Microsoft Word - Serie 0 Rev.docxFilipe Joaquim IST 2017
MECÂNICA  QUÂNTICA  II   Ano  lectivo  2017/2018  –  Docente  :  Filipe  R.  Joaquim  
  Série  0  :  Revisões     Problema  0.1  –  Um  sistema  quântico  tem  dois  estados  próprios  |1⟩  e   2  de  energia   ',)  .  Além  da  energia,  o  sistema  é  caracterizado  por  um  observável  ,  cujo  operador    actua  nos  estados  próprios  de  energia  do  seguinte  modo:       1 = 2    ;       2 = 1 .   Assumindo   que   o   sistema   está   inicialmente   no   estado   próprio   +  de     correspondente  a   = 1,      
(a)   qual  o  estado  do  sistema  para  qualquer  t>0?     (b)   Qual  a  probabilidade  de  encontrar  o  sistema  num  estado  com   = 1  ao  fim  de  um  
intervalo  de  tempo  Δ?  
  Respostas:  (a)       = '
= ) − ' 2  .  
  Problema  0.2  –  Considere  uma  partícula  escalar  cuja  função  de  onda  é  dada  por:    
=   2 + + 3CD  ,  
onde   = ) + ) + )    e  ,    são  constantes  reais.   (a)   Qual  o  momento  angular  total  da  partícula.   (b)   Qual  o  valor  esperado  da  componente  z  do  momento  angular  total.   (c)   Se  LZ  fosse  medido,  qual  a  probabilidade  de  o  resultado  dar  .  
Respostas:  (a)   ) = 2  )    (b)   H = 0    (c)  P H = = 1/6  .     Problema   0.3–   Determine   os   coeficientes   de   Clebsch-­Gordan   correspondentes   à   adição  de  dois  momentos  angulares  com  '=1  e  )=1  e  confirme  o  resultado  com  os   da  tabela  de  Clebsch-­Gordan.     Problema  0.4–  As   partículas   elementares   (e   também  as   compostas)   são  por   vezes   classificadas  por  um  número  quântico  denominado  isospin  ,  cujas  propriedades  são   as  mesmas  do  spin.  Considere  as  reacções:  
3 → 3R  , R3  ,  SS     que  ocorrem  através  de  ressonâncias  com  isospin  total  bem  definido.  Tendo  em  conta   que  o  isospin  se  conserva  e  que  as  partículas  acima  descritas  estão  distribuídas  pelos   estados  próprios  de  isospin  da  seguinte  forma:  
 ,
3 ,  
determine  as  probabilidades  relativas  associada  a  estes  processos  quando  ocorrem   através  de  uma  ressonância  com   = 1.     Respostas:   P(3 → 3R, = 1 )=1/2,     P(3 → R3, = 1 )=1/2,   P(3 →  SS  , = 1)=0.     Problema   0.5   –   Um   electrão   | ↑  ⟩  encontra-­se   no   estado   V'S  do   átomo   de   hidrogénio.   Se   fizermos   uma   medida   de   J2   do   electrão,   quais   os   valores   que   poderemos  obter  e  com  que  probabilidades.     Resposta:   Pode-­se   obter   J2=j(j+1) )  com   j=3/2   e   j=1/2   com   probabilidades   P(j=3/2)=2/3,  P(j=1/2)=1/3.     Problema  0.6  –  Um  sistema  de  duas  partículas  de  spin  ' = 3/2  e  ) = 1/2    é  descrito   pelo  Hamiltoniano  H  =  A  S1  .  S2  ,  com  A  constante.  Em  t=0,  o  sistema  encontra-­se  no  
estado   ',Z'⟩  |),Z)   = [ ) , ' )   | '
) , − '
) 3V4\7/(]) 1,1 ,  na  base  dos  estados  
próprios  do  spin  total   ,_ .    (a)  P [ ) , [ )   '
) , − '
)   , = [
]  sin2()  .  
  Problema  0.7   -­  Suponha  que  o  potencial   de  Coulomb  varia   com    segundo  1/'Rb   com   1.   Determine   o   efeito   do   desvio   à   interacção   de   Coulomb   nos   níveis   de   energia  2  e  2  do  átomo  de  H  e  obtenha  um  limite  para    comparando  a  diferença   de  energia   induzida  entre  aqueles  dois  estados  e   sabendo  que  experimentalmente   este  desvio  obedece  a:  Δ/  ≤ 10]kHz.     Resposta:  |)Z − )g| = 'S/6  ,   ≤ 1.8×103j.     Problema  0.8  –  Um  rotor  rígido  quântico  de  momento  de  inércia    e  momento  dipolar   eléctrico    está  constrangido  a  rodar  no  plano  xy  em  torno  a  um  eixo  perpendicular   ao  plano  de  rotação  e  que  passa  pelo  centro  de  massa.  O  Hamiltoniano  do  sistema  é:      
S = − )
2 )
)  ,  
onde    é  o  ângulo  que  o  rotor  faz  com  o  eixo  dos  xx  num  determinado  instante  de   tempo.  
  (a)   Determine   as   funções   de   onda   próprias   do   sistema   e   correspondentes   níveis   de  
energia.  
Coloca-­se   agora   o   rotor   num   campo   eléctrico   uniforme   = Sp .   Tratando   a   interacção  do  dipolo  eléctrico  com    como  sendo  uma  perturbação,      
(b)   encontre  as  correcções  não  nulas  aos  níveis  de  energia  do  rotor  em  ordem  mais  baixa   de  teoria  de  perturbações.  
Respostas:  (a)  q = ' )r  4qs  , = 0,±1,±2,… , q
(S) = :q:
  ' ]q:3'
     Problema  0.9  –  Considere  um  átomo   tipo  Hidrogénio   resultante  de  um  átomo  de   Alumínio  (Z=13,A=27)  ao  qual  se  retiraram  todos  os  electrões  excepto  um.  Pretende-­ se  neste  problema  determinar  qual  o  efeito  do  tamanho  finito  do  núcleo  nos  níveis  de   energia  do  átomo.  Para   isso,  considere  que  a  carga  do  núcleo  está  uniformemente   distribuída  numa  esfera  de  raio   = 1.2×103'['/[.      
Resposta:  (') = {|}:
)rbx~x  
V 1.4  ×103[  eV.  
  Problema  0.10  –  Dois  protões   localizados  no  eixo  dos   zz   a  uma  distância    um  do   outro  são  sujeitos  a  um  campo  magnético  constante   = SH.    
