ESTATÍSTICA BÁSICAMedidas de Tendência Central

O objetivo deste capítulo é apresentar as medidas de tendência central mais importantes.Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados. As medidas de tendência central mais utilizadas são: a média aritmética, a mediana e a moda.

1. Média AritméticaA média aritmética de um conjunto de dados é a soma de todos os dados dividido pelo número deles. Ë dada pela fórmula:

1.1 Média aritmética para dados brutos

Conjunto:3, 12, 3, 10, 9, 8, 5, 4, 7

1.2 Média aritmética para dados agrupados (em distribuição de freqüência)Se dispusermos de um conjunto de valores que se repetem:

x1 x1 x1 . . . x2 x2 x2 x2 . . .. x3 x3 x3 . . . xn xn xn . . . xn

o cálculo da média aritmética será efetuado considerando-se o número de vezes

que eles se repetem (freqüência)

Por exemplo, seja x = {5,5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,1,1)

a média aritmética será:

ou

= 3.

Generalizando,

O cálculo da média aritmética de dados repetidos pode ser melhor visualizado a

46

ESTATÍSTICA BÁSICApartir de uma tabela. Assim, considerando o exemplo a seguir,

xi fi xi.fi

5 4 203 3 92 4 81 2 2Σ 12 39

=

1.3 Média aritmética para dados agrupados em classesPara dados agrupados com intervalos de classe: Estaturas dos alunos da Escola FECEA, 3a série, turma de 2005

Estaturas (cm) N0 de alunos (fi)150 ├── 155 5155 ├── 160 4160 ├── 165 19165 ├── 170 18170 ├── 175 14175 ├── 180 12180 ├── 185 4

∑ 76

Inicialmente, deve-se abrir uma coluna contendo os pontos médios das classes das estaturas. E outra, contendo os produtos xi.fi

Estaturas (cm) N0 de alunos(fi)

Ponto médio(xi)

xi . fi

150 ├── 155 5 152,5 627,50155 ├── 160 4 157,5 630,00160 ├── 165 19 162,5 3087,50165 ├── 170 18 167,5 3015,00170 ├── 175 14 172,5 2415,00175 ├── 180 12 177,5 2130,00180 ├── 185 4 182,5 730,00

∑ 76 12.634,50

= = 166,24 cm

47

ESTATÍSTICA BÁSICA2. Outras medidas de posição

Além da média, serão estudadas outras medidas de posição: moda, mediana, quartis, decis e percentis.

2.1 Média geométricaMédia geométrica de um conjunto de valores é definida como a raiz n-ésima do produto desse conjunto de valores.

2.1.1 Média geométrica simples (dados brutos)Seja X = {x1, x2, ..., xn}. A média geométrica é definida pela seguinte expressão:

=

Exemplo: Seja X = {3, 5, 7, 9}. Determine a média geométrica do conjunto X.

2.1.2 Média geométrica para dados agrupadosSe dispusermos de um conjunto de valores que se repetem:

x1 x1 x1 . . . x2 x2 x2 x2 . . .. x3 x3 x3 . . . xn xn xn . . . xn

o cálculo da média geométrica será feito considerando-se o número de vezes

que cada elemento se repete (freqüência)

Por exemplo, seja x = {5,5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,6,6)

a média geométrica será:

2.1.3 Média geométrica para dados agrupados em classesPode-se calcular a média geométrica adota-se a seguinte expressão:

cuja média geométrica será

Para dados agrupados com intervalos de classe: Estaturas dos alunos de uma escola de ensino médio, 3a série.

Estaturas (cm) N0 de alunos (fi)

48

ESTATÍSTICA BÁSICA150 ├── 156 5156 ├── 162 4162 ├── 168 19168 ├── 174 18174 ├── 180 14180 ├── 186 12186 ├── 192 4

∑ 76

Estaturas (cm) N0 de alunos(fi)

Ponto médio(xi)

log xi fi log xi

150 ├── 156 5 153 2,18469 10,92345156 ├── 162 4 159 2,20139 8,80556162 ├── 168 19 165 2,21748 42,13212168 ├── 174 18 171 2,23300 40,19400174 ├── 180 14 177 2,24797 31,47158180 ├── 186 12 183 2,26245 27,14940186 ├── 192 4 189 2,27646 9,10584

∑ 76 - - 169,78195

log

logo, antilog 2,2339730 = 171,38 cm

2.2 Média harmônicaÉ definida como o inverso da média aritmética dos inversos dos valores

2.2.1 Média harmônica simples (dados brutos)Seja X = {x1, x2, ..., xn}. A média harmônica é definida pela seguinte expressão:

Exemplo: Seja X = {3, 5, 7, 9}. Determine a média harmônica do conjunto X.

