Teorema de Pitágoras

Nilson Catão

Pablo de Sá

Introdução

• Atividade prática;

• Síntese do artigo – análise histórica;

• Análise crítica sobre o Teorema de Pitágoras;

• Análise de livros didáticos e outros materiais.

Atividade

Análise Histórica

• Artigo: “Um estudo sobre argumentação e prova

envolvendo o teorema de Pitágoras”

• Autor: José Leôncio Ferreira Filho

• Mestrado Profissional em Ensino de Matemática – PUC

-SP

Nascimento do método

demonstrativo

• Antigo Oriente: visão estática – empirismo;

• Alguns séculos a.c: Racionalismo crescente – indagação

(como e por quê);

“Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles

são iguais?”

• Método empírico – método demonstrativo → Matemática

atual

• Inicia-se por Tales, Pitágoras e os pitagóricos.

Teorema - História antiga da

Matemática “A geometria possui dois grandes tesouros: um é o

Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. Podemos comparar o primeiro a uma porção de ouro; o segundo a uma jóia

preciosa.” Kepler (1571-1630)

• Aplicado em várias situações:

– Cálculo da diagonal de quadrado, retângulo, losango;

– Altura de triângulo equilátero, isósceles;

– Construção com régua e compasso de segmentos irracionais;

– Distância entre dois pontos no plano cartesiano, equação de uma circunferência;

– Módulo de um número complexo.

Teorema - História antiga da

Matemática

• “ A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um

triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos

quadrados que têm como lados cada um dos

catetos”;

a² + b² = c²

Teorema - História antiga da

Matemática

• Culturas antigas já haviam testado essa relação:

– Egípcios e babilônios – muito antes dos gregos

3² + 4² = 5² (Terno pitagórico)

– Babilônios – tabuinha de argila YBC 7289 (1800-1600

a.C.)

Teorema - História antiga da

Matemática

– Babilônios: tablete Plimpton 322 – quinze linhas com

valores de ternos de números pitagóricos;

– Chinês: Chou Pei Suang Ching (1200 ou 300 a.C.), -

discussão sobre o Teorema, porém sem

demonstração.

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

• Pitágoras:

– Nasceu por volta de 572 a.C. (?), na Ilha de Samos,

Grécia;

– Não há registros de relatos originais sobre sua vida e

trabalho;

– Várias lendas e mitos.

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

• Escola pitagórica – centro de filosofia, matemática e

ciências naturais;

“Tudo é número”

• Mas por que Teorema de “Pitágoras”?

– Povos antigos já conheciam o conteúdo do teorema;

– Exemplos de utilização.

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

• Respostas:

– Povos antigos não demonstraram o teorema -

“receitas”;

– Pitágoras (ou alguém da escola pitagórica) buscou

uma demonstração matemática.

• Demonstração não era comum - aprendizado com Tales

(600 a.C.)

– Tales: organização dedutiva da geometria(?).

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

• Demonstração de Pitágoras?

– Não há trabalhos escritos;

– Algumas hipóteses:

• Decomposição – comparação de áreas;

• Semelhança de triângulos.

• The Pythagorean proposition (1927) – 370

demonstrações, divididas em:

– Provas algébricas – relações métricas de triângulos;

– Provas geométricas – comparações de áreas.

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

Surgimento da demonstração

Tales e Pitágoras

• Contribuições dos pitagóricos:

– A fundamentação científica da música;

– A descoberta das grandezas incomensuráveis;

– A construção dos sólidos regulares;

– A teoria das proporcionais ( médias);

– A esfericidade da Terra.

Teorema segundo Euclides

• Euclides:

– Pouco se sabe sobre a vida e personalidade;

– Ensinou matemática em Alexandria;

– Pai de “Os Elementos” – protótipo da forma

matemática moderna.

• Demonstração do Teorema - proposição 47 do livro I:

“ Em triângulos retângulos, o quadrado construído

sobre o lado que subtende o ângulo reto, isto é, a

hipotenusa, é igual à soma dos quadrados sobre os

lados que contêm o ângulo reto”

Teorema segundo Euclides

Teorema segundo Clairaut

• Alexis Clairaut (1713-1765):

– Conhecido como anti-Euclidiano;

– Não apresentou axiomas ou postulados, mas

proposições – não tão acessível ao aluno;

– Aspecto mais prática e simples á geometria;

• Demonstração do Teorema:

“A hipotenusa de um triângulo retângulo é seu grande

lado. O quadrado deste lado é igual à soma os

quadrados feitos sobre os outros dois”

Teorema segundo Clairaut

Teorema segundo Legendre

• Adrien-Marie Legendre (1752-1833):

– Professor da escola militar em Paris;

– Publicou “Elementos de Geometria”, para uso escolar

e acadêmico;

– Atualiza e simplifica a obra de Euclides;

• Demonstração do Teorema – mesma que Euclides:

“TEOREMA – O quadrado construído sobre a

hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma

dos quadrados construídos sobre os outros dois

lados”

Teorema segundo Hilbert e Birkhoff

• David Hilbert (1862-1943):

– Matemático excepcionalmente abrangente e

talentoso;

– Publicou “Fundamentos de Geometria” - exerceu

forte influência na matemática do sec. XX;

– Apresentou sistema completo de axiomas para a

geometria euclidiana – corrigiu falhas lógicas e

definições sem sentido;

– Principal representante da escola axiomática;

– Estabelece o caráter puramente dedutivo e formal da

geometria.

