Mecânica Quântica: Função de Onda

Teorema de Fourier: representar a partícula como uma superposição de muitas ondas.

dkekax ikx)()0,(Função de

onda do elétron

Amplitude da onda com número de onda k=2/

Somando quantidades variáveis de um infinito

número de ondasExpressão senoidal para harmônicos

Partícula: meio partícula…meio onda…

dxProbabilidade de encontrar um elétron entre x and x+dx

(x,t)2

Grande número de eventos:Comportamento estatístico

1),(2

dxtx

dxtxPb

a 2),( dxtxP

b

a 2),(

Assumindo que a partícula exista, em qualquer instante ela se encontra em algum lugar:

Procurando bem…

Você vai encontrar sua partícula uma única

vez

Função de Onda

Função clássica típica para uma partícula que se propaga na direção +x:

)sin(),( tkxAtx

)sin(),( tkxAtx

tkxtkxAtkxA

txtx

cossin2)sin()sin(

),(),(21

21

partícula desaparece para múltiplos inteiros de /2, 2/3, etc.

Analogamente, para a partícula que se propaga na direção –x:

Sabemos ainda que se 1 e 2 são ambas permitidas, 1 + 2 também será (Princípio da superposição)

Função de Onda

)cos(),( tkxAtx

)cos()}(cos{),( tkxAtkxAtx

x

Função de Onda

Considere outra função clássica típica

Trocando k -k e -:

sincossincos

EulerdeEquação

ieie

i

i

)}sin(){cos(),( )( tkxitkxAAetx tkxi

Representação gráfica de um número complexo z como um ponto no plano complexo.

As componentes horizontal e vertical representam as partes real e imaginária respectivamente.

Função de Onda

Função de Onda

Partícula: meio partícula…meio onda…

A partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que: Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula É uma função complexa É unívoca, finita e contínua Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas

2 2

22

dU E

m dx

Função de Onda: Probabilidades (Max Born 1926 - Nobel 1954)

Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a

probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.

-

*

*

1),(),( :ãoNormalizaç

),(),(),( :adeprobabilid de Densidade

dxtxtx

txtxtxP

Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…

“Deus não joga dados

com o universo”

(A. Einstein)

“Einstein, pare de dizer a Deus o que

fazer”

(Niels Bohr)

Função de Onda: Probabilidades (Max Born 1926 - Nobel 1954)

t

txitxtxV

x

tx

m

),(

),(),(),(

2 2

22

2

2

2

2

2

22

22

:Laplaciano

;),(

),(),(),(2

:3D Em

zyx

t

tritrtrVtr

m

A Equação de Schrödinger (Nobel 1933)

V(x,t): energia potencial e, se V(x) tiextx )(),(

Eq. Schrödinger independente do tempo:

)()()()(

2 2

22

xExxVx

x

m

)()(

222

2

2

22

2

2

22

2

22

2

22

2

22

),( :geral Solução2

)( :Solução

2

2

)( )(

1

2

1

)]()([)]()([

2

)()(),( : variáveisde Separação

),(),(

2

tkxitkxi

ikx

tiiEt

BeAetxm

kEk

dx

dex

mE

dx

dE

dx

d

m

EeetiE

dt

dE

dt

di

Edt

di

dx

d

m

t

txi

x

tx

m

txtxt

txi

x

tx

m

Relação de dispersão

(k)

(eletrons)

2

2

m

k

(fotons)

ck

k

Exemplo: partícula livre (V=0)

Observável: valor esperado

Valor esperado: resultado que se espera encontrar para a média de muitas medidas de uma certa quantidade.

Observável: qualquer quantidade mensurável para a qual podemos calcular o valor esperado (posição, momento, energia…)

Valor esperado de um observável: REAL

Valor médio de uma variável discreta x:

3 3 4 4

Variável discreta variável contínua Probabilidade P(x,t) de observar a

partícula em um certo valor de x

Função de onda valor esperado de x: < x >

Valor esperado de uma função qualquer g(x) para uma função de onda normalizada: < g >

Observável: valor esperado

Valor esperado do momento: necessário representar o momento p como função de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma partícula livre (V=0) com respeito à x:

Valor esperado e Operadores

pk

Logo: Podemos associar ao momento um operador:

Valor esperado de p:

A posiçao x é seu próprio operador. Considere a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre:

Valor esperado e Operadores: Posição e Energia

Logo:

Podemos associar à energia um operador:

Valor esperado de E :

2E h h

posição x x

momento p

energia potencial V V(x)

energia cinética K

energia total E

xi

2

22

2 xm

ti

obs

erv

áve

lo

pera

dor

Operadores

A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.

o potencialenergia cinética

Energia cinética + potencial = energia total

kpm

pKE ;

2

2

t

txitxxV

x

tx

m

),(

),()(),(

2 2

22

),(),(),(

livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O

:linear momentoOperador

)()( txptxkekex

itxp

px

ip

p

tkxitkxiop

op

op

op

Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida.

Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem valor bem definido, com incerteza nula.

Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.

