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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matrizes - Parte 1
Márcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do AcaraúCentro de Ciências Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatemáticaDisciplina: Álgebra Matricial - 2017.1
4 de setembro de 2017
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz
Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais(ou complexos) dispostos em linhas e colunas
Por exemplo, [1 2 34 5 6
]é uma matriz formada por números reais com duas linhas etrês colunas.
Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (comelementos reais) com duas linhas e três colunas por R2×3.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
EXEMPLOS
A =
4 2 12 3 −10 1 7
∈ R3×3B =
[(2i) (4− 2i) (7i) (5)(0) (−3 + 7i) (12i) (5−
√2i)
]∈ C2×4
A =
4 2 12 3 −10 1 7
∈ C3×3
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
GENERALIZANDO
Rn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradasreais;
Cn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradascomplexas.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
NOTAÇÃO
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
∈ Rn×m(ou ∈ Cn×m)ars - elemento da LINHA r e COLUNA s;
Por exemplo: a14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4;
a79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9;
a81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109;
A = [ars ]n×m: r ∈ {1, 2, ..., n} e s ∈ {1, 2, ...,m}
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EXEMPLOEsboçar a matriz X = [xrs ] ∈ R4×4 tal quexrs = (r − s) + i(2r + s), onde i é a unidade imaginária dosnúmeros complexos.
X =
x11 x12 x13 x14x21 x22 x23 x24x31 x32 x33 x34x41 x42 x43 x44
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Importante
Uma vez que todo número real também é um número complexo,podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando anotação
Cn×m
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Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Considere um conjunto Ω não vazio.
Podemos obter uma estrutura algébrica ao definirmos umaoperação (∗) entre os elementos de Ω;Os elementos de Ω, sob a influência da operação ∗, possuemalgumas propriedades;
Se consideramos um conjunto de matrizes, então a ÁlgebraMatricial consiste da operação entre matrizes e suaspropriedades.
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IGUALDADE ENTRE MATRIZES
Duas matrizes são IGUAIS quando possuem a mesma ordem e oselementos correspondentes (posições) são iguais.32
1
=√
9√4
50
[
(2− 4i)(1 + 2i)
]6=[(2− 4i) (1 + 2i)
]As matrizes
A = [aij ] = [(i − j)2]3×3 e B = [bij ] = [(j − i)2]3×3
são iguais?
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Soma de Matrizes
Soma de Matrizes
Considere duas matrizes A,B de mesma ordem n ×m. A somaA + B é a matriz também de ordem n ×m obtida pela soma dasentradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições.
Exemplo: A =
[3 2 14 −1 5
], B =
[7 0 2−5 −4 2
]A + B =
[(3 + 7) (2 + 0) (1 + 2)
(4 + (−5)) (−1 + (−4)) (5 + 2)
]A + B =
[10 2 3−1 −5 7
]
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Soma de Matrizes
Soma de Matrizes
Considerando as matrizes
A =
[3 2 14 −1 5
], B =
7 0 2−5 −4 20 0 0
o que se pode dizer sobre a soma A + B?
Não está definida, pois A tem ordem 2× 3 e B tem ordem3× 3.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Soma de Matrizes
Soma de Matrizes
Usando a notação matricial:
Se A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m,
então A + B = [(ars + brs)]n×m
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Soma de Matrizes
Soma de Matrizes
Propriedades da SomaSejam A = [ars ]n×m,B = [brs ]n×m e C = [crs ]n×m com entradasreais ou complexas. São válidas as seguintes propriedades:
Associatividade: A + (B + C ) = (A + B) + C
Comutatividade: A + B = B + A
Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X0 deordem n ×m tal que A + X0 = A qualquer que seja a matrizA de ordem n ×m.Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A deordem n ×m, existe uma matriz A′ tal que A + A′ = X0.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Soma de Matrizes
Soma de Matrizes
EXEMPLO
Qual o elemento neutro, com relação a operação SOMA, noconjunto de matrizes C2×2?
=⇒ 0 =[
0 00 0
]Qual o inverso aditivo da matriz A =
[(3 + 2i) (−2 + i)
5 −7
]em C1×2?
