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Tema 2: lgebra Matricial
PARTE 1
ALGUMAS CONSIDERAES TEORICAS 4. MATRIZES
4.1. Noo de matriz
Matrizes formam um importante conceito em matemtica, de especial uso no estudo de transformaes
lineares. matriiz uma tabela de elementos dispostos em linha e colunas. Matriz mxn uma tabela de m.n nmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas
(filas verticais).
Consideremos os gastos de uma famlia (aproximadamente) - Renda Familiar Meticais
Descrio Outubro Novembro Dezembro Mdia
Supermercado 3500 3600 6400 4500
Sade 800 400 120 440
Transporte 2000 2440 3000 2480
Vestirio 500 600 4000 1700
Higiene Pessoal 400 500 300 400
Lazer 200 600 100 300
Poupana 1200 300 00 500
Esta tabela pode ser transformda numa matriz: onde os nomes supermercado, sade, transporte,
vestirio, higiene pessoal, lazer e poupana so as linhas ( 7 ) e Outubro, Novembro, Mezembro e
Mdia
so as colunas ( 4 ). Assim a matriz
50003001200
300100600200
400300500400
17004000600500
2480300024402000
440120400800
4500640036003500
, de ordem 7x4, que forma uma
matriz com 28 elementos. Tambm podemos ver que 2440 est ocupando a posio na 3 Linha e 2
coluna ; e 1700 est na 4 Linha e 4 Coluna, etc.
mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
Uma matriz Am,n pode ser entendida como um
conjunto de mn (m multiplicado por n) nmeros,
dispostos em m linhas e n colunas, conforme
figura ao lado.
Os elementos de uma matriz podem ser nmeros
(reais ou complexos), funcoes ou ainda outras
matrizes.
Notao de uma matriz
Usamos a letra maiscula para denotar matrizes, Por exemplo:
2
1. Uma matriz de ordem 2x2:
40
12A ou
40
12 A
1. Uma matriz de ordem 2x3:
61
5
2
034
D onde: a11 = 4, a12 = -3, a21 =5
2, a1 3= 0, a22 = 1, a23 =6
4.2. Igualdade de matrizes
Definio:Duas matrizes Am,n e Br,s so iguais, se e somente se, os elementos da mesma posio so
iguais, ou seja, tm o mesmo numero de linhas (m = r) e colunas (n = s)os elementos correspondentes
so iguais.
Por exemplo:
542
0909
522
1lg13
2
2sen
4.3. Tipos de matrizes
4.3.1 Matriz quadrada aquela cujo o nmero de linhas igual ao numero de colunas (m = n)
Exemplo:
20
71A uma matriz quadrada de ordem 2x2 (matriz quadrada de ordem 2).
654
103
021
B uma matriz quadrada de ordem 3x3 (matriz quadrada de ordem 3).
7A uma matriz quadrada de ordem 1x1 (matriz quadrada de ordem 1).
4.3.2. Matriz nula aquela em que ija = 0, para tudo i e j.
Exemplo:
00000
00000
00
00
5322BeA
4.3.3. Matriz coluna aquela que possui uma nica coluna (n = 1).
Exemplo:
y
xBeA
9
7
2
4.3.4. Matriz linha aquela onde (m = 1).
Exemplo: 0054,019 BeA
4.3.5. Matriz diagonal uma matriz quadrada (m = n) onde ija = 0, para
i j, isto os elemaentos que no esto na diagonal so nulos.
Exemplo:
800
070
002
A ;
10000
0300
0040
0009
B e
000
000
000
C
3
4.3.6. Matriz Indentidade ou Matriz Unidade uma matriz quadrada em que iia = 1 e ija =
0, para i j.
Exemplo:
10
01
2I , matriz identidade de ordem 2;
100
010
001
3I , matriz identidade de ordem 3;
1000
0100
0010
0001
4I , matriz identidade de ordem 4, e etc.
4.3.7. Matriz triangular superior uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal so nulos, isto m = n e ija = 0, para i > j
Ex:
c
baeA
0
6000
5300
7410
8012
B
4.3.8. Matriz triangular inferior aquela que m = n e ija = 0, para i < j.
Exemplo:
574
032
001
4501
0221
0011
0002
BeA
4.3.9. Matriz simtrica aquela que m = n e ija = jia .
Exemplo:
kigd
ihfc
gfeb
dcba
BeA
501
023
134
4.4. Operaes sobre Matrizes
4.4.1. Adio de matrizes
A soma de duas matrizes ij
aA e ij
bB a matriz ijij
baBA , ambas do mesmo tipo
mxn .
Exemplo: Dadas as matrizes
95
61A e
43
20B , calcular A + B.