Teorema segundo Hilbert e Birkhoff

• Birkhoff (1884-1944):

– Um dos matemáticos mais produtivos e versáteis da

sua geração;

– Incorpora o conjunto dos números reais nos

sistemas de axiomas – equivalente ao de Hilbert.

Teorema segundo Hilbert e Birkhoff

• Demonstração do Teorema – Princípio 12:

“O TEOREMA DE PITÁGORAS. Em qualquer triângulo

retângulo , o quadrado da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos outros dois lados; e

reciprocamente”

Análise crítica

• Tatiana Roque:

– Professora do Instituto de Matemática/UFRJ;

– Doutora pela Coppe/UFRJ;

– Área de pesquisa:

• historiografia da matemática;

• relações entre história e ensino de matemática;

• história das teorias de equações diferenciais e da mecânica celeste na virada do século XIX para o XX.

Análise crítica

“A história da ciência foi marcada por preconceitos

semelhantes aos que moldaram a história da

matemática, sobretudo no que concerne ao desprezo

pela Idade Média. Esse período foi visto como uma

época estacionária, a “idade das trevas”, marcada

pelo dogmatismo religioso, pelo misticismo e pelo

abandono do raciocínio físico. Não se trata de saber

em que medida isso é verdade, mas os adjetivos

escolhidos indicam que o Renascimento inventou o

mito das trevas para se autodefinir, por contraste,

como a “idade da razão”.”

Análise crítica

• Não há um teorema “de Pitágoras”...

– Sem provas do teorema geométrico pelos

pitagóricos;

– Euclides demonstrou teorema com resultados

desconhecidos na época da escola pitagórica;

• ...e sim triplas pitagóricas.

– Consiste em triplas constando de dois números

quadrados e um terceiro número quadrado que

seja a soma dos dois primeiros.

– Resultado mais aritmético que geométrico;

Análise crítica

Tripla pitagórica (3,4,5)

• Esse método não é suficiente para validar o teorema

“de Pitágoras” em todos os casos.

Análise de materiais didáticos

• Livro: Matemática – 9º ano, 7a edição, São Paulo,

2006

• Editora: Moderna

• Autor: Edwaldo Bianchini

Análise de materiais didáticos

• Capitulo 5:

– Abordagem pobre da informação histórica, não

apresentando as outras alternativas da construção

do teorema;

– Descrição excessivamente teórica do teorema,

apresentando apenas uma única demonstração do

teorema;

– Apresenta nenhuma utilização prática do teorema;

– Exercícios, na sua maioria, sem relação de

interdisciplinaridade, buscando apenas a

memorização do teorema.

Análise de materiais didáticos

• Livro: Matemática - Ciência, linguagem e tecnologia -

Volume 1, 1ª edição, São Paulo, 2011.

• Editora: Scipione

• Autor: Jackson Ribeiro

Análise de materiais didáticos

• Capitulo 9 – Item 6:

– Informação histórica, embora sintetizada,

apresenta dados mais completos, como o

conhecimento de egípcios e babilônios;

– Falta de demonstração do teorema;

– Apresenta vários exemplos de utilização prática do

teorema de Pitágoras;

– A maior parte dos exercícios busca correlacionar

com o cotidiano do aluno, apresentando alguns

exercícios de caráter interdisciplinar.

Análise de materiais didáticos

• Livro: Matemática – 9º ano, 3ª edição, São Paulo,

2010

• Editora: Moderna

• Autoria do Projeto Arariba

Análise de materiais didáticos

• Unidade 6:

– Nenhuma informação histórica, citando apenas

quem é Pitágoras;

– Descrição excessivamente teórica do teorema,

porém apresenta demonstrações mais profundas

do teorema;

– Apresenta pouca utilização prática do teorema;

– Exercícios, na sua maioria, sem relação de

interdisciplinaridade, buscando apenas a

memorização do teorema.

Análise de materiais didáticos

• Caderno do Aluno: Matemática – 8º ano, vol. 4, São

Paulo, 2009

• Autoria da SEE-SP

Análise de materiais didáticos

• Situação de aprendizagem 3:

– Tem alguma abrangência histórica, porém alguns

pontos são controversos;

– A parte teórica não é apresentada, dependendo do

professor fazer essa parte;

– Apresenta utilizações práticas do teorema;

– As atividades apresentadas tem relação com a

demonstração do teorema, com exercícios que

reproduzem as informações históricas.

Para finalizar...

• http://www.youtube.com/watch?v=fQT0DuhzyQM

• http://www.youtube.com/watch?v=aPZkRW7F_RQ

Referências Bibliográficas

• FILHO, José L. F. Um estudo sobre argumentação e prova

envolvendo o teorema de Pitágoras. Trabalho (Mestrado) –

Pontifícia Universidade Católica – São Paulo. São Paulo, 2007;

• ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma Visão Crítica,

Desfazendo Mitos e Lendas. Rio De Janeiro: Zahar, 2012;

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