Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitualcarlos/palestras/mecanicaQuantica/MecanicaQuantica... · • Ao contrário do que se lê em muitos livros -texto, o fóton

Mecânica Quântica:uma abordagem (quase) conceitual

Carlos Eduardo AguiarCarlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ

I Jornada de Científica do MNPEF

UFPA, setembro de 2015

Sumário

1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica2. Fenômenos quânticos3. Princípios da mecânica quântica4. Sistemas quânticos simples: aplicações

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 2

5. Emaranhamento6. Realismo, contextualidade e não-localidade7. Como seguir em frente: operadores, etc.8. Comentários finais

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica



• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade– ...– ...

• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais– ...



• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham

proeminência pela necessidade de adquirir um domínio

operacional da teoria, essencial a aplicações.

• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem

descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas adescaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a

vetores e um pouco de números complexos. Com isso,

torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.

• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais

o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos

em física, por exemplo).


Fenômenos Quânticos


Charles Addams, New Yorker, 1940

Um experimento com a luz

espelho

detectores de luz D1

D2


feixe luminosopouco intenso

semiespelho (50-50%)

espelho

Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.

D1 D1


D2 D2

ou

50% 50%probabilidade

Se a luz fosse uma onda

D1

D

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.


D2

Se a luz é composta por partículas

D1

D2

D1

D2

... ou D1 dispara, ou D2 dispara.


ou

D2D2

Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.

D


caminho 2

caminho 1

D2

D1

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.


ν1

ν2

átomo de cálcio τ = 4,7 ns



w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

Resultado do experimento de Grangier et al.


Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton • Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)


Outro experimento com a luz

D2

D1

segundo


interferômetro de Mach-Zehnder

segundosemiespelho

feixe luminoso“fóton a fóton”

Preliminares: um feixe bloqueado

50%

25%

25%


1

2

O outro feixe bloqueado

25%

25%


1

2

50%

Resultado fácil de entender com partículas

50%

25%

25%


= caminho do fóton

1

2

De volta ao interferômetro

D1

D2


2

Resultado do experimento:

0%

100%

D1

D2


D2

Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos

caminho 1 caminho 2

25%

25%

25%

25%


1

25%2

25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferençase o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto valeo resultado do experimento preliminar.

)2()1( PPP +=

Proposição*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:


)2(D

)1(DD nnn

PPP +=

probabilidade dodetector Dn disparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho2 aberto

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

Teste da Proposição

Experimentalmente:

%25P )1(D1

=

%25P )2(D1

=

%25P )1(D2

=

%25P )2(D2

=


)2(D

)1(DD nnn

PPP +≠

%100P1D = %0P

2D =

a proposição é falsa!

Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa.


é falsa.

“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si ocoração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.

• Se os dois caminhos forem fechados, nenhumfóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2”também não é aceitável.também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fótonsegue os dois caminhos ao mesmo tempo.


Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,pois a montagem experimental não permite distinguir oscaminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a umaparato capaz de produzir uma resposta.


Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer comas palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron(em um sistema de referência), ele deve especificarexperimentos determinados com os quais pretende medir talposição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics

(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

Fácil de entender num modelo ondulatório

D1

D

interferênciaconstrutiva


D2

interferênciadestrutiva

Comprimentos variáveis

L2

PD2

PD1


L1

L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Resultado experimental:

L1 – L2

0

1

PD1

L1 – L2

1

0

PD2

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.

• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere comele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), ocomprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.


(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD

(2))



P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)



L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)

Interferência de nêutrons


interferômetro de nêutrons

S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

Interferência de átomos


interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometrywith atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)

Interferência de elétrons


A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up

of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

E se os caminhos forem distinguíveis?

interferênciadesaparece !


P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer

at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

E se os caminhos forem distinguíveis?

