Mecânica Clássica Curso - Licenciatura em Física – EAD

Profº. M.Sc. Marcelo O’Donnell Krause

ILHÉUS - BA

Aula 1 : Cinemática da partícula

Aula 1 : Cinemática da partícula

• Exemplos

Um tubo metálico, retilíneo e oco, encontra-se girando sobre uma mesa

com velocidade angular constante e igual a w. No interior do tubo, uma formiga

caminha com velocidade constante, em relação ao tubo, de modulo v, na direção

paralela ao eixo de simetria do tubo e no sentido contrario ao ponto em que passa

o eixo em torno do qual o tubo gira, que vamos tomar como origem de um sistema

de coordenadas polar. Calcule a trajetória da formiga neste sistema polar supondo

que no instante inicial a formiga passava pela origem e o tubo passava pelo eixo

polar, ou seja, em θ = 0.

Aula 1 : Cinemática da partícula

Aula 1 : Cinemática da partícula

Aula 1 : Cinemática da partícula

Aula 1 : Cinemática da partícula

h

r

Aula 1 : Cinemática do sólido

Do ponto de vista da Mecânica um corpo rígido, ou um solido, e uma distribuição

continua de massa com a propriedade, ou vinculo, de que a distancia entre

quaisquer dois pontos deste permaneça constante no tempo. Assim, escolhendo A e

B como dois pontos quaisquer do solido, teremos que:

‖ A - B ‖ = constante no tempo!

Embora o movimento mais geral de um solido seja, a primeira vista,

bastante complicado de se descrever, existem dois casos especialmente

simples e que, como veremos, servem de base para a descrição o mais

geral. Trata-se do movimento puramente translacional e do movimento

puramente rotacional.

Aula 1 : Cinemática do sólido

• Translação

O movimento puramente translacional e aquele

em que o vetor que liga dois pontos quaisquer do

corpo rígido permanece equipolente a um vetor

fixo no referencial a partir do qual o movimento

do corpo e estudado. Portanto, podemos

escrever que, para quaisquer A e B pertencentes

ao solido em movimento translacional, temos:

A - B = constante no tempo.

Teorema: Todos os pontos de um corpo rígido,

com movimento puramente translacional,

possuem, em cada instante, a mesma velocidade

e a mesma aceleração.

• Demonstração: Considere que a figura ao

lado representa um corpo rígido num

momento em que este se move em

translação, em relação ao referencial R.

Aula 1 : Cinemática do sólido

• Rotação

O movimento puramente rotacional e

aquele em que dois pontos do solido encontram-

se em repouso em relação ao referencial em que

este e observado. Estes dois pontos determinam

uma reta, Δ, chamada de eixo de rotação.

Podemos mostrar que todos os

pontos do solido que se encontram sobre o eixo

de rotação possuem, também, velocidade nula

no referencial em pauta. Para nos convencermos

disto, observe a figura abaixo, onde os pontos A

e B são os pontos em repouso e que, por isso,

definem a reta Δ:

Aula 1 : Cinemática do sólido

• Velocidade de rotação:

Na figura abaixo representamos um

sólido em movimento de rotação pura em um

determinado referencial R, e escolhemos um

sistema de eixos cartesianos fixo em tal

referencial, de maneira que o eixo z deste

sistema coincide com o eixo de rotação do

sólido:

Aula 1 : Cinemática do sólido

O sólido em rotação em torno de um

eixo que coincida com o eixo z do sistema

cartesiano, como na figura anterior, apenas

explicitando agora dois dos pontos do sistema S

que definem Δ, os pontos A e B na figura 5, e

vamos usar também o sistema de coordenadas

cilíndricas (ρ, θ, z):

Aula 1 : Cinemática do sólido

O sólido em rotação em torno de um

eixo que coincida com o eixo z do sistema

cartesiano, como na figura anterior, apenas

explicitando agora dois dos pontos do sistema S

que definem Δ, os pontos A e B na figura 5, e

vamos usar também o sistema de coordenadas

cilíndricas (ρ, θ, z):

Aula 1 : Cinemática do sólido

O sólido em rotação em torno de um

eixo que coincida com o eixo z do sistema

cartesiano, como na figura anterior, apenas

explicitando agora dois dos pontos do sistema S

que definem Δ, os pontos A e B na figura 5, e

vamos usar também o sistema de coordenadas

cilíndricas (ρ, θ, z):

Aula 1 : Problema Cinemático na

Mudança de Referenciais Vamos chamar de R’ um referencial

inicial e de R um referencial que se mova em relação

ao primeiro de maneira conhecida. E fácil perceber

que, por exemplo, um vetor que e constante no

referencial R, para um observador que se movimente

“junto” com este referencial (imagine o vetor que

liga dois pontos do referencial R), não parecerá

constante do ponto de vista de outro observador no

referencial R’, visto que o “corpo” de R se move em

relação a R’.

Usaremos a seguinte notação em nossa

analise: d/dt (ou um ponto sobre um vetor) será

usada para designar a derivada temporal relativa a

R’ e ∂/∂t para designar a derivada temporal medida

por um observador em R.

Aula 1 : Problema Cinemático na

Mudança de Referenciais

Exercício 2

Exercício 6

O disco circular representado na figura

tem raio igual a R, e rígido e esta rolando, sem

deslizar, sobre um piso horizontal. Sabe-se que e

retilínea a trajetória descrita pelo centro C do disco

e que todos os pontos deste se mantem num mesmo

plano vertical. A figura e correspondente a uma

certa data t, quando a velocidade do centro C do

disco tinha norma igual a ‖vC‖ e O era o ponto do

disco que estava em contato com o piso. Sabendo

que as distancias dos pontos A, B e D ao ponto O são

respectivamente iguais a 3R/2, 2R e 5R/4, calcule

as normas das velocidades de tais pontos,

correspondentes a data t.

Exercício 8

O comprimento do raio da esfera fixa

representada na figura vale R, enquanto que o da

esfera menor e que rola sobre ela vale r. No instante

em que o segmento de reta OC forma com a vertical

um ângulo igual a θ a velocidade angular da esfera

móvel vale w. Sabendo que a esfera móvel rola sem

deslizar, calcule a velocidade do seu centro, no

instante mencionado. (Todas as velocidades são

relativas ao referencial onde a esfera maior e fixa, e

ambas as esferas são rígidas.) I

o

c

R

r

Exercício 9

Na figura esta representada uma seção

plana e vertical de um hemisfério, de raio R, cavado

na rocha, e no interior do qual rola, sem deslizar,

uma esfera rígida, de raio r < R. A seção

representada contem os centros O e C do hemisfério

e da esfera rolante. Numa data genérica t a

velocidade angular da esfera móvel e igual a w e o

segmento de reta OC que une os pontos O e C forma

com a vertical um angulo θ. Calcule: 1) a velocidade

escalar do centro C da esfera rolante, na data t; 2) o

valor de na data t. (Todas as velocidades

mencionadas são relativas a um referencial solidário

a rocha.)

Até a próxima e

Bons Estudos!!!