INTRODUO MECNICA QUNTICAnotas de curso

Ileana Maria GrecaVictoria Elnecave Herscovitz

n.13 2002

Programa de Ps-Graduao em Ensino de FsicaUFRGS

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NDICE NDICE 1

INTRODUO 3

PLANO DA UNIDADE 5

COMPUTAO QUNTICA 6

COMPUTAO CLSSICA VS. COMPUTAO QUNTICA 6 A CLULA DA COMPUTAO QUNTICA: O QUBIT 7 BIBLIOGRAFIA 9

EFEITO FOTOELTRICO 10

BIBLIOGRAFIA 11

EXPERINCIA PARA OBJETOS QUNTICOS SIMPLES 12

UMA EXPERINCIA COM PARTCULAS CLSSICAS 12 UMA EXPERINCIA COM ONDAS CLSSICAS 13 UMA EXPERINCIA COM PARTCULAS QUNTICAS 14 BIBLIOGRAFIA 16

ONDE ANDA O ELTRON? 17

PRINCPIO DE INCERTEZA 19

BIBLIOGRAFIA 20

EXPERINCIA DE STERN-GERLACH. 21

SPIN DO ELTRON. 23 OBSERVVEIS 23

EQUAO DE MOVIMENTO PARA OBJETOS QUNTICOS. 27

EQUAO DE AUTOVALORES DA ENERGIA 29 BIBLIOGRAFIA 30

AUTOVALORES DE ENERGIA - APLICAES. 31

BIBLIOGRAFIA 33

PARTCULA EM UMA CAIXA - POO INFINITO 34

BIBLIOGRAFIA 37

DEGRAU DE POTENCIAL. 38

POTENCIAL DEGRAU (BARREIRA DE POTENCIAL). 38 BARREIRA FINITA 40

TOMO DE HIDROGNIO 44

NVEIS DE ENERGIA DO ELTRON NO TOMO DE HIDROGNIO 45 FUNES DE ONDA DO TOMO DE HIDROGNIO 47 BIBLIOGRAFIA 50

"IMPRESSES DIGITAIS" DOS TOMOS 51

SALTO QUNTICO 52 PARADOXO DO GATO DE SCHRDINGER 54 BIBLIOGRAFIA 56

COMO SABER SOBRE A EXISTNCIA DE UM OBJETO SEM INTERAGIR COM ELE. 57

BIBLIOGRAFIA 61

TELEPORTAO 62

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PASSAGEM AO MUNDO MACROSCPICO 64 BIBLIOGRAFIA 65

LABORATRIO COMPUTACIONAL 1 66

BIBLIOGRAFIA 68

LABORATRIO COMPUTACIONAL 2 69

BIBLIOGRAFIA 71

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Introduo

Os textos aqui apresentados correspondem a um roteiro de ensino da Mecnica Quntica em disciplinas introdutrias de Cincias Exatas. Os textos que compem a proposta, originalmente implementada durante um perodo total de 24 horas-aula em disciplina de Fsica Geral, podem, em nosso entender, ser adotados e adaptados a outras situaes, inclusive como complemento de cursos mais tradicionais. Em linhas gerais, a proposta visa tornar "palpveis" os primeiros princpios da Mecnica Quntica - superposio linear de estados, princpio de incerteza (dualidade onda-partcula), caracter probabilstica de resultados de medida - para que no se convertam em simples relaes matemticas a serem lembradas, com longnqua relao com o mundo fsico, seno que adquiram para os estudantes uma "realidade" fsica. Consideramos que uma forma gil de implementar esta estratgia pode ser, mesmo em cursos introdutrios, a de salientar as caractersticas qunticas dos sistemas ao invs de buscar analogias clssicas, como ocorre freqentemente a ponto de ter-se tornado tradicional. Para atingir este objetivo, no s os princpios fundamentais so apresentados como determinantes de uma outra realidade fsica, diferente da clssica, mas so tambm apontadas as conseqncias destes princpios sobre a nova realidade, utilizando-se para isto informaes sobre algumas das experincias com uma ou poucas partculas, disponveis hoje em dia, que so conceitualmente simples. Como se pode ver nos textos, a apresentao fenomenolgica relacionada aos princpios tem um papel fundamental na proposta. Alm disto, as experincias discutidas apontam, muitas vezes, para desdobramentos tecnolgicos1 que podem ser explicados em termos relativamente simples a partir dos princpios fundamentais, dando Mecnica Quntica um halo de modernidade muitas vezes ausente nos cursos introdutrios. Aprender uma nova forma de perceber os fenmenos fsicos exige um forte envolvimento por parte dos estudantes. Por isso, na implementao original da proposta, a discusso dos alunos em pequenos grupos foi um elemento chave. Assim, os textos foram elaborados de modo a no ser lidos em forma passiva, intercalando-se perguntas que propiciavam completar-se o raciocnio exposto, estimulando a discusso dos estudantes entre si e com o professor. Preferimos deixar os textos na sua forma original2, para estimular o professor a no utiliz-los de modo passivo, em que os estudantes recebem respostas e raciocnios prontos. Em relao aos contedos dos textos, eles tratam, como j indicado, basicamente sobre o conceito de superposio linear de estados, princpio de incerteza e carter probabilstico dos resultados de medida, princpios qunticos que projetam uma viso radicalmente diferente da clssica sobre o mundo microscpico. As experincias apresentadas retomam uma e outra vez estes princpios, justamente para habituar ao estudante com s conseqncias de tais princpios sobre a realidade fsica.

1 S para citar um par de exemplos, pense-se na computao quntica e na teleportao. 2 Verses modificadas dos mesmos foram usadas por ns em posteriores experincias de ensino aprendizagem, mas a essncia do projeto no sofreu alterao.

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Em relao s ferramentas matemticas utilizadas, escolhemos trabalhar com a gil notao de bras e kets de Dirac. Embora no usual para os estudantes do grupo em foco, a notao no foi um impedimento para a compreenso dos alunos. Ao contrrio, uma vez que foi aceita como uma outra forma de denotar vetores de estado, tornou-se de grande utilidade na discusso, por ser compacta e rica. Considerando que a proposta original se destinava utilizao por um perodo de um ms apenas, no nos aprofundamos na introduo de conceitos de espaos vetoriais, o que certamente seria interessante em cursos de maior durao. Ainda em relao descrio matemtica da teoria, dada a pouca familiaridade dos estudantes com o trato de equaes diferenciais, aps introduzir o conceito de (equao de) autovalores e de discutir a questo da quantizao da energia, resultou interessante e importante a utilizao de recursos computacionais para mostrar como a quantizao est regulada pelas solues fisicamente aceitveis para a funo de onda associada aos diversos sistemas analisados. Em particular tais recursos propiciaram a visualizao das solues da equao de autovalores de energia para potenciais constantes por regies, mas variveis de modo descontnuo de uma regio a outra (tunelamento, por exemplo). Os dois textos sob o ttulo de laboratrios computacionais tratam sobre estas questes.3. Uma das vantagens do uso deste tipo de recursos que permite "visualizar" rapidamente o mdulo das solues matemticas, possibilitando assim que a discusso em aula se centralize no contedo fsico das solues, discusso esta que se enriquece pois os programas permitem variar diferentes parmetros4. Ao final de cada texto consta a bibliografia pertinente, o que permite ao professor ou a estudantes mais interessados ampliar o material que ali se encontra. A bibliografia torna transparente, tambm, que o material bsico foi bastante utilizado nos textos, nossa preocupao dominante tendo sido a de compact-lo sem perda de clareza, sempre que possvel. 3 Os softwares utilizados nestes exemplos, desenvolvidos pelo Physics Education Research Group da Kansas State University, dos EUA, dentro do projeto "Visual Quantum Mechanics" esto disponveis na Internet e podem ser obtidos no site http://www.phys.ksu.edu/perg/vqm . Atualmente existem, no mesmo site, verses novas do curso. 4 Tais laboratrios facilitaram, em muito, a compreenso da interpretao probabilstica da funo de onda.

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Plano da unidade 1 aula: Descrio da unidade e forma de avaliao. Pr-teste. Computao quntica.(Para mostrar modernidade e postulados fundamentais) 2 aula: Efeito fotoeltrico. (Demonstrao e explicao da experincia) Experincia de Young para objetos qunticos simples. (Dualidade onda partcula, relao de De Broglie) 3 aula: Experincia de Young. (Continuao da aula anterior). Princpio de Incerteza. 4 aula: Experincia de Stern-Gerlach. (Sistemas de dois estados, estado de um sistema quntico, superposio de estados) Observveis. Resultados de medies. (Relao entre estado de um sistema quntico e resultado de uma e de vrias medidas) 5 aula: Equao de Schrdinger. Distribuio de probabilidades. (Estado de um sistema quntico, resultado de medies) Equao de autovalores.(Determinao dos valores possveis de um dado observvel) 6 aula: Autovalores de energia. (Diferena entre os estados possveis de energia para a Mecnica Clssica e para a Mecnica Quntica) Poo infinito. (Discretizao de energia para estados ligados, superposio de estados, Princpio de Incerteza) 7 aula: Degrau de potencial. (Solues no permitidas classicamente) Tunelamento. (Aplicaes prticas) 8 aula: tomo de Hidrognio. (Nveis de energia do eltron, funes de onda do tomo de Hidrognio, localizao e estado fundamental do eltron) 9 aula: Impresses "digitais" dos tomos. (Espectros de emisso e saltos qunticos) Paradoxo do Gato de Schrdinger. (Superposio de estados e colapso da funo de onda) 10 aula: Medies livres de interao. (Dualidade onda partcula) Laser (experimental) e tomos confinados. 11 aula: Teleportao. (Superposio de estados e Princpio de Incerteza) Passagem ao mundo clssico. (Principio de Correspondncia e Descoerncia) 12 aula: Entrega dos conceitos. Ps-teste. Avaliao do curso. Laboratrio de computao: Dois trabalhos prticos sobre estados ligados e tunelamento, fora do horrio de aula.

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COMPUTAO QUNTICA5

Os computadores existentes atualmente parecem estar chegando a seus limites timos. De um lado, razes tecnolgicas no permitem que seus chips sejam indefinidamente diminudos de tamanho - por exemplo, no tem sentido pretender fabricar transistores ou fios mais finos que os tomos que os constituem - e de outro, por motivos prticos, fabricar microchips mais poderosos pode tornar-se inconvenientemente caro.

Por estas e outras razes importante encontrar sadas alternativas. Uma das cogitadas a chamada computao quntica, um dos ltimos "booms" nas Cincias. O primeiro trabalho mais completo sobre a possibilidade de usar-se computao quntica em vez de clssica foi publicado por David Deutsch em 1985, mas recm em 1994 o fsico Peter Shor mostrou que a idia "poderia funcionar". Apesar de ainda no se saber se um computador quntico poder vir a ser construdo, importante discutir suas possibilidades, que esto atreladas aos princpios fundamentais da Mecnica Quntica.