(a)  Considerando  apenas  a  interação  do  momento  magnético  de  cada  protão  4 = 2S4/  (onde  S  é  o  magnetão  de  Bohr  e  4  o   spin  de  cada  protão)   com  o   campo  magnético  S = − ' + ) . ,  determine  os  estados  próprios  e  energias   correspondentes  do  sistema.    
(b)  Tratando  a  interacção  entre  os  dipolos  magnéticos  dos  protões:  
g = 1 [ '. ) − 3
('. )(). ) )  
como  perturbação,  determine  as  energias  próprias  em  primeira  ordem  de  teoria      de   perturbações.   Respostas:  (a)  Os  estados  próprios  são  os  estados  próprios  do  spin  total  do  sistema,   nomeadamente   ,_ = 1,1  , 1,0  , 1, −1 , 0,0   .   As   energias   são:   ','
(S) =
(S) = S,S (S) = 0  .  
(b)   ',' (') = −2  SS −
1a  Série  de  problemas  :  Métodos  Variacional  e  WKB  
Problema  1.1  –  Considere  uma  partícula  sob  acção  de  um  potencial  unidimensional   = %.   Use   o   método   variacional   para   encontrar   um   valor   aproximado   para   a   energia   do   estado   fundamental.   Compare   o   resultado   com   o   valor   exacto   ' = 1.06-//1/(2),   onde   = 2/-.  Escolha  como  função  teste  
=   2  
B C
-D  .  O  desvio  em  relação  ao  resultado  exato  é  de  aproximadamente  2%.  
Problema  1.2  –  Se  o  fotão  tivesse  massa  (E ≠ 0),  a  interacção  de  Coulomb  seria  substítuida  por  
= − -
 
onde   = E/.  Usando  uma  função  de  onda  à  sua  escolha,  estime  a  energia  de  ligação  de  um   átomo  de  Hidrogénio  descrito  pelo  potencial  dado  em  cima  (Potencial  de  Yukawa).    Considere  o   limite   1  e  dê  a  sua  resposta  em  ordem   -.  
Resposta:  ' / 1 − 2 + 1 - -  ,  onde  / = −13.6  eV.  
Problema  1.3  –  Considere  um  sistema  quântico  cujos  estados  próprios  do  Hamiltoniano    são   |U⟩  (i=1,2,3,...,n),  aos  quais  correspondem  as  energias  (' < / < - < < Y).  Seja  |⟩  um   ket  normalizado  qualquer.  Mostre  que  se   ' = 0,  então  / ≤ | ,  onde  /é  a  energia   do  primeiro  estado  excitado.  Consegue  idealizar  uma  situação  em  que  este  resultado  possa  ser   útil?  
Resposta:  O  resultado  pode  ser  usado  para  estimar  a  energia  do  primeiro  estado  excitado  de  um  sistema.  
Problema   1.4   –   Considere   uma   partícula   de   massa     e   energia     sujeita   a   um   potencial   unidimensional:  
= ∞    , <
( − ),       ≥    com   > 0.  
(a)  Esboce  o  potencial  e  identifique  os  pontos  de  retorno  clássico.   (b)  Determine  os  níveis  de  energia  da  partícula  usando  a  aproximação  WKB.  
/ -
-/1 .  
Problema  1.5  –  Recorrendo  à  aproximação  WKB,  determine  os  níveis  de  energia  dos  estados    de   um  electão  que  se  encontra  ligado  a  um  núcleo  de  carga    pelo  potencial  de  Coulomb   = −-/(4').  Comente  sobre  a  qualidade  da  aproximação  realizada,  comparando  o  resultado   com  o  resultado  exato.  
Resposta:  (b)  Y = − d>D ->
e>
%fgh
- / Y>  ,  que  coincide  com  o  resultado  exato  para  os  níveis  de  energia  de  um  átomo  
hidrogenóide.  
Problema  1.6  (2º  Exame  CMQ  2011/2013)  –  Considere  o  decaimento  de  um  núcleo   dA    ( 2)   em  outro  núcleo   d;-
A;%  com  emissão  de  uma  partícula    (um  núcleo  de  Hélio  constítuido  por  dois   protões   e   dois   neutrões).   A   este   tipo   de   decaimento   dá-­se   o   nome   de   decaimento   ,   e   é   vulgarmente  representado  por:  
dA → d;- A;% +  .  
Em   1928,   G.   Gamow   e,   independentemente,   R.  W.   Gurney   e   E.   U.   Condon,   propuseram   um   modelo  teórico  simples  para  o  decaimento  ,  baseado  no  fenómeno  de  tunelamento.  Pretende-­ se  neste  problema  que  reproduza  os  resultados  obtidos  por  Gamow,  Gurney  e  Condon.  Para  isso,   considere  que  antes  do  decaimento  a  partícula    se  encontra  dentro  do  núcleo    de  raio    sujeita   a  um  potencial  atractivo  constante  igual  a  −'  para   < .  Após  o  decaimento,  a  partícula      é   emitida   com   uma   certa   energia  ,   encontrado-­se   fora   do   núcleo   ( > )   sujeita   apenas   ao   potencial  repulsivo  de  Coulomb:  
= 2 − 2 -
4'  
(a)  Esboce  o  potencial  a  que  está  sujeita  a  partícula    e  identifique  os  pontos  de  retorno  clássicos   para  uma  energia   > 0.  
(b)  De  modo  a  escapar  do  núcleo,  a  partícula    tem  de  penetrar  a  barreira  de  potencial  na  região   < < n.  Tratando  o  problema  a  uma  dimensão,  mostre  que  o  coeficiente  de  transmissão   na  aproximação  WKB  para  essa  barreira  de  potencial  é:  
= exp n sD_ >   - − % − arccos  , =
2 −2 2 40
 .    
onde    é  a  massa  da  partícula    e  - ≡ /n.  
Respostas:  (a)  Pontos  de  retorno:  / =    - = n = - d;- e>
%fgh_  .  
Problema  1.7  –  Uma  partícula  de  massa    está  sujeita  ao  potencial  unidimensional:  
= −    , ≤ 0  , > 0  
(a)  Se  a  partícula  tiver  energia  E,  quais  os  pontos  de  retorno  clássicos?  
(b)  Usando  a  aproximação  WKB,  estime  a  energia  no  estado  próprio  |⟩.  
