,1(100)20,01(100VF

)i1(VPVF22

n

=⇒×=×=+×=

+×=


Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

2 n 2,00

20 i 20,00

FV -144,00 VF = $144,00

Resposta: Ao final do prazo de 2 meses você terá $144,00. Trocando em miúdos, em um bimestre você terá um rendimento de $44,00, ou seja, 44% do valor aplicado. Podemos imaginar que você aplicou duas vezes, uma no primeiro e outra no segundo mês, e obteve uma taxa de retorno de 44%, que é bem diferente da soma aritmética (20% + 20%).

Exemplo 2:

Se você agora aplicasse os $100,00 do exemplo anterior a uma taxa de 44% ao bimestre (a. b.) durante os mesmos dois meses, ou seja, durante um bimestre, qual seria o montante ao final da operação?

Dados: VP = $100,00 n = 2 meses i = 44% a. b.

Solução:

Transformando a unidade de “n”:

bimestre1meses2n ==


38

Empregando a equação básica dos juros compostos:

00,144$VF

44,1100)44,01(100VF

)i1(VPVF

1

n

=

×=+×=

+×=

Repare que, como estamos lidando com um único período de capitalização (1 bimestre), poderíamos fazer os cálculos lançando mão da expressão do Valor Futuro do regime de capitalização simples: VF = VP + VP x i x n Resposta: O Valor Futuro da operação é de $144,00. Comentários: Como você pode notar, o resultado obtido neste exemplo é igual àquele obtido no exemplo anterior. Sendo assim, como os valores presentes e os prazos das operações são iguais, você pode dizer, com toda a convicção, que as taxas de juros compostos de 20% a. m. e 44%a. b. são equivalentes.

Exemplo 3:

Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 24% a.a. na capitalização composta? Solução:

Utilizando a equação de equivalência:

( ) ( )

( ) ( )

( ).m.a%81,1i

0181,010181,1124,01i

i1i1

i1i1

mensal

12

1

mensal

12

1

anualmensal

anual12

mensal

=

=−=−+=

+=+

+=+


Digitar Visor

f CLEAR FIN


39

100 PV 100,00

12 n 12,00

124 CHS FV -124,00

i 1,80876

i = 1,809% a. m. Resposta: A taxa mensal equivalente é 1,81% a. m..

Exemplo 4:

Quais as taxas anual, semestral, trimestral e diária equivalentes à taxa de 3% a.m., a juros compostos? Solução:

Utilizando as equações de equivalência:

Cálculo da taxa anual equivalente:

( ) ( )( ) ( ) ( )

.a.a%58,42i

4258,014258,1i

03,103,01i1

i1i1

anual

anual

1212anual

12mensalanual

==−=

=+=+

+=+

Cálculo da taxa semestral equivalente:

( ) ( )( ) ( ) ( )

.s.a%41,19i

1941,011941,1i

03,103,01i1

i1i1

semestral

semestral

66semestral

6mensalsemestral

==−=

=+=+

+=+

Cálculo da taxa trimestral equivalente:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.t.a%27,9i

0927,010927,1i

03,103,01i1

i1i1

trimestral

trimestral

33trimestral

3mensaltrimestral

=

=−=

=+=+

+=+

Cálculo da taxa diária equivalente:


40

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ).d.a%099,0i

103,011i1i

i1i1

i1i1

i1i1

diária

30

1

30

1

mensaldiária

mensal30

diária

12

12

mensal12

360

diária

12mensal

360diária

=

−+=−+=

+=+

+=+

+=+

Cálculo da taxa anual equivalente:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

12 n 12,00

3 i 3,00

FV -142,58

100 + -42,58

i = 42,58% a. a.. Cálculo da taxa semestral equivalente:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

6 n 6,00

3 i 3,00

FV -119,41

100 + -19,41

i = 19,41% a. s.. Cálculo da taxa trimestral equivalente:

Digitar Visor


41

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

3 n 3,00

3 i 3,00

FV -109,27

100 + -9,27

i = 9,27% a.t.. Cálculo da taxa diária equivalente:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

30 n 30,00

103 CHS FV -103,00

i 0,0986

i = 0,0986% a. d..

Resposta: A taxa anual equivalente é 42,58% ao ano.

A taxa semestral equivalente é 19,41% ao semestre.

A taxa trimestral equivalente é 9,27% ao trimestre.

A taxa diária equivalente é 0,0986% ao dia.

Observações:

Note que, quando estamos tratando da transformação de uma taxa para a sua taxa equivalente num período menor que o original, como no último caso deste exemplo – taxa diária equivalente à taxa mensal-, o procedimento na calculadora é um pouco diferente. Como já sabemos o valor ao final do período maior (mensal), entramos com esse valor futuro, atribuímos a “n” o número de vezes que o período menor cabe dentro do maior (1 mês tem 30 dias, logo n = 30) e calculamos a taxa, que será dada com a unidade de referência do menor período.



42

Nas operações de mercado, nas quais normalmente se emprega o regime de capitalização composta, muitas vezes nos deparamos com situações nas quais a unidade da taxa de juros é diferente do período de capitalização da operação. Em eventos como estes, devemos alterar a unidade da taxa, compatibilizando-a com aquela atribuída ao período de capitalização. Para atingir este objetivo, devemos utilizar, necessariamente, a equação de equivalência de taxas de juros compostos. CONCLUSÃO

Nesta seção, aprendemos a transformar taxas de juros compostos mensais em taxas de juros compostos anuais e vice-versa, de forma a podermos adequar a unidade de tempo das mesmas àquelas adotadas para os prazos das operações.

2.4.3 Taxa de Inflação

A Taxa de Inflação é determinada por intermédio dos chamados Índices de Preços. Existem vários índices que buscam mensurar a inflação ocorrida em um dado período (INPC, IPC, IGP...). Cada um desses índices é a média ponderada das variações de preços de um conjunto específico de produtos, onde os pesos são dados pelas respectivas quantidades.

A escolha do índice que será utilizado para atualização de um certo valor deve levar em consideração a sua representatividade em relação ao propósito da atualização. DETERMINANDO A TAXA DE INFLAÇÃO DE UM PERÍODO:

De posse dos valores de um determinado Índice de Preços para vários períodos, podemos determinar a taxa de inflação ocorrida nesses últimos.

MÊS Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro

IGP 567,86 675,92 786,93 827,54 956,34 1.087,32 1.198,43

Como os índices dessa natureza registram a evolução dos preços gerais da economia, basta relacionarmos os seus valores limites do


43

período que pretendemos examinar para sabermos a inflação ocorrida no mesmo. Inflação do 3° bimestre = 827,54 / 675,92 – 1 = 1,2243 – 1 = 22,43% A inflação do período é refletida pela variação do índice entre o seu início (fim do período anterior) e final.

A variação positiva (aumento) dos preços no 3° bimestre foi de 22,43%. Seguindo o mesmo raciocínio, a inflação do 2° trimestre é dada por: Inflação do 2° trimestre = 827,54 / 567,86 – 1 = 1,4573 – 1 = 45,73% A inflação referente ao segundo trimestre foi de 45,73%. EQUAÇÃO

Os valores da inflação em dados períodos podem ser obtidos com a utilização de qualquer um dos vários índices disponíveis no mercado através da seguinte equação:

1IPIP

Itn

n −−−−====−−−−

Onde,

I – Taxa de Inflação do período considerado; IPn – Índice de Preços no último subperíodo do período avaliado; IPn – t – Índice de Preços no subperíodo imediatamente anterior ao considerado.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

Dada a relação abaixo de valores do IGP e INPC, determine: a taxa de inflação indicada pelos dois índices para os primeiros bimestre e semestre do referido ano.

Dez/X8 Fev/X9 Jun/X9


44

IGP 100,00 147,56 212,34

INPC 5,6789 8,5320 12,0991

Solução:

Cálculo da inflação no primeiro bimestre: IGP:

%56,47I14756,1I

100,100

56,1471

IP

IP1

IP

IPI

IGPIGP

8X/Dez

9X/Fev

tn

nIGP

=⇒−=

−=−=−=−

INPC:

%24,50I15024,1I

16789,5

5320,81

IP

IP1

IP

IPI

INPCINPC

8X/Dez

9X/Fev

tn

nINPC

=⇒−=

−=−=−=−

Cálculo da inflação no primeiro semestre: IGP:

%34,112I11234,2I

100,100

34,2121

IP

IP1

IP

IPI

IGPIGP

8X/Dez

9X/Fev

tn

nIGP

=⇒−=

−=−=−=−

INPC:

%05,113I11305,2I

16789,5

0991,121

IP

IP1

IP

IPI

INPCINPC

8X/Dez

9X/Fev

tn

nINPC

=⇒−=

−=−=−=−


45

Resposta: As taxas de inflação no primeiro bimestre, medidas pelo IGP e pelo INPC, foram 47,56% e 50,24%, respectivamente. Já as taxas para o primeiro semestre atingiram os seguintes valores: 112,34% (IGP) e 113,05% (INPC). Comentários: A diferença existente entre os valores da taxa de inflação revelada pelo uso de dois índices diferentes encontra justificativa na forma de geração desses últimos, pois cada um deles contempla referências distintas na sua composição. Exemplo 2:

Considerando as taxas de inflação determinadas no exemplo anterior, faça a atualização para o final do primeiro semestre de X9 do valor de um imóvel adquirido no início do mesmo ano por $70.000,00. Solução:

IGP:

00,638.148$CorrigidoValor

00,100

34,212000.70

IP

IPOriginalValorCorrigidoValor

tn

n

=

×=×=−

INPC:

51,137.149$CorrigidoValor

6789,5

0991,12000.70

IP

IPOriginalValorCorrigidoValor

tn

n

=

×=×=−

Resposta: Os valores do imóvel, adquirido no início do ano X9 por $70.000,00, atualizados ao final do primeiro semestre do mesmo ano pelos IGP e INPC são, respectivamente, $148.638,00 e $149.137,51.

Análise da Resposta: Só ocorrerá lucro real na venda desse imóvel se está for efetuada por valores superiores aos determinados acima.

Exemplo 3:

Caso o imóvel do problema anterior seja negociado ao final do primeiro bimestre de X9 por $110.000,00, qual será o lucro real da operação, considerando o IGP e o INPC?


46

Solução:

IGP:

00,708.6$alReLucro

00,292.10300,000.110

)CorrigidoValor()VendaValor(alReLucro

00,000.110$VendaValor

00,292.103$00,100

56,147000.70CorrigidoValor

=−=

−==

=×=

INPC:

75,831.4$alReLucro

25,168.10500,000.110

)CorrigidoValor()VendaValor(alReLucro

00,000.110$VendaValor

25,168.105$6789,5

5320,8000.70CorrigidoValor

=−=

−==

=×=

Resposta: O lucro real com a operação de venda do referido imóvel é de $6.708,00 pelo IGP, e $4.831,75 pelo INPC.

Comentários: Como podemos perceber, a utilização de um ou outro índice pode ter uma influência relevante no resultado da operação que estamos executando. Imagine, neste caso, que tivéssemos que recolher um imposto sobre o ganho real da operação, supondo ser de 20% a sua alíquota. No caso do lucro real pelo IGP, teríamos que recolher $1.341,60; já pelo INPC, o recolhimento seria de $966,35, uma diferença de $375,25 (aproximadamente 0,35% do valor de venda).

OBSERVAÇÕES: A Taxa de Inflação tem um comportamento semelhante ao regime de capitalização composta, ou seja, sua determinação é feita, em alguns casos, com a utilização de procedimentos exponenciais. Mais especificamente, quando desejamos calcular a taxa de inflação em um certo período, uma vez que dispomos das taxas dos subperíodos que compõem este último, basta procedermos a multiplicação das


47

várias taxas dos subperíodos acrescidas da unidade (Taxa + 1) e ao final subtrair a unidade para determina-la. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4: Seja 1,5%, 2,4% e 1,7% as taxas de inflação nos três últimos meses de um determinado ano. Qual a taxa de inflação do último trimestre do referido ano? Solução:

.t.a%70,5TrimestreInflação

10570,11)017,1()024,1()015,1(TrimestreInflação

1)3Inflação1()2Inflação1()1Inflação1(TrimestreInflação

=−=−××=

−+×+×+=

Cálculo da taxa mensal equivalente à taxa trimestral:

.m.a%87,1i

101865,11)057,01(i

)i1()i1(

mensal

3

1

mensal

trimestral3

mensal

=−=−+=

+=+

Resposta: A inflação ocorrida no trimestre é de 5,70%. Em média, a inflação mensal neste período foi de 1,87%.

Exemplo 5:

Em um determinado quadrimestre, as taxas de inflação foram as seguintes: 5,4%, 3,8%, 1,6% e –1,1%(deflação). Calcule a inflação acumulada no quadrimestre. Solução:

.q.a%93,9adrimestreInflaçãoQu

10993,11)989,0()016,1()038,1()054,1(adrimestreInflaçãoQu

1)4taxa1()3taxa1()2taxa1()1taxa1(adrimestreInflaçãoQu

=−=−×××=

−+×+×+×+=

Cálculo da taxa mensal equivalente à taxa quadrimestral:


48

.m.a%40,2i

1024,11)0993,01(i

)i1()i1(

mensal

4

1

mensal

ralquadrimest4

mensal

=−=−+=

+=+

2.4.4 Desvalorização Monetária Associada à Inflação

Uma vez determinada à taxa de inflação de um dado período, é possível determinarmos a conseqüente diminuição do poder aquisitivo da moeda. Para ilustrar, imagine a seguinte situação: em um certo período foi constatada uma inflação de 100%, ou seja, em média os preços dos produtos duplicaram. Isto nos leva a concluir que o capital que era necessário e suficiente para adquirir um determinado produto antes da ocorrência desse processo inflacionário, em termos atuais, só é capaz de adquirir a metade desse produto. Por exemplo, se uma dúzia de bananas custava $4,00, após o período inflacionário passou a custar $8,00, o que demonstra que agora os quatro reais que compravam uma dúzia de bananas só compram meia dúzia, de forma que podemos concluir que houve uma queda de 50% no poder de compra da moeda.

Partindo desse raciocínio, podemos obter a seguinte equação para determinação da desvalorização monetária em função da taxa de inflação para um dado período:

I1I

DM++++

====

Onde,

DM = Desvalorização Monetária; I = Taxa de Inflação do período.

EXEMPLOS:

Exemplo 1: Qual a desvalorização ocorrida na moeda de uma economia que apresentou, em um certo período, uma inflação de 23%?


49

Solução:

períodono%7,18DM

23,1

23,0

23,01

23,0

I1

IDM

=

=+

=+

=

Resposta: A perda do poder de compra da moeda no período citado foi da ordem de 18,7%. Comentários: Repare que o valor da DM será sempre inferior àquele manifestado pela inflação. Esta é uma boa referência para uma conferência rápida da exatidão dos cálculos desenvolvidos.