Computao clssica vs. computao quntica Em geral estamos acostumados a pensar a computao em termos de operaes matemticas e no em termos fsicos. No entanto, efetuar uma operao de computao essencialmente um processo fsico. Pense, por exemplo, como feita em um computador uma conta simples como a soma 2 + 5. Os registros 2 e 5 so em princpio abstratos e antes de se efetuar qualquer operao com eles, devem ser codificados em um sistema fsico. Isto pode ser feito de muitas maneiras, dependendo do dispositivo de computao: diferenas de potenciais nas portas de um transistor de um microchip de silcio, contas nas colunas de um baco, impulsos nervosos nas sinapses de um neurnio etc. A computao em si consiste em um conjunto de instrues - o algoritmo - que so desenvolvidas por meio de um processo fsico. A execuo do algoritmo leva a um resultado - que podemos observar, por exemplo, na tela de um computador - que interpretamos como sendo o nmero 7. Ento, ainda que 2 + 5 = 7 possa ser definido de maneira abstrata, o processo prtico que nos leva a concluir que 2 mais 5 igual a 7, fsico. Todos os tipos de computao com os quais o homem est acostumado a trabalhar, desde o baco at os supercomputadores, esto organizados segundo as leis da fsica clssica. No entanto, vivemos em um mundo quntico e objetos qunticos - como veremos no transcorrer destas aulas - se comportam em muitos aspectos de forma bastante diferente dos clssicos. Por exemplo, um sistema quntico pode existir em uma combinao de mltiplos estados fsicos com caractersticas bem definidas (ao mesmo tempo), a chamada superposio de estados . Isto poderia permitir um cenrio em que cada estado seguisse um processo de computao diferente e que estes conflussem para produzir o resultado final. Este "paralelismo quntico", que pode ser alcanado em uma s pea do hardware poderia dar aos computadores qunticos, em tese, uma velocidade muito maior do que as alcanadas pelos computadores de hoje. Problemas como o da

5 A verso aqui includa destes textos tem sofrido algumas alteraes decorrentes de sua utilizao e visando sua publicao em separado.

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fatorao de nmeros6 com dezenas e at centenas de dgitos que hoje, nos supercomputadores mais velozes tardariam milhes de anos e que esto sendo, inclusive, trabalhados de forma cooperativa no mundo poderiam, em princpio, ser resolvidos em perodos da ordem de um ano. Com isto, claro, em contrapartida, a segurana das chaves atuais dos criptosistemas que dependem de nmeros fatorados . . . iria para o espao.

A clula da computao quntica: o QUBIT Na computao clssica, o estado de uma unidade de informao - o bit - especificado por um nmero: 1 ou 0. Qualquer smbolo - nmero ou palavra - na computao clssica representado por uma cadeia de algarismos 1 e 0. O QUBIT - o bit quntico - pode ser representado, por exemplo, por um tomo em um de dois de seus possveis autoestados de energia. Podemos chamar de 1 ou de 0 a cada um desses estados. Assim 2 qubits podem estar em 4 estados bem definidos (0,0), (0,1), (1,0) e (1,1), como quaisquer dois bits clssicos. Mas, diferentemente dos bits clssicos, cada qubit pode existir tambm em estados que compreendem simultaneamente aquele que chamamos de 0 e aquele que chamamos de 1. Este um fenmeno intrinsecamente quntico denominado superposio de estados. Enquanto (classicamente) um bit existe ou em 1 ou em 0, (qunticamente) um qubit pode existir em 1 e em 0. Isto, quanto aos estados possveis do qubit.

Quanto ao resultado de uma determinada operao de computao quntica, no entanto, no momento em que procuremos saber qual este resultado, "obrigaremos" o qubit a responder em um estado definido de energia. Conhecer o resultado da computao fazer uma medio sobre a unidade de processamento. A probabilidade de que, feita essa medio, o qubit se encontre no estado 1 ou no estado 0, dada por um coeficiente numrico. Ou seja, enquanto no feita uma medio o qubit poder estar numa superposio dos estados 1 e 0, mas no momento em que se busca saber o resultado do processo de computao, no momento em que se efetua uma medio, o qubit responde apenas em um daqueles estados. Reside a o poder da computao quntica: um qubit pode existir em vrios estados ao mesmo tempo e informar sobre todos eles. Com isso possvel, em princpio, realizar-se muitas operaes em paralelo, usando somente uma unidade de processamento.

Alm disto, na computao clssica, o processamento da informao feito

atravs de portas lgicas. Uma delas a porta NO que nega o estado do sistema, ou seja, se o sistema estava no estado 1 passa ao estado 0 e se estava no estado 0 passa ao estado 1. Na computao quntica, alm desta porta podemos ter outras que no tm contrapartida clssica, como a que permite "transformar" o estado 0 em uma superposio de 0 e 1. O estado de um qubit pode ser representado como

10 10 CCqubit += ,

6 Clculo dos fatores primos de um nmero.

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em que qubit significa "o estado da unidade de processamento" e C0 e C1 so os coeficientes que originam as probabilidades (C0 2 e C1 2) de, uma vez efetuada uma medio, o qubit estar no estado 0 ou no estado 1 . O estado do qubit logo depois da medio ser 0 ou 1 e no mais 1C0C 10 + .

A questo de que antes de efetuar uma medio o qubit - a unidade de processamento - possa estar em uma superposio de dois estados e que logo depois da medio ele esteja em um s estado de energia o que em Mecnica Quntica se denomina de problema da medida. Por que um problema? Classicamente ao medir uma certa propriedade de um sistema, por exemplo o momento linear do sistema, o valor obtido o do estado no qual o sistema se encontrava antes da medio. Em Mecnica Quntica, a freqncia do resultado da medida de uma propriedade do sistema est probabilisticamente relacionada com o estado no qual o sistema se encontrava antes da medio.

Vejamos um exemplo para um sistema de dois qubits. Suponhamos que o

sistema esteja no estado = (1/2)1/2 ( 0 + 3 ), isto , se expressarmos 0 e 3 em cdigos binrios, = (1/2)1/2 ( 00 + 11 ). ( 0 e 3 so denominados de autoestados do sistema.)

(1/2)1/2 o valor de cada um dos coeficientes C0 e C1 que conduzem, ambos, probabilidade (1/2) de que o sistema esteja em um de seus dois autoestados. Suponhamos tambm que nossa forma de medir seja ouvir os "cliques" de dois detetores, um detetor superior que clica para o estado 1 e um detetor inferior que clica

para o estado 0 . Para o estado considerado acima, o resultado da medio ser, com igual probabilidade, ouvir dois cliques no detetor superior ou dois cliques no detetor inferior. No ouviremos um clique no detetor de cima e um clique no detetor de baixo ou vice-versa.

Combinando a propriedade da superposio de estados com outras, possvel demonstrar que um computador quntico poderia resolver o problema da fatorao, ou seja achar os fatores primos de um nmero, de forma muito mais rpida do que qualquer computador clssico.

Apesar de todas as suas possibilidades, a realizao experimental de um

computador quntico ainda no factvel. Para executar uma computao de fato, preciso manter a superposio de estados ao longo de todo o processo de clculo. O problema que isto no uma tarefa fcil. Por uma propriedade chamada descoerncia (propriedade, alis, que impede que possamos observar na escala macroscpica a superposio de estados) a superposio dos estados qunticos se desvanece muito facilmente, porque qualquer interao do sistema fsico com o meio, por exemplo, a coliso de um tomo com outro tomo, pode levar o sistema a "optar" por um s dos estados inicialmente superpostos. Para lograr conseguir a computao quntica os cientistas devero lutar contra este fenmeno, entre outros problemas.

Vimos, ento, que propriedades muito diferentes das clssicas (absolutamente

novas para ns) acontecem no mundo microscpico descrito pela Mecnica Quntica e

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que essas propriedades podem ser tecnologicamente muito importantes (no caso exemplificado, para melhorar nossos atuais sistemas de processamento). til salientar que ainda que no saibamos bem como construir um computador quntico, as idias da computao quntica mostram que h uma forte ligao entre computao e Fsica Quntica. Isto pode ajudar os cientistas e engenheiros da rea a resolver problemas que encontram quando tentam projetar microchips convencionais com tamanho reduzido, pois ao adentrar no mundo microscpico se entra no regime da Mecnica Quntica.

Exerccios

1- Escreva em cdigo binrio os autoestados 3210 e,, , relativos a conjuntos de dois qubits.

2- No exemplo do texto, por que no possvel ouvir um clique no detector de cima e um clique no detector de baixo, ou vice-versa?

3- Apresente um exemplo, em cdigo binrio, de estados de dois qubits em que possvel ouvir um clique no detector de cima e um clique no detector de baixo. Qual a probabilidade de o sistema estar no estado 2 , no seu exemplo?

4- Mostre que trs qubits podem estar em 8 (23) estados bem definidos. Consequentemente n-qubits podem estar em 2n estados, ou seja, n-operaes elementares podem gerar 2n situaes distintas. Qual a importncia disto para a fatorao?

5- Relacione e discuta as propriedades qunticas citadas no texto e em qu so diferentes das que voc conhece da Fsica Clssica.

Bibliografia Este texto est baseado nos seguintes artigos, que voc pode consultar se quiser mais informaes sobre a computao quntica: Quantum physics and computers, de Adriano Barenco, Contemporary Physics, 1996, volume 37, n. 5, pp. 375-389. Quantum computing with molecules, de Neil Gershenfeld e Isaac Chuang, Scientific American, June 1998, pp. 50-55. Quantum computing, de Valerio Scarani, American Journal of Physics, 1998, volume 66, n. 11, pp. 956-960.

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EFEITO FOTOELTRICO

Desde 1887 se sabia, graas s pesquisas de H. Hertz, que a intensidade da descarga eltrica entre dois eletrodos aumentava quando iluminados por luz ultravioleta. Este fenmeno foi denominado de efeito fotoeltrico, devido a que os eltrons responsveis por essa corrente eram "arrancados" da superfcie do metal dos eletrodos pelo uso de radiao luminosa. A emisso de eltrons depende da intensidade da radiao incidente sobre o metal, aumentando quando esta aumenta7.

