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10Mecânica: Introdução

A Física é a ciência que busca •modelos para a realidade,

•com poder preditivo, •testáveis na própria realidade.

Modelos requintados (mas não complicados: SIMPLICIDADE!)

Matemática muito rica

Primeiro tópico Cinemática: Relação entre posição e tempo

Funções (novidade introduzida por Galileu)

Cálculo Diferencial e Integral(novidades introduzidas por Newton, Leibniz)

Neste curso: modo não rigoroso (focalizar modelo)

Noções cotidianas (“velhas”) Conceitos novos

1

Laboratório(medidas)

Previsão(quantitativa)

Matemática

TeoriaRéguas e relógiosEspaço e tempo

Velocidade médiaVelocidade instantânea

limitesderivadas

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relação entre grandezas (medida no laboratório)representação (gráfico, já exige abstração)

ente matemático (função)

•• O peso (P) de um indivíduo depende da idade (I) P = f(I)

• A quantidade de suor (S) de um corredor depende da distância percorrida (d) S = f(d)

Gráfico? Tabela Figura

Funções? (podem ser simples ou menos simples)

Idade (anos) Massa (kg)0 2,8

0,3 3,5. .. .1 6,3. .. .

10 32,0. .. .

15 43,5. .. .

Cada grandeza temUnidades

e foram definidos, por acordos internacionais,SISTEMAS UNIVERSAIS

MKS, CGS, Atômico ...

Comunicação entre Interessados!

2Funções e Gráficos

Tabela

Figura

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Importante (se possível) expressar a dependência porFUNÇÕES ANALÍTICAS

Tabela t= 0. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 s

d= 0. 1.25 5.0 11.25 20.00 31.25 45.00 m

Exemplo precioso: QUEDA LIVRE (proximidade da superfícieterrestre)

Tabela t= 0,01667 0,03333 ... 0,16667 ... 0,50000 s

d= 0,00136 0,00544 5 ... 0,13611 ... 1,22500 m

Mensurável com o equipamento em sala: descargas elétricas a intervalos detempo constante δt = 1/f = 0,016667 s, comprimento total cerca de 2m, númerode medidas em torno de 3-40!

Estes são números reais, obtidos em uma medida, esta experiência; sefizessemos a mesma experiência com uma altura total de queda maior,

Funções e Gráficos

e tempos medidos em frações inteiras de segundos, obteríamos algo comoesta nova tabela*:

* Estes números não sao reais, são apenas um exemplo aproximado,em números mais fáceis de trabalhar. Além disso, para medidas reaisteríamos que trabalhar com a média de muitas medidas.

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t= 0. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 s

d= 0. 1.25 5.0 11.25 20.00 31.25 45.00 m

Tabela: distância por tempo de queda

Essa constante é um número (neste caso, 5) em unidades [u] que

transformam (tempo ao quadrado) em (comprimento):

finalmente, podemos escrever nossa função (ou seja, distância percorrida em função do tempo)

e no nosso caso a constante é dada em metros por segundo ao quadrado.

Funções e Gráficos

De posse dessa tabela que lista distâncias e tempos, podemos fazer o gráficocorrespondente

Vemos dos dados que a distância percorrida (em metros) é proporcional ao quadrado do tempo (em segundos) mas multiplicado poruma constante de proporcionalidade:

função analítica?

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dependenteindependente

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As funções são escritas em termos das variáveis

que supomos relacionadas pela função para qualquer valor de t e d.Nós fizemos a experiência, e sabemos (“precisão” visual) que afunção é contínua:o corpo passa por todas as posições intermediárias durante a queda.

Para testar o modelo descontínuo,o hobbit pede mais medidas, nostempos intermediários, e, claro, obtém

Novo gráfico, diferente do anterior !

Novo modelo:será que o valor do deslocamento em um instante t não incluído nas

medidas pode ser estimado?

O valor da função em t será igualao valor para o qual a função“tende”?

