Media,Moda e Mediana

Curso: Logstica e Transportes Disciplina: Estatstica Profa. Eliane Cabariti

Medidas de Posio

Depois de se fazer a coleta e a representao dos dados de uma pesquisa, comum analisarmos as tendncias que essa pesquisa revela. Assim se a pesquisa envolve muitos dados, convm sintetizarmos todas essas informaes a um mnimo de parmetros que possam caracteriz-la. Esses parmetros podem ser de:

centralizao: mdia aritmtica, mediana e moda. separatrizes: mediana, quartis e percentis. disperso: intervalo de variao, desvio mdio, varincia e desvio padro.

Mdia Aritmtica ( x ou )

A mdia caracteriza o ponto de equilbrio da distribuio de freqncias, sendo, por isso uma medida de posio.

1. Dados no agrupados

Exemplo: Se X : 2, 0, 5, 3; ento:

5,24

3502x =+++=

2. Dados agrupados sem intervalos de classe (mdia aritmtica ponderada)

Se os dados esto apresentados na forma de uma varivel discreta faremos a mdia aritmtica ponderada considerando as freqncias simples de fi como sendo as ponderaes dos elementos xi correspondentes:

Exemplo: Considerando a distribuio:

xi fi

2 1

4 3

5 2

2.1 4.3 5.2 2 12 10 4

1 3 2 6X + + + += = =

+ +

3. Dados agrupados com intervalos de classe

Quando os dados esto agrupados, se aceita, por conveno, que as freqncias se distribuem uniformemente ao longo da classe e que, portanto, o ponto mdio da classe o valor representativo do conjunto. Neste caso a mdia ser calculada fazendo a

mdia aritmtica ponderada considerando as freqncias simples de fi como sendo as ponderaes dos elementos ix correspondentes, onde ix o ponto mdio do intervalo.

Exemplo: Considere a distribuio:

classe fi x i[180, 200[ 4 190[200, 220[ 18 210[220, 240[ 10 230[240, 260[ 5 250[260, 280[ 3 270

X = 50,222408900

35101843.2705.25010.23018.2104.190 ==

++++++++

Moda (Mo)

A moda de uma srie de valores o valor de maior freqncia absoluta,ou seja, o valor que aparece o maior nmero de vezes na distribuio.


Exemplos:

1) Dada a srie: 2, 0, 0, 5, 3 ; ento: Mo = 02) Dada a srie: 1, 2, 3, 4, 5, 6; no existe valor mais presente, portanto neste caso a

srie amodal.

3) Dada a srie: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, teremos dois valores modais 2 e 3. Dizemos, ento, que a srie bimodal.

Mo = 2 e Mo = 3.

2. Dados agrupados sem intervalos de classe

Exemplo: Considerando a distribuio:

xi fi

2 1

4 3

5 2

O valor de freqncia mxima o 4. Logo Mo = 4


Neste caso, a classe que apresenta a maior freqncia denominada classe modal. No caso de distribuio de freqncias em classes de mesma amplitude, a moda corresponde a um ponto pertencente classe modal dado por:

h.DD

DLMo21

1Mo

+

+=

LMo = limite inferior da classe modalD1 = fmo fant D2 = fmo fpost

fMo = freqncia da classe modalfant = freqncia da classe imediatamente anterior

classe modalfpost = freqncia da classe imediatamente

posterior classe modalh = amplitude do intervalo da classe modal

Exemplo: Considere a distribuio:

Temos:

D1 = 18 4 = 14D2 = 18 10 = 8

Mo = 7,21220.221420020.