Em um trabalho publicado em 1905, Albert Einstein props que, em algumas

circunstncias, a luz poderia ser pensada como constituda de "pacotes (quanta) de luz". Na sua argumentao, Einstein deduziu que, para o caso do efeito fotoeltrico, existiria uma dependncia entre a emisso fotoeltrica e a freqncia da radiao incidente: para cada substncia existiria um umbral para a freqncia da radiao, de modo que se a radiao incidente possusse uma freqncia menor que a freqncia limite, no seriam emitidos eltrons, independentemente da intensidade da radiao. Assim, a energia necessria para arrancar um eltron do material seria absorvida em um nico processo de interao entre a radiao e o eltron, de modo que se a radiao incidente no possusse a energia necessria, determinada pela sua freqncia, no seria possvel que o eltron escapasse do material. Para isto, a radiao eletromagntica no poderia ser considerada como uma onda, seno que seria entendida se considerada como constituda de partculas.

Denominando de Ek a energia cintica do eltron arrancado do metal, tem-se Ek = E - , onde E a energia absorvida pelo eltron e a energia mnima necessria para escapar do material. Considerando a radiao incidente como constituda por partculas, a energia das mesmas pode ser escrita como E = h, onde a freqncia da radiao e h uma constante universal, a constante de Planck (dimenso: energia x tempo). Ek=0 corresponde, ento, freqncia mnima 0 que deve ter a "partcula" constituinte da radiao (o quantum de luz) para gerar a energia que o eltron deve absorver para escapar do material, isto , ,h 00 = ou seja, h=0

Se a freqncia da radiao incidente for menor que 0 , no haver emisso de eltrons. Esta dependncia com a freqncia no podia ser explicada com as teorias clssicas (disponveis at ento). Se os eltrons precisavam de uma determinada energia para serem arrancados do material e assim originar a corrente esta energia, segundo a teoria clssica, ir-se-ia acumulando at alcanar, pela absoro contnua de energia, o valor necessrio, de forma que os eltrons poderiam ser arrancados ainda que a freqncia da radiao incidente fosse baixa, desde que a radiao fosse intensa.

Alguns anos depois, vrios fsicos experimentais tentaram verificar a relao proposta por Einstein e, ao redor de 1916, conclui-se que os resultados experimentais

7 Em 1902, o fsico Philipp Lenard provou que a fotocorrente proporcional intensidade da luz e independente de seu comprimento de onda. No investigou, no entanto, a relao entre a energia cintica dos eltrons emitidos (Ek) e a freqncia.

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coincidiam com a previso de Einstein que introduz a hiptese de que a radiao constituda por ftons8.

Bibliografia A sense of History: history of science and the teaching of introductory quantum theory, de Helge Kragh, Science & Education, 1992, v. 1, p. 349-363.

8 Apesar da confirmao experimental, uma parte importante dos fsicos da poca, incluindo alguns dos que tinham realizado a comprovao experimental da relao, no aceitavam a proposta de que a radiao estivesse constituda de partculas.

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EXPERINCIA PARA OBJETOS QUNTICOS SIMPLES

O efeito fotoeltrico e a superposio de estados, que tm reflexos sobre a computao quntica, so dois exemplos de como o mundo quntico se comporta de forma freqentemente "no-clssica". No caso do efeito fotoeltrico vimos como a teoria ondulatria (clssica) da luz, que explica os fenmenos de interferncia e difrao, deve ser substituda por uma teoria que atribua caractersticas de partcula para a luz.

Discutimos a seguir certos comportamentos das partculas no mundo quntico e tentamos definir algumas caractersticas dos "objetos" qunticos (eltrons, ftons, prtons, netrons etc.).

Uma experincia com partculas clssicas

Imaginemos um dispositivo como o que aparece na Fig. 1, similar ao da experincia de interferncia de Young da tica clssica. No presente caso a fonte uma metralhadora giratria - com um ngulo de giro grande - que dispara balas indestrutveis (que no podem se fragmentar) em vrios direes, sendo a taxa de disparos constante. frente da metralhadora encontram-se duas paredes. A primeira tem duas fendas grandes o suficiente para deixar passar s uma bala de cada vez. Frente segunda parede h um detector (por exemplo, uma caixa de areia) que se move para cima e para baixo, e que permite determinar a probabilidade de que uma bala que passa pelas fendas possa atingir a segunda parede a uma altura x do centro. Falamos de probabilidade pois como a metralhadora atira balas ao acaso no sabemos de antemo para onde elas iro. A definio de probabilidade que estamos usando a de razo entre o nmero de balas que chegam ao detector num determinado perodo de tempo e o nmero total de balas que atingem a segunda parede nesse mesmo perodo. A distribuio de balas na direo vertical (eixo x) quando apenas a fenda 1 est aberta P1(x), da forma vista no diagrama b, com mximo no ponto que est em linha reta com a metralhadora e com o centro da fenda 1. Obtemos uma curva simtrica a esta, P2(x), se apenas a fenda 2 est aberta. Quando as duas fendas esto abertas a distribuio de probabilidades, P12, como esperaramos, tem seu mximo em x = 0 sendo P12 = P1 + P2, ou seja, o efeito das duas fendas abertas a soma dos efeitos correspondentes a cada uma delas aberta. As hipteses feitas conduzem ao que segue.

- No podemos detectar uma frao de bala. - Cada bala ou passa pela fenda 1 ou passa pela fenda 2.

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Figura 1

Exerccios 1. O que se observa na segunda parede, na experincia com partculas clssicas, se a taxa de disparos diminuir? 2. Que propriedades voc considera mais marcantes em uma partcula em Fsica Clssica?

Uma experincia com ondas clssicas

Utilizemos agora um dispositivo similar ao anterior (Fig. 2), mas cuja fonte a fonte pontual de ondas da gua (por exemplo, uma bolinha que sobe e desce sobre uma superfcie da gua, gerando ondas circulares). A segunda parede construda de modo a no permitir que as ondas sejam refletidas. Neste caso, o detector mede a "intensidade" do movimento. Diferentemente do caso anterior, em que as balas chegavam ao detector uma a uma, agora a intensidade pode ser detectada em valores variveis, pois a intensidade de uma onda pode variar continuamente. I1(x) mede a intensidade das ondas detectadas quando apenas a fenda 1 est aberta e I2 (x) mede a intensidade quando apenas a fenda 2 est aberta. Lembremos que a Intensidade I de uma onda igual ao mdulo ao quadrado da sua amplitude I(x) = (x)2. Portanto se I12(x) a intensidade da onda quando as duas fendas esto abertas simultaneamente

I12(x) = 1(x) + 2(x)2 = I1(x) + I2(x) + 2 [I1(x).I2(x)]1/2 cos, onde cos a

diferena de fase entre as contribuies das duas frentes de ondas que resultam da difrao da frente de onda original nas fendas. Observemos que este o mesmo resultado obtido para a experincia de Young com ondas luminosas. O ltimo termo o termo de interferncia, que faz com que a curva I12 tenha a forma caracterstica que aparece na parte c da Fig.2.

Decorrente disto, em geral I12(x) I1(x) + I2(x), e o valor de I12 depender de as

frentes de onda que passam por 1 ou por 2 estarem ou no em fase. Se estiverem em fase, interferiro construtivamente e se esto defasadas, interferiro destrutivamente. Fechando uma das fendas a intensidade em um ponto x do anteparo pode aumentar ou diminuir.

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Figura 2

Exerccios 3. O que se observa na segunda parede, na experincia com ondas clssicas, se a intensidade da fonte luminosa diminuir? 4. Que propriedades voc considera mais marcantes em uma onda em Fsica Clssica?

Uma experincia com partculas qunticas

Voltemos a usar o dispositivo da experincia de interferncia, agora com uma fonte que emite partculas qunticas (por exemplo, um filamento quente que emite eltrons). O detector pode ser um contador Geiger, que permite amplificar em escala macroscpica o efeito dos eltrons que chegam at ele9.

A primeira coisa que se observa que o detector nunca registra "pedaos" de eltrons mas sempre um nmero inteiro deles, como na primeira das nossas experincias, a das partculas clssicas. Se a fonte for suficientemente fraca, pode-se fazer com que os eltrons cheguem um a um at o detector. Sua chegada acontece ao acaso e podemos ento calcular P1 e P2, tal como aparecem na parte b da Fig. 3. No entanto, quando se deixam as duas fendas abertas, a distribuio de probabilidade P12 depois de um perodo de tempo no igual soma das distribuies de probabilidade P1 + P2 como no caso das partculas clssicas, seno que aparece uma figura de interferncia como no caso das intensidades da experincia com ondas clssicas!!! Se fecharmos qualquer uma das fendas, a distribuio de probabilidades pode aumentar ou diminuir, como no caso das intensidades das ondas clssicas.

9 Os efeitos que descreveremos aqui j foram observados com eltrons (1961),

com nutrons (1988) e com tomos (1991).

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Figura 3

Ou seja, os eltrons (e outras partculas elementares, como por exemplo o fton), chegam ao detector inteiras, como as partculas clssicas indestrutveis, mas a distribuio de probabilidade de chegada deles similar distribuio de intensidade das ondas clssicas. AS PARTCULAS QUNTICAS, ento, NO SO NEM PARTCULAS CLSSICAS NEM ONDAS CLSSICAS. No entanto este comportamento aparentemente estranho pode ser explicado se aceitarmos que, em vez de seguir as leis da Fsica clssica, os objetos qunticos seguem outras leis, onde se inclui a chamada equao de Schrdinger.

As propriedades "ondulatrias" reveladas no experimento de Young, e em outros, permitem associar a estes objetos qunticos (ftons, eltrons, prtons, pons, etc.) um comprimento de onda que obtido pela seguinte relao = h/p, onde h uma constante denominada constante de Planck e cujo valor 6,63. 10-34 joule.seg, ou 4,14.10-15 eV.s (dimenses de energia x tempo) e p o momento linear da partcula. Esta relao denominada de De Broglie e vincula propriedades de partculas (momento) com propriedades ondulatrias (longitude de onda).

Exerccios 5. Compare P1(x) e P2(x) nas trs experincias. 6. Procure descrever como acontece a chegada dos eltrons no segundo anteparo quando as duas fendas esto abertas. 7. O que se observaria, na segunda experincia, se a fonte de ondas fosse uma fonte luminosa e emitisse um fton por vez? 8. freqente ler-se que uma caracterstica da Mecnica Quntica a dualidade onda-partcula. Analise essa questo luz do que foi visto nesta aula. 9. Se a Mecnica Quntica descreve toda a matria, por que no observamos os padres de interferncia na primeira experincia? (Partculas macroscpicas, balas)

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Bibliografia "The Feynman Lectures on Physics", Volume III, R.P. Feynman, R. Leighton & M. Sands. Addison-Wesley Publishing Company, 1965. "Curso de Fsica Bsica", Volume IV, M. Nussenzveig, Editora Edgard Blchter, 1998.

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ONDE ANDA O ELTRON?

