Mecânica dos Sólidos I - Prof. Arthur Bragaabraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/mecsol1/parte3-plano-tensao.pdf · Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica dos Sólidos I Parte 3 – Estado Plano de Tensão

Prof. Arthur M. B. Braga

2015.1

Mecânica dos Sólidos I

Mecânica dos Sólidos

Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar •  Esforços internos (tensões) •  Deformações •  Deslocamentos


Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas

F7

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F8

P (x,y,z) ),,( zyxσ

x

z

y

σxy σxx

σxz σzy σzx

σzz

σyy σyx

σyz


Representação Gráfica do Estado de Tensão no Ponto (Paralelepípedo Fundamental)

x

z

y

σxy σxx

σxz σzy σzx

σzz

σyy σyx

σyz


F

Barras Carregadas Axialmente

F sxx

z

y

x

sxx

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000xx

σσ

AF

xx =σ


Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

θ r x

θ

z

θ

x

z

x r

C

C

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000

000

z

zσ

θ

θ

σσ

y

σθz =TD2J

Em coordenadas cilíndricas



A

x T

T

y

z A

x

y

z )0(>= xzστ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

00

xz

xz

σσ

σ

JTDDxz 2

)2( ==τσ

Em coordenadas Cartesianas


x T

T

y

z

B


B

)0(<= xyστ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000000

xy

xy

σ σσ

x

y

z

JTDDxy 2

)2( −=−= τσ

Em coordenadas Cartesianas


Tensões de Flexão em Barras (vigas)

xxσ

x

y

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000)(

),,(y

zyxxxσ

σ

IMyyxx −=)(σ

Tensões Normais de Flexão – Causadas pelo Momento Fletor

MM


Tensões normais e cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

)(xq

x

y

)(xM

)(xV


Tensões de Flexão em Barras (vigas)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000),(

),,(yx

zyxxxσ

σ

IxMyyxxx)(),( −=σ

Tensões Normais de Flexão Devido ao Momento Fletor

xxσ


Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão – Esforço Cortante

Viga de seção retangular:

y

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

2

4123)(

hy

bhVyxyσ

bhVy xyxy 2

3)0(})(max{ ==σσ


Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão – Esforço Cortante

Viga de seção Circular:

y

AVy xyxy 34)0(})(max{ ==σσ

IybyQVyxy )()()( =σ


Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)

P

tPD4

=θθσ

tPD4

=ϕϕσϕϕσ

θθσ

Vasos esféricos



P

tPD2

=θθσ

tPD

xx 4=σ

xxσ

θθσ

Vasos cilíndricos


Exercício

z N

N

Uma barra de perfil circular deve suportar um carregamento axial N = 50 kN. No projeto será utilizado um perfil laminado de aço SAE 1020, com limite de escoamento SY = 210 MPa. Deve ser utilizado um coeficiente de segurança ns= 2,0 no projeto contra a falha por escoamento do material. Determinar qual o diâmetro mínimo para a barra.


Regime Plástico

Regime Elástico

Carregamentos e Deformações Uniaxiais

Ensaio de Tração

Sy

0,2%

σ = F/A

ε = δ/L

F F

Su

Estricção


Exercício (continuação)

z N

N

Uma barra de perfil circular deve suportar um carregamento axial N = 50 kN. No projeto será utilizado um perfil laminado de aço SAE 1020, com limite de escoamento SY = 210 MPa. Deve ser utilizado um coeficiente de segurança ns= 2,0 no projeto contra a falha por escoamento do material. Determinar qual o diâmetro mínimo para a barra.

Resposta: D > 24,6 mm


Exercício (continuação) Escolhemos uma barra com diâmetro D = 25,4 mm.

Além do esforço axial de 50 kN, esta barra seria capaz de suportar simultaneamente um torque? De qual valor? Para responder considere Sy = 210 Mpa e um coeficiente de segurança ns = 2,0.

z T

T

N

N


Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas

Carregamento combinado: Força Axial e Torção

z T

T

N

N


Força Axial e Torção

•  Hipóteses –  Pequenas Deformações –  Comportamento Elástico Linear

•  Sob estas hipóteses, pode-se aplicar o princípio da superposição

•  Os estados de tensão resultantes de cada um dos carregamentos são calculados independentemente e somados.



