Matemática: Funções Vestibulares 2015-2011 - UNICAMP · 2015-12-26 · r a reta de equação cartesiana x 2y 4. ... 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0,0), (t,0)

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Matemática: Funções

Vestibulares 2015-2011 - UNICAMP 1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x 2y 4. Para cada número real t

tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de

abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.

a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T,

e esboce o seu gráfico.

b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo

número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem

somente um ponto em comum com a reta r.

2. (Unicamp 2015) Considere a função 1 x 1 xf(x) 10 10 , definida para todo número real x.

a) Mostre que 10f(log (2 3)) é um número inteiro.

b) Sabendo que 10log 2 0,3, encontre os valores de x para os quais f(x) 52.

3. (Unicamp 2015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax 3a

e g(x) 9 2x, definidas para todo número real x.

a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) 0.

b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) g(f(x)) para todo número real x.

4. (Unicamp 2014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma

2f(x) x a x b, definidas para todo x real.

a) Sabendo que o gráfico de y f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x,

determine os possíveis valores de a e b.

b) Quando a b 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum.

Determine as coordenadas desse ponto.

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5. (Unicamp 2014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu

desenvolvimento pode ser expressa pela função 3h(t) 0,5 log (t 1), onde o tempo t 0 é

dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura

expressa pela função composta g(t) h(3t 2). Verifique que a diferença g(t) h(t) é uma

constante, isto é, não depende de t. 6. (Unicamp 2014) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de

4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função

que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água.

a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30.

b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago

por metro cúbico? E para um consumo mensal de 25 metros cúbicos? 7. (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo.

Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x)

35 23,8 cm

42 27,3 cm

Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.

b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x – 20) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma progressão

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aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck), com k natural, calcule o comprimento c5.

8. (Unicamp 2013) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela,

encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo.

Tempo (segundos) 0 1 2 3 4

Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140

b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima atingida e o

tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.

9. (Unicamp 2012) Considere a função f(x) 2x x p , definida para x real.

a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor. b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 12. 10. (Unicamp 2012) O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz

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positiva da equação quadrática obtida a partir de

x 1x

x

a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo. b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-

ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula

1, se n 1 ou 2;F(n)

F(n 1) F(n 2), se n 2.

Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10º e o 11º termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal para o número áureo. 11. (Unicamp 2011) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando CO2, além de outros gases e resíduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg

de CO2 a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO2

ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso?

b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do carro.

Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO2, em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo.

Velocidade (km/h)

Emissão de CO2 (g/km)

20 400

30 250

40 200

12. (Unicamp 2011) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 x 20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura abaixo. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por

2

CG CG

400 w 20400 15wx w e y w ,

80 2w 80 2w

em que xCG é a coordenada horizontal e yCG é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.

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a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as

coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm2. b) Determine uma expressão geral para w(xCG), a função que fornece a dimensão w em relação

à coordenada xCG, e calcule yCG quando xCG = 7/2 cm. 13. (Unicamp 2011) Define-se como ponto fixo de uma função f o número real x tal que f(x) = x. Seja dada a função

1

f x1

x 1.2

a) Calcule os pontos fixos de f(x). b) Na região quadriculada abaixo, represente o gráfico da função f(x) e o gráfico de g(x) = x,

indicando explicitamente os pontos calculados no item (a).

14. (Unicamp 2010) Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato

MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz.

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Um resumo do levantamento é apresentado na tabela a seguir.

Modelo Preço

(R$)

Aparelhos vendidos

(milhares)

A 150 78

B 180 70

C 250 52

D 320 36

a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio

entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá um cupom para

cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom.

Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários

resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o

prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior

a R$ 300,00.

b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado,

ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo

modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de

aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais).

Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é

dada por n × p.

15. (Unicamp 2010) Suponha que f: IR→IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e

periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é

apresentado a seguir.

a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99).

b) Dadas as funções g(y) = y2 – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x)

para 2,5 ≤ x ≤ 5.

7

Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Sabendo que P pertence à reta r, temos t

P t, 2 .2

Além disso, para todo 0 t 4,

o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que

1 t tA(t) t 2 (t 4).