Exemplo 2: Em um certo trimestre, as taxas mensais da inflação apresentaram os seguintes valores:5,6%, 6,9% e 8,2%. De posse desses valores, determine a perda do poder aquisitivo da moeda utilizada na economia em questão. Solução:

Cálculo da inflação do trimestre:

.t.a%14,22TrimestreInflação

12214,11)082,1()069,1()056,1(TrimestreInflação

1)3Inflação1()2Inflação1()1Inflação1(TrimestreInflação

=−=−××=

−+×+×+=

Cálculo da DM:

trimestrenoDM

I

IDM

%13,18

2214,1

2214,0

2214,01

2214,0

1

=

=+

=+

=

2.4.5 Taxa de Juros Nominais e Reais

Nesta seção, faremos uma abordagem do cálculo da rentabilidade real de uma operação financeira. Contemplando alguns valores, como a Taxa de Juros Nominais e Taxa de Juros Reais, que serão definidas no próximo item, determinaremos a relação matemática entre essas


50

duas variáveis e a Taxa de Inflação ocorrida durante o prazo da operação analisada. DEFINIÇÕES

Taxa de Juros Nominais - é uma taxa de juros prefixada que, a princípio, engloba a rentabilidade da operação, bem como a previsão de inflação para o prazo da operação. Portanto, toda vez que nos depararmos com o rendimento nominal de um investimento, devemos ter consciência de que aquele valor foi determinado levando-se em consideração a inflação do período. Todo cuidado é pouco, a fim de não confundirmos a Taxa de Juros Nominais com a Taxa Nominal abordada em tópicos anteriores. Taxa de Juros Reais - é aquela taxa que representa o resultado líquido da operação após a correção de valores em função da inflação. EQUAÇÃO

A equação matemática que relaciona a Taxa de Juros Nominais, a Taxa de Juros Reais e a Taxa de Inflação é a seguinte:

1)I(ãoTaxaInflaç1)i(alminTaxaNo1

)r(alReTaxa −−−−++++++++====

Esta equação surge do raciocínio de que devemos corrigir o valor do capital investido e, após esta correção, aplicarmos uma taxa de juros reais (r) ao valor corrigido para atingirmos o montante resultante dos cálculos com a taxa de juros nominais.

EXEMPLOS

Exemplo1:

Calcule o rendimento real obtido em uma aplicação de $20.000,00 por 4 meses, a uma taxa de juros de 2% a.m.. Sabe-se que a inflação do período (quadrimestre) foi de 3%. Solução:

Cálculo da taxa de juros nominais no período:


51

.q.a%24,8i

10824,11)02,01(i

)i1()i1(

requadrimest

4requadrimest

4mêsrequadrimest

=

−=−+=

+=+

Cálculo da taxa de juros reais no período:

.q.a%09,5r10509,1r

103,01

0824,011

I1

i1r

=⇒−=

−+

+=−++=

Resposta: A rentabilidade real da operação é de 5,09% a.q..

Exemplo 2:

Sabendo que a taxa de inflação de um certo período será de 5%, determine a taxa de juros nominais que deverá ser adotada numa operação para garantir um retorno real de 12%. Solução:

.p.a%6,17i

1176,11)12,01()05,01(i

1)r1()I1()i(alminNoTaxa

.p.a%12)r(alRetornoRe

.p.a%5)I(InflaçãodeTaxa

=−=−+×+=−+×+=

==

Resposta: A rentabilidade (nominal) oferecida pela aplicação deverá ser de 17,6% a.p., no mínimo, pois qualquer valor superior a esse levará a um retorno real superior a 12% a.p..


Uma vez que não conseguimos nos desvencilhar da figura da inflação, devemos aprender a tomar nossas decisões levando-a em consideração. Sendo assim, as definições e procedimentos matemáticos estudados neste capítulo devem ser vistos como ferramentas fundamentais para o nosso processo decisório.


52

2.5 Valor Presente de um Fluxo de Caixa

Nesta seção, estudaremos a metodologia empregada na determinação do valor presente de um fluxo de caixa. Os cálculos serão então estendidos a situações que envolvem o valor presente de vários fluxos de caixa, bem como o valor presente de ativos.

DEFINIÇÕES

Para investidores, o Fluxo de Caixa proveniente de uma operação financeira é o resultado líquido da mesma, após o pagamento de despesas operacionais, taxas e impostos. Ativo - é o nome genérico dado a qualquer bem ou direito, seja ele projeto, empresa, companhia, firma, empreendimento, aplicação, negócio etc. que tenha um determinado custo e que proporcione ao(s) seu(s) proprietário(s) ou investidor(es) um resultado futuro em forma de fluxos de caixa.

Ex.:

Ativo: Aplicação financeira Fluxo de Caixa: Rendimentos (juros)

Ativo: Imóvel Fluxo de Caixa: Aluguel

Ativo: Ações Fluxo de Caixa: Dividendos

Valor Presente de um Único Fluxo de Caixa - é determinado transportando o valor do fluxo (valor futuro) para uma data na qual se deseja calcular o valor presente, a dita data de referência ou data focal. Note que o valor presente pode ser calculado em relação a qualquer data anterior ao fluxo de caixa, não existindo a obrigatoriedade da data de referência ser a data zero. EQUAÇÃO

Nos cálculos do valor presente de um fluxo de caixa, adotaremos a equação para o Valor Presente dos Juros Compostos:

(((( ))))nn

ni1

VFVP

++++====

Onde:


53

VFn é o valor do fluxo de caixa; n é o prazo até o efetivo pagamento desse fluxo de caixa; VPn é valor do Fluxo de Caixa VFn a ser pago na data de referência.

Valor Presente de um Conjunto de Fluxos de Caixa - os procedimentos para o cálculo do valor presente de um conjunto de fluxos da caixa são idênticos àqueles realizados para um único fluxo de caixa. Podemos interpretar esse conjunto de fluxos como a reunião de vários fluxos unitários, proceder a determinação para cada um desses e, por fim, efetuar a soma dos valores presentes obtidos, chegando então, ao valor presente do conjunto.

Matematicamente, teremos:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))nn

22

11

n21

i1

VF

i1

VF

i1

VFVP

VPVPVPVP

++++++++++++

++++++++

++++====

++++++++++++====

LL

LL

Onde:

VF1 - valor do fluxo de caixa a ser pago no final do período 1;

VF2 - valor do fluxo de caixa a ser pago no final do período 2;

VFn - valor do fluxo de caixa a ser pago no final de n períodos;

(((( ))))11

1i1

VFVP

++++==== - valor presente do fluxo a ser pago em n = 1;

(((( ))))22

2i1

VFVP

++++==== - valor presente do fluxo a ser pago em n = 2;

(((( ))))nn

ni1

VFVP

++++==== - valor presente do fluxo a ser pago em n períodos.

Valor Presente de um Ativo - o valor presente de um ativo é definido como a soma dos valores presentes de todos os fluxos de caixa que este ativo pagará aos seus investidores (proprietários) ao longo de sua vida útil econômica.

Uma vez que um ativo gera um determinado número de fluxos de caixa durante a sua vida útil, os cálculos para a determinação do valor presente deste ativo são semelhantes àqueles vistos no item


54

anterior, valor presente para um conjunto de fluxos de caixa, ou seja, a equação usada é a mesma.

(((( )))) (((( )))) (((( ))))nn

22

11

n21

i1

VF

i1

VF

i1

VFAtivodoVP

VPVPVPAtivodoVP

++++++++++++

++++++++

++++====

++++++++++++====

LL

LL

Representação de um ativo - representamos qualquer ativo pela sequência de fluxos de caixa que proporciona, ao longo do tempo, ao seu investidor: Representação de um ativo:

Período 1 2 3 4

Fluxo ($) 1.000 1.200 1.300 1.300

Valor de um Ativo - o valor presente de um ativo é definido como sendo o somatório do valor presente de cada fluxo de caixa futuro projetado e descontado a valor presente pela taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa. EXEMPLOS

Exemplo 1:

Cálculo do valor presente de um único fluxo de caixa Estão sendo oferecidos, por uma distribuidora de títulos e valores, títulos com valor de face ou nominal de $1.000,00. A taxa oferecida aos investidores interessados é de 3% ao mês. Suponha que você tenha interesse em adquirir tais títulos. Sabendo que a data de vencimento dos mesmos é daqui a trinta dias, qual deverá ser o seu investimento hoje, por título adquirido?

Dados: VF = $1.000,00 i = 3% a. m. n = 1 mês

Solução:


55

( )

( )87,970$VP

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

1

n

=

=+

=

+=

Resposta:

O valor presente deste título que paga um fluxo de caixa no valor de $1.000,00 em 30 dias, dada a taxa de desconto de 3% ao mês, é $970,87. Comentários: O valor determinado é o do custo unitário do título. Para se determinar o valor presente de uma carteira contendo um número qualquer de títulos iguais a esse, basta multiplicar a quantidade de títulos pelo seu valor presente unitário.

Exemplo 2:

Cálculo do valor presente de um único fluxo de caixa Admita que a mesma distribuidora do exemplo anterior ofereça um título com o mesmo valor do anterior, porém, com vencimento para daqui a 60 dias. Qual deve ser o valor a pagar pelo título hoje?

Dados: VF = $1.000,00 i = 3% a. m. n = 2 meses

Solução:

( )

( ) ( )60,942$VP

0609,1

000.1

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

22

n

=

==+

=

+=

Resposta:

O valor presente deste título que paga um fluxo de caixa no valor de $1.000,00 em 2 meses, dada a taxa de desconto de 3% ao mês, é $942,60.


56

Comentários:

O valor determinado é do custo unitário do título. Para se determinar o valor presente de uma carteira contendo um número qualquer de títulos iguais a esse, basta multiplicar a quantidade de títulos pelo seu valor presente unitário.

Exemplo 3:

Cálculo do valor presente de um conjunto de fluxos de caixa:

Uma distribuidora de títulos e valores está oferecendo uma taxa de 3% a.m. nos papéis de sua carteira com vencimentos em 30, 60, 90 e 120 dias. Só existe um valor de resgate que é de $1.000,00 para qualquer um dos papéis. Considere que um investidor deseja comprar 4 títulos, cada um com uma data de vencimento diferente. Deste modo, o investidor receberá um rendimento mensal (fluxo de caixa) de $1.000,00 em cada um dos próximos quatro meses. Quanto custará ao investidor a compra desses 4 títulos hoje?

Dados: VF1 = $1.000,00 i = 3% a. m. n1 = 1 mês

VF2 = $1.000,00 n2 = 2 meses

VF3 = $1.000,00 n3 = 3 meses

VF4 = $1.000,00 n4 = 4 meses

Solução:

Utilizando a equação:

VP do papel com vencimento em 1 mês:

VP1 = $970,87 (Exemplo 1)

VP do papel com vencimento em 2 meses:

VP2 = $942,60 (Exemplo 2) VP do papel com vencimento em 3 meses:


57

( )

( ) ( )14,915$VP

0927,1

000.1

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

3

333

n3

3

=

==+

=

+=

VP do papel com vencimento em 4 meses:

( )

( ) ( )49,888$VP

1255,1

000.1

03,1

000.1

03,01

000.1VP

i1

VFVP

4

444

n4

4

=

==+

=

+=

VP da carteira:

10,717.3$VP

49,88814,91560,94287,970VP

VPVPVPVPVP 4321

=

+++=

+++=

Utilizando a calculadora:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

1000 PMT 1.000,00

4 n 4,00

3 i 3,00

PV -3.717,10

VP = $3.717,10 O valor futuro dos títulos foi lançado como PMT porque tudo se passa como se tivéssemos uma série de recebimentos uniformes durante quatro meses.


58

Resposta: O investimento necessário para adquirir uma carteira contendo os quatro títulos é de $3.717,10. Comentários: O investidor pagará hoje uma quantia de $3.717,10 em troca de um quatro fluxos mensais positivos de $1.000,00, ocorrendo o primeiro num prazo de 30 dias a contar da data da aplicação.

Exemplo 4:

Cálculo do valor presente de um ativo:

No exemplo anterior, a carteira composta pelos quatro títulos pode ser classificada como um ativo. Ou seja, é uma aplicação que terá, futuramente, um certo rendimento. O fluxo de caixa gerado por essa aplicação será, na verdade, um conjunto de fluxos representado pelos recebimentos mensais. Assim sendo, o valor presente desse ativo (carteira de investimentos) é aquele calculado como valor presente de um conjunto de fluxos de caixa, $3.717,10. Dito isto, imagine a seguinte situação: uma distribuidora de títulos e valores está oferecendo uma taxa de 3,5% a.m. nos papéis de sua carteira com vencimentos em 60 e 120 dias (2 e 4 meses); valor de resgate de $1.200,00 para qualquer um dos papéis. Você deseja comprar 4 títulos, cada par com uma data de vencimento diferente, deste modo você receberá um rendimento mensal (fluxo de caixa) de $2.400,00 em cada um dos próximos dois bimestres. Qual é o valor hoje destes 4 títulos? Em outras palavras, qual é o valor desta sua carteira de investimentos?

Dados: 2 x VF2 = $1.200,00 i = 3,5% a. m. n2 = 2 meses

2 x VF4 = $1.200,00 n4 = 4 meses Representação do ativo:

Período 1 2 3 4

Fluxo ($) 0 2.400 0 2.400

Solução:

Utilizando a equação do valor presente:

VP dos papéis com vencimento em 2 meses:


59

( )

( ) ( )48,240.2$VP

0712,1

400.2

035,1

400.2

035,01

200.12VP

i1

VF2VP

2

222

n2

2

=

==+×=

+×=

Neste problema, multiplicamos o VF por dois para fazer jus às duas entradas, cada uma de $1.200,00, que ocorrem em n = 2 meses. Procederemos da mesma forma para n = 4 meses. VP dos papéis com vencimento em 4 meses:

( )

( ) ( )46,091.2$VP

1475,1

400.2

035,1

400.2

035,01

200.12VP

i1

VF2VP

2

444

n4

4

=

==+×=

+×=

Cálculo do VP do ativo:

94,331.4$ativodoVP

46,091.248,240.2ativodoVP

VPVPativodoVP 42

=

+=

+=


Digitar Visor

f CLEAR FIN

2400 FV 2.400,00

2 n 2,00

3,5 i 3,50


60

PV -2.240,48

2400 FV 2.400,00

4 n 4,00

PV -2.091,46

+ -4.331,89

VP do ativo = $4.331,89 Repare que, por questões de arredondamentos realizados durante os cálculos, houve uma diferença de $0,05 entre as respostas obtidas com o emprego da equação e com a utilização da HP, diferença esta que podemos considerar irrelevante frente ao valor com o qual estamos trabalhando. Na prática, você não deixará de fazer um bom negócio por causa de uma diferença como esta. Resposta: O valor do ativo “carteira de investimentos” hoje é de $4.331,89.

APLICAÇÃO PRÁTICA

No momento de negociarmos um ativo, seja ele um bem ou um direito, devemos ter condições de avaliá-lo, ou seja, de atribuir a ele um valor que seja representativo do fluxo de caixa potencial que nele está embutido. Para atingirmos esse objetivo, lançamos mão desta metodologia do cálculo do valor presente.

