Introdução
• Atividade prática;
• Síntese do artigo – análise histórica;
• Análise crítica sobre o Teorema de Pitágoras;
• Análise de livros didáticos e outros materiais.
Análise Histórica
• Artigo: “Um estudo sobre argumentação e prova
envolvendo o teorema de Pitágoras”
• Autor: José Leôncio Ferreira Filho
• Mestrado Profissional em Ensino de Matemática – PUC
-SP
Nascimento do método
demonstrativo
• Antigo Oriente: visão estática – empirismo;
• Alguns séculos a.c: Racionalismo crescente – indagação
(como e por quê);
“Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles
são iguais?”
• Método empírico – método demonstrativo → Matemática
atual
• Inicia-se por Tales, Pitágoras e os pitagóricos.
Teorema - História antiga da
Matemática “A geometria possui dois grandes tesouros: um é o
Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. Podemos comparar o primeiro a uma porção de ouro; o segundo a uma jóia
preciosa.” Kepler (1571-1630)
• Aplicado em várias situações:
– Cálculo da diagonal de quadrado, retângulo, losango;
– Altura de triângulo equilátero, isósceles;
– Construção com régua e compasso de segmentos irracionais;
– Distância entre dois pontos no plano cartesiano, equação de uma circunferência;
– Módulo de um número complexo.
Teorema - História antiga da
Matemática
• “ A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um
triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos
quadrados que têm como lados cada um dos
catetos”;
a² + b² = c²
Teorema - História antiga da
Matemática
• Culturas antigas já haviam testado essa relação:
– Egípcios e babilônios – muito antes dos gregos
3² + 4² = 5² (Terno pitagórico)
– Babilônios – tabuinha de argila YBC 7289 (1800-1600
a.C.)
Teorema - História antiga da
Matemática
– Babilônios: tablete Plimpton 322 – quinze linhas com
valores de ternos de números pitagóricos;
– Chinês: Chou Pei Suang Ching (1200 ou 300 a.C.), -
discussão sobre o Teorema, porém sem
demonstração.
Surgimento da demonstração
Tales e Pitágoras
• Pitágoras:
– Nasceu por volta de 572 a.C. (?), na Ilha de Samos,
Grécia;
– Não há registros de relatos originais sobre sua vida e
trabalho;
– Várias lendas e mitos.
Surgimento da demonstração
Tales e Pitágoras
• Escola pitagórica – centro de filosofia, matemática e
ciências naturais;
“Tudo é número”
• Mas por que Teorema de “Pitágoras”?
– Povos antigos já conheciam o conteúdo do teorema;
– Exemplos de utilização.
Surgimento da demonstração
Tales e Pitágoras
• Respostas:
– Povos antigos não demonstraram o teorema -
“receitas”;
– Pitágoras (ou alguém da escola pitagórica) buscou
uma demonstração matemática.
• Demonstração não era comum - aprendizado com Tales
(600 a.C.)
– Tales: organização dedutiva da geometria(?).
Surgimento da demonstração
Tales e Pitágoras
• Demonstração de Pitágoras?
– Não há trabalhos escritos;
– Algumas hipóteses:
• Decomposição – comparação de áreas;
• Semelhança de triângulos.
• The Pythagorean proposition (1927) – 370
demonstrações, divididas em:
– Provas algébricas – relações métricas de triângulos;
– Provas geométricas – comparações de áreas.
Surgimento da demonstração
Tales e Pitágoras
• Contribuições dos pitagóricos:
– A fundamentação científica da música;
– A descoberta das grandezas incomensuráveis;
– A construção dos sólidos regulares;
– A teoria das proporcionais ( médias);
– A esfericidade da Terra.
Teorema segundo Euclides
• Euclides:
– Pouco se sabe sobre a vida e personalidade;
– Ensinou matemática em Alexandria;
– Pai de “Os Elementos” – protótipo da forma
matemática moderna.
• Demonstração do Teorema - proposição 47 do livro I:
“ Em triângulos retângulos, o quadrado construído
sobre o lado que subtende o ângulo reto, isto é, a
hipotenusa, é igual à soma dos quadrados sobre os
lados que contêm o ângulo reto”
Teorema segundo Clairaut
• Alexis Clairaut (1713-1765):
– Conhecido como anti-Euclidiano;
– Não apresentou axiomas ou postulados, mas
proposições – não tão acessível ao aluno;
– Aspecto mais prática e simples á geometria;
• Demonstração do Teorema:
“A hipotenusa de um triângulo retângulo é seu grande
lado. O quadrado deste lado é igual à soma os
quadrados feitos sobre os outros dois”
Teorema segundo Legendre
• Adrien-Marie Legendre (1752-1833):
– Professor da escola militar em Paris;
– Publicou “Elementos de Geometria”, para uso escolar
e acadêmico;
– Atualiza e simplifica a obra de Euclides;
• Demonstração do Teorema – mesma que Euclides:
“TEOREMA – O quadrado construído sobre a
hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma
dos quadrados construídos sobre os outros dois
lados”
Teorema segundo Hilbert e Birkhoff
• David Hilbert (1862-1943):
– Matemático excepcionalmente abrangente e
talentoso;
– Publicou “Fundamentos de Geometria” - exerceu
forte influência na matemática do sec. XX;
– Apresentou sistema completo de axiomas para a
geometria euclidiana – corrigiu falhas lógicas e
definições sem sentido;
– Principal representante da escola axiomática;
– Estabelece o caráter puramente dedutivo e formal da
geometria.