=⇒ −A =[
(−3− 2i) (2− i)−5 7
]
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Soma de Matrizes
Subtração
Dadas duas matrizes A = [ars ] e B = [brs ], ambas de mesmaordem, definimos a subtração da seguinte forma:
A− B = A + (−B)
Ou seja,
A− B = [ars ] + [−brs ]= [(ars + (−brs))]= [(ars − brs)]Isto é, a subtração de duas matrizes se dá elemento aelemento.
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Soma de Matrizes
Subtração
EXEMPLO Considere as matrizes
A =
3 2 14 5 68 9 0
, B =1 2 36 5 4
0 9 8
A− B =
2 0 −2−2 0 28 0 −8
B − A =
−2 0 22 0 −2−8 0 8
Veja que, em geral, a subtração é NÃO COMUTATIVA.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Produto por escalar
Produto por escalar
O quadro abaixo mostra o preço de 1kg de duas marcas de arrozem quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade.
A
E1 E2 E3 E4A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00
A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10
Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de10% nos preços de todas as suas mercadorias. Como fica onovo quadro com os preços de arroz?
B
E1 E2 E3 E4A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80
A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Produto por escalar
Produto por escalarVejamos as duas tabelas
A
E1 E2 E3 E4A1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00
A2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10
B
E1 E2 E3 E4A1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80
A2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89
Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes:
A =
[2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10
]B =
[1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Produto por escalar
Produto por escalar
Qual a relação entre as entradas correspondentes das matrizes A eB?
A =
[2, 20 2, 20 2, 10 2, 002, 30 2, 20 2, 20 2, 10
]B =
[1, 98 1, 98 1, 89 1, 802, 07 1, 98 1, 98 1, 89
]ars/brs é sempre igual?
Se foi dado um desconto de 10%, então o novo preço (matrizB) corresponde a 0,9 do preço antigo (matriz A), isto é:
brs = 0, 9.ars para todas as entradas.
Escreveremos B = 0, 9.A
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Produto por escalar
Produto por escalar
Generalizando Seja A uma matriz de ordem n×m e α um escalar(número real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz Aé definido por:
α.A = [α.ars ]
α.
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
=
(α.a11) (α.a12) . . . (α.a1m)(α.a21) (α.a22) . . . (α.a2m)
......
...(α.an1) (α.an2) . . . (α.anm)
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Produto por escalar
Produto por escalar
Propriedades Sejam A,B matrizes de mesma ordem e α, βescalares.
α.(β.A) = (α.β).A
α.(A + B) = α.A + α.B
(α + β).A = α.A + β.A
Existe um escalar x0 tal que x0.A = A para qualquer matriz A.
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Produto por escalar
Propriedades Encontremos o escalar x0 tal que x0.A = A paraqualquer matriz A.
Vamos resolver a equação x .A = A.
x .A = A =⇒ x .[ars ] = [ars ]=⇒ [(x .ars)] = [ars ]=⇒ x .ars = ars para todo r ∈ {1, ..., n}, s ∈ {1, ..., n}=⇒ x = 1
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Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.
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Imagens coloridas: três matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e255.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor paracada ’pixel’.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidadedas cores, isto é, multiplicar uma (ou duas, ou três) das matrizesR,G,B por escalar(es).
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R = [rij ]1920×1080 =
r11 r12 . . . r1,1080r21 r22 . . . r2,1080...
......
r1920,1 r1920,2 . . . r1920,1080
G = [gij ]1920×1080, B = [bij ]1920×1080
1.R, 1.G , 1.B α.R α.R, βG , γB
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Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Considere as matrizes
A =
[1 −i (2 + i)
(2− 2i) (1 + i) 4
]e B =
1 (2− 2i)−i (1 + i)(2 + i) 4
Alguma semelhança entre elas?
Foi feita a transposição de cada linha de A para uma colunade B.
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Definição (Transposta de uma Matriz)
Seja A = [ars ] uma matriz de ordem n ×m. Se reescrevermos oselementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma decoluna, então a nova matriz obtida terá ordem m × n e seráchamada transposta de A, cuja notação é AT .
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
AT =
a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2
......
...a1m a2m . . . anm
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Exemplos:
A =
1 2 . . . m1 22 . . . m2
......
...1 2n . . . mn
AT =
1 1 . . . 12 22 . . . 2n
......