CONCLUSÃO

Em vários momentos da nossa vida profissional, nos deparamos com situações nas quais é fundamental determos o conhecimento necessário para avaliar valores que se manifestarão em momentos futuros. Jamais devemos esquecer do princípio fundamental do valor do dinheiro no tempo.

2.6 Equivalência de Fluxos de Caixas

2.6.1 Planos Equivalentes de Pagamentos


61

Quando você pega um empréstimo, pode pagá-lo de várias maneiras. Porém, existem algumas formas de pagamento que são mais praticadas pelo mercado. Nesta seção estaremos preocupados com as formas de pagamento de um empréstimo, enfocados exatamente nas práticas mais comuns do mercado. DEFINIÇÕES

Equivalência de Fluxos de Caixa – Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma certa taxa de juros se os seus valores presentes, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. Esse estudo de equivalência de fluxos de caixa se faz no regime de juros compostos.

Convém ressaltar que, não necessariamente, a análise de equivalência precisa se referenciar ao valor presente (data 0). A igualdade dos valores futuros em um período “n” qualquer, nos conduz da mesma forma à verificação da equivalência entre eles.

É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. Amortização é o pagamento, de uma parte ou do todo, do valor original (sem os juros) de um empréstimo. Sistema de Amortização é a maneira pela qual, na hipótese de um empréstimo, por exemplo, o Principal, ou seja, o valor do empréstimo vai sendo pago no decorrer do tempo. EQUAÇÕES A equação básica de um fluxo de caixa em um dado período ou pagamento, no caso dos empréstimos, pode ser representada como se segue: Prestação = (Juros sobre saldo devedor) + (Amortização do Principal)

EXEMPLOS

Exemplo 1:


62

Suponha que você tenha pego $3.000,00 emprestado para pagar com uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Foram oferecidas a você três formas de pagamento, a saber:

Recebimento ($) Pagamentos ($)

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Opção A 3.000,00 -3.300,00

Opção B 3.000,00 -3.630,00

Opção C 3.000,00 -3.993,00

Pela tabela acima, podemos visualizar o recebimento do empréstimo no tempo zero e os pagamentos pela forma A, B ou C, no final do ano 1, 2 ou 3, respectivamente. Pagamento pela Opção A:

Pela opção A, você estaria quitando o empréstimo de $3.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano ao fim do primeiro período (ano), pois $3.300,00 em t = 1 é equivalente a $3.000,00 em t = 0, considerando uma taxa de 10% a. a.. Vejamos:

empréstimodototalValor000.3oAmortizaçã

300300.3oAmortizaçã300oAmortizaçã300.3

JurosoAmortizaçãestaçãoPr

300000.3%10períododoJuros

300.3estaçãoPr

==−=⇒+=

+==×=

=

Pagamento pela Opção B:

Pela opção B, você estaria quitando o empréstimo de $3.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano ao fim do segundo período (ano), pois $3.630,00 em t = 2 é equivalente a $3.000,00 em t = 0, considerando uma taxa de 10% a. a.. Vejamos:


63




630330300300.3%10000.3%10períododoJuros

630.3estaçãoPr

==−=⇒+=

+==+=×+×=

=

Pagamento pela Opção C:

Pela opção C, você estaria quitando o empréstimo de $3.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano ao fim do terceiro período (ano), pois $3.993,00 em t = 3 é equivalente a $3.000,00 em t = 0, considerando uma taxa de 10% a. a.. Vejamos:




993363330300

630.3%10300.3%10000.3%10períododoJuros

993.3estaçãoPr

==−=⇒+=

+==++=

=×+×+×==

Conclusão:

Os planos de pagamento A, B e C são equivalentes a uma taxa de juros de 10% a. a., pois apresentam o mesmo valor presente de $3.000,00 à mesma taxa.

Exemplo 2:

Um Banco realizou um empréstimo de $100,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano, por um prazo de 3 anos. Os sistemas de amortização abaixo têm o mesmo valor presente (neste exemplo, $100,00), ou seja, são equivalentes, e servem para quitar o empréstimo do Banco. Sistemas de amortização praticados pelo Banco:

PLANO A

Sistema de pagamento de Juros e Principal no final


64

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação ($) 0,00 0,00 133,10

PLANO B

Sistema de pagamento de Juros periodicamente e principal no final

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação ($) 10,00 10,00 110,00

PLANO C

Sistema de pagamento de prestações iguais e periódicas

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação ($) 40,21 40,21 40,21

Detalhamento dos Sistemas de Amortização A, B, e C:

PLANO A: pagamento no final

O financiamento é pago, de uma única vez, no final do prazo da operação. Os juros são capitalizados ao final de cada período. Na prática, esta modalidade de pagamento é utilizada em:

a) Papéis de renda fixa (Letras de Câmbio ou Certificados de Depósito com renda final);

b) Títulos descontados em bancos comerciais.

Memória de cálculo do Plano A:

10,133)10,01(121)i1(121VF:3temdevedorSaldo

.3tparalevadoédevedorsaldoeste,pagamentohouvenãoComo

121)10,01(110)i1(110VF:2temdevedorSaldo

.2tparalevadoédevedorsaldoeste,pagamentohouvenãoComo

110)10,01(100)i1(VPVF:1temdevedorSaldo

00,100$inicialdevedorSaldo

113

112

111

=+×=+×===

=+×=+×===

=+×=+×===

Desmembrando as prestações em Juros e Amortização do principal:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3


65

Juros ($) - 0,00 0,00 33,10

Amortização ($) - 0,00 0,00 100,00

Prestação ($) - 0,00 0,00 133,10

Valor Presente das Prestações: 100,00

Observe que a soma das amortizações é igual ao valor presente do empréstimo:

10010000AAA 321 =++=++

Calculo do saldo devedor a cada período após o pagamento das prestações:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) 100,00 110,00 121,00 0,00

PLANO B: pagamento periódico de juros

Ao final de cada período é realizado o pagamento, única e exclusivamente, dos juros referentes ao mesmo. A amortização total do saldo devedor inicial (principal da operação) ocorre em uma única parcela que estará embutida na última prestação. Sendo assim, todas as prestações revelam em seu valor somente os juros do período ao qual se referem, com exceção da última, que, além dos juros referentes ao último período, englobam também a amortização integral do principal.

No mercado, este tipo de sistema de amortização é conhecido como Sistema Americano de Amortização.

Este sistema é utilizado em papéis de renda fixa com renda paga periodicamente (Letras de Câmbio com renda mensal, Certificados de Depósito com renda mensal, trimestral,...)

Memória de cálculo do Plano B:


66

ntofinanciamedoFim0prestaçãoúltimaapósdevedorSaldo

)00,100($oAmortizaçã)00,10($Juros00,110$:prestaçãoÚltima


.3tparalevadoé)00,100($teremanescendevedorsaldoO

00,10estaçãoPr:2temjurosdosPagamento


.2tparalevadoé)00,100($teremanescendevedorsaldoO

00,10estaçãoPr:1temjurosdosPagamento

110)10,01(100)i1(VPVF:1temdevedorSaldo

00,100$inicialdevedorSaldo

113

112

111

⇒=+=

=+×=+×==

===

=+×=+×===

===+×=+×==

=


Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) - 10,00 10,00 10,00

Amortização ($) - 0,00 0,00 100,00

Prestação ($) - 10,00 10,00 110,00

Valor Presente das Prestações: 100,00

Observações em relação ao Plano B:

O saldo devedor remanescente após o pagamento da prestação do período é constante e igual ao valor original da operação (principal). Dessa maneira, os juros de cada período e, em conseqüência, os valores das prestações devidas, excetuando-se a última, são sempre iguais. PLANO C: pagamentos iguais:

As parcelas periódicas de pagamentos (prestações) compreendem os juros dos períodos mais a amortização de parte do principal. Esta composição é feita de tal sorte que as prestações não sofram variação no tempo.

Cálculo da amortização do principal: esse valor é obtido pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período. Observações em relação ao Plano C:


67

Em função da diminuição do principal remanescente, os juros embutidos em cada prestação vão diminuindo com o tempo. Em contra partida, como o valor da prestação é constante, a parcela de amortização de cada prestação aumenta ao longo do tempo. Sistema PRICE, pagamento de Prestações Iguais e periódicas:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação ($) - 40,21 40,21 40,21

Memória de cálculo

Calculo do valor prestação (utilizando a calculadora financeira):

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100 PV 100,00

3 n 3,00

10 i 10,00

PMT -40,21

A sigla PMT vem do inglês Payment, que significa pagamento.

Em operações como essa, o sinal negativo representa que você recebeu (+) $100,00 e deverá pagar (-) três prestações de $40,21. Cálculo do saldo devedor a cada período:


68

ntofinanciamedoFimteremanescendevedorSaldo

prestaçãoÚltima

iVFtemdevedorSaldo

tparalevadoéteremanescendevedorsaldoO

estaçãoprestaçãodaPagamento

iVFtemdevedorSaldo

tparalevadoéteremanescendevedorsaldoO

estaçãoprestaçãodaPagamento

iVPVFtemdevedorSaldo

inicialdevedorSaldo

a

a

⇒=−=

=+×=+×==

==−=

=+×=+×====−

=

=+×=+×===

021,4021,40:

21,40

21,40)10,01(56,36)1(56,36:3

.356,3621,4077,76:

21,40Pr:2

77,76)10,01(79,69)1(79,69:2

.279,6921,40100:

21,40Pr:1

110)10,01(100)1(:1

00,100$

113

112

111


Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação ($) - 40,21 40,21 40,21

Juros ($) - 10,00 6,98 3,66

Amortização ($) - 30,21 33,23 36,55

Valor Presente das Prestações: 100,00 Soma das amortizações:

99,9955,3623,3321,30AAA 321 =++=++

Calculo do saldo devedor a cada período após o pagamento das prestações:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) 100,00 69,79 36,56 0,01

As diferenças que você poderá encontrar, como o valor remanescente de $0,01 do exemplo anterior, são devidas aos arredondamentos. APLICAÇÃO PRÁTICA

Todas as operações de financiamento seguem algum sistema de amortização, que pode ser tanto um modelo clássico, como os estudados neste módulo, quanto um outro sistema qualquer.


69

Neste módulo, aprendemos a calcular o valor das prestações para, por exemplo, o financiamento da casa própria, onde o Sistema Price é um dos mais empregados.

2.6.2 Sistemas de Amortização de Financiamentos

Nesta seção, voltaremos a estudar como um mesmo empréstimo pode ser amortizado de diferentes formas equivalentes. Mais especificamente, estudaremos os sistemas SAC – Sistema de Amortizações Constantes - e SAM – Sistema de Amortização Misto. DEFINIÇÕES

Sistema de Amortizações Constantes – SAC – como o próprio nome já diz, nesse sistema de amortização a parcela da amortização contida nos pagamentos é constante, havendo, portanto, variação apenas dos juros referentes ao período. Sistema Price – também conhecido como Sistema Francês de Amortização, é utilizado pelo mercado em financiamentos imobiliários e CDC – Crédito Direto ao Consumidor. Sistema de Amortização Misto – SAM – tem suas prestações calculadas através da média aritmética dos valores das prestações dos sistemas Price (lembra?) e SAC. EQUAÇÕES:

Independente do sistema de amortização adotado, a prestação ou o pagamento, ou ainda, o fluxo em cada período, tem o seu valor composto, basicamente, por duas parcelas: uma referente à amortização do principal (valor original da operação) e a outra referente aos juros devidos no período. Matematicamente,

JurosoAmortizaçãestaçãoPr ++++====

CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES PELO SISTEMA SAC

Primeiro passo:

Cálculo da parcela referente às amortizações (constantes).


70

Para obter o valor da parcela de amortização constante basta dividirmos o principal (valor do financiamento) pelo número de prestações estabelecido.

Ex.:

Principal: $2.400,00

Número de prestações: 24

Amortização: 2.400 / 24 = $100,00

Prestações = 100 + Juros Segundo passo:

Uma vez calculado o valor da amortização, partimos para o cálculo da outra parcela componente da prestação, os juros.

Para tanto, devemos, pura e simplesmente, multiplicar o saldo devedor pela taxa de juros adotada no empréstimo.

A lei de recorrência para sabermos o saldo devedor ao final de um período “n” qualquer é dada por:

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]oAmortizaçã1nincipalPrVPdevedorSaldo ××××−−−−−−−−====

Ex.:

Usando o exemplo anterior com uma taxa de juros de 10% ao período, teremos:

( )

200000.210,0devedorSaldoiJuros

:prestação5dajurosdeParcela

000.2400400.2devedorSaldo

1004400.2100)15(400.2devedorSaldo

oAmortizaçã1nVPdevedorSaldo

:período5dofimnodevedorSaldo

00,100$oAmortizaçã

00,400.2$incipalPr

a

o

=×=×=

=−=

×−=×−−=

×−−=

=

=

Terceiro passo:


71

Somamos a parcela referente aos juros do período à parcela constante da amortização, e formamos assim o valor da prestação do período. CÁLCULOS DA PRESTAÇÃO PELO SISTEMA PRICE:

Por ter as prestações constantes, funciona como uma série uniforme de pagamentos.

Cálculo do valor da prestação constante: esse cálculo é feito com o uso de Tabelas Financeiras ou de calculadoras.

Cálculo dos juros do período: os juros são calculados por meio da aplicação direta da taxa de juros do contrato sobre o valor do saldo remanescente do principal existente no início do período.

Ex.:

Principal: $2.400,00 Número de prestações: 24 Taxa: 10% a.m.

R = $267,12

CÁLCULO DA PRESTAÇÃO PELO SISTEMA SAM

Primeiro passo:

Partimos para o cálculo dos valores das prestações pelo sistema Price e pelo sistema SAC. Segundo passo:

De posse dos valores calculados no passo anterior, extraímos as médias aritméticas dos mesmos a cada período. Estas médias serão, então, os valores das prestações no SAM.


72

Podemos perceber que haverá uma variação negativa nos valores das prestações do SAM, ou seja, elas vão diminuindo com o tempo. Isto ocorre devido ao fato das prestações no SAC também apresentarem este comportamento.

Ex.:

( )( )

( )

( ) 56,268$SAMestaçãoPr8

2

12,537

2

27012,267SAMestaçãoPr8

00,270$SACestaçãoPr8

12,267$icePrestaçãoPr

a

a

a

=

=+=

=

=

EXEMPLO

Suponha que você queira pegar um empréstimo de $18.000,00 no Banco Federal. São oferecidos os sistemas de amortização SAC e SAM para quitar o seu empréstimo. Vamos determinar as prestações que você irá pagar.

Os dados do empréstimo:

Banco Federal lhe emprestou $18.000,00.

A taxa de juros que o banco cobra é 10% ao ano.

