MATEMÁTICA III

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MATEMÁTICA IIIMATEMÁTICA IIIMATEMÁTICA IIIMATEMÁTICA III

I - Números reais, inteiros e racionais. Operações. Problemas. II - Números e grandezas proporcionais.Razão e proporção. Divisão proporcional. Regras de três simples e composta. III - Porcentagem. Jurossimples e compostos. Descontos. IV - Equações e inequações de 1º e 2º graus. Sistemas de 1º e 2º graus.Problemas. V - Progressões aritméticas e geométricas. VI - Análise combinatória. VII - Probabilidade. VIII- Medidas de comprimento, superfície, volume, capacidade, massa e tempo. Sistema legal de unidades de medida.



Números ReaisNúmeros ReaisNúmeros ReaisNúmeros Reais

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjuntodos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelosseguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidosformam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima.Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações efunções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição deexistência da incógnita na expressão.

Potenciação de Números ReaisPotenciação de Números ReaisPotenciação de Números ReaisPotenciação de Números Reais

Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 ,utilizando a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas.

Número inteiro no expoente

Propriedades da potenciação


Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.

Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e subtrair os expoentes”.

Potência de potência

Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”.

Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.


Números Inteiros

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo denúmero, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo.Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade esentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar umsímbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação paraexpressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciantevendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal demenos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traçoscruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão amais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas tambémrepresentar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjuntodos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número emalemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}


(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar onúmero 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente daesquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotadapor convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um esomente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e oantecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

(a) 3 é sucessor de 2(b) 2 é antecessor de 3(c) -5 é antecessor de -4(d) -4 é sucessor de -5(e) 0 é antecessor de 1(f) 1 é sucessor de 0(g) -1 é sucessor de -2(h) -2 é antecessor de -1Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele écaracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Zque é 0.

Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entreum número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}


Exemplos:

(a) |0| = 0(b) |8| = 8(c) |-6| = 6Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância destenúmero até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar eaos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)(+3) + (+4) = (+7)(+3) + (+4) = (+7)(+3) + (+4) = (+7)

perder 3 + perder 4 = perder 7perder 3 + perder 4 = perder 7perder 3 + perder 4 = perder 7perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)(-3) + (-4) = (-7)(-3) + (-4) = (-7)(-3) + (-4) = (-7)

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)(+8) + (-5) = (+3)(+8) + (-5) = (+3)(+8) + (-5) = (+3)

perder 8 + ganhar 5 = perder 3perder 8 + ganhar 5 = perder 3perder 8 + ganhar 5 = perder 3perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)(-8) + (+5) = (-3)(-8) + (+5) = (-3)(-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do númeronegativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um númerointeiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 09 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos.


Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade,como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetiçãopode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinalentre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos númerosSinais dos númerosSinais dos númerosSinais dos números Resultado do produtoResultado do produtoResultado do produtoResultado do produto

iguaisiguaisiguaisiguais positivopositivopositivopositivo

diferentesdiferentesdiferentesdiferentes negativonegativonegativonegativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda éum número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 19 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)


Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a édenominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:

a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoentepar é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um númeroque conserva o seu sinal.

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quandoo expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes dofato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo podeser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteironão negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que onúmero a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razõespelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

Observação: Por deficiência de linguagem, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usareiRn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de umnúmero inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteironão negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde nocontexto dos números complexos.


Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulasaparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte emum número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiroque elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos númerosnão negativos.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Números Racionais

Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

mmmm

nnnnonde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade dedivisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim:ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos osnúmeros racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ oconjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos númerosracionais.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:


m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qualusamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou operíodo dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos operíodo sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,32. 1,6666666... = 1,63. 12,121212... = 12,124. 0,9999999... = 0,95. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,32. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período.Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,832. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real quepode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformaruma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Parapessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência,deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar númerosracionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do EnsinoSuperior.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um númeroracional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemostrabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar comofunciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo.Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...


Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:10 S - S = 3donde segue que9 S = 3Simplificando, obtemos:

S =S =S =S =

1111

3333

= 0,33333...= 0,33333...= 0,33333...= 0,33333... = = = = 0,30,30,30,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período temagora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais daforma:T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:100 T = 31 + Tde onde segue que99 T = 31e simplificando, temos que

T =T =T =T =

31 31 31 31

99999999

= 0,31313131...= 0,31313131...= 0,31313131...= 0,31313131... = = = = 0,310,310,310,31

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um númerocom 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos estenúmero como uma soma de infinitos números decimais da forma:R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para oprimeiro membro para obter:R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8Assim:10R - 71 - R + 7,1 = 0,8Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:90 R = 647


Obtemos então:

T =T =T =T =

647647647647

90909090

= 7,1888...= 7,1888...= 7,1888...= 7,1888... = = = = 7,187,187,187,18

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo.Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para oprimeiro membro para obter:U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:1000(U-7) - (U-7) = 4Assim:1000U - 7000 - U + 7 = 4Obtemos então999 U = 6997que pode ser escrita na forma:

T =T =T =T =

6997 6997 6997 6997

999999999999

= 7,004004...= 7,004004...= 7,004004...= 7,004004... = = = = 7,0047,0047,0047,004

Números irracionais

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nemmesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reaisque não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045...,Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros degravidade, previsão populacional, etc...

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numéricoé um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada.


Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medidacomo a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente daesquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotadapor convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva.Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menordo que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está àdireita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele écaracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Qque é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.(b) O oposto de 5 é -5.Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente deum espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distânciado ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elementooposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até aorigem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adiçãoentre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a a a a

bbbb

++++

c c c c

dddd

====

ad+bc ad+bc ad+bc ad+bc

bdbdbdbd

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda éum número racional.


Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adiçãodo número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produtode dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a a a a

bbbb

××××

c c c c

dddd

====

ac ac ac ac

bdbdbdbd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab semnenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale emtoda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto dedois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é umnúmero racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a


Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q × q-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

a a a a

bbbb

××××

b b b b

aaaa

= 1= 1= 1= 1

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação demultiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra daforma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

a a a a

bbbb

÷÷÷÷

c c c c

dddd

====

a a a a

bbbb

××××

d d d d

cccc

====

ad ad ad ad

bcbcbcbcNa verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação étambém desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e onúmero n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente én=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadradopode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido porV=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.


Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro númeroracional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que onúmero q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical nestetrabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficiência de linguagem , que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um númeroracional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro númeroracional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.(c) R[144] = 12 pois 12²=144.(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos númerosracionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada maistarde no contexto dos Números Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas oaparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um númeronegativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outronúmero racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos sãoválidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.


Média aritmética e média ponderada

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritméticaentre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A=A=A=A=

x1 + x2 + x3 +...+ xnx1 + x2 + x3 +...+ xnx1 + x2 + x3 +...+ xnx1 + x2 + x3 +...+ xn

nnnn

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A=A=A=A=

12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33

9999

====

352352352352

9999

==== 39,1139,1139,1139,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ...,xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. Amédia aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida porn, isto é:

P=P=P=P=

x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pnx1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pnx1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pnx1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn

p1 + p2 + p3 +...+ pnp1 + p2 + p3 +...+ pnp1 + p2 + p3 +...+ pnp1 + p2 + p3 +...+ pn

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,0010 ganham R$ 60,0020 ganham R$ 25,0015 ganham R$ 90,00 7 ganham R$ 120,00Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

P=P=P=P=

50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7

12 + 10 + 20 + 15 + 712 + 10 + 20 + 15 + 712 + 10 + 20 + 15 + 712 + 10 + 20 + 15 + 7

====

3890 3890 3890 3890

64646464

=60,78=60,78=60,78=60,78


Médias geométrica e harmônica

Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2,x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, istoé:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro éo menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométricaentre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo sópode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidasdos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamentede uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB eBC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com umcompasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C.O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. Amedida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A médiaharmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Exercícios de Números Racionais

a) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com das figurinhas, enquanto Cristina

contribuiu com das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?


Resposta a:

Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu do livro e no dia seguinte leu do livro. Então calcule:

b) a fração do livro que ela já leu.

c) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

Resposta b:

Resposta c:

d) Em um pacote há de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há . Quantos quilos de açúcar o primeiro

pacote tem a mais que o segundo?

Resposta d:

e) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda

resta asfaltar?

Resposta e:

Calcule:

f)

g)

Resposta f:

Resposta g:

No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, desses apartamentos foi vendido e foi reservado.


Assim:

h) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?

i) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

Resposta h:

Resposta i:

j) Calcule o valor da expressão:

Resposta j:

Números e Grandezas Proporcionais Números e Grandezas Proporcionais Números e Grandezas Proporcionais Números e Grandezas Proporcionais

* Grandeza * Grandeza * Grandeza * Grandeza

È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, comoconseqüência o outro varia também.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em:velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadasentre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo davelocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número deoperários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.

A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificadacomo Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

Grandeza Diretamente Proporcional Grandeza Diretamente Proporcional Grandeza Diretamente Proporcional Grandeza Diretamente Proporcional


È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionaisquando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção esentido.

Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”.

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas ocusto total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

Grandeza Inversamente Proporcional Grandeza Inversamente Proporcional Grandeza Inversamente Proporcional Grandeza Inversamente Proporcional

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente navariação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.

Exemplo: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmocarro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

* RAZÃO E PROPORÇÃO * RAZÃO E PROPORÇÃO * RAZÃO E PROPORÇÃO * RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferentede zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12

a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10

a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18

Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número éconseqüente.

Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.

seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.


Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa,dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c

PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

Obs.:

Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos sãochamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos deuma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1 – Propriedade Fundamental

Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.

2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20

Aplicação:

7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos

Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.

2 – Composição

Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como asoma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:


A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números.

a = menor

b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.

3 – Decomposição

Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.

Aplicação:

Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.

a = maior

b = menor

a – b = 48

Portanto,


Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36

4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquerantecedente está para seu conseqüente.

Aplicação:

Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assimcomo qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim comoo quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

Aplicação:

A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essasmedidas.

a = largura b = comprimento


a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m

7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção.

Aplicação:

A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar essesnúmeros.

Logo, a² = 144, a = 12.

Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.

