Mecânica Relacional e Implementação do Princípio de Mach com a

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Mecnica Relacionale Implementao do Princpio de Machcom a Fora de Weber Gravitacional

Andr Koch Torres Assis

Mecnica Relacional

Uma nova mecnica proposta para substituir a mecnicanewtoniana e as teorias da relatividade de Einstein.

Implementa o princpio de Mach com uma fora de Webergravitacional e com o princpio de equilbrio dinmico.

Explica a experincia do balde de Newton com acurvatura da gua sendo devida a sua interaogravitacional com as galxias distantes quando h umarotao relativa entre a gua e o conjunto de galxias.

Destinado a fsicos, engenheiros, matemticos,historiadores, filsofos da cincia e seus estudantes.

Sobre o Autor

Andre Koch Torres Assis nasceu no Brasil e foi educado na UniversidadeEstadual de Campinas UNICAMP, obtendo o bacharelado em 1983 e odoutorado em 1987. Realizou um ps-doutorado na Inglaterra noLaboratrio Culham (United Kingdom Atomic Energy Authority, 1988) eoutro no Centro de Pesquisa Eletromagntica da Northeastern University(Boston, USA, 1991-1992). De agosto de 2001 at novembro de 2002,assim como de fevereiro a maio de 2009, trabalhou no Instituto para aHistria das Cincias Naturais da Hamburg Universitt (Hamburg,Alemanha), com bolsas de pesquisa concedidas pela Fundao Alexandervon Humboldt, da Alemanha. o autor de diversos livros em portugus eingls, entre eles: Eletrodinmica de Weber, Mecnica Relacional, Clculo deIndutncia e de Fora em Circuitos Eltricos (com M. A. Bueno), A ForaEltrica de uma Corrente (com J. A. Hernandes), Arquimedes, o Centro deGravidade e a Lei da Alavanca, Os Fundamentos Experimentais e Histricosda Eletricidade e O Modelo Planetrio de Weber para o tomo (com K. H.Wiederkehr e G. Wolfschmidt). Tem sido professor de fsica da UNICAMPdesde 1989, trabalhando com os fundamentos do eletromagnetismo, dagravitao e da cosmologia.

Mecnica Relacionale Implementao do Princpio de Mach

com a Fora de Weber Gravitacional

Andr Koch Torres Assis

ApeironMontreal

Published by C. Roy Keys Inc.4405, rue St-DominiqueMontreal, Quebec H2W 2B2 Canadahttp://redshift.vif.com

Andr Koch Torres Assis 2013

First Published 2013

National Library of Canada Cataloguing in Publication

Assis, Andr Koch Torres, 1962-, author Mecnicia relacional e implementao do princpio demach com a fora de Weber gravitacional / Andr KochTorres Assis.

Includes bibliographical references.ISBN 978-0-9864926-9-3 (pbk.)

1. Mechanics. 2. Gravitation. 3. Inertia (Mechanics).I. Title.

QC125.2.A87 2013 531 C2013-902721-1

Capa da frenteSo detectados efeitos visveis quando um carro uniformemente acelerado em relaoao solo (por exemplo, com uma acelerao a = 5 m/s2 para a direita): molas horizontaisficam deformadas, um pndulo fica inclinado com a vertical e a superfcie da gua em umrecipiente fica inclinada com a horizontal. O que aconteceria com estes corpos se fossepossvel acelerar uniformemente o conjunto de galxias no sentido oposto com a mesmaintensidade (por exemplo, com uma acelerao em relao ao solo de 5 m/s2 para aesquerda), mantendo o carro em repouso na Terra? Nada aconteceria de acordo com amecnica newtoniana. J de acordo com a mecnica relacional os mesmos efeitos devemocorrer em todos estes corpos. Como a situao cinemtica a mesma, com a mesmaacelerao relativa entre estes corpos e o conjunto de galxias, os mesmos efeitosdinmicos tm de acontecer. Fenmenos como estes so discutidos detalhadamente nestaobra.

Sumrio

Agradecimentos i

Prefcio iii

I A Mecnica Clssica 1

1 Mecnica Newtoniana 31.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Leis do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Gravitao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Formulao Moderna da Lei da Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Massa Inercial e Massa Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Formulao Original de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 As Foras Exercidas por Cascas Esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Linearmente Acelerada . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Girando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.4 Implicaes Cosmolgicas de uma Casca Esfrica Exercer Fora Nula sobre Corpos

Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 A Densidade Mdia da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 As Medidas da Massa Inercial, do Tempo e do Espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 Medida da Massa Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.2 Medida do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6.3 Medida do Espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Referenciais Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Outras Foras da Natureza 232.1 Fora de Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Fora Elstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Fora de Arraste em um Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Fora entre Cargas Eltricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Fora entre Polos Magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Fora de Ampre entre Elementos de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7 Fora entre um Dipolo Magntico e um Fio com Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Fora de Weber entre Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.8.1 O Modelo Planetrio de Weber para o tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.9 Equaes de Maxwell e Fora Baseada em Campos Eletromagnticos . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9.1 Definies do Conceito de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.9.2 Estas Definies So Contraditrias Entre Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9.3 Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9.4 Fora sobre uma Carga Baseada em Campos Eletromagnticos . . . . . . . . . . . . . 42

1

3 Tpicos Adicionais da Mecnica Clssica 433.1 Conservao do Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Conservao do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Energia Cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.3 Relao entre Fora e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.4 Conservao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Valores de Grandezas Terrestres, do Sistema Solar e Cosmolgicas . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Aplicaes da Mecnica Newtoniana 53

4 Corpos em Repouso sobre a Terra 554.1 Bloco Parado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Corpo Dependurado em um Fio ou Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Fio Inclinado em Relao Vertical quando uma Fora Horizontal Atua sobre o Corpo 574.3 Recipiente Parado com Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Movimento Retilneo Uniforme sobre a Terra 615.1 Corpo Deslizando em Relao ao Solo enquanto est Preso em uma Mola . . . . . . . . . . . 615.2 Corpo Dependurado em um Fio ou Mola enquanto Desliza em Relao ao Solo . . . . . . . . 635.3 Recipiente Deslizando sobre o Solo, com um Fluido em seu Interior . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Movimento Retilneo com Acelerao Constante sobre a Terra 656.1 As Experincias de Queda Livre de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1.1 Um Corpo em Queda Livre Cai com uma Acelerao Constante em Direo ao Solo . 656.1.2 A Acelerao No Depende do Peso do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.1.3 A Acelerao No Depende da Densidade nem da Composio Qumica do Corpo . . . 686.1.4 Newton e a Igualdade entre os Tempos de Queda Livre de Corpos Diferentes Soltos da

Mesma Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.5 O Valor da Acelerao de Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Queda Livre na Mecnica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.1 Resultados Obtidos a partir das Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.2 A Proporcionalidade entre o Peso e a Massa Inercial a partir das Experincias de Queda

Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.3 Movimento de Atrao entre Dois Corpos no Referencial das Estrelas Fixas . . . . . . 72

6.3 Carga Eltrica no Interior de um Capacitor Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3.1 Fora Eletrosttica por Unidade de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3.2 Carga Parada no Interior do Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3.3 Carga sendo Acelerada no Interior do Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Preso em uma Mola . . . . . . . . 796.4.1 Distino entre Velocidade e Acelerao a partir da Variao do Comprimento da Mola 796.4.2 Qual a Origem da Fora que est Esticando a Mola? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Dependurado em um Fio . . . . . . 806.5.1 Proporcionalidade entre o Peso e a Massa Inercial a partir da Inclinao do Fio . . . . 816.5.2 Distino entre Velocidade e Acelerao a partir da Inclinao do Fio . . . . . . . . . 826.5.3 Distino entre Acelerao Relativa e Acelerao Absoluta a partir da Inclinao do Fio 836.5.4 Qual Seria a Inclinao do Fio se Todas as Estrelas e Galxias ao Redor da Terra

Fossem Aniquiladas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5.5 Qual a Origem da Fora que est Inclinando o Fio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.6 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Dependurado em uma Mola . . . . 876.7 Recipiente Acelerado sobre o Solo, com um Fluido em seu Interior . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.7.1 Formato da Superfcie Livre do Fluido e a Presso em Seu Interior . . . . . . . . . . . 896.7.2 A Proporcionalidade entre a Massa Inercial e a Massa Gravitacional a partir das Ex-

perincias com Fluidos Acelerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.7.3 Distino entre Velocidade e Acelerao a partir da Inclinao do Fluido . . . . . . . . 92

6.7.4 Distino entre Acelerao Relativa e Acelerao Absoluta a partir da Inclinao doFluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.7.5 Qual Seria a Inclinao do Fluido se Todas as Estrelas e Galxias ao Redor da TerraFossem Aniquiladas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Movimentos Oscilatrios 957.1 Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1.1 Perodo e Frequncia Angular de Oscilao de uma Mola . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1.2 A Razo entre os Perodos de Oscilao de Dois Corpos Presos a uma Mesma Mola

Depende da Razo entre Suas Massas Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2 As Experincias com Pndulo de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2.1 Relao entre o Perodo de Oscilao e o Comprimento do Pndulo . . . . . . . . . . . 977.2.2 O Perodo de Oscilao de um Pndulo No Depende de Seu Peso nem de Sua Com-

posio Qumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2.3 Relao entre o Perodo de Oscilao de um Pndulo, Seu Comprimento e a Acelerao

de Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3 Pndulo Simples na Mecnica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3.1 Perodo e Frequncia Angular de Oscilao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3.2 A Proporcionalidade entre o Peso e a Massa Inercial a partir das Experincias com

Pndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.3.3 Experincias de Newton com Pndulos Mostrando a Proporcionalidade entre o Peso e

a Massa Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4 Pndulo Eletrizado Oscilando sobre um m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4.1 Precesso do Plano de Oscilao com o Eletromagnetismo Clssico . . . . . . . . . . . 1047.4.2 Situaes nas quais Obtm-se um Campo Magntico Uniforme . . . . . . . . . . . . . 1067.4.3 Precesso do Plano de Oscilao com a Eletrodinmica de Weber . . . . . . . . . . . . 110

8 Movimento Circular Uniforme 1138.1 Acelerao Centrpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.2 rbita Circular de um Planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2.1 Planeta Orbitando ao Redor do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.2.2 Proporcionalidade entre a Massa Inercial e a Massa Gravitacional de Qualquer Planeta

a partir da Terceira Lei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.2.3 A Massa Inercial de Qualquer Corpo Parece estar Associada s Interaes Gravitaci-

onais deste Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2.4 Movimento Orbital de Dois Corpos no Referencial das Estrelas Fixas . . . . . . . . . . 118

8.3 Rotao de Dois Globos, em Relao a um Referencial Inercial, ao Redor do Seu CentroComum de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3.1 Dois Globos Girando Presos por uma Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3.2 Dois Globos Girando Presos por uma Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.3.3 Newton e a Distino entre a Rotao Relativa e a Rotao Absoluta . . . . . . . . . 121

8.4 A Experincia do Balde de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.4.1 Balde Parado ou Girando Junto com a gua em Relao ao Solo . . . . . . . . . . . . 1238.4.2 A Proporcionalidade entre a Massa Inercial e a Massa Gravitacional a partir da Forma

Cncava de Fluidos Girando Juntos com Seus Baldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.4.3 Newton e a Distino entre a Rotao Relativa e a Rotao Absoluta do Balde Girando

Junto com a gua na Superfcie da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.4.4 Qual Seria o Formato da gua se Todos os Outros Corpos Astronmicos Desaparecessem?1308.4.5 Qual Seria o Formato da gua se Ela Ficasse Parada em Relao ao Solo e Todos os

Outros Corpos Astronmicos Girassem Rapidamente ao Redor do Eixo do Balde? . . 130

9 Rotaes Dirias da Terra 1339.1 Rotaes Relativas ou Cinemticas da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.1 Rotao em Relao s Estrelas Dia Sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.1.2 Rotao em Relao ao Sol Dia Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.1.3 Rotao em Relao s Galxias Distantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.1.4 Rotao em Relao Radiao Csmica de Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.1.5 Equivalncia entre os Sistemas Ptolomaico e Copernicano a Partir das Rotaes Cine-mticas da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.2 Rotaes Dinmicas da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.2.1 Previso de Newton para o Achatamento da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.2.2 Clculo do Achatamento da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.2.3 Qual Seria o Formato da Terra se Ela Ficasse Parada no Espao e Todos os Outros

Corpos Astronmicos Girassem ao Redor de Seu Eixo Norte-Sul com um Perodo deUm Dia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.2.4 Pndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.2.5 Giroscpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.2.6 No H Equivalncia entre os Sistemas Ptolomaico e Copernicano a Partir das Rotaes

Dinmicas da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.2.7 O que Aconteceria com o Plano de Oscilao do Pndulo de Foucault se, com Exceo

da Terra, Todos os Outros Corpos Astronmicos Desaparecessem? . . . . . . . . . . . 158

10 Sistemas de Referncia No Inerciais e as Foras Fictcias 16110.1 Corpos em Repouso sobre a Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.2 Movimento Retilneo com Acelerao Constante sobre a Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.2.1 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.2.2 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Dependurado em um Fio . 16510.2.3 Recipiente Acelerado sobre o Solo, com um Fluido em seu Interior . . . . . . . . . . . 166

10.3 Movimento Circular Uniforme e a Fora Centrfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.3.1 rbita Circular de um Planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.3.2 Dois Globos Girando Presos por uma Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.3.3 A Experincia do Balde de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.4 Rotao da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.4.1 Achatamento da Terra no Referencial Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.4.2 Clculo da Precesso do Plano de Oscilao do Pndulo de Foucault no Referencial

Terrestre Utilizando a Fora de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.4.3 Comparao da Rotao Cinemtica com a Rotao Dinmica da Terra . . . . . . . . 176

10.5 Fora Fictcia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

III Problemas com a Mecnica Newtoniana 179

11 Paradoxo Gravitacional 18111.1 Newton e o Universo Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.2 O Paradoxo Baseado na Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.3 O Paradoxo Baseado no Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18411.4 Solues do Paradoxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.4.1 Suposio I: O Universo Tem uma Quantidade Finita de Matria . . . . . . . . . . . . 18511.4.2 Suposio II: A Lei de Newton da Gravitao Deve Ser Modificada . . . . . . . . . . . 18611.4.3 Suposio III: Existem Dois Tipos de Massa Gravitacional no Universo, Positiva e

Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.5 Relao entre a Gravitao, a ptica e a Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.6 Absoro da Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

12 Leibniz e Berkeley 19312.1 Leibniz e o Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

12.1.1 Leibniz e a Experincia do Balde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.1.2 Qual Seria o Formato da Terra se Todos os Outros Corpos Astronmicos Desaparecessem?19712.1.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

12.2 Berkeley e o Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19912.2.1 Berkeley e a Experincia do Balde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

12.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13 Mach e a Mecnica de Newton 20513.1 Defesa do Espao Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.2 Defesa do Tempo Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20713.3 Comparao entre a Rotao Cinemtica da Terra e Sua Rotao Dinmica . . . . . . . . . . 20813.4 Nova Definio de Massa Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.5 A Formulao de Mach da Mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.6 Mach, o Achatamento da Terra e o Pndulo de Foucault: Equivalncia entre os Sistemas

Ptolomaico e Copernicano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.7 Mach e a Experincia do Balde: Defesa do Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 21413.8 O Princpio de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21613.9 O Que Mach No Mostrou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

IV Teorias da Relatividade de Einstein 221

14 Teoria da Relatividade Especial 22514.1 Induo Eletromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

14.1.1 Assimetria Apontada por Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22514.1.2 Esta Assimetria No Existe no Fenmeno Observado Experimentalmente . . . . . . . 22514.1.3 Esta Assimetria No Existia para Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22614.1.4 Esta Assimetria No Existia para Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22914.1.5 Esta Assimetria No Existe na Eletrodinmica de Weber . . . . . . . . . . . . . . . . 23014.1.6 Origem da Assimetria Apontada por Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

14.2 Princpio ou Postulado da Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23314.3 Paradoxo dos Gmeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23314.4 Constncia da Velocidade da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

14.4.1 Einstein Postulou que a Velocidade da Luz Constante Qualquer que Seja a Velocidadeda Fonte Luminosa e Qualquer que Seja a Velocidade do Observador ou do Detector . 234

14.4.2 Fenmenos balsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23614.4.3 Fenmenos Ondulatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23714.4.4 Nos Fenmenos Balsticos e Ondulatrios as Velocidades dos Projteis e das Ondas

Sempre Dependem da Velocidade do Observador ou do Detector . . . . . . . . . . . . 23814.5 Origens e Significados da Velocidade ~v que Aparece na Fora Magntica q~v ~B . . . . . . . . 239

14.5.1 Significado da Velocidade para Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24014.5.2 Significado da Velocidade para Thomson e para Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . 24214.5.3 Significado da Velocidade para Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24214.5.4 Significado da Velocidade para Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

14.6 Experincia de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

15 Teoria da Relatividade Geral 24915.1 Grandezas Relacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24915.2 Invarincia da Forma das Equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25015.3 As Foras Exercidas por Cascas Esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

15.3.1 O Que Seria Necessrio para Implementar as Ideias de Mach . . . . . . . . . . . . . . 25115.3.2 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25215.3.3 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Linearmente Acelerada . . . . . . . . . . . . . 25315.3.4 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Girando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25415.3.5 Na Relatividade Geral um Corpo Tem Inrcia Mesmo em um Universo Vazio, Contra-

riando o Princpio de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25615.4 Outros Aspectos pelos quais a Relatividade Geral No Implementa o Princpio de Mach . . . 25715.5 Incoerncias da Teoria da Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

15.5.1 Fora Gravitacional Exercida pelas Galxias sobre Corpos no Sistema Solar . . . . . . 25715.5.2 Achatamento da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26015.5.3 Pndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26115.5.4 A Experincia do Balde de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

15.6 Comentrios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26815.7 Mach Rejeitou as Teorias da Relatividade de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

V Mundo Novo 271

16 Mecnica Relacional 27316.1 Conceitos Primitivos e Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27316.2 Equao de Movimento na Mecnica Relacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27616.3 Foras Eletromagnticas e Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27816.4 Propriedades da Energia Potencial e da Fora de Weber Aplicadas ao Eletromagnetismo e

Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27916.5 As Foras Exercidas por Cascas Esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

16.5.1 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28016.5.2 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Linearmente Acelerada . . . . . . . . . . . . . 28216.5.3 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Girando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

16.6 As Energias Inerciais e as Foras Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28416.6.1 Fora Inercial no Referencial Universal Supondo uma Lei de Weber . . . . . . . . . . . 28516.6.2 Fora Inercial no Referencial Universal Supondo uma Lei de Weber com Decaimento

Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28616.6.3 Contribuio da Nossa Galxia para a Fora Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28716.6.4 Fora Inercial quando o Conjunto de Galxias est Acelerado . . . . . . . . . . . . . . 28816.6.5 Fora Inercial quando o Conjunto das Galxias est Girando . . . . . . . . . . . . . . 289

16.7 Equaes de Movimento em Diversos Sistemas de Referncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29016.7.1 Equao de Movimento no Referencial Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29116.7.2 Equao de Movimento quando o Conjunto de Galxias est Acelerado . . . . . . . . 29316.7.3 Equao de Movimento quando o Conjunto de Galxias est Girando . . . . . . . . . 294