81414200 =+=

++

Mediana (Md)

A mediana de um conjunto de valores, colocados em rol, o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo nmero de elementos (elemento que ocupa a posio central).


i classe fi

1 [180, 200[ 4

2 [200, 220[ 18

3 [220, 240[ 10

4 [240, 260[ 5

5 [260, 280[ 3

Exemplos:

1) Dada a srie: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41, 44Colocando os dados em rol temos: 28, 37, 37, 37, 40, 41, 41, 44, 45. A distribuio tem um nmero mpar (9) de dados. H quatro valores esquerda de 40 e quatro valores direita de 40. Dizemos que o valor central dessa distribuio, 40, a mediana. Md = 40

2) A srie: 25, 27, 28, 30, 32, 34, 38, 40, tem um nmero par (8) de elementos, no existe um valor central, mas dois valores centrais:

25, 27, 28, 30, 32, 34, 38, 40

Neste caso a mediana ser a media aritmtica dos valores centrais:

Md = 312

3230 =+ Md = 31

Observe:

Sendo n o nmero de elementos da srie, devemos determinar a posio do valor mediano. O valor mediano ser:

o termo de ordem 2

1n +, se n for mpar.

a mdia aritmtica dos termos de ordem 2n

e 2n

+ 1, se n for par

A mediana no precisa ser um dos valores da distribuio.

2. Dados agrupados sem intervalos de classe

Para determinarmos mediana de uma distribuio de dados discreta, calculamos if e dividimos por 2, obtendo desta forma a posio do valor mediano. A mediana ser o valor da varivel que corresponde freqncia acumulada imediatamente superior ao valor encontrado.

Exemplos:

a) n mpar

Considerando a distribuio:

xi fi Fi12 3 314 5 815 6 1416 2 1617 5 21

1

2n +

= 2

121+= 11, portanto a mediana est na 11 posio.

A 11 posio ocupada pelo valor 15, ento:

Md = 15

b) n par

Considere a distribuio:

2n

= 2

14= 7, portanto o valor mediano est entre a 7 e 8 posio.

A 7 posio ocupada pelo valor 4 e a 8 posio pelo valor 5, ento:

Md = 2

54 + = 4,5


Devemos, inicialmente, determinar a classe na qual se encontra a mediana classe mediana. O procedimento anlogo ao utilizado nos dados agrupados sem intervalos. Determinada a classe mediana aplicamos a seguinte frmula:

Md = 2 .ant

MdMd

n FacL h

f

+

na qual:

LMd o limite inferior da classe mediana; Facant a freqncia acumulada da classe anterior classe mediana; h a amplitude do intervalo da classe mediana; fMd a freqncia simples da classe mediana.

Exemplos:

1. Considere a distribuio:

xi fi Fi

2 2 2

4 5 7

5 7 14

Li = 200; Fant = 4; h= 20 e fMd = 18

Md = 200 + 20.18

402

40

200

+ = 200 + 17,78 Md = 217,78

2. Considerando a distribuio:

Li = 158; Fant = 13; h = 4 e fMd = 11

Md = 4.11

132

40

158

+ = 158 + 2,54 Md = 160,54

Observao: Caso a freqncia acumulada seja exatamente igual a 2n

, a mediana

ser o limite superior da classe correspondente.

Utilizao das Medidas de Tendncia Central

Na maioria das situaes, no necessitamos calcular as trs medidas de tendncia central. Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da srie. Surge, ento, a questo: qual medida deve ser utilizada? A medida ideal em cada caso aquela que melhor representa a maioria dos dados da srie.

i classe fi Fi1 [180, 200[ 4 42 [200, 220[ 18 223 [220, 240[ 10 324 [240, 260[ 5 375 [260, 280[ 3 40

i classe fi Fi

1 [150, 154[ 4 42 [154, 158[ 9 133 [158, 162[ 11 244 [162, 166[ 8 325 [166, 170[ 5 376 [170, 174[ 3 40

classe mediana

Quando todos os dados de uma srie estatstica so iguais, a mdia, a mediana e a moda coincidiro com este valor e, portanto qualquer uma delas representar bem a srie. No entanto, este caso dificilmente ocorrer na prtica. Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a srie e conseqentemente a medida ir representar bem, apenas os dados da srie que se situam prximos a este valor. Os dados muitos afastados em relao ao valor da medida no sero bem representados por ela. Desta forma, se uma srie apresenta forte concentrao de dados em sua rea central, a mdia, a mediana e a moda ficam tambm situadas em sua rea central representando bem a srie como na figura abaixo (ver fig. 4.3.). Como a mais conhecida a mdia, optamos por esta medida de tendncia central. Concluindo, devemos optar pela mdia, quando houver forte concentrao de dados na rea central da srie.