DIVISÃO PROPORCIONALDIVISÃO PROPORCIONALDIVISÃO PROPORCIONALDIVISÃO PROPORCIONAL

Definição

Conforme definições vista em tutoriais anteriores, em que é informado que GRANDEZA é todo valor queao ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como conseqüência direta ooutro valor também varia.

Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão no qualdeterminam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão quenão tem variação.

Exemplos para fixação de definição

Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema


de modo que a+b=120, cuja solução segue de:

a/2 = b/3 à a + b = a+b/2+3 à 120/5 = 24

Então: a=48 e b= 72.

Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma, será montado osistema de modo que a + b = 60, cuja solução sugue no cálculo abaixo:

a/4 = b/2 à a + b = a + b/4+2 à 60/6 = 10


A divisão proporcional pode ser:

- Direta

- Inversa

- Direta e Inversa ao mesmo tempo.

Divisão em partes diretamente proporcionais

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcionalestá para a parte que a representa.

Exemplos de fixação de definição:

a) Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qualo valor que cada um receberá?

Resolução:

2 + 4 + 6 = 12

12 : 12.000


2 : X

12 : 12.000

4 : X

12 : 12.000

6 : X

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 + R$ 4.000,00+R$ 6.000,00tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

b) Dividir o número 240, em partes diretamente proporcional a 2, 4 e 6.

Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 240

Pela definição dada, temos: x/2 = y/4 = z/6

x + y + z = 240

x/2 = y/4 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

x + y + z = 240 = 20


2 + 4 + 6 = 12 = 1

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporçãoencontrada.

20 = x --> x . 1 = 20 . 2 à x = 40

1 2

20 = y --> y . 1 = 20 . 4 à y = 80

1 4

20 = z --> z . 1 = 20 . 6 à x = 120

1 6

Checando os resultados:

x + y + z = 240

40 + 80 + 120 = 240

c) Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6.

Resolução:


x + y + z = 360


x + y + z = 360


x + y + z = 360 = 24


4 + 5 + 6 = 15 = 1


24 = x --> x . 1 = 24 . 4 à x = 96

1 4

24 = y --> y . 1 = 24 . 5 à y = 120

1 5

24 = z --> z . 1 = 24 . 6 à z = 144

1 6


x + y + z = 360

96 + 120 + 144 = 360

d) Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3, 1/4

Resolução:

Vale observar que agora estamos tratando de números fracionários.

Como os números quocientes são predeterminados são em frações, temos que determinar as fraçõesequivalentes, assim:

m.m.c (2,3,4) = 12

1/2, 1/3, 1/4 à 6/12, 4/12, 3/12

Montando os cálculos:


x + y + z = 169

x/1/2 = y/1/3 = z/1/4

Com o mmc das frações:

x + y + z = 169

x/6 = y/4 = z/3

x + y + z = 169

6 + 4 + 3 = 13

Logo: 13/1 é a razão equivalente

Calculando as partes separadamente:

13/1 = x/6

x . 1 = 6 . 13

x = 78

13/1 = y/4

Y . 1 = 4 . 13

y = 52

13/1 = z/3

Z . 1 = 3 . 13

z = 39


Checando os cálculos temos:

78 + 52 + 39 = 169

78/6 = 13

52/4 = 13

39/3 = 13

Exercícios de Grandezas Proporcionais

1) Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela eresponda:

Número de acertadores Prêmio

3 R$ 200.000,00

4 R$ 150.000,00

a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio deR$150.000,00? b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores? c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

Resposta a:

Resposta b:

Resposta c:

Inversamente proporcionais.

2) Diga se é diretamente ou inversamente proporcional:

a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir.

b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante.

c) Número de erros em uma prova e a nota obtida.

d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.


e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago.

Resposta a:


Resposta b:

Diretamente proporcionais.

Resposta c:


Resposta d:


Resposta e:

Diretamente proporcionais.

3) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x ey. 128/32 = 4

Então,

x = 40 / 4 = 10

y = 72 / 4 = 18

4) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine osnúmeros a, b e c.

480/120 = 4

Então,

a = 180/4 = 45

b = 120/4 = 30

c = 200/4 = 50

Razões e Proporções

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotadapor:

AAAA

BBBBExemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12121212 = 4= 4= 4= 4


3333e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3333

6666

= 0,5= 0,5= 0,5= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas.Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de sucoconcentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água éum número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

AAAA

BBBB

= A/B= A/B= A/B= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

LíquidoLíquidoLíquidoLíquido Situação1Situação1Situação1Situação1 Situação2Situação2Situação2Situação2 Situação3Situação3Situação3Situação3 Situação4Situação4Situação4Situação4

Suco puroSuco puroSuco puroSuco puro 3333 6666 8888 30303030

ÁguaÁguaÁguaÁgua 8888 16161616 32323232 80808080

Suco prontoSuco prontoSuco prontoSuco pronto 11111111 22222222 40404040 110110110110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros desuco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros desuco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelototal de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também podeser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

AAAA

BBBB

====

CCCC

DDDDNotas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes deuma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadiempregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por


Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante operíodo do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

AAAA

BBBB

====

CCCC

DDDDos números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade:o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3333

4444

====

6666

8888Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

xxxx

3333

====

4444

6666Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)m(AB)m(AB)m(AB)

m(CD)m(CD)m(CD)m(CD)

====

2222

4444Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes


proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S,C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes,ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporçãoconstante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figurassemelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos queocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os ladoscorrespondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação domapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média,escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre umadistância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso emhoras, minutos ou segundos).vmédia = distância percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a


velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/ho que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, paracada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escalade ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razãoentre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambosmedidos na mesma unidade.escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas deuma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezesmaiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos àmetade na mesma proporção.

3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de populaçãorelativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa arazão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cadalado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que nãopode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que temum jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que temum jogador expulso e maior na outra quadra.Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, oestado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duasgrandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo,medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então paracada dm³ há uma massa de 8,75 kg.Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corposdiferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará.Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias esuas densidades estão na tabela abaixo:


SubstânciaSubstânciaSubstânciaSubstância Densidade [g/cm³]Densidade [g/cm³]Densidade [g/cm³]Densidade [g/cm³]

madeiramadeiramadeiramadeira 0,50,50,50,5

gasolinagasolinagasolinagasolina 0,70,70,70,7

álcoolálcoolálcoolálcool 0,80,80,80,8

alumínioalumínioalumínioalumínio 2,72,72,72,7

ferroferroferroferro 7,87,87,87,8

mercúriomercúriomercúriomercúrio 13,613,613,613,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razãoentre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois estarazão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:Pi = 3,1415926535Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência,temos uma razão notável:C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando queC = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferênciaé igual a 9,43cm.

Razão e Proporção - Exercícios resolvidos

01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:

a) 20

b) 22

c) 24

d) 28

e) 32

RESPOSTA: E

02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.

RESOLUÇÃO: x = 3 e y = 6

03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.

RESOLUÇÃO: As partes são: 32, 48 e 80.


04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e narazão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.

RESOLUÇÃO: A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoaR$ 225.000,00.

05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3para 5. Então, o produto dos dois números é:

a) 90

b) 96

c) 180

d) 72

e) -124

RESPOSTA: B

06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12

c) x = 1 e y = 12

d) x = 4 e y = 2

e) x = 8 e y = 12

RESPOSTA: C

07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados,qual:

a) a sentença que relaciona y com x?

ℝ b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® definida pela sentença anterior?

c) o valor de y quando x = 2?

RESOLUÇÃO: a) y = 2x


c) y = 4

08. (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e omenor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:

a) 1, 2 e 3

b) 1, 2 e 5

c) 1, 3 e 4

d) 1, 3 e 6

e) 1, 5 e 12

RESPOSTA: C

09. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:

a) 35

b) 49

c) 56

d) 42

e) 28

RESPOSTA: B

10. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00.Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócioreceberá, respectivamente:


a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00

b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00

c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00

e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

RESPOSTA: C

DIVISÃO PROPORCIONALDIVISÃO PROPORCIONALDIVISÃO PROPORCIONALDIVISÃO PROPORCIONAL

Definição




Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistemade modo que a+b=120, cuja solução segue de:

a/2 = b/3 à a + b = a+b/2+3 à 120/5 = 24


Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma, será montado osistema de modo que a + b = 60, cuja solução sugue no cálculo abaixo:

a/4 = b/2 à a + b = a + b/4+2 à 60/6 = 10




- Direta

- Inversa


Divisão em partes diretamente proporcionais

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcionalestá para a parte que a representa.

Exemplos de fixação de definição:

a) Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qualo valor que cada um receberá?

Resolução:

2 + 4 + 6 = 12

12 : 12.000

2 : X

12 : 12.000

4 : X


12 : 12.000

6 : X

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 + R$ 4.000,00+R$ 6.000,00tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

b) Dividir o número 240, em partes diretamente proporcional a 2, 4 e 6.

Resolução:


x + y + z = 240


x + y + z = 240


x + y + z = 240 = 20

2 + 4 + 6 = 12 = 1


20 = x --> x . 1 = 20 . 2 à x = 40

1 2

20 = y --> y . 1 = 20 . 4 à y = 80

1 4


20 = z --> z . 1 = 20 . 6 à x = 120

1 6


x + y + z = 240

40 + 80 + 120 = 240

c) Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6.

Resolução:


x + y + z = 360


x + y + z = 360


x + y + z = 360 = 24

4 + 5 + 6 = 15 = 1


24 = x --> x . 1 = 24 . 4 à x = 96

1 4

24 = y --> y . 1 = 24 . 5 à y = 120

1 5


24 = z --> z . 1 = 24 . 6 à z = 144

1 6


x + y + z = 360

96 + 120 + 144 = 360

d) Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3, 1/4

Resolução:

Vale observar que agora estamos tratando de números fracionários.