Respostas:  (a)  Pontos  de  retorno:  / = −/      e  - = /.    (b)  Y = / -
1f<{ D(<|{)
 
Problema  1.8  (1º  Teste  2012/2013)  –  O  sistema  upsilon  (Υ)  consiste  nos  estados  ligados  de  um   par  quark    e  anti-­quark    ().  Considere  que,  para   = 0  (estados  S)  o  potencial  que  descreve   o  par    é  dado  por:  
=   + '    (  e  '  são  constantes  positivas),  
onde    é  a  distância  entre    e  .  A  cada  nível  de  energia  Y  deste  potencial  corresponde  uma   ressonância  denominada  por  Υ(S)  com  uma  massa  igual  a  Y.  Tratando  o  problema  como  sendo   unidimensional:  
(a)    Esboce  o  potencial  e  descreva  os  pontos  de  retorno  clássicos.   (b)    Use  a  relação  de  quantização  de  energia  WKB  adequada  para  determinar  os  níveis  de  energia  
Y  com   = 1,2,3,4, …   (c)    Sabendo   que   as   massas   das   ressonâncias   Υ(1S)   e   Υ(2S)   são   9.46   GeV   e   10.023   GeV,  
respectivamente,  use  o  resultado  da  alínea  anterior  para  prever  o  valor  da  massa  do  estado   Υ(3S)  (o  valor  experimental  é  10.355  GeV).  
Respostas:  (b)  ' = _;h
 .    (c)    Y = ' + − / %
-/1 1f - -K
Problema  1.9  (2º  Exame  MQII  2011/2012)  
 
=>
=B .  
  (b)  Determine  os  níveis  de  energia  quânticos  de  uma  partícula  de  massa    sob  a  acção  do  campo  
gravítico  terrestre,   i.e.   = ,  onde    é  a  altura  a  que  a  partícula  está  em  relação  à   superfície  terrestre  (considere  que  a  partícula  não  pode  penetrar  a  superfície  terrestre  e  trate   o  problema  como  sendo  unidimensional).  
 
 
Problema  1.10  -­  Considere  uma  partícula  de  massa    cuja  dinâmica  é  descrita  pelo  Hamiltoniano:    
= -
1 4 %  .  
Usando  como  teste  para  o  estado  fundamental  do  sistema  uma  combinação  linear  dos  estados   próprios   do   oscilador   harmónico   |0⟩   e   |2⟩   do   tipo   = cos  |0⟩ + sin  |2⟩,   use   o   método   variacional  para  determinar   .  Particularize  para  o  caso   1-/.  
Notas:       = -D
 
CD> |2⟩  
  Problema  1.11  -­  Considere  um  eletrão  no  interior  de  um  metal  como  estando  confinado  num  poço   de  potencial  com   = 0    para  − < < 0  e   = + W  para   ≥ 0  e   ≤ −.   > 0  é  a   energia  de  Fermi  e  W > 0  é  a  função  trabalho  do  metal.  Aplica-­se  um  campo  elétrico  constante   = −'=  (' > 0)  à  superfície  do  metal,  ou  seja,  para   ≥ 0.  Determine,  usando  a  aproximação   WKB,  o  coeficiente  de  transmissão  correspondente  à  emissão  por  tunelamento  de  um  eletrão  que   se  encontra  no  nível  de  energia  de  Fermi  no  interior  do  metal  (a  este  fenómeno  dá-­se  o  nome  de   emissão  por  campo  ou  tunelamento  Fowler-­Nordheim).  Como  varia  a  intensidade  de  corrente  dos   eletrões   emitidos   com   '?   Justifique   se   o   resultado   matemático   que   obteve   faz   sentido   fisicamente.    
Sugestão:  Fazer  esquemas  de  antes  e  depois  de  o  campo  ser  aplicado  pode  ajudar...  
Resposta:   exp − % 1
Ano  lectivo  2017/2018  –  Docente  :  Filipe  R.  Joaquim  
2a  Série  de  problemas  :  Simetrias  em  MQ  
Problema  2.1  –  Mostre  que  o  gerador  das  translações  no  tempo  é  dado  por  −/,  onde    é  o   Hamiltoniano.  
Problema  2.2  –  Considere  uma  partícula  de  massa  m  que  se  move  num  poço  de  potencial  infinito   (-­L  <  x  <  L).  No  instante  t=0,  o  estado  da  partícula  é  descrito  pela  seguinte  função  de  onda:  
() = * √, sin 01  3
4, 5.  
Qual  a  probabilidade  de  encontrar  a  partícula  num  estado  de  paridade  +1  para  qualquer  instante   de  tempo  t>0.  
Resposta:   A   probabilidade   é  zero   já   que  o  Hamiltoniano  do   sistema  é   invariante   debaixo   de  7.   Logo,   a  paridade   conserva-­se  pelo  que  nunca  poderá  ser  positiva  para  t>0  se  for  negativa  para  t=0.  
Problema  2.3  –  Considere  os  estados  próprios  do  momento  angular  |⟩.  Mostre  que    
 Π=  |⟩ = (−1)  |⟩,    
onde    Π=    é  o  operador  paridade.  
Problema  2.4  (Regras  de  selecção  de  paridade)  –  Suponha  que  |⟩  e  |⟩  são  estados  próprios  de   paridade  C  e  D,  respectivamente:  
 Π=|⟩ = C  |⟩          ,      Π=|⟩ = D  |⟩  .  
Seja  F  um  operador  Hermítico.  Mostre  que:  
(a)   Se  [F,  Π=] = 0,  então  ⟨  |F|⟩ ≠ 0  se  CD = 1.   (b)  Se  {F,  Π=} = 0,  então  ⟨  |F|⟩ ≠ 0  se  CD = −1.  
Problema  2.5  –  Por  vezes  a  transformação  de  paridade  podem  estar  relacionada  com  rotações   no  espaço.  No  entanto,   isto  não  acontece  como   regra  geral.  Dê  um  exemplo  de  um  potencial   V(x,y,z)  que  seja  invariante  debaixo  de  transformações  de  paridade  mas  que  não  seja  invariante   debaixo  de  rotações.    
Resposta:  Por  exemplo  (, , ) = 4 + 4 + .  
Problema  2.6  –  Mostre  que  os  elementos  de  matriz  ⟨SS||⟩  só  não  se  anulam  entre  estados   com  S =  e  S + = 2 + 1,   = 0,1,…  
Problema  2.7  –  Considere  os  estados  próprios  do  momento  angular  orbital  |,  ⟩.  Mostre  que   X  |,  ⟩ = 4Z  |,−  ⟩  ,  onde  X  é  o  operador  reflexão  temporal.  
Problema   2.8   –   Considere   um   sistema   quântico   descrito   por   um   Hamiltoniano  =   invariante   debaixo  da  transformação   → −.  Mostre  que  se  |⟩  for  um  estado  próprio  não  degenerado  de   energia  _,  então  a  função  de  onda  correspondente  é  real  (a  menos  de  uma  fase  constante).  
