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MATEMÁTICA

FORMULÁRIO

30o 45o 60o

sen1

23

2

cos1

2

tg 1

cosec x = , sen x 0

sec x = , cos x 0

tg x = sen x

cos x, cos x 0

cotg x = , sen x 0

sen2 x + cos2 x = 1

1) an = a1 + (n – 1).r

2) an = a1 . qn -1

3) Sn =

4) Sn = .n

INTRODUÇÃO

5) Pn = n!

6)

7)

10) dP,r =

11) A =

12) A esfera = 4R2

13) Vcubo = a3

8) Tp+1 =

9) d =

2

aa n1

A análise a respeito da prova de Matemática do Concurso Vesti-bular-UFSC/2000 e de seus resultados, foi realizada por amostragem, através da prova tipo 1/A.

25) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a 2, 3 e 4 respectivamente. A medida do maior deles é 80.

02. O perímetro de um paralelogramo de lados x e 2x é igual a 60 cm. A medida de seus lados são 20 cm e 40 cm.

04. O polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é o pentágono.

08. A altura relativa à hipotenusa, de um triângulo retângulo de catetos 12 cm e 16 cm, mede 20 cm.

16. A medida de um ângulo inscrito, relativo a uma circunferência, é metade da medida do arco correspondente.

Gabarito: 21 (01 + 04 + 16)Número de acertos: 568 (7,39%)Grau de dificuldade previsto: FácilGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:01. Verdadeira.

02. Falsa. x + x + 2x + 2x = 60 cm x = 10 cm As medidas de seus lados são 10 cm e 20 cm.

04. Verdadeira. d = n = n n(n – 5) = 0 n = 5 Pentá-gono.

08. Falsa. b = 12 cm , c = 16 cm a = 20 cm (hipotenusa) h.a = b.c h.20 cm = 12 cm . 16 cm h = 9,6 cm.

16. Verdadeira. Trata-se de um teorema da geometria plana que esta-belece a relação entre ângulos e arcos da circunferência.

ANÁLISE DA QUESTÃO:

A questão envolve conhecimentos elementares de geometria plana como: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo; o cálculo do perímetro e do número de diagonais de um polígono; rela-ções métricas no triângulo retângulo e relação entre ângulos e arcos da circunferência. Embora essa questão tenha grau de dificuldade fácil, os resultados apontaram que ela se mostrou difícil para os candidatos.

Nessa questão, três pontos merecem ser destacados.Primeiro, o fato de que as proposições corretas tiveram, separa-

damente, um bom número de preferências (01 – 41,22%; 04 – 64,52%; 16 – 40,57%), e que, o problema constitui-se na sua combinação, reali-zada por um número reduzido de candidatos. Nesse mesmo sentido, deve-se destacar o fato de que 9,27% dos candidatos assinalaram a resposta 05 (01 + 04), e outros 6,11%, a resposta 20 (04 + 16).

Segundo, o fato de que 49,06% dos candidatos consideraram a proposição 08 como correta, fazendo com que

as respostas 12 (04 + 08) e 13 ( 01 + 04 + 08) tivessem 8,81% e 6,74% de preferência, respecti-vamente. É possível que esses candidatos não tenham prestado atenção ao fato de que a proposição se referia à altura relativa à hipotenusa e não, simplesmente, à hipotenusa, que realmente media 20 cm. Faltou a esses candidatos lerem mais atentamente a proposição.

Terceiro, o fato de que apesar de 40,57% dos candidatos terem considerado correta a proposição 16, ela fez parte de forma significativa de apenas duas combinações 20 (04 + 16) – 6,11% e 21 (01 + 04 + 16) – 7,39%. Isso indica que essa proposição tenha sido talvez uma das res-ponsáveis pelo baixo índice de acerto dos candidatos e que esse tópico de geometria, trabalhado na 7a série do Ensino Fundamental, deva ser melhor consolidado.

26) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1).(x – 2) é da forma ax + b, com a, b . O valor numérico da expressão a + b é:

Gabarito: 05 (Aberta)Número de acertos: 719 (9,46%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:Pelo teorema do resto, temos: P(-1) = 3 e P(2) = 6.Sejam Q(x) e R = ax + b, respectivamente, o quociente e o resto

da divisão de P(x) por (x + 1).(x - 2); temos:P(x) = Q(x).(x + 1).(x - 2) + (ax + b).Tomemos os valores numéricos desses polinômios em -1 e 2:P(-1) = Q(-1).(-1 + 1).(-1 - 2) + (-a + b) 3 = -a + bP(2) = Q(2).(2 + 1).(2 - 2) + (2a + b) 6 = 2a + bResolvendo o sistema formado por -a + b = 3 e 2a + b = 6,

resulta a = 1 e b = 4.Logo, o valor numérico da expressão a + b = 5.

ANÁLISE DA QUESTÃO:Questão aberta, envolvendo divisão de polinômios. Nessa ques-

tão, 6,25% dos candidatos assinalaram a resposta 03 e 15,12%, a resposta 09. Outros 7,83% dos candidatos optaram pela resposta 18. Embora o índice de concentração nessas respostas incorretas não seja muito significativo, a análise sugere que os candidatos, por terem dificul-dades no estudo de polinômios, tenham simplesmente combinado os dados do enunciado da questão, de forma a dar uma resposta (03; 03 + 06 = 09; 03.06 = 18).

Considerando-se que esse assunto é muito explorado no Ensino Médio e em vestibulares, o resultado ficou aquém do esperado.

}


01. A medida em radianos de um arco de 225 é rad.

02. A menor determinação positiva de um arco de 1000 é 280.04. Os valores de m, de modo que a expressão sen x = 2m – 5 exista,

estão no intervalo [2,3].

08. sen x cos x para .

16. Se tg x = e x , então o valor de sen x – cos x é igual

a .

32. Se sen x 0, então cosec x 0.64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0 x 2 é

x = ou x = .

Gabarito: 86 (02 + 04 + 16 + 64)Número de acertos: 425 (5,54%)Grau de dificuldade previsto: DifícilGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

01. Falsa. x = x =

02. Verdadeira. 1000o = 2.360o + 280o.04. Verdadeira. -1 2m - 5 1 4 2m 6 2 m 3 m [2,

3].08. Falsa. Basta tomar x = 0 sen 0 > cos 0 0 > 1. Absurdo.

16. Verdadeira. tg x = sen x = . Substi-

tuindo em sen2 x + cos2 x = 1 cos x = sen x = .

Logo, sen x – cos x = – = .

32. Falsa. Como cosec x = , sen x 0 Se sen x > 0 cosec x > 0.

64. Verdadeira. Faça: y = sen x 2y2 + 3y = 2


A questão envolve conhecimentos básicos e fundamentais de tri-gonometria. Nessa questão, todas as proposições corretas tiveram, separadamente, um bom índice de preferências (02 – 50,13%; 04 – 54,03%; 16 – 30,79%; 64 = 35,32%). O problema foi a combinação de ambas, realizada por um número reduzido de candidatos. Um exemplo disso é o fato de que 6,73% dos candidatos assinalaram a proposição 06 (02 + 04) e 6,43%, a proposição 70 (02 + 04 + 64).

Outro ponto que merece ser destacado nessa análise é o fato de que 33,28% dos candidatos consideraram a proposição 32 como correta. É possível que esses candidatos não tenham dado a devida atenção à

relação fundamental cosec x = , sen x 0 , fornecida no formu-

lário da prova, a qual lhes possibilitaria perceber que o sinal da cosec x é igual ao sinal do sen x.

A partir dessa e de outras análises de questões, envolvendo tri-gonometria, apresentadas em relatórios de anos anteriores, pode-se di-zer que esse tópico é bem trabalhado no Ensino Médio. Porém, é neces-sário que esse conhecimento seja melhor consolidado, principalmente no que se refere à aplicação das relações fundamentais e derivadas entre os números trigonométricos de um mesmo arco, já que 6,73% dos candi-datos consideraram como corretas somente as proposições 02 e 04 e outros, 6,43%, apenas as proposições 02, 04 e 64. Isso indica que a proposição 16 foi, talvez, a responsável pelo baixo índice de acerto dos candidatos.