=

2.2.2 Média harmônica com dados agrupados Se dispusermos de um conjunto de valores que se repetem:

49

ESTATÍSTICA BÁSICAx1 x1 x1 . . . x2 x2 x2 x2 . . .. x3 x3 x3 . . . xn xn xn . . . xn

o cálculo da média harmônica será feito considerando-se o número de vezes

que cada elemento do conjunto se repete(freqüência)

Por exemplo, seja x = {5,5,5,5,3,3,3,2,2,2,2,6,6)

a média harmônica será:

2.2.3 Média harmônica para dados agrupados em intervalo de classesExemplo: Estaturas dos alunos de uma escola de ensino médio, 3a série.

Estaturas (cm) N0 de alunos(fi)

Ponto médio(xi)

fi / xi

150 ├── 156 5 153 0,032679156 ├── 162 4 159 0,025157162 ├── 168 19 165 0,115151168 ├── 174 18 171 0,105263174 ├── 180 14 177 0,079096180 ├── 186 12 183 0,065573186 ├── 192 4 189 0,021164

∑ 76 - 0,444083

cm

2.3 ModaValor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.

2.3.1 Dados não agrupadosValor que se repete com maior freqüência.Exemplo: conjunto de dados: 3,3,3,3,4,4,5,5,6,7,7,7Moda (Mo) = 3

Exemplo: dados: 3,4,4,4,,5,6,7,7,7,8,9

50

ESTATÍSTICA BÁSICAMo = 4 e 7 (bimodal)

Exemplo: dados: 1,2,5,6,8,9,10Mo = não existe (amodal)

2.3.2 Dados agrupados (sem intervalo de classe)Uma vez agrupado os dados é possível determinar a moda observando o valor da variável de maior freqüência.xi fi

5 33 32 41 2

Mo = 2, pois tem maior freqüência

2.3.3 Dados agrupados em intervalos de classeA classe que apresenta maior freqüência é denominada classe modal. a) método do ponto médio da classe modal.

Dado a distribuição:Estaturas (cm) N0 de alunos

(fi)150 ├── 155 5155 ├── 160 4160 ├── 165 19165 ├── 170 18170 ├── 175 14175 ├── 180 12180 ├── 185 4

∑ 76

A classe modal está no intervalo entre 160 e 165, pois tem maior freqüência (19). Assim, moda é o ponto médio da classe modal:

Mo = = 162,5 cm ou seja, o ponto médio da classe modal.

b) Método de Czuber:

M0 = onde,

li = limite inferior da classe

hi = amplitude da classe

1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior

2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior

51

ESTATÍSTICA BÁSICAA classe de maior freqüência é a 3a. Então,

l3 = 160

1 = 19 – 4 = 15

2 = 19 – 18 = 1

Portanto: M0 = = 164,69

c) Dados agrupados em intervalos de classe com amplitude desigual

A tabela a seguir mostra o tempo (em semanas) em que uma imobiliária levou para comercializar as lojas do seu arquivo de vendas. Calcule a moda.

Salário N0 de empregados080 ├── 180 70180 ├── 250 140250 ├── 300 140300 ├── 500 60

Observe que as amplitudes das classes são diferentes. Nesse caso é preciso calcular as “densidades” das classes: f h para identificação da classe modal (aquela com maior densidade)

Salário fi fi /h080 ├── 180 70 70 100 = 0,7180 ├── 250 140 140 70 = 2,0250 ├── 300 140 140 50 = 2,8300 ├── 500 60 60 200 = 0,3

Classe modal: 3a classe (250 ├── 300 )

Aplicando a fórmula de Czuber, ondeLi = 2501 = 2,8 – 2,0 = 0,82 = 2,8 – 0,3 = 2,5h = 50

Então, o salário modal é 262,12

2.4 MedianaÉ o valor central de um conjunto de valores ordenados, ou melhor, é a medida que divide esse conjunto em duas partes iguais.

2.4.1 Dados não agrupadosDado um conjunto qualquer de valores, o primeiro passo é ordenar esses valores. Depois deve-se contar o número de elementos que compõem este conjunto de dados.

