Mecnica da Turbulncia

Nelson Lus Dias(nldias@ufpr.br)

Departamento de Engenharia AmbientalUniversidade Federal do Paran

25 de agosto de 2014

Sumrio

1 Introduo 111.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados . . . . . . 121.2 Processos estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 A decomposio em mdia e utuao, e os postulados de Rey-

nolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Independncia ou morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Termodinmica de uma mistura diuluda 192.1 Regra de fase de Gibbs e relaes de Maxwell . . . . . . . . . . . 192.2 Mistura diluda de 2 gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Equaes de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Demais potenciais termodinmicos de um gs ideal . . . 222.2.3 A anidade de uma mistura de gases ideais . . . . . . . 24

3 As equaes diferenciais de transporte 273.1 Notao indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Dissipao viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas . . . . . 36

4 As macro e micro escalas da turbulncia 394.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal . . . . . . . . 394.2 Uma denio formal das escalas macroscpicas . . . . . . . . . 444.3 Uma denio formal das escalas microscpicas . . . . . . . . . 464.4 A cascata de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Macro e microescalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Estimativas consistentes dos gradientes microscpicos . . . . . 48

5 As equaes para o escoamento mdio, e a aproximao de Bous-sinesq 515.1 O estado hidrosttico de referncia . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 O estado de referncia na atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Magnitude das utuaes de densidade . . . . . . . . . . . . . . 565.4 Conservao de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6 A correlao presso-temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

2 Sumrio

5.7 As ordens de grandeza da equao para a temperatura . . . . . . 655.8 A equao para a temperatura potencial . . . . . . . . . . . . . . 70

6 As equaes de ordem 2 736.1 Os gradientes microscpicos de densidade . . . . . . . . . . . . 736.2 A equao para as utuaes de densidade . . . . . . . . . . . . 736.3 Um teorema til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 Quantidade de movimento, a partir do zero . . . . . . . . . . . . 756.5 A deduo das equaes de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6 Energia cintica turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.7 As ordens de grandeza dos termos das equaes de ordem 2 . . 81

7 O espao de Fourier 857.1 Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Diferentes tipos de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2.1 Integral de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.2 Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2.3 Integral de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3 Energia cintica e a igualdade de Parseval . . . . . . . . . . . . . 907.4 A transformada de Fourier do campo de velocidade . . . . . . . 91

7.4.1 Teorema da convoluo e igualdade de Parseval . . . . . 927.5 Funes generalizadas (distribuies) . . . . . . . . . . . . . . . 927.6 A transformada de Fourier das equaes de Navier-Stokes . . . 94

8 Processos estocsticos e representao espectral 988.1 Espectros cruzados em uma dimenso (tempo) . . . . . . . . . . 1048.2 Espectros cruzados de processos estocsticos em 3 dimenses

espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3 Representao espectral de processos estocsticos . . . . . . . . 108

8.3.1 De uma vez s: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.3.2 Aos poucos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9 Solues laminares das equaes de Navier-Stokes 1119.1 Algumas solues laminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.2 A Soluo de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2.1 Espessura de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.2.2 A soluo de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.2.3 Blasius: soluo numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.2.4 Uma alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

10 Camadas-limite turbulentas 12610.1 Escoamento turbulento em um duto . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.2 Escoamentos turbulentos com parede rugosa . . . . . . . . . . . 13210.3 O regime de transio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.4 A frmula de Manning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3 Sumrio

11 A Teoria de Kolmogorov 13911.1 Alternativas de descrio da estrutura estocstica da turbulncia 13911.2 As hipteses de similaridade de Kolmogorov . . . . . . . . . . . 14011.3 Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12 Dinmica espectral 14812.1 Balanos espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.2 O uxo espectral de energia nas teorias clssicas . . . . . . . . . 14912.3 Modelos de fechamento fenomenolgicos . . . . . . . . . . . . . 150

12.3.1 Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.4 A aproximao quase-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

12.4.1 Uma abordagem com P e no com M . . . . . . . . . . . 15512.4.2 Detours in search of truth . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

12.5 Uma nova tentativa de obter a aproximao quase-normal . . . 157

A Difuso em sistemas binrios 160

B Solues dos problemas 161

C Vorticidade 162

D Constantes fsico-qumicas 166

E Equao de estado para a gua 167

Lista de Tabelas

2.1 Propriedades de gases atmosfricos a 0 C e 101325 Pa . . . . . 222.2 Entalpia e energia livre de Gibbs de formao, e entropia padro

de gases atmosfricos a 298,15 K e 100.000 Pa . . . . . . . . . . 26

10.1 Rugosidade equivalente de areia. Fonte: (Morris e Wiggert, 1972,Tabela 3-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4

Lista de Figuras

1.1 10 minutos de medies de concentrao de CO2 sobre uma gra-meira em Tijucas do Sul, PR, em 2011-02-17, 10:3010:40. . . . . 12

1.2 Ilustrao de um processo estocstico univariado U (t ;): asunidades de U e t so arbitrrias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Expanso sbida em uma tubulao. . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Escoamento clssico em um tubo com perda de carga. . . . . . . 42

5.1 Dependncia da presso de referncia Pr e da densidade de re-ferncia r em uma atmosfera hidrosttica e adiabtica com aaltitude z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Dependncia de PT com a temperatura para gua lquida . . . 655.3 Dependncia de PT com a temperatura para gua lquida na

faixa 1020 C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.1 Soma inferior de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 A equao dinmica de Navier-Stokes no espao de nmeros de

onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.1 O espao amostral das funes aleatrias u (t ). . . . . . . . . . . 99

9.1 Escoamento laminar sobre uma placa porosa . . . . . . . . . . . 1139.2 A camada-limite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.3 Volume de controle para a denio da espessura de quantidade

de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.4 Perl de velocidade adimensional de Blasius. . . . . . . . . . . . 124

10.1 A distribuio da tenso cisalhante total em um escoamento tur-bulento em um duto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.2 Fator de atrito f em funo de Re e da rugosidade relativa z0/em um escoamento turbulento em um duto . . . . . . . . . . . . 136

11.1 Invariantes geomtricos em turbulncia isotrpica . . . . . . . . 14311.2 funes de correlao longitudinal e transversal . . . . . . . . . 145

5

Notao

Uma grande diculdade ao escrever este texto foi a enorme quantidade de gran-dezas diferentes com as quais necessrio tratar. Ns utilizamos ao mesmotempo grandezas extensivas (em geral escritas com letras maisculas) e intensi-vas (idem); variveis aleatrias e valores observados (realizaes) das mesmas,mdias turbulentas e utuaes. Diferentes autores encontraram diferentes so-lues para denotar com um nmero limitado de smbolos romanos e gregosum nmero muito maior de grandezas fsicas e suas interpretaes e abordagensmatemticas. As solues que eu encontrei so, como sempre, um compromisso.A notao que utilizo em parte original, e segue a idia de ser to simplesquanto possvel e ao mesmo razoavelmente clara. No entanto, alguns conitosde smbolos so inevitveis, conitos os quais s podem ser parcialmente alivi-ados pela notao utilizada. A seguir, so dadas as principais explicaes sobrea notao adotada no texto e sobre como lidar com as suas eventuais ambigui-dades.

Variveis extensivas e intensivas

Variveis extensivas dizem respeito a um corpo como um todo. Em geral,mas no sempre, elas so denotadas por letras maisculas em itlico com umtil. Exemplos so

W : a taxa de trabalho realizada sobre um corpo,

U: a energia interna total de um corpo,

P : a quantidade de movimento total de um corpo.

Variveis intensivas (denidas em um ponto) e instantneas em geral soindicadas em maisculas em itlico tambm. . . ou ento em letras gregas mais-culas:

U: a energia interna especca (por unidade de massa),

U : a velocidade vetorial do uido,

T : a temperatura,

t : o vetor de tenses,

T : o tensor de tenses,

: a densidade,

6

7 Notao

: a temperatura potencial.

Observe a exceo para o vetor de tenses t .

Mdias e flutuaes turbulentas

A decomposio de Reynolds (Reynolds, 1895) o procedimento padro paradistinguir grandezas s quais preferimos dar um tratamento determinstico (asmdias de Reynolds) daquelas que necessitam ser modeladas como variveisaleatrias ou como processos estocsticos (as utuaes turbulentas). Talveza maneira mais antiga (mas ainda extremamente usada em engenharia) seja

ui = ui + ui ,

onde a barra indica a mdia, e a linha indica a utuao, da grandeza ui . Ahonrosa lista de autores que a utilizam inclui Monin e Yaglom (1971, equaes3.33.7, p. 207), Richardson (1920), e Stull (1988, equaes 2.4.2k, 2.4.3ac, p.4041). Durante muito tempo ela foi minha preferida, mas o seu efeito quandose trabalha com a transformada de Fourier da utuao,

ui 1

(2 )3

R3ui (x ,t ) ei(k x ) d3x ,

feio e particularmente trabalhoso sempre que se escreve as equaes espectraisde turbulncia mo.

Tennekes e Lumley (1972) (equao 2.1.6, p. 28) preferem

ui = Ui + ui ;

Hinze (1975) (p. 4) utilizaUi = U i + ui ,

enquanto que Pope (2000) usa um misto de

Ui = Ui + ui

para a velocidade (equao 4.1, p. 83) e

=+

para um escalar transportado (equao 4.36, p. 91).Em todos os casos acima, o lado esquerdo a grandeza intensiva instant-

nea, para a qual valem as leis de conservao e/ou as equaes constitutivasclssicas, e o lado direito a soma de uma mdia probabilstica e de uma utu-ao turbulenta. Talvez o caso mais infeliz seja o da confuso entre densidadee presso. Utilizando-se por exemplo uma notao uniforme de letras maiscu-las para as grandezas instantneas, e os smbolos clssicos p para (utuao de)presso e para (utuao de) densidade, tem-se

P = P + p,P = P + ,

8 Notao

onde P, alm de ser um r maisculo, infelizmente, igual (a menos do tipoitlico) ao P romano maisculo. A diferena demasiadamente sutil para seraceitvel, de forma que nenhum autor ousa na prtica usar o smbolo P para in-dicar um r maisculo. Muitos autores contornam este problema simplesmenteutilizando a hiptese de um escoamento com densidade estritamente constanteou apelando velada ou abertamente para a aproximao de Boussinesq (sobrea qual falaremos com um razovel nvel de detalhe neste texto) e utilizandoapenas uma densidade de referncia constante (digamos, r ) nas equaes. Porexemplo, Richardson (1920) sabia perfeitamente disto:

Note that there is no need to assume to be independent of posi-tion. Reynolds assumed this, but for a reason that does not needconcern us. It will be necessary however to assume that , the va-riation of density at a xed point, is so much smaller in comparisonwith than is v in comparison with v , that we may put = 0.

O outro problema de notao encontrado em livros de turbulncia so asutuaes de temperatura. A notao original de Reynolds,

T = T +T

funciona bem, mas o uso estrito de maisculas-minsculas preferido por autoresmais recentes produziria neste caso

T = T + t ,

o que desagradvel, j que t est comprometido com a varivel tempo.Minha soluo para estes dilemas utilizar sucedneos para as letras gre-

gas maisculas que esto faltando, e letras maisculas pequenas (small caps)alternativas quando as minsculas j estiverem comprometidas. Em resumo,a notao deste texto para a decomposio de Reynolds

Ui = Ui + ui (velocidade),

P = P + p (presso),

T = T + T (temperatura),

=+ (densidade),

etc.. Infelizmente, nem tudo est perfeitamente resolvido; ainda restam doisproblemas.