Como os números quocientes são predeterminados são em frações, temos que determinar as fraçõesequivalentes, assim:

m.m.c (2,3,4) = 12

1/2, 1/3, 1/4 à 6/12, 4/12, 3/12

Montando os cálculos:

x + y + z = 169

x/1/2 = y/1/3 = z/1/4

Com o mmc das frações:

x + y + z = 169

x/6 = y/4 = z/3

x + y + z = 169


6 + 4 + 3 = 13

Logo: 13/1 é a razão equivalente

Calculando as partes separadamente:

13/1 = x/6

x . 1 = 6 . 13

x = 78

13/1 = y/4

Y . 1 = 4 . 13

y = 52

13/1 = z/3

Z . 1 = 3 . 13

z = 39

Checando os cálculos temos:

78 + 52 + 39 = 169

78/6 = 13

52/4 = 13

39/3 = 13


DIVISÃO PROPORCIONAL - CONTINUAÇÃO DIVISÃO PROPORCIONAL - CONTINUAÇÃO DIVISÃO PROPORCIONAL - CONTINUAÇÃO DIVISÃO PROPORCIONAL - CONTINUAÇÃO

Definição



Veremos nesta 19ª parte, a seqüência do assunto abordando anteriormente, será visto agora os cálculos dedivisão inversamente proporcional.

Divisão Proporcional


- Direta

- Inversa


Divisão Inversamente Proporcional

Para decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que sejam inversamenteproporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em duas partes X e Y diretamente proporcionais a1/x e 1/y, que formam, desta forma, os números inversos.

Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta inverter os termos da razãopara transformá-la em uma divisão direta. Assim, por exemplo, para dividir em partes inversamenteproporcionais a 1/4 e 2/3 equivale a dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e 3/2.



a) Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3,5 e 6.

Solução:

x + y + z = 441

x/1/3 = y/1/5 = z/1/6

Determinando as frações equivalentes

mmc (3,5,6) = 30

1/3, 1/5, 1/6 = 10/30, 6/30, 5/30

Montando o sistema temos:

x + y + z = 441

x/10 = y/6 = z/5

Aplicando a 3ª propriedade das proporções

x + y + z/10+6+5= x/10 = y/6 = z/5

441/21 = 21

Calculando as partes têm-se o resultado:

21/1 = x/10 à x. 1 = 21.10 à x = 210

21/1 = y/6 à y.1 = 21.6 à y = 126

21/1 = z/5 à z.1 = 21.5 à z = 105

Verificação de resultados:


210 + 126 + 105 = 441

210/10 = 21

126/6 = 21

105/5 = 21

b) Dividir o número 676 em partes inversamente proporcionais a 5, 0,5 e 1/3.

Solução:

x + y + z = 676

Obs. 0,5 = 5/10 = ½

x/1/5 = y/2/1 = z/3/1

Determinação das frações equivalentes

mmc (5,1,1) = 5

1/5, 2/1, 3/1 à 1/5, 10/5, 15/5

Montando o sistema:

x + y + z = 676

x/1 = y/10 = z/15


x + y + z = x/1 = y/10 = z/15


1 + 10 + 15

676/26 = 26

Calculando as partes:

26/1 = x/1 à x.1 = 26.1 à x = 26

26/1 = y/10 à y.1 = 26.10 à y = 260

26/1 = z/15 à z.1 = 26.15 à z = 390


26 + 260 + 390 = 676

26/1 = 26

260/10 = 26

390/15 = 26

Divisão Inversamente Proporcional em Várias partes

Para dividir um número Z em várias partes “n” X1, X2, X3...Xn, que sejam inversamente proporcionais a p1,p2, p3, ... Pn, basta dividir este certo número Z em várias partes “n” X1, X2, X3,...Xn, diretamenteproporcionais a 1/p1, 1/p2, 1/p3... 1/pn.

Para montar o sistema de “n” equações e “n” incógnitas, temos que colocar os problemas assumindo que:

A solução do problema acima, segue as propriedades das proporções, que já foram estudados em tutoriais


anteriores, qual seja:

Exercícios para fixação de conteúdo

Como foi visto informado anteriormente a divisão proporcional e neste tutorial foi visto a divisãoinversamente proporcional, resolva as questões abaixo, procurando não olhar a resposta:

a) Diga se o problema é diretamente ou inversamente proporcional

- Número de pessoas em uma festa e a quantidade de salgados que cada um poderá consumir.

Resposta: Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o número de pessoas da festa,consequentemente diminuirá o número de salgados para cada um.

- Número de erros em um questionário e a nota obtida neste.

Resposta: esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se a pessoa erra uma menor quantidade dequestões tira uma notar maior, e se a pessoa erra uma maior quantidade de questões, consequentemente elatira uma nota maior.

- Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que possa não passar fome.

Resposta: Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento a pessoa tiver mais diasela não passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver comida, mais rápido a pessoa sentirá fome.

b) Resolva a seguinte questão

Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.

x + y + z = 210

x/1/3 = y/1/5 = z/1/6


mmc( 3,5,6) = 30

x = y = z

10/30 6/30 5/30


x + y + z = x/10 = y/6 = z/5

10 + 6 + 5

210/21 = 10

Calculando as partes:

10/1 = x/10 à x.1 = 10.10 à x = 100

10/1 = y/6 à y.1 = 10.6 à y = 60

10/1 = z/5 à z.1 = 10.5 à z = 50


100 + 60 + 50 = 210

100/10 = 10

60/6 = 10

50/5 = 10

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quaisconhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:


1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesmalinha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solarconsegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energiaproduzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ªcoluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)400 3480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª


coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas domesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se onúmero de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de três composta


A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamenteproporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serãonecessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cadalinha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto arelação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação édiretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serãomontados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).


Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros eaumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechasconcordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para asinversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2piscinas?

Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quantotempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de


50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidademédia de 60 km/h?

Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25minutos?

Resposta: 2025 metros.

Exercícios de Regra de Três Simples e CompostaExercícios de Regra de Três Simples e CompostaExercícios de Regra de Três Simples e CompostaExercícios de Regra de Três Simples e Composta

Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?

Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário

Cálculo:

Distância 1 = 480 Km - 02 horas

Distância 2 = ? Km - 06 horas

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 Km x 6

Resultado: 1440 Kms

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessáriospara fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é otempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavaresse túnel em um dia e meio ?

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385bombons ?

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo amesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastarápara percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher umreservatório de 4m3 de volume?


12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova fototenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm.Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina Atem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante,quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornecequantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantoscentímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitasde música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina quetem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros deágua cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a notaobtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédioprojeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura deum edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urnasombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem2/5 da capacidade do mesmo tanque?

27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento deoutra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?

28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa deuma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peçaquadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados


390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?

30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escalaFahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit,registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?

31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com11 latas dessa tinta?

32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?

34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, énecessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadoresprecisam ser contratados ?

35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltascompletas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltascompletas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?

36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições,responda :

a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?

b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?

37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da ruaSupondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro.Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restantedo muro?

39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se avelocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?

40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequenocongestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desseônibus no percurso de volta?

41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários parafazer o mesmo serviço ?

42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fioelétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é ocomprimento verdadeiro do fio?

43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m delargura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com amesma quantidade de arame da tela anterior ?

44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosseconstruída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidadeque os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?


45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Sehouvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas paraforrar a mesma parede ?

46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalhoque as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?

47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Emquanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidadeque a primeira ?

48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmomuro ?

49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir amesma parede em 2 horas ?

50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas.Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade deazeite ?

51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h.Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?

52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?

53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará paraencher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m detecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar ocomprimento para que a área do terreno seja mantida ?

56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18pedreiros para construir a mesma quadra ?

57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro sefossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?

58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginascom 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se avolta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?

60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá amaior enquanto a menor dá 100 voltas ?

61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetrospercorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?

62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horaspor essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?

63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200


km, pedalando 4 horas por dia?

64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramasserão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36táxis consumiria 240.000 de combustível?

66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias,ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas porminuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.

67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10horas de trabalho diário?

68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com amesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?

69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m decomprimento ?

70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certopercurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria omesmo percurso?

71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez edemora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar.Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?

72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será oconsumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?

73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?

74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?

75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho.Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pãoserão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um murode 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metrosde comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nasencostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradaspor 40 pessoas em 30 dias ?

79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria,com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmascondições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?

80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça


100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.

81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia,quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantoscolares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidadeem 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.

Regra de Três – Questões Objetivas

84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:

a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o númeronecessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4máquinas gastariam quantas horas ?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg deração ?

a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias

90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinasimprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minutoe 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km porhora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos

c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos

92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condiçõesequivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientespara o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade demarmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:


a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmascondições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas

95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 degás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00

c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horaspor dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.

c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.

97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.

c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00

98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinasdaquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horaspor dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias.Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:

a) 8 dias b) 9 dias

c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.

101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serãonecessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutossão necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionarcinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmorendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos.Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se atrabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :


a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias

103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certonº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a doisdias o tempo de produção, é necessário :

a) triplicar o nº de operários

b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de

operários

d) duplicar o nº de operários

e) duplicar o nº de operários e o número de horas

trabalhadas por dia

104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho)trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecidoanteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam paraa conclusão da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min

b) 7h 44 min

c) 7h 46 min

d) 7h 48 min

e) 7h 50 min

105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Seforem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentadosdurante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias

d) 45 dias e) 180 dias

106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas detrabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50

107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante Khoras por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas,trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :

a) b) c) d)

Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta

01) 40 kg


02) 14 sacas03) 42 litros 04) 60 min05) 60 minutos = 1 hora 06) 8 máquinas07) 702 litros08) 77 caixas09) 532 km 10) 15 litros11) 33 h 20 min12) 6 minutos13) 9 min / 54 min / 15 dias14) 14 cm15) 10 cm16) 40 m317) 5.250 voltas18) 110 g19) 18 cm20) 55 fitas21) 56.250 litros22) Nota 823) 9 metros24) 30 m25) 371 cm ou 3,71 m26) 7.840 litros27) 43.925 cm28) 3.600 g29) 300 azulejos30) 40 graus31) 770 m232) 42 m/s33) 108 km/h 34) 270 recenseadores35) 1.034 voltas36) a)84 min b) 1 h 24 min 37) 14 dias38) 10 dias39) 4 horas40) 60 km/h41) 20 caminhões42) 41 m43) 20 metros44) 40 dias45) 14 peças46) 16 pessoas47) 4 h 15 min48) 96 horas49) 25 operários


50) 40 latas51) 3 minutos52) 10 caminhões53) 4 horas54) 25 m55) 20 cm56) 16 dias e 16 horas57) 320 páginas58) 420 páginas59) 80 km/h60) 75 voltas61) 2.170 km62) 2 horas63) 4 dias64) 150 kg65) 50 dias66) 250 litros67) 12 operários68) 15 dias69) 16 dias 70) 4 dias71) 216 caixas72) 7 kw73) 24 ovos74) 5 min75) 12 máquinas76) 5 kg77) 9 horas78) 1.800 toneladas79) 18 dias80) 300 litros81) 360 famílias82) 480 colares83) 5 horas84) letra d85) letra b86) letra c87) letra d88) letra b89) letra c90) letra b91) letra c92) letra d93) letra c94) letra c95) letra b96) letra a97) letra a


98) letra d99) letra c100) letra a101) letra c102) letra a103) letra e104) letra d105) letra d106) letra d107) letra e

Porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custaR$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:


Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:

A razão centesimal é :

b) 25% de 200:

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?