28) De acordo com o gráfico abaixo, assinale a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.

02. A reta s e a reta r são perpendiculares.

04. As retas r e s se interceptam no ponto de abscissa .

08. A distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à reta

r é de unidades.

16. A área da região do plano limitada pelas retas r, s e pelo eixo das

abscissas é igual a unidades de área.

Gabarito: 09 (01 + 08)

x

s

y

0

1

2

3

1

r

Número de acertos: 1.164 (15,20%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

01. Verdadeira. = 0 3x – 2y + 6 = 0

02. Falsa. = 0 x + y – 1 = 0

r: x + y – 1 = 0 mr = -1

s: 3x – 2y + 6 = 0 ms =

mr r e s não são perpendiculares.

04. Falsa. Resolvendo o sistema formado por x + y – 1 = 0 e

3x – 2y + 6 = 0, resulta x = - e y = .

08. Verdadeira. dP,r = dP,r = dP,r = uni-

dades.

16. Falsa. A = D A = A = A

= unidades de área.


Nessa questão, são abordados os conhecimentos básicos e fun-damentais de geometria analítica.

A partir da análise do quadro de respostas, constata-se um bom índice de preferência pelas proposições corretas (01 – 39,59%; 08 – 44,63%), mas, apenas 15,20% dos candidatos optaram pelas duas, si-multaneamente, isto é, obtiveram a resposta correta.

Merece destaque o fato de um número significativo de candidatos (47,32%) considerarem a proposição 02 como correta, fazendo com que as respostas 02 (02); 10 (02 + 08) e 18 (02 + 16) tivessem 13,71%, 6,80% e 7,39% de preferências, respectivamente. É possível que esses candidatos tenham sido induzidos pela representação gráfica apresenta-da na questão, não verificando, portanto, a condição de perpendicula-rismo das retas r e s.


01. O valor do é igual a – .

02. Se a, b e c são números reais positivos e x = , então

log x = 3log a – 2log b – log c.

04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de

um, então tem-se

08. O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2x = 56 é x = 3.

Gabarito: 31 (01 + 02 + 04 + 08 + 16)Número de acertos: 511 (6,66%)Grau de dificuldade previsto: FácilGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

01. Verdadeira. = x = 25 2-2x = 25

x = – .

02. Verdadeira. log x = log . Pelas propriedades dos logaritmos

temos: log x = log a3 – log log x = 3 log a –

log x = 3 log a – (2 log b + log c½) log x = 3 log a – (2

log b + log c) log x = 3 log a – 2 log b – log c.

04. Verdadeira. Trata-se da propriedade da mudança de base de loga-ritmos.

08. Verdadeira. 4x – 2x = 56 22x – 2x = 56. Faça: y = 2x

y2 – y – 56 = 0 y1 = -7 2x = -7 (absurdo) y2 = 8 2x = 8 x = 3.

16. Verdadeira. > .


log 32 0,25

.

16.

3

2,32

1,7

3

2

>

log 32 0,25

3

2,32

1,7

3

2

>

A questão envolve conhecimentos básicos de logaritmos e expo-nenciais.

Embora prevista como fácil, o resultado mostrou que a questão representou ser difícil para os candidatos. Acredita-se que essa dificuldade não se deve, propriamente, ao conteúdo em questão, mas à combinação das proposições corretas. A análise do quadro de respostas confirma isso, demonstrando um bom índice de preferência pelas proposições corretas, separadamente, (01 – 40,76%; 02 – 52,05%; 04 – 60,90%; 08 – 71,68%; 16 – 33,46%), mas que apenas 6,66% dos candidatos foram capazes de combiná-las corretamente. Esse fato pode também ser evidenciado pelos índices de preferência das respostas que são combinações parciais dessas proposições, como 06 (02+04 – 4,91%); 08 (08 – 9,16%); 10 (02 + 08 – 6,95%); 12 (04 + 08 – 7,98%); 13 (01 + 04 + 08 – 5,13%); 14 (02 + 04 + 08 – 8,08%) e 15 (01 + 02 + 04 + 08 – 6%).