Se uma srie apresenta forte concentrao de dados em seu incio, a mediana e a moda estaro posicionadas mais no incio da srie, representando bem esta concentrao. A mdia que fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da srie se deslocar para a direita desta concentrao no a representando bem. Como a mais conhecida entre mediana e moda a mediana, esta ser a medida indicada neste caso. A mesma situao ocorre se a srie apresenta forte concentrao de dados em seu final. Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentrao de dados no incio ou no final da srie. A moda deve ser a opo como medida de tendncia central apenas em sries que apresentam um elemento tpico, isto , um valor cuja freqncia muito superior freqncia dos outros elementos da srie.

Exerccios

1. Calcule a moda, a mediana e a mdia das seguintes sries:a) 46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 42, 47b) 1, 1, 3, 2, 3, 5, 4, 5, 3, 3, 2, 2, 1, 1

2. Calcule a mediana e a mdia do conjunto de dados apresentados pela seguinte distribuio de freqncias:

xi 8 12 16 20 fi 7 16 20 5

3. Em uma casa de repouso, as pessoas internadas tm as seguintes idades:67 68 74 67 68 84 75 80 75 84

75 73 67 74 78 77 75 80 74 77

85 85 68 74 72 73 71 73 71 8568 84 80 77 78 75 71 72 73 84

Calcule a mediana, a moda e a mdia dessa distribuio.

4. Considere a tabela, que representa a distribuio das reas cultivadas, em hectares, de uma determinada regio.

Dados: xi: rea em hectares, fi: nmero de reas cultivadas.

xi fi[0; 2[ 30[2; 4[ 35[4; 6[ 60[6; 8[ 35

[8; 10[ 15[10; 12[ 8[12; 14[ 2

Determine:a) a classe modal e a moda da distribuiob) a classe mediana e a mediana da distribuio c) a mdia

5. A tabela abaixo indica os Custos, de uma determinada empresa, com encargos

salariais:

Custos fi[450; 550[ 8[550; 650[ 10[650; 750[ 11[760; 850[ 16[850; 950[ 13

[950; 1.050[ 5[1.050; 1.150] 1

Determine:a) a ordem da classe modal;b) a moda da distribuio;c) a classe mediana;d) a mediana da distribuio;e) construa o histograma e o polgono de freqncias da distribuio.f) a mdia salarial.

6. A tabela seguinte fornece o nmero de erros grficos por pgina de certo livro.

nmero de erros 0 1 2 3 4nmero de pginas 84 25 8 2 1

Calcular: a) o nmero mdio de erros por pgina b) o nmero mediano c) qual a moda da distribuio?

7. Numa pesquisa entre 250 famlias de certa cidade constataram-se os seguintes dados:

n de filhos 0 1 2 3 4 5 6 7n de famlias 45 52 48 55 30 10 8 2

Para a distribuio do nmero de filhos, calcular a mdia, a mediana e a moda.

8. Se os dados do problema anterior estivessem computados como segue:

n de filhos 0 1 2 3 4 mais do que 4n de famlias 45 52 48 55 30 20

qual das trs medidas ns teramos dificuldades para calcular?

9. Os dados seguintes referem-se ao tempo de vida (durabilidade) de 150 lmpadas eltricas de certa fabricao, em centenas de horas.

Durao n de lmpadas0 | 4 44 | 8 12 8 | 12 4012 | 16 4116 | 20 2720 | 24 1324 | 28 928 | 32 4

10. A mdia dos salrios dos funcionrios de uma determinada empresa 5 salrios mnimos (5 SM), enquanto que a mediana 4 SM. Sorteando-se ao acaso um dos funcionrios, o que mais provvel: que ele ganhe mais ou que ele ganhe menos do que a mdia dos salrios?