5x = 300x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

20x = 1000x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como secalcula porcentagem em uma calculadora?Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?Digitem: 500Aperte a tecla de multiplicação: XDigitem: 20Aperte a tecla de porcentagem: %O resultado, como pode ser visto, é 100.

Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícioselementares.

Exercícios resolvidos:

1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?


O desconto será:

Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremossomente 80% do valor (100% - 20% = 80%)

Logo,

2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço.Quanto ele passou a custar?

Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que elepassará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciantedeu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comercianteteve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas:O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve umprejuízo de R$20,00.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8%dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?


Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual delucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou emrelação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Mais Exercícios

1) Quanto é 15% de 80?

A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:

Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:

Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar este valor decimal por cem eacrescentar o símbolo "%" para termos a representação da porcentagem:

Assim 19 : 25 na forma de porcentagem é igual a 76%.

3) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantesmoram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante 100 % - 30%, ou seja, 70% mora nocontinente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra de três paracalcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha:


337.799 está para 70, assim como x está para 30:

Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 por 100 e dividirmos esteproduto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da cidade:

Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:

Portanto a população da cidade que mora na área insular é de 144.771 habitantes.

4) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número?

Se dividirmos 15 por 0,04, que é equivalente a 4% na sua forma decimal, iremos obter o número que 4%dele é igual a 15:

Para calcularmos 20% de 375 basta multiplicá-lo por 0,20:

Em uma única conta faríamos:

matemática importantíssimo: os juros. Para entendê-lo, é importante também conhecer como funciona aporcentagem. Os exemplos o ajudarão a entender o problema!

Seu pai foi ao banco e pediu R$ 400,00 emprestados por três meses. O banco cobrou 5% de juros (simples)ao mês. Quanto seu pai deve pagar ao final dos três meses?

5% de R$ 400,00 é: 400/100 X 5 = 20

Logo seu pai vai pagar R$ 20,00 por mês. Como são três meses ele deve pagar R$ 60,00 de juros.

"Então ele pega R$ 400,00 e paga só R$ 60,00?"

Não, ele irá pagar R$ 400,00 mais R$ 60,00 o que totaliza R$ 460,00.

Juros compostosJuros compostosJuros compostosJuros compostos

Se os juros cobrados fossem compostos, no fim do primeiro mês, seu pai estaria devendo:

R$ 400,00 + R$ 20,00 = R$ 420,00


No final do segundo mês ele estaria devendo 5% sobre estes R$ 420,00 e não sobre os R$ 400,00, logo:

R$ 420,00 + 5% = 420/100 X 5 = 21

Ou seja, no final do segundo mês ele estaria devendo:

R$ 420,00 + R$ 21,00 = R$ 441,00

E finalmente no terceiro mês:

R$ 441,00 + 5% = 441/100 X 5 = 22,05

Logo ao final do terceiro mês ele finalmente estaria devendo:

R$ 441,00 + R$ 22,05 = R$ 463,05

Em vez dos R$ 460,00 dos juros simples.

Normalmente, os bancos e as lojas utilizam os juros compostos para cobrar o dinheiro que emprestaram.

EXERCICIOS

1) Calcule o juro produzido por R$ 50.000,00 durante 2 anos , a taxa de 30% ao ano. (R=30.000)2) Calcule o juro produzido por R$ 18.000,00, durante 3 meses, a taxa de 7% ao mês. (R=3780)3) Calcule o juro produzido por R$ 72.000,00, durante 2 meses , a taxa de 60% ao ano (R=7200)4) Calcule o juro produzido por R$ 12.000,00, durante 5 meses, a taxa de 6,5% ao mês (R= 3900)5) Por quanto tempo devo aplicar R$ 10.000,00 para que a renda R$ 4.000,00 a uma taxa de 5% ao mês?(R=8)6) Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.440,00 a taxa de 12% ao mês? (R = 4)7) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 10.000,00 para que, no fim de 2 meses renda R$2.000,00 de juros? (R=10%)8) A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 20.000,00 para que, no fim de 10 meses renda R$18.000,00 de juros? (R= 9%)9) Qual será o capital que em 9 meses, a 6% ao mês, renderá R$ 32.400,00 de juros ? (R= 60.000)10) Qual será o capital que,em 3 meses, a 72% ao ano renderá R$ 720,00 de juros? (R=4.000)

DescontoDescontoDescontoDesconto

Em finanças, chama-se desconto à diferença entre o Valor Nominal de um título (Valor Futuro) “VF” e oValor Presente ou Atual “VP” deste mesmo título [D = VF – VP]. Há dois tipos básicos de descontos:Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). Define-se desconto como sendo o abatimento que odevedor faz jus quando antecipa o pagamento de um título ou quando o mesmo é resgatado antes de seuvencimento, ou ainda, como sendo o juro cobrado por um intermediário para antecipar o recebimento deum título, que representa um direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no mercado financeiro eno comércio em geral. Notações comuns na área de descontos:


D Desconto realizado sobre o título

A - VPValor Atual ou Valor Presente de umtítulo

N - VFValor Nominal ou Valor Futuro de umtítulo

i Taxa de desconto

n Número de períodos para o descontoDescontos simples são obtidos com cálculos lineares, e os descontos compostos são obtidos com cálculosexponenciais.

Desconto SimplesDesconto SimplesDesconto SimplesDesconto Simples

É aquele obtido em função de cálculos lineares (capitalização simples). Distinguem-se dois tipos dedescontos simples, o racional e o comercial ou bancário.

Desconto CompostoDesconto CompostoDesconto CompostoDesconto Composto

O conceito de desconto em juro composto é idêntico ao visto no regime de juro simples, corresponde aoabatimento por saldar-se um compromisso antes do seu vencimento. A diferença é devida apenas ao regimede juro, sendo o raciocínio financeiro o mesmo. O que fazemos é calcular a diferença entre o valor nominale o atual do compromisso na data em que se propõe que seja feito o desconto. O desconto corresponde àquantia a ser abatida do valor nominal e o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e odesconto. Conceitualmente existe apenas o desconto racional sendo o desconto comercial ou bancário umaconvenção prática do mercado em geral.

uestão 1. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de jurossimples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre ovalor nominal dapromissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível emtrês meses. O valor da comissão é de:

Resposta:h = 0.04iB = 0.12 * 3

AB = N * [1-(iB * h)]300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]300000 = N * [1-0.4]N = 500000

Vc = 0.04 * NVc = 0.04 * 500000Vc = 20000

alternativa e.

Questão 2. O valor atual de um título cujo valor de vencimento é de R$ 256.000,00, daqui a 7 meses, sendoa taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% a.m., é:

Resposta:N = 256000


n = 7 mesesi = 0.04 a.m.iB = n*i = 7*0.04 = 0.28A = N / (1+iB) = 256000 / 1.28 = 200000

Alternativa a.

Questão 3. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a.. Ovalor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o tempo.Nesseas condições, o valor nominal do tótulo é de:

Resposta:Dc = 860Dr = 781.82

Usando N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr),N = (860 * 781.82) / (860 – 781.82) = 672365.2 / 78.18 = 8600.22

Alternativa c.

Questão 4. O valor atual de uma duplicata é de 5 vezes o valor de seu desconto comercial simles. Sabendo-se que a taxa de juyros adotada é de 60% a.a., o vencimento do título expresso em dias é:

Resposta:→i = 60% a.a. i = 0.6 a.a.

A = N – D (valor atual é o nominal menos o desconto)→5D = N – D N = 6D

A = N * ( 1 – i*n)5D = 6D ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 ( 1 – 0.6 * n)5 = 6 – 3.6 * n3.6 * n = 1n = 0.277 (anos)n = 0.277 * 365 diasn = 101.105 dias

Alternativa a.

Questão 5 – Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de516.000,00. Sabendo=se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é dejuros simples comerciais. Sendo a taxa de juros de 96% a.a., o prazo de desconto da operação foi de:

Resposta:N = 600000Ab = 516000h = 0.02i = 0.96 a.a.

Db = Db + N*hAb = N * [1 - (i*n+h)]


516000 = 600000 * [1-(0.96*n+0.02)]0.8533 = 1 – 0.96*n – 0.020.8533 = 0.98 – 0.96*n0.96 * n = 0.1267n = 0.1319 anos ≈ 45 dias

Questão 6 – O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um descontoracional simples:

Resposta:Dc = 600i = 0.05 a.m.n = 4

Dc = Dr * (1 + i*n)600 = Dr * (1 + 0.05*4)Dr = 600/1.2Dr = 500

alternativa e.

Questão 7 – O desconto racional simples de uma nota primissória, cinco meses antes do vencimento, é deR$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m.. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é,considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.

Resposta:Dr = 800i = 0.04 a.m.n = 5 meses

Dc = Dr * (1 + i*n)Dc = 800 * (1 + 0.04*5)Dc = 800 * 1.2Dc = 960

Alternativa b.

Questão 8 – Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento auma taxa de deconto simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fossesimples e racional.

Resposta:Dc = 9810n = 3 mesesi = 0.03 a.m.

Dc = Dr * (1 + i*n)9810 = Dr * (1 + 0.03*3)9810 = Dr * 1.09


Dr = 9810/1.09Dr = 9000

alternativa e.

Questão 9 – Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercialpor um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de descontomensal:

Resposta:N = 10900Dc = 981n = 3

Dc = N * i * n981 = 10900 * i * 3981 = 32700 * ii = 0.03 (3% a.m.)

