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MecânicaeOndas

Ondasestacionáriasemcordasvibrantes ObjectivoEstudodasondasestacionáriasemcordasvibrantes.Estudodavariaçãodafrequênciaderessonânciadaondacomatensãoeocomprimentodacorda.Determinaçãodavelocidadedepropagaçãodaonda.Excitaçãodeharmónicas.

1. IntroduçãoteóricaParaproduzirmosumaondamecânicaprecisamosdeuma fontedeperturbaçãodummeiomaterial.Umaondamecânicaconsisteassimnotransportedeenergiadeumpontoparaoutrodomeiomaterial,semquehajatransportedematéria.Otransportedeenergiaérealizadopelainteracçãodaspartículasdomeiocomassuasvizinhas.Neste trabalhovamosestudarondasestacionárias,unidimensionais,quesepropagamnumacordaelástica,esticadaefixanassuasextremidades.A função matemática que descreve a oscilação duma corda elástica, uniforme, dedensidadelinear𝜌esubmetidaaumatensão𝑇# ,édaforma𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(/0

1𝑥 − /0

3𝑡) =𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔𝑡)(1)

𝑥e𝑡sãoasvariáveisassociadasàposiçãoeaotempo,respectivamente,Téoperíodo,𝜆ocomprimentodeonda(c.d.o),𝑘 = 2𝜋

𝜆: éonúmerodeondae𝜔 = 2𝜋𝑇: éafrequência

angular.Estaondapropaga-secomvelocidade

v = 13= <

== >3?

@(2)

Se uma onda harmónica for introduzidanuma corda cujas extremidadesdistamde𝐿,ficará confinadaapropagar-senuma região limitadado espaço.Ao chegar aumadasextremidadesaondaéreflectidaeinterferecomaporçãodaondaqueviajaparaaquelaextremidade.Dasobreposiçãodestasduasondasquesepropagamnamesmadirecção,masemsentidosopostos,surgeemgeralumpadrãoirregular,variávelnoespaçoenotempo.Contudo,seacordavibrarcomumafrequênciaadequada,épossívelobterumaondaestacionária,i.e.,umaondaemquecadaumdospontosdacordatemumaamplitudeconstante.Consideremosumaondaharmónica,quesepropaganumacorda,paraadireita,comavelocidadev.Descritapelaequação𝑦B(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔𝑡)(3)

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Consideremosagoraumaoutraondaharmónica, idêntica,quesepropaganacordaemsentidocontrário,descritapor𝑦/(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)(4)Aondaresultanteserá,peloprincípiodasobreposição,asomadaquelasduasondas,i.e.,𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦B(𝑥, 𝑡) + 𝑦/(𝑥, 𝑡)(5)ouseja𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘𝑥)cos(𝜔𝑡)(6)A onda descrita pela equação (6) designa-se por onda estacionária e tem duascaracterísticasinteressantes:1.Cadaposição𝑥F dacordaoscilaverticalmente,aolongodotempo,deformasinusoidal,deacordocomaequação𝑦(𝑥F, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘𝑥F)cos(𝜔𝑡)(7)2. Num determinado instante de tempo,𝑡F, capturado, por exemplo, através de umafotografia instantânea da corda, esta apresenta a forma espacial de uma sinusoidedescritapor

𝑦(𝑥, 𝑡F) = 2𝐴 cos(𝜔𝑡F) sin(𝑘𝑥)(8)Setirarmosfotografiassucessivasdasoscilaçõesdacordaeassobrepusermos,obtemosumafiguracomoaspectosemelhanteaorepresentadonafigura1.

Fig.1Representaçãoesquemáticadeumdosmodosdevibraçãodeumacordacomasextremidades fixas. No momento inicial a corda tem o comprimento dado peloafastamentoentreasduasextremidadesdesuporte.A equação (6)mostraquenasposições𝑥Gonde se verifica a relação𝑘𝑥G = 𝜋𝑛, (𝑛 =

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0, 1, 2, 3, . . . ),asamplitudesdeoscilaçãosãonulas,i.e.,ospontos𝑥G =1/𝑛sãoosnodos

dacorda.Seadistânciaentreosdoisextremos(fixos)dacordafor𝐿,entãoosc.d.o.’s𝜆G,correspondentesaondasestacionárias,devemverificaracondição𝜆G =

/MG(9)

Esta equaçãomostra que existem𝑛(= 1, 2, 3, … ) modos de vibração estacionária dacorda compatíveis com adistância𝐿, entre os pontos de fixação das extremidades dacorda.Apartirdasequações(2)e(9)obtemosasfrequênciasdeoscilação𝑓G =

<P/0= 𝑛 Q

/M(10)

ouainda

𝑓G =R/M >

3?@= 𝑛𝑓B(11)