O padro de interferncia que se observa no caso da experincia de Young com

eltrons no o que "intuitivamente" esperaramos encontrar. Ao descrever a experincia com partculas clssicas, vimos que fazia sentido dizer que as partculas ou passam pela fenda 1 ou passam pela fenda 2. Mas o que acontece se tentamos "ver" por qual fenda passam os eltrons? Utilizemos novamente o dispositivo da experincia de interferncia de Young agregando uma fonte luminosa atrs da primeira parede e entre as duas fendas (Fig. 1). Como as cargas eltricas espalham a luz, cada vez que um eltron passe perto da fonte luminosa, espalhar um pouco de luz na direo de nossos olhos. O espalhamento acontecer mais perto da fenda 1 ou da fenda 2, conforme por onde passe o eltron, de forma que podemos "ver" por onde passou. Ento, cada vez que passe um eltron por uma das fendas acontecer um claro, seguido de um "clique" no detector. Se baixamos, alm disto, a intensidade do feixe de eltrons de forma que a fonte emita s um eltron por vez, mantendo a intensidade da luz forte o suficiente para que sempre ocorram clares, o que se observa que os clares so oriundos ou da fenda 1 ou da fenda 2. Nunca so observados clares simultneos das duas fendas. Chamemos de P1 ao nmero de cliques quando o eltron passa pela fenda 1 e P2 ao nmero de cliques quando o eltron passa pela fenda 2. Como a experincia feita com as duas fendas abertas simultaneamente, P12 ser a soma de todos os clares (cliques), tanto os correspondentes aos eltrons que passam pela fenda 1 quanto os correspondentes aos eltrons que passam pela fenda 2. Ou seja, P12 = P1 + P2, sem termo de interferncia! Ou seja, quando "vemos" os eltrons, isto , quando "vemos" por qual fenda os eltrons passam, a distribuio total dos mesmos, P12, diferente de quando "no vemos" os eltrons.

Por que o efeito de interferncia destrudo? Podemos pensar que o efeito de

interferncia destrudo porque a intensidade da luz da fonte usada muito forte e tentar novamente, agora com luz menos intensa. No entanto, lembrando do efeito fotoeltrico, sabemos que os clares de luz no sero mais fracos (todos eles correspondem a um fton) mas sim que, s vezes, poderemos ouvir um clique no detector e no "ver" nenhum claro. Teremos assim eltrons "vistos", que passam pela fenda 1, eltrons "vistos", que passam pela fenda 2 e eltrons "no vistos", que no sabemos por onde passam. Os resultados10 mostram que para os eltrons "vistos", a distribuio de probabilidade continua a ser dada por P12(x) = P1(x) + P2(x), enquanto para os eltrons "no-vistos", a distribuio de probabilidades tm tambm a contribuio do termo de interferncia.

10 Experimentos equivalentes foram realizados em 1991 para ftons e em 1998 para eltrons.

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Figura 1

Exerccios 1. Por que, na experincia relatada, pode-se no ver um claro e sim ouvir um clique , quando diminui a intensidade da luz utilizada? 2. Discuta o que aconteceria se, em vez de diminuir a intensidade da luz, diminumos a sua energia (freqncia)?

Em resumo quando em experincias como a descrita possvel afirmar que a partcula quntica passou por um dado local, o padro caracterstico de interferncia destrudo. Ou ainda: s se tem o padro de interferncia quando no se pode afirmar por qual das fendas o eltron passou. Seguindo um paralelismo com o caso ondulatrio clssico, diramos que s ocorre interferncia se forem geradas amplitudes (de probabilidade) com diferena de fase nas duas fendas.

A probabilidade de um evento dada pelo mdulo ao quadrado de uma quantidade que chamada de amplitude de probabilidade, de forma que se acontecem vrios eventos, a probabilidade total o mdulo ao quadrado da soma das amplitudes individuais. por isso que aparece o termo de interferncia.

Esta questo importante tambm porque se refere influncia do processo de observao sobre o resultado observado. Como apontado por Dirac, isto permite estabelecer uma escala "absoluta" de tamanho: o mundo atmico e subatmico pequeno, no sentido absoluto, porque qualquer medio efetuada nessa escala usar recursos da mesma escala e poder afetar o resultado, de forma que preciso sempre indicar como esto sendo observados os fenmenos. Ou seja, na escala atmica e subatmica existem limitaes absolutas s possibilidades de medio. Lembrando da relao de De Broglie podemos tambm dizer que a medida em que as aes tpicas de um sistema ([energia].[tempo]) se tornam muito maiores do que a constante de Planck, deixa-se de observar estas limitaes.

Exerccio 3. O que, na sua opinio, causa a mudana de comportamento dos eltrons no experimento relatado, de modo a destruir o padro de interferncia quando o eltron visto em uma das fendas?

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Princpio de Incerteza

No experimento descrito acima, no possvel, simultaneamente, dispor de luz de forma a saber por qual fenda passou o eltron e no perturbar o eltron. Esta dificuldade intrnseca Mecnica Quntica, e se relaciona com o chamado Princpio de Incerteza, proposto por Heisemberg. Na experincia descrita o Princpio diria: impossvel ao mesmo tempo saber por qual fenda passou o eltron, e no destruir o padro de interferncia..

A forma tradicional do Princpio de Incerteza na experincia aqui relatada : Se se faz uma medio sobre um objeto quntico e se pode determinar a componente px de seu momento com uma incerteza px, no se pode, ao mesmo tempo, conhecer a componente x da posio com incerteza x menor que h/px, sendo h a constante de Planck. Este Princpio um dos pilares da Mecnica Quntica, que salienta que no possvel ter-se, como na Mecnica Clssica, valores definidos para duas grandezas conjugadas (como posio e momento, tempo e energia) em um estado quntico. Este fenmeno independente da preciso dos sistemas de medio. Ou seja, esta uma impossibilidade imposta pela prpria Natureza. As relaes de incerteza determinam, ento, a ordem de grandeza dos limites a partir dos quais no mais possvel aplicar vrios dos conceitos da Fsica Clssica.

Discutiremos a seguir qualitativamente o Princpio de Incerteza numa situao

particular. Suponhamos que se tem uma fonte de eltrons e duas paredes, a primeira delas com uma fenda (Fig. 2). A fonte est afastada o suficiente para garantir que os eltrons cheguem perpendiculares parede 1, ou seja, tem momento px = p na direo x e py = 0. Portanto conhece-se seu momento na direo y com preciso (py = 0), mas no se sabe onde os eltrons esto. Para os eltrons que passarem pela fenda, poderemos dizer que conhecemos a sua posio, com uma preciso aproximadamente da ordem do tamanho da fenda, ou seja y = a. Quando os eltrons passarem pela fenda, contudo, deixamos de ter certeza quanto ao valor de seu momento na direo y , pois na fenda os eltrons se "difratam". Por esta razo, na parede observa-se, depois de um certo tempo, um padro de difrao produzido pelos eltrons.

Figura 2

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Para ter uma idia de quanto foi o espalhamento no momento dos eltrons podemos calcular py p0. , quando um ngulo pequeno. Da tica se sabe que a distncia entre o mximo de um padro de interferncia e o primeiro mnimo dada por

a= , de forma que py p0./ a Desta relao se obtm que quanto menor for a

abertura da fenda e, portanto, melhor determinada a posio do eltron, mais "desconheceremos" o seu momento pois py cresce. Utilizando a relao de De Broglie, pode-se calcular o valor do comprimento de onda do eltron, = h/p0 , e resulta y. py h.

Exerccios 4. O claro da primeira experincia relatada define a posio do eltron sobre uma das fendas. O que se pode dizer a respeito do momento linear do eltron neste caso? 5. As limitaes impostas pelo Princpio de Incerteza poderiam ser superadas se tivermos dispositivos de medidas mais precisos nossa disposio? 6. Poderia relacionar a dualidade onda-partcula com o Princpio de Incerteza?

Bibliografia "The Feynman Lectures on Physics", Volume II, de R. Feynman, R. Leighton e M. Sands. Addison-Wesley Publishing Company, 1965.

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EXPERINCIA DE STERN-GERLACH.

Antes de apresentar a equao que descreve o comportamento das partculas no

mundo quntico, vamos introduzir algumas noes que formam parte da linguagem da Mecnica Quntica.

Para isso comearemos descrevendo a experincia de Stern-Gerlach, em que aparece uma propriedade nitidamente quntica, ou seja, que se manifesta claramente na escala microscpica: o spin. (Existem alguns fenmenos na escala macroscpica, como o ferromagnetismo, em que tal grandeza tambm se revela.)

Na experincia de Stern-Gerlach (1922) um feixe de tomos de prata passa atravs de um eletroim (um campo magntico no-uniforme), colidindo frente com uma placa coletora, como mostra a Fig. 1. A idia por trs da experincia era inicialmente a de estudar o comportamento dos tomos em um campo magntico.

Figura 1

Antes de prosseguir, lembremos que a Fsica Clssica nos ensina que uma carga em movimento se comporta como uma pequena espira de corrente. Portanto tem um

momento magntico de dipolo , que proporcional a seu momento angular.

Considere uma partcula (clssica) carregada de massa M movendo-se em um anel de

raio r (Fig. 2), com velocidade v (freqncia f = v/2r). O momento angular da

partcula MvrprL . == . Para uma carga circulante, a magnitude da corrente

i = qf = qv /2r e a do momento magntico = ir2= q (v/2r)( r2)=(1/2)q rv = (1/2)q(L/M). Quando a carga

negativa, o momento magntico de dipolo e o momento angular so antiparalelos.

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Figura 2

Voltando experincia, se os tomos de prata possuem um momento magntico

em uma dada direo, a interao com um campo magntico B (por exemplo na

direo ^z , gera uma energia U =

B. , e produz uma fora F . Essa fora "puxar para

baixo" os tomos com momento magntico apontando para baixo, e "para cima" os tomos com momento magntico apontando para cima. tomos com momento magntico na direo perpendicular ao campo, no sofrem os efeitos dessa fora. Se o campo nulo, ou seja quando o eletroim est desligado, os tomos no sofrem a ao de fora deste tipo. Como os momentos magnticos das partculas do feixe incidente, segundo a Mecnica Clssica, podem ter qualquer orientao, esperar-se-ia que quando o eletroim estivesse ligado, aparecessem na placa coletora depsitos de prata ao longo de uma faixa vertical contnua. Os resultados da experincia mostraram que quando o eletroim estava desligado, aparecia apenas uma linha na parte central da placa, enquanto quando o eletroim estava ligado, em vez de tal linha, apareciam duas franjas, como mostra a Fig. 3. Isto indica: 1- que o momento magntico dos tomos est "quantizado", ou seja, em vez de

apresentar valores contnuos, como na previso da Fsica Clssica, apresenta valores discretos;

2- que s h dois valores discretos possveis para a propriedade que est sendo medida. Estes fenmenos no podem ser explicados pela Fsica Clssica.