A + B =
95
61 +
43
20 =
132
41
4
Propriedades da Adio de Matrizes:
Sejam A , B e C matrizes de mesma ordem mn, ento: 1. A adio de matrizes comutativa: A + B = B + A 2. A adio de matrizes associativa: (A + B) + C = A+ (B +C)
3. A matriz nula neutra na adio: A + O = O + A = A , onde O denota a matriz nula mn.
4.4.2. Transposio de Matrizes Quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz chamada
matriz transposta.
Exemplo:
0110
864
752
A a sua transposta
087
165
1042
tA .
Propriedades da Matriz Transposta
Sejam A e B matrizes mn e k um escalar. Ento:
1. AAt
t
2. ttt
BABA
3. tt
AkAk ..
Obs: Se A simtrica ento tAA .
4.4.3. Matriz Anti-simtrica
Uma matriz quadrada nxnij
aA , diz-se anti-simtrica quando jiij
aa para todo i, ni 1 , para
todo j, nj 1 .
Obs: Se A simtrica ento tAA ; os elementos da diagonal principal so todos nulos.
Exemplo: A matriz
0
0
0
cb
ca
ba
A anti-simtrica
4.4.4. Multiplicao de uma Matriz por uma Constante
Seja a matriz Am,n e k um escalar (k IR). A matriz P = k A uma matriz mn tal que cada elemento de P dado por: pij = kaij.
Exemplo:
0210
282
1464
015
141
732
2 A
Propriedades da multiplicao de uma matriz por um escalar
Sejam A e B matrizes mn e k1 e k2 escalares. Ento:
1. k1 (A + B) = k1A + k1B
2. k2 (k1A) = (k2 k1)A.
3. k2A + k1A = (k2 + k1)A
5
4. Se k1A = k1B ento A = B.
4.4.5. Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula.
Exemplo:
13
07A a sua oposta :
13
07A
4.4.6. Multiplicao de Matrizes
Sejam nmij
aA
e pnrs
bB
. Definimos pmuv
cAB
, onde nvunvu
n
k
kvukuvbababac
11
1
Observao: preciso que o nmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas da
segunda matriz. Caso isso no acontea a multiplicao impossivel.
Assim, por exemplo:
a) 4332 xx
XBA 42 x
C , isso significa que se voc multiplica uma matriz de ordem 2x3 por uma matriz
3x4, o resultado, ou seja, o produto uma matriz de ordem 2x4;
b) 1443
.xx
AM 13 x
D
Exemplo:
1. Dadas as matrizes
3
2
5
4
12
23A e
40
11
22B Calcule BA
Resoluo:
23
2223 75
44
22
43150315
42)1(40214
41120112
40
11
3
2
5
4
12
BA
2. Dadas as matrizes
012
123
111
A e
321
642
321
B Calcule BA e AB
Resoluo:
012
123
111
BA
321
642
321
=
000
000
000
321
642
321
AB
012
123
111
=
1611
21222
1611
Obs. BA AB e que BA = O, sem que A = O ou B = O.
Propriedades de multiplicao de matrizes
6
1. A multiplicao de matrizes no comutativa. 2. A multiplicao de matrizes associativa: (A.B).C=A.(B.C)
3. A multiplicao de matrizes distributiva em relao adio: A.(B+C)=A.B+A.C
4. Multiplicao de um nmero real por uma matriz: BABA ....
5. Multiplicao pela matriz identidade: AAIIAnn
6. Multiplicao pela matriz nula: OOIOAn
7. n
IA 0 , se A 0
8. A1=A
9. ,.1 AAA pp para p N
10. AP=A.A.A..A, p fatores
11. ttt
ABBA ..
Matrizes especiais
Uma matriz A nilpotente de ndice k natural, se: Ak = 0
Uma matriz A peridica de ndice k natural, se: Ak+1= A
Uma matriz A idempotente, se: A2 = A
As matrizes A e B so comutativas, se: A B = B A
As matrizes A e B so anti-comutativas, se: A B = - B A
BIBLIOGRAFIA
[1] A. C. Chiang, Matemtica para Economistas, Editora McGraw-Hill, So Paulo, 1982. [2] L. D. Hoffmann, Clculo: Um Curso Moderno e Suas Aplicaes, Livros
Tcnicos e Cientficos Editora, Rio de Janeiro, 1995.
[3] M. Rosser, Basic Mathematics for Economists, Editora Routledge, Londres, 1993.
[4] Ayres, Frank Jr. & Mendelson, Elliott; Clculo Diferencial e Integral.
[5] Beiro, Joo carlos, Intoduo Anlise Matemtica, Textos Editores, 2006
[6] Nhze, Ismael Cassamo, Matemtica 10 Classe, Textos Editores, 2006
[7] N. Piskounov, Clculo Diferencial e Integral, Volume I, Lopes da Silva Editora, 1986
[8] Bucchi, Paulo, Matemtica Volume nico, Editora Moderna, So Paulo,1992 [9] Boldrini, Jos; Costa, Sueli; Figueredo, Vera; Wetzeler, Henry; gebra Linear,
3 Edio, Editora Harbra, 1980