?d

••

••

t

O corpo passaria de umaposição à outra, diretamente,sem passar pelas intermediárias:uma função descontínua

Suponham um “hobbit”, outra realidade, que recebe só a tabela, sem terpresenciado as medidas e sem nenhuma intuição sobre nossa realidade:este seria um gráfico possível

Funções e Gráficos

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... em linguagem matemática: Limites, DerivadasFunção contínua

A próxima questão importante é sobre a velocidade do corpo,iniciando pela velocidade média, dada pelo quociente

(intervalo de espaço ∆d) / (intervalo de tempo ∆t):

Se usarmos agora o conceito de limites?

6

em que significa com o valor de tão pequeno quanto pudermos.

Funções e Gráficos

t d ∆d ∆d/∆t(s) (m) (m) (m/s)

0 01.25 2.5

0.5 1.25 3.75 7.5

1.0 5.00 6.25 12.5

1.5 11.25 8.75 17 .5

2.0 20.0011.25 22.5

2.5 31.2513.75 27.5

3.0 45.00

Tabe

la

Gráfico

Gráfico velocidade média

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a variação na distânciaé

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A velocidade instantânea é obtida se etendem ao mesmo “ponto”

esse limite é chamado de derivada da função

df e dx são diferenciais(infinitésimos)

Escrevemos a velocidade média

explicitamente, utilizando a função

O quociente éa velocidade média

Funções: Limites e Derivadas

para

if

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c

dc’

a

altura por distância percorrida

inclinação por distância percorrida

O percurso é plano até o ponto a

depois desce (altura H diminui) até c,inclinação negativa

e nesse ponto começa a subir (a alturaainda é negativa até c’, mas a inclinação é positiva)

Já a inclinação passa por um mínimo em b(maior inclinação negativa)

e um máximo em d(maior inclinação positiva)

Imagine um trajeto “montanhoso”,como subir do Auditório até o Edifício Volta.

A inclinação é

Funções: Limites e DerivadasProsseguindo, passamos à aceleração,que é a derivada temporal da velocidade

O conceito de derivada não é limitado a funções do tempo: outro exemplo cotidiano é a inclinação.

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Outro exemplo, ainda distância percorrida (l do inglês “length”, é uma letra muito usada para “comprimento”) por tempo t.Um motorista põe o carro em marcha e atinge uma velocidade constante, alta; deve ficar bruscamente ao semáforo, e voltar atrás para liberar a faixa depedestres. Repara no guarda (uma multa), fica nervoso, sai muito acelerado, depois modera-se e atinge velocidade constante, mais baixa;

finalmente, estaciona.

O gráfico da velocidade agora “cruza o zero” em c e e, pois em um certo intervalo temos

velocidade negativa

o motorista faz marcha a ré.

Expandindo,vemos que entre os instantes

está acelerando para trás, e freia novamente (nesse caso, aceleraçãopositiva)

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distância por tempo de percorrência

velocidade por tempo de percorrência

velocidade “para a frente”, freando;entre c e d volta para liberar a faixa,

Funções: Limites e Derivadas

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Consideremos agora outro tipo de deslocamento, correspondente a movimentos periódicos.Um carrinho de roda-gigante está girando com Velocidade Angular constante (taxa de variação do ângulo que o montante do carrinho fazcom a vertical)

R = comprimento domontante, raio

S = distânciapercorrida,arco

Ângulo = comprimento do arcocomprimento do raio

Por exemplo, para a volta completa,a distância percorrida é o perímetro P

o ângulo é um número puro, que costumamos chamar de radiano

Essas relações são válidas em qualquer círculo: dado o ângulo (em radianos) e o raio, posso calcular o comprimento de qualquer arco. Assim, é comum (prático!) usar o círculo trigonométrico, de raio igual à unidade, para estudaras propriedades de arcos e ângulos.

Vamos usar muito asfunções seno e

cosseno:

Círculo Trigonométricoraio=1

x

10Funções Trigonométricas

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1011Funções Trigonométricas

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Voltando ao carrinho, velocidade angular constante

significa constante.

Ligando o cronômetro (t=0) no ponto mais baixo, temostaxa de variaçãoangular constante

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expressa em radianos por unidade de tempo .

de forma que aocompletar uma volta decorreu um tempo ( período do movimento) e podemos expressar

logo a unidade , (freqüência?)