Operadores, autofunção e autovalor

Operadores, autofunção e autovalor

),(),(),(

livre? partícula da onda de função na operamos quando acontece que O

: energiaOperador

)()( txEtxeet

itxE

Et

iE

E

tkxitkxiop

op

op

op

2

22

222

: cinética energiaOperador

xmm

xi

xi

m

ppT

T

opopop

op

Cxex

xx

tkxi

op

)(

:posição da autofunção uma é não livre partícula da a que Note posiçãoOperador

A da partícula livre também é uma autofunção do

operador energia, com autovalor ħ.

Operadores e a Eq. Schrödinger

o potencialexpressão para energia cinética

Energia cinética + potencial = energia total

kpm

pKE ;

2

2

t

txitxxV

x

tx

m

),(

),()(),(

2 2

22

no)Hamiltonia(operador

op

opopop

EH

EVT

energia da sautovalore osencontrar permite Solução

sautovalore de Equação

de teindependenr Schrödinge Eq.

EH

t

)()()()(

2 2

22

xExxVx

x

m

Partícula Livre

2 2

2

k

m

2

22

m

kE

k

E Momento bem determinado: posição desconhecida

2px x

Qualquer energia positiva é permitida

(E varia de forma contínua)

0ou ,

0 ,0)(

:Potencial

xLx

LxxV

m

kEBeAex

Edx

d

m

xVLx

xxLx

ikxikx

2 ;)( :Solução

livre) partícula a (como 2

:erSchroeding Eq.

:0)( temos,0 Em

0)(:proibida) (região 0ou Em

22

2

22

Partícula na Caixa: Poço de potencial infinitoV

Regiã

o

pro

ibid

a Regiã

o

pro

ibid

a

x0 L

xkAx

mL

n

m

kE

L

nk

nnkLkLALLx

kxAeeAx

BABAx

L

Lxx

nnn

nnn

ikxikx

sen)( :onda de Funções

)quantizada (energia

22

...)3,2,1(0sen)( : Em

..)constante. uma de menos (a

sen)(

0)0( :0 Em

0)()0(:CONTORNO DE CONDIÇÃO

e 0 em contínuaser deve onda de Função

2

22222

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

E1

E2

E3

V

Regiã

o

pro

ibid

a

Regiã

o

pro

ibid

a

x0 L

n : número quânticoPoço de potencial infinito

Condições de contorno: =0 para x = 0 e x = L. Soluções válidas para kL = nπ onde n=inteiro.

Função de onda:

Normalizando:

Idênticas à corda vibrante com extremos fixos.

Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

Número de onda quantizado:

Resolvendo para a Energia: Energia depende dos valores de n; Energias quantizadas e não nulas Energia do estado fundamental:n = 1

Probabilidade de observar a partícula entre x e x+xem cada estado :

Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

P < 100 %100% - P

P = 100 %Barreira

V

x0 L

Regiã

o

pro

ibid

a Regiã

o

pro

ibid

a

Barreira de Potencial

V

x0

V0

E < V0E

1 2

EVm

DeCex

EVEVm

dx

d

EVdx

d

m

xx

0

2

020

2

2

02

22

2 onde

,)( :Solução

0 ,2

2

:rSchrödinge Eq.- 2 Região

mEk

m

kE

BeAex ikxikx

2

2

refletida) (incidente

)(

:livreelétron - 1 Região

22

1

Potencial degrau

Encontrar B, C e D em termos de A

)1(

:0 em contínuaser Deve

0

:divergir pode não onda de Função

0,)(

0,)(

2

1

DBA

x

C

xDeCex

xBeAexxx

ikxikx

Aik

ikDDA

ik

ikA

Aik

ikBBABAik

DikBikA

dx

d

dx

d

x

xx

2

)()(

:obtemos (2), e (1) Combinando

)2(

:0 em contínuas derivadas ter Deve

0

2

0

1

Função de onda e suas derivadas: Finitas Contínuas

Barreira de potencial e Efeito Túnel

V

x0

V0 (x)

xe

Existe uma probabilidade de

encontrar o elétron na região classicamente

proibida

V

x0

(x)

a

incidente

refletido

transmitido

Se a barreira for suficientemente

pequena (largura a) o elétron poderá ser

transmitido (tunelar) com uma certa

probabilidade: EFEITO TÚNEL a

trans eaP 22

2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html

Regiões I e III:

Barreira e Tunelamento:

Região II:

Partícula com energia E incide sobre uma barreira de potencial Vo

E > V0

Onda incidente, refletida e transmitida: Eq. Schrödinger nas 3 regiões:

Barreira e Tunelamento:

Soluções: Onda se move para a direita:

Probabilidades de Reflexão e Transmissão

Probabilidade de reflexão R ou transmissão T :

R + T = 1.

Aplicando condições de contorno: x → ±∞, x = 0 e x = L

T pode ser = 1.

Existe probabilidade finita da partícula penetrar na barreira e aparecer do outro lado!

Probabilidade de transmissão descreve o fenômeno de tunelamento

E < V0

Classicamente a partícula não possui energia para vence a barreira

Tunelamento

Função de onda no Tunelamento