Problema  2.9  –  Considere  um  sistema  cujo  Hamiltoniano  é  invariante  debaixo  de  um  grupo  de   transformações  contínuas  =.  Mostre  que  se  |⟩  é  um  estado  próprio  de  energia  _  e    =|⟩ ≠ |⟩   então  o  estado  |⟩  é  degenerado  com  todos  os  estados  =|⟩.    
Problema  2.10  –  Determine  a  paridade  do  estado  próprio  |⟩  de  um  oscilador  harmónico  a  uma   dimensão.  
Resposta:  7|⟩ = (−1)_|⟩.  Logo,  a  paridade  do  estado  |⟩  é  (−1)_ .  
Problema  2.11   –  Considere   a=, 7b = 0   num  sistema  com  um  estado  próprio   degenerado   |⟩.   Mostre  que  |⟩  pode  não  ser  um  estado  próprio  de  paridade.    
Problema   2.12   –   Considere   que   uma   partícula   de   spin   zero   se   encontra   sob   a   acção   de   um   potencial  central  ()  tão  assimétrico  que  não  existem  estados  próprios  de  energia  degenerados.   Considerando  que   o  Hamiltoniano   é   invariante   debaixo   da   transformação   → −,   prove   que   ⟨    |  e  |    ⟩ = 0  onde  e  é  o  momento  angular  orbital  e  |    ⟩  é  um  estado  próprio  de  =  qualquer.       Problema  2.13  –  O  Hamiltoniano  de  um  sistema  com  spin  1  é  dado  por  
= = Fh4 +  (  F34  −  Fj4  ),  
com  A  e  B  reais.    
(a)  Determine  os  estados  próprios  normalizados  deste  sistema  e  os  respectivos  valores  próprios.     (b)  Verifique  se  o  Hamiltoniano  é  invariante  debaixo  de  reflexão  temporal.     (c)   Determine  os  estados  próprios  transformados  por    X.  
  Respostas:   (a)   Valores   próprios:   * = 0, 4 = ( + )4,k = ( − )4.   Estados   próprios:   |1⟩ = |1,0⟩, |2⟩ = (|1,1⟩ + |1, −1⟩)/√2,  |3⟩ = (|1,1⟩ − |1, −1⟩)/√2,  escritos  na  base  dos  estados  próprios  de  m.  (b)  O  Hamiltoniano   é  invariante  debaixo  de    X.  (c)  X|1⟩ = |1⟩, X|2⟩ = −|2⟩, X|3⟩ = |3⟩.      
MECÂNICA QUÂNTICA II
Ano lectivo 2017/2018 – Docente : Filipe R. Joaquim
3a Série de problemas : Rotações, momento angular e Teorema de Wigner-Eckart
Problema 3.1 – Determine a matriz de rotação (1)() sabendo que:
Resposta:
Problema 3.2 – Usando o resultado do problema anterior para (1)() e a forma de (1/2)()
obtida nas aulas teóricas, determine 3
2 , 3
Problema 3.3
(a) Mostre como se transforma o operador vetorial debaixo de uma rotação finita em torno do
eixo dos z’s e segundo um ângulo .
(b) Mostre como se transforma um operador vetorial debaixo de uma rotação em torno do
eixo dos y’s, segundo um ângulo .
(c) Mostre que: .
(a) (b)
Problema 3.4 – Use o teorema de Wigner-Eckart para mostrar que para um operador vetorial ,
os elementos de matriz do operador . (onde é o operador momento angular total) são dados
por:
, | . | , = [ , 1; , 0|, − 1
√2 , 1; , 1|, + 1 √( + 1) − ( + 1)
+ 1
√2 , 1; , −1|, − 1 √( + 1) − ( − 1)] ⟨ ⟩
Tendo em conta a expressão para os elementos de matriz de um operador vetorial dada pelo
teorema de Wigner-Eckart, mostre que se pode escrever a relação:
e use este resultado para mostrar que
Problema 3.5
(a) Mostre que o elemento de matriz ⟨2,0|10|1,0⟩ é:
(b) Use o resultado da alínea anterior e o teorema de Wigner-Eckart para provar que:
Problema 3.6 – Usando o teorema de Wigner-Eckart e a expressão geral que permite calcular o
integral de três harmónicos esféricos
Mostre que os elementos de matrix reduzidos do harmónico esférico (, ) são dados por:
Problema 3.7
(1) e 2
(2) forem dois tensores esféricos irredutíveis de ordem 1 e 2,
respetivamente, então
()
1,2
1
é um tensor esférico irredutível de ordem .
(b) Construa um tensor esférico de ordem 1 a partir de dois vetores = ( , , ) e =
(, , ).
(c) Determine um tensor esférico irredutível de ordem 2 a partir de dois vetores = (, , )
e = (, , ).
(1) = −
1
(2) = −
1
−1 (2)
(2) =
1
Problema 3.8 – Determine
,
para qualquer . Verifique o resultado para ′ = ±1/2 (tenha em conta a forma de ′ (1/2)
()
Problema 3.9
(a) Escreva , e (2 − 2) como componentes de um tensor esférico irredutível de ordem 2
(use o resultado do problema 3.7.c com = = = (, , ).
(b) A quantidade
= ⟨; , = | (32 − 2)| ; , = ⟩ ,
é chamada momento quadripolar. Calcule ⟨; , ′ | (2 − 2)| ; , = ⟩ em termos de e
de coeficientes de Clebsch-Gordan adequados.
Respostas: (a) 2 − 2 = +2 (2)
+ −2 (2)
; = (+2
(2) −−2
⟨,2;,0|,⟩
Problema 3.10 – Considere o protão e o neutrão (|⟩ e |⟩) como dois estados de isospin
diferentes do nucleão, i.e., |⟩ = | 1
2 ,
1
(a) Encontre os estados possíveis de dois nucleões.
(b) Considere o operador = (3 + 1/2) e determine |⟩ e |⟩, Qual o significado físico do
operador .
Resposta:
(a)
(b) |⟩ = |⟩ ; |⟩ = 0. O operador representa a carga elétrica.
Problema 3.11 – As interações fortes conservam o isospin. Explique então porque razão a reação
+ → + 0 não se observa, tendo em conta que () = () = 0 e () = 1.
Resposta: ( + ) = 0 ≠ ( + 0) = 1 , logo a reação é proíbida porque o isospin não se conserva.
Problema 3.12 – O sistema (−, 0, +) pode ser visto como três estados de isospin distintos.
Determine os estados possíveis de isospin total do sistema pião-nucleão.