Dr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 10900 * 0.03 * 3 / (1+0.03*3)Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 10900 * 0.09 / 1.09Dr = 900

outra forma de fazer a questão seria usando:N = (Dc * Dr) / (Dc – Dr)

10900 = 981 * Dr / (981-Dr)10692900 – 10900 * Dr = 981 * Dr11881 * Dr = 1069290011881 * Dr = 10692900Dr = 900

Questão 10 – Um título sofre desconto simples comercial de R$ 1.856,00, quatro meses antes do seuvencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m.. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa,caso fosse um desconto simples racional:


Dc = N * i * nDr = N * i * n / (1+i*n)Dr = 1856 / (1+0.04*4)Dr = 1856 / 1.16Dr = 1600


Questão 11 – Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de trêsmeses, a uma taxa de juros de 3% a.m., considerando um desconto racional composto e desprezando oscentavos.

Resposta:N = 10000n = 3 mesesi = 0.03 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)3 = 1.092727Dcr = 10000 * 0.092727 / 1.092727Dcr = 848.58

Dcr = N – A848.58 = 10000 – AA = 10000 – 848.58A = 10000 – 848.58A = 9151.42

Alternativa b.

Questão 12 – Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule odesconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% a.m.

Resposta:n = 4 mesesi = 0.03 a.m.A = 840

Dcr = N – ADcr = N – 840

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.03)4 = 1.12550881(1+0.03)4 -1 = 0.12550881Dcr = N * 0.12550881 / 1.12550881

N * 0.12550881 / 1.12550881 = N – 840N * 0.12550881 = 1.12550881 * N – 945.4274004N = 945.4274004

Dcr = 945.4274004 – 840Dcr ≈ 105.43

Questão 13 – Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seuvencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa dedesconto é de 5% a.m.:

Resposta:Dcr = 6465.18


n = 4 mesesi = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.21550625(1+i)n – 1 = 0.215506256465.18 = N * 0.21550625 / 1.21550625N = 36465,14

Alternativa e.

Questão 14 – Um título sofre um desconto composto racional de R$ 340,10 seis meses antes do seuvencimento. Calcule o valor descontado do título considerando que a taxa de desconto é de 5% a.m.(despreza os centavos):

Resposta:Dcr = 340.10n = 6 mesesi = 0.05 a.m.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+0.05)6 = 1.340095640625(1+i)n – 1 = 0.340095640625

340.10 = N * 0.340095640625 / 1.340095640625N ≈ 1340.10

Dcr = N – A340.10 = 1340.10 – AA = 1000

Alternativa c.

Questão 15 – O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso aantecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgaste) é de R$ 200.000,00,então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:

Resposta:N = 5 * Drcn = 10 mesesA = 200000

Drc = N – ADrc = 5 * Drc – 2000004 * Drc = 200000Drc = 50000

Drc = N – A50000 = N – 200000N = 250000


alternativa b.

Questão 16 – (Prova ATTN) Um Commercial paper, com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimentodaqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% a.a. e considerando odesconto racional, obtenha o valor do resgate.

Resposta:N = 1000000n = 3 anosi = 0.1 a.a.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.331(1+i)n -1 = 0.331Dcr = 1000000 * 0.331 / 1.331Dcr = 248,685.20

A = N – DrcA = 1000000 – 248,685.20A = 751,314.80

Alternativa a.

Questão 17 – Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ 11.245,54, com vencimentopara daqui a 60 dias, e tem as seguintes opções:

• I – desconto simples racional, taxa de 3% a.m.; • II – desconto simples comercial, taxa de 2,5% a.m.; • III – desconto composto racional, taxa de 3% a.m.

Se ela escolher a opção I, a diferença entre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse aopção:

Resposta:N = 11245.54n = 60 dias = 2 meses

I) Dc = N * i * nDc = 11245.54 * 0.025 *2Dc = 562.277A = N – DcA = 11245.54 – 562.277A = 10683.26

II) Dr = (N * i * n) / (1 + i * n)Dr = (11245.54 * 0.03 * 2) / (1 + 0.03 * 2)Dr = 674.7324 / 1.06Dr = 636.54A = N – DcA = 11245.54 – 636.54A = 10609.0


III) Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n]Dcr = 11245.54 * 0.05740409Dcr = 645.54A = N – DcA = 11245.54 – 645.54A = 10600

Nenhum item tem uma resposta certa. Mas a diferença entre o valor atual da escolha II e a III énove, então se houve um erro na digitação da questão a resposta é a alternativa c.

Questão 18 – Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00, quatro meses antes doseu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um descontoracional composto. Calculo o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% a.m..


Dc = N * i * n672 = N * 0.03 * 4N = 5600

Dcr = N * [1 - (1/(1+i)n)]Dcr = 5600 * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Dcr = 5600 * 0.12550881/1.12550881Dcr = 624.47

A alternativa c.

Questão 19 – (Esaf – ATE / MS 2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seuvencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racionalcomposto a uma taxa de 3% a.m. (despreze os centavos, se houver).

Resposta:A = 4400n = 4 mesesi = 0.03 a.m.

A = N – DrcA + Drc = NDrc = N * [1 - (1/(1+i)n)](1+i)n = 1.12550881Drc = N * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (A + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = (4400 + Drc) * 0.12550881 / 1.12550881Drc = 490.657 + Drc * 0.12550881 / 1.12550881Drc – Drc * 0.12550881 / 1.12550881 = 490.657


Drc * (1 – 0.12550881 / 1.12550881) = 490.657Drc * 0.888487048 = 490.657Drc = 552.23

N = A + DrcN = 4400 + 552.23N = 4952.23

Alternativa d.

Questão 20 – Antônio emprestou R$ 100.000,00 a Carlos, devendo o empréstimo ser pago após 4 meses,acrescido de juros compostos calculados a uma taxa de 15% a.m., com capitalização diária. Três mesesdepois Carlos decide quitar a dívida, e combina com Antônio uma taxa de desconto racional composto de30% a.b. (ao bimestre), com capitalização mensal. Qual a importância paga por CArlos a título de quitaçãodo empréstimo.

Resposta:N = 100000n = 4 meses = 120 diasi = 15% a.m. = 0.5% a.d. = 0.005 a.d.

M =C * (1+i)nM =100000 * (1+0.005)120M = 181939.67

A = M / (1+0.3/2)A = 158208.4Alternativa d.

Questão 21 – Calcule o valor nominal de um título que, resgatado 1 ano e meio antes do vencimento, sofreudesconto racional composto de R$ 25000,00, a uma taxa de 30% a.a., com capitalização semestral.

Resposta:n = 1.5 anos = 3 semestresDrc = 25000i = 0.3 a.a. = 0.15 a.s.

Dcr = N * [ ((1+i)n - 1) / (1+i)n](1+i)n = 1.520875(1+i)n -1 = 0.52087525000 = N * 0.520875 / 1.520875N = 25000 * 1.520875 / 0.520875N = 72996.16

Alternativa a.

Equação do 1º grau


Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.

Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira oufalsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.

2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.

Equação do 1º grau

Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na formaax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

ax + b = 0 0 )

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:

ax + b = 0 » ax = -b

x = -b / a

* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples.Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar oudividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5

4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2

Resolução de equações do 1º grau:

Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem. Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" dooutro.

Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.

Determine o valor da incógnita x:

a) 2x – 8 = 10

2x = 10 + 8

2x = 18

x = 9 » V = {9}

b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)

3 –7 + 14x = 5 – x – 9

14x + x = 5 – 9 – 3 + 7

15x= 0

x = 0 » V= {0}

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal


(=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:Numa equação: 2x + 8 = 10Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:2x + 8 - 8 = 10 - 82x = 2x = 1V={1}A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete"de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos aresolução.

Exercícios de Equações de 1º Grau

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? x + (x + 1) + (x + 2) = 393

3x + 3 = 393

3x = 390

x = 130

Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

Resposta a:

18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6

Resposta b:

23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = 3/4

Resposta c:

10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20 5y - 6y = -26 + 5


-y = -21y = 21

Resposta d:

x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 122x² + 6x = 2x² + 12Diminuindo 2x² em ambos os lados:6x = 12x = 12/6 = 2

Resposta e:

[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 202x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x-6x - 6 = 15 - 5x-6x + 5x = 15 + 6-x = 21x = -21

Resposta f:

4x² + 24x - x² = 5x²4x² - x² - 5x² = -24x-2x² = -24xDividindo por x em ambos os lados:-2x = - 24x = 24/2 = 12

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6

6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)

18a + 36 = 16a + 80

2a = 44

a = 44/2 = 22

4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resposta a:

(20 - 8x) / 4x = x/4x20 - 8x = x-8x = x - 20-8x - x = -20-9x = -20x = 20/9

Resposta b:

3bx = 7bx + 3bc - 6bc


3bx - 7bx = -3bc-4bx = -3 bcx = (3bc/4b)x = 3c/4

INEQUAÇÕES DO 1º GRAUINEQUAÇÕES DO 1º GRAUINEQUAÇÕES DO 1º GRAUINEQUAÇÕES DO 1º GRAU

* Definição

Em sua definição mais simples e compreensível, pode ser definida como toda e qualquer sentença damatemática que é aberta por um sinal de desigualdade.

Sendo que: a e b, são números reais e diferentes de zero (a e b ≠ 0), respectivamente.

Exemplos:

2x – 8 > 0 4x + 9 ≥ 0

3x – 9 < 0 5x + 1 ≤ 0 3

* O que representa os sinais das inequações

* Observações gerais sobre Inequações

Observando as condições de vida da população do Brasil, obviamente encontraremos um grande mar dedesequilíbrio. Estas desigualdades podem ser encontradas em diversas áreas, mais a que mais de destacam


são social e econômica.

Veja alguns exemplos de desigualdades:

» Salarial: enquanto muitos brasileiros estão com faixas de salários baixas que mal podem se sustentar,alguns outros tem seus salários altos.

» Habitação: muitos brasileiros têm casas boas em bairros e cidades nobres, outros não têm condições de tersua casa própria.

» Moradia: As pessoas que vivem nas ruas aumentam cada vez mais com o passar dos anos.

» Alimentação: Cerca de 40% da população que vive em ambiente rural, no campo, vive em situaçãoprecária.

Se pudéssemos pesar estas diferenças apresentadas acima em uma balança, veríamos com mais clareza asgrandes desigualdades.

O que isto tem haver com as Inequações? Como já informado anteriormente, as inequações sãorepresentadas por desigualdades matemáticas.