[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

0

xz

xzxx

σσ

σσ

JTD

AN

xzxx 2e == σσ

x T

T

y

z

N

N

x

z xzσ

xxσ

x

y

z



[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000000

xy

xyxx

σ σσσ

JTD

AN

xyxx 2e −== σσ

x T

T

y

z

N

N

x

y

z x

y

xxσxyσ


σ1

σ3

σ2 Sy Sy

Início do escoamento no ensaio de tração

Estado 3D de Tensão

σeq σeq

Critério de Escoamento

Estado Uniaxial Equivalente

Tensões Principais Aplicação: Critérios de Falha

Tensões Principais


Corpo em equilíbrio sujeito à ação de um conjunto de forças externas

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Corpo em equilíbrio significa que qualquer parte (subvolume) do corpo deve também estar em equilíbrio



F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Corte por um plano definido pelo vetor normal n


F1

F2

F3

F4

F8

n


Forças internas de ligação (forças de superfície) mantêm as duas partes do corpo em equilíbrio



F1

F2

F3

F4

F8

n

DF

n

DA DF – Força de superfície resultante atuando sobre o elemento de área DA


ΔA

n

ΔF

Definição do Vetor Tensão

t

AΔΔ

Δ

Ft0A→

= lim

Vetor tensão s

tn

ts

nt ⋅=nt

( )nntt ⋅−=st

Componente normal (tensão normal)

Componente tangencial (tensão cisalhante)


Estado de Tensão em um Ponto

O vetor tensão associado à direção cuja normal é n, pode então ser calculado a partir do tensor de tensões: em notações mais concisas:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

nnn

σσσσσσσσσ

ttt

z

y

x

)(

)(

)(

n

n

n

{ } [ ]{ } nσt nn == )()( ounσt


Tensões Principais e Planos Principais

Dado o estado de tensão num ponto, os planos principais são definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula

A equação abaixo relaciona o vetor tensão atuando sobre um plano definido pela norman n com o tensor de tensões:

ou, em forma matricial: nσt n =)(

{ } [ ]{ }nσt =)(n



Deseja-se determinar os planos definidos pelas suas normais n, tais que os vetores tensão atuando sobre eles têm a forma: Substituindo-se esta expressão na equação da tela anterior, obtém-se: ou em forma matricial:

nt n λ=)(

nnσ λ=

[ ]{ } { }nnσ λ=



Portanto, a determinação dos planos principais fica reduzida à solução de um problema de autovalores:

– Os autovetores do tensor de tensão definem os planos (direções) principais.

– Os autovalores do tensor de tensão, λ, são as tensões principais.

nnσ λ=



Exemplo: Considere o estado de tensão dado pelo tensor:

As componentes do tensor referem-se a uma base Cartesiana. Seus autovalores são obtidos resolvendo-se a equação:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

50000501001050

σ (em MPa)

050000501001050

det =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

λλ

λ



Expandindo-se este determinante, obtém-se a equação: Cujas raízes são: Mostra-se ainda que as direções (planos) principais são definidas pelos autovetores (unitários e ortogonais)

( )( ) 05024001002 =−+− λλλ

MPa40e MPa,50MPa,60 321 === λλλ

jinknjin22

22,,

22

22

321 −==+= e



x

z

y

50

50 10 50 10

45°

x

z

y

50

60

40


Estado Plano de Tensão

F2

F3

F4

F5 F6

F7

F1 x

z

y

σxy σxx σyy σyx

x

y

σxx σxx

σyy

σyy

σxy σxy

σxy

σxy

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

yyxy

xyxx

σ σσσσ


Estado Plano de Tensão: Força Axial e Torção

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

0

xz

xzxx

σσ

σσ

JTD

AN

xzxx 2e == σσ

x T

T

y

z

N

N

x

z xzσ

xxσ

x

y

z



P

tPD2

=θθσ

tPD

xx 4=σ

xxσ

θθσ

Vasos cilíndricos



Vasos cilíndricos

Tensões já estão nas direções principais!



Conhecidas as componentes do tensor de tensões num ponto onde o estado de tensão é plano, determinar o vetor tensão em planos arbitrários

F1

F1 F1

F1

z

y

x


F1

F1 F1

F1

z

y

x

P


Considere o ponto P

x

y

σxx σxx

σyy

σyy

σxy σxy

σxy

σxy



Considere um plano passando pelo ponto P

F1

F1 F1

F1

z

y

x

P



O plano é determinado pela normal n que faz um ângulo a com o eixo x

F1

F1 F1

F1

z

y

x

t(n)

n a



n

t(n)

y

x

z

α

σxx

σxy

σyy

σxy

τα σα

Deseja-se determinar σα e τα em função das tensões σxx, σxy e σyy

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

yyxy

xyxx

σ σσσσ



Impondo-se o equilíbrio de forças nas duas direções obtém-se:

ασασσ

τ

ασασσσσ

σ

α

α

2cos2sin2

2sin2cos22

xyyyxx

xyyyxxyyxx

+−

−=

+−

++

=

n

t(n)

y

x

z

α

σxx

σxy

σyy

σxy

τα σα



O mesmo resultado é obtido considerando-se

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

yyxy

xyxx

σ σσσσ

{ }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=0sincos

αα

n

{ } [ ]{ }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

0sincossincos

0sincos

00000

)( ασασασασ

αα

σσσσ

σα yyxy

xyxx

yyxy

xyxx

nt

{ } { }{ } { }nσt

ntσ T

αα

α

ατα

−==

)()(


Estado Plano de Tensão Tensões e direções principais

Problema: Determinar as direções dos planos, determinados pelos ângulos a, onde ocorrem os valores máximo e mínimo de σα

logo

( ) αα τασασσασ 22cos22sin =+−−= xyyyxxdd

00 =⇒= αα τασdd



( ) 02cos22sin =+−−= ασασσασα

xyyyxxdd

⇓

yyxx

xyp σσ

σα

−=

22tan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= −

yyxx

xyp σσ

σα

2tan21 1

logo



As tensões edireções principais sao dadas pelas expressões:

