ENSINO MÉDIOMATEMÁTICA 1º ANO PROF. EMERSON MARÃO

PROF. LEANDRO ANJOS

PLANO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

2

Unidade IVTrigonometria

CONTEÚDOS E HABILIDADES

3

Aula 20.2ConteúdoRelações métricas no Triângulo Retângulo

CONTEÚDOS E HABILIDADES

4

HabilidadeCalcular medidas de um triângulo usando as relações métricas.

REVISÃO

5

Triângulos SemelhantesNa Geometria Plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando guardam uma proporção entre eles, ou melhor quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo.

REVISÃO

6

Triângulos SemelhantesMas, de fato não é necessário que se conheça todos os lados e ângulos dos triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. É isso que nos dizem os critérios de semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL.

DESAFIO DO DIA

7

Qual a diferença entre congruente e semelhante?

AULA

8

Relações Métricas no Triângulo RetânguloAs relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

9

Elementos do triângulo retânguloA figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto é Â e é cortado pela altura AD: B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

10

Elementos do triângulo retânguloNesse triângulo, observe que:

• A letra a é a medida da hipotenusa;

• As letras b e c são as medidas dos catetos;

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

11

Elementos do triângulo retângulo

• A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

• A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

• A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

12

Teorema de Pitágoras: primeira relação métricaO teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte maneira:

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

13

Teorema de Pitágoras: primeira relação métrica

a2 = b2 + c2

*a é hipotenusa, b e c são catetos.

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

14

Exemplo:Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20cm e o lado menor mede 10cm?

a 10cm

20cm

AULA

15

Segunda relação métricaA hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja:

a = m + nB

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

16

Terceira relação métricaO quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. Matematicamente:

h2 = m⋅n

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

17

Terceira relação métricah2 = m⋅n

Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica.

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

18

Exemplo:Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura?

AULA

19

Quarta relação métricaÉ usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas:

c2 = a⋅me

b2 = a⋅n

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

20

Quarta relação métricaPerceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c.

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

21

Exemplo:Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção.

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

22

Quinta relação métricaO produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.

ah = bc

B

hb

nm

c

a

CD

A

AULA

23

Exemplo:Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros?

DINÂMICA LOCAL INTERATIVA

24

1. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10cm e um dos catetos mede 8cm. Nessas condições, determine:

• a medida da altura relativa à hipotenusa

RESUMO DO DIA

25

Caso AA - Ângulo Ângulo“Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.”

B’ C’

A’

B C

A

RESUMO DO DIA

26

Caso LAL - Lado Ângulo Lado"Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo, e se o ângulo entre estes lados for congruente ao correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes."

C

A

a

cb

B C’

A’

a’

c’b’

B’

RESUMO DO DIA

27

Caso LLL - Lado Lado Lado“Se dois triângulos possuem os seus lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.”

C

A

a

cb

B C’

A’

a’

c’b’

B’

RESUMO DO DIA

28

As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

B

hb

nm

c

a

CD

A

DESAFIO DO DIA

29

Com base nas informações da imagem, é possível determinar a altura da entrada do avião em relação ao solo? E que altura é essa?

DESAFIO DO DIA

30

Resolução1,60,8

x3,2=

x⋅0,8 = 3,2⋅1,6

x= 3,2⋅1,6

x= 5,12 = 6,40,8

0,8

DESAFIO DO DIA

31

Qual a diferença entre congruente e semelhante?