Mecânica Quântica: Mecânica Quântica: introdução e princípios.introdução e princípios.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ.UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ.

Alunos:Alunos: Àlvaro R. Guerra. Gustavo Braga.

Professor: Professor: Dr. Wilker Caetano.

Tópicos.Tópicos.

- As falhas da Física clássica.- Dualidade onda-partícula.- A equação de Schrödinger.- Interpretação de Born para a função de onda.- A informação contida em uma função de onda.- O princípio da incerteza.

As falhas da Física clássica.As falhas da Física clássica.

Radiação do corpo negro.Corpo negro, um corpo capaz de emitir e absorver

uniformemente todas as frequências de radiação. A explicação da radiação do corpo negro (figura1) foi um dos desafios mais perturbadores para os físicos do século XIX, era um problema cuja resolução estava além da física clássica.

A distribuição de Planck.A distribuição de Planck.O Físico Alemão Max Planck estudou a radiação do corpo

negro e, descobriu que poderia explicar os resultados das observações experimentais se, admitisse que a energia de cada oscilador eletromagnético estivesse limitada a certos valores discretos, não sendo alterados arbitrariamente. Planck descobriu que poderia reproduzir a distribuição de valores observados experimentalmente, se admitisse que as energias permitidas do oscilador eletromagnético de frequência (υ) eram múltiplos inteiros de (hυ). Com base nesta hipótese, Planck foi capaz de obter a distribuição de Planck (figura 2).

As falhas da Física clássica.

Capacidade calorífica.Capacidade calorífica.

A capacidade térmica dos sólidos situa-se entre 24-25 J/mol.K e é um valor constante, não variando com a temperatura. A regularidade observada nos valores foi assinalada por Pierre Louis Dulong (1785-1838) e Alexis Petit (1791-1820) em 1819 e tornou-se conhecida como regra de Dulong e Petit, tal que, com algumas exceções. A tabela 1 apresenta valores de Cv para alguns sólidos, expressos em J/mol.K, determinadas a temperatura ambiente.

As falhas da Física clássica.

Rapidamente, as técnicas de resfriamento de sólidos foram se aperfeiçoando, e foram geradas curvas da capacidade térmica dos sólidos a baixa temperatura. A (figura 1) esclarece o que ocorre. Efetivamente, a capacidade térmica dos sólidos não é um valor constante e independente da temperatura, mas diminui com o resfriamento do sólido.

As falhas da Física clássica.

Os valores se sobrepõem, pois foram multiplicados por valores característicos de cada elemento. A possibilidade de se sobrepor tais curvas a partir de fatores constantes indica que a propriedade em questão não depende da composição do material e pode ser compreendida em termos de conceitos fundamentais da física.

De acordo com a física clássica Num cristal, os átomos estão arranjados em uma rede regular tridimensional, em virtude das forças que atuam entre eles como segue figura.

As falhas da Física clássica.

De acordo com a teoria clássica do princípio de equipartição de energia, temos que cada átomo no sólido com seus seis graus de liberdade tem associado a si o valor de energia 6x½kT ou 3kT. Desse modo, a energia por mol de amostra é dada por U=3kNaT ou U=3RT. Do ponto de vista teórico, a situação mais simples trata da capacidade térmica a volume constante. Nessa condição, toda a energia transferida na forma de calor aparece como energia interna do sólido, associada às vibrações (oscilações) dos átomos em torno de seus centros de equilíbrio na rede cristalina. O calor específico a volume constante é definido, então, como Cv=(Q/m)/∆T. Da transferência de calor a volume constante a primeira lei da termodinâmica estabelece que a energia de uma sistema isolado é constante e pode ser expressa como U=q+w. Contudo a volume constante não há realização de trabalho.

As falhas da Física clássica.

Nestas condições podemos escrever: Cv = ∆U/∆T ; Cv=dU/dT; Cv= d(3RT)/dT= 3RdT/dT= 3R. Vemos então que a teoria clássica prevê um valor constante para a capacidade térmica dos sólidos que vale, a partir da constante dos gases ideais, Cv=3x8,314=24,94 ~25 J/K.mol, bastante próximo ao valor limite para altas temperaturas, como observado por Dulong e Petit em 1819. Observe que a variável de temperatura não aparece na equação, ou seja, pela termodinâmica clássica, o valor de CV não depende da temperatura do sólido, em discordância com os resultados experimentais da figura 1.

As falhas da Física clássica.

Predições da Teoria Quântica para Cv. Einstein foi o primeiro a perceber que a hipótese de quantização de energia poderia explicar a anomalia na capacidade térmica dos sólidos. Ele procurou formular o problema a partir de uma simplificação importante, a noção de que cada átomo no sólido oscila a uma única frequência, característica do elemento químico, e que tais oscilações ocorrem de modo independente, isto é, o movimento oscilatório de um átomo não se acopla ao movimento dos seus átomos vizinhos. Ele assumiu então que a energia desses osciladores era quantizada em unidades de hhυυ diferentemente dos pêndulos (osciladores) clássicos e ainda que a energia média por átomo não era dada pelo valor clássico 3kT, mas sim,

As falhas da Física clássica.