Figura 3

Como no caso do tomo de prata, quando no excitado, apenas um eltron

contribui para a existncia do momento magntico do tomo, este momento magntico o do eltron. E alm disto este eltron tem momento angular orbital nulo. Como o eltron, ainda assim apresenta momento magntico, este momento se relaciona a um momento angular de outra natureza que se denomina de intrnseco (spin). Assim como massa e carga so caractersticas do eltron, spin ou momento angular intrnseco tambm o .

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Spin do eltron.

De fato, no s o eltron mas as outras partculas elementares passam a ser caracterizadas por mais esta propriedade, o spin (ainda que para algumas delas o spin seja igual a zero). Em particular, para o eltron, como o momento magntico na experincia de Stern-Gerlach aponta ou na direo do campo magntico ou na direo contrria, conclui-se que o spin do eltron em uma dada direo tem s duas possveis projees: "+" e "-". No caso das partculas carregadas, como o eltron, o spin gera (como se fosse uma carga em rotao), um momento (de dipolo) magntico intrnseco, como um im microscpico. Por isso a experincia de Stern-Gerlach analisada como se o feixe de tomos que atravessa o campo se dividisse em dois, pois seus momentos magnticos esto associados aos dois nicos valores possveis da projeo do spin na direo do campo: + e -.

A projeo do spin do eltron numa dada direo apresenta, ento, dois valores, "spin para cima" ou "spin para baixo" (h /2 ou h /2). A cada um destes valores chamamos autovalor ou valor prprio da projeo do spin na direo do campo e o estado do eltron associado a esse valor (o estado do eltron quando a projeo do spin aponta para cima ou para baixo) se chama de autoestado.

Tanto em Fsica Clssica como em Fsica Quntica dizemos que se um sistema se encontra em um estado bem definido se tem a mxima informao possvel a seu respeito. Em geral, o estado de spin do eltron uma combinao linear de seus autoestados. Assim, ++= + CCSe , onde C+2 d a probabilidade P de que a projeo do spin do eltron na direo do campo magntico se encontre no estado "+", e C-2 = 1-P, a probabilidade de que o sistema se encontre no estado "-". Diferentemente do caso clssico, os valores da projeo do spin na superposio no so intermedirios entre os valores correspondentes ao autoestado + e ao autoestado -. Quando medimos a projeo do spin, obtemos SEMPRE ou "+"ou ""(+h /2 ou h /2); nunca obtemos um valor que seja uma "mdia" entre os valores "+" e "-", mas sim (se a estatstica da experincia for boa) P.n o valor "+" e (1-P)n o valor "-" (sendo n o nmero total de medidas feitas). Os nicos valores da medida continuam sendo +h /2 e h /2. a probabilidade de encontrar um desses resultados que assume valores intermedirios entre 0 e 1.

Observveis

Em Fsica, grandezas observveis so aquelas que podem ser medidas, resultando de cada medida um nmero real. Os resultados possveis das observaes so os autovalores.

Conhecer o estado de um sistema fsico determinar o mximo nmero de grandezas observveis associadas a ele. Contudo, enquanto na Fsica Clssica grandezas como a energia, a componente do momento angular numa dada direo e o momento magntico, por exemplo, assumem valores contnuos, na Mecnica Quntica isto no necessariamente ocorre. A energia dos sistemas qunticos pode assumir valores contnuos ou/e discretos e a projeo do momento angular intrnseco do eltron s pode adotar dois valores.

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Suponhamos que realizamos uma medio para determinar o estado de spin dos eltrons de um feixe. Para isso fazemos incidir o feixe atravs de um dispositivo de Stern-Gerlach, com um campo magntico no-homogneo apontando, por exemplo, na direo vertical. O feixe inicial, segundo vimos, separado em dois: um com uma proporo P de eltrons com projeo de spin "para cima" e o outro com uma proporo 1-P de eltrons com projeo de spin "para baixo". Se submetermos, logo depois, cada um dos feixes resultantes a um segundo dispositivo de Stern-Gerlach, com campo magntico na mesma direo e sentido, os resultados em cada ramo continuaro os mesmos: o feixe original foi filtrado na primeira medida e logo aps esta, os eltrons de um dos feixes estavam todos no mesmo autoestado. Ou seja, a medio de um observvel leva o sistema a um de seus autoestados (transforma o estado do sistema em um de seus autoestados). Dizemos que a medio "preparou" o sistema em um estado determinado. Contudo, se na segunda medio o campo magntico estiver em uma direo diferente - ou seja, a um ngulo qualquer em relao ao do primeiro campo- novamente encontraremos aps a medida alguns eltrons orientados no sentido "+" e os demais no sentido "-" do campo magntico. Ocorreu uma nova "filtragem" do feixe (Fig. 4).

Figura 4

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Alm disto, enquanto em princpio em Fsica Clssica no h impedimento para a medio simultnea de dois observveis, em Mecnica Quntica existem pares de observveis que no podem ser determinados simultaneamente.

Quando a ordem em que medimos dois observveis para um mesmo sistema muda o resultado final, se diz que os observveis so incompatveis. Dois observveis so compatveis, i.e., podem ser medidos simultaneamente com preciso para o mesmo sistema, se, ao contrrio, a ordem de sua medio no modifica o resultado final.

Aos observveis incompatveis se aplica o Princpio de Incerteza. Como vimos na experincia de Young para as grandezas posio e momento, medir primeiro o momento, conduz a um padro de interferncia; enquanto medir primeiro a posio, no conduz a um padro de interferncia.

Exerccios 1.Como voc prepara um feixe de tomos de prata de modo a poder dizer que esto todos em um mesmo estado de spin? (Digamos, com projeo na direo vertical e sentido para cima). 2. Se o estado de spin de um eltron for ( ) ( ) ++= 2121 2121 `eS , quantos, de um nmero total de 10000 eltrons voc esperaria encontrar com spin para baixo em uma experincia de Stern-Gerlach? 3. Um eltron pode estar em um estado de spin eS = ( ) ( ) + 2121 1011011 ? 4. Calcule o valor mdio do estado de spin do eltron da questo 2 sabendo que o autovalor de spin para cima h /2 e o autovalor de spin para baixo h /2. Voc obteria este valor em alguma medio? 5. O que voc acha que ocorre na experincia de Stern-Gerlach se os eltrons so submetidos um a um ao campo magntico? Em particular, o que ocorre se o estado de todos (cada) os eltrons for ( ) ( ) ++= 2121 3132eS ? 6. O spin do eltron na direo

^z e na direo

^y so observveis compatveis ou

incompatveis? Por que?

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EQUAO DE MOVIMENTO PARA OBJETOS QUNTICOS. EQUAO DE SCHRDINGER.

Na experincia de Young para eltrons se obtm um "padro de interferncia" que reproduz o padro das ondas clssicas. Lembremos que, enquanto no caso clssico o padro de interferncia mede a intensidade da onda que chega ao segundo anteparo (mdulo ao quadrado da amplitude de onda), no caso dos eltrons o padro de interferncia d a intensidade de contagens, i.e., a distribuio de probabilidade de localizao do eltron (mdulo ao quadrado da amplitude de probabilidade). Ou seja, no caso dos eltrons, regies mais brilhantes na segunda parede significam regies atingidas por mais eltrons, regies quase totalmente escuras significam regies em que praticamente nenhum eltron atinge a segunda parede .

Fazendo um paralelismo entre as duas experincias, como no caso das ondas clssicas a intensidade da onda que chega ao anteparo- que d a figura de interferncia dada pelo mdulo ao quadrado da amplitude da funo que descreve seu movimento, no caso dos eltrons, e dos objetos qunticos em geral, - a intensidade de contagens - dada pelo mdulo ao quadrado da amplitude de uma certa funo de onda. Ento,

( ) ( ) ( ) ( ) 222211 xxP;xxP == e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xPxPxxxP 2122112 ++=

Este paralelismo induz outro, de caractersticas extremamente importantes em

Mecnica Quntica, qual seja o de construir uma equao de movimento para partculas qunticas livres segundo o modelo de uma equao de movimento para ondas livres. Esta equao substituiria ento a primeira lei de Newton para os objetos qunticos.

Considerando a situao simples de uma onda plana harmnica infinita que se propaga em uma dada direo com uma freqncia ( >0) e nmero de onda k (problema unidimensional),

(x,t) = A ei (kx-t),

verifica-se que ela satisfaz a equao

2

22

2 xmti )t,x()t,x(

= hh , se

mk

2

22hh = .

Fazendo pk =h h e E=h , resulta m

pE2

2

= .

Menos "brilhante"

Mais "brilhante"

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Esta ltima relao expressa a energia (cintica) de uma partcula livre no-

relativstica de momento p e massa m, da Fsica Clssica. Assim se estabelece um elo

entre a equao de onda clssica, a equao da partcula clssica e a equao da partcula quntica. Como vemos, esta relao supe que existe uma proporcionalidade entre momento e nmero de onda, bem como entre energia e freqncia. Estas grandezas "convivem" ento em Mecnica Quntica, o que no ocorre em Fsica Clssica.

Tendo achado o anlogo quntico da primeira lei de Newton, perguntaramos pelo anlogo da segunda lei, ou seja, o que acontece quando a partcula se move sob a

ao de foras. Assim como da primeira lei de Newton se sabe que se 0=F ento 0=a , mas isto no permite concluir que = amF , tambm no se pode derivar a

equao de Schrdinger geral a partir da equao de onda livre. Mas se classicamente uma partcula no relativstica sob a ao de um potencial V(x) (caso unidimensional) satisfaz E = p2/2m + V(x), qual seria (por correspondncia) o anlogo quntico esperado? Segundo Schrdinger neste caso se deve ter

)t,x()x()t,x()t,x( V

xmti +

=

2

22

2hh .

Esta equao que no demonstrada mas, sim, postulada, (um caso particular

de) a equao de movimento da Mecnica Quntica, como comprovam os inmeros resultados experimentais descritos com o auxlio da mesma.

Observe-se que a equao atende a algumas consideraes importantes. Primeiramente linear, de forma que suas solues podem ser superpostas para (re)produzir os fenmenos de interferncia. De outro lado, os coeficientes no incluem parmetros particulares de uma dada dinmica (por exemplo momento ou energia) pois a equao deve permitir superpor solues que tenham distintos valores para esses parmetros (por exemplo, solues com distintos valores de energia para uma mesma partcula). Portanto os parmetros se reduzem a constantes, como a constante de Planck, a massa e a carga da partcula. (Como estamos trabalhando com uma teoria no-relativstica, a massa no muda com o movimento da partcula.)