2 2 4

O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes

são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2,1).

b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x

y 22

com a função k

g(x) ,x

sendo

x 0, satisfazem a equação

2x k2 x 4x 2k 0.

2 x

Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a

zero, ou seja, 2( 4) 4 1 2k 0,Δ o que implica em k 2.

Resposta da questão 2: a) Com efeito, temos

x

x

1f(x) 10 10 .

10

Logo, sabendo que alog ba b, com a e b reais positivos e a 1, vem

10

10

log (2 3)10

log (2 3)

1f(log (2 3)) 10 10

10

110 2 3

2 3

10 2 3 2 3

40.

Portanto, segue que 10f(log (2 3)) 40 .

b) Tem-se que

8

x

x

2x x

x

10 10

1f(x) 52 10 10 52

10

5 10 26 10 5 0

26 2410

10

x log 5 ou x log 5.

Dado que 10log 2 0,3, vem

10 10 10 1010

log 5 log log 10 log 2 1 0,3 0,7.2

Portanto, os valores de x para os quais f(x) 52 são 0,7 e 0,7.

Resposta da questão 3:

a) Sendo a 0, temos

9f(x)g(x) 0 a(x 3) x 0

2

93 x .

2

Portanto, segue que x { 2, 1, 0,1, 2, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras.

b) Tem-se que

f(g(x)) ag(x) 3a a(9 2x) 3a 2ax 12a

e

g(f(x)) 9 2f(x) 9 2(ax 3a) 2ax 6a 9.

Logo, vem

f(g(x)) g(f(x)) 2ax 12a 2ax 6a 9

1a .

2


a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0,1), então b 1. Além disso,

como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem

20 a 4 1 1 0

a 2.

Δ

Portanto, a 2 e b 1.

b) Se a b 1 b 1 a, então 2f(x) x ax 1 a. Agora, sem perda de generalidade,

tomando a 0 e a 1, obtemos 21f (x) x 1 e 2

2f (x) x x, respectivamente. Ora, como os

gráficos de 1f e de 2f possuem um ponto em comum, tem-se 2 2x 1 x x x 1. Em

consequência, o resultado pedido é (1, 2).

9


a) O valor de t para o qual se tem h(t) 0,5 é

30,5 0,5 log (t 1) t 0.

Para h(t) 1,5, obtemos

31,5 0,5 log (t 1) t 1 3 t 2.

Portanto, serão necessários 2 anos para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m.

b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma

3

3

3 3

g(t) h(3t 2)

0,5 log (3t 2 1)

0,5 log 3 (t 1)

0,5 log 3 log (t 1)

1 h(t).

Por conseguinte,

g(t) h(t) 1 h(t) h(t) 1,

para todo t 0.

Resposta da questão 6: a) A lei da função c é dada por

20, se 0 x 10c(x)

(x 10) 4 20, se x 10

20, se 0 x 10.

4x 20, se x 10

Logo, o gráfico de c, para 0 x 30, é

b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por metro cúbico é dado por

c(4) 20R$ 5,00.

4 4

10

Para um consumo mensal de 25 metros cúbicos de água, o preço efetivamente pago por

metro cúbico é dado por

c(25) 4 25 20R$ 3,20.

25 25


a) t(x) = ax + b

27,3.a b 42

23,8.a b 35

Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = –12,6.

Logo t(x) = 2x – 12,6.

Agora escrevendo x em função de t, temos:

x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3.

b) 5.(x 20)

f(x)3

n1 = 5, n2 = 5,5, n3 = 6, n4 = 6,5 e n5 = 7.