• Massa = 0• caminho

identificado• não há padrão de

• Massa →∞• caminho não




N ↔ Massa

• não há padrão de interferência

• caminho nãoidentificado

• padrão de interferência

E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho




interferência

Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência(“1 e 2”)


Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

não há interferência

Princípios da Mecânica Quântica


Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Colapso do vetor de estado• Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados


Vetores de Estado e o

Princípio da SuperposiçãoPrincípio da Superposição


Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1



fóton refletido


cara coroafóton transmitido


=2

1

a

aAgrandeza física observável:

a2a1


A = ? a2a1

a2a1medidor de “A”

ou

Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”


Aa1 a2

sistema temA = a1

sistema temA = a2

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões

a


1a

2a

sistema temA = a2

sistema tem A = a1

A notação de Dirac

vetor ↔ L

identificação

aa


↓↑

b↔

21 aa

direitaesquerda

10

exemplos:

O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

2a?


1aAa1 a2

O que muda é o seguinte:

O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.

2211 acac +=ψ


1a

2a ψ

Significado de |ψ⟩

• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?

2a ψ

• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?


1a

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do espaço de estados.


1a

2a

Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

χβ+ϕα=ψ


ϕ

χ ψ

Um ‘detalhe técnico’

• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:esta:


1a

2a

ψc2

c1

Outro ‘detalhe técnico’

• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?


1a

2a

?

A Regra de Born


A Regra de Born

2211 acac +=ψ

a

2a

ψc2

c


1a c1

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

22

21

2n

ncc

c)a(P

+=

(n = 1, 2)

A Regra de Born

2211 acac +=ψ

a2a122

21

1cc

c)a(P

+=


? a2a1

a2a1

medidor de “A”

22

21 cc +

22

21

22

2cc

c)a(P

+=

Probabilidade total

1cc

c

cc

c)a(P)a(P 2

22

1

22

22

21

21

21 =+

++

=+


Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)

Normalização do vetor de estado

22

21 cc +=Ψ

Norma de |Ψ⟩:

2a

ψc2

(tamanho do vetor |Ψ⟩)


1aa 21 ==

1a c1

(tamanho do vetor |Ψ⟩)

Com essa definição:


Ψ

Ψλ=Φ

2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ


|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

c

cc

c)a(P n2

22

1

2n

22

21

2n

n ΨΦ =+

=λ+λ

λ=

Ψ×λ=Φ


Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo

estado físico.

Podemos trabalhar apenas


Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1=Ψ

1cc,acac 22

212211 =++=Ψou seja,

2nn c)a(P =

Vetores normalizados: a Regra de Born

2211 acac +=Ψ

aa2

c)a(P =

(normalizado)


? a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

11 c)a(P =

222 c)a(P =

Amplitude de probabilidade

cn ⇔ amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2

xcxc +=Ψ


nn c)x( =Ψ“função de onda”

2nn )x()x(P Ψ=

2211 xcxc +=Ψ

Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A(N→ ∞)

a2a1

a2a1

Ψ

Ψ

N1 ↔ a1

N2 ↔ a2

acac +=Ψ


Ψa2a1

••• podemos prever

a frequência dosresultados:

211

1 c)a(PNN

==

222

2 c)a(PNN

==

2211 acac +=Ψ

Valor médio dos resultados

valor médio de A:

NaNaN

A 2211 +=

a2a1

a2a1

Ψ

Ψ


Ψa2a1

•••

2211 acac +=Ψ

22

212

1 acacA +=

Incerteza

2211 acac +=Ψ

a

2a

Ψc2

c1, c2 ≠ 0

impossível prever o


possível prever o resultado(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

1a

c1

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ==↔=Ψ

ouSe1c,0ca 212 ==↔=Ψ

Incerteza

2211 acac +=Ψ

∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩

( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆


( ) AAAA)A( −=−=∆

1a=Ψ

ou

2a=Ψ∆A = 0

Complementaridade e o

Princípio da IncertezaPrincípio da Incerteza


Complementaridade

a2a1

A1a

2a

duas grandezasfísicas: A e B


B

b2b1

2b

1b

físicas: A e B

Grandezas compatíveis e incompatíveis

1a

2a

1b

2b

A e B compatíveis


2b

1b

2a

1a

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

O Princípio da Incerteza

2b2a

Ψ

A e B incertos (∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)

A bem definido, B incerto(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)

B bem definido, A incerto


1b

1a

B bem definido, A incerto(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)

O Princípio da Incerteza

2b2a

Ψ

A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0


1b

1a

Exemplo: posição e momentum

Xx1 x2

duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p ⟩, |p ⟩ (“repouso”, “movimento”)


dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)

2p1p

2x

1x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Resumo da “cinemática” quântica

estado físicovetor no espaço

de estados


grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados

Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

2a

a

projeção do vetor de estado no eixo |an⟩

⇓probabilidade damedida resultar

em A = a


grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

1a em A = an

• “Redução” durante uma medida• Evolução unitária (equação de

Como o vetor de estado muda com o tempo?