17 Tpicos Adicionais da Mecnica Relacional 29917.1 Movimento de Atrao entre Dois Corpos no Referencial das Galxias Distantes . . . . . . . . 29917.2 Os Valores das Constantes que Aparecem nas Foras Relacionais . . . . . . . . . . . . . . . . 30017.3 Conservao do Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30417.4 Conservao do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30517.5 Centro de Massa Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30617.6 Universo Com ou Sem Expanso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

17.6.1 Interpretaes da Lei de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30617.6.2 Interpretaes sobre a Radiao Csmica de Fundo com uma Temperatura de 2, 7 K . 30717.6.3 Nosso Modelo Cosmolgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

17.7 Implementao das Ideias de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30817.7.1 Aumento da Inrcia de um Corpo ao Coloc-lo no Interior de uma Casca Esfrica . . . 30817.7.2 Corpo Acelerado Exercendo uma Fora sobre um Outro Corpo . . . . . . . . . . . . . 31017.7.3 Fora Centrfuga e Fora de Coriolis Exercidas por uma Casca Esfrica Girando ao

Atuar sobre um Corpo em Seu Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31117.7.4 Um Corpo em um Universo Vazio No Tem Inrcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

17.8 Vises de Mundo Ptolomaica e Copernicana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31217.9 Condies nas Quais se Pode Escrever a Equao de Movimento na Sua Forma Mais Simples

e Baseada na Acelerao do Corpo de Prova em Relao Terra ou em Relao s EstrelasFixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

18 Comparao das Leis e Conceitos da Mecnica Relacional e da Mecnica Clssica 31718.1 Deduo de uma Equao de Movimento Anloga Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . 31718.2 Deduo de uma Equao de Movimento Anloga Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . 31818.3 Condies nas Quais a Terra e as Estrelas Fixas podem ser Consideradas Bons Referenciais

Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31918.4 Equivalncia entre a Rotao Cinemtica e a Rotao Dinmica da Terra . . . . . . . . . . . 32018.5 Proporcionalidade da Massa Inercial com a Massa Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . 32118.6 Razo das Massas como o Inverso das Razes das Aceleraes em Relao ao Referencial

Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32318.7 No So Necessrias Transformaes de Coordenadas na Mecnica Relacional . . . . . . . . . 32318.8 Interpretao da Fora Inercial na Mecnica Clssica e na Mecnica Relacional . . . . . . . . 324

18.8.1 A Fora Inercial m~a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

18.8.2 Ao e Reao da Fora Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32718.8.3 A Fora Inercial Centrfuga e a Fora Inercial de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . 32718.8.4 A Energia Cintica na Mecnica Clssica e a Energia Inercial na Mecnica Relacional 328

18.9 Como Passar dos Resultados da Mecnica Clssica para os Resultados Anlogos da MecnicaRelacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

18.10Resumo dos Principais Resultados da Mecnica Relacional ao Compar-la com a MecnicaNewtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

VI Aplicaes da Mecnica Relacional 331

19 Corpos em Repouso ou em Movimento Retilneo Uniforme sobre a Terra 333

19.1 Equao de Movimento quando Nula a Fora Resultante sobre um Corpo devida SuaInterao com os Corpos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

19.2 Corpo Dependurado em uma Mola Parada ou Deslizando com Velocidade Constante em Re-lao ao Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

20 Corpos em Movimento Retilneo com Acelerao Constante sobre a Terra 337

20.1 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33820.1.1 Estudo do Movimento no Referencial Terrestre e no Referencial do Corpo de Prova . . 33820.1.2 Explicao do Motivo pelo Qual Dois Corpos Caem com a Mesma Acelerao No

Interessando Seus Pesos ou Composies Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33920.1.3 A Densidade de Massa Gravitacional do Universo Controla a Acelerao de Queda Livre34020.1.4 Movimento de Atrao entre Dois Corpos no Referencial Universal . . . . . . . . . . . 341

20.2 Carga sendo Acelerada no Interior de um Capacitor Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34220.3 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Preso em uma Mola . . . . . . . . 343

20.3.1 Qual a Origem da Fora que est Esticando a Mola? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34420.3.2 A Densidade de Massa Gravitacional do Universo Controla a Acelerao de um Corpo

Ligado a uma Mola Esticada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34520.3.3 Foras no Referencial do Vago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34620.3.4 Qual Seria o Comprimento da Mola se Fosse Possvel Acelerar as Galxias em Relao

ao Solo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34720.4 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Dependurado em um Fio . . . . . . 348

20.4.1 Qual a Origem da Fora que est Inclinando o Fio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34920.4.2 Foras no Referencial Parado com o Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35020.4.3 Qual Seria a Inclinao do Fio se Fosse Possvel Acelerar as Galxias em Relao ao

Solo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35020.5 Corpo sendo Acelerado em Relao ao Solo enquanto est Dependurado em uma Mola . . . . 35120.6 Recipiente Acelerado sobre o Solo, com um Fluido em seu Interior . . . . . . . . . . . . . . . 352

20.6.1 Qual a Origem da Fora que est Inclinando o Fluido? . . . . . . . . . . . . . . . . . 35320.6.2 Qual Seria a Inclinao do Fluido se Todos os Outros Corpos Astronmicos Desapa-

recessem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35420.6.3 Foras no Referencial Parado com o Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35420.6.4 Qual Seria a Inclinao do Fluido se Fosse Possvel Acelerar as Galxias em Relao

ao Solo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35420.7 Distino entre a Mecnica Newtoniana e a Mecnica Relacional . . . . . . . . . . . . . . . . 355

21 Movimentos Oscilatrios 357

21.1 Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35721.2 Pndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

21.2.1 Fora Inercial no Pndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36021.3 Pndulo Eletrizado Oscilando sobre um m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36121.4 Pndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

22 Movimento Circular Uniforme 36722.1 rbita Circular de um Planeta no Referencial das Estrelas Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . 367

22.1.1 Influncia das Galxias no Movimento Orbital de um Planeta ao Redor do Sol . . . . 36922.1.2 Foras no Referencial que Gira Junto com o Planeta e com o Sol . . . . . . . . . . . . 370

22.2 Rotao de Dois Globos em Relao s Galxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37222.2.1 Dois Globos Girando Presos por uma Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37222.2.2 Dois Globos Girando Presos por uma Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

22.3 A Experincia do Balde de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37522.3.1 Balde Parado ou Girando Junto com a gua em Relao ao Solo . . . . . . . . . . . . 37522.3.2 Anlise deste Problema no Referencial que Gira Junto com a gua . . . . . . . . . . . 37622.3.3 Qual Seria o Formato da gua se Todos os Outros Corpos Astronmicos Desaparecessem?37622.3.4 Qual Seria o Formato da gua se Fosse Possvel Girar o Conjunto de Galxias ao

Redor do Eixo do Balde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37622.4 Achatamento da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

22.4.1 Clculo do Achatamento no Referencial Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37822.4.2 Clculo do Achatamento no Referencial Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37922.4.3 Qual Seria o Formato da Terra se Todos os Outros Corpos Astronmicos Desaparecessem?37922.4.4 Qual Seria o Formato da Terra se Fosse Possvel Girar o Conjunto de Galxias ao

Redor do Eixo Terrestre Norte-Sul? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

23 Alm de Newton 38323.1 Precesso do Perilio dos Planetas no Referencial das Estrelas Fixas . . . . . . . . . . . . . . 38323.2 Anisotropia da Massa Inercial Efetiva na Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38623.3 Massa Inercial Efetiva no Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38823.4 Partculas com Altas Velocidades no Referencial Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39023.5 Testes Experimentais da Mecnica Relacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

23.5.1 Variao na Acelerao de Queda Livre ao Cercar o Corpo por uma Casca Esfrica . . 39223.5.2 Variaes das Frequncias de Oscilao de Corpos Colocados no Interior de uma Casca

Esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39323.5.3 Testando a Anisotropia da Massa Inercial Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39423.5.4 Acelerando uma Casca Esfrica ao Redor de um Corpo Preso a uma Mola, de um

Corpo Preso a um Fio, ou de um Recipiente com Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 39823.5.5 Decaimento Exponencial na Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40023.5.6 Achatamento de um Corpo Elstico Parado no Interior de uma Casca Esfrica Girando

ao Seu Redor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40023.5.7 Balde e gua Parados no Solo, enquanto uma Casca Esfrica Gira ao Redor do Eixo

do Balde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

24 Histria da Mecnica Relacional 40724.1 Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40724.2 Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40724.3 Lei de Weber Aplicada para a Gravitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41124.4 Mecnica Relacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

25 Concluso 419

VII Apndices 421

A Casca Esfrica Interagindo com uma Partcula de acordo com a Lei de Weber 423

A.1 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424A.2 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Linearmente Acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . 428A.3 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Girando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

B Casca Esfrica Interagindo com uma Partcula com a Lei de Weber com DecaimentoExponencial 433B.1 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433B.2 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Linearmente Acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . 434B.3 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Girando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

Referncias Bibliogrficas 437

Dedicado memria de Isaac Newton,que indicou o caminho para as geraespassadas, presentes e futuras.