Teorema segundo Hilbert e Birkhoff
• Birkhoff (1884-1944):
– Um dos matemáticos mais produtivos e versáteis da
sua geração;
– Incorpora o conjunto dos números reais nos
sistemas de axiomas – equivalente ao de Hilbert.
Teorema segundo Hilbert e Birkhoff
• Demonstração do Teorema – Princípio 12:
“O TEOREMA DE PITÁGORAS. Em qualquer triângulo
retângulo , o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos outros dois lados; e
reciprocamente”
Análise crítica
• Tatiana Roque:
– Professora do Instituto de Matemática/UFRJ;
– Doutora pela Coppe/UFRJ;
– Área de pesquisa:
• historiografia da matemática;
• relações entre história e ensino de matemática;
• história das teorias de equações diferenciais e da mecânica celeste na virada do século XIX para o XX.
Análise crítica
“A história da ciência foi marcada por preconceitos
semelhantes aos que moldaram a história da
matemática, sobretudo no que concerne ao desprezo
pela Idade Média. Esse período foi visto como uma
época estacionária, a “idade das trevas”, marcada
pelo dogmatismo religioso, pelo misticismo e pelo
abandono do raciocínio físico. Não se trata de saber
em que medida isso é verdade, mas os adjetivos
escolhidos indicam que o Renascimento inventou o
mito das trevas para se autodefinir, por contraste,
como a “idade da razão”.”
Análise crítica
• Não há um teorema “de Pitágoras”...
– Sem provas do teorema geométrico pelos
pitagóricos;
– Euclides demonstrou teorema com resultados
desconhecidos na época da escola pitagórica;
• ...e sim triplas pitagóricas.
– Consiste em triplas constando de dois números
quadrados e um terceiro número quadrado que
seja a soma dos dois primeiros.
– Resultado mais aritmético que geométrico;
Análise crítica
Tripla pitagórica (3,4,5)
• Esse método não é suficiente para validar o teorema
“de Pitágoras” em todos os casos.
Análise de materiais didáticos
• Livro: Matemática – 9º ano, 7a edição, São Paulo,
2006
• Editora: Moderna
• Autor: Edwaldo Bianchini
Análise de materiais didáticos
• Capitulo 5:
– Abordagem pobre da informação histórica, não
apresentando as outras alternativas da construção
do teorema;
– Descrição excessivamente teórica do teorema,
apresentando apenas uma única demonstração do
teorema;
– Apresenta nenhuma utilização prática do teorema;
– Exercícios, na sua maioria, sem relação de
interdisciplinaridade, buscando apenas a
memorização do teorema.
Análise de materiais didáticos
• Livro: Matemática - Ciência, linguagem e tecnologia -
Volume 1, 1ª edição, São Paulo, 2011.
• Editora: Scipione
• Autor: Jackson Ribeiro
Análise de materiais didáticos
• Capitulo 9 – Item 6:
– Informação histórica, embora sintetizada,
apresenta dados mais completos, como o
conhecimento de egípcios e babilônios;
– Falta de demonstração do teorema;
– Apresenta vários exemplos de utilização prática do
teorema de Pitágoras;
– A maior parte dos exercícios busca correlacionar
com o cotidiano do aluno, apresentando alguns
exercícios de caráter interdisciplinar.
Análise de materiais didáticos
• Livro: Matemática – 9º ano, 3ª edição, São Paulo,
2010
• Editora: Moderna
• Autoria do Projeto Arariba
Análise de materiais didáticos
• Unidade 6:
– Nenhuma informação histórica, citando apenas
quem é Pitágoras;
– Descrição excessivamente teórica do teorema,
porém apresenta demonstrações mais profundas
do teorema;
– Apresenta pouca utilização prática do teorema;
– Exercícios, na sua maioria, sem relação de
interdisciplinaridade, buscando apenas a
memorização do teorema.
Análise de materiais didáticos
• Caderno do Aluno: Matemática – 8º ano, vol. 4, São
Paulo, 2009
• Autoria da SEE-SP
Análise de materiais didáticos
• Situação de aprendizagem 3:
– Tem alguma abrangência histórica, porém alguns
pontos são controversos;
– A parte teórica não é apresentada, dependendo do
professor fazer essa parte;
– Apresenta utilizações práticas do teorema;
– As atividades apresentadas tem relação com a
demonstração do teorema, com exercícios que
reproduzem as informações históricas.
Para finalizar...
• http://www.youtube.com/watch?v=fQT0DuhzyQM
• http://www.youtube.com/watch?v=aPZkRW7F_RQ
Referências Bibliográficas
• FILHO, José L. F. Um estudo sobre argumentação e prova
envolvendo o teorema de Pitágoras. Trabalho (Mestrado) –
Pontifícia Universidade Católica – São Paulo. São Paulo, 2007;
• ROQUE, Tatiana. História da Matemática: Uma Visão Crítica,
Desfazendo Mitos e Lendas. Rio De Janeiro: Zahar, 2012;
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