* Solução de inequações do 1º grau

Nas equações do primeiro grau que estejam na forma ax + b > 0, tem-se o objetivo de se apurar um conjuntode todas e quaisquer possíveis valores que possam assumir uma ou mais variável que estejam envolvidas nasequações proposta no problema.

Acompanhe:

Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação:

3x + 5 < 17

Veja os seguintes passos para solução:


Após fazer os devidos cálculos da inequação acima, pode-se concluir que a solução apresentada é formadapor todos os números inteiros positivos menores que o número 4.

S = {1, 2, 3,}

* Exemplos de fixação de conteúdo

a) 2 -4x ≥ x + 17

Solução:

b) 3(x + 4) < 4(2 –x)

Solução:

c) Quais os valores de X que tornam a inequação -2x +4 > 0 verdadeira?


Solução:

O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qualquer valor menor que 2.

Verifique a solução:

Para x = 1

-2x +4 > 0

-2.(1) +4 > 0

-2 + 4 > 0

2 > 0 ( verdadeiro )

Observe, então, que o valor de X menor que 2 é a solução para inequação.

* Propriedades da inequação do 1º grau

Quando uma equação do 1º grau é resolvida, são usados os recursos matemáticos tais como: somar oudiminuir um valor igual aos dos componentes da equação ou multiplicar e dividir os membros componentesda equação por um mesmo valor.

Será que é possível usar estes mesmo recursos de soluções das equações para resolver as inequações doprimeiro grau ?

Analise os exemplos:

Inequação


5 > 3

Recurso:

5 > 3 ( somar o valor 2 )

5 + 2 > 3 + 2

7 > 5 (continua sendo uma inequação verdadeira)

Inequação

5 > 3

Recurso:

5 > 3 (subtrair 1)

5-1 > 3 -1


Desta forma, é possível concluir que de acordo com as propriedades das equações de primeiro grau,podemos usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair um mesmo valor aos membros dainequação do primeiro grau.

Analise os exemplos:

Inequação

5 > 3

Recurso:

5 > 3 (multiplicar pelo valor positivo 2)


5 x (+2) > 3 x (+2)


Inequação

5 > 2

Recurso:

5 > 2 (multiplicar pelo valor negativo -2)

(-2).5 > 2.(-2)

-10 > -4 (a inequação não é verdadeira)

Para que a inequação acima se torne verdadeira é preciso inverter o sinal.

-10 < -4 (agora a inequação é verdadeira)

Portanto, é preciso ter o máximo de cuidado ao utilizar o recurso matemático de (multiplicar ou dividir porum mesmo valor os componentes da inequação) para resolver uma inequação do primeiro grau. Caso estevalor seja um número negativo, o sinal da desigualdade (inequação) deve ser invertido.

Exercícios de Inequações de 1º Grau

Resolva as seguintes inequações, em :a) 2x + 1 x + 6

Diminuir x dos dois lados:

2x - x + 1 x - x + 6

x + 1 6

x 5

b) 2 - 3x x + 14

2 - 3x - x x - x + 14

2 - 4x 14

-4x 12


- x 3

x -3

c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)2x + 6 > 3 - 3x

2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x

6 - 3 > -5x

3 > - 5x

-x < 3/5

x > -3/5

d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 73 - 6x < 2x + 2 + x - 7

-6x - 3x < -8

-9x < -8

9x > 8

x > 8/9

e) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4

Primeiro devemos achar um mesmo denominador.

-2x - 6 < 3 - 3x

x < 9

f) (x + 3) > (-x-1)

x + 3 > -x - 1

2x > -4

x > -4/2

x > -2

g) [1 - 2*(x-1)] < 2

1 - 2x + 2 < 2

- 2x < 2 - 1 - 2

- 2x < -1

2x > 1

x > 1/2

h) 6x + 3 < 3x + 18

6x - 3x < 18 - 3


3x < 15

x < 15/3

x < 5

i) 8(x + 3) > 12 (1 - x)8x + 24 > 12 - 12x

20x > 12 - 24

20x > -12

x > -12/20

x > -3/5

j) (x + 10) > ( -x +6)

x + x > 6 - 10

2x > -4

x > -4/2

x > -2

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0 » x²=9 » » x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0


Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

(delta)b²-4ac:

Fórmula de Bháskara:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:


e

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

Logo: » vazio

Propriedades:

Relações entre coeficientes e raízes

Dado a equação ax²+bx+c=0, com , suas raízes são:


e

A soma das raízes será:

O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:


Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destasequações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a) Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

Aplicando a fórmula de Bháskara:

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo asolução da equação será somente:

x=-1 » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação a b c

x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²


, Logo:

x = 2a e x = a » S={a,2a}

Resolução de equações biquadradas

Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duasvezes, sua forma é:

Exemplo resolvido:

Fazendo x² = y , temos

Substituindo os valores na equação, temos:

x²=4 » e x²=1 »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}

ou simplesmente

Exercícios de Equações de 2º Grau

1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:a) 5x2 - 3x - 2 = 0b) 3x2 + 55 = 0c) x2 - 6x = 0d) x2 - 10x + 25 = 0

Resposta a:

a = 5 ; b = -3 ; c = -2Equação completa

Resposta b:

a = 3 ; b = 0 ; c = 55


Equação incompleta

Resposta c:

a = 1 ; b = -6 ; c = 0Equação incompleta

Resposta d:

a = 1 ; b = -10 ; c = 25Equação completa

2) Achar as raízes das equações:

a) x2 - x - 20 = 0

b) x2 - 3x -4 = 0

c) x2 - 8x + 7 = 0

Resposta a:

(1 ) / 2= (1 9) / 2

1+9 / 2 = 5

1-9 / 2 = - 4

x' = 5 e x'' = -4

Resposta b:

(3 ) / 2 = (3 5) / 2

3 + 5 / 2 = 4

3 - 5 / 2 = -1

x' = 4 e x'' = -1

Resposta c:

(8 ) / 2 = (8 6) / 2

8 + 6 / 2 = 7

2 / 2 = 1

x' = 7 e x'' = 1

3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?

Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos.

(-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das raízes)


02 - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0

12 - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0

42 - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raíz)

4) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficientec:

(-3)² - 7*(-3) - 2c = 0

9 +21 - 2c = 0

30 = 2c

c = 15

5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter oquíntuplo do número x. Qual é esse número? x²-14 = 5x

x² - 5x -14 = 0

(5 ) / 2 = (5 9) / 2

5 + 9 / 2 = 14/2 = 7

5 - 9 / 2 = -2

x = 7 ou -2

Inequação de 2º GrauInequação de 2º GrauInequação de 2º GrauInequação de 2º Grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais dedesigualdades:

>: maior que <: menor que ≥: maior ou igual ≤: menor ou igual ≠: diferente

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparadoao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.


S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}

Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.


S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}

Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x < 3 e x > 3}

Sistemas do 1º grauSistemas do 1º grauSistemas do 1º grauSistemas do 1º grau

* Definição

Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2


cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.

No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava do preçounitário de dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.

Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno comas informações que temos ? Será visto mais à frente.

Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjuntoformado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que emtodas as incógnitas estão elevadas à potência 1.

* Observações gerais

Em tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo:

X + y = 7 x – y = 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15

Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções:

X + y = 6 x – y = 7

Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, éa solução para as duas equações.

Assim, é possível dizer que as equações

X + y = 6

X – y = 7


Formam um sistema de equações do 1º grau.

Exemplos de sistemas:

* Resolução de sistemas

Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira asequações que fazem parte do sistema.

Exemplos:

a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistema

x – y = 2

x + y = 6

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 6

4 – 3 = 1 4 + 3 = 7

1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)


A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima.

b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistema

x – y = 2

x + y = 8

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 8

5 – 3 = 2 5 + 3 = 8

2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)

A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima.

* Métodos para solução de sistemas do 1º grau.

- Método de substituição

Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita ésubstituir esse valor na outra equação.

Observe:

x – y = 2

x + y = 4

Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valorde acordo com a outra incógnita, desta forma:

x – y = 2 ---> x = 2 + y


Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do sistema:

x + y = 4

(2 + y ) + y = 4

2 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1

Temos que: x = 2 + y, então

x = 2 + 1

x = 3

Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.

- Método da adição

Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equaçõesfornecidas.

Observe:

x – y = -2

3x + y = 5

Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:

x – y = -2

3x + y = 5 +

4x = 3


x = 3/4

Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer paraque possamos achar o valor de “X”.

Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficarsomente uma incógnita ?

Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo.

Ex.:

3x + 2y = 4

2x + 3y = 1

Ao somarmos os termos acima, temos:

5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte:

» multiplica-se a 1ª equação por +2

» multiplica-se a 2ª equação por – 3

Vamos calcular então:

3x + 2y = 4 ( x +2)

2x + 3y = 1 ( x -3)

6x +4y = 8

-6x - 9y = -3 +


-5y = 5

y = -1

Substituindo:

2x + 3y = 1

2x + 3.(-1) = 1

2x = 1 + 3

x = 2

Verificando:

3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 4

2x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1

Sistemas do 2º GrauSistemas do 2º GrauSistemas do 2º GrauSistemas do 2º Grau

Veja os seguintes sistemas de equações, com variáveis x e y.

Note que, em cada sistema temos uma equação do 2º grau e uma equação do 1º grau. Estes são chamadossistemas do 2º grau.

Resolvendo sistemas do 2º grau:Resolvendo sistemas do 2º grau:Resolvendo sistemas do 2º grau:Resolvendo sistemas do 2º grau:

Vamos resolver pelo método da substituição.

Isolando a variável x na 1ª equação.

x + y = 5 logo x = 5 - y


Substituímos o valor de x na 2ª equação.

xy = 6 logo y(5-y) = 6 logo 5y - y2 = 6 logo -y2 + 5y - 6 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau.

Voltando na 1ª equação.x = 5 - yx" = 5 - 3 x" = 2 e x' = 5 - 2 x' = 3

S = {(3;2),(2;3)

apresentados aqui e pronto, mas sim a dificuldade de equacionarmos o sistema.

Neste problema estamos tratando de garrafas em duas capacidades: 1,5 l e 600 ml que convertidos em litrossão 0,6 l. Sabemos também que temos um total de 15 l de refrigerante, acondicionados em 13 garrafas.