Agradecimentos

Este livro uma verso ampliada de algumas obras anteriores, entre as quais podemos citar On Machsprinciple (1989), On the absorption of gravity (1992), Mecnica Relacional (1998), Relational Mechanics(1999), Uma Nova Fsica (1999) e The principle of physical proportions (2001 a 2004).1 Alm das pessoase Instituies mencionadas nestas obras, gostaramos de agradecer tambm a diversos outros colegas porsuas sugestes, referncias, ideias, apoio e incentivo: Silvio Chibeni, Jos Loureno Cindra, Ricardo LopesCoelho, Eduardo Greaves, Hermann Hrtel, David de Hilster, C. Roy Keys, Wolfgang Lange, Jos Oscar deAlmeida Marques, Juan Manuel Montes Martes, Itala M. L. DOttaviano, Francisco A. Gonzalez Redondo,Karin Reich, Martin Tajmar, Frederick David Tombe, Greg Volk, Karl-Heinrich Wiederkehr (in Memoriam),Bernd Wolfram e Gudrun Wolfschmidt.

1[Ass89a], [Ass92f], [Ass98], [Ass99a], [Ass99b], [Ass01], [Ass03a] e [Ass04]. Todos os artigos e a maioria dos livros de Assisencontram-se disponveis em formato PDF na homepage: http://www.ifi.unicamp.br/assis

i

Prefcio

Este livro apresenta a Mecnica Relacional, que uma nova mecnica que se contrape tanto mecnicaclssica de Newton, quanto s teorias da relatividade especial e geral de Einstein. Ela responde a questes queno foram esclarecidas pelas teorias de Newton e Einstein. Nesta nova mecnica no aparecem os conceitosde espao absoluto, de tempo absoluto e nem de movimento absoluto, que formavam a base da mecnicade Newton. Tambm no aparecem os conceitos de inrcia, de massa inercial e dos sistemas inerciais dereferncia, conceitos estes tambm relacionados mecnica clssica. Apenas quando comparamos esta novamecnica com a mecnica newtoniana que passamos a ter uma compreenso clara destes conceitos antigos.

A mecnica relacional uma implementao quantitativa das ideias de Leibniz, Berkeley e Mach utilizandouma fora de Weber para a gravitao. Ela baseada apenas em grandezas relacionais, tais como a distnciaentre corpos materiais, a velocidade radial relativa entre eles, e a acelerao radial relativa entre eles. Muitaspessoas ajudaram neste desenvolvimento, entre elas o prprio Wilhelm Weber e Erwin Schrdinger.

Este livro tem como objetivo apresentar as propriedades e caractersticas desta nova viso da fsica,assim como os principais aspectos de seu desenvolvimento histrico a partir de Newton. Desta forma amecnica relacional pode ser vista de maneira completa. Fica ento fcil fazer uma comparao com asvises anteriores do mundo, a saber, com as mecnicas newtoniana e einsteiniana.

Uma grande nfase dada para a experincia do balde de Newton. Quando um balde com gua fica paradono solo, observa-se que a superfcie da gua fica plana. Quando o balde e a gua giram juntos em relao aosolo ao redor do eixo do balde com uma velocidade angular constante, observa-se que a superfcie da guafica cncava, mais alta ao longo das paredes do que no eixo do balde. Esta uma das experincias maissimples j realizadas na fsica. Apesar deste fato, nenhuma outra experincia teve consequncias to amplas eprofundas sobre os fundamentos da mecnica. Colocamos no mesmo nvel a descoberta experimental, devidaa Galileu, da igualdade de acelerao dos corpos em queda livre na superfcie da Terra, no importando seuspesos ou composies qumicas. A explicao destes dois fatos, sem utilizar os conceitos de espao absolutoou de inrcia, mas levando em conta a influncia gravitacional exercida nestes dois fenmenos pelas galxiasdistantes, um dos maiores feitos da mecnica relacional.

Para mostrar todo seu poder e para analis-la em perspectiva, inicialmente apresentamos a mecnicanewtoniana e as teorias da relatividade de Einstein. Discutimos as crticas teoria newtoniana apresentadaspor Leibniz, Berkeley e Mach. Apresentamos diversos problemas que aparecem nas teorias da relatividade deEinstein. Depois disto, introduzimos a mecnica relacional e mostramos como ela resolve quantitativamente,com uma clareza e simplicidade sem igual quando comparada com qualquer outro modelo, todos os problemase aspectos negativos da mecnica clssica. Tambm apresentamos em detalhes a histria da mecnicarelacional, enfatizando as conquistas e limitaes dos principais trabalhos anteriores relacionados a ela. Almdisto, apresentamos diversos aspectos que vo alm da teoria newtoniana, tais como a precesso do periliodos planetas, a anisotropia da massa inercial efetiva, a mecnica adequada para partculas movendo-se aaltas velocidades, etc. Tambm so apresentados testes experimentais da mecnica relacional.

Este livro uma verso ampliada de algumas obras anteriores, entre as quais podemos citar On Machsprinciple (1989), Mecnica Relacional (1998), Relational Mechanics (1999), Uma Nova Fsica (1999) e Theprinciple of physical proportions (2001 a 2004).2 Diversas melhorias foram feitas em relao a estes trabalhos:

H um nmero bem maior de figuras. Alm disso, procurou-se sempre representar o objeto material(Terra, estrelas ou galxias) em relao ao qual o movimento do corpo de prova est sendo descrito.

As explicaes ficaram mais claras e didticas.

Os fenmenos relacionados com a rotao da Terra em relao ao referencial das estrelas fixas foramanalisados separadamente no referencial das estrelas e no referencial terrestre.

2[Ass89a], [Ass98], [Ass99a], [Ass99b] e [Ass01], [Ass03a] e [Ass04].

iii

iv

Evita-se utilizar o conceito de campo (gravitacional, eltrico ou magntico). Ele empregado apenasquando so utilizadas as concepes de Faraday, Maxwell e Lorentz. Para evitar os diversos problemasassociados com o conceito de campo, utilizam-se aqui os conceitos de fora por unidade de massa, forapor unidade de carga ou fora por unidade de polo magntico.

Ao apresentar a mecnica relacional, procurou-se deixar indicado claramente nas equaes a depen-dncia de alguns fenmenos em relao densidade mdia de massa gravitacional no universo.

Foi feita uma discusso detalhada da distino conceitual e experimental entre o movimento relativoe o movimento absoluto no apenas nos casos em que os corpos esto girando, mas tambm nos casosem que esto acelerados ao longo de uma linha reta.

Foram analisados diversos fenmenos novos.

Foram ampliadas as citaes de textos originais e as referncias bibliogrficas.

Foi includo um Apndice mostrando diversas maneiras de calcular a fora de Weber exercida por umacasca esfrica ao atuar sobre um corpo interno casca. Este o principal resultado que distingue amecnica relacional tanto da mecnica newtoniana, quanto das teorias da relatividade de Einstein.

Este livro direcionado a fsicos, matemticos, engenheiros, filsofos e historiadores da cincia. voltadotambm aos professores de fsica que atuam a nvel de ensino mdio e universitrio, assim como a seus estu-dantes. Todas as pessoas que j aprenderam ou ensinaram a mecnica newtoniana conhecem as dificuldadese sutilezas de seus conceitos bsicos (referencial inercial, proporcionalidade entre as massas inerciais e gravi-tacionais, fora centrfuga fictcia, etc.) Acima de tudo, escrito para as pessoas jovens e sem preconceitosque tm um interesse nas questes fundamentais da fsica. Listamos algumas destas questes aqui:

Existe o movimento absoluto de qualquer corpo em relao ao espao vazio? Ou existe apenas omovimento relativo deste corpo em relao a outros corpos materiais?

Como distinguir experimentalmente entre estas duas concepes diametralmente opostas sobre o movi-mento? Podemos provar experimentalmente que um corpo est acelerado em relao ao espao vazio?Ou ser que s podemos provar experimentalmente que um corpo est acelerado em relao a outroscorpos?

Qual o significado da inrcia? Qual o significado da fora inercial?

Existe algum agente material que exerce a fora inercial sobre um corpo?

Por que dois corpos de pesos, formas e composies qumicas diferentes caem com a mesma aceleraono vcuo sobre a superfcie da Terra?

Quando Newton girou o balde junto com a gua em relao ao solo e viu que a gua havia subidopelas paredes do balde, qual foi o agente responsvel por este efeito? Esta elevao se deve rotaoda gua em relao a qu? Ser que esta elevao se deve rotao da gua em relao ao espaoabsoluto vazio, como pensava Newton? Ou ser ela devida rotao relativa entre a gua e os corposastronmicos distantes, como pensava Mach?

Suponha que o balde e a gua estejam parados em relao ao solo, com a superfcie da gua ficandoplana. Se fosse possvel girar rapidamente todos os outros corpos astronmicos ao redor do eixo dobalde, ser que a superfcie da gua continuaria plana? Ou ser que ela ficaria cncava, subindo pelasparedes do balde?

Sabe-se que a Terra est achatada nos polos, sendo o dimetro de Norte a Sul menor do que o dimetrode Leste a Oeste. Newton foi o primeiro a prever e a calcular o valor deste efeito, relacionando-o com arotao diria da Terra ao redor de seu eixo Norte-Sul. Ser que este achatamento devido rotaodiria da Terra em relao ao espao vazio, como pensava Newton? Ou ser que este achatamento devido rotao da Terra em relao aos outros corpos astronmicos, como pensava Mach?

Qual seria o formato da Terra se todos os outros corpos do universo fossem aniquilados e ela ficassesozinha no universo? Faria sentido dizer que ela ainda gira uma vez por dia? Ser que ela aindacontinuaria achatada?

v

Foucault observou que o plano de oscilao de um pndulo no fica fixo em relao superfcie terrestre.O plano de oscilao de um pndulo de Foucault colocado no polo Norte acompanha o movimento dasestrelas e galxias ao redor da Terra. Existe alguma relao causal entre estes dois fatos, assim comopensava Mach? Ou isto apenas uma coincidncia? Se pudssemos parar a rotao das estrelas egalxias ao redor da Terra, ser que o plano de oscilao do pndulo de Foucault tambm ficariaparado em relao superfcie terrestre? Ou ser que ele continuaria a precessar em relao ao solodo mesmo jeito que antes?

