Matemática i

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Profº Cláudio Mendes

Princípio mul-plica-vo

Se uma decisão A pode ser tomada de x modos e uma outra decisão B pode ser tomada de y modos, o número de modos que podemos tomar a decisão A seguida da decisão B é x ·∙ y

(Correios-‐RJ) Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados, uMlizando os algarismos de 1 até 9? a) 729. b) 576. c) 504. d) 999. e) 441.

9 8 7

9 ·∙ 8 ·∙ 7 = 504

Permutações

Permutar é arranjar objetos disMntos em ordens diferentes

Ex: De quantos modos podemos arranjar 4 pessoas em 4 cadeiras enfileiradas?

Fatorial

n! = n ·∙ (n-‐1) ·∙(n-‐2) ·∙ ... ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1

4! = 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 24 modos

(Correios-‐RJ) De quantas maneiras disMntas seis caixas de cores diferentes podem ser empilhadas? a) 36. b) 72. c) 360. d) 540. e) 720.

6! = 6 ·∙ 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 720

Combinação simples são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.

Combinações simples

)!pn(!p!nC p,n −

=

(Correios-‐RJ) Um departamento de uma empresa tem 10 funcionários, sendo 6 homens e 4 mulheres. Quantos grupos de trabalho diferentes podem ser formados, contendo 4 homens e 2 mulheres? a) 45. b) 90. c) 30. d) 60. e) 115.

C6,4 ·∙ C4,2

C6,4 = 6 ·∙ 5 ·∙ 4 ·∙ 3 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1

= 30 2

= 15

C4,2 = 4 ·∙ 3 2 ·∙ 1

= 12 2

= 6

C6,4 ·∙ C4,2 = 15 ·∙ 6 = 90

(Eletrobrás) Uma empresa dispõe de 12 seguranças, dentre eles, João e José. Os seguranças trabalham diariamente, em três turnos, quatro em cada turno. João avisou que irá ao médico na próxima 2ª feira pela manhã, portanto não poderá trabalhar no 1º turno. Sabendo-‐se que José já foi escalado para trabalhar no 1º turno da próxima 2ª feira, de quantos modos disMntos os demais integrantes desse turno poderão ser escolhidos? (A) 120 (B) 165 (C) 210 (D) 220 (E) 330

C10,3 = 10 ·∙ 9 ·∙ 8 3 ·∙ 2 ·∙ 1

= 3 4

120

(PETROBRAS) Para se cadastrar em determinado site, é necessário criar uma senha numérica de seis dígitos. Pedro vai uMlizar os algarismos da data de nascimento de seu filho, 13/05/1997. Se Pedro resolver fazer uma senha com algarismos disMntos e iniciada por um algarismo ímpar, serão n possibilidades. Pode-‐se concluir que n é igual a: (A) 600 (B) 720 (C) 1.440 (D) 2.880 (E) 6.720

Algarismos disMntos: 0, 1, 3, 5, 7, 9

5 5!

5 ·∙ 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 600 5 ·∙ 5! =

(EPE) Quantas são as possíveis ordenações das letras da palavra BRASIL, tais que a letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição? (A) 120 (B) 184 (C) 216 (D) 240 (E) 360

B

1 5! = 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 120 R 1

5! = 5 ·∙ 4 ·∙ 3 ·∙ 2 ·∙ 1 = 120

B e R juntas:

4! =

B 1 1

24

R

B ou R:

120 + 120 – 24 = 216

Conjuntos


∈ ∉

Conjunto é uma coleção de elementos que segue (ou não) uma regra definida.

Per-nência:

x A x é elemento do conjunto A

x ∉

∈

A x não é elemento do conjunto A

Ex:

A={a, b, c} b A

d A

∈

∉

vmv

⊂ ⊂

⊂

Inclusão

A B Todo elemento de A é elemento de B ou A é subconjunto de B.

A B Existe pelo menos um elemento de A que não é elemento de B ou A não é subconjunto de B.