Então vamos montar duas equações. Uma tratando a quantidade de garrafas e outra tratando a quantidadede refrigerante.

Vamos atribuir x à quantidade de garrafas com capacidade de 1,5 l e y às garrafas de 0,6 l.

Segundo o enunciado temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l que totalizam 15 l. Então temos aprimeira equação:

O enunciado também nos leva a concluir que temos x garrafas de 1,5 l e mais y garrafas de 0,6 l em um totalde 13 garrafas. Temos então a segunda equação:

Eis portanto o nosso sistema:


Para solucionarmos o problema pelo método da adição, vamos começar multiplicando todos os termos dasegunda equação por -0,6:

Escolhemos -0,6 por ser o oposto do coeficiente de y na primeira equação.

Repare agora que ao somarmos as duas equações estaremos eliminando a variável y:

Agora para encontramos o valor de x, basta passarmos o coeficiente 0,9 para o segundo membro, dividindoo termo 7,2:

Agora que temos o valor de x, vamos substituir o x da segunda equação por 8 para encontrarmos o valor dey:

Como Pedrinho comprou 2 coxinhas e 1 refrigerante a R$ 7,00, temos:

Como Joãozinho comprou uma unidade a mais de cada item, ele comprou 3 coxinhas e 2 refrigerantes a R$11,50, temos:

Temos então o seguinte sistema:

Neste exercício vamos utilizar o método da substituição. Para isto vamos começar isolando no primeiromembro, a incógnita r da primeira equação:

Escolhemos o isolamento desta variável, pois ela possuía coeficiente 1, o que tornaria as operações maissimples e rápidas. Em não havendo uma variável nesta situação, devemos escolher a que mais nos pareça


simplificar a resolução do sistema.

Agora vamos substituir r na segunda equação:

A partir de c = 2,5 vamos obter o valor de r:

Então:

O valor unitário do refrigerante é R$ 2,00 e o da coxinha é R$ 2,50.

3) Em uma prateleira há 42 produtos em embalagens de 400 g e de 500 g, num total de 18,5 kg.Quantas embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número de embalagens de 400 g seja omesmo que o número de embalagens de 500 g?

Para que as quantidades fiquem iguais, precisamos retirar da prateleira a diferença entre elas. Serepresentarmos a maior quantidade por x e a menor quantidade por y, precisamos retirar x - y embalagensde 400 g.

500 g totalizam 18,5 kg. Observe que passamos a massa das embalagens para kg, pois a massa total tambémestá em kg, no entanto poderíamos ter passado a massa total para g se desejássemos.

Vamos resolver este exercício pelo método da substituição. Para que possamos eliminar a variável y, vamosmultiplicar todos os termos da primeira equação pelo oposto do coeficiente de y na segunda equação que é-0,5:

Agora podemos somar as duas equações:

Para obtermos o valor de y vamos substituir o valor de x na primeira equação:

Como x = 25 e y = 17 a diferença x - y é igual a 8, portanto:

8 embalagens de 400 g precisam ser retiradas para que o número destas embalagens seja o mesmo que onúmero das embalagens de 500 g.


4) Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo jogador possui 8 fichascom um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possui este jogador?

Como sempre vamos atribuir uma letra a cada uma das variáveis do problema. Para as fichas com duasfiguras vamos atribuir a letra x e para as fichas com quatro figuras vamos atribuir a letra y.

Lendo o enunciado fica evidente a primeira equação:

Como a letra x está associada às fichas com 2 figuras, assim como a letra y às fichas com quatro figura ecomo no total temos 22 figuras, podemos escrever a segunda equação:

Então temos que solucionar o seguinte sistema:

Vamos solucioná-lo pelo método da substituição, primeiramente isolando no primeiro membro a incógnitax da primeira equação:

Agora vamos substituir o resultado obtido na segunda equação:

Representando por x as notas de R$ 50,00 e por y as notas de R$ 100,00, a partir das informações doproblema podemos equacionar o seguinte sistema:

Vamos utilizar o método da adição e para que não fiquemos com nenhum termo negativo após efetuarmos asoma, vamos escolher eliminar a variável x e não a y. Para isto iremos multiplicar por -50 todos os termosda primeira equação, valor este simétrico ao coeficiente de x na segunda equação:

Após executarmos a soma e isolarmos y temos:


E por fim, substituindo o valor de y na primeira equação:

Logo:

Possuo 14 notas de R$ 50,00 e 16 notas de R$ 100,00.

6) Comprando 5 unidades de um produto A mais 3 unidades de um produto B, terei que desembolsarR$ 90,00. Se eu comprar 15 unidades do produto A e 9 unidades do produto B, pagarei R$ 250,00. Qual é opreço unitário de cada um dos produtos?

Os dados do problema nos levam ao seguinte sistema:

Vamos solucioná-lo pelo método da adição. Iremos começar multiplicando a primeira equação por -3:

Agora realizaremos a soma:

Do enunciado chegamos ao sistema:

Vamos isolar a variável A da primeira equação para aplicarmos o método da substituição:

Agora vamos substituir A na segunda equação:

Logo o sistema é possível e indeterminado, possuindo uma infinidade de soluções.

Então:

As informações do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui uma infinidadede soluções.

8) Em um pasto há tanto bois quanto cavalos, num total de 50 animais. Somando-se o número de patas debois ao número de patas de cavalos, obtemos um total de 180 patas. Quantos cavalos temos no pasto,


sabendo-se que todos os animais são normais?

Vamos representar os cavalos pela incógnita C e o bois pela incógnita B e a partir destas variáveisexpressarmos as duas equações que nos permitirão formar um sistema de equações com duas variáveis.

Inicialmente o enunciado nos diz que:

Como cavalos e bois normais possuem 4 patas, do enunciado tiramos a segunda equação:

Podemos então montar o seguinte sistema:

Na primeira equação, vamos isolar a variável B, já que estamos em busca do número de cavalos. Seestivéssemos em busca da quantidade de bois, iríamos isolar a variável referente aos cavalos:

Agora vamos substituir B na segunda equação para obtermos o número de cavalos. Foi por isto que no passoanterior isolamos a variável B e não a C:

quadrados, a soma das suas áreas será igual a 392 cm2. Qual é a área de cada um destes triângulos equadrados?

Para equacionarmos o problema, vamos atribuir a letra T aos triângulos e a letra Q aos quadrados, então apartir do enunciado podemos montar o seguinte sistema de equações com duas variáveis:

Vamos resolvê-lo pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2 e adicionando à primeira:

O fato de termos chegado a 0 = 0 nos indica que este é um sistema possível e indeterminado, pois emborahaja solução para o mesmo, não temos apenas uma única solução.

Logo:


Os dados do enunciado nos levam a um sistema possível indeterminado que possui umainfinidade de soluções.

10) A soma de dois números é 530 e a diferença entre eles é 178. Quais são estes números?

Representando por x o número maior e por y o número menor, temos o seguinte sistema a resolver:

É bastante claro para nós que ao somarmos as equações iremos eliminar os termos com a variável y e é isto oque iremos fazer para apuramos o valor de x:

Agora vamos obter o valor de y trocando o x na primeira equação pelo valor encontrado:

Pronto:

Os números são 354 e 176.

Progressão Aritmética, PA Progressão Aritmética, PA Progressão Aritmética, PA Progressão Aritmética, PA

1 - Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos.Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ..., an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possívelescrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anteriormultiplicado por 3.A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, édenominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um númeronatural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente. Assim por exemplo, para n = 20, teremos


an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, sãoiguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . rA expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo daProgressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimotermo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemosgeneraliza-la da seguinte forma:


Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA,poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever:a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?Temos r = 5, a20 = 8.Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é dotipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, daaplicação da segunda propriedade acima.

Temos:Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais àsoma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:


Exemplo:Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeirotermo, para que a soma seja negativa?*a) 9b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5

SOLUÇÃO:Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:(16n – 2n2) / 10 < 0

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo.Logo, deveremos ter:16n – 2n2 < 0

Portanto, n(16 – 2n ) < 0Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acimaseja negativo, deveremos ter:16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem.O perímetro do triângulo vale:a) 8 b) 12c) 15 *d) 24 e) 33

SOLUÇÃO:Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x


2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 03x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:x2 – 3x – 4 = 0Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são asmedidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será iguala 5+8+11 = 24.O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, oque é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamentepositivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , dezero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Resp: 60

SOLUÇÃO:Teremos que:0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).1 hora o relógio baterá 1 vez2 horas o relógio baterá 2 vezes3 horas o relógio baterá 3 vezes........................................................................................................12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência:(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será:S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zerohora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número determos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1

SOLUÇÃO:Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:a) 64376b) 12846 c) 21286


d) 112 *e) 61376

SOLUÇÃO:Números com 3 algarismos: de 100 a 999.Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimoé igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Resp: 965

SOLUÇÃO:Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.

Logo, o centésimo termo será:a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Agora resolva estes:

UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, determine 10k + r : 320. Resposta: 36Para revisar logaritmos, clique AQUI.

Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83.Resposta: 3, 5 e 7.

Progressão Geométrica, PG Progressão Geométrica, PG Progressão Geométrica, PG Progressão Geométrica, PG

1 – Definição

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos,onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominadarazão.


Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2 - Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja,o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:a2 = a1 . qa3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3................................................................................................

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razãodesta PG?Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar oque segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:


Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerarque no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a,b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:


3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.Portanto, a PG é:9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestascondições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:A)1*B) 10 C) 100 D) -1 E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10,razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumentaindefinidamente é igual a:A)1/x *B) x C) 2x D) n.x E) 1978x

Solução:


Observe que a expressão dada pode ser escrita como:x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica derazão 2. Um desses ângulos mede:a) 28° b) 32° c) 36° *d) 48° e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em ProgressãoGeométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:( x, 2x, 4x, 8x ).Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,x + 2x + 4x + 8x = 360º15.x = 360ºPortanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Agora resolva este:

Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que asoma dos dois primeiros termos é 24.Resposta: 3

Análise Combinatória

Introdução à Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentesformados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementosde Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podemser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todoo cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos


São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sípela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 gruposque não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos osagrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp.