Fazendo 55.(c 20)7 ,

3

temos:

5 5c – 100 = 21

5 5c = 121

5c = 24,2 cm


a) v = 35.t, onde t é o tempo e v a velocidade. No 30º segundo, a velocidade será dada por: v = 35.30 = 1050 km/h.

b) De acordo com o gráfico, temos: A velocidade máxima está entre 1300 km/h e a 350 km/h, um valor aproximado seria 1350

km/h; O tempo que Felix superou a velocidade do som é maior que 30 e menor que 45; uma aproximação seria 37,5s. Resposta da questão 9:

a) Tomando como referência o ponto (1,2) destacado no gráfico, temos:

2 2.1 1 p 1 p 0 p 1.

b) 2x x 3 12 x 3 12 2x x 3 12 2x ou x 3 2x 12Ûx 5 ou x 9.

x = 9 não convém, pois 12 – 2.9 < 0. Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5. Resposta da questão 10:

a) 2x 1 1 5 1 5x x x 1 0 x ou x = .

x 2 2

Considerando a raiz positiva, temos 1 5

x .2

b) f(10) = f(9) + f(8) = f(8) + f(7) + f(8) = 21 + 13 + 21 = 55

11

f(11) = f(10) + f(9) = f(10) + f(8) + f(7) = 55 + 21 + 13 = 89 Fazendo f(11)/f(10), temos 89 / 55 1,6.


Numa viagem de 378km são consumidos 378

2813,5

litros de combustível. Logo, a

quantidade de 2CO emitida pelo carro foi de 28 2,7 75,6kg.

Seja 2c(v) av bv c a lei da função que fornece a quantidade de 2CO , em g km, com

relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40km h.

Da tabela fornecida obtemos: 2

2

a 20 b 20 c 400,

a 30 b 30 c 250

e

2a 40 b 40 c 200.

Assim, queremos calcular a, b e c, de modo que:

400a 20b c 400

900a 30b c 250 .

1600a 40b c 200

Logo,

1a

c 400 20b 400a 2

50a b 15 b 40 .

60a b 10 c 1000

Portanto, 21

c(v) v 40v 1000.2


a) A função que fornece a área da placa recortada em relação a w é dada por:

A(w) 10 20 5 w 200 5w.

Assim, quando 2A(w) 150cm , temos que:

A(w) 150 200 5w 150 w 10cm.

Portanto, as coordenadas do centro de gravidade quando 2A(w) 150cm são:

CG

400 15 10 250 25x (10) cm

80 2 10 60 6

e

2

CG

400 (10 20) 500 25y (10) cm.

80 2 10 60 3

b) Temos que:

CG CG CG

CG CG

CG CG

CGCG

CG

400 15wx 80x 2wx 400 15w

80 2w

15w 2wx 400 80x

w(15 2x ) 400 80x

400 80xw(x ) .

15 2x

12

Logo,

CG

7400 80

7 7 1202x cm w 15cm.72 2 8

15 22

Portanto, quando CG

7x cm,

2 segue que:

2

CG

400 (15 20) 425 17y (15) cm.

80 2 15 50 2


a) Sabendo que os pontos fixos de f são as raízes da equação f(x) x, temos:

2

2

1 21 x 1 x

1 2x 1x

2

(x 1)(2x 1) 2

2x x 3 0

1 ( 1) 4 2 ( 3)x

4

3x 1ou x .

2

b) O gráfico de f pode ser obtido através da translação do gráfico da função 1

yx

ao longo

do eixo x de 1

2 unidade para a esquerda, e de uma translação do gráfico resultante de 1

unidade para cima:

13

No gráfico acima estão indicados os pontos ( 1, 1) e 3 3

, ,2 2

cujas abscissas são os

pontos fixos de f. Resposta da questão 14:

a) Total de cupons: 78 + 70 + 2,52 + 3.36 = 360mil cupons.

Logo P = %3010

3

360

336

x

b) n(p) = 115 – 0,25

R(p) = (115 – 0,25p ).p

R(p) = - 0,25p2 + 0,115p

pv = 2305,0

115

2

a

b

Resposta R$ 230,00 Resposta da questão 15:

a) admitindo período 10 e função ímpar o gráfico deverá ser como o da figura.

A equação da reta AB é y = 2x e f(99) = f(-1)

Considerando x = 99, temos f(99) = 2.(-1) = -2

b) equação da reta BC y = - 2x + 10

h(3) = g(f(3)) = g(-2.3 + 10) = g(4) = 42 – 4.4 = 0

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