Conflitos entre smbolos

Muitos smbolos utilizados neste texto possuem signicados distintos emtermodinmica e em mecnica, ou mesmo dentro da mecnica. Alguns casosnotrios (na notao deste texto) so

F a energia livre de Helmholtz; fi uma fora de corpo;v o smbolo de Richardson para a velocidade

9 Notao

G a energia livre de Gibbs; o mdulo da acelerao da gravidade; o vetor acelerao da gravidade, e i sua i-sima componente;

t o tempo; t o vetor-tenso;

T a temperatura;T o tensor de tenses,

etc..Em lugar de tentar criar um nmero suciente de smbolos novos (por exem-

plo, Batchelor (1967) utiliza e e nou para a energia interna especca), o que dequalquer forma terminaria por esgotar o estoque de smbolos antes que todasas grandezas estivessem representadas, eu preferi:

1. procurar separar os smbolos sempre que possvel por captulo ou pelomenos por seo (por exemplo, a maior parte dos smbolos termodinmi-cos est utilizada no captulo sobre termodinmica); e

2. deixar ao leitor atento a compreenso do signicado dos smbolos em seucontexto.

Variveis aleatrias e suas realizaes

Em teoria de probabilidades, usual separar uma varivel aleatriaX de umaparticular realizao ou valor de quantil x ; isto facilita muito escrever coisas dotipo:

P (X x ) a probabilidade de que a varivel aleatriaX seja menor ou igual que o valorx.Neste texto, entretanto, as letras maisculas representam valores instantneos.Em particular, as utuaes de velocidadeui , variveis aleatrias extremamenteimportantes, so denotadas em letras minsculas. Infelizmente, no parece pos-svel separar de forma limpa o smbolo de uma varivel aleatria do smbolode uma particular realizao ou de um quantil. O melhor que pode ser feito utilizar os argumentos da varivel para explicitar a diferena. Assim, voltando decomposio de Reynolds, em geral teremos

U (x ,t ;) = U (x ,t ) + u (x ,t ;).

Aqui, as variveis aleatrias so funo do elemento do espao amostral ,alm de o serem da posio e do tempo. conveniente imaginar como umaurna de sorteio, e como o particular valor sorteado, que neste caso vai deniruma realizao da funo aleatria U (x ,t ;) ou u (x ,t ;).

funo de . . .

Neste trabalho, quando uma varivel qualquer (por hiptese) uma funounivariada de uma outra varivel k , ns escrevemos

:= ff(k ).

Quando uma funo (multivariada) de k entre outras variveis, ns escreve-mos

:= ff(k , . . .).

10 Notao

Quando no funo de k (mas , possivelmente, funo de outras variveis),dizemos :

:, ff(k );

Finalmente, pode ser uma constante:

:=

1Introduo

Todo autor e todo curso se sente na obrigao de fornecer uma introduo delargo espectro ao assunto que vai ser estudado. Este , efetivamente, o espritodeste primeiro captulo. O objetivo geral deste curso estudar os aspectos maistericos e matemticos da Teoria de Turbulncia. Este um desao formidvel.

Para se entender turbulncia, preciso antes de mais nada v-la. Richard-son a via como turbilhes, de diversos tamanhos, os maiores alimentando osmenores num processo contnuo at que as utuaes do escoamento fossemamortecidas pela viscosidade. Isto a essncia do processo de transfernciainercial, no-linear, de covarincias, conforme veremos neste curso (bem mais frente).

Portanto os pioneiros, Richardson, Taylor e Kolmogorov, tinham uma claranoo de que existem estruturas, pedaos ou entes num escoamento tur-bulento em um continuum de escalas, e que o prprio conceito de escala essencial para a compreenso da turbulncia.

No entanto, escala um conceito fsico ou fenomenolgico, cuja exata de-nio matemtica em termos dos campos de velocidadeU (x ,t ) ou de escalarestais como a temperatura T (x ,t ) consideravelmente difcil, seno impossvel.Mesmo assim, possvel identicar diferentes escalas com diversas ferramentasmatemticas, tais como:

Anlise espectral (provavelmente a mais antiga).

Funes empricas ortogonais.

Diferentes algoritmos para a identicao de estruturas e sua decompo-sio.

Ondeletas (Wavelets).

Essas estruturas de diversos tamanhos realmente existem em um escoa-mento turbulento, mas ns devemos ser cuidadosos em no equacion-las de-mais (nem de menos!) com uma particular tcnica matemtica de identic-las.

Vrias fotograas e guras coloridas interessantes existem no livro sobreturbulncia de Lesieur (1990), e tambm no de Frisch (1995) (que foi professorde Lesiuer): dem uma olhada nelas.

Existem algumas estruturas e alguns problemas clssicos relacionados umpouco instabilizao de escoamentos, que esto relacionados com a questode turbulncia:

11

12 1.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados

590

595

600

605

610

615

620

625

0 100 200 300 400 500 600

c(m

gm

3)

tempo (s)

Figura 1.1: 10 minutos de medies de concentrao de CO2 sobre uma grameiraem Tijucas do Sul, PR, em 2011-02-17, 10:3010:40.

O experimento de Reynolds: a forma clssica de apresentar a turbuln-cia em cursos de graduao, ele ainda conserva um considervel charmee didatismo.

A Rua de vrtices de von Krmn (Krmn vortex street).

Jatos e esteiras

Turbulncia atrs de uma grade em um tnel de vento (grid turbulence).

1.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados

Ns estamos acostumados a identicar diversos fenmenos nossa voltacomo aleatrios: jogos de azar, envolvendo dados e cartas, e loterias, so tal-vez os mais comuns. Ns percebemos aleatoriadade tambm, entretanto, emfenmenos que envolvem fsica: por exemplo, a velocidade de uma molculaem um gs, as condies do tempo, e tambm em numerosos fenmenos deescoamento de uidos, tais com a superfcie de um mar revolto e, claro, esco-amentos turbulentos.

A gura 1.1 um exemplo disto: ela mostra a medio da densidade c deCO2 a cerca de 2 m acima do solo, durante 10 minutos, sobre um gramado. Anatureza errtica dec inegvel, e sugere que existe um componente aleatriona turbulncia.

Tratar um fenmeno como aleatrio em geral mais simples do que tentardescrev-lo em todos os seus detalhes, o que pode levar a uma complexidadeanaltica ou computacional insupervel. Por exemplo, em princpio ns pode-ramos usar as equaes da dinmica de corpos rgidos para tentar prever oresultado do lanamento de um dado. Isto entretanto envolve conhecer em de-talhes como o lanamento feito; a resistncia do ar durante a sua queda; anatureza da superfcie em que ele cai, etc.. Na prtica, o esforo para modelarcada lanamento individual injusticvel, e prefervel descrever o processocomo probabilstico, com 1/6 de probabilidade de ocorrncia do nmero de cadaface.

13 1.1 Probabilidade: variveis aleatrias e valores esperados

A situao com turbulncia parecida: ns acreditamos que a turbuln-cia uma manifestao (ou uma realizao) das equaes de Navier-Stokes, asequaes diferenciais que regem o escoamento de um uido. No entanto, osdetalhes associados com a denio das condies iniciais e de contorno, assimcomo com a soluo propriamente dita destas equaes no-lineares, so toformidveis que alternativas a um ataque direto, e infrutfero, so necessrias.A teoria de probabilidade e processos estocsticos um elemento essencial dequalquer abordagem minimamente bem-sucedida ao problema de turbulncia.

A melhor abordagem, que todos adotamos modernamente, para a teoria deprobabilidade devida a Kolmogorov, sendo chamada de abordagem axiom-tica. Ela consideravelmente mais elegante do que a alternativa anterior, his-trica, de denir probabilidade como um limite da frequncia emprica com queum resultado (um evento) observado. Uma abordagem elementar mas muitoclara pode ser encontrada em Papoulis (1991, captulo 2); em ordem crescente derigor (mas inevitavelmente, tambm de diculdade), outras abordagens podemser encontradas em James (1981), Rosenthal (2008) e Billingsley (1986).

A essncia da abordagem axiomtica de Kolmogorov postular a exisnciade uma tripla de probabilidade (,F ,P ) (Rosenthal, 2008, captulo 2):

um conjunto, denominado espao amostral.

F um campo, um conjunto formado por sub-conjuntos de . Mas notodos os subconjuntos! (Mais sobre isto em um instante). Em linguagemmatemtica muito tcnica, F uma algebra , ou um campo .

P a medida de probabilidade, que d, para cada A F , a probabilidadedo ocorrncia do conjunto ou melhor, do evento A. Mais especica-mente, P uma funo do tipo

P : F [0,1]A F 7 P (A) [0,1].

O segredo (e o enorme problema) da coisa que F no , em geral, igual aoconjunto de todos os sub-conjuntos de . Ele formado apenas pelos conjuntosA para os quais possvel denir P (A) (para mais detalhes, veja a excelenteexposio de Rosenthal (2008, captulo 1)).

Dentro desta abordagem, uma varivel aleatria VA agora, a funo men-survel U ():

U : R 7 U = U ().

Por denio, uma funo U () mensurvel se

{ | U () U #} F , U # R(Rosenthal, 2008, captulo 3).

A pergunta mais importante do ponto de vista prtico : qual a probabili-dade de ocorrncia de um certo intervalo de valores deU ()? A resposta dadacom a denio da funo de distribuio de U , F (U #):

F (U #) P({ | U () U #

}). (1.1)

14 1.2 Processos estocsticos

Em particular, ca ento evidente que necessrio que U () seja mensurvelpara que F (U #) possa ser denida em termos da medida de probabilidade P .

Talvez o descritor mais comum de uma VA seja a sua mdia, ou valor espe-rado. Ela dada por uma integral de U () sobre , a saber

U U () dP (). (1.2)

A denio das integrais do tipo (1.2) tecnicamente muito elaborada, e passapor um assunto denominado Teoria da medida; talvez um tratado denitivo so-bre o tema, em conexo com a teoria de probabilidade, seja Billingsley (1986).Em engenharia, ns estamos normalmente acostumados com o clculo de inte-grais sobre intervalos de nmeros reais, e no em conjuntos mais genricos eabstratos tais como (cuja natureza sequer foi denida acima!). Felizmente,vem em nosso auxlio o seguinte teorema, que ns citamos sem prova (Ro-senthal, 2008, Teorema 6.1.1):Teoremademudana de variveis: Dada uma tripla de probabilidade (,F ,P ),seja U uma varivel aleatria com medida de probabilidade P e distribuio F .Ento, para qualquer funo mensurvel : R R,

(U ())dP () =

R(t ) dF (t ). (1.3)

Observaes:

1. O teorema (1.3) tambm a denio do valor esperado de uma funo(U ):

(U )

(U ())dP (). (1.4)

2. Em particular, quando (t ) = t (a identidade), ns obtemos a expressopara o valor esperado de U :

U =RU dF (U ). (1.5)

3. Finalmente, se F (U ) for diferencivel, e se existir a funo densidade deprobabilidade

f (U ) dFdU , (1.6)segue-se que

U =RU f (U ) dU . (1.7)

Esta ltima denio de U talvez seja a mais comum em cursos intro-dutrios de probabilidade.