Deve-se destacar ainda, que apesar de 40,76% dos candidatos terem considerado correta a proposição 01 e 33,46%, a proposição 16, essas proposições fizeram parte, de forma significativa, de apenas três (3) combinações: 13 (01 + 04 + 08 – 5,13%); 15 (01 + 02 + 04 + 08 – 6%) e 31 (01 + 02 + 04 + 08 + 16 – 6,66%). Isso indica que essas proposições tenham sido, talvez, as responsáveis pelo baixo índice de acerto dos candidatos e que os tópicos logaritmos e exponenciais devem ser melhor explorados no Ensino Médio.


01. Simplificando obtemos 6.

02. Podemos formar 720 anagramas com ou sem significado com as letras da palavra ESCOLA.

04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30.

08. Se , então x é igual a 7.

16. O termo independente de x no desenvolvimento (3x – 2)4 é 16.

Gabarito: 27 (01 + 02 + 08 + 16)Número de acertos: 629 (8,20%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:


A questão aborda conhecimentos básicos e fundamentais de análise combinatória. Nessa questão, todas as proposições corretas tive-ram, separadamente, um bom índice de preferências (01 – 51,11%; 02 – 77,23%; 08 – 35,56%; 16 – 47,10%). O problema foi a combinação de ambas, realizada por apenas 8,20% dos candidatos.

A análise do quadro de respostas (02 – 7,62%); 03 (01 + 02 – 9,52%); 11 (01 + 02 + 08 – 7,84%); 18 (02 + 16 – 7,99%); 19 (01 + 02 + 16 – 7,37%) sugere que os candidatos têm um bom conhecimento de análise combinatória, mas é necessário que esse tópico seja melhor explorado no Ensino Médio.


01. A razão da P.A. em que a1 = 8 e a20 = 30 é r = 2.

02. A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) é 299.

04. O primeiro termo da P.G. em que a3 = 3 e a7 = é 12.

08. A soma dos termos da P.G. é 10.

Gabarito: 15 (01 + 02 + 04 + 08)Número de acertos: 1.501 (19,58%)Grau de dificuldade previsto: FácilGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

01. Verdadeira. a1 = -8 , a20 = 30

an = a1 + (n – 1).r 30 = -8 + 19r r = = 2.

02. Verdadeira. a1 = 5; r = 3; an = 41; n = 13

Sn = .n Sn = = 299

04. Verdadeira. a3 = 3 , a7 = a7 = a3 q4 = 3q4

q4 = q = .

a3 = a1 q2 3 = a1. a1 = 12.

08. Verdadeira. a1 = 5 , q =

Sn = Sn = = 10.


..., , 4

5,

2

55

Essa questão, em princípio, pode ser julgada fácil, pois envolve apenas aplicação direta de fórmulas de P.A. e P.G.

Observa-se que 72,94% dos candidatos optaram pela proposição 01; 65,61% pela proposição 02; 59,20% pela proposição 08 e 48,34% pela proposição 04.

O fato de que 19,58% dos candidatos optaram pela resposta 11 (01 + 02 + 08) e 11,39% pela resposta 03 (01 + 02), indica que a proposição 04 foi, talvez, responsável pelo baixo índice de acerto na questão, pois os candidatos tinham que encontrar, primeiro, a razão da P.G., para depois, o primeiro termo. Para encontrar a razão não havia uma fórmula pronta.

32) Considere o sistema S1: e determine a soma dos

números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O par ordenado (15,5) é uma solução do sistema S1.02. O sistema S1 é possível e determinado.04. A solução do sistema S1 é uma reta que não passa pela origem.