Prazo do empréstimo é de 3 anos. Solução:

Sistema de Amortizações Constantes – SAC

O financiamento é pago em prestações decrescentes, pois os juros decrescem com o tempo devido à diminuição do saldo devedor. Equação básica: Prestação = Amortização + Juros Cálculo da amortização constante:

00,000.6$3

000.18oAmortizaçã

prestaçõesdeN

incipalProAmortizaçã

o

==

=


73

Cálculo da 1a prestação:

Cálculo dos juros no 1o período:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) [ ]( ) 00,800.1$1nJuros

000.1810,0000.60000.1810,01nJuros

000.611000.1810,01nJuros

oAmortizaçã1nVPinJuros

==

×=×−×==

×−−×==

×−−×=

Prestação 1:

( ) ( )( )( ) 00,800.7$1nestaçãoPr

800.1000.61nestaçãoPr

1nJurosoAmortizaçã1nestaçãoPr

==

+==

=+==



( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) [ ]( ) 00,200.1$2nJuros

000.1210,0000.61000.1810,02nJuros

000.612000.1810,02nJuros


==

×=×−×==

×−−×==

×−−×=

Prestação 2:

( ) ( )( )( ) 00,200.7$2nestaçãoPr

200.1000.62nestaçãoPr


==

+==

=+==




74

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) [ ]( ) 00,600$3nJuros

000.610,0000.62000.1810,03nJuros

000.613000.1810,03nJuros


==

×=×−×==

×−−×==

×−−×=

Prestação 3:

( ) ( )( )( ) 00,600.6$3nestaçãoPr

600000.63nestaçãoPr


==

+==

=+==

Tabela resumo do financiamento:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Juros ($) - 1.800,00 1.200,00 600,00

Amortização ($) - 6.000,00 6.000,00 6.000,00

Prestação ($) - 7.800,00 7.200,00 6.600,00

Saldo devedor 18.000,00 12.000,00 6.000,00 0,00

Valor Presente das Prestações: $18.000,00. Sistema de Amortização Misto - SAM

Cálculo da prestação pelo sistema Price (utilizando a HP):

Digitar Visor

f CLEAR FIN

18000 PV 18.000,00

3 n 3,00

10 i 10,00

PMT -7.238,07

Prestação (Price) = $7.238,07


75

Tabela resumo do sistema Price:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação ($) - 7.238,07 7.238,07 7.238,07

Juros ($) - 1.800,00 1.256,19 658,01

Amortização ($) - 5.438,07 5.981,88 6.580,06

Saldo devedor 18.000,00 12.561,93 6.580,05 -0,01

Esse saldo credor de centavos pode surgir em função de arredondamentos realizados durante os cálculos. Cálculo do valor das prestações pelo Sistema SAM:

Período (ano) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

Prestação (Price) - 7.238,07 7.238,07 7.238,07

Prestação (SAC) - 7.800,00 7.200,00 6.600,00

Prestação (SAM) - 7.519,04 7.219,04 6.919,04


O Sistema de Amortizações Constantes – SAC – é utilizado pelo mercado em financiamentos imobiliários e em financiamentos às empresas, tanto por parte de entidades governamentais como pelas instituições privadas.

No que se refere aos financiamentos da casa própria, o Sistema de Amortização Misto – SAM também é amplamente empregado.

CONCLUSÃO

Os sistemas de amortização vistos nesta seção são amplamente aplicados no mercado, principalmente quando nos referimos aos financiamentos imobiliários. Por tanto, quanto mais dominarmos os conceitos neles envolvidos, mais segurança teremos nas situações de decisão envolvendo tais práticas de mercado.


76

2.7 Valor Presente Líquido – VPL

Como o critério mais utilizado nos processos de tomada de decisão de investimentos, o Valor Presente Líquido – VPL disponibiliza para o investidor a medida exata do lucro líquido, ou do prejuízo, associado a uma dada operação financeira em termos de valores atuais.

O Valor Presente Líquido é, caracteristicamente, referenciado ao instante inicial da operação, ou seja, a sua data de referência é, usualmente, a data zero.

A taxa de desconto aplicada aos fluxos de caixa com a finalidade de se obter seus respectivos valores presentes é a chamada Taxa Mínima de Atratividade – TMA, que será precisamente definida no próximo item. DEFINIÇÕES:

Taxa Mínima de Atratividade – TMA - define o retorno mínimo que o investidor espera ter em um dado projeto ou aplicação. Sua avaliação é altamente controversa. Alguns dizem que deve Ter o valor do maior rendimento oferecido entre as opções de investimento de baixo risco. Outros defendem a tese de que a esta taxa deve ser atribuído o custo do capital alocado no investimento. Custo - está relacionado com tudo aquilo que um investidor gasta, seja na compra de mercadorias, na montagem de uma instalação, na construção de uma unidade fabril, na implementação de um projeto etc.. Valor de um Projeto - é como já vimos, o seu valor presente. Conforme comentamos e calculamos na seção anterior, o valor de um projeto, que é um ativo, é calculado através da soma dos valores presentes de todos os fluxos de caixa líquidos (descontadas as taxas e os impostos incidentes) que este projeto fornece ao(s) seu(s) investidor(es). VPL - representa o lucro ou o prejuízo do investidor que investe uma determinada quantia C (Custo) em um ativo que vale VP (Valor). Resumindo: o VPL é a diferença entre o valor e o custo de um ativo. EQUAÇÕES:


77

Idéia básica:

ativodoCustoativodoValorVPL −−−−====

Onde,

Valor do ativo é o VP dos diversos fluxos da caixa gerados pelo ativo;

Custo do ativo é o VP de todos os desembolsos necessários para aquisição ou implantação do ativo.

EXEMPLOS

Exemplo 1:

O projeto NATURA custa hoje $1.000.000,00. O valor presente operacional do projeto NATURA é $1.400.000,00. Qual é o VPL do projeto NATURA? Você faria este investimento?

Dados: Custo do ativo = $1.000.000,00 Valor do ativo = $1.400.000,00

Solução:

000.400$VPL

000.000.1000.400.1VPL

CustoValorVPL

=

−=

−=

Resposta: VPL = $400.000,00. Sim. Análise da resposta:

O critério de avaliação do VPL é baseado no seu sinal, ou seja, se o VPL for positivo, a opção de investimento deve ser aceita, caso contrário, será rejeitada. Se imaginarmos duas opções de investimento mutuamente excludentes, ou seja, você deve escolher uma das duas, a melhor escolha será aquela em que o VPL é maior. Observação: O critério de avaliação pelo método do VPL está estritamente ligado a valores financeiros. Quaisquer outros fatores não quantificáveis não são contemplados pelo método. Desta forma, o VPL se restringe às tomadas de decisão dentro da esfera econômica.

Exemplo 2:


78

A fábrica de parafusos SEMFIM está a venda por $600.000,00. Você tem a pretensão de comprar esta fábrica. Seus analistas avaliaram a fabrica SEMFIM e concluíram que o seu valor é $840.000,00. Se você efetivamente adquirir a SEMFIM, qual será o VPL dessa operação? Trata-se de uma boa opção de investimento?

Dados: Custo do ativo = $600.000,00 Valor do ativo = $840.000,00

Solução:

000.240$VPL

000.600000.840VPL

CustoValorVPL

=

−=

−=

Resposta: VPL = $240.000,00. É uma boa opção de investimento.

Exemplo 3:

O projeto SÃO SEBASTIÃO tem um valor atual de $1.000.000,00. Este projeto promete pagar aos seus investidores dois fluxos de caixa: o primeiro, no valor de $1.300.000,00, em n=1 ano e o segundo, cujo valor é de $1.550.000,00 em n = 2 anos. A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto São Sebastião é 20% ao ano. Qual é o VPL deste projeto?

Dados: VP = $1.000.000,00 i = 20% a. a.

VF1 = $1.300.000,00 VF2 = $1.550.000,00

Diagrama dos fluxos de caixa: Solução:

VF2 = $1.550.000,00

0 1 2 3 n (anos)

VP = $1.000.000,00

i=20%

VF1 = 1.300.000,00


79

Utilizando as equações:

Cálculo do valor presente do fluxo de caixa em n = 1 (VP1):

( )

( )33,333.083.1$VP

2,1

000.300.1

20,01

000.300.1VP

i1

VFVP

1

11

11

1

=

=+

=

+=

Cálculo do valor presente do fluxo de caixa em n = 2 (VP2):

( )

( ) ( )89,388.076.1$VP

44,1

000.550.1

2,1

000.550.1

20,01

000.550.1VP

i1

VFVP

2

222

22

2

=

==+

=

+=

Cálculo do custo do projeto:

Dado do problema: $1.000.000,00

Cálculo do VPL:

( )( )

22,722.159.1$VPL

000.000.122,722.159.2VPL

000.000.189,388.076.133,333.083.1VPL

VPVPVPVPL

CustoValorVPL

21

=

−=

−+=

−+=

−=



80

Digitar Visor

f CLEAR FIN

130000 FV 1.300.000,00

1 n 1,00

20 i 20,00

PV -1.083.333,33

155000 FV 1.550.000,00

2 n 2,00

PV -1.076.388,89

+ -2.159.722,22

100000 + -1.159.722,22

VPL = $1.159.722,22

Utilizando a sub-rotina NPV (VPL) da HP-12C:

Esta sub-rotina da HP-12C facilita em alto grau o cálculo do valor presente de um ativo. Utiliza, basicamente, as variáveis CFo, CFj, i e NPV (VPL), as duas primeiras sendo acessadas através da tecla g e a última por meio da tecla f. Contudo, antes de iniciarmos os procedimentos, é importante atentarmos para alguns detalhes:

� a convenção de sinais tem que ser obedecida, ou seja, entradas devem ter sinal positivo e saídas sinal negativo;

� os valores devem ser introduzidos na ordem cronológica dos fluxos, ou seja, primeiro devemos entrar com o fluxo na data zero (CFo), depois com o fluxo em n = 1 (CFj), n = 2 e assim sucessivamente;

� o valor utilizado para cada período deve ser o valor líquido naquela data. Por exemplo, se em n = 3 tivermos um fluxo de entrada de $100,00 e um fluxo de saída de $350,00, o valor atribuído a esta data será então a diferença entre os dois fluxos ($250,00); como a saída é maior que a entrada, devemos empregar o sinal negativo (-$250,00);

� se em um determinado período intermediário não houver fluxo, devemos atribuir ao respectivo CFj o valor 0 (zero); entenda-se


81

por período intermediário todo aquele disposto entre o primeiro e o último fluxo de caixa.

Vamos aos procedimentos:

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100000 CHS -1.000.000,

g CFo -1.000.000,00

13000 g CFj 1.300.000,00

15500 g CFj 1.550.000,00

20 i 20,00

f NPV 1.159.722,22

VPL = $1.159.722,22

Resposta: VPL do projeto São Sebastião é $1.159.722,22. Análise da resposta:

O projeto São Sebastião é um bom investimento, uma vez que apresenta um Valor Presente Líquido positivo.


A metodologia do Valor Presente Líquido é muito empregada nas análises de ativos em busca de uma noção do retorno sobre o investimento (lucratividade) ou do seu prejuízo potencial.

Em estudos comparativos da viabilidade de projetos, o VPL também se apresenta como uma ferramenta potente, capaz de nos indicar a melhor alternativa de investimento. A melhor opção de investimento será aquela que apresentar o MAIOR VPL.

Especificamente nos casos que envolvem análises comparativas de projetos, o VPL pode apresentar uma linha de raciocínio distinta para a sua interpretação. Muitas vezes, estaremos lidando, por exemplo, com a substituição de um equipamento, para a qual, suponhamos, existam no mínimo duas opções. Neste caso, estaremos preocupados com os custos relacionados com cada um delas (aquisição, manutenção etc.). Portanto, o nosso foco de análise são os custos, e,


82

sendo assim, a melhor opção será aquela que apresentar o MENOR VPL.

CONCLUSÃO

Em relação aos cálculos, nada mudou. O Valor Presente Líquido nada mais é que uma forma de interpretar todos aqueles cálculos no regime de capitalização composta que já fizemos anteriormente. É muito mais uma nova maneira de análise dos nossos resultados. Assim sendo, o mais importante é que você tenha compreendido e fixado os conceitos envolvidos.

2.8 Taxa Interna de Retorno – TIR

A Taxa Interna de Retorno é mais um dos critérios empregados no mercado na análise e avaliação de operações financeiras, sejam elas aplicações ou captações.

Operacionalizada e obtida com base no conceito de equivalência de capitais e na metodologia do VPL (NPV), a TIR (IRR) é a taxa que torna a soma dos fluxos de entrada igual à soma dos fluxos de saída, em uma data focal qualquer. DEFINIÇÕES:

Taxa Interna de Retorno – TIR – é a taxa de desconto que, aplicada aos valores futuros de um conjunto de fluxos de caixa representativos de uma operação financeira, leva o seu VPL a zero.

Ex.:

Aplicação: $1.000,00

Fluxos gerados: $600,00 em n = 1; $700,00 em n = 2

i: taxa de desconto aplicada no cálculo do VPL

VPL(i) = 0

i = Taxa Interna de Retorno da operação No caso de uma aplicação financeira, a TIR é a taxa que está efetivamente remunerando a aplicação. Uma vez estabelecido um valor mínimo para a taxa desejada de remuneração do capital (TMA), esta é comparada com a TIR. Caso a TIR seja igual à TMA, atingimos o ponto; se TIR for maior, a situação será melhor ainda, pois teremos o nosso


83

capital sendo remunerado além das nossas expectativas; se TIR for menor, devemos rejeitar a hipótese de fazer tal aplicação.

Quando nos referenciamos ao custo de capital para aplicar em um projeto, a taxa interna de retorno será a referência da taxa máxima do custo de capital que o projeto suporta.

Ex.:

Custo do projeto: $100,00

Custo do capital: 20% ao período

Conclusão: TIR do projeto inferior a 20%, o investidor não conseguirá pagar a dívida aos credores.

Se a TIR fosse maior que 20% ainda sobrariam recursos.

ALERTA: CUIDADO COM A TIR

Apesar de ser um importante critério para tomada de decisão no campo econômico, a TIR requer alguns cuidados.

Quando ocorrer mais de uma inversão de sinais nos fluxos de caixa futuros de um projeto, passa a existir mais de um valor positivo para a TIR. Em casos como esse, NÃO use nas suas análises a TIR, a menos que você seja um especialista.

A TIR não é um instrumento muito eficaz, nem tão pouco eficiente, para se comparar duas ou mais alternativas de investimentos. O fato da TIR de um dado projeto A ser maior que aquela relacionada ao projeto B não significa que um possa ser admitido melhor que o outro. Para análises desse tipo, devemos contemplar, cuidadosamente, os valores investidos, as vidas úteis dos projetos entre outros fatores. Sendo assim, o melhor método para se comparar projetos é o VPL. EQUAÇÕES:

A TIR é a taxa de desconto que, uma vez aplicada na determinação do VPL de uma operação, conduz o mesmo ao valor zero. Dessa maneira, a sua representação matemática é:

(((( ))))

(((( )))) CustoTIRs'FC

0CustoTIRs'FCCustoValorVPL

====

====−−−−====−−−−====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

Onde,


84

FC’s(TIR) são os fluxos de caixa descontados à taxa interna de retorno.