Resposta:
Problema 3.13 – As interações fortes conservam o isospin, ou seja, 2 e 3 permanecem
constantes. Dito de outra forma, pode dizer-se que as interações fortes são invariantes debaixo
de rotações no espaço do isospin. Tendo em conta que a probabilidade de ocorrência de um
decaimento controlado pela interação forte é proporcional a |⟨ || ⟩|2 onde representa o
potencial responsável pela interação, determine as probabilidades relativas dos decaimentos
Δ+ → 0 e Δ+ → +, sabendo que para o Δ+, = 3/2 e 3 = 1/2.
Resposta:
4a  Série  de  problemas  :  Sistemas  de  N  partículas  
Problema  4.1-­  Considere  um  sistema  de  três  partículas  que  não  interagem  entre  si  e  que  estão   confinadas  a  um  poço  de  potencial  infinito  de  largura    (  V(x)=0,  0  <  x  <      e  V(x)=∞,  x<0,  x  >    ).   Determine  a  energia  e  a  função  de  onda  do  estado  fundamental  e  do  primeiro  estado  excitado   do  sistema  nos  seguintes  casos:  
(a)  Partículas  escalares  com  % < ' < (.   (b)  Bosões  idênticos  de  spin  0.   (c)   Partículas  de  spin  ½  com  % < ' < (.   (d)  Electrões  no  estado  | ↑  ⟩.  
Problema  4.2-­  Determine  os  níveis  de  energia  e  as  funções  de  onda  dos  três  primeiros  estados  de   um   átomo   com   dois   electrões   (considere   que   a   única   interacção   existente   é   a   interacção   de   Coulomb  entre  o  núcleo  do  átomo  e  cada  um  dos  electrões).  
Problema  4.3-­  Determine  a  energia  e  a   função  de  onda  do  estado  fundamental  e  do  primeiro   estado   excitado   de   duas   partículas   independentes  movendo-­se   sob   a   acção   de   um   oscilador   harmónico  comum  no  caso  de:  
(a)  duas  partículas  idênticas  de  spin  1  sem  momento  angular  orbital.   (b)  duas  partículas  idênticas  de  spin  ½.  
Problema  4.4-­  Duas  partículas   idênticas  de  spin  1/2  encontram-­se  confinadas  numa  caixa  com   duas  paredes  rígidas  colocadas  em   = 0  e   = .  Sabendo  que  as  partículas  se  encontram  num   estado  de  tripleto  de  spin,  determine  a  energia,  as  funções  de  onda  e  as  degenerescências  dos   três  primeiros  estados.  
Problema  4.5-­  Considere  um  sistema  de  duas  partículas  idênticas  de  spin  ½  que  não  interagem   entre  si  e  que  estão  confinadas  a  um  poço  de  potencial  infinito  de  largura    (  V(x)=0,  0  <  x  <      e   V(x)=∞,  x<0,  x  >    ).  Se  o  estado  do  sistema  for  descrito  pela  função  de  onda:  
Ψ %, ', %, ' = 2   sin
2% sin
5' + sin
2' sin
5% (%, ')  
onde  %  e  '  são  as  coordenadas  das  duas  partículas  e  (%, ')  é  a  função  de  onda  de  spin.  
(a)  (%, ')  é  um  estado  de  singleto  ou  tripleto?   (b)  Determine  a  energia  do  sistema.  
Problema  4.6  -­  Considere  um  sistema  de  duas  partículas  indistinguíveis  de  spin  ½  que  estão  sob   acção  de  um  oscilador  harmónico  comum.  Assuma  que  o  estado  do  sistema  é  descrito  pela  função   de  onda  
Ψ %, ', %, ' = 2
=' ' − % exp −
%' + ''
2='  (%, ')  
(a)  (%, ')  é  um  estado  de  singleto  ou  tripleto?   (b)  Determine  a  energia  do  sistema.  
Problema  4.7  (1º  Teste  MQII  2011/2012)  –  O  deuterão  ()  é  um  núcleo  de  carga  +1  composto   por  um  protão  e  um  neutrão  ().  O  spin  e  paridade  do  deuterão  são,  respectivamente,  D = 1  e   D = 1.  Um  pião  negativo  (G)  de  carga  -­1  e  spin  HI = 0  pode  ser  capturado  por  um  deuterão   formando  um  estado  ligado   %( G +  que  decai  em  dois  neutrões,  ou  seja,  
%( G + → +  .  
Sabendo  que  os  dois  neutrões  são  fermiões  de  spin  ½,  determine  a  paridade  intrínseca  do  pião,   tendo  em  conta  que  o  momento  angular  total  e  a  paridade  se  conservam  no  decaimento  acima   indicado.  
Problema  4.8  (1º  Exame  MQII  2011/2012)  –  Considere  uma  partícula  sujeita  a  um  determinado   poço  de  potencial  unidimensional  cujos  auto-­estados  de  energia  M  são  descritos  pelas  funções   próprias:  
% , ' ,  (  , …  com  % < ' < ( < .  
Considere  agora  duas  dessas  partículas  (sem  interação  mútua)  nesse  poço  de  potencial.  
Determine  a  energia  total,  o  grau  de  degenerescência  e  as  funções  de  onda  possíveis  para  os  dois   estados  de  menor  energia  do  sistema  se  as  duas  partículas  forem:  
(a)    Idênticas  de  spin  1/2.   (b)    Idênticas  de  spin  1.  
Problema  4.9  (2º  Exame  MQII  2011/2012)  –  A  porfirina  é  uma  molécula  presente  na  clorofila,   hemoglobina,  e  outros  compostos  orgânicos  importantes.  Alguns  dos  aspetos  associados  à  Física   das  propriedades  desta  molécula  podem  ser  estudados  considerando  um  modelo  simples  em  que   18   electrões   estão   constrangidos   a   mover-­se   num   anel   de   raio   = 1  .   Para   cada   um   dos   electrões,  o  Hamiltoniano  livre  é  dado  por:  
M = − '
Despreze  a  interação  entre  os  electrões.  
(a)  Determine  as  funções  de  onda  próprias  Z M  normalizadas  para  um  dos  eletrões  no  anel   de  porfirina  e  as  respectivas  energias.  
(b)  Quantos  electrões  existem  em  cada  nível  de  energia  quando  a  molécula  se  encontra  no  estado   fundamental?  
 
Problema  4.10   (1º   Exame  MQII   2012/2013)   –   Duas  partículas   idênticas  de  massa     e   spin   1   encontram-­se  sob  a  ação  de  um  oscilador  harmónico  comum  de  frequência  .  Assuma  que  no   instante   = =  o  estado  do  sistema  é  descrito  pela  função  de  onda  
Ψ %, ', %, ' = 1
=' ' − % exp −
%' + ''
2='   %,^_, ',^` .  