Podemos, ainda, ver que a equao de Schrdinger uma equao na qual comparece a derivada primeira da funo, no tempo. Isto significa que se conhecemos

)t,x( 0 , i.e., se conhecemos a soluo da equao em um instante t = t0, a equao permite determinar )t,x( 1 , i.e., a soluo da equao em um instante t1, sem qualquer ambigidade. Neste contexto podemos dizer que a equao de Schrdinger d a evoluo temporal dos objetos qunticos de forma completamente causal. (Isto no significa que a funo no possa ser expressa como uma superposio de estados relativos a determinados observveis.)

Observe-se tambm que mesmo no caso mais simples da equao de Schrdinger para partculas qunticas livres ocorrem solues complexas ( ( )tkxiAe)t,x( = ).

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Como veremos mais tarde ao estudar as solues de problemas particulares, deve-se assegurar que todos os resultados de medidas de possveis grandezas observveis sejam expressos em termos de nmeros reais. O mdulo ao quadrado da funo de onda deve conduzir densidade de probabilidade, como proposto a partir da experincia de Young. Se, por exemplo, a equao de onda descreve o movimento de um eltron "confinado" a uma caixa, o eltron certamente se encontra dentro da caixa e portanto a soma das probabilidades sobre toda a regio deve ser igual a 1. Isto ,

1dx)t,x(2 = ,

que conhecida como condio de normalizao da funo de onda.

Alm disto a forma da funo de onda que satisfaz a equao de Schrdinger depende do termo de potencial (aqui usamos somente V(x)), mas em geral exige-se que (x,t) seja contnua pois a funo de probabilidade |(x,t)|2 no varia descontinuamente de ponto a ponto. Existem, ento, importantes condies que a funo de onda (x,t), soluo da equao de Schrdinger, deve cumprir.

Quando a interao (o potencial V) depende adicionalmente do spin, a funo de onda tambm depender do spin, de tal modo que se pode escrever por exemplo (x, se, t). Estas solues podem em alguns casos ser separveis, i. e., pode se ter

ee S)t,x()t,S,x( = .

Equao de autovalores da energia

Se na equao de Schrdinger o potencial no depende do tempo existiro solues estacionrias do tipo (x,t) = e-it.E(x) (separveis). Para estas solues, a equao de Schrdinger conduz

)x()x(Vxd

)x(dm2

)x(E E222

E += h , para a parte espacial E(x) de (x,t). A equao acima denominada de equao de autovalores para a energia e no (mais) uma equao de evoluo temporal.

Dadas as condies de contorno do problema particular a resolver, esta equao d os nicos valores que a energia pode adotar num problema particular.

Exerccios 1. Mostre que )tkx(iAe uma soluo da equao de Schrdinger dependente do

tempo para a partcula quntica livre. Verifique se Ae-i (kx-t) , Ae+i(kx+t) e Ae-i (kx+t) tambm o so.

2. Lembrando que e ikx = cos kx i sen kx, construa outras possveis solues para a equao da questo 1.

3. Qual o valor do mdulo ao quadrado de (x,t) = A e i (kx-t) para kx = 0 , kx = 5 e kx = 100. Calcule estes valores para os instantes de tempo t1 e t2 tais que t1 = 10 e

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t2 = 200. [Lembrar que mdulo ao quadrado de um nmero complexo o produto deste nmero pelo seu complexo conjugado (a+ib)(a-ib) = a2+b2.]

4. Trace um grfico da intensidade de contagens relativo funo da questo anterior. 5. Determine |(x,t)|2 para uma soluo da equao de Schrdinger dada por ( ) ( ) t2iti ekxe54ee51)t,x( 22)kx(2122)kx(21 += t, para kx = 1 e t = 10. Interprete o

resultado. 6. Verifique se uma soluo do tipo (x,t) = e-it(x) da equao geral de Schrdinger

dependente do tempo conduz a uma equao de autovalores. 7. Que condies deve cumprir uma funo de onda para ser soluo da equao de

Schrdinger? 8. Dados os seguintes grficos, da parte espacial (x) da funo de onda desenhe

|(x)|2 das possveis solues. Indique: a) no entorno de quais pontos mais provvel encontrar a partcula em cada caso; b) se mais provvel encontrar a partcula no entorno do ponto a no grfico 1 do que no entorno do ponto c; c) se mais provvel encontrar a partcula no entorno do ponto c no grfico 2 do que no entorno do ponto d.

Bibliografia "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles", de R. Eisberg & R. Resnick. John-Wiley & Sons, N. York, 1974.

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AUTOVALORES DE ENERGIA - APLICAES.

Na ltima aula apresentamos a equao de autovalores do observvel energia.

Vamos agora resolv-la para alguns potenciais particulares. A partir dos resultados obtidos para os autovalores de energia, i.e., do espectro de energia, discutiremos a questo da quantizao da energia e dos estados qunticos estacionrios. Veremos que o espectro de energia pode compreender valores isolados (espectro discreto) e/ou faixas de energias (espectro contnuo).

Vimos que a soluo da equao de Schrdinger dependente do tempo para uma partcula livre (problema em uma dimenso espacial) pode ser dada por

(x,t) = A ei (kx-t), sendo A uma constante, pk =h e m2

pE2

== h .

Pode-se mostrar que para um potencial constante em todo espao V(x) = V0V(x), a partcula pode ser encontrada em todo o intervalo: o movimento da partcula no sofre limitao. Para uma energia E2

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Exerccios 1. Apresentar 2 exemplos de potenciais variveis como o da Fig. 1 e discutir as

possibilidades de localizao de uma partcula clssica no espao.

Estudaremos a seguir alguns problemas qunticos simples que constituem "variaes" de um potencial particular, o chamado poo quadrado de potencial unidimensional. Vide Fig. 2. Este problema pode ser resolvido "formalmente" por regies, desde que as solues nas distintas regies sejam corretamente interligadas.

V(x) I- Regio de Poo I II III II- Regio de Barreira III- Regio de Poo 0 x

Figura 2

Embora este potencial seja muito simples (e por algum tempo tenha sido considerado como uma aproximao grosseira de potenciais "mais realsticos", como potenciais de molculas, por exemplo), nos anos recentes conseguiu-se submeter objetos qunticos a potenciais deste tipo, i. e., foi possvel constru-los com muita preciso. Os chamados "poos qunticos" so heteroestruturas, i.e., estruturas obtidas a partir da juno de distintos materiais, geralmente em camadas. Esta juno feita ao nvel atmico.

Muitas das propriedades especiais destes materiais derivam do confinamento quntico de eltrons de um material semicondutor11 (que funciona como "poo") em camadas finas (da ordem de 40 tomos de espessura), material este que colocado no meio de duas camadas de outros semicondutores, que atuam como "barreiras".

Estes poos, alm de permitir estudar, observar e controlar muitos efeitos qunticos que antes "pertenciam" s teoria, tm propriedades eletrnicas e ticas muito importantes. Por exemplo podem ser utilizados em dispositivos eletrnicos avanados (como transistores de heterojuno bipolar e dispositivos de tunelamento ressonante), em componentes ticos (guias de onda e microressonadores) e em dispositivos e estruturas tico-eletrnicas (como laser de diodo e fotodetectores). Um aspecto importante dos poos qunticos que permitem uma integrao entre os campos da eletrnica e da tica. 11 Tipo de material que por sua estrutura aumenta a condutibilidade com o aumento da temperatura, ao contrrio dos condutores.

33

Exerccios 2. Abaixo encontra-se o grfico de um potencial unidimensional V(x) e da autofuno de energia de um eltron sob a ao desse potencial. IV V I II -1 0 +1 (As regies II e III tem a mesma largura.) 2.1 Se o eltron estivesse se movendo classicamente (ou seja, segundo as leis de Newton) no potencial V(x) com energia E, quais das afirmaes seguintes seriam verdadeiras? a)A partcula se move mais rapidamente na regio II do que na regio III; b) a partcula se move mais rapidamente estivesse na regio III do que na regio I; c) fotografando a partcula em vrios instantes, nunca a encontraremos na regio IV; d) fotografando a partcula em vrios instantes de tempo, seria mais provvel encontr-la na regio II; e) se se tomasse uma fotografia da partcula num tempo qualquer, seria mais provvel que a achssemos na regio III. 2.2. Se a partcula estivesse se movendo segundo a equao de Schrdinger no potencial V(x) com energia E, quais das seguintes afirmaes seriam verdadeiras? a) Se medirmos a posio da partcula num instante qualquer, nunca a encontraremos na regio V; b) se medirmos a posio da partcula num instante qualquer, nunca a acharamos na regio IV; c) se medirmos a posio da partcula num instante qualquer, seria mais provvel ach-la na regio II do que na regio III; d) se medirmos a posio da partcula num instante qualquer, seria mais provvel ach-la na regio III do que na regio IV.

Bibliografia "Quantum mechanics" de L. Schiff. Mc-Graw-Hill Book Company, Tokyo, 1970.

III

0

E

V(x)

34

PARTCULA EM UMA CAIXA - POO INFINITO

Vejamos ento o comportamento dos objetos qunticos quando sujeitos a potenciais do tipo poo quadrado. Comecemos pelo caso de uma partcula quntica que esteja impedida de sair de uma determinada regio, como se estivesse confinada a uma caixa com paredes de altura infinita. No exemplo, a caixa unidimensional e de comprimento L.

Este potencial pode ser descrito como

V(x) = 0, para 0

35

Alm disto, em x = L, (x = L) = A sen (kL) = 0. (3) Esta condio ser satisfeita se kL = n. (n = ...)3,2,1 ou seja

Lkn

= N . (4)

Exerccios 3. Verifique se (x) = A e ikx + B e -ikx soluo da equao 1. 4. Por que a relao 4, no inclui o valor n = 0 ? Ento, para cada valor de n h uma funo de onda n (x) dada por

n (x) = An sen (nx/L). De outra parte, como kn2 = 2m En / h 2, resulta

= 2

222

n mL2nE h (5)

A soluo da equao de Schrdinger dependente do tempo para um estado com autovalor de energia En , neste caso, da forma

( ) htniEn esenAe)x()t,x( Lxnntinn == . (6) Estes so os autovalores de energia ou seja, as nicas energias permitidas (que esto quadraticamente espaadas) para as partculas qunticas dentro da caixa. Isto significa que o espectro de energia discreto: a energia est quantizada, podendo adotar somente os valores dados pela relao (5). O espectro discreto de energias caracterstico de partculas que esto confinadas.

Figura 3

Observe a Fig. 3. Note que o primeiro valor de energia permitida (que corresponde a n = 1) est acima do fundo do poo. Essa energia mnima (a energia do estado fundamental) dada pela equao (5), fazendo n = 1. Assim,

E

E1

E3

E2

36

2

22

1 mL2E = h .