Essa equação é uma equação de n-ésimo grau, ou seja, se o número de períodos envolvidos na operação for, por exemplo, 10, teremos uma equação com a variável que queremos determinar (TIR) elevada a décima potência. Este fato dificulta muito o cálculo da TIR através de procedimentos manuais, portanto, procederemos todos os cálculos envolvendo a TIR utilizando a calculadora (HP-12C).

Em função da relevância da TIR nos processos de tomada de decisão administrativa, as calculadoras financeiras dispõem de uma sub-rotina para cálculo automático desta variável. Sub-rotina esta que aprenderemos a operar. EXEMPLOS

Exemplo 1:

Um determinado investimento custa hoje $100.000,00 e se propõe a pagar aos seus investidores a quantia de $150.000,00 no prazo de um ano. Qual é a TIR desse projeto?

Dados: VP = $100.000,00 VF1 = $150.000,00

Solução: Utilizando a equação:

( ) ( )

( )

( )

( )

.a.a%50TIR

5,015,1TIR5,1TIR1

5,1000.100

000.150TIR1

000.100TIR1

000.150

0000.100TIR1

000.150

000.100Custo

TIR1

000.150

TIR1

VFValor

0CustoValorVPL

11

=

=−=⇒=+

==+

=+

=−+

=

+=

+=

=−=



85

Digitar Visor

f CLEAR FIN

100000 CHS -100.000,00

g CFo -100.000,00

15000 g CFj 150.000,00

f IRR 50,00

TIR = 50% a. a. Resposta: TIR é 50% Análise da resposta:

Se precisássemos nos capitalizar para poder fazer este investimento, o custo do capital levantado no mercado deve ser no máximo igual a 50% a. a.. Qualquer taxa inferior a essa será compensada pelo investimento.

Exemplo 2:

Qual é a TIR do ativo “X” que apresenta os seguintes 4 fluxos de caixa projetados: $1.100,00 em n = 1 ano, $1.210,00 em n = 2 anos, $1.331,00 em n = 3 anos e $1.464,10 em n = 4 anos? O custo do ativo “X” é $4.000,00.

Dados: Custo = $4.000,00 VF1 = $1.100,00 VF2 = $1.210,00

VF3 = $1.331,00 VF4 = $1.464,10

Diagrama dos fluxos de caixa: Solução:

0 1 2 3 4

n (anos)

$1.100,00 $1.210,00 $1.331,00 $1.464,10

$4.000,00


86

Utilizando a equação:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 000.4TIR1

10,464.1

TIR1

331.1

TIR1

210.1

TIR1

100.1

0TIR1

10,464.1

TIR1

331.1

TIR1

210.1

TIR1

100.1000.4VPL

VPVPVPVPVPVPL

4321

4321

4321

=+

++

++

++

=+

++

++

++

+−=

++++=

Esta é uma equação do quarto grau com quatro raízes. Três serão negativas e apenas uma será positiva. A raiz positiva é o valor que atribuiremos à TIR.

A solução de uma equação do quarto grau pode ser muito trabalhosa. Todo o dispêndio de tempo na solução de uma equação desse tipo não se justifica, uma vez que temos como recorrer às calculadoras que desenvolvem os cálculos em um tempo muito menor.

O mais importante é nos dedicarmos à análise dos resultados para chegarmos a uma decisão correta, pois isso a calculadora não faz.


Digitar Visor

f CLEAR FIN

4000 CHS -4.000,

g CFo -4.000,00

1100 g CFj 1.100,00

1210 g CFj 1.210,00

1331 g CFj 1.331,00

1464.1 g CFj 1.464,10

f IRR 10,00

TIR = 10% a. a.

Resposta: A TIR do ativo “X” é 10% a. a..

Exemplo 3:


87

Um projeto de investimentos apresenta uma TIR de 20% ao ano. A taxa do custo de capital para este projeto é 35% ao ano. Você deve investir ou não nesse projeto? Solução:

CapitaldeCustoTIR

.a.a%35CapitaldeCusto

.a.a%20TIR

>⇒

=

=

Resposta: Sendo o custo do capital aplicado no projeto maior que a TIR, esse projeto não vai ter como ressarcir os credores. Portanto, você não deve investir nesse projeto.

Exemplo 4:

Um projeto de investimentos tem os seguintes fluxos de caixa projetados para o futuro: $110, 00 em n = 1 ano e $121,00 em n = 2 anos. O custo deste projeto é $200,00. Os investidores que irão aplicar recursos neste projeto pretendem receber uma taxa de retorno de 12% ao ano. O projeto é viável economicamente falando?

Dados: Custo = $200,00 VF1 = $110,00 VF2 = $121,00

Diagrama dos fluxos de caixa:

Solução:

0 1 2 3 n (anos)

$110,00 $121,00

$200,00


88


Digitar Visor

f CLEAR FIN

200 CHS -200,

g CFo -200,00

110 g CFj 110,00

121 g CFj 121,00

f IRR 10,00

TIR = 10% a. a.

Resposta: Não. Pois a TIR do projeto é igual a 10% a. a., valor menor que a TMA adotada pelos investidores que foi de 12% a. a.. Análise da resposta:

A Taxa Mínima de Atratividade – TMA – adotada pelos investidores não é coberta pela TIR do projeto. Dessa maneira, a melhor opção para eles é manter o capital na aplicação que baseou a atribuição do valor de 12% a. a. à TMA. Demonstrando o prejuízo dos investidores:

TMA = 12% a. a.

Aplicação: $200,00

Rendimento esperado no 1o período: TMA x 200 = 24,00

Saldo devedor antes do pgto do 1o período: 224,00

Pagamento efetuado no fim do 1o período: 110,00

Saldo devedor após o pgto do 1o período: 114,00

Rendimento esperado no 2o período: TMA x 114 = 13,68

Saldo devedor antes do pgto do 2o período: 127,68

Pagamento efetuado no fim do 1o período: 121,00

Saldo devedor após o pgto do 1o período: 6,68 Como podemos notar, o projeto terminou e não conseguiu pagar aquilo que os investidores esperavam obter de retorno.


89


Bem como o método do VPL, o método da TIR vem a ser uma ferramenta importante na análise de projetos quanto aos seus aspectos econômicos. Contudo, esses métodos não contemplam outros aspectos extrínsecos que certamente devem ser observados nos eventos de tomada de decisão. É importante que você esteja ciente dessa restrição dos métodos. Tome cuidado! CONCLUSÃO

Podemos concluir que a TIR serve para determinar se um projeto será lucrativo ou não dependendo da TIR ser maior ou menor do que a taxa de retorno esperada do projeto para pagar o seu custo de capital, respectivamente. Resumindo, a TIR nos indica a viabilidade econômica de um projeto.

2.9 Desconto de Duplicatas

Nesta seção, você vai aprender os significados das Taxas de Desconto e Taxas de Rentabilidade. Serão estudadas algumas das suas aplicações mais comuns no mercado, tais como o desconto de duplicatas e outros títulos, que são operações comuns no cotidiano do comércio. DEFINIÇÕES:

Os prazos de uma operação financeira podem ser dados tanto em termos comerciais quanto em termos do calendário civil. O mês comercial tem, sempre, 30 dias. O ano comercial tem 360 dias, ao invés dos 365 constantes do calendário anual. Exemplo:

Operação realizada entre as seguintes datas: 01/04/X1 e 01/06/X1.

Números de dias entre as datas: 62 dias

Números de dias pelo mês comercial: 61 dias Taxa de Rentabilidade - é aquela que aplicada sobre o Valor Presente – VP (Principal), durante o prazo “n”, produz o Valor Futuro – VF (Montante). Por outro lado, a Taxa de Desconto “D” é aplicada sobre o Valor Futuro - VF, durante “n” períodos, para produzir o Valor Presente - VP. Esquematicamente, tem-se:


90

Exemplo:

Valor do título no seu vencimento: VF = $1.450,00, após 3 períodos

Valor recebido antes do vencimento: VP = $1.000,00

Taxa de Rentabilidade i = (450 / 1.000)1/3 = 13,18% por período

Taxa de Desconto D = 450 / (1.450 x 3) = 10,34% por período Análise: Numa operação de desconto como esta, a instituição tem um ganho exatamente na diferença entre a taxa de desconto e a taxa de rentabilidade. Valor Nominal - é o valor de um título na data do seu vencimento.

Exemplo:

Duplicata no valor de $5.000,00, com vencimento em 90 dias.

Valor nominal da duplicata: $5.000,00. Taxa de Desconto x Taxa de Rentabilidade

Em um dado momento, a taxa de rentabilidade – i – é igual a taxa de desconto – D. Suponha que o valor seja de 10% ao mês. Apesar das duas taxas serem iguais, os resultados conseguidos com a aplicação das duas em situações práticas são bem distintos.

No momento em que você pensar em se dirigir a um banco para efetuar uma aplicação, por exemplo, de $1.000,00, que renda, por hipótese, 10% ao ano no regime de juros simples, ou seja, que lhe permita sacar, no prazo de um ano, a quantia de $1.100,00, você estará raciocinando exatamente em termos da taxa de rentabilidade dessa aplicação.

VP VF n períodos

Taxa de Rentabilidade - i

Taxa de Desconto - D


91

Pois, nesse caso, 10% de 1.000 é 100. (Taxa de Rentabilidade aplicada sobre o VP)

Caso você pense em ir ao banco a fim de realizar uma operação de desconto de um título de crédito (uma duplicata ou uma promissória...) com valor futuro de $1.100,00 e vencimento no prazo de 1 ano, a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, para obter hoje o valor $990,00, você estará, então, raciocinando sobre a taxa de desconto da operação.

Pois, nesse caso, 10% de 1.100 é 110. (Taxa de Desconto incide sobre o VF) Desconto de Duplicatas:

Quando uma empresa realiza uma venda a prazo, é obrigada, por lei, a emitir e enviar ao comprador uma fatura dessa compra e uma duplicata. A fatura é uma nota na qual a empresa especifica a natureza e a quantidade dos artigos adquiridos pelo comprador, seus respectivos preços, descontos etc. e, finalmente, a importância líquida a ser paga por este último. A duplicata é um documento, confeccionado de acordo com a forma prevista em lei (sem o que não teria validade jurídica), no qual o comprador, declarando reconhecer a exatidão da importância nela expressa, relativa a compra das mercadorias constantes da fatura correspondente, obriga-se a pagá-la na época estipulada, denominada vencimento. Assim, a duplicata nada mais é que uma versão simplificada da nota fiscal relativa à venda. É um documento comprobatório do saldo credor existente, junto ao comprador, em favor da empresa que vendeu as mercadorias.

É importante frisar que a duplicata é um documento emitido pela empresa credora e enviado ao cliente para o aceite, e que é originária, exclusivamente, de atividades de compra e venda.

Se por algum motivo, a empresa precisar se capitalizar, poderá se dirigir a um banco e solicitar o adiantamento dos valores que tem a receber. Mediante uma operação chamada endosso, a empresa possuidora do título de crédito transfere a propriedade do mesmo para o banco. O banco adianta hoje os pagamentos à empresa vendedora e no futuro, mais especificamente na data do vencimento, recebe diretamente do cliente (comprador da mercadoria).


92

Este processo recebe o nome de desconto de duplicata. Obviamente, o banco cobra uma taxa por este adiantamento, e cobra adiantado, liberando para o vendedor da mercadoria, que está descontando a duplicata, um valor menor do que o valor nominal do título. A diferença entre o valor liberado hoje e o valor nominal é o juro da operação de desconto de duplicatas. Este é o retorno que o banco obtém por adiantar (emprestar) recursos a quem deles esta necessitando hoje. Nas operações bancárias de desconto de duplicatas, é normalmente utilizado o conceito de taxas de desconto.

MODELO DE DUPLICATA

EMITENTE Nome / Razão Social: REFRIGERANTES GASTOTAL LTDA. CNPJ: 01.111.222/0001-33 End.: Estr. da Chapinha, 10 – Jacarepaguá – Rio de Janeiro – RJ DATA DA EMISSÃO: 20 de novembro de 2000 SACADO: Nome / Razão Social: DEPÓSITO SÃO SEBASTIÃO LTDA. CNPJ: 02.222.333/0001-44 End.: Av. Todos os Santos, 1010 – Centro – Rio de Janeiro – RJ VALOR: R$2.500,00 (Dois Mil e Quinhentos Reais) DATA DE VENCIMENTO: 20 de janeiro de 2000

Desconto de Promissórias:

O conceito é o mesmo. Uma promissória é um instrumento de confissão de dívida. O emitente da nota promissória é quem assume o compromisso do seu pagamento, no seu vencimento. Desta maneira, neste tipo de título de crédito não existe o processo de aceite por parte do devedor. O tomador, possuidor ou beneficiado é aquele a quem esse documento é dirigido, isto é, o credor da importância nele consignada.


93

MODELO DE PROMISSÓRIA

Vencimento em 05 de OUTUBRO de 2000 . NO: 01/01 VALOR: R$10.500,00 No dia CINCO DE OUTUBRO de 2000 pagar ei por esta única via de NOTA PROMISSÓRIA a BASE FORTE INCORPORAÇÕES E EMPREENDIMENTOS LTDA. – CGC: 03.444.555/0001-66 , ou a sua ordem, a quantia de DEZ MIL E QUINHENTOS REAIS em moeda corrente. DATA: RIO DE JANEIRO , 05 de ABRIL DE 2000 . AVALISTA: JOÃO JOSÉ EMITENTE: SEBASTIÃO DIAS

ASSINATURA: João josé ASSINATURA: Sebastião Dias.

EQUAÇÕES: Equação do Desconto:

nDVFDesconto ××××××××====

Onde,

n – prazo de desconto;

VF – valor nominal do título. Equação do Valor Descontado

)nD1(VFDescontadoValor ××××−−−−××××====

Equação da Rentabilidade:

niVPVF )1( ++++××××====

Note bem:

Todas as observações feitas acerca das variáveis nos cálculos da seção anterior continuam valendo. Por exemplo: a taxa deve ser aplicada nas equações na forma unitária, lembra?... Não esqueça!


94

EXEMPLOS

Exemplo 1: Suponha que você tenha vendido hoje um lote de mercadorias no valor de $1.000,00. O pagamento referente a tal venda deverá ser efetuado num prazo de 90 dias. Porém, necessitando cumprir alguns compromissos de ordem financeira, você decide ir ao banco TOPATUDO descontar a duplicata relativa a esta venda. A informação que você recebe do gerente do banco é que a taxa de desconto praticada pela instituição é de 4% ao mês. Sendo assim, que valor você receberá se descontar a duplicata?

Dados: VF = $1.000,00 n = 90 dias D = 4% a. m.