D = {a, b, c}

C = {b, c, d}

E = {b, c, d, e}

EX:

C E

D C

⊂

⊂

⊄

⊄

{ }B xou ∈∈= Axx{ }B xou ∈∈= Axx

{ }B xou ∈∈= Axx

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

A ∩ B

A U B

A – B

{ }B xou ∈∈= Axx

{ }B xe ∈∈= Axx

{ }B xe ∉∈= Axx

Ex:

A = {a, b, c}

B = {b, c, d}

A U B = {a, b, c, d}

A ∩ B = {b, c}

A – B = {a}

DIAGRAMAS DE VENN

A B

A B

A B

A U B

A ∩ B

A – B

(FINEP) Sabemos que: – X é um conjunto com 5 elementos; – Y é um conjunto com 7 elementos; – A interseção de X com Y possui, no mínimo, 4 elementos. Portanto concluímos que: (A) X ⊄ Y ; (B) X UY possui 7 ou 8 elementos; (C) X UY possui 11 ou 12 elementos; (D) X −Y é unitário; (E) Y − X possui 2 elementos.

X Y X Y 4 5 1 3 0 2

Realizada uma pesquisa de opinião entre os moradores de uma cidade, para saber, dentre as marcas de sabão em pó “A” e “B”, a que costumavam usar no seu dia a dia, obMvemos os seguintes dados referentes à amostra pesquisada: 30% não usavam essas duas marcas de sabão em pó; 35% usavam a marca “A”; 50% usavam a marca “B”; foram consultadas 300 pessoas e todas responderam às perguntas. Podemos afirmar que, na amostra pesquisada, a quanMdade de pessoas dessa cidade que uMliza as duas marcas de sabão (A e B), é: A) 75. B) 100. C) 45. D) 50. E) 60.

30% de 300 = 90 35% de 300 = 50% de 300 = 150

105 Não usa A nem B Usa A Usa B

A + B = 255 300 – 90 = 210 Usam A ou B

255 – 210 = 45

Usam A e B

Numa sala de 40 estudantes constatou-‐se que 16 estudam francês, 17 estudam espanhol, 15 estudam alemão, 4 estudam francês e espanhol, 3 estudam espanhol e alemão, 5 estudam francês e alemão e 1 estuda as três línguas. O número de jovens que estudam uma única língua é: (A) 16 (B) 20 (C) 25 (D) 27 (E) 31

F

A

E

1

8

11 8

3

2

4

Uma única língua:

8 + 8 + 11 = 27

DIVISÃO PROPORCIONAL


vmv

Divisão proporcional

Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.

André, Beto e Carlos receberam a tarefa de limpar um terreno. André trabalhou 2 horas. Beto trabalhou 3 horas e Carlos trabalhou 5 horas. Os três receberam R$ 160,00 como recompensa pelo trabalho. Como os amigos devem repar-r esta quan-a de forma justa?

2p + 3p + 5p = 160

10p = 160 p = 160 10 p =16

A = 2p

B = 3p

C = 5p

Temos:

A = 2·∙16

B = 3·∙16

C = 5·∙16

= R$ 32,00

= R$ 48,00

= R$ 80,00

(Correios-‐RJ)Dividindo-‐se R$ 3.375,00 em partes A, B e C, proporcionais respecMvamente, a 3, 5 e 7, a parte correspondente a C é igual a: (a) R$ 675,00. (b) R$ 1.125,00. (c) R$ 2.025,00. (d) R$ 1.575,00. (e) R$ 1.350,00.

3p + 5p + 7p = 3375

15p = 3375

p = 3375 15

p = 225 A = 3p B = 5p C = 7p

Temos:

C = 7·∙225 = R$ 1.575,00

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

PROFº CLÁUDIO MENDES

1ª PARTE

EQUAÇÃO É uma sentença algébrica que contém uma igualdade

3x – 7 = 19

1º membro 2º membro

termos: 3x; –7; 19

incógnita: x

termo com incógnita: 3x termos independentes: –7 ; 19

Resolver uma equação do 1º grau é determinar o valor numérico da incógnita de modo que a igualdade da sentença seja verdadeira.

x + 7 = 10

x = 3

Resolução de uma equação:

I Vamos resolver a equação abaixo: 4x + 13 = 25

412

4x = 25 – 13

x =

x = 3

÷

–

4x = 12

220

Mais um exemplo: x – 9 = 3x + 11

– 2x = 20

2x = -‐20

x = 220

− x = -‐10

(-‐1)·∙( ) ·∙(-‐1)

÷

+

–

x – 3x

= 11 + 9

Resolva as equações: a)  x – 15 = 14

b)  2x + 9 = 23

c)  3x – 11 = 2x + 5

d)  2x + 8 = 5x – 10

Equações do 1º grau

2ª Parte

Prof Cláudio Mendes

385 −++− xx ( ) 764764 ++−−=−−+− xxxx

Expressões com parênteses:

( )=−−+− 764 xx

Sinais antes dos parênteses

( )=−++−+ 385 xx

( )=−++−− 3242 xx 6248 +−−+ xx

764 ++−− xx

385 −++− xx

Número antes dos parênteses

( ) ( ) ( )5241323 +−+−=−++−− xxx Eliminar parênteses

524263 +−−=−+− xxx Agrupar os termos com incógnita.

