Medidas de Centralidade - UEL...Moda Caracter sticas das medidas de centralidade Moda De ni˘c~ao A moda, M o, e de nida como o valor mais frequente do conjunto de valores observados

Medidas de centralidadeExercıcio

Medidas de Centralidade

Prof. Dr. Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

11 de abril de 2018

Londrina

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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade

Introducao

Sao utilizadas para sintetizar, em um unico numero, o conjuntode dados observados da variavel em estudo;

Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posicao(ou localizacao) central:

Media;

Mediana;

Moda.

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Media aritmetica simples

A medida mais utilizada para descrever resumidamente um con-junto de dados, tabelados ou nao, e a media aritmetica sim-ples.

Definicao

Soma das observacoes dividida pelo numero delas:

µ =

∑Ni=1 yiN

(Media Populacional)

y =

∑ni=1 yin

(Media Amostral)

em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo, N e n e otamanho da populacao e da amostra, respectivamente.

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Exemplo 1

Os pesos, em kg, de 10 coelhos da raca Nova Zelandia Brancoforam anotados, obtendo-se os seguintes valores:

3,7 3,8 4,8 5,1 3,94,1 4,2 4,0 4,5 5,0

Qual o peso medio dos coelhos?

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Media aritmetica ponderada

Definicao

A media aritmetica e considerada ponderada se os valores observadostiverem pesos diferentes:

y =

∑ni=1 yipi∑ni=1 pi

em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo e pi e seu res-pectivo peso.

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Exemplo 2

Do plano de ensino da disciplina Iniciacao a Estatıstica aplicada aZootecnia, tem-se que os pesos das provas P1, P2 e P3 sao p1 = 1,p2 = 2 e p3 = 3, respectivamente. Assim, pede-se:

a) Se um aluno obteve as seguintes notas: P1 = 8, P2 = 5 eP3 = 8, qual sera sua media final?

b) Sabendo que a media mınima para o aluno ser aprovado e 6,0e supondo que um aluno obteve P1 = 7 e P2 = 5, qual deveser a nota mınima da ultima prova para ser aprovado nadisciplina?

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Dados agrupados

Definicao

A media aritmetica, para dados agrupados com intervalos nasclasses, nada mais e que uma media ponderada:

y =

∑ki=1 yini∑ki=1 ni

em que yi e o valor medio da i-esima classe e ni e a frequenciaabsoluta da i-esima classe.

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Exemplo 3

Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:

Tabela 1: Distribuicao dos pesos (kg) de 30 caes da raca Pastor Alemao.

Peso ni fi5 ` 11 1 0,03

11 ` 17 5 0,1717 ` 23 8 0,2723 ` 29 7 0,2329 ` 35 4 0,1335 ` 41 5 0,17

TOTAL 30 1,000

Qual e o peso medio dessa amostra de caes?

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Exemplo 4


Tabela 2: Distribuicao do numero de filhotes de cadelas submetidas ainseminacao artificial no Hospital Veterinario da UEL em 2005.

no de filhotes ni fi0 1 0,031 4 0,132 6 0,203 10 0,334 7 0,235 2 0,07

TOTAL 30 ≈ 1,0000

Qual o numero medio de filhotes dessas cadelas?

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Mediana

E uma quantidade que, como a media, tambem procura carac-terizar o centro da distribuicao de frequencias;

E a medida que ocupa a posicao central do conjunto de dados,ou seja, 50% das observacoes estao a cima da mediana e 50%estao a baixo.;

Para determinar a mediana e preciso ordenar os dados e emseguida verificar se o n e par ou ımpar.

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Se n ımpar

Definicao

Md = y( n+12 )

em que y( n+12

) e o valor do elemento que se encontra na posicaon+12 .

Exemplo 5


3,7 3,8 4,8 5,1 3,9 3,54,1 4,2 4,0 4,5 5,0

Qual o peso mediano dos coelhos?11 / 26



Se n e par

Definicao

Md =y( n

2 ) + y( n2+1)

2

em que y( n2) e y( n

2+1) sao os valores dos elementos que se

encontram nas posicoes n2 e n

2 + 1.

Exemplo 6


3,7 3,8 4,8 5,1 3,94,1 4,2 4,0 4,5 5,0

Qual o peso mediano dos coelhos?