1.2 Processos estocsticos

Com as ferramentas da seo anterior, ns agora denimos brevemente oque so

15 1.3 A decomposio em mdia e utuao, e os postulados de Reynolds

0 100 200 300 400 500

4

2

0

2

4

t

U(t

,1)

0 100 200 300 400 500

4

2

0

2

4

tU(t

,2)

0 100 200 300 400 500

4

2

0

2

4

t

U(t

,3)

1

2

3

Figura 1.2: Ilustrao de um processo estocstico univariado U (t ;): as unida-des de U e t so arbitrrias.

Processo estocsticos: Seja F o espao das funes de x R3, e t R, emR. Um processo estocstico uma funo

U : F 7 U (x ,t ;).

Em outras palavras, a cada sorteio , em vez de o resultado do sorteioser um nmero real (que a denio de VA), o resultado do sorteio agora uma funo completa U de x e t . Ns dizemos que U uma funo aleatria(note que no h contradio nesta terminologia!). O signicado de um processoestocstico est esboado gracamente na gura 1.2. Por simplicidade, na guraa funo aleatria depende apenas de uma varivel (t ).

A gura 1.2 d um exemplo da idia de um conjunto de realizaes da varivelU (t ) (na literatura de lngua inglesa, um ensemble). Para que as mdias de Ufaam sentido, preciso que elas sejam tomadas sobre todos os membros doconjunto. Note entretanto que exatamente isto o que faz a denio de valoresperado (1.2): o papel de um membro do conjunto desempenhado por umparticular .

1.3 A decomposio em mdia e flutuao, e os postuladosde Reynolds

De agora em diante ns vamos postular que em um escoamento turbulentocada varivel Ui um processo estocstico do tipo

Ui = Ui (x ,t ;). (1.8)

16 1.3 A decomposio em mdia e utuao, e os postulados de Reynolds

Como vimos na seo 1.2, uma realizao do processo uma funo de x e tobservada para um particular, ou ainda: cada corresponde a uma realizaodiferente do processo estocstico subjacente.

Dada uma varivelUi em um escoamento turbulento, a decomposio de Rey-nolds consiste em escrever

Ui = Ui + ui . (1.9)Uma das principais utilidades da decomposio de Reynolds separar o es-

coamento em uma uma varivel determinstica Ui (que pode ou no variar noespao e no tempo) e em uma utuao turbulenta ui , que uma VA com valoresperado nulo. De fato, por denio (ver (1.2)) temos que

Ui (x ,t ) =

Ui (x ,t ;) dP (). (1.10)

Note que Ui determinstica por denio. A mdia de populao de ui entoser

ui = Ui Ui

=

(Ui (x ,t ;) Ui (x ,t )) dP ()

=

Ui (x ,t ;) dP () Ui (x ,t )

dP ()

= Ui (x ,t ) Ui (x ,t ) = 0. (1.11)

Utilizando (1.9) e (1.10), ns provaremos agora os demais postulados deReynolds:

Ui =Ui (x ,t ) dP ()

= Ui (x ,t )

dP ()

= Ui (x ,t ). (1.12)

ui

Uj

=

ui (x ,t ;)Uj

(x ,t ) dP ()

=Uj

(x ,t )

ui (x ,t ;) dP ()

=Uj

ui = 0. (1.13)

Finalmente, as derivadas em relao a xi e a t comutam com a operao demdia probabilstica:

Uit

=

Ui (x ,t ;)t

dP ()

=

t

[

Ui (x ,t ;)dP ()]

=Uit. (1.14)

17 1.4 Independncia ou morte

A prova do resultado para as derivadas parciais em relao a xi ,Uixj

=Uixj

(1.15)

similar prova de (1.14), e deixada para o leitor.O conjunto de relaes (1.11)(1.15) usualmente conhecido na literatura

com o nome de postulados de Reynolds. luz da sua deduo rigorosa acima, onome mais adequado talvez fosse lemas de Reynolds.

1.4 Independncia ou morte

Se duas variveisU eV so independentes, relativamente fcil provar que

UV = U V

Tambm fcil provar que se um processo estocstico estacionrio:

t

U 2

= 0,

UU

t

= 0,

U U t+

uu

t

= 0,

uu

t

= 0

18 1.4 Independncia ou morte

mais difcil mostrar que, se u e v so independentes, entouv

t

= 0.

Uma forma de chegar perto

uvt

=

t(u v) = u v

t+utv (1.16)

Se, como eu j estava pensando quando mudei de notao, u e v so utuaesturbulentas, entretanto, u = v = 0; nesse caso, se u e v so independentes,temos o resultado trivial de que

uv = 0, (1.17)uvt

= 0. (1.18)

Vejamos, alternativamente, onde chegamos com(uv )

t

=

uv

t+vu

t

(1.19)

=

uv

t

+

vu

t

= 0 (1.20)

uv

t

=

vu

t

(1.21)

(pois u e v so independentes).

2Termodinmica de uma misturadiuluda

2.1 Regra de fase de Gibbs e relaes de Maxwell

Para uma mistura denc componentes sem reaes qumicas, pode-se deduzira regra de fase de Gibbs (Adkins, 1983, p.223, eq. 11.45):

n = 2 + nc n f , (2.1)

onde n o nmero de graus de liberdade do sistema, e n f o nmero de fa-ses. No caso de nc = 2 e de apenas uma fase (n f = 1), o nmero de graus deliberdade do sistema n = 2 + 2 1 = 3. Consequentemente, a equao deestado para uma mistura binria monofsica deve depender de 3 variveis deestado independentes. Considere agora uma mistura de dois componentes comdensidades 1 e 2, tais que 1 2, ou seja: o sistema uma mistura diludada substncia 2 na substncia 1. Dena a concentrao mssica da substnciaK :

cK K, (2.2)

onde = 1 + 2 (2.3)

a densidade total do sistema; isto produz imediatamente as restries

c1 + c2 = 1, (2.4)dc1 = dc2, (2.5)

de modo que dada a concentrao de um componente, a concentrao do outroest automaticamente determinada. Dependendo da convenincia, portanto,ns utilizaremos o smbolo c como sinnimo de c2.

Pela regra de fase de Gibbs, a energia interna (e de fato qualquer outro poten-cial termodinmico) deve ser uma funo de 3 variveis de estado. Escolhendo-se as 3 variveis de estado naturais para a energia interna por unidade demassa U ,

U = U (v,s,c), (2.6)onde v o volume especco (volume por unidade de massa)

V 1, (2.7)

19

20 2.1 Regra de fase de Gibbs e relaes de Maxwell

s a entalpia especca (entalpia por unidade de massa) e c = c2 a concentra-o mssica do componente 2 denida em (2.2).

A diferencial total de U ser

dU = pdv + tds +2

K=1KdcK

= pdv + tds + adc. (2.8)

onde os K s so os potenciais qumicos dos componentes da mistura, e

a = 2 1 (2.9)

a anidade da mistura (Kondepudi e Prigogine, 1998, p. 114). Para se obter(2.8), utilizou-se (2.5). Um de nossos principais objetivos neste captulo a ob-teno de uma expresso para a anidade a da mistura em termos de grandezasfsicas mensurveis, tais como a temperatura ou calores especcos.

A partir de (2.8), obtm-se 3 relaes de Maxwell:

2U

sv =2U

vs (ps

)v,c=

(tv

)s,c, (2.10)

2U

cv =2U

vc (pc

)v,s=

(av

)c,s, (2.11)

2U

cs =2U

sc (tc

)s,v=

(as

)c,v. (2.12)

Para a entalpia especca h,

h U + pv, (2.13)dh = vdp + tds + adc, (2.14)

e as 3 relaes de Maxwell a partir de (2.14) so(vs

)p,c=

(tp

)s,c, (2.15)(

vc

)p,s=

(ap

)c,s, (2.16)(

tc

)s,p=

(as

)c,p. (2.17)

Para a energia livre de Helmholtz especca f,

f u st, (2.18)df = pdv sdt + adc, (2.19)

e as 3 relaes de Maxwell a partir de (2.19) so

(pt

)v,c=

(sv

)t,c, (2.20)

21 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

(pc

)v,t= +

(av

)c,t, (2.21)

(sc

)t,v= +

(at

)c,v. (2.22)

Finalmente, para a energia livre de Gibbs especca,

g h st, (2.23)dg = vdp sdt + adc, (2.24)

e as 3 relaes de Maxwell a partir de (2.24) sero

+

(vt

)p,c=

(sp

)t,c, (2.25)

+

(vc

)p,t= +

(ap

)c,t, (2.26)

(sc

)t,p= +

(at

)c,p. (2.27)

2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

2.2.1 Equaes de estado

Considere agora 2 gases ideais. Cada gs ideal K da mistura denidopela equao de estado

pKV = NKR t,

pK =MKV

R

MKt,

e denindo-se a constante e a densidade do gs K

RK R/MK , (2.28)

K MKV , (2.29)

obtm-sepK = KRKt, (2.30)

ou, alternativamente,pKvK = RKt, (2.31)

e pela equao para sua energia interna especca,

UK = UK0 + cvK (t t0) (2.32)

(Callen 1985, p. 66; Adkins 1983, p. 116), onde o calor especco a volumeconstante do gs K dado por

cvK = ZKRK (2.33)

22 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

Tabela 2.1: Propriedades de gases atmosfricos a 0 C e 101325 Pa

propriedade MK RK ZK cpK (calculado) cpK (medido)gs 103kg mol1 J kg1 K1 J kg1 K1 J kg1 K1N2 28,013 296,80 5/2 1038,80 1037O2 31,999 259,83 5/2 909,40 909H2O 18,016 461,48 3 1845,92 1847Fontes: Fleagle e Businger (1980), Mller (1985), Iribarne e Godson (1986).

com ZK = 3/2,5/2 e 3 para gases monoatmicos, biatmicos e com mais dedois atmos, respectivamente (Mller, 1985, p. 9, eq. 1.20). temperaturade referncia t0 a energia interna possui um valor de referncia arbitrrio UK0.Alm disto, pK a presso parcial de vapor do gsK , V o volume total ocupado,NK o nmero de moles do gs K , R a constante universal dos gases, MK amassa do gs K e MK a massa molar do gs K .

A relao geral entre os calores especcos a volume constante cv e a pressoconstante cp em uma substncia pura (Kondepudi e Prigogine, 1998, p.46)

cp cv =[p +

(U

v

)t

] (vt

)p

(2.34)

de forma que da equao de estado (2.31) tem-se

cpK cvK = RK . (2.35)

A tabela 2.2.1 fornece algumas propriedades de gases atmosfricos e a com-parao entre os valores calculados de cpK a partir de (2.33) e (2.35) com valoresmedidos.