(c)   Em  que  estados  de  spin   %,^_, ',^`  podemos  encontrar  o  sistema?   (d)   Determine  a  energia  do  sistema.  
Qual  a  probabilidade  de  se  encontrar  o  sistema  num  estado  próprio  de  paridade  +1  para   > =.  
(e)   Repita   a   alínea   anterior   no   caso   em   que   as   partículas   interagem   entre   si   segundo   uma   interação  spin-­spin  do  tipo  %. '.  
Notas:  Oscilador  harmónico:  
'
G(/' exp − '
   Z = + % '  
Problema  4.11  (2º  Exame  MQII  2012/2013)  –  Um  átomo  de  Hélio  é  constituído  por  um  núcleo   com  2  protões  (Z=2)  e  dois  neutrões  e  por  dois  eletrões  ligados  ao  núcleo  pela  força  de  Coulomb.   Considerando  apenas  a  interação  de  Coulomb  entre  cada  um  dos  eletrões  e  o  núcleo:  
(a)  Descreva,  justificando,  as  funções  de  onda  possíveis     %, ', %,^_, ',^`  para  o  estado   fundamental  do  átomo  de  Hélio  (%  e  '  referem-­se  à  posição  de  cada  um  dos  eletrões  num   referencial  com  origem  no  núcleo  e  %,^_, ',^`  são  os  respetivos  números  quânticos  de   spin).  Qual  a  energia  e  o  grau  de  degenerescência  deste  estado?  
(b)   Considere  agora  a  configuração   1 % 2 %  do  átomo  de  Hélio.  Descreva  as  funções  de  onda   %, ', %,^_, ',^`  com  spin  total  bem  definido  para  este  estado.  Qual  a  energia  e  o   grau  de  degenerescência  do  estado   1 % 2 %?  
Tenha  agora  em  conta  efeito  de  repulsão  entre  os  dois  eletrões.    
(c)   Mostre  que,  em  primeira  ordem  de  teoria  de  perturbações,  a  energia  do  estado  fundamental   do   átomo   de   Hélio   é   dada   por   % 2 ' − gh
i =,   onde   =   é   a   energia   do   estado  
fundamental   do   átomo   de   Hidrogénio.   Comente   este   resultado   comparando-­o   com   o   resultado  obtido  na  alínea  (a).  
(d)   Sem  efectuar  cálculos,  diga  justificando  quais  as  configurações  do  spin  total  dos  dois  eletrões   que  correspondem  ao  estado   1 % 2 %  com  energia  mais  baixa.  
(e)   Mostre  que,  em  primeira  ordem  de  teoria  de  perturbações,  a  diferença  de  energia    entre   os  estados   1 % 2 %  com  spin  total  igual  a  0  e  1  é  dada  por:  
= '
2= 4 ' 1
|% − '|  %= % %= ' '= % '= ' (%('  .  
Notas:   ZG n o   = Zp%!pr  
=   , %= = 2 h st
u ` G
x_Gx  (' = 4   'GU
 .    
Problema  4.12  –  Os  quarks,   constituintes  dos  bariões  e  mesões,  existem  na  natureza  em  três   estados  diferentes  de  um  número  quântico  denominado  côr.  Cada  tipo  de  quark  existe  em  três   estados  distintos  de  côr   , |⟩  e     (red,  green  e  blue)  que,  para  efeitos  práticos,  podem  ser   vistos  como  as  três  projeções  possíveis  de  um  spin  de  côr  (que  nada  tem  a  ver  com  o  spin  das   partículas).  Considere  agora  um  barião  constituído  por  três  quarks   |%'(⟩   ligados  pela   força   forte  (que  trata  todos  os  quarks  de   igual  modo).  Determine  a  parte  da  função  de  onda  de  côr   deste  barião,  e  determine  as  suas  propriedades  debaixo  de  simetria  de  troca,  sabendo  que  os   estados  compostos  de  quarks  são  sempre  singletos  de  côr.     Problema  4.13  –  O  protão  é  uma  partícula  de  spin  ½  constituída  por  dois  quarks  up  ()  e  um   quark  down  ().  Considerando  o  número  quântico  de  isospin  ,  os  quarks    e    podem  ser  vistos   como  sendo  as  projeções  distintas  (  de    (tal  como  um  eletrão  com  spin  up/down  corresponde   às  duas  projeções  distintas  do  spin  do  eletrão  em  z).  É  usual  dizer-­se  que  quarks  com  (  diferente   têm  sabor  diferente.  Tendo  em  conta  que  os  quarks    estão  ligados  no  protão  pela  força  forte   (para  a  qual  os  quarks  são  todos  idênticos  independentemente  do  seu  sabor,  spin  ou  côr)  e  que   o  protão  tem  isospin  total    =  (=1/2   (a)  Determine  a  parte  da  função  de  onda  do  protão  com   = 1/2  correspondente  ao  isospin  e  
ao  spin,  ^sx^MZ  (considere  a  aproximação  em  que  a  função  de  onda  espacial  não  tem  
qualquer  dependência  no  momento  angular  orbital  dos  quarks  constituintes).  Lembre-­se  que   os  quarks  têm  côr  !  
=
   
Ano lectivo 2017/2018 – Docente : Filipe R. Joaquim
5a Série de problemas : Teoria de perturbações dependentes do tempo (TPDT)
Problema 5.1 – Considere uma partícula no estado fundamental de um poço de potencial infinito. Em t=0, perturba-se o sistema de tal modo que o potencial passa a ser:
= $ se 0 ≤ ≤ /2 0 se /2 ≤ ≤ ∞ otherwise
onde $ 6. Depois de um intervalo de tempo T, a energia da partícula é medida. Qual a probabilidade (em primeira ordem de TPDT) de o resultado dessa medida ser 7.
Problema 5.2 – Considere um oscilador harmónico a uma dimensão com frequência angular e carga eléctrica . No instante de tempo t=0, o oscilador encontra-se no estado fundamental. Um campo eléctrico de intensidade constante é aplicado durante um intervalo de tempo . Caracterize as transições possíveis em primeira ordem de teoria de perturbações e determine as respectivas probabilidades. Problema 5.3 – Um oscilador harmónico encontra-se no estado fundamental para t<0. Para ≥ 0, aplica-se ao sistema uma perturbação do tipo , = $?AB/C. (a) Para que estados pode o sistema transitar após um intervalo de tempo Δ, em primeira ordem
de TPDT. (b) Calcule a probabilidade de o oscilador transitar para cada um dos estados identificados na
alínea anterior após um intervalo de tempo suficientemente longo ( → ∞). (c) Em segunda ordem de teoria de perturbações as transições possíveis continuam a ser as que
identificou na alínea (a)? Justifique a sua resposta por palavras usando, no máximo, uma equação (pode nem usar nenhuma).