Solução:

Compatibilizando as unidades de “n” e “D”:

D = 4% a. m. ⇒ n = 90 dias = 3 meses

Aplicando a equação do Valor Descontado:

00,880$DescontadoValor

88,0000.1)304,01(000.1DescontadoValor

)nD1(VFDescontadoValor

=×=×−×=

×−×=

Resposta: Você receberá hoje $880,00.

Exemplo 2:

Com relação ao problema anterior, qual foi a taxa de rentabilidade que o banco Topatudo obteve na operação?

Dados: VF = $1.000,00 n = 3 meses VP = $880,00

Solução

Empregando a equação da rentabilidade:

..%35,4

1)880/000.1()1(880000.1

)1(3/13

mai

ii

iVPVF n

==−⇒+×=

+×=


95

Resposta: A taxa de rentabilidade obtida pelo Banco Topatudo nesta operação foi de 4,35% a. m.. Análise da resposta: A taxa de desconto oferecida pelo banco será sempre menor que a taxa de rentabilidade por ele obtida. E exatamente sobre essa diferença que o banco lucra com a operação. Através da avaliação das opções oferecidas a ele pelo mercado, o banco estabelece uma taxa de desconto, de tal ordem que, ultrapassado um prazo mínimo de desconto, a taxa de rentabilidade torna-se a mais atraente.

Exemplo 3:

Se você aplica $1.000,00 a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante um mês, quanto terá ao final deste prazo?

Dados: VP = $1.000,00 n = 1 mês i = 10% a. m.

Solução:

Aplicando a equação dos juros simples:

00,100.1$VF

100000.1110,0000.1000.1VF

niVPVPVF

=

+=××+=

××+=

Resposta: Após um mês nesta aplicação, você terá $1.100,00. Suponha agora que você tenha um titulo com valor futuro de $1.100,00 com vencimento previsto para daqui a um mês, e se dirija a um banco para descontá-lo. Tendo você recebido $1.000,00 pelo desconto do título, pergunta-se: qual foi a taxa de desconto praticada pelo banco?

Dados: VF = $1.100,00 n = 1 mês VP = $1.000,00

Solução:

Aplicando a equação do valor descontado:


96

.m.a%09,9D

...090909,0100.1

100D100D100.1

000.1100.1D100.1D100.1100.1000.1

)1D1(100.1000.1

)nD1(VFVP

=

==⇒=×

−=×⇒×−=

×−×=

×−×=

Resposta: A taxa de desconto aplicada pelo banco sobre o seu título de $1.100,00, com vencimento em um mês, uma vez que você recebeu o valor descontado de $1.000,00, é de 9,09% a. m. Análise das respostas: Apesar de estarmos lidando com os mesmos valores, nas mesmas datas, podemos perceber a grande diferença existente entre as duas operações, desconto e aplicação.

Exemplo 4:

Os critérios das operações de desconto a juros simples de Notas Promissórias de um certo estabelecimento bancário são os seguintes:

� taxa de desconto de 3% ao mês;

� prazo da operação: 3 meses;

� juros pagos antecipadamente.

Assim, se um cliente desejar efetuar uma operação de $50.000,00, deverá assinar uma nota promissória no referido valor com vencimento ao final de um prazo de 3 meses. Os juros dessa operação serão de 9% sobre o valor de face da promissória ($50.000,00), ou seja os juros serão de $4.500,00. Como os juros são pagos antecipadamente, o valor líquido que o cliente receberá será de $45.500,00.

Resumo da operação:

Valor líquido recebido pelo cliente: $45.500,00.

Prazo da operação: 3 meses.

Valor nominal do título: $50.00,00.

Taxa de desconto aplicada: 3% ao mês.

Determine a taxa de rentabilidade da operação.


97

Dados: VF = $50.000,00 n = 3 meses VP = $45.500,00

Solução:

Na verdade, nesse tipo de situação, estamos interessados em determinar a taxa que transforma, a juros simples, $45.500,00 em $50.000,00 em 3 meses. Substituindo os valores dados na equação da rentabilidade:

..%19,3

1)500.45/000.50()1(500.45000.50

)1(3/13

mai

ii

iVPVF n

==−⇒+×=

+×=

Resposta: A taxa de rentabilidade da operação é 3,19% a. m.. Análise da resposta: A taxa de rentabilidade equivale àquela taxa genérica das operações no regime de capitalização simples, que vimos anteriormente. Ela é a taxa que, aplicada ao valor presente $45.500,00, proporcionará a rentabilidade mensal de $1.500,00. Ao acumularmos as rentabilidades de 3 meses, chegaremos ao valor da rentabilidade total de $4.500,00, o que nos conduzirá ao valor futuro de $50.000,00.

Exemplo 5:

Uma empresa oferece a seguinte relação de duplicatas para serem descontadas em um banco comercial:

Número de Duplicatas Prazo (dias) Soma dos Valores ($)

40 30 200.000

20 60 200.000

50 90 300.000

10 120 100.000

Valor Total da Operação 800.000


98

Que valor deverá ser creditado na conta dessa empresa, considerando o mês comercial (30 dias) e sabendo que a taxa de desconto será de 3% ao mês?

Dados: VF1 = $200.000,00 n1 = 30 dias i = 3% a. m.

VF2 = $200.000,00 n2 = 60 dias

VF3 = $300.000,00 n3 = 90 dias

VF4 = $100.000,00 n4 = 120 dias

Solução:

Em problemas como este, não precisamos nos preocupar com o número de duplicatas existente dentro de cada prazo. Podemos assumir, tranqüilamente, que para cada prazo existe uma única duplicata, cujo valor é a soma de todas aquelas que têm o mesmo prazo. Sendo assim, trabalharemos com tantas duplicatas quantos forem os prazos distintos na operação. Assim, no presente problema serão 4 duplicatas. Convertendo os prazos para meses:

meses430

120dias120n

meses330

90dias90n

meses230

60dias60n

mês130

30dias30n

4

3

2

1

===

===

===

===

Aplicando a equação do valor descontado: Duplicata para 30 dias:

00,000.194$

000.6000.200

)103,01(000.200

)1(

1

1

1

111

=−=

×−×=×−×=

VD

VD

VD

niVFVD


99

Duplicata para 60 dias:

00,000.188$

000.12000.200

)203,01(000.200

)1(

2

2

2

222

=−=

×−×=×−×=

VD

VD

VD

niVFVD


00,000.273$

000.27000.300

)303,01(000.300

)1(

3

3

3

333

=−=

×−×=×−×=

VD

VD

VD

niVFVD


00,000.88$

000.12000.100

)403,01(000.100

)1(

4

4

4

444

=−=

×−×=×−×=

VD

VD

VD

niVFVD

Soma dos valores descontados:

00,000.743$

000.88000.273000.188000.1944321

=+++=

+++=

Total

Total

Total

VD

VD

VDVDVDVDVD

Resposta: Deverá ser creditado na conta da empresa a quantia de $743.000,00. Análise da resposta: A diferença de $57.000,00 entre a soma dos valores nominais - $800.000 – e a soma dos valores descontados - $743.000 – representa a soma dos descontos obtidos para cada prazo. APLICAÇÕES PRÁTICAS Como você pôde perceber, esses procedimentos de cálculo de descontos de títulos de crédito (duplicatas e promissórias, por


100

exemplo), utilizando o regime de juros simples, é amplamente utilizado nas relações estabelecidas entre as empresas e os bancos no seu dia-a-dia. Portanto, o real entendimento e domínio desse tipo de operação é de grande valia para aqueles que, em suas atividades cotidianas, estão em contato com o mercado.

O MÉTODO HAMBURGUÊS

Agora veremos a aplicação do Método Hamburguês nas operações de descontos de títulos de crédito – promissórias e duplicatas. Nas operações de desconto que envolvem vários títulos, as instituições financeiras, mais especificamente os bancos comerciais, trabalham com um tipo de documento chamado Bordereau ou “Borderô”, que nada mais é que uma listagem das duplicatas e/ou promissórias envolvidas na operação, contendo as respectivas datas de vencimento e valores nominais. É importante observar que todos os títulos constantes de um Borderô devem estar sujeitos à mesma taxa de desconto. Abaixo, encontra-se ilustrado um exemplo simplificado de um Borderô.

BORDERÔ DE DESCONTO

CEDENTE: Supermercados Semtroco DATA: 20/01/2001

No DP Sacado Praça Vencimento Valor ($)

1001 Indústria X RJ 10/02/2001 1.000,00

1002 Casas Y BH 20/03/2001 2.000,00

1004 José Silva Cuiabá 24/03/2001 1.500,00

1006 Sebastião Dias RJ 08/04/2001 2.000,00

1007 Mercado São Sebastião RJ 15/05/2001 6.000,00

1009 Vai Vai Promoções Belém 20/05/2001 4.000,00

1011 Casas XYZ Recife 25/06/2001 3.500,00

Relembrando a fórmula do Método Hamburguês:


101

000.3

DNDesconto

os ××××==== ∑∑∑∑

Onde, o ∑∑∑∑ osN é obtido através da soma dos produtos (valor x no de

dias até o vencimento) para cada título descontado, e D, como sabemos, é a taxa mensal de desconto simples da operação. EXEMPLOS

Exemplo 6:

Utilizando o enunciado do exemplo 5 desta seção, pode-se montar o seguinte Borderô simplificado:

Prazo (dias) Valor ($)

30 200.000

60 200.000

90 300.000

120 100.000

Lembrando que a taxa de desconto era de 3% ao mês, vamos calcular o valor a ser creditado na conta da empresa.

Neste caso, os cálculos serão facilitados pelo fato dos prazos já estarem representados em dias. Solução:

Cálculo do ∑∑∑∑ osN :

000.000.57N

000.000.12000.000.27000.000.12000.000.6N

NNNNN

000.000.12120000.100N

000.000.2790000.300N

000.000.1260000.200N

000.000.630000.200N

os

os

4321os

4

3

2

1

=

+++=

+++=

=×=

=×=

=×=

=×=

∑

∑

∑


102

Aplicando a fórmula:

00,000.57$Desconto

000.3

3000.000.57Desconto

000.3

DNDesconto

os

=

×=

×= ∑

Cálculo do valor descontado:

00,000.743$VP

000.57000.800VP

DescontoVFVPDescontadoValor

=

−=

−==

Comentários:

Obviamente, como não poderia deixar de ser, o valor encontrado é igual à resposta do Exemplo 5. Porém, como podemos perceber, o Método Hamburguês é muito mais simples. CONCLUSÃO:

Equações Básicas:

Equação do Desconto:

nDVFDesconto ××××××××==== Equação do Valor Descontado

)nD1(VFDescontadoValor ××××−−−−××××====

Equação da Rentabilidade:

niVPVF )1( +×=

Variáveis:

VP - Valor Presente ou Descontado

VF - Valor Futuro ou Nominal


103

i - Taxa de Rentabilidade

n - Prazo da Operação de Desconto

D – Taxa de Desconto

Nesta seção, você estudou aplicações de mercado com o uso de juros simples. Pode, ainda, estabelecer contato com a metodologia empregada nos cálculos de valores em operações de desconto de duplicatas e promissórias, operações estas, altamente comuns no cotidiano do mercado.


104

3. MATERIAL COMPLEMENTAR

Neste capítulo, você encontrará uma lista de exercícios com as respectivas respostas para cada um dos assuntos abordados em nosso curso.

Ao final das listas, você encontrará um teste simulado.

Sucesso e Boa Sorte!

EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES

Exercício 1:

Dispondo hoje de $5.000,00, você resolve aplicá-los a uma taxa de juros simples de 10% ao ano. Quanto você terá daqui a 4 anos?

Resposta: Você terá $7.000,00. Exercício 2:

Uma instituição financeira se propõe a lhe pagar, por um depósito de $8.000,00, $10.400,00, num prazo de 3 anos.

Qual a taxa de juros simples praticada pela referida instituição?

Resposta: A instituição está disposta a pagar uma taxa de juros simples de 10% ao ano. Exercício 3:

Por quanto tempo você deve manter $10.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 15% ao ano para atingir um valor de resgate igual a $17.500,00?

Resposta: Você deve manter o capital aplicado por 5 anos. Exercício 4:

Pretendendo dispor de um capital de $18.000,00 num prazo de 4 anos, quanto você deverá depositar em uma aplicação cuja taxa de juros simples é de 20% ao ano?

Resposta: Você deverá depositar $10.000,00.


105

Exercício 5:

Suponha que você pegue um empréstimo pessoal no seu banco no valor de $3.000,00, o qual será pago ao final de um período de 6 meses. Sabendo que o valor do empréstimo será capitalizado por meio de uma taxa de juros simples de 7% ao mês, qual será o valor dos juros que você deverá pagar?

Resposta: Você pagará, a título de juros, $1.260,00. Exercício 6:

Por quantos anos você deve manter $1.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 1% ao mês, a fim de poder resgatar um valor total de $1.300,00?

Resposta: A aplicação deverá ser mantida por 2 anos e meio. Exercício 7:

Você tem hoje $5.000,00 para aplicar a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Quanto você terá daqui a 2 anos?

Resposta: Você terá $8.600,00. Exercício 8:

Quanto você receberá de juros por aplicar $10.000,00 a uma taxa de juros simples de 2% ao mês durante 4 anos?

Resposta: Você vai receber juros de $9.600,00. Exercício 9:

Você tem uma obrigação de $5.600,00 a vencer em 8 meses. Qual o valor que você deverá aplicar hoje, a uma taxa de juros simples de 18% ao ano, para quitar esta obrigação?

Resposta: Você terá que aplicar hoje $5.000,00. Exercício 10:

A que taxa de juros simples você aplicaria seu capital para atingir o objetivo de dobrar o seu valor num prazo de 5 anos?

Resposta: Você deve aplicar seu capital a uma taxa de 20% ao ano. Exercício 11:

Você pretende realizar, hoje, um depósito em uma instituição financeira que lhe permita fazer duas retiradas de $5.000,00, uma


106

daqui a 6 meses e a outra ao final do 9o mês. Sabendo que a referida instituição irá remunerar o seu depósito com base em uma taxa de juros simples de 5% ao mês, qual deverá ser o valor do depósito?

Resposta: Você terá que efetuar um depósito de $7.294,43. Exercício 12:

Em um dado mês, você utilizou $2.000,00 do limite do seu cheque especial durante 11 dias, e $3.000,00 durante outros 7 dias. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo seu banco neste tipo de linha de crédito é de 9% ao mês, que valor deverá aparecer no seu extrato como cobrança dos juros referentes a esta operação? Adote a convenção do mês comercial, ou seja, 1 mês = 30 dias.

Resposta: Ao fim do mês deverá aparecer no seu extrato um débito de $129,00, além do IOF devido. Exercício 13:

Dispondo de $10.500,00, você decide investir todo o seu capital, distribuindo-o igualmente por três aplicações: Aplicação 1 i1 = 5% ao mês n1 = 3 meses; Aplicação 2 i2 = 7% ao mês n2 = 2 meses; Aplicação 3 i3 = 4% ao mês n3 = 3 meses.