...m m2 . . . mn
A =
1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1
AT =
1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1
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Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Qual o conjugado do número complexo z = 3− 2i?
z = 3 + 2i . (Conceito Algébrico)
Qual o significado geométrico para o conjugado de umnúmero complexo?
Repare que z + z ∈ R.Em geral: z = a + bi =⇒ z = a− bi
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Mas, e a conjugada de uma matriz?
Definição (Matriz Conjugada)
Seja A = [ars ] uma matriz de ordem n ×m. A matriz conjugadade A é definida por:
A = [ars ]
onde ars é o conjugado do número complexo ars para cadar ∈ {1, 2, . . . , n}, s ∈ {1, 2, . . . ,m}.
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.an1 an2 . . . anm
A =a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.an1 an2 . . . anm
Qual a ordem da matriz conjugada A?
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Exemplos:
A =
1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1
A =
1 −i −1 i−i −1 i 1−1 i 1 −ii 1 −i −1
A =
1 3 21 17 34 2 0
A =1 3 21 17 3
4 2 0
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Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Conjugada Transposta
Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A.
A =
[(3− i) (−2 + i) 4−i 2i (−1− i)
]
AT =
(3− i) −i(−2 + i) 2i4 (−1− i)
AT = (3 + i) i(−2− i) −2i
4 (−1 + i)
A =
[(3 + i) (−2− i) 4
i −2i (−1 + i)
]AT
=
(3 + i) i(−2− i) −2i4 (−1 + i)
AT = A
T
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Em geral
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.an1 an2 . . . anm
AT =
a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.a1m a2m . . . anm
AT =a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.a1m a2m . . . anm
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.an1 an2 . . . anm
AT =a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.a1m a2m . . . anm
AT = AT
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Notação
Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta deuma matriz A, usaremos a notação
A∗
Isto é,
A∗ = AT
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Propriedades
Dada uma matriz A de ordem n ×m, são válidas:
(A + B)T = AT + BT
(A + B)∗ = A∗ + B∗
(α.A)T = α.AT
(α.A)∗ = α.A∗
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Prova
Provemos a última igualdade: (α.A)∗ = α.A∗
(α.A)∗ = (α.A)T
= (α.[ars ]n×m)T
= ([α.ars ]n×m)T
= ([α.ars ]n×m)T
= [α.asr ]m×n
= [α.asr ]m×n
= α.[asr ]m×n
= α.[ars ]Tn×m
= α.A∗
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradaspodem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremosa seguir.
A =
1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1
AT =
1 i −1 −ii −1 −i 1−1 −i 1 i−i 1 i −1
Veja que A = AT
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz Simétrica
Definição (Matriz Simétrica)
Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = AT .
Observe que em uma matriz simétrica,
A∗1 = A1∗,A∗2 = A2∗, . . .A∗n = An∗
Consequentemente
ars = asr
para cada r ∈ {1, 2, ..., n}, s ∈ {1, 2, ..., n}.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Exemplo
Seja A = [ars ]n×n a matriz tal que ars = (r − s)2. A é simétrica?
ars = asr?
(r − s)2 = (s − r)2?Sim. Portanto, A é simétrica.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz AntissimétricaConsidere o seguinte caso:
A =
0 −2 12 0 −1−1 1 0
AT = 0 2 −1−2 0 1
1 −1 0
Observe que AT = −A.
Definição (Matriz Antissimétrica)
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica
quando AT = −A.
Tem-se A∗1 = −A1∗,A∗2 = −A2∗, . . . ,A∗n = −An∗.Consequentemente, ars = −asr
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz Antissimétrica
Verdadeiro ou falso?
Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonalprincipal é nula.
Verdadeiro!
ars = −ars =⇒ a11 = −a11, a22 = −a22, ..., ann = −annDáı, 2a11 = 0, 2a22 = 0, ..., 2ann = 0
Ou seja, a11 = 0, a22 = 0, ..., ann = 0
Observação
ANTISSIMÉTRICA NÃO É OCONTRÁRIO DE SIMÉTRICA
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz Antissimétrica
Exemplo
A =
4 2 1 5−3 2 1 78−13 −45 −22 −15
9 11 8 7
AT =
4 −3 −13 92 2 −45 111 1 −22 85 78 −15 7
Claramente não ocorre AT = A nem AT = −A. Portanto Anão é simétrica, nem antissimétrica.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica eantissimétrica?