Problema 5.4 – Considere um sistema composto por duas partículas de spin 1/2. Para t<0, o Hamiltoniano não depende dos spins e pode ser considerado como nulo (ajustando convenientemente os níveis de energia). Para t>0, o Hamiltoniano é dado por:
= 4Δ 7 .
Suponha que o sistema está no estado | ↑↓ ⟩ para ≤ 0. Determine a probabilidade (em função do tempo) de o sistema se encontrar nos estados ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ e | ↓↓⟩:
(a) Resolvendo o problema exactamente. (b) Usando TPDT em primeira ordem. Comente o resultado.
Problema 5.5 – Um oscilador harmónico encontra-se no estado fundamental para t<0. Para ≥ 0, aplica-se uma força espacialmente uniforme
= $AB/C
(a) Use TPDT em primeira ordem para determinar a probabilidade de o oscilador se encontrar no primeiro estado excitado para t>0. Mostre que para → ∞, esta probabilidade é constante.
(b) Podemos encontrar o sistema em estados com ≥ 2?
Problema 5.6 – Considere um oscilador harmónico unidimensional de carga q e frequência $ num estado excitado > 0.
(a) Qual a taxa de decaimento por emissão espontânea do estado excitado para o estado fundamental e a potência média radiada por este oscilador.
(b) Obtenha uma estimativa da taxa de decaimento determinada na alínea anterior e o tempo de vida do estado |⟩ para um electrão a oscilar à frequência $ = 3×106Wrad/s.
(c) Verifique a validade da aproximação dipolar para o caso do electrão da alínea anterior.
Problema 5.7 – Um átomo de Hidrogénio encontra-se no estado 2. Determine a taxa de transição associada às transições 2 → 1 (Lyman-α) e o tempo de vida médio do estado 2.
Problema 5.8 – A aproximação dipolar consiste em desprezar a variação espacial do campo eléctrico de uma onda electromagnética, i.e.
exp . = 1 + . + 1. (Eq. 1)
Suponha que consideramos agora o termo de primeira ordem na expansão acima. A presença deste termo dá origem a transições vulgarmente denominadas de proíbidas (ou de dipolo magnético e quadrupólo eléctrico).
(a) Mostre que a taxa de transição por emissão espontânea para as transições proíbidas é dada por:
c→d = 7e
$e . i. 7
onde e i são as direcções do campo eléctrico e de propagação, respectivamente. (Não se preocupe em fazer a média nos estados de polarização e nas direcções de propagação).
(b) Mostre (fazendo agora as médias convenientes) que para um oscilador harmónico unidimensional as transições proíbidas dão-se entre os níveis e − 2 com uma taxa de transição dada por
= 7?( − 1) 15$7e
(c) Mostre que as transições 2 → 1 no átomo de Hidrogénio (que não ocorrem na aproximação dipolar) continuam a não ser permitidas quando se considera a aproximação dada na eq. (1).
Problema 5.9 – Um átomo de Hidrogénio no estado fundamental é sujeito a um campo eléctrico
oscilante opq = $ sin . Calcule a probabilidade por unidade de tempo de o átomo ser ionizado (taxa de ionização) com eletrões emitidos na direção zz.
Problema 5.10 – Um átomo de Hidrogénio no estado fundamental é sujeito a um potencial , = $ cos( − ). Use teoria de perturbações dependentes do tempo para obter uma expressão para a taxa à qual o electrão é emitido com momento . Qual a distribuição angular do electrão ejectado.
Problema 5.11 – Suponha que devido a uma pequena força violadora de paridade, o nível 22S1/2 tem uma pequena mistura do nível 22P1/2. Descreva os elementos de matriz que correspondem à desexcitação deste estado na aproximação dipolar? O que acontece se o estado inicial for o estado 22S1/2 puro?
Problema 5.12 – Uma partícula encontra-se no estado fundamental de um poço de potencial infinito com paredes em = 0 e = . Esta última parede é repentinamente deslocada para = 2.
(a) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no estado fundamental do novo poço de potencial.
(b) Suponha que as paredes do poço inicial [0, ] são retiradas e que a partícula se encontrava no estado fundamental. Qual a distribuição de probabilidades para o momento da partícula após ser libertada.
Problema 5.13 – O número atómico de um núcleo muda repentinamente de Z para Z+1 por decaimento . Qual a probabilidade de um electrão no estado n=1 do núcleo pai se encontrar no estado n=1 do núcleo filho após o decaimento ? (Despreze qualquer interacção que não seja a atracção entre o electrão e o núcleo).
Problema 5.14 – Considere um neutrão sujeito a um campo magnético de intensidade constante $ e direcção segundo um angulo com o eixo dos zz. O vértice do campo magnético descreve uma circunferência na superfície esférica de raio $. Calcule explicitamente o potencial de Berry
para o estado próprio do sistema com spin up, e encontre o valor da fase de Berry para este exemplo específico de caminho fechado .
Problema 5.15 (1º Exame MQII 2012/2013) – Um sistema quântico é descrito pelo Hamiltoniano , cuja dependência temporal é controlada por um conjunto de parâmetros
= [6 , 7 , … , ],
Suponha que inicialmente o sistema se encontra no estado próprio | ⟩ de e que posteriormente se submete o sistema a uma transformação adiabática durante a qual descreve um caminho fechado no seu espaço -dimensional. Mostre que se a função de onda for real, então a fase de Berry () associada à transformação adiabática atrás referida é nula. Problema 5.16 (2º Exame MQII 2012/2013) – Um sistema quântico é descrito pelo Hamiltoniano , cuja dependência temporal é controlada por um conjunto de parâmetros = [6 , 7 , … , ]. Suponha que o sistema evolui adiabáticamente de = 0 a = enquanto varia de (0)a () descrevendo um caminho (não necessáriamente fechado) no seu espaço -dimensional. Considere que a base dos estados próprios ortonormais de () é constítuida pelos estados | ⟩.
(a) Mostre que a fase geométrica () adquirida pelo sistema durante o processo adiabático acima descrito é sempre real. (b) Considere agora que se transforma o estado | ⟩ segundo uma transformação de gauge → () , onde () é uma função real de e únicamente definida para cada . Como se transforma o “potencial-vetor” = ⟩ debaixo desta transformação e qual o efeito na fase geométrica () se for aberto? Comente sobre a relevância física de () neste caso. Se for um caminho fechado qual o efeito da transformação em ()? Comente de novo.