Exerccios 5. O que voc pode dizer sobre o estado de energia de uma partcula quntica confinada a uma caixa antes de efetuar uma medio? E depois de efetuar uma medio? 6. Qual a energia mnima dada pela relao de incerteza para o estado fundamental de uma partcula confinada a uma caixa? Relacione essa energia com a dada pela relao (5) e interprete esse resultado. 7. Calcule a razo entre as energias do estado fundamental de uma partcula confinada a uma caixa quando a partcula um eltron (me =9,1.10-31kg) e quando a partcula um prton (mp=1,67.10-27kg). Qual das duas energias maior?

Qual seria a distribuio de probabilidades de localizao da partcula para os diferentes autoestados de energia? Para isso precisamos calcular

)(senA)t,x()x(P Lxn22

n2

n== . (7)

Esta densidade de probabilidade no depende do tempo, uma distribuio estacionria. Por isso no adequado imaginar o eltron como uma partcula oscilando, para l e para c, entre as paredes da caixa. Uma viso possvel do eltron a de imagin-lo como uma nuvem de carga distribuda com uma densidade de carga proporcional a e-.||2. Assim, por exemplo, para o estado fundamental, em que ||2 da forma mostrada no grfico abaixo, a nuvem eletrnica tem seu mximo no centro da caixa e se espalha por toda ela. |1|2 0 L x

Figura 4

Exerccios 8. Qual seria o comportamento de uma partcula clssica sujeita a um potencial como o da caixa da Fig. 3? 9. Calcule o valor da constante An da soluo (6) de modo a satisfazer a condio de normalizao (norma igual a 1). 10. Encontre os valores de E2, E3 e E4 no caso de uma partcula confinada numa caixa, em funo de E1, em unidades de E1.

37

11. Faa um esboo das autofunes correspondentes aos quatro primeiros autoestados de energia para o potencial de caixa. Interprete os resultados com a imagem de distribuio de carga. Desenhe aproximadamente a soluo para n = 20. Compare com a distribuio que esperaria no caso clssico. 12. Calcule os autovalores de energia para um poo de potencial infinito como o da figura abaixo. V(x)

Bibliografia "Quantum mechanics" de L. Schiff. Mc-Graw-Hill Book Company, Tokyo, 1970. "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles", de R. Eisberg & R. Resnick. John-Wiley & Sons, N. York, 1974.

-a/2 0 +a/2 x

38

DEGRAU DE POTENCIAL.

Estudamos anteriormente as solues da equao de autovalores para uma partcula quntica de massa m confinada a uma caixa (problema unidimensional). Este o chamado potencial quadrado de poo infinito. Veremos agora outros problemas de autovalores de energia para potenciais constantes por regies, mas variveis de modo descontnuo de uma regio a outra.

Potencial degrau (barreira de potencial). V(x)

V(x) = 0 para x 0 e V(x) = V0 para x > 0 V0 I II 0 x

A equao de autovalores

)x(E)x()x(Vdx

)x(dm2 2

22

=+ h . Pode-se ter E > V0, E = V0 e E < V0. a) E > V0

Define-se 221

mE2k h= e 222

)VE(m2k h= .

As solues nas regies I e II so formalmente:

xikxik1 11 BeAe)x(+= ,

xikxik2

22 DeCe)x( += . (Lembrar que ei (k x - t) corresponde a uma partcula com velocidade e e -i (k x - t), a uma com velocidade )

Se o objeto quntico incide da esquerda para a direita, D = 0 pois no h reflexo

no "infinito". (Em linguagem ondulatria, identificaramos o termo A ei k x como o da onda incidente, o termo B e -i k x como o da onda refletida e o termo C ei k x como o da onda transmitida.) Exigindo continuidade para a funo de onda e sua derivada primeira em x = 0 teremos

1 (x = 0) = 2 (x = 0) e '1 (x = 0) = '2 (x = 0), (1)

39

de onde se obtm as relaes:

A + B = C e ik1 (A - B) = ik2 C, de forma que

)kk()kk(AB

21

21

+= e

)kk(Ak2C

21

1

+= (2) Os coeficientes de reflexo (R) e de transmisso (T) so dados por

221

221

2

)kk()kk(

ABR +

== e

T = 1 - R = 2

1

22

21

21

AC

kk

)kk(kk4 =+ .

Tem se aqui um efeito tipicamente quntico: na Mecnica Clssica, uma

partcula com E > V "totalmente transmitida" enquanto quanticamente ela tem uma probabilidade no nula de ser "refletida" (ainda que tenha energia suficiente para ultrapassar o degrau de potencial). Este efeito aparece exemplificado na Fig. 1, em que um pacote de ondas com energia E encontra um potencial V

40

xikxik1

11 BeAe)x( += xkxk

222 GeFe)x( += , ou seja na regio I a soluo ainda a mesma que no

caso anterior, entanto que na regio II muda porque k22 < 0 (E 0, ela completamente refletida.

Barreira finita Tomemos agora o caso em que temos uma barreira de altura e largura finita. Ento, V(x) = 0 para x 0, V(x) = V0 para 0 < x < L, V(x) = 0 para x L V(x) I II III V0 a) E < V0

Consideremos uma partcula com energia E < V0, incidindo da esquerda.

Classicamente, em coliso elstica, ter-se-ia reflexo total. Quanticamente no entanto, a soluo da equao de autovalores de energia d uma distribuio de probabilidades como a que aparece na Fig. 2. Ou seja, existe uma certa probabilidade de que a partcula seja encontrada direita da barreira.

x 0 L

41

Quando kL >>1 o coeficiente de transmisso regulado por e-2Lk, com 2

1

20 )EV(m2k

= h . Neste caso a probabilidade de transmisso pequena. Na Fig. 2

est representada a densidade de probabilidade para este caso.

Figura 2

Ou seja, quanticamente, os objetos podem "tunelar" atravs de uma barreira: a probabilidade de transmisso pequena, mas distinta de zero. (A penetrao de uma barreira tambm se pode observar, por exemplo, quando um raio de luz incide numa lmina de faces paralelas.) O tunelamento quntico se manifesta em uma grande variedade de fenmenos, dos quais o primeiro a ser estudado foi o da emisso de partculas (ncleos de tomos de hlio) por ncleos radioativos. Uma partcula constituda por dois prtons e dois nutrons fortemente ligados. Uma particularidade destas partculas que a meia-vida de desintegrao associada s mesmas muito varivel (de 10-7 s at 1010 anos) e se sabe que est vinculada sua energia (quanto menos energtica uma partcula, maior a sua meia-vida).

Para explicar este fenmeno, em 1928 o fsico Gamow imaginou que os ncleos radioativos atuassem como um poo quadrado de potencial, como o da Fig. 3, em cujo interior estivessem as partculas . Quando as partculas eram emitidas, eram repelidas por foras colombianas (a carga da partcula + 2e e a carga do ncleo, depois da emitir a partcula +(Z-2)e). Enquanto estivessem dentro do ncleo, no entanto, as partculas "sofreriam reflexo" nas paredes do poo. Cada vez que atingissem a parede, haveria uma pequena probabilidade de que conseguissem "tunelar". Como o tunelamento depende tanto da espessura da barreira quanto de sua altura relativa, um pequeno aumento na energia reduziria, ademais, a espessura da barreira (ver Fig. 3) e portanto aumentaria a probabilidade de a partcula atravessar a barreira de potencial. Por isso, quanto menor a energia das partculas , menor a probabilidade de as mesmas sarem do ncleo e portanto maior a sua meia-vida.

42

Figura 3

Outro exemplo de tunelamento que nos muito familiar tem relao com a prtica de muitos eletricistas, de reunio de dois fios. A forma habitual em que um eletricista junta dois fios enrolando a extremidade de um na extremidade do outro. Normalmente existe uma camada fina de xido de Alumnio entre os dois fios, que um isolante efetivo. Esta camada, no entanto, fina o suficiente para permitir que os eltrons de um dos fios "tunelem" por essa barreira e efetivamente produzam a transmisso de corrente.

O tunelamento tem adicionalmente importantes aplicaes tecnolgicas, como no caso do microscpio eletrnico de varredura por tunelamento (Fig. 4). Neste microscpio existe uma distncia muito pequena entre o material a ser observado e uma ponta delgada que atua como barreira para os eltrons da amostra, tipicamente da ordem de uns poucos dimetros atmicos. Com uma pequena voltagem se pode conseguir que os eltrons menos ligados do material - os eltrons de conduo - "tunelem" pela regio de vcuo entre a amostra e a ponta. Como a relao entre a probabilidade de transmisso e a separao exponencial, qualquer protuberncia na amostra que modifica a distncia de separao, provoca uma variao na corrente de tunelamento. As medidas da "corrente de tunelamento" (que proporcional probabilidade de transmisso) geram o mapa topogrfico da amostra enquanto a ponta faz a varredura sobre a superfcie do material. Assim possvel, ainda que no seja tecnologicamente simples, medir as caractersticas da superfcie do material com uma resoluo da ordem de grandeza do tamanho do tomo. Figura 4

V( r)

r

E

43

Exerccios 1. Calcule a razo entre as energias E2 e E3, entre E15 e E16 e entre E35 e E36 para o

caso do poo de potencial infinito. O que se poderia dizer sobre as razes entre as energias dos nveis quando n cresce?

2. Indique o que acontece com os nveis de energia de um objeto quntico elementar sujeito a um poo de potencial quadrado finito quando a energia maior do que a altura do poo.

3. Qual a descrio clssica de uma partcula em um potencial do tipo degrau para E > V0, para E = V0, e para E < V0?

4. Explique porque vale a relao (1). 5. Verifique a relao (2). 6. O que acontece no caso do potencial degrau se a energia estiver muito prxima do

valor mximo do potencial (E Vmax.)? 7. Como se pode aumentar o coeficiente de transmisso em uma barreira de potencial? 8. Analise o problema de autovalores de uma partcula sujeita a uma barreira finita em

altura e largura, quando E > V0.

Estes problemas so continuao dos problemas correspondentes apresentados para o caso do poo de potencial infinito.

44

TOMO DE HIDROGNIO

Nos primrdios da Mecnica Quntica, em um perodo que poderamos chamar de "pr-quntico", Niels Bohr introduziu um modelo que permitia descrever quantitativamente o espectro do tomo de hidrognio, embora custa de algumas imposies bastante "estranhas". Assim, por exemplo, a teoria de Bohr no explicava o porqu e sim postulava que o eltron do tomo s podia existir em determinados estados de energia. Alm disso a tentativa de aplicar esse modelo a tomos mais complicados que o de hidrognio teve escasso sucesso. J a Mecnica Quntica, obteve seu primeiro grande sucesso (atravs do estudo das solues estacionrias da equao de Schrdinger com o potencial de Coulomb) ao propiciar a compreenso e descrio bastante detalhada do espectro do tomo de hidrognio (e dos hidrogenides), bem como o entendimento das periodicidades da tabela peridica.