• Evolução unitária (equação de Schroedinger)

Redução do Vetor de Estado

Redução do vetor de estado

a2a1Ψantes damedida


a2a1 2a depois damedida


2a

Ψ

resultadoA = a2

resultadoA = a


1a

A = a1

medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩


• A redução garante que a medida é repetível: se obtemos

A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos

A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará

em A = an com 100% de probabilidade.

• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível • |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível

e incontrolável do estado quântico; versão moderna do

“salto quântico”.

• A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas

ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido

falar em redução a | an ⟩. Por exemplo, um fóton geralmente é

absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a

primeira medida.


Evolução Unitária

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩

• Dinâmica quântica: determinada pelaenergia do sistema (o conceito de forçaé pouco relevante).


A (solução da) equação de Schroedinger

2E

1E

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2


2211 EcEc)0t( +==Ψ

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ

• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as

componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,

para t ≠ 0 elas serão complexas:

A (solução da) equação de Schroedinger

• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação de

Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e

determinista (sem elementos probabilísticos).


h/tEinn

nec)t(c −=

Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade:

)t()0(

)t()0(

bb

aa

Ψ→Ψ

Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ

)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ


t = 0 t ≠ 0


• Conserva a norma do vetor de estado:

)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ

)0(Ψtamanho não muda


• Conserva o ortogonalidade entre vetores:

)0(Ψ

)t(Ψ

)0(Φ)t(Φ

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares

Demonstração da linearidade

2211b

2211a

EdEd)0(

EcEc)0(

+=Ψ

+=Ψ

ba

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

β+α+β+α=

Ψβ+Ψα=Ψ


222111 E)dc(E)dc( β+α+β+α=

( ) ( ))t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

ba

2/tEi

21/tEi

12/tEi

21/tEi

1

2/tEi

221/tEi

11

2121

21

Ψβ+Ψα=

+β++α=

β+α+β+α=Ψ−−−−

−−

hhhh

hh

Demonstração da conservação da norma

2/tEi

21/tEi

1

2211

EecEec)t(

EcEc)0(

21 hh −− +=Ψ

+=Ψ

2/tEi2

2/tEi1

2ecec)t( 21 +=Ψ −− hh


2

22

21

21

)0(

cc

ecec)t(

Ψ=

+=

+=Ψ

Demonstração da conservação da ortogonalidade

)0(Ψ

)0(Φ)0(Ω

)t(Ψ

)t(Φ )t(Ω


2)0()0()0( =Ψ−Φ=Ω

|Ψ(0)⟩ e |Φ(0)⟩ ortogonais

2)t()t()t( =Ψ−Φ=Ω

|Ψ(t)⟩ e |Φ(t)⟩ ortogonais

• Determinismo• Continuidade• Linearidade


“evolução unitária”

• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade


Estados estacionários

nE)0( =Ψ n/tEi Ee)t( n h−=Ψ

mesma “direção” que |En⟩

• Estado de energia bem definida En:


• |Ψ(t)⟩ e |Ψ(0)⟩ representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

Conservação da energia

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ

2n

2/tEinn cec)t,E(P n == − h


)0()t(EE

ΨΨ=

)0t,E(P)t,E(P nn ==

Eq. de Schroedinger x processos de medida

• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida

• Redução do vetor de estado:– descontínua– probabilística– ocorre durante a medida


Eq. de Schroedinger x processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?

• Equação de Schroedinger: – interação do sistema quântico com outros

sistemas quânticos.– A = a e A = a– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2


O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1 a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| ⟩| ⟩↑ | ⟩


| ⟩| ⟩↑ | ⟩

22 aa ⇒↑

11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo!

aparelho de medida:

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas

no mundo macroscópico?

– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.

– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados

com a observação de apenas alguns poucos estados

macroscópicos?


Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer

processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio denão podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935

• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em

uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não

fosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement


Física quântica x física clássica

físicaquântica

físicaclássica


…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

Os gatos de Schroedinger


Sistemas de N Estados

Você está emtodo lugar


Sistemas de 3 estados

2a

1a a3a1a2

Três valores possíveis para a grandeza A:


1a

3a

332211 acacac ++=Ψ

3,2,1n,|c|)a(P 2nn ==

Sistemas de N estados

2a

1a

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2 ...


3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares) ∑

=

=ΨN

1nnn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2nn K==

Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

∑∞

=

=Ψ1n

nn ac

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:


• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

∫=Ψ a)a(cda

∫′′

′

=′′′a

a

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:

probabilidade:

Exemplo: a = x = posição de uma partícula


∫ Ψ=Ψ x)x(dx


∫ Ψ=2

1

x

x

221 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: Ψ(x)


• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn

nn


Exemplo: a = E = energia de uma partícula

∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn

nn

Aplicações a sistemas simples


Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade


O interferômetro de Mach-Zehnder

0%

100%

D1

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

“ondas”


D2

O interferômetro de Mach-Zehnder

50%

25%

25%


D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”

1

2

Descrição quântica do interferômetro

1 (caminho 1)


2 (caminho 2)

Espaço de estados

2c1c 21 +=Ψ2


=

=2

22

211

cP

cPprobabilidades:

1

Semiespelho

22

11

21

1 +→1 1

2

2evoluçãounitária


22

11

21

2 −→1

2

2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2

unitária

Semiespelho

22

11

21

+

2


22

11

21

−

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade

Interferômetro

D1

D2

2


11

Interferômetro

Primeiro semiespelho: 22

11

21

1 +→

Estado inicial: 1


22

Interferômetro

Segundo semiespelho:

−+

+→+ 2

21

12

12

12

21

12

12

12

21

12

1


ou seja, o estado final é

1221

21

121

21

=

−+

+

interferência destrutiva

interferência construtiva

P1 = 100%P2 = 0%

O que interfere?

221

21

121

21

−+

+

(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)

1


11

2

1 1

22

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

Caminho bloqueado

D2

D1


1

2

Caminho bloqueado

Primeiro semiespelho: 22

11

21

1 +→

Estado inicial: 1


22

Bloqueio: ⊗+→+2

11

21

22

11

21

fóton bloqueado

Caminho bloqueado


⊗+

+→⊗+

21

22

11

21

21

21

12

1



⊗++2

12

21

121

P1 = 25%P2 = 25%P⊗ = 50%

não há caminhos alternativos, logo não há interferência

Por que não há interferência?

(1-1-1) (1-1-2)

1

⊗++2

12

21

121

(1-2-⊗)

2 2⊗


não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência

11 1 1

2

1

2⊗

Caminhos alternativos distinguíveis

D1

D2


mola


Estado inicial: R1

• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento

M2,M1,R2,R1


Primeiro semiespelho: M22

1R1

21

R1 +→

Estado inicial: R1



−+

+→+ M2

21

M12

12

1R2

21

R12

12

1M2

21

R12

1



M221

R221

M121

R121

−++

P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%

P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%

soma de probabilidades,não de amplitudes

Apagando a informação sobre o caminho

D1 100%

D2 0%

mola


mola

Apagando a informação sobre o caminho


−+

+→+ M2

21

R12

12

1M2

21

R12

12

1M2

21

R12

1



R1

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

O palito de fósforo quântico



fóton

• fósforo “bom”


fóton

• fósforo “ruim”



palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

Teste clássico

palito bomqueimado


palito ruim

Teste quântico

D1

D2


Palito ruim

D1 100%

D2 0%

transparente


palito ruim ⇒ D2 nunca dispara

Palito bom

D2 25%

D1 25%50%


palito bom ⇒ D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto

Teste quântico

• D2 → fósforo bom intacto

• D1 → fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende → fósforo bom queimado


Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

Mais aplicações a sistemas simples

• O problema de Deutsch• Molécula de H2

+

• Benzeno• Oscilação de neutrinos• Oscilação de neutrinos• Polarização do fóton• Spin ½• Informação quântica


Emaranhamento


Emaranhamento

|Ψ⟩

sistema I

|Φ⟩

sistema II


|Ψ⟩

subsistema I

|Φ⟩

subsistema II

sistema composto

Emaranhamento

• Estados do sistema composto:

III, ΦΨ≡ΦΨ

III, ΨΦ=ΨΦ

↔ sistema I no estado |Ψ⟩, sistema II no estado |Φ⟩

↔ sistema I no estado |Φ⟩, sistema II no estado |Ψ⟩


• Superposição ⇒ estado emaranhado:

ΨΦ+ΦΨ ,2

1,

21

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas.

• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)


Realismo, Contextualidade e Localidade


“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”

Variáveis ocultas

)(A λ

Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?


)(A λ

variável “oculta” quedetermina o valor de A

grandeza medidano experimento

Experimentos com um sistema composto

I II

AI = ±1 AII = ±1

incompatíveis


BII = ±1BI = ±1

incompatíveis

compatíveis

Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de AI e AII

AI = +1 e AII = +1 ↔ encontrado algumas vezes

2) Medida de A e B2) Medida de AI e BII

AI = +1 e BII = +1 ↔ nunca encontrado

3) Medida de BI e AII

BI = +1 e AII = +1 ↔ nunca encontrado

4) Medida de BI e BII

BI = -1 e BII = -1 ↔ nunca encontrado


Quatro experimentos com um sistema composto

1) P(AI+, AII+) (em %)


A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

grau de emaranhamento

2) P(AI+, BII+) = 03) P(BI+, AII+) = 04) P(BI−, BII−) = 0

Experimentos com um sistema composto

AI = +1 AII = +1

Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:


BI = -1 BII = -1

sempre

!!

Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

Estados de Hardy

( )+−+−++++=Ψ IIIIIIIII B,BB,BB,B31

estado emaranhado


P(BI−, BII−) = 0 ⇐ experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

Estados de Hardy

( )−++=+ AA1

B +B−B

−A

Experimentos 1, 2 e 3:


( )

( )−++−=−

−++=+

AA2

1B

AA2

1B +B

+A

Estados de Hardy

( )1

( )−−++−+−+=Ψ IIIIIIIII A,BA,BA,B26

1

Experimentos 1, 2 e 3:

3)


( )−−+−+++−=Ψ IIIIIIIII B,AB,AB,A26

1

( )−−++−+−++++−=Ψ IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A121

2)

1)

Contextualidade

)C,(A III λ

o que está sendo

medido em II (AII ou BII)

)C,(B III λ


)C,(A III λ

o que está sendo

medido em I (AI ou BI)

)C,(B III λ

Não-localidade

AI AII


I II

AI AII

BIIBI

O teorema de Bell

Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica

é necessariamente não-local.


é necessariamente não-local.

Como chegar aos operadores, autovalores e autovetores


Conexão com os operadores

• Produto escalar: ⟨Φ|Ψ⟩• Projetores: |Ψ⟩⟨Ψ|

• Operador associado à grandeza A:

• Autovalores e autovetores de A:

222111 aaaaaaA +=


• Autovalores e autovetores de A:

Ψλ=ΨA

22

11

a,a

ou

a,a

=λ=Ψ

=λ=Ψ

É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os “eixos” |an⟩ e valores an.

Em seguida:

• Simetrias e grandezas conservadas• Posição e momentum• Partícula em 1 dimensão: aplicações

– Partícula livre– Potenciais constantes por partes: estados ligados,


– Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc.

– Oscilador harmônico

E se houver tempo:

• Partículas idênticas• Partícula em 3 dimensões• Descoerência• Muitos-mundos, de Broglie-Bohm


Comentários finais

• É possível apresentar alguns dos princípios básicos damecânica quântica utilizando apenas matemáticaacessível a professores (e alunos?) do ensino médio.

• Essa abordagem permite descrever apropriadamente amecânica quântica de sistemas simples.


• Aspectos conceituais da mecânica quântica podem serdiscutidos sem as dificuldades criadas por um formalismomatemático pouco familiar.

• “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas esugestões são bem-vindas.

Funciona?


Curtiu?


Documents

Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitualcarlos/palestras/mecanicaQuantica/MecanicaQuantica... · • Ao contrário do que se lê em muitos livros -texto, o fóton