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Dados agrupados

Definicao

A mediana, para dados agrupados com intervalos nas classes, edada por:

Md = Li +

(n2 − Fi−1

)ni

ac

em que Li e o limite inferior da classe mediana; ac e a amplitudedo intervalo da classe mediana; F(i−1) e a frequencia acumuladaanterior a classe mediana; ni e a frequencia absoluta da classemediana.

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Exemplo 7



Peso ni fi5 ` 11 1 0,03

11 ` 17 5 0,1717 ` 23 8 0,2723 ` 29 7 0,2329 ` 35 4 0,1335 ` 41 5 0,17

TOTAL 30 1,000

Qual e o peso mediano dessa amostra de caes?

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Exemplo 8




TOTAL 30 ≈ 1,0000

Qual o numero mediano de filhotes dessas cadelas?

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Moda

Definicao

A moda, Mo , e definida como o valor mais frequente do conjuntode valores observados.

A moda pode ser obtida para variaveis qualitativas.

Um conjunto de dados pode ser:

amodal (nenhuma moda);

unimodal (uma moda);

bimodal (duas modas);

multimodal (tres ou mais modas);

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Exemplo 9

O conjunto de numeros 1, 2, 3, 4, 5 nao tem moda (amodal).

Exemplo 10

Consideremos as alturas, em cm, de uma amostra de dez alunos docurso de Zootecnia:

165 171 173 173 178178 178 178 179 182

Temos que a altura modal e 178cm (Mo = 178).

Exemplo 11

O conjunto de numeros 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 tem duas modas (bimodal),Mo = 2 e Mo = 3.

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Dados agrupados

Para dados agrupados com intervalos nas classes, pode-se uti-lizar um dos seguintes metodos:

Moda bruta

E o ponto medio da classe modal (aquela que apresenta maiorfrequencia), ou seja:

Li + Ls2

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Metodo Czuber

Mo = Li +

(δ1

δ1 + δ2

)ac

em que Li e o limite inferior da classe modal; ac e a amplitude daclasse modal; δ1 e a diferenca entre a frequencia absoluta da classemodal e a anterior imediata; δ2 e a diferenca entre a frequenciaabsoluta da classe modal e a posterior imediata.

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Exemplo 12



Peso ni fi5 ` 11 1 0,03

11 ` 17 5 0,1717 ` 23 8 0,2723 ` 29 7 0,2329 ` 35 4 0,1335 ` 41 5 0,17

TOTAL 30 1,000

Qual e o peso modal dessa amostra de caes?

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Exemplo 13




TOTAL 30 ≈ 1,00

Qual o numero modal de filhotes dessas cadelas?

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Exemplo 14


Tabela 7: Distribuicao de frequencias da cor favorita.

cor ni fi piAmarelo 3 0,0370 3,70

Azul 11 0,4074 40,74Preto 5 0,1852 18,52Verde 4 0,1481 14,81

Vermelho 4 0,1481 14,81

TOTAL 27 ≈ 1,00 100,00

Qual a cor favorita para o conjunto de dados?

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Media

E vista como ponto de equilıbrio dos dados;

Utilizada quando a distribuicao dos dados e pelo menos apro-ximadamente simetrica;

Utilizada ser for necessario obter posteriormente outros parametrosque podem depender da media, como por exemplo a variancia,o desvio padrao, etc.

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Mediana

E vista como ponto medio dos dados;

Utilizada quando ha valores extremos;

Utilizada quando deseja-se conhecer o ponto central da distri-buicao;

Utilizada quando a distribuicao dos dados e muito assimetrica.

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Moda

E vista como ponto de maxima frequencia dos dados;

Utilizada quando a medida de interesse e o ponto mais tıpicoou popular dos dados;

Utilizada quando precisa-se apenas de uma rapida ideia sobrea tendencia central dos dados.

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Exercıcio 1


Tabela 8: Distribuicao dos pesos (kg) das carcacas de bovinos.

Pesos ni yi Fi

120 ` 140 8 130 8140 ` 160 12 150 20160 ` 180 15 170 35180 ` 200 17 190 52200 ` 220 14 210 66220 ` 240 11 230 77240 ` 260 9 250 86

TOTAL 86 - -

Calcule a media, a mediana e a moda dos pesos das carcacas debovinos.

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