Quais so as possveis experincias que podem ser feitas para distinguir entre as concepes de Newtone de Mach? Newton defendia que existem efeitos mensurveis quando os corpos ficam acelerados deforma absoluta em relao ao espao vazio. Mach, por outro lado, defendia que todos estes efeitosapontados por Newton seriam na verdade devidos acelerao relativa entre este corpo e os corposastronmicos distantes. Como testar no laboratrio estas duas concepes?

Neste livro apresentamos a resposta a todas estas questes sob o ponto de vista da mecnica relacional.Aps compreender a mecnica relacional entramos em um novo mundo, enxergando os mesmos fen-

menos com olhos diferentes e sob uma nova perspectiva. uma mudana de paradigma, considerando estapalavra no sentido utilizado por Kuhn em seu importante trabalho.3 Espera-se com este livro que outras pes-soas passem a trabalhar ativamente com a mecnica relacional, desenvolvendo novas experincias e clculosrelacionados com esta teoria.

Neste livro, empregamos o Sistema Internacional de Unidades. Quando definimos qualquer grandeza ouconceito fsico, utilizamos como smbolo de definio.

Andr Koch Torres Assis4

3[Kuh82].4Instituto de Fsica, UNICAMP, 13083-859 Campinas, SP, Brasil, e-mail: [email protected] homepage:

http://www.ifi.unicamp.br/assis

Parte I

A Mecnica Clssica

1

Captulo 1

Mecnica Newtoniana

1.1 Introduo

O ramo do conhecimento que trata do equilbrio e do movimento dos corpos chamado de mecnica. Nosltimos trezentos anos esta rea da fsica tem sido ensinada baseada no trabalho de Isaac Newton (1642-1727), sendo chamada de mecnica clssica ou newtoniana. Seu livro principal o Princpios Matemticos deFilosofia Natural, usualmente conhecido por seu primeiro nome em latim, Principia.1 Este livro foi publicadooriginalmente em 1687. Ele est dividido em trs partes, Livros I, II e III. Estas trs partes j se encontramtraduzidas para a lngua portuguesa, de onde tiramos as citaes.2

A segunda grande obra de Newton o livro ptica, publicado originalmente em 1704. Ao contrrio doPrincipia, escrito em latim, a ptica foi escrita na lngua inglesa. O livro ptica tambm j se encontratotalmente traduzido para a lngua portuguesa.3 Usaremos esta traduo quando citarmos as palavras deNewton tiradas deste livro.

A mecnica newtoniana como apresentada no Principia baseada nos conceitos de espao, tempo, velo-cidade, acelerao, peso, massa, fora, etc. Esta formulao de Newton apresentada na Seo 1.2.

Sempre houve uma grande discusso entre os filsofos e cientistas muito antes de Newton sobre a distinoentre movimento absoluto e relativo.4 O movimento absoluto concebido como sendo o movimento de umcorpo em relao ao espao vazio. J o movimento relativo concebido como sendo o movimento de umcorpo em relao a outros corpos. Em nosso livro consideramos apenas Newton e os que se seguiram a ele.O motivo para isto o sucesso impressionante obtido pela mecnica newtoniana no que diz respeito aosfenmenos observados na natureza e o novo padro introduzido por Newton em toda esta discusso, comseus argumentos dinmicos para defender o movimento absoluto. Podemos citar, em especial, sua famosaexperincia do balde e o achatamento da Terra. Este so alguns dos temas principais deste livro.

1.2 Leis do Movimento

Nesta Seo vamos apresentar a mecnica clssica nas palavras de Newton. Alm disso, vamos tambmintroduzir frmulas algbricas modernas que sintetizam sua formulao em linguagem matemtica utilizandotanto grandezas vetoriais quanto o Sistema Internacional de Unidades.

O Principia comea com oito definies. A primeira definio a de quantidade de matria, tambmchamada de corpo ou massa. Newton a definiu como o produto da densidade do corpo pelo volume que eleocupa:5

Definio I: A quantidade de matria a medida da mesma, obtida conjuntamente a partir desua densidade e volume.

Assim, o ar com o dobro de densidade, num espao duplicado, tem o qudruplo da quantidade;num espao triplicado, o sxtuplo da quantidade. O mesmo deve ser entendido com respeito

1[New34].2[New90], [New08b] e [New10].3[New96].4[Jam57] com traduo para a lngua portuguesa em [Jam11], [Dug88], [Evo88], [BX89], [Bar89], [Jam93] com traduo para

a lngua portuguesa em [Jam10], e [Evo94].5[New90, pg. 1].

3

4 Mecnica Relacional e Implementao do Princpio de Mach com a Fora de Weber Gravitacional

neve, e p fino ou matria pulverizada, condensados por compresso ou liquefao, bem comopara todos os corpos que, por quaisquer causas, so condensados diferentemente. No me refiro,aqui, a um meio, se possvel dizer que tal meio existe, que permeia livremente os interstciosentre as partes dos corpos. essa quantidade que doravante sempre denominarei pelo nome decorpo ou massa. A qual conhecida atravs do peso de cada corpo, pois proporcional ao peso,como encontrei com experimentos com pndulos, realizados muito rigorosamente, os quais seromostrados mais adiante.

No Principia Newton falou apenas de um tipo de massa, a quantidade de matria do corpo. Depoisde Newton, passou a ser usual denominar esta grandeza pelo nome de massa inercial, para distingui-la damassa que aparece na lei da gravitao universal, denominada hoje em dia de massa gravitacional. Estesdois conceitos de massa so discutidos na Subseo 1.3.2.

Representando a quantidade de matria (a massa inercial) de um corpo por mi, sua densidade de massainercial por i e seu volume por V , temos ento:

mi iV . (1.1)Como veremos na Seo 13.4, Ernst Mach (1838-1916) criticou esta definio, j que Newton no havia

definido anteriormente a densidade do corpo, nem mostrado como medir esta densidade de forma indepen-dente da medida da massa. Para Mach era necessrio haver uma definio de massa que no dependesse dadensidade, sendo ento a densidade definida como a razo da massa para o volume do corpo. Na Seo 13.4ser discutida a definio de massa inercial apresentada por Mach.

Depois, Newton definiu a quantidade de movimento pelo produto da quantidade de matria com avelocidade do corpo:6

Definio II: A quantidade de movimento a medida do mesmo, obtida conjuntamente a partirda velocidade e da quantidade de matria.

O movimento do todo a soma dos movimentos de todas as partes; portanto, em um corpo com odobro da quantidade, com a mesma velocidade, o movimento duplo; com o dobro da velocidade, qudruplo.

Representando a velocidade vetorial por ~v e a quantidade de movimento por ~p temos:

~p mi~v . (1.2)Veremos logo em seguida que, para Newton, esta velocidade era para ser entendida como a velocidade

do corpo em relao ao espao absoluto, medida pelo tempo absoluto.Newton, ento, definiu as expresses equivalentes vis insita ou vis inertiae. A primeira expresso pode

ser traduzida por fora inata da matria, fora intrnseca ou fora inerente ao corpo. A segunda expressopode ser traduzida por fora inercial, fora da inrcia, inrcia ou fora de inatividade. Palavras de Newton:7

Definio III: A vis insita, ou fora inata da matria, um poder de resistir, atravs do qualtodo o corpo, estando em um determinado estado, mantm esse estado, seja ele de repouso ou demovimento uniforme em linha reta.

Essa fora sempre proporcional ao corpo ao qual ela pertence, e em nada difere da inatividadeda massa, a no ser pela nossa maneira de conceb-la. A partir da natureza inerte da matria,um corpo no tem seu estado de repouso ou movimento facilmente alterado. Sob esse pontode vista, essa vis insita pode ser chamada, mais significativamente, de inrcia (vis inertiae) oufora de inatividade. Mas um corpo s exerce essa fora quando outra fora, imprimida sobreele, procura mudar sua condio; e o exerccio dessa fora pode ser considerado tanto comoresistncia quanto como impulso; resistncia na medida em que, para conservar seu estado, ocorpo ope-se fora imprimida; e impulso na medida em que o corpo, no cedendo facilmente fora imprimida por um outro, esfora-se para mudar o estado deste outro corpo. Resistncia normalmente atribuda a corpos em repouso, e impulso queles em movimento; mas movimentoe repouso, como vulgarmente concebidos, diferem apenas relativamente um ao outro; nem essescorpos esto sempre verdadeiramente em repouso, como vulgarmente so considerados.

6[New90, pg. 2].7[New90, pg. 2].

Cap. 1: Mecnica Newtoniana 5

Sua quarta definio a de fora imprimida:8

Definio IV: Uma fora imprimida uma ao exercida sobre um corpo, a fim de alterar seuestado, seja de repouso, ou de movimento uniforme em uma linha reta.

A quinta definio a de fora centrpeta:9

Definio V: Uma fora centrpeta aquela pela qual os corpos so dirigidos ou impelidos, outendem de qualquer maneira, para um ponto como centro.

[...]

Vm, ento, as definies de quantidade absoluta de uma fora centrpeta, de quantidade acelerativa deuma fora centrpeta e de quantidade motora de uma fora centrpeta.