Esta “é” a função seno

ou seja, de forma matemática

é função de outra função!

e a velocidade da sombra?

Suponham que, com sol a pino, acompanhamos a sombra do carrinho no chão:

projeção da sombra no chão

velocidade da projeção

Funções Trigonométricas

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Voltando à funções trigonométricas, vê-se que

13Funções Trigonométricas: Derivadas

No nosso caso, e vale a “regra da cadeia” (encadeamento de funções):

se

Para a sombra do carrinho

lembrando que

e com (o cosseno do ângulotambém é um número puro)

finalmente(varia com o tempo)

if

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são importantes em todas as áreas da ciência, por representarem funções periódicas bem conhecidas. Muitos processos podem serajustados por funções desse tipo, por exemplo:

Registros históricos do desfolhamento causadopela larva de lárice nos Alpes europeus (1961a 1998). Pontos vermelhos correspondem a áreas com um ou mais anos de desfolhamento detetado. Bjornstad et al, Science 298, 1020 (2002)

A:Larvas de Zeiraphera dinianacausam desfolhamento periódico severo de florestas de lárice; B: Vista de desfolhamento florestal no vale Egandine nos Alpes suíços; C: Estimativa de densidade de larvas (verde) e porcentagem de área desfolhada pela larva no vale (rosa), de 1949 a 1989Ranta et al, Science 298, 973 (2002)

Vemos que a porcentagem de floresta desfolhada pode ser ajustada por uma senóide, com período de aproximadamente 9 anos.

Para o ajuste, foram usadosos seguintes parâmetros:

T0 1956

Meio-Periodo 4.57 anos

Amplitude -3.99%

O que é T0 ???

14Funções Trigonométricas

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A especificação completa da função periódica deve dizer qual aorigem adotada para o eixo dos tempos, quando foi “ligado” o relógio.Para isso, basta adicionar uma constante ao argumento da função senoidal (oucossenoidal) que leva o nome de fase: no exemplo abaixo, a linha sólida é umacosenóide de período 3 segundoe e fase nula (tem seu máximo em t=0)enquanto a linha tracejada tem fase φ= −π/3 (ou +2π/3) correspondente a um“atraso” (-0.5 segundos) para atingir o máximo:

Juntando tudo, uma função senoidal ou cossenoidal do tempo é especificada como

y(t)=Asen(ω t+φ) ou

y(t)=Acos(ω t+φ)

onde A é a amplitude (também batizada de meia-amplitude);

ω=2π/T é a frequência angular, eT é o período da função

φ é a fase inicial, que permite deslocar a função rigidamente ao longo do eixo do tempo.

15Funções Trigonométricas

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Resumindo até aqui, •Existe dependência entre duas grandezas medidas em um processo

podemos escrever uma como função da outra

•A função é contínua podemos dizer que o valor da função em um ponto é igual ao limite da função naquele ponto

•Nesse caso, quase sempre podemos definir a derivada da função

•Como casos importantes, lembrem

•E também que se existe dependência encadeada

•Finalmente, outras dependências usuais:

16Funções: Limites e Derivadas

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Voltando ao estudo do movimento, podemos reunir os exemplos clássicosde Cinemática:

Movimento Retilíneo Uniforme

significa que o espaço percorrido é o mesmo para intervalos de tempo iguais; a velocidade será dada pela derivada

e podemos graficar as funções espaço por tempo, e velocidade por tempo:a função “espaço” é uma soma de duas funções, uma constante e uma que varia com o tempo, enquanto a função “velocidade” é uma constante:

a aceleração será a derivada temporal da velocidade, e é nula:

O próximo exemplo mais simples acontecerá se admitirmos uma aceleração constante, que não varia com o tempo, e dizemos que o movimento é uniformemente variado.

17Resumo: Cinemática

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Movimento Uniformemente Variado

Até aqui, nos restringimos à descrição do movimento, e podemos agora começar a estudar as leis preditivas

A função “espaço” agora é uma soma de três funções:

a velocidade (derivada) é obtida através do limite:

varia uniformemente com o tempo:

a aceleração é constante

18Resumo: Cinemática