2.2.2 Demais potenciais termodinmicos de um gs ideal

Entalpia Combinando-se (2.31) e (2.32), obtm-se

hK UK + pKvK = UK0 + cvK (t t0) + RKt= UK0 + RKt0 + (cvK + RK ) (t t0)= hK0 + (cvK + RK ) (t t0)= hK0 + cpK (t t0). (2.36)

Entropia A primeira lei da termodinmica para o K-simo componente damistura de gases

dUK = tdsK pKdvK , (2.37)e como UK em um gs ideal depende somente de t,

cvKdt = tdsK RKtvK

dvK ,

dsK = cvKdtt + RK

dvKvK,

sK sK0 = cvK lntt0 RK ln

KK0. (2.38)

23 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

Alternativamente, use

pKdvK + vKdpK = RKdt, (2.39)dvKvK+

dpKpK=

dtt , (2.40)

para obter

dsK = (cvK + RK )dtt RK

dpKpK,

sK sK0 = cpK lntt0 RK ln

pKpK0. (2.41)

Novamente, a entropia de referncia temperatura T0 sK0. A 3a lei da termo-dinmica prev que a entropia deve se anular quando a temperatura termodin-mica atinge o zero absoluto, de forma que sK0 no deve ser arbitrria; entretanto,ns vamos procurar abordar o problema mais frente utilizando tabelas de en-talpias e entropias de formao dos constituintes da mistura, e de certa formaevitando a 3a lei.Energia livre de Gibbs especca Para um gs ideal K com equao deestado (2.31), a relao de Maxwell (2.24) resulta em(

gKpK

)t= vK =

RKtpK, (2.42)

e agora integrando em relao a p (a t constante) ns obtemos

gK (T ,pK ) = G (T ) + RKt ln(pKpK0

), (2.43)

onde G (T ) uma funo somente da temperatura, a determinar. Na verdade,para um gs ideal possvel fazer muito melhor do que isto utilizando-se sim-plesmente as denies de hK (2.36) e sK (2.38):

gK = hK tsK

= hK0 + cpK (t t0) t[sK0 + cvK ln

tt0 RK ln

KK0

]

= hK0 + RK (t t0) + cvK (t t0) t[sK0 + cvK ln

tt0 RK ln

KK0

]

= (hK0 tsK0) + RKt(1 t0t

)+ cvKt

(1 t0t

)+ cvKt ln

t0t + tRK ln

KK0

= (hK0 t0sK0) K0

s0Kt(1 t0t

)+ RKt

(1 t0t

)+ cvKt

(1 t0t + ln

t0t

)+ tRK ln

KK0

= K0 + (RK sK0)t(1 t0t

)+ cvKt

(1 t0t + ln

t0t

)+ tRK ln

KK0

(2.44)

Agora, para t0/t 1, se expandirmos ln(t0/t) em srie de Taylor em torno de1 at ordem 2, encontraremos

gK gK0 + (RK sK0)t(1 t0t

) 12cvKt

(t0 tt

)2+ RKt ln

KK0

(2.45)

24 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

importante observar que h necessariamente duas constantes de integra-o a determinar em (2.44) ou em (2.45). Este o mesmo resultado obtido porMller (1985) em sua equao (6.72). No nosso caso, ns retivemos a tempera-tura de referncia t0 de maneira que o argumento de ln() permanece sempreadimensional. O conhecimento de t0 tambm ser importante quando utilizar-mos na prxima sub-seo os conceitos de entalpia, entropia e energia livre deGibbs de formao de uma substncia.

2.2.3 A afinidade de uma mistura de gases ideais

A presso total de uma mistura de gases ideais ser a soma das pressesparciais de vapor (a lei de Dalton), do que se obtm a equao de estado damistura:

p =

pk= 1R1t + 2R2t,

=

[1R1t +

2R2t

]

= [c1R1 + c2R2] t= [(1 c)R1 + cR2] t= [R1 + (R2 R1)c] t. (2.46)

Note que a mistura se comporta como se fosse um gs ideal com constanteR (c) = R1 + (R2 R1)c dependente da concentrao c.

Alm disto, pode-se mostrar que para uma mistura de gases ideais a presso,a entropia e todos os potenciais termodinmicos so iguais s somas das quanti-dades correspondentes de cada gs (Adkins, 1983, p. 215). Ns vamos usar esteresultado geral para obter algumas relaes de interesse. Por exemplo, para aenergia interna,

U = U1 +U2 = U1M1 +U2M2 U = c1U1 + c2U2. (2.47)

Analogamente, a entalpia e a entropia especcas so dadas por

h = c1h1 + c2h2, (2.48)s = c1s1 + c2s2. (2.49)

Segue-se de (2.48) que o calor especco a presso constante da mistura dadopor

cp (ht

)p,c= (1 c)

(h1t

)p+ c

(h2t

)p

= (1 c)cp1 + ccp2=

[cp1 + (cp2 cp1)c

]. (2.50)

Note que enquanto que v, s, h, etc., so grandezas especcas por unidade demassa total M, U1 e U2 so energias internas por unidade de massa de cada gs,M1 e M2 (o mesmo acontecendo com h1, h2, s1, s2, etc.). Aqui, as relaes-chaveso

v = vM =vMK

MKM = vKcK (para cada K ), (2.51)

25 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

dv = cKdvK + vKdcK (2.52)

Finalmente, para obtermos a anidade a da mistura de 2 gases ideais, nsprecisamos permitir que c varie. Diferenciando (2.47), obtemos

dU =

(cKdUK +UKdcK )

=

(cK (tdsK pKdvK ) +UKdcK ) . (2.53)

Diferenciando (2.49),

ds =

(cKdsK + sKdcK ),

t(

cKdsK)= tds

tsKdcK , (2.54)

e utilizando (2.51), (2.52) e (2.54) em (2.53):

dU = tds

tsKdcK

pK (dv vKdcK ) +

UKdcK= tds

(pK

)dv

tsKdcK +

pKvKdcK +

UKdcK

= tds pdv +

(UK + pKvK tsK )dcK= tds pdv +

gKdcK . (2.55)

O resultado, comparado com (2.8), mostra que

K = gK , (2.56)

ou seja: os potenciais qumicos de cada componente da mistura so iguais respectiva energia livre de Gibbs da substncia pura correspondente (ambos porunidade de massa); portanto, a anidade de uma mistura de dois gases ideais ,simplesmente

a = g2 g1. (2.57)A rigor, este mesmo resultado poderia ter sido obtido muito mais rapidamentepor meio da equao de Euler (Callen, 1985, p. 59),

ts = U + pv Nk=1

KcK ; (2.58)

fazendo N = 1 para o caso de um nico componente, e ento cK 1, obtm-se

K = UK + pKvK tsK gK . (2.59)

26 2.2 Mistura diluda de 2 gases ideais

Tabela 2.2: Entalpia e energia livre de Gibbs de formao, e entropia padro degases atmosfricos a 298,15 K e 100.000 Pa

propriedade f h0 f g0 s0gs MJ kg1 MJ kg1 kJ kg1 K1N2 0 0 6,8383O2 0 0 6,4086H2O 13,423 12,688 10,479

Fontes: NIST Chemistry WebBook, http://webbook.nist.gov/chemistry.

3As equaes diferenciais detransporte

A turbulncia uma consequncia da no-linearidade das equaes diferenci-ais que governam o escoamento de uidos e o transporte de escalares (vapordgua, calor, CO2, etc.). Neste captulo ns vamos revisar de maneira breve adeduo destas equaes a partir de leis de conservao da fsica e de equaesconstitutivas.

3.1 Notao indicial

Uma boa parte de nossas manipulaes requer o uso de notao indicial, edos conceitos de vetor e de tensor. De maneira extremamente breve, a notaoindicial envolve simplesmente a supresso dos smbolos de somatrio. Destaforma, um vetor em coordenadas cartesianas na base cannica {e1,e2,e3},

V = V1e1 +V2e2 +V3e3 =3

i=1Viei , (3.1)

escrito simplesmente comoV = Viei . (3.2)

A regra geral que o aparecimento de um mesmo ndice duas vezes em umaequao indica soma neste ndice. Algumas vezes, entretanto, esta regra no seaplica. Por exemplo, eu posso querer me referir a V1e1 ou V2e2 ou V3e3. Nessecaso, usarei parnteses em torno dos ndices, para informar que no h umasoma implcita nestes ndices: V(i )e (i ) .

3.2 Continuidade

Considere um volume V , delimitado por uma superfcie fechada S . O ba-lano de massa total para V dado pela equao de balano integral

0 = t

VdV +

S(n U ) dS (3.3)

onde a massa especca, ou densidade, do uido e U o vetor velocidadedo escoamento em cada ponto.

Em (3.3), V um volume material (Slattery, 1972), ou seja, o volume deum corpo que ocupa, instantaneamente, V . Em Mecnica dos Fluidos bsica,

27

28 3.3 Misturas

frequentemente as anlises se concentram sobre a regio do espao denida porV , que ento denominado volume de controle (Fox e McDonald, 1981).

A idia de volume material talvez um pouco mais rica: se considerarmosque cada ponto de V representa um ponto material imerso no campo de veloci-dadeU no instante t = 0, e seguirmos a trajetria de cada uma dessas partculas,o volume ocupado pelas mesmas em um instante posterior o volume do mesmocorpo nesse ltimo instante.

O vetor unitrio normal superfcie de controle em cada ponto n. A inte-gral de superfcie acima pode ser transformada em uma integral de volume peloTeorema da Divergncia:

0 = t

VdV +

V

(Ui )xi

dV ,

0 =

V

(t+(Ui )xi

)dV . (3.4)

Esboamos agora o argumento do Teorema da Localizao: o volume V parao qual a equao acima se aplica totalmente genrico: de fato, (3.4) acimaaplica-se a qualquer volume dentro de um escoamento. Mas isso s possvelse o integrando for identicamente nulo, ou seja:

t+(Ui )xi

= 0. (3.5)

Uma outra forma til da equao da continuidade

t+Uixi+ Uixi= 0,

DDt+ Uixi= 0 (3.6)

Finalmente, se utilizarmos o volume especco,

V 1, (3.7)

obteremos uma terceira forma til da equao da continuidade:

Uixi=

1V

DV

Dt(3.8)

Fisicamente, (3.8) signica que a divergncia do campo de velocidade igual taxa temporal de variao do volume de uido (por unidade de volume!) emcada ponto.

3.3 Misturas

Nesta seo ns vamos seguir a essncia da abordagem de Bird et al. (1960,cap. 16): ela permite entender claramente o signicado de difuso molecular deuma substncia em um uido, e em nossa opinio evita totalmente confusescomuns a respeito do papel da difuso e da adveco em meios contnuos.

29 3.3 Misturas

Alm disso, ns vamos considerar, por simplicidade, apenas misturas bi-nrias, com um soluto A dissolvido em um solvente B. A generalizao paramisturas com mais de 2 componentes bvia.

Em uma mistura binria ns postulamos a existncia em cada ponto de umadensidade para cada componente, A e B , de tal maneira que as massas totaisde A e B em um volume material V so, respectivamente,

MA =

VA dV , MB =

VB dV . (3.9)

evidente que, em cada ponto, devemos ter

= A + B . (3.10)

Note que a abordagem postulatria de (3.9) compatvel com a viso tra-dicional em Mecnica do Contnuo. Prosseguindo, ns tambm postulamos aexistncia de campos de velocidade para cada espcie, UA eU B , cujas integraisem um volume material so a quantidade de movimento total de cada espcie,respectivamente PA e PB . Por analogia com (3.9)(3.10), temos

PA =

VAUA dV , PB =

VBU B dV . (3.11)

Agora, a quantidade de movimento total do corpo que ocupa V deve ser

P =

VU dV , (3.12)

onde U a velocidade do uido em cada ponto, de tal forma que devemos ter

U = AUA + BU B . (3.13)

O ponto fundamental agora perceber que extremamente difcil, senoimpossvel, medir diretamente UA e U B . Em seu lugar, muito mais simplestrabalhar unicamente com o campo de velocidade U do uido como um todoem cada ponto. Para tanto, ns denimos o vetor uxo difusivo de massa de A:

JA = A [UA U ] . (3.14)

A concentrao mssica de A

CA A, (3.15)

e vale a lei de Fick em cada ponto:

JA = AC, (3.16)

onde A a difusividade molecular de A na mistura. Relaes totalmente an-logas tambm valem para o solvente B.