Aps estas definies, h um Esclio com as definies de tempo absoluto, espao absoluto e movimentoabsoluto.10 Citamos as partes principais das definies de Newton:11

Esclio

At aqui estabeleci as definies dos termos acima do modo como eles so menos conhecidos eexpliquei o sentido no qual eles devem ser entendidos no que segue. No defino tempo, espao,lugar e movimento, por serem bem conhecidos de todos. Contudo, observo que o leigo noconcebe essas quantidades sob outras noes exceto a partir das relaes que elas guardam com osobjetos perceptveis. Da surgem certos preconceitos, para a remoo dos quais ser convenientedistingui-las entre absolutas e relativas, verdadeiras e aparentes, matemticas e comuns.

I - O tempo absoluto, verdadeiro e matemtico, por si mesmo e da sua prpria natureza, fluiuniformemente sem relao com qualquer coisa externa e tambm chamado de durao; o temporelativo, aparente e comum alguma medida de durao perceptvel e externa (seja ela exata ouno uniforme) que obtida atravs do movimento e que normalmente usada no lugar do tempoverdadeiro, tal como uma hora, um dia, um ms, um ano.

II - O espao absoluto, em sua prpria natureza, sem relao com qualquer coisa externa, perma-nece sempre similar e imvel. Espao relativo alguma dimenso ou medida mvel dos espaosabsolutos, a qual nossos sentidos determinam por sua posio com relao aos corpos, e co-mumente tomado por espao imvel; assim a dimenso de um espao subterrneo, areo ouceleste, determinado pela sua posio com relao a Terra. Espaos absoluto e relativo so osmesmos em configurao e magnitude, mas no permanecem sempre numericamente iguais. Pois,por exemplo, se a Terra se move, um espao de nosso ar, o qual relativamente a Terra permanecesempre o mesmo, em um dado tempo ser uma parte do espao absoluto pela qual passa o ar,em um outro tempo ser outra parte do mesmo, e assim, entendido de maneira absoluta, sercontinuamente mudado.

III - Lugar uma parte do espao que um corpo ocupa, e de acordo com o espao, ou absolutoou relativo. [...]

IV - Movimento absoluto a translao de um corpo de um lugar absoluto para outro; e movi-mento relativo, a translao de um lugar relativo para outro. [...]

A seguir, Newton apresentou suas trs leis do movimento, que tambm chamou de axiomas:12

Axiomas ou Leis do Movimento

Lei I: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linhareta, a menos que seja forado a mudar aquele estado por foras imprimidas sobre ele.

[...]

Lei II: A mudana de movimento proporcional a fora motora imprimida, e produzida nadireo da linha reta na qual aquela fora imprimida.

8[New90, pg. 3].9[New90, pg. 3].

10[Bar93].11[New90, pgs. 6-8].12[New90, pgs. 15-23].


[...]

Lei III: A toda ao h sempre oposta uma reao igual, ou, as aes mtuas de dois corpos umsobre o outro so sempre iguais e dirigidas a partes opostas.

[...]

Corolrio 1: Um corpo, submetido a duas foras simultaneamente, descrever a diagonal deum paralelogramo no mesmo tempo em que ele descreveria os lados pela ao daquelas forasseparadamente.

[...]

Corolrio 4: O centro comum de gravidade de dois ou mais corpos no tem seu estado de mo-vimento ou de repouso alterado pelas aes dos corpos entre si e, portanto, o centro comum degravidade de todos os corpos agindo uns sobre os outros (excluindo aes externas e impedimentos)ou est em repouso, ou se move uniformemente em uma linha reta.

[...]

Corolrio 5: O movimento de corpos encerrados em um dado espao so os mesmos entre si,esteja esse espao em repouso, ou se movendo uniformemente em uma linha reta sem qualquermovimento circular.

[...]

Sua primeira lei do movimento usualmente chamada de lei da inrcia.Sua segunda lei do movimento pode ser escrita como:

~F =d~p

dt=

d

dt(mi~v) . (1.3)

Aqui chamamos de ~F fora resultante agindo sobre o corpo. Se a massa inercial mi constante, entoesta lei pode ser colocada na forma simples e bem conhecida dada por:

~F = mi~a , (1.4)

onde ~a = d~v/dt a acelerao do corpo em relao ao espao absoluto, figura 1.1. O espao absoluto estsendo identificado com o papel no qual feita esta figura j que, de acordo com Newton, ele no tem relaocom qualquer coisa material externa ao corpo. Logo esta acelerao ~a no para ser entendida como aacelerao do corpo em relao ao solo nem em relao a outros corpos materiais (tais como as estrelasfixas). O espao absoluto de Newton ento equivalente ao espao vazio ou ao vcuo.

mia

Figura 1.1: Corpo com massa inercial mi deslocando-se com acelerao ~a em relao ao espao absoluto.

Suponha que temos um conjunto de N corpos interagindo entre si. Seja p um destes corpos com massainercial mip deslocando-se em relao ao espao absoluto com uma acelerao ~ap, com p = 1, ..., N . Seja kum outro corpo entre estes N corpos. Vamos representar a fora exercida pelo corpo p sobre o corpo k por~Fpk. Neste caso a equao (1.4) pode ser escrita para o corpo k da seguinte forma:

N

p=1

p 6=k

~Fpk = mik~ak . (1.5)

As trajetrias e os movimentos dos corpos so obtidos na mecnica clssica por esta equao. Algunscasos especiais necessitam da utilizao da equao (1.3), tais como um foguete queimando combustvele ejetando gases, um caminho que vai perdendo areia, etc. Estas situaes de massa varivel tambmpodem ser resolvidas pela equao (1.4), desde que se considere separadamente cada um dos componentesdo problema (o foguete e os gases ejetados, ou o caminho e a areia perdida, etc.) Pode-se considerar entoque a equao (1.4) a base fundamental da mecnica newtoniana.


Sua terceira lei do movimento chamada de lei da ao e reao. Representando a fora exercida por umcorpo A sobre um outro corpo B por ~FAB e a fora exercida por B sobre A por ~FBA, a terceira lei afirmaque:

~FAB = ~FBA . (1.6)Sempre que Newton utilizou a terceira lei, as foras entre os corpos estavam direcionadas ao longo da

linha reta que os une, como na lei da gravitao.Seu primeiro corolrio chamado de lei do paralelogramo das foras.Seu quinto corolrio introduz o conceito de referenciais inerciais, isto , sistemas de referncia que

se movem com uma velocidade constante em relao ao espao absoluto. Estes referenciais inerciais sodiscutidos na Seo 1.7.

Neste livro denominaremos de corpo de prova ou corpo de teste ao corpo cujo movimento est sendoestudado.

1.3 Gravitao Universal

1.3.1 Formulao Moderna da Lei da Gravitao

Para aplicar sua formulao da mecnica, Newton precisava de expresses para as foras atuando sobre oscorpos. A mais importante e famosa sua lei da gravitao universal, apresentada por ele no terceiro livrodo Principia. Esta lei pode ser expressa hoje em dia nas seguintes palavras: Cada partcula de matria atraiqualquer outra partcula com uma fora variando diretamente como o produto de suas massas gravitacionaise inversamente como o quadrado da distncia entre elas.

Algebricamente a lei de gravitao de Newton pode ser escrita da seguinte forma:

~F21 = Gmg1mg2

r2r = ~F12 . (1.7)

Nesta equao ~F21 a fora exercida pela massa gravitacional mg2 sobre a massa gravitacional mg1, G uma constante de proporcionalidade, r a distncia entre os corpos pontuais, r o vetor unitrio apontandode 2 para 1, enquanto que ~F12 a fora exercida por mg1 sobre mg2, ver a figura 1.2.

r

r^

mg2mg1

Figura 1.2: Dois corpos separados por uma distncia r.

No Sistema Internacional de Unidades a grandeza G, chamada de constante de gravitao universal, dada por:

G = 6, 67 1011 m3

kgs2. (1.8)

1.3.2 Massa Inercial e Massa Gravitacional

Estamos chamando aqui as massas que aparecem na equao (1.7) de massas gravitacionais, para distingui-las das massas inerciais. As massas inerciais so as que aparecem na definio da quantidade de matria,na definio de momento linear de um corpo e na segunda lei do movimento de Newton, equaes (1.1), (1.2)e (1.4).

As massas gravitacionais tambm poderiam ser chamadas de cargas gravitacionais, como preferemalguns autores, em funo da grande analogia que h entre elas e as cargas eltricas. Uma carga eltrica gerae sente foras eltricas, isto , atua sobre outras cargas acelerando-as, ao mesmo tempo em que afetadapela presena de outras cargas, sendo acelerada por elas. Da mesma forma, as massas gravitacionais gerame sentem foras gravitacionais. Neste sentido e observando que a fora eletrosttica tem a mesma formada fora gravitacional de Newton, as massas gravitacionais tm uma analogia muito maior com as cargas


eltricas do que com as massas inerciais. por este motivo que vamos manter a distino entre as massasinerciais e as massas gravitacionais ao apresentar a formulao da mecnica newtoniana, embora o prprioNewton s tenha introduzido um conceito de massa no Principia, a saber, aquela que chamamos de massainercial na Seo 1.2.

As massas gravitacionais so usualmente medidas com uma balana, sendo proporcionais ao peso ou fora gravitacional que atua sobre um corpo nas proximidades da Terra:

mg1mg2

P1P2

. (1.9)

Por exemplo, vamos supor que com uma balana de braos iguais sejam encontrados cinco corpos quepossuam o mesmo peso. Vamos representar o peso de cada um destes corpos por PA e a massa gravitacionalde cada um deles por mgA. Vamos supor ainda que seja encontrado um outro corpo B que, ao ser colocadoem um dos pratos desta balana, equilibre todos os outros cinco corpos colocados conjuntamente no outrobrao desta balana. Temos ento:

mgAmgB

PAPB

=1

5. (1.10)

Uma discusso sobre como construir balanas e medir pesos encontra-se no livro Arquimedes, o Centrode Gravidade e a Lei da Alavanca.13

1.3.3 Formulao Original de Newton

Em nenhum lugar do Principia Newton expressou a lei gravitacional na forma da equao (1.7). Na Subseo1.3.1 apresentamos uma formulao resumida de sua lei da gravitao nas seguintes palavras: Cada partculade matria atrai qualquer outra partcula com uma fora variando diretamente como o produto de suas massasgravitacionais e inversamente como o quadrado da distncia entre elas.

