Material de Apoio:

Teste F/ANOVA/Correlação e

Regressão

Teste F

Teste F

Objetivo:

Testar uma afirmativa sobre dois desvios-

padrão ou variâncias populacionais.

Teste F

Condições:

1. As duas populações independentes.

2. Amostras Aleatórias Simples

3. Ambas oriundas de Distribuição Normal

Teste F

Condições:

��� = variânciadapopulaçãodaqualseextraiu

aamostracomamaiorvariância

�� = tamanhodaamostracomamaiorvariância

��� = maiordasduasvariânciasamostrais

F =s�

�

s��

Teste F

Teste F

Exemplo

Teste a afirmativa, para � = 0,05 e supondo que as

distribuições são normalmente distribuídas, de que

os pesos de bebês nascidos de mães que recebem

placebos variam mais do que pesos de bebês

nascidos de mães que recebem um suplemento de

zinco.

Placebo zinco

"̅ 3088 g 3214 g

� 728 g 669 g

n 16 16

Tabela F-Snedecor

Distribuição F (α=0,05)

GL1 (15)

GL2 (15) 2,4034

Exemplo

$% =728�

669�= 1,1842

$-%,�-,�- = 2,4034

Exemplo

Conclusão:

Considerando que o resultado encontrado para oteste de estatística F, igual a 1,1842, está fora daárea de rejeição correspondida por valoresmaiores do que 2,4034, com a confiança de 95%,pode-se concluir que não há evidência suficientepara apoiar a afirmativa de que o peso de bebêsnascidos de mães que receberam placebo variamais do que o peso de bebês nascidos de mãesque receberam os suplementos de zinco.

ANOVA

Exemplo

Ho: µ1= µ2= µ3 ....

H1: pelo menos uma das médias é diferente uma das outras

Valor de P <= α� Rejeita H0

Se pelo menos uma das médias populacionais for diferente

Teste de Bonferroni

*mais informações no capítulo 13

Correlação

Definição

Há correlação entre duas variáveis

quando os valores de uma variável

estão relacionados, de alguma

maneira, com os valores da outra

variável

Exemplos

Perímetro de um quadrado e o tamanho do lado do quadrado

Exemplos

A quantidade de oxigênio em um rio e a temperatura da água.

Exemplos

A quantidade de defeitos produzidos por uma injetora e o tempo de

operação da máquina.

Tipos de Correlação

x

y

Correlação linear negativa

x

y

Sem correlação

x

y

Correlação linear positiva

x

y

Correlação não linear

Conforme x

aumenta, y tende

a decrescer.

Conforme x

aumenta, y

tende a

aumentar.

Formas de Quantificar

Covariância

Indicador que fornece o grau e o

sinal da correlação entre 2 variáveis

012 = 345 ", 6 =∑ ("9 − ")(69 −<

9=� 6)

� − 1

Coeficiente de Correlação Linear

(Pearson) - r

Mede a força da correlação linear

entre valores quantitativos

emparelhados de x e y de uma

amostra

1 2

Coeficiente de Correlação Linear

(Pearson) - r

1 2

>? = ∑1@A1 B

<A�

<9=� >C = ∑

2@A2 B

<A�

<9=�

Coeficiente de Correlação Linear

(Pearson) - r

A amplitude do coeficiente de correlação é -1 para 1

-1 0 1

Se r = -1 existe

uma correlação

negativa perfeita.

Se r = 1 Existe

uma correlação

positiva perfeita.

Se r está próximo

de 0 não existe

correlação linear.

Correlação Linear (Pearson)

Correlação negativa forte

Correlação positiva fraca

Correlação positiva forte

Correlação não linear

x

y

x

y

x

y

x

y

r = −0,91 r = 0,88

r = 0,42 r = 0,07

Exemplo

Calcule o coeficiente de

correlação para os dados

dos gastos com

propaganda e vendas da

empresa informados no

tabela ao lado. O que

podemos concluir, existe

correlação entre eles?