08. O sistema S2: é equivalente ao sistema S1.

Gabarito: 09 (01 + 08)Número de acertos: 1.660 (21,64%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

01. Verdadeira. Substituindo x por -15 e y por 5, no sistema S1, veri- fica-se que o par (-15 , 5) é uma solução de S1.

02. Falsa.

Como = x = y = 0, tem-se que o sistema é possível e inde- terminado.

04. Falsa. De S1 segue que x = -3y. O conjunto solução de S1 é o conjunto dos pares (x, y) que perten- cem à reta x = -3y. O par (0, 0) é uma solução do sistema.

08. Verdadeira. A solução de S2 é o conjunto dos pares (x, y), tais que

x = -3y. Logo, S1 e S2 têm o mesmo conjunto solução.

x + 3y = 0 2x – 6y = 0

2x + 6y = 0 10x – 30y = 0

ANÁLISE DA QUESTÃO:A questão, que envolve análise de sistemas de equações linea-

res, obteve apenas 21,44% de acerto.Dentre todas as proposições, a de número 08 teve o maior índice

de acerto, 74,84%.43,33% dos candidatos indicaram a proposição 02 (falsa), como

correta. Nessa questão não se lembraram das condições para que um sistema seja possível e determinado.

Apenas 49,71% optaram pela proposição 01, considerada a mais fácil.

Conclui-se que a maioria dos candidatos, talvez, saiba resolver sistemas, mas não analisar as soluções do sistema e o próprio sistema.

33) Sejam as funções f(x) = definida para todo x real e x 1 e

g(x) = 2x + 3 definida para todo x real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões)

VERDADEIRA(S).

01. .

02. O domínio da função fg (f composta com g) é

04. O valor de g(f(2)) é igual a .

08. A função inversa da g é definida por .

16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas

em .

32. A função f assume valores estritamente positivos para x – 1 ou x 1.

Gabarito: 59 (01 + 02 + 08 +16 + 32)Número de acertos: 191 (2,49%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

01. Verdadeira. f(x) = f = = = =

– = – f(x).

02. Verdadeira. fg(x) = f(g(x)) = f (2x + 3) = = = .

Portanto,

04. Falsa. g(f(2)) = g(3) = 9.

0,2

3

08. Verdadeira. g(x) = 2x + 3 y = 2x + 3 x = .

Portanto, .

16. Verdadeira. O gráfico da função g(x) é uma reta definida por y = 2x + 3.

Fazendo y = 0, tem-se 2x + 3 = 0, ou seja, x = .

Portanto, a reta que representa a função g(x) intercepta o eixo das

abscissas no ponto .

32. Verdadeira. f(x) = > 0 para x + 1 > 0 e x – 1 > 0 ou

x + 1 < 0 e x – 1 < 0. Logo, f(x) > 0 para x < -1 ou x > 1.


Essa questão apresenta um baixo índice de acertos (2,49%), tratando-se de um assunto bastante explorado no Ensino Médio.

Analisando o número de acertos nas proposições corretas, obser-va-se que os candidatos tiveram dificuldades em efetuar a composição de funções (proposição 02 – 34,25% e 04 – 21,08% de acerto), e em

determinar a expressão para f (proposição 01 – 30,78%).

34) O gráfico abaixo representa temperatura T(C) x tempo t (h).

01. No intervalo entre t1 = 1 e t2 = 2 a temperatura diminuiu numa taxa constante.

02. A função que determina a temperatura entre t1 = 5 e t2 = 6 é do tipo y = ax + b, com a 0.

04. A temperatura diminuiu mais rapidamente no intervalo entre t1 = 1 e t2 = 2 do que no intervalo entre t2 = 2 e t3 = 3.