Newton tambm no chegou a formular sua lei nestas palavras, mas podemos encontrar afirmaessimilares nas seguintes passagens do Principia: Livro I, Proposies 72 a 75 e Proposio 76, especialmenteCorolrios 1 a 4; Livro III, Proposies 5, 7 e 8 e no Esclio Geral ao fim do Livro III. No Livro I, Proposio76, Corolrios 1 a 4, por exemplo, Newton afirmou, referindo-se a esferas 1 e 2 com distribuies isotrpicasde matria (ou seja, com densidades de massa do tipo 1(r) e 2(r)), nas quais cada ponto atrai com umafora que varia inversamente com o quadrado da distncia:14

Corolrio 1. Assim, se muitas esferas deste tipo, semelhantes em todos os aspectos, atraem-se mutuamente, as atraes acelerativas de qualquer uma com relao as outras, a quaisquerdistncias dos centros, sero como as esferas atrativas.

Corolrio 2. E; a quaisquer distncias desiguais, sero como as esferas atrativas divididas pelosquadrados das distncias entre os centros.

Corolrio 3. As atraes motoras, ou os pesos das esferas uma em direo a outra, a iguaisdistncias dos centros, sero conjuntamente como as esferas atrativa e atrada; isto , como osprodutos resultantes da multiplicao das esferas uma pela outra.

Corolrio 4. E, a distncias desiguais, sero diretamente como aqueles produtos e inversamentecomo o quadrado das distncias entre os centros.

Na Proposio 7 do Livro III, Newton afirmou:15

Que h um poder da gravidade pertencente a todos os corpos, proporcional s vrias quantidadesde matria que eles contm.

Provamos antes que todos os planetas gravitam em direo uns aos outros, assim como que afora da gravidade em direo a cada um deles, considerado separadamente, inversamente comoo quadrado das distncias dos lugares aos centros do planeta. E, portanto, (pela Proposio 69,Livro I, e seus Corolrios) segue-se que a gravidade tendendo em direo a todos os planetas proporcional matria que eles contm.

13[Ass08b], [Ass08a], [Ass10a] e [Ass11a].14[New90, pg. 228].15[New08b, pgs. 203-204].


Alm disto, como todas as partes de qualquer planeta A gravitam em direo a qualquer outroplaneta B, e a gravidade de toda parte est para a gravidade do todo assim como a matria daparte est para a matria do todo, e (pela Lei III) para cada ao corresponde uma reao igual, oplaneta B, por sua parte, ir gravitar em direo a todas as partes do planeta A, e sua gravidadeem direo a qualquer uma das partes estar para a gravidade em direo ao todo assim como amatria da parte est para a matria do todo. Q.E.D.

Este ltimo pargrafo muito importante. Ele mostra o papel fundamental da lei da ao e reao naobteno do fato de que a fora da gravidade proporcional ao produto das massas dos dois corpos (e no,por exemplo, proporcional soma das massas, ou proporcional ao produto das massas elevado ao quadrado,ou proporcional ao produto das massas elevado ao cubo etc.). French apresentou uma discusso detalhadae crtica dos argumentos de Newton para chegar na lei de gravitao, enfatizando a importncia da lei daao e reao nesta argumentao.16

No Esclio Geral no final do livro lemos:17

Explicamos at aqui os fenmenos dos cus e do nosso mar pelo poder da gravidade, mas aindano designamos a causa deste poder. Isto certo, que ele tem de proceder de uma causa quepenetra at os centros do Sol e dos planetas, sem sofrer a menor diminuio de sua fora; que noopera de acordo com a quantidade das superfcies das partculas sobre as quais atua (como ascausas mecnicas fazem usualmente), mas de acordo com a quantidade de matria slida que elascontm, propagando sua virtude para todos os lados a distncias imensas, diminuindo semprecomo o inverso do quadrado das distncias.

No Sistema do Mundo escrito por Newton, publicado pela primeira vez em 1728, tambm podemos vera importncia da lei da ao e reao para a deduo do fato de que a fora gravitacional proporcionalao produto das massas. Esta obra tambm j est totalmente traduzida para a lngua portuguesa. Citamosaqui a Seo 20 do livro de Newton, logo aps a Seo onde Newton discutiu as experincias com o pnduloque mostraram a proporcionalidade entre o peso e a massa inercial:18

Uma vez que a ao da fora centrpeta sobre os corpos atrados , a distncias iguais, proporcionals quantidades de matria nesses corpos, a razo requer que ela tambm seja proporcional quantidade de matria no corpo atraente.

Pois toda ao mtua e (pela terceira Lei do Movimento) faz com que os corpos aproximem-se um do outro e, portanto, deve ser a mesma em ambos os corpos. verdade que podemosconsiderar um corpo como atraente e outro como atrado, mas esta distino mais matemticado que natural. A atrao reside, de fato, em cada corpo na direo do outro, sendo, portanto,do mesmo tipo em ambos.

1.4 As Foras Exercidas por Cascas Esfricas

1.4.1 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Parada

Na Seo XII do Livro I do Principia, Newton provou dois teoremas extremamente importantes relacionadoscom a fora exercida por uma casca esfrica sobre corpos pontuais internos e externos. Nestas provas supsforas que variam inversamente com o quadrado da distncia entre as partculas que esto interagindo, como o caso da sua fora gravitacional, equao (1.7), ou da fora eletrosttica. No primeiro teorema Newtonprovou o seguinte:19

Seo XII: As foras atrativas de corpos esfricos

Proposio 70. Teorema 30: Se para cada ponto de uma superfcie esfrica tenderem forascentrpetas iguais, que diminuem com o quadrado das distncias a partir desses pontos, afirmoque um corpsculo localizado dentro daquela superfcie no ser atrado de maneira alguma poraquelas foras.

16[Fre89].17[New08b, pg. 331].18[New08a, Seo 20, pg. 354].19[New90, pg. 221].


Isto , se um corpo est localizado em qualquer lugar no interior da casca esfrica (e no apenas sobreseu centro), a fora resultante exercida por toda a casca sobre ele nula. Isto est representado na figura1.3, na qual temos uma casca esfrica de massa gravitacional Mg, raio R e centro C, com um corpsculo demassa gravitacional mg localizado dentro dela em uma posio arbitrria, a uma distncia r do centro dacasca.

mgC

Mg

Figura 1.3: A casca esfrica no exerce fora sobre um corpsculo localizado em qualquer ponto de seuinterior.

O resultado obtido por Newton pode ser expresso matematicamente da seguinte forma:

~F = ~0, se r < R . (1.11)

Por simetria poderia ser concludo que a fora seria nula caso o corpsculo estivesse exatamente no centroda casca esfrica. Se ele estivesse fora do centro, como no caso da figura 1.3, a nica coisa que se poderiaconcluir a partir de argumentos de simetria que a fora resultante sobre o corpsculo teria de estar ao longoda reta que une o corpsculo com o centro da casca. Por outro lado, nenhum argumento de simetria levaria concluso de que esta fora teria de ser nula. Pode-se mostrar que esta fora resultante s nula no casoem que a fora entre as partculas inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas. Caso afora entre as partculas tivesse um outro comportamento (se variasse com o inverso do cubo da distncia,por exemplo), ento o resultado dado pela equao (1.11) deixaria de ser vlido.

J no teorema 31 Newton provou o seguinte resultado:20

Proposio 71. Teorema 31: Supondo-se o mesmo que acima, afirmo que um corpsculo localizadofora da superfcie esfrica atrado em direo ao centro da esfera com uma fora inversamenteproporcional ao quadrado de sua distncia at este centro.

Isto , um corpo colocado fora da casca esfrica atrado como se a casca estivesse concentrada em seucentro. Isto est representado na figura 1.4, na qual temos uma casca esfrica de massa gravitacional Mg, raioR e centro C, com um corpsculo de massa gravitacional mg localizado fora dela em uma posio arbitrria,a uma distncia r do centro da casca. A fora resultante sobre este corpsculo aponta para o centro da cascae seu valor inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre o corpsculo e o centro da casca.

mgC

MgF

Figura 1.4: A casca esfrica exerce uma fora atrativa sobre um corpsculo localizado fora dela apontandopara o centro da casca e sendo inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre este centro e ocorpsculo.

Utilizando a lei de Newton da gravitao universal, equao (1.7), e sua Proposio 71, Teorema 31,obtm-se que uma casca esfrica de massa gravitacional Mg e raio R exerce a seguinte fora ~F sobre umcorpsculo de massa gravitacional mg localizado a uma distncia r > R do centro da casca:

~F = GMgmgr2

r , se r > R . (1.12)

20[New90, pg. 222].


Aqui r um vetor de mdulo unitrio apontando radialmente para fora da casca no local em que mg seencontra, isto , apontando do centro C para a partcula.

Vamos agora supor o caso em que o corpsculo de massa gravitacional mg est exatamente sobre asuperfcie da casca de raio R e massa gravitacional Mg, como na figura 1.5.

mgC

MgF

Figura 1.5: A casca esfrica exerce uma fora atrativa sobre um corpsculo localizado exatamente sobre asuperfcie da casca apontando para o centro da casca.