11. Uma prova foi aplicada a trs classes, de 40, 48 e 46 alunos, e as mdias de cada classe foram 6,0, 6,6 e 5,8, respectivamente. Qual a mdia para os 134 alunos que fizeram a prova?

12. Quando a medida de posio deve ser o valor mais tpico da distribuio utilizamos:

a) a mdia b) a mediana c) a moda d) a moda ou a mdia

13. Quando desejamos o ponto mdio exato de uma distribuio de freqncia, basta calcular:a) a mdia b) a moda c) a mediana d) as trs

14. Considere uma srie estatstica com 2351 elementos. A posio da mediana representada pelo:

a) Qual a moda?b) Calcular a vida mdia das lmpadas.c) Qual a mediana?d) Qual a porcentagem do nmero de lmpadas que duraram mais do que a mdia?

a) 1175 elemento b) 1176 elemento c) ponto mdio entre o 1175 e o 1176 elemento d) 1174 elemento

15. Um professor, aps verificar que toda a classe obteve nota baixa, eliminou as questes que no foram respondidas pelos alunos. Com isso, as notas de todos os alunos foram aumentadas de 3 pontos. Ento:

a) a mdia aritmtica ficou alterada, assim como a mediana. b) apenas a mdia aritmtica ficou alterada. c) apenas a mediana ficou alterada. d) no houve alterao nem na mdia nem na mediana. e) nada podemos afirmar sem conhecer o nmero total de alunos.

16. Calcule o nmero mdio, mediano e modal de acidentes por dia em uma determinada esquina.

Nmeros de acidentes por dia (xi)

Nmeros de dias (fi)

0 301 52 33 14 1

Total 40

17. O grfico abaixo mostra a distribuio de freqncias das notas obtidas pelos alunos, da 2 srie do ensino mdio, numa prova de Geografia. Determine:

a) a mediana dessa distribuio;b) a moda dessa distribuioc) a mdia das notas.

18. As notas de um candidato em seis provas de um concurso foram:8,4 ; 9,1 ; 7,2 ; 6,8 ; 8,7 ; 7,2

Determine:a) a nota mdia;b) a nota mediana;c) a nota modal.

19. Os salrios-hora de cinco funcionrios de uma companhia so:R$ 75 ; R$ 90 ; R$ 83 ; R$ 142 ; R$ 88

a) qual o salrio mdio?b) qual o salrio mediano?

20. Considere as notas obtidas pelos alunos de uma classe em uma determinada prova:

Notas N de alunos2 13 34 65 106 137 88 59 3

10 1Calcule:a) a nota mdia;b) a nota mediana;c) a nota modal.

21. A partir de uma amostra de 70 pessoas obteve-se a tabela a seguir com as estaturas dos entrevistados:

Estaturas(cm)

frequncia

150 158 5158 166 12166 174 18174 182 27182 190 8

Determine, para essa distribuio:a) a mdia;b) a mediana;c) a moda;d) o primeiro quartil;e) o terceiro quartil;f) o primeiro decil;g) o 23 percentil;h) D9

22. Os pesos de 40 pessoas que estavam fazendo um tratamento de emagrecimento numa determinada clnica de So Paulo foram agrupados na tabela a seguir:

Pesos(kg)

fi

145 151 10151 157 9157 163 8

163 169 6169 175 3175 181 3181 187 1

Determine, para essa distribuio:a) a mdia;b) a mediana;c) a moda;d) o primeiro quartil;e) o terceiro quartil.

23. Considerando a distribuio abaixo, determine:

xi fi3 44 85 116 107 88 3

a) a mdia;b) a mediana;c) a moda.

Respostas

18) a) 7,9 b) 7,8 c) 7,219) a) R$ 96 b) R$ 8820) a) 5,9 b) 6 c) 621) a) 172,4 b) 174 c) 176,6 d) 166,2 e) 179,2 f) 159,3 g) 165,4 h) 18322) a) 159,4 b) 157,8 c) 150,5 d) 151 e) 16623) a) 5,4 b) 5 c) 5

Exemplo: Se X : 2, 0, 5, 3; ento: Exemplos: Exemplos:

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