08. A temperatura máxima ocorreu no instante t = 2.16. A temperatura mínima ocorreu no instante t = 3.

Gabarito: 17 (01 + 16)

1 2 3 4 5 6

T(C)

t (h)5

101520

2530

0,2

3

Número de acertos: 2.944 (38,39%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Médio

SOLUÇÃO:

01. Verdadeira. No intervalo t1 = 1 e t2 = 2, a temperatura está represen-tada, geometricamente, por um segmento de reta decrescente. O coeficiente angular da reta é o mesmo em qualquer ponto da reta. A taxa de variação é o coeficiente angular da reta.

Portanto, a temperatura diminui a uma taxa constante nesse intervalo.

02. Falsa. A função que determina a temperatura no intervalo [5, 6] é do tipo y = ax + b com a > 0.

04. Falsa. No intervalo entre t1 = 1 e t2 = 2, a temperatura diminuiu 5 oC (de 20 oC para 15 oC); no intervalo entre t2 = 2 e t3 = 3, a tempe-ratura diminuiu 17,5 oC (de 22,5 oC para 5 oC).

08. Falsa. A temperatura máxima ocorreu no instante t = 6.

16. Verdadeira. A temperatura mínima ocorreu no instante t = 3.


Essa questão que trata de análise de gráficos teve um índice médio de acerto (38,39%).

Cada uma das proposições corretas, separadamente, teve um alto número de preferências ( 01 – 70,96% e 16 – 90,28%). O problema foi a combinação delas.

11,78% dos candidatos optaram pela resposta 19 (01 + 02 + 16).A proposição 02 teve 26,71% de preferência, motivo este que,

talvez tenha sido responsável pelo baixo índice de acerto na questão, ao assinalarem a proposição 02 como correta, não levando em consideração a restrição sobre o coeficiente a.

35) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16 cm2 de superfície é:

Gabarito: 64 (Aberta)Número de acertos: 2.700 (35,51%) Grau de dificuldade previsto: DifícilGrau de dificuldade obtido: Médio

SOLUÇÃO:

A – área (esfera) = 16V – Volume (cubo) = 3

A = 4r2 = 16 r = 2Se um cubo está circunscrito a uma esfera de raio r, então a aresta do cubo é = 2r.

= 2 . 2 = 4

V = 43 = 64.


A questão do tipo aberta envolve aplicação de fórmulas da geo-metria espacial.

35,51% dos candidatos acertaram a questão e 15,91% deram a resposta 08, pois usaram a medida do raio da esfera como a aresta do cubo.

36) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo

que = 63 m, os ângulos e e que tg = 2 e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é:

Gabarito: 84 (Aberta)Número de acertos: 797 (10,52%)Grau de dificuldade previsto: MédioGrau de dificuldade obtido: Difícil

SOLUÇÃO:

tg = = 2

tg = = 4 a =

= 2 = 2 504 – 2x = 4x 6x = 504

x = 84.


A questão envolve conceitos de trigonometria. Observa-se que, 10,52% dos candidatos responderam corretamente a questão, e 7,90% deram a resposta 63, que é a distância dada no problema, entre os dois pescadores, e não a distância entre as margens do rio.

Para esses candidatos faltou interpretar e representar geometri-camente o problema. Os demais candidatos conseguiram outras respos-tas nada significativas.

CONCLUSÃO

A prova procurou contemplar todo o programa, através de ques-tões simples, com nível de dificuldade médio, priorizando a inclusão de um maior número de questões do tipo de proposições de múltipla esco-lha, com o objetivo de valorizar os acertos parciais dos candidatos.

Acredita-se que os desempenho entre o grau de dificuldade pre-visto e os resultados obtidos deve-se à referida inclusão, já que esse tipo de questão mostrou-se mais difícil para os candidatos.

Finalmente, percebe-se a necessidade de que os conteúdos de Matemática sejam mais explorados no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, dando-se especial atenção aos seus fundamentos e aplicações.

P1 P2 BP1P2 = ^ BP2P1 = ^

P1 63 – a a P2

B

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MATEMÁTICA - Comissão Permanente do Vestibularantiga.coperve.ufsc.br/vestibular2000/relatorio/provas/1-A… · Web viewlário da prova, a qual lhes possibilitaria perceber que