Na (figura 1), a linha escura mostra a predição do modelo de Einstein. A concordância entre teoria e resultado experimental é evidente, a menos de valores muito baixos de T. No entanto, não há como negar que a hipótese de quantização de energia dos átomos oscilantes no retículo cristalino tornou-se aceitável. Na prática, a hipótese de quantização da energia vibracional de Einstein sugeria que um átomo, ao vibrar em torno de um centro, não pode fazê-lo com qualquer energia (ou qualquer frequência). Em 1912 o físico holandês Peter Debye refinou o modelo de Einstein para a capacidade térmica dos sólidos levando em conta as interações entre átomos adjacentes, tratando o sistema como constituído por um conjunto de osciladores acoplados. Pequenas diferenças ainda existentes entre teoria e experimento para valores baixos de temperatura foram removidas, conforme pode ser visto na (figura 3).

As falhas da Física clássica.

Figura 3: três previsões para a capacidade térmica dos sólidos: em vermelho, a previsão da termodinâmica, a linha cheia mostra a previsão do modelo de Debye e a linha tracejada mostra a previsão de Einstein. Podemos dizer que, hoje em dia, a teoria quântica da capacidade térmica dos sólidos está completamente estabelecida.

As falhas da Física clássica.

Dualidade partícula-onda.Dualidade partícula-onda.

A luz sempre foi algo de difícil compreensão para os físicos. A razão é porque ela às vezes parecia se comportar como uma onda, às vezes como partícula. Os efeitos de interferência, refração e difração, facilmente observáveis em nosso dia a dia e nos laboratórios de física elementar apontam para um comportamento ondulatório. Entretanto, ao se explicar o efeito fotoelétrico, ela tem comportamento de partícula. A luz parecia ter uma característica “dualista”, ora se comportando como onda ora como partícula, dependendo da situação experimental a que está submetida. Essa ideia intrigava muito os físicos.

Inspirado por tal hipótese, o jovem físico Louis de Broglie sugeriu, em sua tese de doutorado, que, uma vez que a luz exibisse um comportamento corpuscular, o oposto poderia ocorrer, isto é, em alguma circunstância, a matéria poderia ter comportamento ondulatório. A hipótese pareceu exagerada para a época e foi rejeitada pela comunidade científica, contudo, ela sugere que a natureza se comporta com uma elegante simetria, isto é, partículas e ondas podem, sob determinadas situações, exibir comportamento de ondas e partículas, respectivamente, não privilegiando nenhuma dessas entidades.

Dualidade partícula-onda.

Tal ideia se traduziu para de Broglie da seguinte forma: Einstein havia postulado que, se a luz tem comportamento de partícula, ela deve ter um certo momento (p) e um comprimento de onda (λ) que se relacionam por: λ=h/p . Segundo de Broglie, ondas e partículas obedecem à equação acima, de tal modo que, para uma partícula de massa m se movendo à velocidade v, têm um comprimento de onda de de Broglie dado por: λ=h/m.v.

A observação experimental da hipótese de de Boglie.A observação experimental da hipótese de de Boglie.A hipótese sugerida por de Broglie, além de parecer

revolucionária demais, carecia de comprovação experimental. Essa comprovação não tardaria a ocorrer, via experimentos de difração.

Dualidade partícula-onda.

A prova de que partículas podem ter comportamento ondulatório veio pelo experimento conduzido por Sir George P. Thomson. No ano de 1926, ele fez incidir sobre uma folha de alumínio não um feixe de raios X, mas um feixe de elétrons. A (figura 1) mostra o resultado dos difratogramas (como são conhecidas essas impressões sobre anteparos) para a difração de raios X e dos elétrons sobre o alumínio.

Dualidade partícula-onda.

A semelhança entre os dois padrões é extraordinária. A figura à direita mostra claramente que o comportamento dos elétrons ao atravessar o cristal é idêntico ao dos raios X. Comprovou-se, assim, a hipótese de as partículas terem também um comportamento ondulatório.

A equação de Schrödinger.A equação de Schrödinger.

A equação de Schrödinger é a equação fundamental para o modelo de Mecânica Quântica. As soluções dessa equação são conhecidas como funções de onda Ψ(x) e contém a descrição completa de um sistema. A equação aqui abordada não contém a dependência temporal, somente dependência espacial. Por conta disso, suas soluções, conhecidas como funções de onda de estado estacionário, não descrevem a dinâmica dos sistemas, mas apenas situações que não variam com o tempo. Por exemplo, não seremos capazes de investigar, como ocorrem as transições eletrônicas ou de outra natureza, em função do tempo.

A equação de Schrödinger não pode ser deduzida de sistemas mais simples. Devemos considerá-la como um postulado fundamental da Mecânica Quântica. Do mesmo modo, as equações de Newton, tal como F=ma, não podem ser deduzidas de outras situações mais simples. Devemos lembrar, no entanto, que a equação de Schrödinger deve atender às noções de dualidade partícula-onda (e portanto contemplar características de cada um desses objetos) e, ainda mais, deve ter algum aspecto de interpretação probabilística. A famosa equação de Schrödinger é apresentada abaixo.

A equação de Schrödinger.

As soluções dessa equação são as funções Ψ(x), conhecidas como funções de onda de uma partícula, a equação é independente do tempo e, como já foi dito, ela descreve estados estacionários, então as funções de onda Ψ(x) são funções de onda de estados estacionários. Vamos reescrevê-la de outro modo, multiplicando os dois termos por —k2/2m e aplicando propriedade distributiva. A energia total da partícula foi considerada como a soma de suas energias cinética e potencial. A equação de Schrödinger preservou em parte essa noção, na medida em que a soma de dois termos, um deles contendo a energia potencial (U(x)) resulta em termo que contém a energia total (E).

A equação de Schrödinger.