Dada a sua importncia descreveremos agora, ainda que no muito

detalhadamente, o tratamento quntico do tomo de hidrognio. O tomo de hidrognio, o mais simples de todos, um sistema ligado, constitudo por um prton e um eltron que interagem como partculas carregadas, de cargas iguais e opostas. Para uma descrio completa deste tomo precisaramos, ento, considerar os termos de energia cintica das duas partculas de que est composto. No entanto como a massa do prton muito grande se comparada com a do eltron (1856), pode-se recorrer a uma aproximao que trata o tomo como constitudo por um ncleo "parado", o prton, e uma nica partcula, o eltron, com a massa levemente modificada (massa reduzida do sistema), sujeito ao potencial decorrente da atrao electrosttica do prton. O estado do eltron ligado no tomo, ento, ser descrito por uma funo de onda,( rr ,t) - sendo rr a distncia do eltron ao prton - e o mdulo ao quadrado de dar a probabilidade de localizao do eltron em um instante de tempo, em uma certa regio do espao. Para as solues estacionrias, da imposio das condies de contorno s solues formais da equao de autovalores (funes de onda) se obter a quantizao da energia do eltron (do tomo).

O potencial ao qual est sujeito o eltron atrativo, tende a zero quando r cresce e tende em valor absoluto a infinito quando r tende a zero.

r

k)r(V2e= , sendo e a carga do eltron e

041k = .

E por isso as energias permitidas para o eltron, que est "confinado" ao

potencial, so energias negativas.

45

Ainda que este problema seja tridimensional, o potencial s depende de r e portanto se tratarmos o problema em coordenadas esfricas a equao de Schrdinger pode ser separada em parte radial e parte angular. Como ( rr ,t) = ( rr ). T(t) e buscando solues da forma, em coordenadas esfricas,

( rr ) (r, , ) = R (r). f (). g (), A equao de autovalores para (r, , ) decorrente

( ) ),,r(),,r()r(22

22

22

2

2

EVsen

1sensen

1mr2r

rrr

1m2

=+

+

hh

Esta equao resulta em trs equaes diferenciais ordinrias relativas a cada

uma das variveis r,,. A funo energia potencial V(r) s ocorre na equao radial, de forma que no afeta a forma das solues das equaes em e .

Segundo vimos na aula sobre Equao de Schrdinger para que uma funo de onda seja soluo, com significado fsico, da equao de Schrdinger, ela deve ser "bem comportada" (em geral contnua e com norma finita). No caso do poo quadrado infinito unidimensional esta exigncia determina a existncia de um nmero quntico n que caracteriza as nicas solues possveis para esse potencial e os nicos valores de energia vinculados a tais solues (quantizao da energia). No caso do tomo de hidrognio, em que o problema tridimensional, esta exigncia determina a existncia de trs nmeros qunticos, cada um deles associado soluo de uma das equaes de autovalores das variveis. Estes nmeros esto relacionados e seus valores possveis so:

n = 1, 2, 3,....(qualquer nmero inteiro positivo maior que zero); l = 0, 1, 2,.......n-1(qualquer nmero inteiro positivo desde zero at n-1); m = -l, -l+1, -l+2,..0,...+l(todos os inteiros desde -l at +l).

n chamado de nmero quntico principal e est associado soluo da parte

radial da equao (e, portanto, probabilidade de encontrar o eltron a uma certa distncia do ncleo). l chamado de nmero quntico orbital e est associado ao momento angular orbital do eltron enquanto m chamado de nmero quntico magntico e est associado projeo do momento angular sobre uma direo escolhida. (Como em geral esta direo a de um campo magntico externo aplicado, decorre o nome nmero quntico magntico.)

Nveis de energia do eltron no tomo de hidrognio

Assim como no caso do poo quadrado os nveis de energia permitidos para as partculas nele confinadas esto caracterizados pelo nmero quntico, tambm aqui os nmeros qunticos caracterizam as energias permitidas para o eltron do tomo de Hidrognio. Para este tomo em particular os nveis de energia s dependem de n sendo dados por

En = - E0. 21n

, com n = 1, 2, 3,...

Relao entre coordenadas retangulares e esfricas para um ponto P.

46

sendo 24

0 2mE h

e= =13,6 eV.

Em geral, em tomos com mais eltrons, os nveis de energia dependem tambm do nmero quntico orbital l. Se o tomo estiver sob efeito de um campo magntico, a energia depender, alm disto, do nmero quntico magntico m.

Exerccios 1. O que significa o fato de as energias dos estados possveis do eltron no tomo de hidrognio serem negativas? 2. Voc diria que podem existir solues da equao de Schrdinger para um eltron no potencial colombiano de um prton, em que as energias so positivas? Explique a sua resposta. Se a sua resposta for SIM, este sistema um tomo de hidrognio? V(r) r 3. Para n = 3 que energia se obtm para o eltron do tomo de hidrognio? Neste caso, quais os valores possveis de l? Para cada valor de l, relacionar os possveis valores de m. Qual o nmero total de estados possveis do eltron para n = 3? Quantas funes de onda diferentes apresentaro a energia calculada acima?

Como se pode observar para n = 1 tem-se o menor valor da energia possvel para o tomo de hidrognio, correspondente ao que chamamos de estado fundamental do sistema (tomo). Ainda que o eltron do tomo possa estar por alguma razo em uma superposio de estados de energia, (combinao de diferentes funes de onda associadas a diferentes n, l e m e portanto a diferentes valores de energia), como sempre ocorre na Natureza, ele tender a decair ao estado fundamental, ou seja ao seu estado de menor energia.

O que obteramos do Princpio de Incerteza nesta situao?. A energia total do eltron compreende uma contribuio cintica e uma potencial. O potencial a que est submetido o eltron a uma distncia r do prton, V(r) = -k.e2 / r . Se, em uma imagem semiclssica, o eltron pelo Princpio de Incerteza estivesse confinado a uma esfera de raio r teria uma energia cintica cujo mnimo dado por

( )2

22

cintica mr2m2

pE h=

Ou seja uma estimativa para a energia total seria

47

2

22

c mr2rkE)r(V)r(E h+=+= e .

Calculando o mnimo desta expresso em funo de r se obtm uma distncia

(do eltron ao prton) "associada" ao estado fundamental. Esse valor, 22

0 kma eh= ,

chamado raio de Bohr.

O que o Princpio de Incerteza diz que se o eltron est confinado a uma regio muito pequena ao redor do ncleo a incerteza na sua posio pequena mas a incerteza no seu momento ser grande e portanto sua energia, devida a parte cintica, tambm grande. Se queremos que a energia do eltron seja pequena, devemos "dar-lhe bastante espao" de modo que a incerteza na sua posio se torne maior. O estado fundamental resulta ento de um "compromisso" entre uma contribuio cintica e uma contribuio potencial, no muito pequenas nem muito grandes, energia.

Exerccios 4. O eltron de um tomo de Hidrognio se encontra no estado de menor energia possvel. O que se pode dizer sobre a posio e o momento do eltron?

Funes de onda do tomo de hidrognio

As funes de onda que so soluo da equao de Schrdinger para o tomo de hidrognio dependero dos trs nmeros qunticos n, l e m. Segundo vimos, para cada valor de n, existem n valores possveis de l e para cada valor de l existem 2l+1 valores distintos de m. Como a energia neste caso s depende de n, existem em geral muitas funes de onda diferentes que correspondem mesma energia (ou seja, funes com o mesmo valor de n e com distintos valores de l e de m). Neste caso se diz que as solues so degeneradas em energia. A Fig. 1 mostra o diagrama dos nveis de energia do eltron no tomo de hidrognio. Aparecem ali os estados com a mesma energia (ou seja, o mesmo n) mas diferentes valores de l. Esses estados so identificados pelo valor de n e por uma letra simblica: s, p, d, f, g, ... A letra s representa os estados que no possuem dependncia angular (l = 0 e m = 0). H um s desses estados para cada n. Para n fixo, quando o momento angular orbital igual a 1, existem trs possveis funes (ou uma combinao linear delas) que do conta da variao angular. Estes so os chamados estados p. Se o momento angular orbital igual a 2 (e n fixo), existem 5 possveis funes associadas (ou combinaes delas). Estes so os estados d.

48

Figura 1

No estado fundamental, com energia -13,6 eV, temos n = 1, l = 0 e m = 0. A

funo de onda para este estado ar2

3

ea11

00m,1l,1n

= === , o fator 2

3

0a11

sendo

uma constante determinada pela condio de normalizao ( = 1rd)r( 2 rr ).

Exerccios 5. Como surgem na Mecnica Quntica os distintos nveis de energia permitidos para o eltron em um tomo de hidrognio?

O que se pode dizer sobre a "localizao" do eltron quando est em seu estado fundamental? Para conhecer a sua provvel localizao devemos calcular a distribuio de probabilidade associada. Como o problema tridimensional, procura-se achar a probabilidade em um determinado volume. A densidade de probabilidade radial, dada por 2 vezes o volume da casca esfrica que tem raio r e espessura dr

22 r4dr)r(P = . Esta densidade, ilustrada esquerda na Figura 2, tem simetria esfrica ou seja depende apenas de r com valor mximo em r = a0. No grfico direita na Fig. 2 tem-se P(r) em funo do raio. Em contraste com o modelo de Bohr, onde o eltron do tomo permanece em "uma rbita definida", de fato quando o eltron do tomo tem a menor energia possvel podemos encontr-lo a distncias variadas do ncleo. A distncia mais provvel, no entanto, a0 (o raio de Bohr) e a probabilidade de encontrar o eltron a uma distncia muito maior que a0 , muito pequena.

49

Figura 2

Na Fig. 3 aparecem as distribuies de probabilidades para outros dois possveis estados do eltron. Nestes casos, no h simetria esfrica e as funes de onda dos estados so

= cosearC 0a2

r

0210210

= i

0211121 esenea

rC 0a2r

Distribuies de carga semelhantes a estas para os eltrons de valncia de tomos mais complicados so importantes na qumica das ligaes moleculares.

Figura 3

50

Exerccios 6. Qual, na sua opinio, seria o "tamanho" do tomo de hidrognio? 7. Pode-se imaginar os orbitais como "trajetrias" percorridas pelo eltron? 8. Achar os valores de , 2 e a densidade de probabilidade radial em r = a0 para o estado fun