R

R

mIII

yyxx

yyxxm

xy

±=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

+=

σσ

σσσ

σσσ

,

22

2

2

yyxx

xyp σσ

σα

−=

22tan



As tensões e direções principais podem também ser obtidas a partir de um problema de autovalor:

( ) 0)()(00

00

det 22 =−++−−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

xyyyxxyyxxyyxy

xyxx

σσσσσσσσσ

σσσσσσ

0

22

22

22

22

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

III

xyyyxxyyxx

II

xyyyxxyyxx

I

σ

σσσσσ

σ

σσσσσ

σ



yyxx

xyp σσ

σα

−=

22tan RR mIImI −=>+= σσσσ

+ + +

− − +

+ − −

− + −

xxxx σσ − xyσ )2tan( pα pα

40 πα << p

)( pασα )2( πασα +p

Iσ IIσ

40 πα << p

04 <<− pαπ

04 <<− pαπ

IIσ Iσ

Iσ IIσ

IIσ Iσ

yyxx σσ −



Alternativa: i.  Dados

ii. 

iii. 

iv. 

xyyyxx σσσ ,,

)2

(Tan21 1-

yyxx

xyp σσ

σα

−=

)2sin()2cos(22

)2(

)2sin()2cos(22

)(

pypyyxxyyxx

p

pypyyxxyyxx

p

ασασσσσ

πασ

ασασσσσ

ασ

α

α

−−

−+

=+

+−

++

=

{ }{ })2(),(min

)2(),(max

πασασσπασασσ

αα

αα

+=

+=

ppII

ppI



Ex: Determinar tensões e direções principais

x

y -40 MPa

60 MPa

-110 MPa

-40 MPa

-40 MPa

60 MPa

-110 MPa

-40 MPa [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

00006040040110

σ (em MPa)



Ex: Determinar tensões e direções principais (cont.)

MPa60

MPa40MPa110

=

−=−=

yy

xy

xx

σσσ

!6,122

Tan21

MPa9,932

MPa252

1-

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−=+

=

yyxx

xyp

xyyyxx

yyxxm

R

σσσ

α

σσσ

σσσ

⇒



Ex: Determinar tensões e direções principais (cont.) Considerando a tabela do Slide 43:

MPa9,118)(

MPa9,68)2(

−=−==

=+=+=

RR

mpII

mpI

σασσσπασσ

α

α

110−

110− 40−

40−

40−

40−60

60

x

y Rotação de +12,6° em torno do eixo z

x

y

px

py

!6,12

9,118−

9,118−

9,68

9,68


Estado Plano de Tensão Máxima tensão cisalhante

Problema: Determinar os planos onde ocorrem as máxima e mínima tensões cisalhantes logo portanto

( ) ασασσατα 2sin22cos xyyyxxdd −−−=

pxy

yyxxsd

d ασσσ

αατα 2cot

22tan0 −=

−−=⇒=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

4παα ps


Estado Plano de Tensão Máxima tensão cisalhante

I

II σII

σI σI

σII

45°

τmax

σI + σII 2

σI + σII 2

τmax

σI + σII 2

σI + σII 2

222

2

maxIIIyyxx

xyR σσσ

σστ −=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==



Impondo-se o equilíbrio de forças nas duas direções obtém-se:

ασασσ

τ

ασασσσσ

σ

α

α

2cos2sin2

2sin2cos22

xyyyxx

xyyyxxyyxx

+−

−=

+−

++

=

n

t(n)

y

x

z

α

σxx

σxy

σyy

σxy

τα σα


Estado Plano de Tensão Círculo de Mohr

sII sI C

R

0

t

s

sm

tmax

RR

R

mII

mI

yyxx

yyxxm

xy

−=+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

+=

σσσσ

σσσ

σσσ

22

2

2


Estado Plano de Tensão Círculo de Mohr

C 0 σ

σyy

σ

σxy

σxx + σyy 2

Ponto correspondente a

σxx e σsxy

2αp

τ

x

y

σxx σxx

σyy

σyy

σxy σxy

σxy

σxy


Estado Triaxial de Tensão Círculo de Mohr

x

z

y

σxy σxx

σxz σzy σzx

σzz

σyy σyx

σyz


Estado Triaxial de Tensão - Círculo de Mohr

τ

σ σ2 σ1 σ3

σ1 - σ2 2

σ2 - σ3 2

τmax = σ1 - σ3

2


Estado Triaxial de Tensão Círculo de Mohr

σ2

σ1 σ3

Plano onde ocorre a tensão cisalhante máxima (paralelo ao eixo 2 e a 45° com a direção 1)

3

1

2

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