235426 +++−=++ xxx Efectuar as operações

69 =x

96

=x

32

=x

Ex:

÷3

÷3

752 −

=x

752 −

=x

752 −

=x

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

752 +−

−x

Um sinal menos antes da fração afeta todos os termos do numerador.

Observações:

Esta fração também pode ser apresentada na forma:

75

72

−x

752 −

=xEx:

31

4235 +

−=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

xxx

31

34215

25

−−=++− xxx

9044330 −−=++− xxx

4439030 −−=++− xxx

2394

=x

9423 −=− x

124

124

123

1290

1230

−−=++− xxx

Igualar denominadores:

m.m.c.(2,3,4)=12 (6) (6) (3) (4) (4)

(6) (6) (3) (4) (4)

Todos iguais. Podem ser Mrados

x(– 1) x(– 1)

NÚMEROS RACIONAIS


Número racional é todo número indicado pela

expressão ba com b ≠ 0 e é representado

pela letra Q. I

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈∈= *Z b e Za baQ

122 =

144 −

=−

155 =

Observações: I) Todo número natural é um racional. Ex:

II) Todo número inteiro rela-vo é racional. Ex:

144 −

=−

155 =

FRAÇÕES Fração é o número que representa uma ou mais partes de uma unidade dividida em partes iguais.

Exemplos:

1 hora = 60 minutos

15 minutos

45 minutos

41

de hora =

43 de hora =

vmv

ba numerador

denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade

indica quantas partes f o r am t omad a s d o denominador

100089

10027

103 ,,

100089

10027

103 ,,

100089

10027

103 ,,

FRAÇÕES ORDINÁRIAS

FRAÇÕES DECIMAIS São frações onde o denominador é representado por uma potência de 10. Ex:

São todas as outras frações Ex:

83

103

10059 ,

1000341 ,

8132 ,

193307 ,

53

53

53

TIPOS DE FRAÇÕES

Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador.

Frações Impróprias: O numerador é maior que o denominador.

Frações Aparentes: São frações onde o numerador é divisível pelo denominador.

53

21

2615

58

613

1229

510

26

88

21

21

21

São frações que representam a mesma parte do inteiro, logo, são frações de mesmo valor.

FRAÇÕES EQUIVALENTES

Ex:

21

42

63

84

105

= = = =

Frações equivalentes

6036

6036

6036

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Simplificar uma fração é encontrar uma outra fração equivalente onde o numerador e o denominador são primos entre si.

Ex:

= ÷ 2

÷ 2 6036

3018

159

53÷ 3

÷ 2 = = ÷ 2

÷ 3

Fração irredunvel

2436

2436

2436

Simplifique as frações:

a)

b)

c)

2436

7042

9156

FUNÇÃO DO 1º GRAU


Função do 1º grau é toda função redu�vel à forma f(x) = ax + b, onde a e b representam números reais. Também pode ser chamada de função afim.


Função do 1º grau é toda função redu�vel à forma f(x) = ax + b, onde a e b representam números reais. Também pode ser chamada de função afim.

O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta.


GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU f(x) = ax + b

x

y

b

x1

Interseção com eixo x:

x1 é a solução da equação ax + b = 0

O ponto (x1, 0) é a interseção da reta y = ax + b com o eixo x.

Interseção com o eixo y:

O ponto de interseção da reta y = ax + b com o eixo y sempre será o ponto (0, b).

Um produto ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização em virtude do seu uso. Esta desvalorização é representada pela função P(t) = 50 -‐ 5t, em que P é o preço do produto (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). O custo dessa máquina após 7 anos de uso será de: (A)R$ 10,00 (B)R$ 35,00 (C)R$ 50,00 (D)R$ 25,00 (E) R$ 15,00

(DECEA) O gráfico abaixo apresenta a quanMdade Q de água que jorra do chuveiro da casa de Maria, em função do tempo t.