Qual será a sua receita total de juros ao final do terceiro mês. O valor resgatado no fim do segundo mês não poderá ser reaplicado.

Resposta: Você terá uma receita total com juros de $1.435,00. Exercício 14:

Após 6 meses do início de uma aplicação, um investidor consulta seu saldo e constata um valor de $11.000,00. Neste momento, ele transfere todo o saldo existente para uma outra aplicação. Passados 5 meses da referida transferência, o seu capital atingiu o valor de $16.500,00. Levando em consideração que ambas as aplicações utilizaram a mesma taxa de juros simples, determine o valor do depósito inicial realizado pelo investidor.

Resposta: O investidor depositou inicialmente $6.875,00. Exercício 15:

Utilizando o Método Hamburguês, calcule os juros a serem debitados em sua conta corrente, admitindo a seguinte movimentação:


107

EXTRATO

DATA HISTÓRICO D C SALDO

01/07/X1 Saldo 400

03/07/X1 Cheque 0100 500 (100)

09/07/X1 Cheque 0101 1.000 (1.100)


21/07/X1 Cheque 0103 400 500

22/07/X1 Cheques 0102 e 0105 1.100 (600)


31/07/X1 Cheque 0107 2.500 (1.800)

Admita que os juros cobrados pelo seu banco sejam de 12% ao mês.

Resposta: Deverá ser debitado de sua conta o valor de $61,20 por conta dos juros do cheque especial, além do IOF. Exercício 16:

Qual é o valor do rendimento que você obterá se aplicar $2.000,00 por 3 meses a uma taxa de juros simples de 10% ao mês?

Resposta: Seu rendimento será de $600,00. Exercício 17:

Qual é a taxa de juros simples anual que faz uma aplicação triplicar em 5 anos?

Resposta: A taxa de juros simples que faz uma aplicação triplicar em 5 anos é 40%a. a.. Exercício 18:

Qual é a taxa de juros simples mensal que faz uma aplicação dobrar em 1 ano?

Resposta: A taxa de juros simples que faz uma aplicação dobrar em 1 ano é 8,33%a. m. Exercício 19:

Qual é o prazo de aplicação que faz um deposito inicial triplicar, sabendo que a taxa de juros é 40% ao ano?


108

Resposta: A uma taxa de juros simples de 40% a. a., o prazo necessário para um capital triplicar é de 5 anos. Exercício 20:

Determinar a taxa de juros simples mensal que faz um capital aumentar 50% ao fim de 4 meses.

Resposta: A taxa de juros é 12,5% a. m.. Exercício 21:

Que capital aplicado à taxa de juros simples de 25% a.m. produz juros de $15.000 em:

a) 3 anos b) 4 anos e 20 dias c) 1 ano, 2 meses e 20 dias

Para efeito dos cálculos, utilize o mês e o ano comerciais.

Resposta: a) VP = $1.666,67 b) VP = $1.232,88 c) VP = $4.090,91 Exercício 22:

Determinar os juros de $20.000,00 aplicados a 36% a. a. durante três meses e dezessete dias, no regime de juros simples. Calcule o montante ao final desse período.

Resposta: Juros = $2.140,00 Montante final = $22.140,00 Exercício 23:

Apliquei $50.000,00 a juros simples e obtive $36.000,00 de juros. Se a aplicação tivesse sido feita por mais 90 dias, teria obtido mais $4.500,00 de juros. Qual a taxa anual e o prazo da operação que realizei?

Resposta: O prazo da aplicação é 2 anos e a taxa é 36% ao ano.

EXERCÍCIOS – JUROS COMPOSTOS

Exercício 1:

Você resolve fazer hoje uma aplicação de $100,00. A taxa de juros compostos aplicada sobre o seu capital será de 10% ao ano. Quanto você terá num prazo de 3 anos?

Resposta: Você terá, em três anos, um valor futuro igual a $133,10.


109

Exercício 2:

Partindo de um Valor Presente de $1.000,00, qual será o montante acumulado após 8 anos da aplicação deste capital a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano?

Resposta: O montante ou valor futuro acumulado será de $3.059,02. Exercício 3:

Qual o Principal ou Valor Presente necessário para se obter um Valor Futuro de $1.500,00, após um período de 15 meses de aplicação a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês?

Resposta: Será necessário um principal de $1.114,52. Exercício 4:

Em uma aplicação com prazo de 3 anos, um capital de $1.000,00 assume um Valor Futuro de $3.000,00. Pergunta-se: qual a taxa de juros anual dessa aplicação?

Resposta: A taxa de juros anual é de 44,22% a. a.. Exercício 5:

Qual é o Valor Presente de uma pagamento de 1.210,00 a ser feito daqui a 2 anos considerando que a taxa de juros é de 10% ao ano?

Resposta: O valor presente é $1.000,00 Exercício 6:

Suponha que você tenha um saldo na sua poupança de $5.000,00. Para cobrir seu orçamento familiar, você passa a fazer retiradas mensais de $400,00. A poupança remunera os seus depósitos com uma taxa de juros compostos de 0,8% a. m.. Assim, após seis meses de retiradas consecutivas, qual será o seu saldo?

Resposta: O seu saldo será de $2.796,34. Exercício 7:

Daqui a cinco anos, você precisará ter um capital de $100.000,00 para fazer frente a um pagamento de valor pré-fixado (compra de sua casa por exemplo). Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que a poupança paga é 8,5% ao ano?

Resposta: Você deverá depositar hoje a quantia de $66.504,54.


110

Exercício 8:

Qual é o Valor Futuro que você espera obter aplicando $100.000,00 a juros compostos pelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano?

Resposta: Você deve contar com $1.283.918,47. Exercício 9:

Suponha que você queira comprar um carro importado de luxo daqui a dois anos. O preço do modelo 0Km que você pretende adquirir tem se mantido estável ao longo do tempo ($120.000,00). Sabendo que a poupança remunerará seus depósitos a juros compostos com uma taxa de 12% ao ano, que valor você deve depositar hoje para atingir seu objetivo?

Resposta: Você deve depositar hoje $95.663,27. Exercício 10:

Em um determinado dia você abre uma poupança no valor de $1.000,00. Dois meses depois você deposita mais $2.500,00. Sabendo que seus depósitos são remunerados à taxa de juros compostos de 0,7% ao mês, qual será o seu saldo após cinco meses do primeiro depósito?

Resposta: Após cinco meses da abertura da conta seu saldo será de $3.588,36. Exercício 11:

Tendo em vista a existência de duas dívidas de $1.500,00 e $3.000,00 reais vencíveis em 30 e 60 dias, respectivamente, você pretende aplicar uma determinada quantia, suficiente para arcar com as referidas obrigações, em um fundo de investimentos. Sabendo que taxa de juros aplicada sobre o seu capital será de 3% ao mês, qual deverá ser o valor da sua aplicação?

Resposta: Você deverá aplicar $4.284,10.

EXERCÍCIOS – SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS

Exercício 1:

Foi concedido um empréstimo no valor de $30.000,00, que deverá ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações sabendo-se


111

que a taxa de juros cobrada é de 1,5% a.m. e que a primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação do empréstimo.

Resposta: O valor das prestações é de $2.750,40. Exercício 2:

Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $2.000,00 numa instituição financeira e verificou que o saldo que estava a sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito era de $21.000,00. Calcule a taxa de remuneração mensal desses depósitos.

Resposta: A taxa de remuneração é de 1,0794% a.m.. Exercício 3:

Um bem é vendido à vista por $15.000,00 ou a prazo em prestações mensais de $885,71. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o número de prestações.

Resposta: O bem será pago com 24 prestações mensais. Exercício 4:

Por uma compra no valor $375,00 pagam-se 12 prestações mensais antecipadas. A juros efetivos de 8% a.m., qual o valor dessas prestações?

Resposta: O valor das prestações é de $46,07. Exercício 5:

Por um equipamento cujo valor à vista é de $40.000,00, paga-se uma entrada de 20% mais 18 prestações mensais antecipadas com carência de três meses até o início da primeira prestação. A juros efetivos de 3% a.m., determinar o valor das prestações.

Resposta: O valor das prestações é de $2.468,37.

EXERCÍCIOS – TAXAS DE JUROS

EQUIVALENTE E PROPORCIONAL (Juros Simples)

Exercício 1:

Qual é a taxa de juros simples anual equivalente a uma taxa de juros simples de 1% ao mês?

Resposta: A taxa proporcional (e equivalente) a 1% simples ao mês é 12% ao ano.


112

Exercício 2:

Qual é a taxa de juros simples mensal equivalente a uma taxa de juros simples de 12% ao ano?

Resposta: A taxa proporcional (e equivalente) a 12% simples ao ano é 1% ao mês. Exercício 3:

Qual é a taxa mensal equivalente (proporcional) a 36% com capitalização simples ao ano?

Resposta: A taxa proporcional (e equivalente) a 36% simples ao ano é 3% ao mês. Exercício 4:

Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros de 15% a.a. , no regime de juros simples?

Resposta: O montante acumulado (valor futuro) é $160,00 Exercício 5:

Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros de 7,5% ao semestre, no regime de juros simples?


Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros de 3,75% ao trimestre, no regime de juros simples?

Resposta: O montante acumulado (valor futuro) é $160,00

EQUIVALENTE, EFETIVA E NOMINAL (Juros Compostos)

Exercício 1:

Qual é a taxa mensal equivalente a 36% ao ano, para juros compostos?

Resposta: A taxa mensal equivalente a 36% ao ano é 2,595% a. m..


113

Exercício 2:

Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês, na capitalização composta?

Resposta: A taxa anual equivalente a 2% ao mês é 26,82% a. a.. Exercício 3:

Qual é a taxa anual equivalente, no regime de capitalização composta, à taxa mensal de 4,5% ao mês?

Resposta: A taxa anual equivalente a 4,5% ao mês é 69,59% a. a.. Exercício 4:

Qual é a taxa mensal de juros compostos equivalente a 24% ao ano?

Resposta: A taxa mensal equivalente a 24% ao ano é 1,809% a. m.. Exercício 5:

Você fez hoje um investimento de $1.000,00 em títulos públicos que pagam uma taxa e 16% ao ano no regime de juros compostos. Qual será o valor deste seu investimento ao final de 10 meses?

Resposta: O valor do investimento ao final dos 10 meses será $1.131,66. Exercício 6:

Uma determinada aplicação paga juros anuais de 18%, no regime de capitalização composta. Como apresenta liquidez mensal, você resolve aplicar $2.000,00 por um prazo de 4 meses. Qual será o saldo que você resgatará ao final deste prazo? Qual o valor dos juros recebidos?

Resposta: Você resgatará $2.113,44. O valor dos juros recebidos pela aplicação é $113,44. Exercício 7:

Quanto você receberá de juros se aplicar $5.000,00 a uma taxa 24% ao ano efetiva, com capitalização composta, durante um ano?

Resposta: Você deve receber $1.200,00 de juros ao final de um ano. Exercício 8:

Quanto você receberá de juros se aplicar $5.000,00 a uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, durante um ano?


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Resposta: Você deve receber $1.341,21 de juros ao final de um ano. Exercício 9:

Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros de 12% a.a. , no regime de juros compostos?


Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros efetiva de 6% ao semestre, no regime de juros compostos?


Suponha que você possa aplicar recursos a uma taxa nominal anual de 36%, com capitalização mensal. Quais são as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes?

Resposta: As taxas equivalentes são: imensal = 3%, itrimestral = 9,272%, isemestral = 19,405%.

EXERCÍCIOS – INFLAÇÃO, JUROS REAIS E NOMINAIS

Exercício 1:

Dada a tabela abaixo com os índices gerais de preço (IGP) em um determinado ano, determine a inflação ocorrida no primeiro mês, no segundo semestre e no ano.

Dez/X1 Jan/X2 Jun/X2 Dez/X2

IGP 706,54 903,45 1.126,54 1.332.87

Resposta: Imês = 27,87%; Isemestre = 18,31%; Ianual = 88,65% Exercício 2:

A inflação em cada um dos quatro primeiros meses de um determinado ano atingiu 5%. Determine a taxa de inflação resultante no primeiro trimestre, bem como a taxa média mensal de inflação para o mesmo período.

Resposta: Itrimestre = 15,76% e Imédia = 5% a.m..


115

Exercício 3:

A inflação nos três últimos meses de um ano atingiu os seguintes índices: 12,4%, 8,7% e 13,6%. De posse dessas informações, calcule a desvalorização ocorrida na moeda da economia que apresentou o comportamento supracitado.

Resposta: O valor da Desvalorização da Moeda (DM) é de 27,95% no referido trimestre. Exercício 4:

Uma aplicação oferece uma rentabilidade de 1,5% a.m. durante quatro meses consecutivos. Sabendo que a inflação neste período foi de 2,6%, calcule a taxa de juros reais resultante desta operação.

Resposta: A taxa de juros reais é 3,45% a.q. durante o prazo da operação.

EXERCÍCIOS – VALOR PRESENTE DE UM FLUXO DE CAIXA

Exercício 1:

Dado uma carteira de investimentos composta por 3 títulos que pagam 3 fluxos de caixa idênticos no valor de $900,00 em n = 1, n = 2 e n = 3, com uma taxa de desconto de 5% por período, calcule o valor deste ativo.

Resposta: O valor dessa carteira de investimentos é $2.450,92. Exercício 2:

O projeto Vento em Popa deve pagar no futuro 4 fluxos de caixa nos valores de $5.000,00, $5.800,00, $6.300,00 e $8.000,00 em n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4, respectivamente. A taxa apropriada para desconto é de 10% por período. Pergunta-se: qual o valor desse ativo?

Resposta: O valor do projeto Vento em Popa é $19.536,23. Exercício 3:

Você tem uma carteira de investimentos composta de 7 títulos, a saber:


116

Quant. Valor ($) Vencto.

Título 1 1 1.000,00 30 dias

Título 2 3 900,00 60 dias

Título 3 2 1.000,00 90 dias

Título 4 1 500,00 120 dias

Com o surgimento de uma oportunidade de negócio, você resolve se capitalizar negociando este seu ativo. Para não sair no prejuízo, considerando como apropriada uma taxa de desconto de 4% ao mês, qual deverá ser o valor mínimo aceitável para que você admita negociar esta sua carteira de investimentos?

Resposta: Você deve negociar esta sua carteira por, no mínimo, $5.663,24. Exercício 4:

Uma distribuidora de títulos oferece uma taxa de 4,5% ao mês em 5 papéis, todos com o valor de $1.300,00, com vencimentos variados de 30, 60 e 90 dias. Desejando constituir uma carteira de investimentos, você decide adquirir 2 títulos de 30 dias, 3 títulos de 60 dias e 1 título de 90 dias. Qual deverá ser o valor do seu investimento?

Resposta: O seu investimento será de $7.198,57.