Finalmente, das equaes (3.10) e (3.13) obtm-se:

JA + JB = A [UA U ] + B [U B U ]

30 3.4 Quantidade de movimento

= AUA + BU B (A + B )U= U U = 0. (3.17)

Essa equao vlida em todos os pontos de um uido, exceto talvez em umasuperfcie onde haja um uxo lquido de A para dentro da massa de uido.

Prosseguindo, por analogia com (3.3), o balano integral de A to simplesquanto

0 = t

VA dV +

SA (n UA) dS

=

t

VA dV +

SA (n [UA U +U ]) dS ;

SA (n [UA U ]) dS =

t

VA dV +

SA (n U ) dS ,

S(n JA) =

t

VA dV +

SA (n U ) dS , (3.18)

onde a introduo de JA na ltima linha segue-se de sua denio (3.14). Umadeduo totalmente anloga vale para B.

A aplicao dos teoremas da divergncia e da localizao para A e para Bproduz, agora, duas equaes diferenciais de balano de massa:

At+AUixi

= JA,ixi, (3.19)

Bt+BUixi

= JB,ixi. (3.20)

A soma de (3.19) e (3.20) tem que restaurar (3.5); dada a equao (3.10), segue-senecessariamente que

JA,ixi+JB,ixi 0. (3.21)

(3.21) vale sempre; duas coisas podem acontecer. No caso mais geral, qualquerdifuso molecular do soluto A compensada por difuso molecular, tambm dosolvente B, em um certo sentido, no sentido oposto. Note entretanto que (3.21)estipula que a soma das divergncias dos uxos difusivos de massa que nula.Portanto, uma situao particular que pode ocorrer o caso em que JA = const.e JB = 0; portanto possvel ocorrer uxo difusivo apenas do soluto, desdeque a sua divergncia seja nula. comum a confuso entre um uxo e suadivergncia nas equaes de um meio contnuo, e este um bom exemplo paraexplicitar sua diferena.

3.4 antidade de movimento

O balano integral geral de quantidade de movimento para um volume ma-terial V

F s + F c =

t

VU dV +

SU (n U ) dS , (3.22)

onde F s so as foras de superfcie atuando sobre o volume de controle, e F c soas foras de corpo. A equao a seguir,

F s =

St dS =

Sn T dS =

SnjTjiei dS , (3.23)

31 3.4 Quantidade de movimento

condensa um volume considervel de conhecimento. A fora de superfcie dada pela integral de superfcie do vetor-tenso t . Este por sua vez escrito naforma t = n T , isto , como o pr-produto do vetor unitrio normal n pelotensor de tenses T . Finalmente, a equao constitutiva para o tensor de tensesT em funo do primeiro coeciente de viscosidade , do segundo coecientede viscosidade e da presso termodinmica P

Tji =

(P + Uk

xk

)ji + 2Sji . (3.24)

ondeSji =

12

(Uj

xi+Uixj

)(3.25)

a taxa de deformao. A integral de superfcie correspondente fora de su-perfcie transformada em uma integral de volume por intermdio do Teoremada divergncia:

F s =

[V

Tji

xjdV

]ei =

[V

( Pxi+

xi

(Ukxk

)+ 2 xj

(Sji

))dV

]ei .

(3.26)Para obter (3.26), ns supusemos constante, e o retiramos da operao dediferenciao. Embora estritamente isso no seja verdade, usual desconsideraras variaes de (e eventualmente de ) com a posio na deduo das equaesde Navier-Stokes.

A fora de corpo num referencial em rotao deve incluir a acelerao deCoriolis: a velocidade angular da terra, a acelerao da gravidade (o queinclui os demais efeitos de a Terra ser um referencial no-inercial veja Liggett(1994)), e

F c =

V

[ 2 U ] dV = [

V

(i 2ijkjUk

)dV

]ei . (3.27)

Os termos do lado direito so

t

VU dV =

[V

Uit

dV

]ei , (3.28)

SU(U n) dS =

[SUiUjnj dS

]ei =

[V

xj

(UiUj

)dV

]ei .(3.29)

Reunindo todos os termos,[

V

(

xj

(Tji

)+

(i 2ijkjUk

) UitUiUjxj

)dV

]ei = 0. (3.30)

Pelo teorema da localizao, o integrando deve ser identicamente nulo; ento:

Uit+UiUjxj

= (i 2ijkjUk

)+

xj

(Tji

). (3.31)

Expandindo o lado esquerdo e simplicando-o por meio de (3.5), e explicitandoTji com (3.24):

(Uit+UjUixj

)=

(i 2ijkjUk

)+

xj

(Tji

), (3.32)

32 3.5 Energia

Uit+UjUixj= i 2ijkjUk +

1

xi

(P + Uk

xk

)+ 2u

Sij

xj. (3.33)

onde ns usamos (3.24) e (3.26), e

u (3.34)

dene a viscosidade cinemtica u .Embora (3.33) seja provavelmente a forma mais clssica de apresentar as

equaes de Navier-Stokes compressveis, ela no ser a mais til quando pre-cisarmos lanar mo da aproximao de Boussinesq no captulo 5. Por isso,preferimos escrever a equao para quantidade de movimento na forma total-mente equivalente

(Ui )t

+(UiUj

)xj

= (i 2ijkjUk

)+

xi

(P + Uk

xk

)+2u

Sij

xj. (3.35)

3.5 Energia

A equao de balano da energia total (ou seja: interna e cintica) para umvolume de controle

W +

Q +

I =

t

VEdV +

SE(n U ) dS . (3.36)

onde W a taxa de trabalho realizada sobre o volume de controle pelas forasde superfcie e de corpo, Q o uxo de calor por conduo para dentro do vo-lume de controle e I a taxa de aporte de energia para dentro do volume decontrole devido difuso de massa e consequente mudana relativa de com-posio qumica da mistura. Os tis servem para diferenciar valores totais devalores por unidade de massa; assim (por exemplo), W o trabalho sobre umcorpo, enquanto queW o trabalho por unidade de massa. A energia especca(por unidade de massa)

E =12UiUi + U, (3.37)

onde U a energia interna por unidade de massa. Note que ns no inclumosnenhum termo de energia potencial, porque W contabilizar todas as forasatuando sobre o volume de controle, incluindo as conservativas. O clculo decada um dos termos do lado esquerdo de (3.36) feito como se segue:

Q =

S(n q) dS =

ScpT (n T ) dS

=

ScpTnj

T

xjdS =

V

xj

(cpT

T

xj

)dV , (3.38)

onde q o vetor uxo de calor. Em notao indicial, a equao constitutiva paraa transferncia de calor por conduo, ou difuso molecular,

qi = cpTT

xi, (3.39)

33 3.5 Energia

onde cp o calor especco a presso constante do uido, T a difusividadetrmica molecular, e T a temperatura termodinmica.

O trabalho realizado sobre V

W =

V([ 2 U ] U ) dV +

S(t U ) dS

=

V

(i 2ijkjUk

)Ui dV +

SnjTjiUi dS

=

V

(

(i 2ijkjUk

)Ui +

xj(TjiUi )

)dV

=

V

(

(i 2ijkjUk +

Tji

xj

)Ui +

Uixj

Tji

)dV . (3.40)

O lado direito de (3.36)

t

VEdV =

V

(E)t

dV =

V

(Et+ E

t

)dV (3.41)

e SE(n U ) dS =

SEnjUj dS =

V

xj(UjE) dV =

V

(EUjxj

+ UjE

xj

)dV (3.42)

Combinando (3.41) e (3.42) acima, tem-se

V

*......,

E *.,

t+(Uj

)xj

+/-

=0

+(E

t+UjE

xj

)+//////-

dV , (3.43)

onde o primeiro termo nulo por fora da equao da continuidade. O restante

VDE

DtdV =

VD

Dt

(12UiUi + U

)dV =

V

(Ui

DUiDt+DU

Dt

)dV . (3.44)

Combinando-se todos os termos da equao de energia,

V

(

xj

(cp

T

xj

)+Uixj

Tji +Ui(i 2ijkjUk +

Tji

xj

)

(Ui

DUiDt+DU

Dt

))dV = 0 (3.45)

Colocando em evidncia os termos com Ui em comum,

Ui

[DUiDt

(i 2ijkjUk +

Tji

xj

)] 0, (3.46)

34 3.5 Energia

j que o termo entre parnteses a prpria equao de balano de quantidadede movimento! O que resta, aps aplicarmos o teorema da localizao,

DU

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+Uixj

Tji , (3.47)

onde, de maneira anloga ao que foi feito com a equao de quantidade de mo-vimento quando consideramos constante, ns consideramos o termo cpconstante e o retiramos da derivada. Novamente, embora no seja estritamentecorreto, isso usual.

O termo Ui/xjTji facilmente calculvel:

Uixj

Tji =

((P + Uk

xk

)ji + 2Sij

)Uixj

(3.48)

= P Uixi+

(Ukxk

)2+ 2Sij

Uixj. (3.49)

Mas pela simetria dos ndices i e j,(Uixj+Uj

xi

)Uixj=

(Uj

xi+Uixj

)Uj

xi, (3.50)

donde

2SijUixj=

(Uixj+Uj

xi

)Uixj

=12

((Uixj+Uj

xi

)Uixj+

(Uj

xi+Uixj

)Uj

xi

)=

12

(Uj

xi+Uixj

)2= 2SijSij . (3.51)

Note que (3.51) uma soma de 9 termos, todos eles positivos. Finalmente, ob-temos

TijUixj= P Uk

xk+

(Ukxk

)2+ 2SijSij . (3.52)

Os dois ltimos termos correspondem converso irreversvel de energia mec-nica em energia interna, e possvel mostrar que sua soma sempre positiva,debaixo da hiptese de Stokes (Kundu, 1990, p. 92),

+23 = 0. (3.53)

Ento, a equao de interao tensor de tenses-gradiente de velocidade ca

TijUixj= P Uk

xk+ 2 *

,SijSij

13

(Ukxk

)2+-, (3.54)

e podemos completar o quadrado do termo entre parnteses:

SijSij 13

(Ukxk

)2= SijSij

23

(Ukxk

)2+

13

(Ukxk

)2

35 3.6 Dissipao viscosa

= SijSij 2(Ukxk

)13

(Ukxk

)+

13

(Ukxk

)2= SijSij 2

12

(Uixj+Uj

xi

)ij

13

(Ukxk

)+

13

(Ukxk

)2= SijSij 2Sij

13

(Ukxk

)ij +

19

(Ukxk

)2ijij

=

(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2. (3.55)

Finalmente,

TjiUixj= P

(Ukxk

)+ 2

(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2. (3.56)

A equao diferencial completa para a energia interna ca

DU

Dt= cpT

xj

(T

xj

)

I

P(Ukxk

)