Verifica-seassimque,dependendodatensão𝑇# aplicadaàcorda,dasuadensidadelinear𝜌,edoseucomprimentoemrepouso,𝐿,poderãoserobservadosmodosdevibraçãodeacordo com a expressão (11) para valores𝑛 = 1, 2, 3, 4… Estes modos de vibraçãopodemserexcitadosexternamenteecorrespondemasituaçõesemqueaamplitudedeoscilaçãoémáxima.Asfrequênciasquelhescorrespondemdesignam-seporfrequênciasderessonância.Omododefrequênciamaisbaixo(n=1)designa-sepormodofundamentalde ressonância. Os outros modos de vibração são múltiplos de𝑓B e designam-se porharmónicasdeordemn.Paracadac.d.o. 𝜆G,ospontos𝑥T cujaamplitudedeoscilaçãoémáxima,designadosporanti-nodos,estãosituadosameiocaminhoentredoisnodosconsecutivosouseja𝑥T = (2𝑙 + 1)

1PV(𝑙 = 0, 1, … . , 𝑛 − 1).(12)

Istomostra que a harmónicade ordem𝑛terá𝑛anti-nodos e(𝑛 + 1)nodos. Na Fig. 1mostra-seumaondaestacionáriadec.d.o.𝜆 = 𝐿.2.Trabalhoexperimental

Amontagemautilizarnestetrabalho,ilustradanaFig.2,permiteajustaratensãoeotipodeexcitaçãoaquesesujeitamascordasmetálicas,semelhantesàsutilizadasemguitarras.As cordas sãomontadas num banco onde a tensão é controlada através do correctoposicionamentodeumamassanumadasextremidadesdacorda.NaFig.2podever-seumamassasuspensanocantoinferiordireito.Acordapodesersubmetidaaváriostiposdeforçaexcitadora,quepodeserumaforçamecânicaaplicadadirectamentenacordaouaindaumaforçamagnética,aplicadaatravésdeumdispositivodeexcitaçãodesignadoporDRIVER.Avibraçãodacordaédetectada

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com um sensor magnético, designado por DETECTOR, constituído por uma pequenabobineposicionadanoutropontodobancodamontagem.Comoacordaseencontrafixanasduasextremidades,podemosobservarondasestacionáriasparacertasfrequênciasdeexcitaçãodamesma.Estasondaspermanecemenquantoduraraforçaexcitadora.

Fig.2Fotodamontagemdotrabalhodacordavibrante

Fig.3Esquemadamontagemdesuporteeexcitaçãodacordavibrante2.1Materialparaotrabalhoexperimental:

1.Basedefixação,incluindoumaescalagraduadaeumaparelhodeforça,constituídoporumbraçoeumparafusodeajustedatensãonacorda.2.Doissuportesdefixação3.Cordadeguitarracomdensidadelinearnominalρ=1,84g/m.4.Duasbobinas:-“DRIVER”(dispositivodeexcitação),quepermiteinduziroscilaçõesnacordaeexcitarosseusmodosdevibração;-“DETECTOR”(sensor),quepermitedetectaraamplitudedosmodosdevibração.5.Massadevalor𝑚 = 1𝑘𝑔.6.Geradordesinais.7.Osciloscópio.

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2.2 Montagemexperimental

1) Acordadeveserinstaladasobreabasedaexperiência,ficandopresanumdosladosaocilindrocujaposiçãoécontroladapeloparafusodeajuste(ladoesquerdodabase,nafig.4)edooutroladoaobraçoondesesuspendeamassa.

2) Acordaficaapoiadaemdoissuportescolocadossobreaescalagraduadadabase,osquaisdevemdistar,𝐿 = 60𝑐𝑚,(suportedaesquerdanaposição𝑥 = 10𝑐𝑚;suportedadireitanaposição𝑥 = 70𝑐𝑚;verfig.4).

3) Amassa𝑚 deve ser colocada numa das posições𝑝 = 1, 2, 3, 4, 5 do braço dabase(Fig.4),consoanteatensão𝑇# = 𝑚𝑔𝑝,(𝑔 = 9,8𝑚𝑠a/)aquesepretendesujeitaracorda(Fig.5).

4) Osinaldogeradordesinaisdevealimentaro“DRIVER”eserintroduzidonocanal1doosciloscópio(Fig.4).Osinaldo“DETECTOR”deveserintroduzidonocanal2doosciloscópio.

Fig.4Esquemadamontagemexperimental,incluindoligaçõeseléctricas

Fig.5Aparelhodeforçaparaajustedatensãodacorda.Atensãoaplicadaàcorda𝑇# =𝑚𝑔𝑝,éfunçãodaposição,𝑝,damassa2.1 Determinação da frequência do modo fundamental e da velocidade de

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propagaçãoemfunçãodatensãoaplicadaàcordaParamedirafrequênciadomodofundamentalderessonânciadacorda,emfunçãodatensãoaplicada𝑇# ,eparaumcomprimento𝐿 = 60𝑐𝑚,procedadoseguintemodo:1)Suspendaamassanaposição𝑝 = 5,correspondenteàmaiortensãoaplicadaàcorda.Ajuste o parafuso de forma que o braço da base onde suspendeu a massa esteja nahorizontal.2)Coloqueas2bobinassobreosuporte.Posicioneo“DRIVER”a5𝑐𝑚deumdossuporteseo“DETECTOR”nopontomédiodacordaentreosapoios.3)Ligueogeradordesinaiseoosciloscópio.Seleccioneogeradordesinaisparaondassinusoidaiscomumafrequênciapróximadaqueseriaesperadateoricamenteparaaquelatensãoaplicada(consultarcoluna3doQuadro1).Ajusteaescaladoosciloscópioentre0,1– 0,5𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 no canal 1 e entre 10–50𝑚𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 no canal 2. Coloque oosciloscópioemmodoX-Y.