A integrao da lei de Newton, equao (1.7), fornece a seguinte fora resultante ~F exercida pela cascasobre o corpsculo:

~F = G2

MgmgR2

r , se r = R . (1.13)

As Proposies 70 e 71 do Livro I do Principia so apresentadas hoje em dia como segue. Temos umacasca esfrica de massa gravitacional Mg e raio R centrada em O, figura 1.6. Vamos supor um sistema dereferncia parado em relao a esta casca, com sua origem sobre o centro da casca. Seja ~r um vetor posioapontando do centro da casca at um ponto material qualquer.

R

O

R

O

r1

mg1

Mg

(a) (b)

Mg

mg1

r1

Figura 1.6: Casca esfrica.

Um elemento de massa gravitacional dmg2 localizado em ~r2 sobre esta casca esfrica dado por dmg2 =g2da2 = g2R

2d2 = g2R2 sen 2d2d2, onde g2 = Mg/4R2 a densidade superficial de massa gravi-

tacional distribuda uniformemente sobre a superfcie da casca, d2 o elemento de ngulo esfrico, 2 e 2so os ngulos usuais em coordenadas esfricas, 2 variando de 0 rad at rad, e 2 variando de 0 rad at2 rad. A fora gravitacional exercida por este elemento de massa gravitacional sobre uma partcula testemg1 localizada em ~r1 dada pela equao (1.7):

d~F21(~r1) = Gmg1dmg2

r212r12 , (1.14)

onde ~r12 = ~r = ~r1 ~r2 o vetor apontando de dmg2 para mg1, r12 = |~r12| = r a distncia entre dmg2e mg1, enquanto que r12 = ~r12/r12 = r o vetor de mdulo unitrio apontando de dmg2 para mg1. NoApndice A mostra-se como fazer a integrao desta fora utilizando coordenadas esfricas. Integrando estaequao obtemos (usando que r1 |~r1| e r1 ~r1/r1):


~F (~r1) =

GMgmg1r1/r21 , se r1 > RGMgmg1r1/(2R2) , se r1 = R~0 , se r1 < R

. (1.15)

Isto , se a partcula teste estiver fora da casca esfrica, ela ser atrada como se toda a casca estivesseconcentrada sobre O. Se a partcula teste estiver em qualquer lugar no interior da casca, ela no vai sentirqualquer fora gravitacional resultante. E se ela estiver sobre a superfcie da casca, ela ser atrada emdireo ao centro da casca com uma fora que a mdia aritmtica entre os valores da fora quando apartcula est ligeiramente fora e ligeiramente dentro da casca.

Como a fora de Newton da gravitao no depende da velocidade nem da acelerao dos corpos, aequao (1.15) vai continuar vlida qualquer que seja a velocidade ou a acelerao da partcula em relaoao espao absoluto ou em relao casca esfrica. Esta equao tambm vai continuar valendo qualquer queseja a velocidade ou acelerao da casca esfrica em relao ao espao absoluto ou em relao partcula.

Utilizando a lei de Newton da gravitao universal, equao (1.7), e sua Proposio 71, Teorema 31, en-contramos que um corpo esfericamente simtrico atrair um corpo externo como se toda a massa gravitacionaldo corpo esfrico estivesse concentrada no centro da esfera.

No caso da Terra, desprezando os pequenos efeitos devidos a ela no ser exatamente esfrica, obtm-seque a fora exercida por ela sobre um corpo externo que est a uma distncia r de seu centro dada por:

~F (r > RT ) = GMgTmg

r2r , (1.16)

onde MgT a massa gravitacional da Terra, mg a massa gravitacional do corpo de prova externo Terra,RT o raio da Terra, r aponta radialmente para fora da Terra e estamos supondo r > RT . Esta fora usualmente chamada de peso do corpo e representada por ~P :

~P = mg

(GMgTr2

r

)

mg~g , (1.17)

onde

~g(r) ~P

mg= GMgT

r2r . (1.18)

Aqui ~g(r) a fora exercida pela Terra, por unidade de massa gravitacional. Como ser visto em seguida,~g tem o mesmo valor que a acelerao radial de corpos caindo livremente no vcuo em direo ao centro daTerra. Por esta equao observa-se que a fora por unidade de massa depende da distncia dos corpos at ocentro da Terra.

No Sistema Internacional de Unidades a massa gravitacional da Terra dada por: MgT = 5, 981024 kg.Se o corpo de prova estiver perto da superfcie terrestre, ento r RT , onde RT = 6, 37 106 m o raiomdio da Terra. Prximo da superfcie terrestre o valor em mdulo desta acelerao de queda livre, |~g(RT )|, dado por:

g(RT ) = |~g(RT )| =GMgTR2T

9, 83 ms2

. (1.19)

Este valor precisa ser corrigido devido a dois fatores principais: (i) A forma achatada da Terra nos polos ebojuda no equador, e (ii) a rotao diria da Terra em relao s estrelas distantes. Estes dois fatores fazemcom que o valor medido da fora gravitacional terrestre por unidade de massa dependa da latitude. Nospolos este valor prximo de 9,83 m/s2, no equador ele vale 9,78 m/s2, enquanto que em uma latitude de50o esta fora por unidade de massa tem o valor de 9,81 m/s2 (valores experimentais ao nvel do mar). Ouseja, se tivermos uma balana ao nvel do mar, parada em relao ao solo, um corpo com massa gravitacionalde 1 kg vai pesar 9, 83 N nos polos, 9, 81 N em uma latitude de 50o e 9, 78 N no equador.

1.4.2 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Linearmente Acelerada

Seja uma casca esfrica de raio R e massa gravitacional Mg que est deslocando-se em relao ao espaoabsoluto com uma acelerao ~A, figura 1.7.

Qual a fora exercida por esta casca sobre uma massa gravitacional mg1 localizada dentro ou fora dacasca esfrica? Seja ~r1 o vetor posio da partcula em relao ao centro da casca. Como a lei de Newton da


R

O

R

O

r1

mg1

Mg

(a) (b)

Mg

mg1

r1A A

Figura 1.7: Casca esfrica acelerada.

gravitao no depende da velocidade nem da acelerao entre os corpos, a equao (1.15) continua valendoqualquer que seja o valor da acelerao ~A, ou seja:

~Fcasca acelerada(~r1) =


. (1.20)

Alm do mais, este resultado continua vlido qualquer que seja a velocidade ~v1 ou a acelerao ~a1 dapartcula de massa mg1 em relao ao espao absoluto.

1.4.3 Fora Exercida por uma Casca Esfrica Girando

Seja uma casca esfrica de raio R e massa gravitacional Mg que est girando em relao ao espao absolutocom uma velocidade angular ~, figura 1.8.

z

y

x

Mg

R

0

r1v1

a1

mg

Figura 1.8: Casca esfrica girando.

Qual a fora exercida por esta casca sobre uma partcula com massa gravitacional mg1 localizada dentroou fora da casca esfrica? Seja ~r1 o vetor posio da partcula em relao ao centro da casca. Como a leide Newton da gravitao no depende da velocidade nem da acelerao entre os corpos, a equao (1.15)continua valendo qualquer que seja o valor de ~, ou seja:

~Fcasca girando(~r1) =


. (1.21)

Alm do mais, este resultado continua vlido qualquer que seja a velocidade ~v1 ou a acelerao ~a1 dapartcula de massa mg1 em relao ao espao absoluto.


1.4.4 Implicaes Cosmolgicas de uma Casca Esfrica Exercer Fora Nula so-bre Corpos Internos

Newton estava perfeitamente ciente das implicaes cosmolgicas de sua Proposio 70, Teorema 30, doLivro I do Principia, discutida na Subseo 1.4.1. Nesta Proposio Newton provou que nula a foragravitacional resultante exercida por uma casca esfrica sobre um corpo de prova localizado em qualquerlugar no interior desta casca.

Ele apresentou esta consequncia no segundo Corolrio da Proposio 14, Teorema 14 (Os aflios e nsdas rbitas dos planetas so fixos), do Livro III do Principia:21

Corolrio 1 - As estrelas fixas so imveis, visto que elas mantm a mesma posio em relaoaos aflios e aos ns dos planetas.

Corolrio 2 - E como estas estrelas no esto sujeitas a paralaxes perceptveis devido ao movi-mento anual da Terra, elas no podem ter fora, devido sua imensa distncia, para produzirqualquer efeito perceptvel em nosso sistema. Sem mencionar que as estrelas fixas, dispersaspromiscuamente por todo lado nos cus, destroem suas aes mtuas devido a suas atraescontrrias, pela Proposio 70, Livro I.

A principal implicao da Proposio 70 que podemos essencialmente desprezar a influncia gravitaci-onal exercida pelo conjunto das estrelas fixas nos movimentos planetrios e em experincias realizadas sobrea Terra. O motivo para isto que as estrelas esto espalhadas mais ou menos homogeneamente por todasas direes do cu, desprezando aqui a concentrao de estrelas na Via Lctea. Isto significa que a foraresultante exercida pelo conjunto das estrelas sobre o Sol, sobre os planetas do sistema solar e sobre oscorpos que esto na Terra praticamente nula. Ou seja, esta fora resultante pode ser desprezada quandocomparada com a intensidade das outras foras que atuam usualmente sobre os corpos terrestres, sobre osplanetas ou sobre o Sol. Logo, podemos desprezar a influncia da fora gravitacional exercida pelo conjuntodas estrelas fixas tanto sobre os corpos que esto na Terra, quanto na dinmica do sistema solar.

Embora Newton no tivesse conhecimento da existncia de galxias, o mesmo pode ser afirmado emrelao a elas. Ou seja, como as galxias esto espalhadas mais ou menos homogeneamente no espao, afora resultante ex

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Mecânica Relacional e Implementação do Princípio de Mach com a