Dada A = [ars ]n×n, é posśıvel: ars = asr e ars = −asr , paracada r , s ∈ {1, 2..., n}?Se ars = asr e ars = −asr , então asr = −ars , isto é, asr = 0.Portanto ars = 0.
Conclusão: A = 0.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz Hermitiana
Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temosconceitos análogos para simetria e antissimetria.
Seja A =
2 1− i −2 + 2i1 + i 5 3i−2− 2i −3i −4
Então Se A∗ =
2 1− i −2 + 2i1 + i 5 3i−2− 2i −3i −4
Conclusão: A∗ = A.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Definição (Matriz Hermitiana)
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é hermitiana1
quando A∗ = A.
A∗1 = A1∗, A∗2 = A2∗, ..., A∗n = An∗
Isto é, ars = asr
1Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite(1822-1901).
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz Hermitiana
Verdadeiro ou falso?
Se A é uma matriz hermitiana, então sua diagonalprincipal é formada por números reais puros.
Verdadeiro!
Sendo A hermitiana, então A∗ = A. Isto é, ars = asr
Em particular, a11 = a11, a22 = a22, ..., ann = ann
Para a11 = a11, temos que a1 + ib1 = a1 − ib1, ou seja,b1 = −b1.Portanto b1 = 0 e a11 = a1 + i .0 = a1 ∈ R.Da mesma forma, a22, a33, ..., ann ∈ R.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Matriz Anti-hermitiana
Seja A =
2i 3 + 5i 2− 7i−3 + 5i 0 9−2− 7i −9 −3i
Então Se A∗ =
−2i −3− 5i −2 + 7i3− 5i 0 −92 + 7i 9 3i
Conclusão: A∗ = −A.
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Definição (Matriz Anti-hermitiana)
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitianaquando A∗ = −A.
A∗1 = −A1∗, A∗2 = −A2∗, ..., A∗n = −An∗Dáı, ars = −asrO que acontece com a diagonal principal de uma matrizanti-hermitiana?
São elementos na forma i .b com b ∈ R.
Observação
ANTI-HERMITIANA NÃO É OCONTRÁRIO DE HERMITIANA
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Sumário
1 Representação de um conjunto de Matrizes
2 OperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
3 Matrizes e Imagens Digitais
4 Transposição
5 Matriz Conjugada
6 Conjugada Transposta
7 Simetrias
8 Exerćıcios
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Exerćıcio
Mostre que (AT )T = A
Solução
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
AT =
a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2
......
...a1m a2m . . . anm
(AT )T =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
= A62 / 65
Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Exerćıcio
O que ocorre com (A∗)∗?
Solução
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
A∗ =
a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2
......
...a1m a2m . . . anm
(A∗)∗ =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
(A∗)∗ =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
......
...an1 an2 . . . anm
= A
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Representação de um conjunto de Matrizes Operações Matrizes e Imagens Digitais Transposição Matriz Conjugada Conjugada Transposta Simetrias Exerćıcios
Exerćıcio
Qual a solução para X ∗ = XT ?
Solução
X =
x11 x12 . . . x1mx21 x22 . . . x2m
......
...xn1 xn2 . . . xnm
X ∗ =
x11 x21 . . . xn1x12 x22 . . . xn2
......
...x1m x2m . . . xnm
m×n
XT =
x11 x21 . . . xn1x12 x22 . . . xn2
......
...x1m x2m . . . xnm
m×n
xrs = xrs
xrs ∈ RX ∈ Rn×m
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Exerćıcio
Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz B = A + AT ésimétrica.
Devemos mostrar que BT = B
B = A + AT
=⇒ BT = (A + AT )T
=⇒ BT = AT + (AT )T
=⇒ BT = AT + A=⇒ BT = B
Exerćıcio
Seja A uma matriz quadrada. Mostre que a matriz C = A− AT éantissimétrica.
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Representação de um conjunto de MatrizesOperaçõesSoma de MatrizesProduto por escalar
Matrizes e Imagens DigitaisTransposiçãoMatriz ConjugadaConjugada TranspostaSimetriasExercícios