Fig.6Imagensdogeradoredoosciloscópioutilizadosnotrabalho.OsciloscópiomostraumafiguradeLissajous,obtidaemmodoX-Yquandoossinaiseléctricosdoscanais1e2têmamesmafrequência.4) Ajuste lentamente a frequência do gerador, aumentando-a ou diminuindo-a, atéobservarumafigurasemelhanteaumaelipsenoosciloscópio(Fig.6).Confirmequeparafrequênciasmenoresqueessanãoencontraoutrasituaçãosemelhante.5)Registeasfrequênciasmedidasnogeradornacoluna5doQuadro1.6)Repitaoprocedimento4)-5)paraasoutrasposições𝑝 = 4, 3, 2, 1damassa,nobraçodabase.7) Use o computador que está junto damontagem para gerar, numa folha Excel, umgráficodafunção𝑓B(𝑇#)comoconjuntodepontosexperimentais.Ajusteumafunçãodotipo“power”(potência)aessespontosexperimentais,eutilizeosparâmetrosdeajusteparaestimaradensidadelineardacorda.

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2.2DeterminaçãodafrequênciadevibraçãodomodofundamentalderessonânciaemfunçãodocomprimentodacordaPretendemedir-seafrequênciadomodofundamentalderessonânciadacorda,emfunçãoda tensão aplicada mínima (𝑇# = 𝑚𝑔 ; massa na posição 1), para cinco valores docomprimento𝐿dacorda.

1) Suspendaamassanaposição𝑝 = 1,correspondenteàmenortensãoaplicadaàcorda.Ajusteoparafusodeformaqueobraçodabaseondesuspendeuamassaestejanahorizontal.

2) Mova5𝑐𝑚osuportedefixaçãodadireita,queseencontrajuntodobraçodabase,daposição𝑥 = 70𝑐𝑚paraaposição𝑥 = 65𝑐𝑚.

3) Reposicioneas2bobinassobreosuporte.Mantenhao“DRIVER”a5cmdeumdossuportesecoloqueo“DETECTOR”nopontomédiodacordaentreosapoios.

4) Sigaoprocedimentodescritonospontos4)-5)daparte2.1dotrabalho.

5) Repitaasmediçõesparadiferentesposiçõesdosuportedadireita(movendo-ode5𝑐𝑚em5𝑐𝑚,atéàposição𝑥 = 50𝑐𝑚)edo“DETECTOR”(semprecolocadonopontomédiodacordaentreosapoios).Registeasfrequênciasobtidasnacoluna4doQuadro2.

6) Useocomputadorqueestájuntodamontagemparagerar,numafolhaExcel,umgráficodafunção𝑓B(𝐿),comoconjuntodepontosexperimentaiseajusteumafunção do tipo “power” (potência) a esses pontos experimentais, e utilize osparâmetrosdeajusteparaestimaradensidadelineardacorda.

2.3Determinaçãodasfrequênciasdevibraçãodemodossuperiores(harmónicas)Pretende-semedir as frequênciasdosmodos superiores (harmónicas)de vibraçãodacorda,comtensãoaplicadamínima(𝑇# = 𝑚𝑔;massanaposição1)paraumcomprimento𝐿 = 60𝑐𝑚.1)Calculeasfrequênciasda2ª,3ªe4ªharmónicasanotandooseuvalornacoluna1doQuadro3.Calculeosc.d.o.’scorrespondenteseanote-osnacoluna2domesmoQuadro.2)Coloqueosuportedefixaçãodadireitanaposição𝑥 = 70𝑐𝑚.3)Coloqueo“DRIVER”numaposiçãocorrespondentea(10+𝜆//4)(cm)eo“DETECTOR”numaposiçãocorrespondentea(10 + 𝐿 − 1j

V)(𝑐𝑚).

4)Esboceaformadeondacorrespondenteàoscilaçãodacordaentreospontosdeapoio,nestecaso.

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5)Repitaospontosanteriores,movendoo“DRIVER”para𝜆G/4eo “DETECTOR”para(10 + 𝐿 − 𝜆G/4)(cm)ereajustandoafrequênciadogerador,deformaaexcitaredetectarasharmónicasdeordem3e4devibraçãodacorda.Paracadaharmónicaesboceaformadeondacorrespondenteàoscilaçãodacordaentreospontosdeapoio.