II

+ 2(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2

=III

, (3.57)

onde I representa o aquecimento/resfriamento de uma partcula de uido porconduo, II representa o trabalho reversvel realizado pela presso, e III, que sempre positivo, a converso irreversvel de energia mecnica em energiainterna, e denomina-se dissipao viscosa. Em muitos livros, a dissipao vis-cosa denotada pela letra grega (minscula ou maiscula) . Essa ltima estrelacionada com uma grandeza que vai aparecer inmeras vezes em teoria deturbulncia, a taxa de dissipao de energia cintica por unidade de massa, Ee . Asduas relacionam-se simplesmente por

= Ee . (3.58)

Uma forma alternativa a (3.57) facilmente obtida utilizando a denio deentalpia especca, (2.13) [repetida aqui enquanto o captulo 2 no revisado]

H = U + PV

obtemos1V

DU

Dt+P

V= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

1V

D

Dt(U + PV) DP

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+ ,

DH

Dt DP

Dt= cpT

xj

(T

xj

)+ . (3.59)

3.6 A dissipao viscosa como perda de energia mecnica efonte de energia interna

Neste ponto, muito conveniente ns dedicarmos um pouco mais de aten-o energia mecnica do escoamento. Como vimos, utilizando uma srie de

36 3.7 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

simplicaes baseadas nas leis de conservao de massa e de momentum, nsreduzimos o balano integral que corresponde conservao geral de energia(cintica mais interna), (3.36), a uma equao diferencial para a energia interna,(3.57). Na sequncia, ns vamos seguir se no passo a passo pelo menos muitode perto a excelente exposio do assunto feita por Kundu (1990). Primeira-mente, note de (3.40) que o taxa de trabalho realizada pelas foras de superfciesobre um volume material V :

Ws =

S(t U ) dS = . . . =

V

xj

(TjiUi

)dV . (3.60)

Kundu (1990) denomina (TjiUi

)/xj de trabalho total, por unidade de volume,

das foras de superfcie em um ponto. J o produto escalar de U pela equaodinmica (3.32)

UiDUiDt=

D

Dt

(12UiUi

)= Ui +Ui

xj(Tji ). (3.61)

Note que o trabalho por unidade de volume das foras de superfcie efetiva-mente responsvel pela variao da energia cintica, UiTji/xj , diferente dotrabalho total; utilizando a regra da cadeia, entretanto, elementar que

D

Dt

(12UiUi

)= Ui +

xj

(UiTji

) Uixj

Tji . (3.62)

O ltimo termo do lado direito da equao acima denominado por Kundutrabalho de deformao. Ele dado por (3.56), donde

D

Dt

(12UiUi

)= Ui+

xj

(UiTji

)+P

(Ukxk

)2

(Sij

13

(Ukxk

)ij

)2. (3.63)

Nosso quadro de balano de energia ca, ento, completo: o mesmo termo queaparece com um sinal positivo em (3.57) como um aumento irreversvel de ener-gia interna, aparece aqui com um sinal negativo como uma diminuio, igual-mente irreversvel, de energia cintica.

3.7 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

Duas quantidades que vimos at aqui aparecem de forma natural como qua-drados. Elas so a energia cintica do escoamento (por unidade de massa),

Ec =12UiUi (3.64)

e Ee , a taxa de dissipao de Ec :

Ee = 2u[Sij

13

(Ukxk

)ij

] [Sij

13

(Ukxk

)ij

]. (3.65)

Em (3.65), ns utilizamos (3.57) e (3.58) juntamente com (3.34).Aplicando a decomposio de Reynolds (1.9) a (3.64), temos:

Ec =12

[Ui + ui] [Ui + ui]

37 3.7 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

=12

[Ui Ui + 2 Uiui + uiui] . (3.66)

Promediando a equao acima, e utilizando os postulados de Reynolds (1.11)(1.13),

Ec =12 Ui Ui Ecm

+12 uiui Ect

. (3.67)

Note que, por ser denida como um quadrado, a utuao de Ec (ou seja, osegundo e o terceiro termos do lado direito de (3.66)) no nula.

O primeiro termo do lado direito de (3.67) a energia cintica do escoamentomdio, Ecm. O segundo termo de (3.67) de grande importncia em teoria deturbulncia. Ele , apropriadamente, denominado de energia cintica da turbu-lncia, Ect , muitas vezes abreviado pela sigla ECT. Para registro:

Ect =12 uiui . (3.68)

O procedimento de decomposio para a taxa de dissipao de energia cin-tica anlogo. Comece notando que, novamente com a ajuda da decomposiode Reynolds (1.9), e de (1.15),

Sij =12

[Uixj+Uj

xi

]

=12

Uixj

+uixj+Uj

xi

+uj

xi

=12

Uixj

+Uj

xi

Si j

+12

[uixj+uj

xi

]

si j

=Sij

+ sij , (3.69)

ondeSij

a taxa de deformao mdia, e sij a sua utuao. Da mesma

forma, imediato queUkxk=Ukxk

+ukxk. (3.70)

Agora,

Ee = 2u[Sij

13

(Ukxk

)ij + sij

13

(ukxk

)ij

]

[Sij

13

(Ukxk

)ij + sij

13

(ukxk

)ij

]

= 2u

[Sij

13

(Ukxk

)ij

]2+ 2

[Sij

13

(Ukxk

)ij

] [sij

13ukxk

ij

]+

[sij

13ukxk

ij

]2

(3.71)

Em Ingls, Turbulence Kinetic Energy ou TKE

38 3.7 A decomposio de Reynolds para variveis quadrticas

Prosseguimos, com a promediao de (3.71) e (novamente) com o uso dos pos-tulados de Reynolds:

Ee = 2u

Sij

Sij

23

Sij

(Ukxk

)ij +

19

(Ukxk

)2ijij

+

= 2u

sijsij

23

sij

(ukxk

)ij +

19

(ukxk

)2ijij

. (3.72)

Mas: Sij

ij =

Ukxk,

sijij =ukxk,

ijij = 3,

donde

Ee = 2u

Sij

Sij

13

(Ukxk

)2 Eem

+ 2u

sijsij

13

(ukxk

)2 Eet

. (3.73)

Da mesma forma que a energia cintica (vide (3.67)), portanto, a taxa dedissipao de energia cintica pode ser decomposta numa taxa de dissipaoassociada ao escoamento mdio Eem (primeiro termo do lado direito de (3.73)),e uma taxa de dissipao da energia cintica da turbulncia, Eet (segundo termodo lado direito de (3.73)). Essa ltima uma grandeza muito importante. Pararegistro:

Eet = 2u

sijsij

13

(ukxk

)2 . (3.74)No incio da dcada de 1940, comeou a car claro que Eet uma grandeza

fundamental em turbulncia. No prximo captulo, ns vamos ver que, combase em alguns argumentos simples e muito razoveis, Eet Eem quando onmero de Reynolds de um escoamento se torna muito grande. Isso por sua vezsignica que

sijsij

Sij

Sij

, e que deve existir, no caso escoamentos tur-

bulentos com nmero de Reynolds muito grande, uma grande separao entreas escalas macroscpicas e as escalas microscpias da turbulncia. As primeirasesto associadas aos gradientes de velocidade, e taxas de deformao, mdios.As segundas esto associadas aos gradientes quadrticos mdios (e taxas de de-formao quadrticas mdias).

4As macro e micro escalas daturbulncia

4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

Como observa Davidson (2004, p. 1920), uma boa parte do que ns sabemossobre turbulncia pode ser resumido nas relaes

Eet u3/`, (4.1)

u =

(3uEet

)1/4, (4.2)

u = (u Eet )1/4 , (4.3)

u =

(uEet

)1/2. (4.4)

O restante como se segue: u e ` so macroescalas de velocidade e de com-primento, respectivamente. Elas reetem as velocidades e comprimentos ma-croscpicos que ns vemos em um escoamento: o dimetro da tubulao, adistncia da superfcie em uma camada-limite, a profundidade do escoamentoem um rio, etc. (`); e as diferenas de velocidade entre duas sees, a intensidadedas utuaes turbulentas de velocidade, etc. (u).

Para as ordens de grandezas de termos nas equaes, ns vamos adotar anotao de Tennekes e Lumley (1972): em (4.1), o smbolo signica que ocoeciente adimensional que torna a relao uma equao no maior do que5, e no menor do que 1/5.

J u (eta, em grego), u e u (tau, em grego) so microescalas de com-primento, velocidade e de tempo; em homenagem ao seu proponente, elas sochamadas atualmente de microescalas de Kolmogorov (Kolmogorov, 1991). u eu no podem ser vistas; elas reetem as diferenas de velocidade e de com-primento que ocorrem em cada ponto de um escoamento turbulento, e que spodem ser estimadas (na mdia quadrtica, como veremos em breve) em funoda taxa de dissipao de energia cintica da turbulncia, Eet , e da viscosidadecinemtica u .

Para o estudante que aborda Turbulncia pela primeira vez, ` e u so es-tranhos e difceis de compreender, enquanto que u , u, e u so completamenteimpossveis. Numa tentativa de aliviar a estranheza, a abordagem que se se-gue procura dar um pouco de concretude a esses conceitos, por meio de algunsexemplos.

39

40 4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

V

Ua

PaUb

Pb

Figura 4.1: Expanso sbida em uma tubulao.

Em lugar de prosseguir com escalas arbitrrias u e `, considere o esco-amento clssico de um uido com densidade constante atravs de uma ex-panso sbita em uma tubulao, mostrado na gura 4.1. As reas das seestransversais antes e depois da expanso so Aa e Ab .

Os pers esboados na gura 4.1 so idealizaes: bem conhecido que avelocidade (relativa) de um uido junto a uma parede slida zero, que acondio de no-deslizamento. O signicado fsico da gura 4.1, portanto, que na maior parte do escoamento antes, e depois, da expanso sbita derea, a velocidade aproximadamente constante.

Para o volume material V (com superfcie S ) indicado pela linha pontilhadana gura 4.1, as equaes macroscpicas de balano so (3.3) (massa); (3.22)(quantidade de movimento) e (3.36) (energia, com I 0), repetidas aqui porconvenincia:

0 = t

VdV +

S (n U ) dS ,

F s + F c =

t

VUdV +

SU (n U ) dS ,

W +

Q =

t

VEdV +

SE (n U ) dS .

Suponha agora pers uniformes de velocidade nas sees de entrada (a) e sada(b),

U a = Uae1,

U b = Ube1.

Para constante, a equao macroscpica de conservao de massa em regimepermanente produz

UaAa = UbAb . (4.5)

Para a conservao de quantidade de movimento, preciso supor que as forasde atrito tm efeito desprezvel, e que as foras de superfcie so, preponderan-temente, devidas diferena de presso entre as sesses a (entrada) e b (sada),de tal forma que

F s =

St dS =

Sn T dS =

Sn [P] dS =

S

[Pn] dS .

41 4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

Na entrada, n = e1, e na sada n = +e1, donde (para pers uniformes depresso na entrada (Pa) e na sada (Pb)),

Fs1 = (Pa Pb )Ab .