Problema 5.17 (2º Exame MQII 2012/2013) – Considere um sistema composto por duas partículas de spin 1/2. Para < 0, o Hamiltoniano não depende dos spins e pode ser considerado como nulo (ajustando convenientemente os níveis de energia). Para ≥ 0, o Hamiltoniano é dado por: = W
7 + 7 , onde é o spin total do sistema. Suponha que para ≤ 0 o sistema está
no estado | ↓↑ ⟩. Determine a probabilidade (em função do tempo) de o sistema se encontrar nos estados ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ e | ↓↓⟩ num instante > 0, usando teoria de perturbações em primeira ordem.
MECÂNICA QUÂNTICA II
6a Série de problemas : Scattering
Problema 6.1 – Considere o scattering de uma partícula de massa µ e momento = & por um potencial de Yukawa:
() = + /0/2

onde + e são constantes reais e positivas. (a) Calcule a secção eficaz diferencial em primeira aproximação de Born. (b) Obtenha a secção eficaz total. Problema 6.2 – Considere o scattering de um nucleão por um núcleo pesado de raio . O efeito do núcleo pesado pode ser representado pelo potencial:
() = 4−+ , < 0, >
(a) Calcule a secção eficaz diferencial em primeira aproximação de Born. (b) Explique como poderia usar o resultado da alínea anterior para medir .
Problema 6.3 – Considere o scattering de uma partícula de massa pelo potencial
( ) = +/0/2
(a) Determine a secção eficaz diferencial na primeira aproximação de Born. (b) Esboce a dependência angular da secção eficaz diferencial para = 0 e = 1. Para
que valores aproximados de o scattering começa a ser significativamente anisotrópico. (c) Discuta a validade da primeira aproximação de Born nos limites de alto e baixo . Qual
dos limites é mais restringente no que respeita ao valor do potencial?
Problema 6.4 – A amplitude de scattering neutrão-protão pode escrever-se como:
() = ⟨@ A + F. H | J ⟩
onde e são constantes e | ⟩J,@ representam os estados finais do spin do protão e do neutrão.
(a) Determine a amplitude de scattering para todas as combinações de estados iniciais e finais do sistema protão-neutrão.
(b) Determine a secção eficaz diferencial para o scattering |+ ⟩H → |+ ⟩H e |+ ⟩H → |− ⟩H quando o spin do protão emergente não é medido pelo detector.
(c) Determine a secção eficaz |Singleto⟩ →|Singleto⟩, |Tripleto⟩ →|Tripleto⟩ e |Singleto⟩ → |Tripleto⟩.
Problema 6.5 – Considere um caso de difusão a baixas energias pelo potencial
() = ( − )
(a) Determine a amplitude de scattering e as secções eficazes diferencial e total na 1ª aproximação de Born de baixas energias.
(b) Repita a alínea (a) considerando energias arbitrárias e compare o resultado com o obtido anteriormente.
Problema 6.6 – Considere o problema de difusão por um potencial do tipo esfera rígida:
() = 4 ∞ , < + 0, > +
a baixas energias (++ 1).
(a) Usando o método das ondas parciais, determine o desvio de fase, a amplitude de scattering, e as secções eficazes diferencial e total para ondas ( = 0).
(b) Escreva a equação radial de Schrödinger com ( = 1) e determine a solução da mesma para scattering de ondas .
(c) Determine o desvio de fase das ondas e obtenha o limite a baixas energias.
Problema 6.7 – Considere um poço de potencial quadrado
() = 4−+ , < 0, >
(a) Calcule os desvios de fase para difusão de ondas e a baixas energias. (b) Determine a condição de ressonância para as ondas e . (c) Calcule a secção eficaz total fora da ressonância para 1 e S +.
Problema 6.8 – Considere o scattering de partículas pelo potencial V(r)=g/r2, onde g é uma constante positiva.
(a) Determine os desvios de fase das ondas parciais. (b) Qual a dependência da secção eficaz diferencial na energia das partículas incidentes.
(c) Considere TUV W
1. Determine os desvios de fase neste limite e a secção eficaz diferencial.
Problema 6.9 – Use a aproximação de Born para exprimir a secção eficaz diferencial de Coulomb de uma carga pontual por uma distribuição de carga do tipo:
() = 1
Z/TZ /0W/[W
como o produto da secção eficaz diferencial de Rutherford e o quadrado do factor de forma ().
Problema 6.10 – Considere o scattering de neutrões com energia E = 1 MeV por um alvo. Sabendo que a distribuição angular dos neutrões no centro massa é isotrópica e que a secção eficaz total medida é de 0.1 , determine o desvio de fase das ondas parciais envolvidas.
Problema 6.11 – Uma partícula sem spin S encontra-se num estado ligado esféricamente simétrico cuja função de onda é S = ()/Z/Texp (−T/T), onde é o “tamanho do estado ligado”. Se uma partícula sem spin T interagir com S segundo o potencial ( − e) = +ZZ( − e):
(a) Calcule, em primeira aproximação de Born, a amplitude de scattering elástico de T por S (não de preocupe com a normalização).
(b) Como varia a distribuição com a energia das partículas incidentes e como poderia usar a distribuição para determinar o “tamanho” do estado ligado S.
Problema 6.12 – Considere o scattering de um feixe de partículas de spin 1/2 e massa m por um alvo constituído por núcleos pesados, também de spin 1/2. A interacção de uma das partículas incidentes com um núcleo pode ser descrita como
(S, T, S, T) = S. T (Z)(S − T),
onde é uma constante pequena e S, T definem a posição das partículas incidentes e do núcleo, respectivamente. Calcule a secção eficaz total, fazendo a média nos estados iniciais de spin.
Problema 6.13 – Duas partículas idênticas de spin ½ e massa m interagem segundo o potencial () = T exp(−) /. Considere o scattering entre duas destas partículas de energia E no centro de massa (assuma que a energia é alta).
(a) Calcule (no centro de massa) a secção diferencial para partículas emergentes segundo um ângulo relativamente ao eixo da direcção das partículas incidentes.
(b) Assumindo que as partículas são observadas segundo um ângulo relativamente ao eixo do feixe, qual a probabilidade de, após o scattering, as duas partículas serem detectadas num estado de spin total S=1? E num estado em que ambas as partículas têm i = +1/2?
Problema 6.14 – Mostre que a secção eficaz para o espalhamento de um electrão rápido por um átomo de Hidrogénio no estado fundamental é dada por:
Ω =
onde + é o raio de Bohr.
MECÂNICA QUÂNTICA II