52

ESTATÍSTICA BÁSICA

a ordem do elemento mediano será dado pela fórmula: , onde n =

número de elementos do conjunto.Ex.: X = { 2, 5, 7, 9, 11, 15, 22 }

Ordem do elemento mediano: = 4 (quarto elemento)

O valor 4 é a posição do elemento mediano no conjunto de valores fornecidos, que no exemplo corresponde ao valor “9”. Me = 9.

Se o número de elemento for par, a mediana será dada pela média aritmética dos dois valores centrais da série. Ex: x = { 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 }

Ordem do elemento mediano: = 4,5

Os valores 10 e 12 são os dois valores centrais da série. A mediana será a

média aritmética deles, isto é: Md = = 11.

2.4.2 Para dados agrupados sem intervalo de classesO procedimento do cálculo da mediana é análogo ao item anterior, lembrando, contudo, que agora temos a freqüência correspondente a cada variável e a freqüência acumulada (Fi) dos dados. Exemplo 1:

xi fi Fi

2 2 24 5 75 8 157 6 218 4 25∑ 25

Cálculo da ordem do elemento mediano: = 13 (décimo terceiro

elemento)Pela freqüência acumulada verificamos que o 130 elemento dos valores databela corresponde ao número 5. Então, Md = 5. Pode-se verificar mais facilmente esse resultado, dispondo os valores com dados não agrupados:

{2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7 ,7, 7, 7, 8, 8, 8, 8}

2.4.3 Dados agrupados em intervalos de classeEm primeiro lugar deve-se encontrar o intervalo de classe em que está compreendida a mediana (classe mediana). Depois recorremos a uma fórmula que permitirá encontrar o valor da mediana.

53

130 elemento do conjunto

ESTATÍSTICA BÁSICA

Md =

OndeLi = limite inferior da classe medianafi = freqüência ou tamanho da amostraFi = freqüência acumulada da classe anterior a classe medianah = amplitude da classe mediana

Exemplo: A tabela, a seguir, retrata o resultado de uma prova de matemática, aplicada em uma instituição educacional.

Notas fi Fi0 ├── 02 27 272 ├── 04 16 434 ├── 06 34 776 ├── 08 17 948 ├── 10 16 110

Total 110 -

Cálculo da classe mediana

Valor de ordem da classe = (posiçãoentre o 550).

Classe mediana: 4 ├── 06 (3a)Em que: Li = 4

Fi (ant) = 43fi classe = 34h = 2

Cálculo da Mediana

Md = = 4 + 0,7 = 4,7

2.5 SeparatrizesAssim como a mediana, que divide uma distribuição em duas partes iguais, existemmedidas estatísticas que dividem a mesma distribuição em quatro, dez ou cem partes iguais. O cálculo de tais medidas é semelhante, operacionalmente, ao da mediana.

2.5.1 QuartilDivide um conjunto ordenado de valores em quatro partes iguais.

0% 25% 50% 75% 100%

54

ESTATÍSTICA BÁSICA

Q1 Q2 Q3

Quartil inferior (Q1)É o valor de ordem que divide uma distribuição em duas partes, tal que 25% dos valores sejam menores que ele e 75% dos valores sejam maiores que ele.

Quartil mediano (Q2)É o valor de ordem idêntico a mediana, isto é, divide uma distribuição em duas partes, tal que 50% dos valores sejam menores que ele e 50% dos valores sejam maiores que ele..

Quartil superior (Q3)É o valor de ordem que divide uma distribuição em duas partes, tal que 75% dos valores sejam menores que ele e 25% dos valores sejam maiores que ele..

Intervalo interquartil (Q3 – Q1)Ë o intervalo entre o quartil superior (Q3) e o quartil inferior (Q1), medindo a dispersão da metade central das observações.

Intervalo interquartil = Quartil superior – Quartil inferior

Determinação de Q1

a) Calcula-se

b) Identifica-se a classe Q1 pela freqüência acumulada (Fac)c) Aplica-se a fórmula

Q1 =

onde

LQ1 = limite inferior da classe Q1

fQ1 = freqüência da classe Q1FQ1 = freqüência acumulada da classe anterior a classe Q1h = amplitude da classe Q1

n = fi = soma das freqüências de classe

Determinação de Q3

a) Calcula-se

b) Identifica-se a classe Q3 pela freqüência acumulada

55

ESTATÍSTICA BÁSICAc) Aplica-se a fórmula

Q3 =

onde

LQ3 = limite inferior da classe Q3

fQ3 = freqüência da classe Q3FQ3 = freqüência acumulada da classe anterior a classe Q3h = amplitude da classe Q3

n = fi = soma das freqüências de classe

Determinação de Q2

Determina-se Q2 do mesmo modo que a Mediana.