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condiçãoque deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letrasescolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa queeste subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão noconjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjuntoPABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sípela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que nãopodem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos


os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição queexistem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra originaltrocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos doconjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos oselementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando umacircunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderãosentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição dasposições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABCABDC=BDCA=DCAB=CABDACBD=CBDA=BDAC=DACBACDB=CDBA=DBAC=BACDADBC=DBCA=BCAD=CADBADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}


Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintosentre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todosos agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendoaparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que jáapareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações comrepetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos atravésde duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outroelemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+nformas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento podecoincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentese se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, aescolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam emambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda scontem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçarsegmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os


pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também nsegmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos(p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento paraa cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamossupor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agoraexistem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os quesobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmoso terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Pararetirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os númerosque aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades

1111 mmmm

2222 m-1m-1m-1m-1

3333 m-2m-2m-2m-2

............ ............

pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1

No.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seucálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.


Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra doproduto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letrasiniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismosque podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementosdistintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela dearranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades

1111 mmmm

2222 m-1m-1m-1m-1

............ ............

pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1

............ ............

m-2m-2m-2m-2 3333

m-1m-1m-1m-1 2222

mmmm 1111

No.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesm(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-

p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dadapor:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificara permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um númeronatural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-


se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para istopodemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um númeroreal, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da funçãoP=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? Onúmero de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos éP(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possívelescolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com pelementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há anecessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetiçãode elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito decombinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de melementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceramem outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo deelementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com osmesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir onúmero A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]


Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em umaordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementostomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o númerototal de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordemdeterminada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentosrestantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades sãoC(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene esteselementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação comrepetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui ataxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos decombinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (ecolocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø servepara separar os objetos em função das suas diferenças


(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØCada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe umacorrespondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondoexatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode serfeito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade deelementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamadoCoeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reaise podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteironegativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação decombinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. ComoPi=3,1415926535..., então:

A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade eEstatística.

Teorema Binomial


Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p).Então:

(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1

(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k

==== (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]

====a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]

====ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1

====ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

====ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1

k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2

k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3

k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4

... ... ... ...

kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1

kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k


E assim podemos escrever:

(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk +kkbk+1

que é o resultado desejado.

PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é omotivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria daprobabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes,ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, aabordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa oespaço amostral, é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um númeroprimo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.

2. Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4,K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;


B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrerum evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têmprobabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes:

Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que sedeseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrênciaalterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 eE2...En-1.

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada veze sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:


Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer umdeles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo asorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul nasegunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora,a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30.Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A)=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já queela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) eP(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 nobranco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6


Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e reiao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Sistema decimal de medidas (comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo);

A unidade fundamental de medidas de comprimento é o metro, indicado por m. Dependendo docomprimento a ser medido, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.

Metro linear: (a diferença entre duas medidas lineares consecutivas é de 10 unidades ou de um zero).

km hm dam m dm cm mm

Quilômetro, hectômetro, decâmetro, metro, decímetro, centímetro, milímetro

Exemplos:

v 1,0 dam = 10,0 m

v 1,0 dm = 0,1 m

v 32,4 hm = 3240 m

v 0,01 km = 10 m

v 6,27 dam = 627 dm

Medidas de superfície (metro quadrado)

O metro quadrado é um padrão internacional para medidas de superfície, e é equivalente à medida da áreade um quadrado de lado 1 metro. A unidade fundamental é o metro quadrado (m2). A relação entre duasmedidas consecutivas é de dois zeros.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Exemplos:

v 1dam2 = 100 m2 = 10 000 dm2


v 5138,5 m2 = 0,51385 hm2

v 42 mm2 = 0,000042 m2

v 5,3 cm2 = 0,053 dm2

v 40,3 km2 = 403000 dam2

v 300 mm2 = 0,0003 m2

v 63,9 cm2 = 0,000000639 hm2

Medidas de Volume (metro cúbico)

O metro cúbico é um padrão internacional para medidas de volume, e é equivalente ao volume de um cubode aresta 1m. A unidade fundamental é o metro cúbico (m3). A relação entre duas medidas consecutivas éde três zeros.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Exemplos:

v 1hm3 = 1 000 000 m3

v 21,3 dam3 = 21 300 000 dm3

v 0,5 km3 = 500 000 dam3

v 52,1 cm3 = 0,000 0521m3

v 4,21 mm3 = 0,00000421 dm3

v 5,304km3 = 5304000000 m3

v 22,44mm3 = 0,00000000002244dam3

Medidas de Capacidade

Chamamos de capacidade de um recipiente ao volume de um líquido ou de um gás que esteja contido nesserecipiente. O litro é um padrã ( l ) o internacional para medidas de capacidade e corresponde à capacidadede um cubo de aresta 1 dm.

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade inferior, ou seja, a diferença entre uma e outra medida decapacidade é de uma casa ou um zero.

kl hl dal l dl cl ml

Quilolitro, hectolitro, decalitro, litro, decilitro, centilitro, mililitro.

Exemplos:

v 0,3 dl = 0,03 l

v 3,25 l = 325 cl


v 713,5 l = 0,7135 kl

v 13000 cl = 130 l

v 25,76 dal = 2576 dl

v 47,58 hl = 475,8 dal

v 13,27 dl = 0,01327 hl

Relação entre medidas cúbicas e de capacidade

1 litro = 1 dm3

v 1000 litros = 1000 cm3 = 1 m3

v 1cm3 = 0,001dm3 = 0,001 litro

v 5 mm3 = 0, 000 005 dm3 = 0,000005 litro

v 100 hl = 10 000 litros = 10000dm3 =10m3

v 4 kl = 4 000 litros = 4000 dm3 = 4m3

v 4 dm3 = 4 litros = 0,004 kl

Medidas de Massa (peso)

Na linguagem usual dizemos que: “tal pessoa pesa 50 quilos (quilogramas)”, na verdade o que estamosmedindo é a massa do corpo. O peso de um corpo é uma grandeza física que varia de acordo com a força dagravidade, mas a sua massa é a mesma. O que as balanças nos fornecem é a massa que o corpo tem.

A unidade fundamental de medidas de massa é o grama ( g ). A diferença entre duas medidas de peso é umacasa ou 1 zero, ou seja, cada unidade é 10 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior.

kg hg dag g dg cg mg

Quilograma, hectograma, decagrama, grama, decigrama, centigrama, miligrama.

Observação: 1 Ton (tonelada) = 1000 quilos.

Exemplos:

v 1 dag = 10 g

v 5,43 dag = 5430 cg

v 12,73 cg = 0,001273 hg

v 125 kg = 125 000 g

v 231 mg = 2,31 dg

v 5 cg = 0,00005 kg

v 0,07 kg = 70 g

v 72,4 hg = 7 240 000 mg

Medidas de Tempo

No Sistema Internacional, a unidade oficial de tempo é o segundo, cujo símbolo é s.


Além do segundo, as unidades de tempo mais usadas são o minuto, a hora, a semana, o mês, o ano, e oséculo. Temos que:

v 1 minuto =60 segundos;

v 1 hora = 60 minutos ;

v 1 hora = 3.600 segundos;

v 1 mês comercial = 30 dias;

v 1 ano comercial = 360 dias;

v 1 ano civil = 365 dias.

Exemplo:

v Transforme 789 dias em anos, meses e dias:

Verificaremos quantos anos cabem em 789 dias:

789dias 360

69dias 2 anos

em seguida verificaremos quantos meses cabem em 69 dias:

69dias 30

09dias 2 meses

Resposta: 2 anos, 2 meses e 9 dias.

v Transforme 2,325 anos em: anos, meses e dias:

2,325 a = 2 a + 0,325 a

2 a + 0,325 12meses

2 a + 3,9 meses

2 a + 3 meses + 0,9 meses

2 a + 3 meses + 0,9 30 dias

2 a + 3 meses + 27 dias

Resposta: 2 a + 3 meses + 27 dias

v Efetue a adição abaixo indicada:

2h 47min 18 s

3h 10min 51 s ( + )

5h 65min 69 s

Se 69 s = 1min + 9 s

Então fica:

5h 66min 09s

Se 66min = 1h + 6 min

Então fica:

6h 06min 09s


Resposta: 6h 06min 09s

v Efetue a subtração abaixo indicada:

4h 26 min 12 s

2h 35 min 45 s ( – )

Como 12 é menor que 45, tomamos 1 minuto (60 segundos) emprestado dos 26 minutos.

Ficará então:

4h 25 min 72 s

2h 35 min 45 s ( – )

Como 25 minutos é menor que 35 minutos, tomamos 1h (60 minutos) emprestado de 4h.

Ficará finalmente:

3h 85 min 72 s

2h 35 min 45 s ( – )

1h 50 min 27 s

Resposta: 1h 50 min 27 s

Exercícios diversos:

1) Assinale a alternativa falsa:

a) 3400 m = 34 hm

b) 22 cm2 = 0,22 dm2

c) 34 cg = 1 dag – 0,0966 hg

d) 2 m3 = 2000 cm3

e) 1 litro = 1000 cm3

2) Um reservatório em 7/8 de sua capacidade cheios de água. Se suas dimensões são a = 1m, b = 0,80m e c =0,40 m, o volume de água existente no reservatório é:

3) Um reservatório de combustível tem 80 cm de comprimento, 35 cm de largura e 20 cm de altura.Supondo que o reservatório estava cheio, após uma viagem foi gasto 2/3 de sua capacidade. Quantos litrosrestaram no reservatório?

4) Um terreno retangular de 30m de largura e 80 metros de comprimento, será cercado de 8 fios de arame,cujo rolo de 20m custa R$14,00. Quanto será gasto de arame?

5) Qual a profundidade de um tanque de 5,4 m de comprimento, 3,5 m de largura, se tem capacidade de9.450 litros ?

6) Transforme 865 dias em: anos, meses e dias

7) Transforme 4,175 anos em anos, meses e dias

8) Transforme 4,325h em horas, minutos e segundos

9) Efetue as operações abaixo indicadas:

a) 4h 50 mim 39 s + 1h 35 min 28s

b) 5h 14 min 36 s – 2h 20 min 50 s


Resposta:

1) d

2) 280 litros

3) 18,66 litros

4) R$ 1.232,00

5) 0,50 metros

6) 2 anos 4 meses 16 dias

7) 4 anos 2 meses 3 dias

8) 4 h 19 mim 30 s

9) a) 6h 26 min 7s

b) 2h 53 min 46 s


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MATEMÁTICA III