Observe queAb comum, na expresso acima, para Pa e para Pb . A interpretao que, imediatamente aps a expanso, a presso (na seo a) ainda Pa , eage de forma aproximadamente uniforme sobre a face esquerda do volume decontrole. Com o termo transiente identicamente nulo, e F c 0, segue-se agoraque (na direo longitudinal, que a nica direo relevante para os balanosmacroscpicos),

(Pa Pb )Ab = [U 2aAa +U 2bAb

]= [Ub Ua] (UaAa ) (4.6)

O trabalho realizado sobre a superfcie de controle preponderantemente de-vido presso:

W =

SU t dS

=

Aa

Uae1 [Pa (e1)] dS +Ab

Ube1 [Pb (+e1)] dS

= PaUaAa PbUbAb .

A equao de balano de energia, portanto, torna-se

(Pa Pb ) (UaAa ) =2

(U 2b U

2a

)(UaAa ) + (UB UA) (UaAa ) Q

Tx. de Dissipao

. (4.7)

Os dois ltimos termos do lado direito so o uxo lquido de energia interna(UA e UB so as energias internas por unidade de massa na entrada e na sadado volume de controle), e a taxa de calor trocada com o volume de controle. Porhiptese, a dissipao de energia mecnica deve fazer com que ambos sejampositivos, ou seja: UB > UA (a dissipao aumenta a energia interna especcado uido) e Q < 0 (parte de energia mecnica dissipada ui como calor para forado volume de controle). Por denio, a sua soma a taxa total de dissipaode energia. Se e a dissipao mdia por unidade de massa dentro do volumede controle, temos

Ab`e = (UB UA) (UaAa ) Q .

Note primeiramente que a equao (4.7) pode ser reescrita como[(Pa + (1/2)U 2a

)

(Pb + (1/2)U 2b

)](UaAa ) = Ab`e ,

ou seja, a perda de carga hidrulica entre as sees a e b igual dissipaode energia. Do ponto de vista de obter uma expresso nal para e , entretanto, mais frutfero primero eliminar a difereno de presso entre as sesses utili-zando (4.6):

Pa Pb = (Ub Ua )UaAaAb,

42 4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

VU

0

L

Pa

Pb

Figura 4.2: Escoamento clssico em um tubo com perda de carga.

e em seguida substituir na equao (4.7):

(Ub Ua )(UaAa )

2

Ab=2 (U

2b U

2a ) (UaAa ) + Ab`e ,

(Ub Ua )UaAaAb= [(1/2) (Ua +Ub ) (Ub Ua )] +

`eUa

AaAb,

12 (Ua +Ub ) Ua

AaAb=AaAb

`

Ua (Ua Ub )e ,

[12 +

(12 1

) AaAb

]Ua =

AaAb

`

U 2a(1 AaAb

) e ,e =

12

(1 Aa

Ab

)2AaAb

U 3a`. (4.8)

Note que (4.8) tem a mesma forma de (4.1). No entanto, h uma diferenasignicativa: enquanto que na sequncia ns suporemos que (4.1) vale pon-tualmente, (4.8) d a taxa de dissipao mdia dentro do volume de controle.Um argumento mais crtico no sentido de que de fato no existe nada deexcepcional em (4.8) que as duas equaes tm que ter a mesma forma sim-plesmente pelo fato de que Ee e e possuem as mesmas dimenses fsicas. Noentanto, a equao (4.1) aparecer repetidamente neste livro, e espera-se que adeduo da anloga (4.8) ajude o estudante a compreender a sua motivao.

Nosso segundo exemplo, mostrado na gura 4.2, o escoamento clssico aolongo de um tubo com perda de carga. Esse problema vai ser estudado detalha-damente do ponto de vista do perl de velocidade, e de como a perda de carga calculada, mais frente neste texto. Por enquanto, vamos supor que h umaperda de carga linear ao longo da tubulao e fazer a mesma aproximao deum perl constante de velocidade na seo que zemos no exemplo anterior.Os balanos integrais de massa, quantidade de movimento e energia entre assees A e B do volume de controle V indicado na gura resultam em

U = constante em x ,(Pa Pb )A 0 2RL = 0,

(Pa Pb )UA = (UB UA)UA Q ALe

,

43 4.1 Macro e micro escalas: uma apresentao informal

onde A = R2 a rea da seo transversal, e 0 a tenso de cisalhamentoentre a parede do tubo e o escoamento. Da equao de balano de quantidadede movimento,

Pa Pb =20LR,

que levada equao de balano de energia produz

20LR

U = Le ,

20U

R= e .

Neste ponto, conveniente introduzir o coeciente de arrasto CD e a velocidadede atrito u:

0 CDU 2, (4.9)0= u2, (4.10)

dondee =

2CD

u3R. (4.11)

Observe que, novamente, (4.11) tem a forma geral de (4.1). Novamente, trata-se de uma taxa de dissipao mdia, e um observador rigoroso poder tambmargumentar que em sua essncia (4.11) simplesmente uma consequncia dasdimenses fsicas de e .

No entato, tanto (4.8) quanto (4.11) contam uma histria importante: a taxade dissipao de energia mecncia e est sendo imposta pelas escalas macros-cpicas do escoamento. Observe como o coeciente de viscosidade cinemticano comparece em nenhuma das duas equaes. Em ambos os casos, o escoa-mento turbulento se ajustar a essa taxa imposta pelas escalas macroscpicas.

Hoje sabemos que o processo pelo qual a energia mecnica injetada no es-coamento pelas escalas macroscpicas dissipada possui dois estgios: noprimeiro estgio, forma-se uma cascata de energia, que se redistribui sob aforma de energia cintica da turbulncia em escalas progressivamente meno-res. O termo responsvel por esse estgio nas equaes de Navier-Stokes otermo no-linear, UkUi/xk . Em geral, supe-se que esse processo acompa-nhado pela gerao de turbilhes sucessivamente menores, e ele bem descritopelas equaes de vorticidade. Em 3 dimenses, o processo de transfernciainercial de energia compreendido como sucessivos alongamentos de vrtices(vortex stretching) e entortamentos de vrtices (vortex tilting). Em um dado mo-mento, as escalas espaciais que caracterizam esses vrtices so sucientementepequenas para que a viscosidade do escoamento interaja diretamente com eles.

Esse o segundo estgio, no qual a energia desses numerosos pequenosvrtices dissipada. As escalas caractersticas da faixa de dissipao so u ,u, e u . Um argumento dimensional simples sugere que Eet (u/u )2. Nes-sas pequenas escalas o escoamento laminar, no sentido de que o nmero deReynolds formado pelas escalas locais de comprimento e de velocidade que ca-racterizam os menores vrtices do escoamento da ordem de 1, como veremosem detalhe a seguir.

44 4.2 Uma denio formal das escalas macroscpicas

4.2 Uma definio formal das escalas macroscpicas

Na sequncia, ser necessrio fazer uma estimativa de ordem de grandezade, U e de seus gradientes. Tambm ser necessrio estimar a ordem de gran-deza de covarincias turbulentas, por exemplo de

uiuj

. Para o campo de

velocidade, ns adotaremos inicialmente as seguintes estimativas:Ui u, (4.12)Uixj

u`, (4.13)

uiuj u2. (4.14)

Uma diculdade que, como muitas vezes a notao de ordem de grandezaser utilizada em conjunto com a notao indicial de Einstein, a ordem de umtermo envolvendo ndices repetidos pode se referir a um ou alguns dos sub-termos, ou soma de todos os sub-termos. Para evitar qualquer ambiguidade,ns usaremos para indicar a ordem de grandeza do maior em mdulo (e pos-sivelmente outros) de todos os sub-termos; e para indicar explicitamente asoma de todos os sub-termos. Portanto,

Uixi

u/`,

signica que

maxi{1,2,3}

Uixi

u/`,

enquanto queUixi

u/`

signica que

*,

3i=1

Uixi

+- u/`.

Note que a segunda notao, , s faz sentido quando houver pelo menos umndice repetido do lado esquerdo. Note tambm que (4.12)(4.14) j seguem essanotao, ou seja: em cada uma delas, a ordem de grandeza refere-se a termosindividuais, ou ao maior em mdulo dos termos obtidos variando-se i e j.

Apesar de (4.14) no ser necessria nesta seo, ns a inclumos aqui paraque a discusso a seguir que auto-contida. Como vimos acima, u uma es-cala macroscpica de velocidade. As equaes (4.12)(4.14), e suas generaliza-es bvias para outras variveis do escoamento, tais como densidade, presso,concentrao de um escalar e temperatura, constituem-se em um poderoso ins-trumento de anlise das equaes que regem um escoamento turbulento. Suainterpretao, entretanto, difcil. Tennekes e Lumley (1972, p. 47) comentamsobre diversos erros comuns de interpretao de (4.12)(4.14), e discutem emdetalhe suas justicativas.

Alm disso, elas no so necessariamente universais! Por exemplo, nadaobriga que haja apenas uma escala de velocidade u, e uma escala de compri-mento `, macroscpicas. Dependendo da geometria, e da complexidade do esco-amento, vrias escalas macroscpicas de velocidade e comprimento (e diversasoutras variveis, claro) podem surgir.

45 4.2 Uma denio formal das escalas macroscpicas

No entanto, as relaes (4.12)(4.14) tendem a valer em escoamentos comcisalhamento mdio que possuem uma nica escala caracterstica de velocidade,e uma nica escala caracterstica de comprimento (Tennekes e Lumley, 1972, p.4750). O essencial de (4.12)(4.14) a suposio de que as mesmas escalas ue ` comparecem tanto na estimativa da ordem de grandeza dos gradientes degrandezas mdias quanto das covarincias turbulentas. Veremos mais frenteque ` tambm pode ser associada escala integral da turbulncia, que tem umadenio estatstica precisa. Como observam Tennekes e Lumley (1972), essasuposio de que as escalas macroscpicas servem a dois papis reete o fato deque elas so as nicas escalas caractersticas do escoamento; consequentemente,seu surgimento (a menos de coecientes da ordem de 1) uma exigncia daconsistncia dimensional das expresses envolvidas.

Naturalmente, essa hiptese restringe a complexidade dos escoamentos quepodemos analisar utilizando as equaes (4.12)(4.14); mesmo em situaes li-geiramente mais complexas, entretanto, idias similares revelam-se teis e emgeral ajudam a compreender ou modelar melhor o problema.

As equaes (4.12)(4.13) so sucientes para estimarmos a contribuio dataxa de dissipao associada ao escoamento mdio Eem para a taxa total dedissipao de energia cintica, Ee. Levando (4.13) em (3.73), encontramos

Eem u(u

`

)2= u

u3

u`2

=uu`

u3

`

Eem Re1` Ee . (4.15)

Em (4.15), ns encontramos pela primeira vez o nmero de Reynolds (na escala`):

Re` u`

u, (4.16)

e usamos a estimativa (4.1) para a taxa total de dissipao.De fato, se ns admitirmos como vnhamos comentando que a dissipao

total dada por (4.1), (4.15) nos informa que os gradientes do escoamento mdioso extremamente inecazes para produzir essa dissipao.

A gura simples, porm extremamente til, que surge a seguinte: se ataxa de dissipao total de energia cintica imposta pelas grandes escalas u,`, do escoamento, essas mesmas escalas produzem gradientes de velocidade (econsequentemente taxas de deformao) que so incapazes de dissipar a energiacintica nessa taxa!

Isso signica que devem existir no escoamento gradientes de velocidade,e consequentemente taxas de deformao, muito maiores. Para encontr-las,precisamos obviamente estudar a ordem de grandeza da taxa de dissipao daenergia cintica da turbulncia, Eet .