EXERCÍCIOS – EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA

Exercício 1:

A Caixa Econômica, em um financiamento de $1.000,00 realizado hoje, a uma taxa de 10% ao ano, oferece os planos I, II e III como planos equivalentes para amortizar o completamente o saldo devedor em 4 anos. Verifique, através do método do Valor Presente, se esses planos são efetivamente equivalentes, quando descontados à taxa de 10% ao ano?


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Prestações

Ano Plano I Plano II Plano III

0 - - -

1 0,00 100,00 315,47

2 0,00 100,00 315,47

3 0,00 100,00 315,47

4 1.464,10 1.100,00 315,47

Resposta: VP1 = VP2 = VP3 = VP4 = $1.000,00, logo, a uma taxa de 10% a. a., os planos I, I e III são equivalentes. Exercício 2:

Um empréstimo no valor de $10.000,00 é realizado com uma taxa de juros de 4% ao ano. Calcule o valor das prestações anuais que liquidariam este empréstimo em 4 anos, usando o Sistema Price.

Resposta: Prestações constantes de $2.754,90. Exercício 3:

Um determinado bem pode ser adquirido por $10.000,00 a vista ou, alternativamente, por 3 planos equivalentes de financiamento à taxa de 10% a.a., apresentados a seguir:

Prestações Ano Plano I Plano II Plano III

1 2.000,00 1.000,00 3.000,00

2 2.900,00 1.000,00 2.800,00

3 2.700,00 1.000,00 2.600,00

4 3.500,00 1.000,00 2.400,00

5 2.200,00 11.000,00 2.200,00

Elaborar uma tabela para estes 3 planos de financiamento, que permita obter o desdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 10% ao ano, e que forneça, ainda, o saldo devedor (remanescente do principal) ao final de cada ano, antes e depois de cada pagamento. Identifique cada um dos planos acima, verificando se seguem o Sistema Price, SAC, Sistema Americano.


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Respostas:

Plano I

t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

S. Devedor (antes) 10.000,00 9.000,00 7.000,00 5.000,00 2.000,00

Prestação 2.000,00 2.900,00 2.700,00 3.500,00 2.200,00

Juros 1.000,00 900,00 700,00 500,00 200,00

Amortização 1.000,00 2.000,00 2.000,00 3.000,00 2.000,00

S. Devedor (depois) 9.000,00 7.000,00 5.000,00 2.000,00 0,00

O sistema I é um sistema qualquer não seguindo um sistema clássico Plano II

t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

S. Devedor (antes) 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00

Prestação 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 11.000,00

Juros 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

Amortização 1.000,00 0,00 0,00 0,00 10.000,00

S. Devedor (depois) 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 0,00

O sistema II é o Sistema de Amortização Americano, com pagamentos periódicos dos juros e amortização integral do principal ao final do prazo da operação. Plano III

t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

S. Devedor (antes) 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 2.000,00

Prestação 3.000,00 2.800,00 2.600,00 2.400,00 2.200,00

Juros 1.000,00 800,00 600,00 400,00 200,00

Amortização 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

S. Devedor (depois) 8.000,00 6.000,00 4.000,00 2.000,00 0,00

O sistema III é o SAC – Sistema de Amortização Constante.


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Exercício 4:

Suponha que você tenha um saldo na sua poupança de $5.000,00. Para cobrir seu orçamento familiar, você passa a fazer retiradas mensais de $400,00. A poupança remunera os seus depósitos com uma taxa de juros compostos de 0,8% a. m.. Assim, após seis meses de retiradas consecutivas, qual será o seu saldo?

Resposta: O seu saldo será de $2.796,34 Exercício 5:

Um empréstimo no valor de $200.000,00 é realizado a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano. Calcule o valor das prestações anuais que liquidariam este empréstimo em 4 anos nos seguintes sistemas: PRICE, SAC e SAM.

Resposta:

Período (ano) t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

Prestação (Price) 60.384,16 60.384,16 60.384,16 60.384,16

Prestação (SAC) 66.000,00 62.000,00 58.000,00 54.000,00

Prestação (SAM) 63.192,08 61.192,08 59.192,08 57.192,08

Exercício 6:

Você entrou num financiamento com as seguintes características: • Valor do financiamento: $150.000,00 • Prazo de pagamento: 12 meses • Taxa de juros: 10% a. m. • Amortização de 20% do saldo devedor ao final do 4o mês

Determine o valor das prestações que você pagará nos sistemas SAC, Price e SAM, desmembrando-as em juros e amortizações. Determine, ainda, o saldo devedor após cada prestação.

Resposta:

Prestações Price: 1a à 4a - $22.014,50; 5a à 12a - $17.611,20 Prestações SAC: 1a - $27.500,00; 5a - $18.000,00 Prestações SAM: 1a - $24.757,25; 5a - $17.805,60


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EXERCÍCIOS – VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL

Exercício 1:

Qual é o VPL do investimento na compra da fábrica de travesseiros RONCA-RONCA? Considere que a companhia esteja a venda por $450.000,00, que a sua vida útil econômica é de 10 anos e que, ao final do décimo ano, não terá mais licença para operar. O valor presente dos fluxos de caixa projetados para os próximos 10 anos de vida útil da Ronca-Ronca é $630.000,00. A fábrica Ronca-Ronca é uma boa opção de investimento?

Resposta: VPL = $180.000,00. Sim, pois apresenta um VPL positivo. Exercício 2:

Qual é o VPL do ativo “X” que apresenta os seguintes 4 fluxos de caixa projetados: $1.100,00 em n = 1 ano, $1.210,00 em n = 2 anos, $1.331,00 em n = 3 anos e $1.464,10 em n = 4 anos? A taxa de desconto é 10% ao ano. O custo do ativo “X” é $3.200,00.

Resposta: O VPL do ativo “X” é $800,00. Exercício 3:

Qual é o VPL do ativo “Y” que apresenta os seguintes 3 fluxos de caixa projetados: $1.320,00 e -$220,00 em n = 1 ano, $1.450,00 e -$240,00 em n = 2 anos e $1.591,00 e -$260,00 em n = 3 anos? A taxa de desconto é 10% ao ano. O custo do ativo “Y” é $1.900,00.

Resposta: O VPL do ativo “Y” é $1.100,00. Exercício 4:

Qual é o VPL da operação de investimento em títulos negociados no mercado de capitais que custa $3.000,00 e gera 4 fluxos de caixa consecutivos, ou seja, período após período, com o valor de $600,00. Ao final do quarto período, os títulos serão resgatados (recompra) pela instituição emitente por $3.250,00. Considere que a taxa apropriada para o desconto desses títulos é de 8% por período.

Resposta: O VPL da operação é $1.376,12. Exercício 5:

Você tem um projeto que demandará um investimento inicial único de $100.000,00. Este investimento fornecerá, durante 6 meses um fluxo


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de caixa, já deduzidos os impostos e as taxas, de $22.000,00. Após este prazo, não haverá qualquer valor residual ou de revenda para o projeto, ou seja, ele se esgotará. Suponha que você tenha feito o levantamento do capital necessário no mercado a uma taxa de 2% ao mês por um prazo de 6 meses. O sistema adotado pelo banco para o pagamento do empréstimo é o Sistema Price. Determine o valor presente líquido deste projeto. Diga se ele é viável ou não.

Resposta: O VPL da operação é $23.231,48. Logo, é um projeto economicamente viável.

EXERCÍCIOS – TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR

Exercício 1:

Calcule a Taxa Interna de Retorno- TIR - de um projeto com custo único inicial de $10.000,00, e que forneça um fluxo de caixa mensal, livre de impostos e taxas, no valor de $1.846,00, durante 6 meses. O valor residual do projeto após esse período é zero.

Resposta: A Taxa Interna de Retorno – TIR - é 3% a. m.. Exercício 2:

Qual é a TIR de um projeto que custa $20.000,00 e retorna 4 fluxos de caixa mensais no valor de $6.500,00?

Resposta: A Taxa Interna de Retorno é 11,388% a. m.. Exercício 3:

O projeto CRESCER promete pagar $5.000,00 em n = 1, $5.400,00 em n = 2 e $3.000,00 em n = 3. O custo de implementação do projeto Crescer é $6.000,00. Qual a TIR desse projeto?

Resposta: A TIR do projeto CRESCER é 59,45% ao período. EXERCÍCIOS – DESCONTO DE DUPLICATAS

Exercício 1:

Sua empresa está com o caixa baixo. Precisando de um capital de giro maior, para financiar suas atividades, você decide se dirigir ao seu banco, com o intuito de descontar alguns títulos resultantes de algumas operações mercantis anteriores. Sua carteira de títulos passíveis de desconto é constituída de: $142.000,00 vencíveis em 30 dias, $185.000,00 vencíveis em 60 dias e $173.000,00 com vencimento num prazo de 90 dias, todos a contar a partir da data da operação. Assuma que a taxa de desconto de duplicatas usada pelo


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seu banco é de 48% ao ano. Sendo assim, qual será o valor creditado na conta corrente da sua empresa em função desta operação?

Resposta: Sua empresa receberá um crédito em conta corrente de $458.760,00. Exercício 2:

Você tem em seu poder uma única promissória com valor de face igual a $2.800,00, e vencimento previsto para daqui a 3 meses. Suponha que você tenha uma dívida que deve ser paga integralmente hoje no valor de $1.800,00. Chegando ao banco, você toma conhecimento de que a taxa de desconto simples é de 15% ao mês. Neste caso, sabendo que esta é a única opção para quitar o débito, você descontaria a promissória?

Resposta: Não, pois o valor descontado - $1.540,00 – será menor do que o valor da dívida. Uma boa opção seria tentar negociar, com o seu credor, o pagamento da dívida através da transferência do referido título para ele. Exercício 3:

Dois títulos de crédito com o mesmo valor - $1.000,00 – e prazos de 30 e 90 dias são descontados a uma mesma taxa de 5% ao mês. Determine a rentabilidade obtida pela instituição financeira nas operações realizadas sobre cada título.

Resposta: i30 dias = 5,26% a. m. e i90 dias = 5,56% a. m..

Com este exercício podemos constatar que as operações de desconto mais rentáveis para os bancos comerciais são aquelas que envolvem os maiores prazos.


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TESTE SIMULADO - MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof. Marcos Bezerra Prova individual O teste terá a duração de 2 horas. Será composto por 10 questões, cujas pontuações estarão discriminadas nos respectivos enunciados. CONSULTA PROIBIDA. PODE ser utilizada a calculadora financeira (desde que sejam indicados claramente os procedimentos adotados, bem como os valores indicados no visor da mesma).

Equações: (((( ))))(((( )))) SimplesJurosni1VPVF

CompostosJurosi1VPVF n

××××++++××××====

++++××××====

1a Questão (0,75 pontos):

Um investidor aplicou um capital à taxa de juros simples de 15% a. a.. Depois de 18 meses, resgatou o principal e seus juros, aplicando todo esse montante a uma taxa simples de 18% a. a. pelo prazo de 10 meses e, ao final desse prazo, retirou todo o saldo - $162.006,25. Pergunta-se: qual o valor da aplicação inicial? 2a Questão (1 ponto):

Em um determinado mês, você fez a seguinte utilização do limite do seu cheque especial:

EXTRATO

DATA HISTÓRICO D C SALDO

01/03/X1 Saldo 1.200

04/03/X1 Cheque 0100 1.500 (300)


15/03/X1 Cheque 0100 2.000 (1.300)

19/03/X1 Cheque 0103 800 (2.100)

25/03/X1 Cheques 0102 e 0105 100 (2.200)

28/03/X1 Depósito em dinheiro 1.200 (1.000)

30/03/X1 Cheque 0107 500 (1.500)


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A taxa do cheque especial cobrada pelo seu banco é de 10% a. m.. A alíquota reduzida atual do IOF é 0,0082% a. d.. Sendo assim, calcule os valores referentes aos juros e ao IOF, que serão debitados em sua conta no final do período. 3a Questão (1 ponto):

Qual é a taxa de juros que faz uma aplicação dobrar em 5 anos? 4a Questão (0,75 pontos):

Com uma aplicação de $650.000,00 no regime de capitalização composta, um investidor resgatou $300.000,00 no fim de 3 meses, $200,000,00 após 5 meses, $50.000,00 no final do sexto mês e $184.630,04 no fim de 8 meses. Qual a taxa de juros dessa aplicação? 5a Questão (1 ponto):

Uma instituição divulga que remunerará os depósitos em uma dada aplicação com uma taxa nominal de 24% a. a.. Porém, seu banco lhe oferece uma taxa efetiva de 25% a. a. sobre o capital investido. Desprezando outros fatores (taxas e impostos) e considerando o regime de capitalização composta, em qual instituição você aplicaria o seu dinheiro? Justifique a sua resposta. 6a Questão (0,75 pontos):

Você aplicou $40.000,00 pelo prazo de 6 meses a uma taxa nominal de 14,4% a. a., com capitalização bimestral. Sabendo que a operação ocorre no regime de capitalização composta, qual será o seu saldo ao término do referido período? 7a Questão (1 ponto):

Determine o valor da parcela X que torna os fluxos de caixa apresentados abaixo equivalentes, à taxa de juros de 2% a. m., no regime de juros compostos.


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Pagamentos Mensais ($)

Mês Fluxo A Fluxo B

0 - -

1 1.000,00 -

2 2.000,00 1.200,00

3 2.200,00 X

4 3.000,00 2.000,00

5 3.300,00 3.000,00

6 4.000,00 3.500,00

Total 15.500,00 9.700,00 + X

8a Questão (1 ponto):

Você está interessado em um determinado projeto que tem um custo inicial único de $120.000,00 e gera quatro fluxos de caixa positivos, como se segue: $30.000,00 no final do 2o mês, $45.000,00 após 4 meses, $25.000,00 ao fim de 5 meses e $15.000,00 no seu encerramento, após 8 meses. Sabe-se, ainda, que este projeto apresenta um valor residual de $60.000,00. De posse dessas informações, e admitindo uma taxa mínima de atratividade de 4% a. m., determine o valor presente líquido deste projeto, fazendo então uma análise em relação à sua viabilidade em termos econômicos. 9a Questão (1,25 pontos):

Determine a taxa interna de retorno do investimento representado pelo fluxo de caixa abaixo:

Tempo

(meses)

0 1 2 3 4

$5.000,00

$1.000,00

$1.500,00 $2.000,00

$2.500,00


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10a Questão (1,5 pontos):

Você pretende adquirir um veículo no valor de $70.000,00. O valor que você dispõe para dar de entrada é $30.000,00. Sabendo que a taxa de juros compostos praticada pela instituição financeira é de 3,5% a. m. para os prazos de 12 meses, calcule o valor das prestações que você deverá pagar nos sistemas SAC, Price e SAM, desmembrando-as em juros e amortizações.

Supondo que exista uma previsão de aumento dos seus gastos familiares daqui a sete meses (por exemplo: você vai ter um filho), qual será a melhor opção entre os três sistemas? Por quê?

Documents

Matematica financeira FGV