Gastos

com

Propagan

da

($1000)

Vendas

da

Empresa

($1000)

2,4 225

1,6 184

2,0 220

2,6 240

1,4 180

1,6 184

2,0 186

2,2 215

Exemplo

Nenhuma correlação

CorrelaçãoCorrelação

Exemplo

Conclusão:

Considerando que o resultado encontrado para o

coeficiente de correlação é igual a 0,913, existe

uma correlação linear positiva forte. Conforme

aumenta o gasto com propaganda, as vendas da

empresa também aumentam.

Teste de Hipótese

Teste do coeficiente de correlação

O valor de r (amostra) é uma

estimativa do verdadeiro coeficiente da

população (ρ).

Para fazer o teste de hipótese, para α,

de correlação linear nula, deve-se

supor H0: ρ=0.

D = E<A�

�AFBGH = � − 2

Teste do coeficiente de correlação

Pelo exemplo anterior, para verificar a

correlação linear (5%):

H0: ρ=0

H1: ρ≠0

D = 0,9138 − 2

1 − 0,913�= 5,482

D�,-%,I = 2,447

Regressão

Objetivo

Determinar uma função que

exprima o relacionamento entre

duas variáveis

Regressão Linear Simples

A linha de regressão é uma reta, e

é simples por se tratar de apenas

2 variáveis (x e y).

x

y

Metodologia

Após verificar se a correlação linear

entre duas variáveis é significante,

o próximo passo é determinar a

equação da linha que melhor

modela os dados (linha de

tendência).

Metodologia

J �

" = 5KELá5NOPENQLD4EK4RL�QNPN�QN�DN

6 = 5KELá5NOEN�P4�DK4RQNPN�QN�DN

S� =E�2

�1

SJ = 6T − S�"̅

Metodologia

" = 5KELá5NOPENQLD4EK4RL�QNPN�QN�DN

6 = 5KELá5NOEN�P4�DK4RQNPN�QN�DN

U =E�2

�1

V = 6T − S�"̅

Exemplo

Voltando ao exemplo referente aos

gastos com propaganda, expresse a

linha de tendência para os dados.

Exemplo

Voltando ao exemplo referente aos

gastos com propaganda, expresse a

linha de tendência para os dados.

Exemplo

y = 50,729x + 104,06

R² = 0,8334

0

50

100

150

200

250

300

1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8

Predição

Se a empresa investir $3200 em

propaganda, qual é o retorno em

vendas esperado?

Exemplo

Considere que a variável

independente agora faz referencia

aos dados de vendas para

empresa, qual é a equação de reta

nesse caso?

Exemplo

Coeficiente de determinação - �

• Indica a qualidade da regressão

•Está relacionada ao coeficiente de

Pearson

Coeficiente de determinação - �

•Se o R² de um modelo é 0,8334,

isto significa que 83,34% da

variável dependente consegue ser

explicada pelos regressores

presentes no modelo.

Coeficiente de determinação - �

Em geral, com −0,7 < E < 0,7, não se

deve cogitar de se estabelecer a reta

de mínimos quadrados, pois E� =

0,49 , significando que a reta de

regressão não consegue explicar nem a

metade da variação de Y

Resíduos

Definição

Para um par de valores amostrais x e y,

o resíduo é a diferença entre o valor

amostral observado de y e o valor que

é predito pelo uso da equação de

regressão.

EN�íQR4 = 6YZ[%F\]^Y − 6_F%\9[`Y

6F = 6 − 6a

Resíduos

Exercício

Exercício

No começo de um determinado mês, ascotações de uma empresa na Bolsa de valoresapresentam-se como no quadro que segue.Considerado um modelo linear, qual a melhorestimativa para o sétimo dia? Pode-se concluir,ao nível de significância de 5%, que essa açãoesteja num período de baixa? Elabore umgráfico de resíduos.

Dia 1 2 3 4 5

Valor da ação 3,8 3,4 3,1 2,4 2,0