46 4.4 A cascata de energia

4.3 Uma definio formal das escalas microscpicas

Se tomarmos (formalmente) o limite Re` , a contribuio de Eem paraEe tende a zero em (4.15). Isso no uma mera formalidade. Na maioria dosescoamentos naturais e industriais, os nmeros de Reynolds so muito altos.

Por exemplo, a 20C,u [gua] = 1,005106 m2 s1, eu [ar] = 1,50105 m2 s1( presso atmosfrica padro ao nvel do mar). Ento, para um rio com uma ve-locidade tpica u = 1 m s1 e uma profundidade tpica de ` = 1 m, Re` = 106. Damesma forma, para uma velocidade do vento u = 1 m s1 a uma altura ` = 10 m,ns temos Re` = 106.

A equao (4.15) ento nos d Ee Eet nessas condies. Retornandoa (3.74), isso s pode signicar que a ordem de grandeza de

sijsij

(e eventual-

mente de(uk/xk )

2) deve ser tal que

sijsij

13

(ukxk

)2

(u

u

)2, (4.17)

onde devemos ter

Eet = u(u

u

)2. (4.18)

A equao (4.17) mostra claramente que a ordem de grandeza do gradientemicroscpico de velocidade u/u denida por uma mdia quadrtica. Por suavez, (4.18) suciente para denir esse gradiente, mas por si s incapaz deseparar as escalas microscpicas de velocidade, u, e de comprimento, u . Issopode ser feito de duas maneiras. A primeira puramente dimensional: se asnicas grandezas disponveis para denir u e u so Eet e u , ento (4.2) e (4.3)seguem-se necessriamente do Teorema dos s de Buckingham.

A segunda encontraru , u como a soluo de um sistema de duas equaes,a primeira das quais (4.18). A segunda equao obtida a partir da introvi-so (insight) de que, localmente, o escoamento deve ser laminar. O nmero deReynolds associado deve ser de ordem 1:

Reu =uuu= 1. (4.19)

A soluo do sistema (4.18)(4.19) produz, novamente, as microescalas de Kol-mogorov dadas por (4.2) e (4.3).

4.4 A cascata de energia

Conforme notado pela primeira vez por Kolmogorov (1941), (4.1) no seaplica apenas escala integral de comprimento `. Com alguma modicao,ela pode ser usada para todas as escalas intermedirias de comprimento r entre` e u . Para ver isso de uma maneira um pouco mais formal, dena a funo deestrutura de ordem 2 da velocidade:

r x2 x1; (4.20)Duu (r ) [U (x2) U (x1)] [U (x2) U (x1)] (4.21)

47 4.5 Macro e microescalas de temperatura

A denio (4.21) s possvel se os incrementos de velocidade do escoamentoforem homogneos; nesse caso, Duu depende apenas da diferena x2 x1, e node cada um dos dois vetores.

Se, alm disso, o escoamento for isotrpico, Duu = Duu (r ) apenas, onder = |r |. Kolmogorov (1941) formulou a hiptese de isotropia local: segundoessa hiptese, apenas para r `, o escoamento isotrpico. Isso sem dvida uma analogia com o caso molecular, em que as velocidades das molculas sedistribuem igualmente em todas as direes, e do Teorema de equipartio deenergia: a energia cintica das molculas de um gs divide-se igualmente nas3 direes x , y, e z. No caso de turbulncia, a situao mais complicada: emescoamentos no mundo real, as grandes escalas ` quase nunca so homog-neas, uma vez que, como veremos, existem direes preferenciais de produoda energia cintica da turbulncia. Nesse sentido, o termo local desempenha umpapel importante: aqui, a hiptese que a natureza difusiva da turbulncia tendea equalizar a distribuio direcional de energia cintica da turbulncia apenaspara escalas r muito menores do que `. Apenas nessas escalas o escoamento(segundo essa hiptese) isotrpico. Nesse ltimo caso, escrevemos

Duu (r ) =[u (r ) u (0)]2

(ur )2, (4.22)

e denimos uma escala de velocidade ur na escala de comprimento r .Outra hiptese da teoria de Kolmogorov que, para r `, (4.1) conti-

nua valendo na formaEet = 3/2

(ur )3

r. (4.23)

Segue-se, imediatamente, a previso da teoria de Kolmogorov (1941) para a faixainercial da funo de estrutura:

Duu (r ) = Eet 2/3 r 2/3. (4.24)

4.5 Macro e microescalas de temperatura

Macro e microescalas adicionais devem ser adicionadas lista (4.1)(4.3)quando a temperatura representa um papel importante em um escoamento tur-bulento. Comeamos por notar, sem demonstrao (ainda) que existe uma cas- Dizer onde isso ser feito!Dizer onde isso ser feito!cata de semi-varincia de temperatura da turbulncia que anloga cascatade energia cintica da turbulncia que discutimos na seo 4.4.

Ao contrrio de Ee , para a qual temos (3.74), ainda no zemos uma deduoformal para ETT . Adiantando o resultado, que ser obtido na seo ??, tem-se

ETT = 2TT

xj

T

xj

. (4.25)

Se ETT for a taxa de dissipao de semi-varincia da temperatura da tur-bulncia, a equao anloga a (4.1)

ETT T

2u

`. (4.26)

48 4.6 Estimativas consistentes dos gradientes microscpicos

Em (4.25), T uma macroescala de temperatura, e estamos supondo que a ma-croescala de comprimento associada temperatura o mesmo ` j utilizadoantes para a energia cintica.

A equao que dene a microescala de gradientes de temperatura anlogaa (4.18)

ETT = TT

2

2T

. (4.27)

onde T a microescala de temperatura; T a microescala de comprimentopara temperatura; e u a microescala de velocidade. A separao em T e T bem mais difcil: ela foi obtida por Batchelor (1959) e Batchelor et al. (1959), edepende do nmero de Prandtl

Pr uT, (4.28)

do uido. Para Pr 1, eles obtiveramTu= Pr1/2, (4.29)

donde

T =

(ETTT

)1/2T . (4.30)

4.6 Estimativas consistentes dos gradientes microscpicos

Os gradientes microscpicos de velocidade e de temperatura (e por conse-guinte, de densidade, via (4.17) e (??) so

uixj

uixj

(u

u

)2, (4.31)

T

xi

T

xi

(T

T

)2. (4.32)

Esses gradientes microscpicos podem, agora, ser facilmente relacionados comos gradientes macroscpicos (sempre em ordem de magnitude), como se segue:

uu2

2u=u3

`,

u

u=

(u3

u`

)1/2=

(u2

`2u`

u

)1/2=u

`

(u`

u

)1/2=u

`Re1/2`. (4.33)

49 4.6 Estimativas consistentes dos gradientes microscpicos

Para valores tpicos na atmosfera prximo superfcie, e supondo, de formaconservadora, ` 1m, u 1 m s1, u = 1,509 105 m2 s1, Re` = 662690,Re1/2 1000. Os gradientes microscpicos de velocidade so mil vezes maioresque os gradientes macroscpicos.

Alm disso, til registrar, para uso posterior, o seguinte: de (4.1) e (4.2),segue-se que

u =

(3u`

u3

)1/4,

4u =3u`

u3,(u

`

)4=

3u`3u3,(u

`

)4= Re3,

u`= Re3/4. (4.34)

Analogamente,u

u= Re1/4. (4.35)

O mesmo pode ser feito para os gradientes microscpicos de temperatura e,por conseguinte, de densidade:

TT

2

2T

=uT

2

`,

T

T= *

,

uT2

T`+-

1/2

= *,

T2

`2u`

T+-

1/2

=T

`

(u`

T

)1/2=

T

`Pe1/2`. (4.36)

(??) utiliza um nmero de Pclet

Pe` =u`

T= Re`Pr (4.37)

que anlogo ao nmero de Reynolds Re` denido em (4.16). Mais uma vez, emanalogia com (??), a partir de (??) obtm-se

T

T=T`

Pe1/2`

=u`

Tu

Pe1/2`

= Re3/4`

Pr1/2Pe1/2`

50 4.6 Estimativas consistentes dos gradientes microscpicos

=

(u`

u

)3/4 (uT

)1/2 (u`

T

)1/2=

(u`

u

)3/4 (Tu

)1/2 (u`

T

)1/2=

(u`

u

)3/4+1/2= Re1/4

`. (4.38)

onde usamos (??) para u/` e (??)(4.28) para T/u .

5As equaes para o escoamentomdio, e a aproximao deBoussinesq

As equaes de Navier-Stokes, e da energia, podem ser consideravalmente sim-plicadas antes de serem usadas em problemas de interesse fsico. As simpli-caes adotadas so de duas naturezas.

Primeiramente, utilizando-se uma decomposio proposta por Boussinesqpara os campos de velocidade, densidade, temperatura e presso que baseadaem um estado hidrosttico de referncia, possvel obter um conjunto de equa-es grandemente simplicadas. As principais simplicaes so a substituioda densidade varivel por uma densidade de referncia (que pode ser varivel deacordo com uma distribuio hidrosttica, mas que no precisa mais ser prog-nosticada), e a adoo de um campo de velocidade solenoidal. Portanto, umaaproximao de incompressibilidade obtida, mesmo em escoamentos com den-sidade varivel. Nas prximas sees ns vamos mostrar que isso no constituiunenhum paradoxo.

Em segundo lugar, a equao da energia essencialmente intil na variveldependente U. preciso manipular a equao (3.57) e reescrev-la em termosde variveis prognsticas teis, isto , efetivamente mensurveis ou calcul-veis. Via de regra, essas variveis so ou a temperatura termodinmica T , ou atemperatura potencial .

Ao nal do captulo, teremos obtido um conjunto de equaes para as va-riveis dependentes mdias U , P, e T (ou ) as quais, por sua vez, nosdo informaes teis sobre os escoamentos do mundo real.

5.1 O estado hidrosttico de referncia, e a altura de escala

Nesta seo ns obtemos um estado hidrosttico de referncia sucien-temente geral para gases perfeitos e lquidos nas condies normalmente en-contradas no ambiente. Esse estado ser denominado (r ,Pr ,Tr ), e dependersomente da altura z.

Suporemos que o uido do escoamento pode ser sucientemente bem des-crito como uma substncia simples, e que o nico agente de efeitos de empuxo a temperatura. O coeciente isobrico de expanso trmica, P , e o coeciente

51

52 5.1 O estado hidrosttico de referncia

isotrmico de compressibilidade, T , so denidos nesse caso por

P 1V

(V

T

)P

, (5.1)

T 1V

(V

P

)T

. (5.2)

Escrevendo a entalpia especca (por unidade de massa) H em funo de Te P , e calculando seu diferencial,

dH =(H

T

)P

dT +(H

P

)T

dP

= cpdT +(H

P

)T

dP , (5.3)

onde usamoscp

(H

T

)P

. (5.4)

O segundo termo obtido com o auxlio das relaes de Maxwell:

dH = VdP +TdS , (5.5)(H

P

)T

= V +T

(S

P

)T

; (5.6)(S

P

)T

= (V

T

)P

= PV, (5.7)

onde S a entalpia especca, donde(H

P

)T

= V (1 PT ) . (5.8)

Supondo agora um processo isentrpico (dS = 0); levando (5.5) em (5.3); e utili-zando (5.8),

dH = VdP = cpdT + V (1 PT ) , (5.9)cpdT = PTVdP . (5.10)

Utilizando a