Ao tomar banho, Maria deixa o chuveiro aberto por 12 minutos. Para que o consumo de água em cada banho passasse a ser de 128 litros, Maria teria que manter o chuveiro fechado por x minutos, enquanto se ensaboa. Conclui-‐se que x é igual a (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

(Petrobras) O gráfico abaixo apresenta a quanMdade média de CO2, em gramas, lançada na atmosfera por automóveis modelos “luxo” e “mini”, em função da distância percorrida, em km.

Considere a quanMdade média de CO2 lançada na atmosfera por um carro “luxo” ao percorrer 600km. Que distância, em km, deveria ser percorrida por um carro “mini”, de modo que a mesma quanMdade média de CO2 fosse lançada na atmosfera? (A) 800 (B) 900 (C) 1.000 (D) 1.100 (E) 1.200

(BNDES) A figura abaixo ilustra o gráfico da função que associa o volume de gás consumido pelos domicílios de um município ao valor pago por esse consumo.

O valor pago, em reais, por cada metro cúbico consumido, é de: (A) 4,00 (B) 4,20 (C) 5,00 (D) 5,60 (E) 7,00

Função do 2º grau (ou função quadráMca) é toda função que Pode ser reduzida à forma f(x) = ax2 + bx + c

O gráfico de uma função do 2º grau sempre será uma parábola.

Côncava para cima Côncava para baixo a > 0 a < 0

vmv Interseção com o eixo y

Uma parábola sempre interceptará o eixo y no ponto (0, c)

c

Zeros da função:

Os zeros da função são as raízes x1 e x2 da equação ax2 + bx + c = 0

A parábola sempre interceptará o eixo x nos pontos (x1,0) e (x2,0)

x1 x2 x

y

(Correios-‐RJ) A função do 2º grau y = f(x) = – 16x2 + 9x corta o eixo das ordenadas no ponto P, tal que: a) P = 16. b) P = 4. c) P = – 9. d) P = 3. e) P = zero.

Eixo das ordenadas = eixo y.

O ponto de interseção de f(x) = ax2 + bx + c é o ponto (0, c).

f(x) = -‐ 16x2 + 9x

a = -‐16 b = 9 c = 0

Logo, P = 0

Vér-ce da parábola:

O vérMce da função f(x) = ax2 + bx + c é o ponto

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ−−=a

,abV

42

Se a > 0, o vérMce é ponto mínimo

Se a < 0, o vérMce é ponto máximo

V

V

a4Δ

−

a4Δ

−

f(x) = x2 – 6x a = 1 b = -‐6 c = 0

Valor máximo ou valor mínimo:

Δ = b2 -‐ 4ac Δ = 36

a4Δ

−

ap

4Δ

−=

9436

−=−=p

g(x) = 6x – x2 – 8

a = -‐1 b = 6 c = -‐8

Δ = b2 -‐ 4ac

Δ = 4

aq

4Δ

−=

144=

−−=qq – p = 1 – (– 9) = 1 + 9 = 10

38 (E) 10 (D) 6 (C) 52 (B) 2 )A(

(Infraero) Na figura vemos os gráficos das funções f(x) = x2 – 6x e g(x) = 6x – x2 – 8. Se p é o menor valor assumido por f(x) e q é o maior valor assumido por g(x), então podemos afirmar que q – p é igual a:

=−=abxv 2

=−=abxv 2

=−=abxv 2

O lucro de uma fábrica é dado em reais por L(x) = 1500.(80 -‐ x).(x -‐ 60), onde x é o número de máquinas produzidas por mês na fábrica. O número de máquinas que esta fábrica deve produzir mensalmente para obter o maior lucro possível é: (A) 50 (B) 60 (C) 70 (D) 80 (E) 90

Reduzindo:

L(x) = 1500(-‐x2 + 80x + 60x – 4800)

L(x) = 1500(-‐x2 + 140x – 4800)

L(x) = -‐1500x2 + 210000x + 7200000

=−=abxv 2 )( 15002

210000−⋅

−

=−

−=3000

210000vx 70

GRANDEZAS PROPORCIONAIS


Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Ex: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra também aumenta (ou diminui) na mesma proporção.

Ex:

A quanMdade de laranjas em uma feira e o preço pago por elas.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção.

Ex:

A velocidade de um móvel e o tempo de percurso.

Grandezas inversamente proporcionais

Número de pessoas em um churrasco e a quantidade de carne consumida.

Número de erros em uma prova e a nota obtida.

Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.

Distância percorrida por um automóvel e o gasto de combustível .

Outros exemplos:

Grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais.

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