Intervalo Interquartil: Q3 – Q1

Exemplo:Dada a distribuição a seguir, determinar os quartis (Q1 e Q3) e Q2 (mediana).

Classes Fi Fac

7 ⊢17 6 617⊢27 15 21 classe Q1

27⊢37 20 41 classe Q2

37⊢47 10 51 classe Q3

47⊢57 5 56 56

Solução:n = 56Q1 = ? Q2 = ? Q3 = ?

Pela freqüência acumulada (Fac) identifica-se as classes Q1, Q2 (Md) e Q3

Fórmulas:Para Q1 tem-se:lQ1 = 17n = 56FQ1 = 6h = 10fQ1 = 15

56

ESTATÍSTICA BÁSICA

Q1 =

Para Q2 tem-se:lQ2 = 27n = 56FQ1 = 21h = 10fQ1 = 20

Q2 = Md =

Para Q3 tem-se:lQ3 = 37n = 56FQ3 = 41h = 10fQ3 = 10

Q3 =

Intervalo Interquartil: Q3 – Q1 = 38 – 22,33 = 15,67O intervalo interquartil mede a dispersão dos 50% dos valores centrais de umconjunto de dados. Seu valor não é afetado pelos 25% dos valores inferiores e 25% dos valores superiores de um conjunto de dados.

Pode-se afirmar que nessa distribuição, tem-se:

25% 25% 25% 25%

7 22,33 30,5 38 57

logo,22,33 separam 25% dos elementos30,5 separam 50% dos elementos38 separam 75% dos elementos15,67 representam 50% dos elementos entre o 10 quartil e o 30 quartil.

2.5.2 DecilSão os valores que separam uma série em 10 partes iguais

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

57

ESTATÍSTICA BÁSICA

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

A fórmula nesse caso é semelhante as separatrizes anteriores

a) Calcula-se , em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

b) Identifica-se a classe Di pela freqüência acumulada (Fac)

c) Aplica-se a fórmula

Di =

onde lDi = limite inferior da classe Di, i = 1, 2, 3, ..., 9n = tamanho da amostrah = amplitude da classeFDi = freqüência da classe Di

f = soma das freqüências anteriores à classe Di

2.5.3 Percentil ou CentilSão os valores que separam uma série em 100 partes iguais

0% 1% 2% 3% . . . . 50% . . . . 97% 98% 99% 100%

P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99

O cálculo é feito da seguinte maneira:

a) Calcula-se , em que i = 1, 2, 3, ..., 97,98, 99

b) Identifica-se a classe Pi pela freqüência acumulada (Fac)c) Aplica-se a fórmula

Pi =

Onde LPi = limite inferior da classe Pi, i = 1, 2, 3, ..., 98,99n = tamanho da amostrah = amplitude da classefPi = freqüência da classe Pi

FPi ant = freqüência acumulada anterior à classe Pi

58

ESTATÍSTICA BÁSICAExemplo:Determinar o 40 Decil e o 720 Percentil da seguinte distribuição;

Classes Fi Fac

4 ⊢9 8 89⊢14 12 20 classe D4

14⊢19 17 37 classe P72

19⊢24 3 40 40

Cálculo D4:

Classe D4:Identifica-se D4 pela Fac

lD4 = 9n = 40f = 8h = 5FD4 = 12

D4 =

Cálculo P72:

Classe P72:Identifica-se P72 pela Fac

lP72 = 14n = 40f = 20h = 5FP72 = 17

P72 =

Logo, o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos elementos e outra com 60% dos elementos. O valor 16,89 indica que 72% da distribuição estão abaixo desse valor e 28% acima.

59

ESTATÍSTICA BÁSICA3. Construção de dados agrupados em classes de freqüências

Considere uma amostra do QI de 50 alunos de uma escola:

110 120 129 141 101 107 107 121 119 115115 94 101 141 93 103 121 118 122 128107 105 103 133 121 91 126 127 135 123109 110 131 111 114 132 104 119 113 116119 111 124 106 118 102 119 101 101 118

10 passo – Construir o rol dos dados, isto é, a colocação dos dados iniciais em ordem (no caso crescente)

A tabulação pode ser feita de vários modosNesse exemplo colocamos os dados da tabela em ordem crescente.

91 93 94 101 101 101 101 102 103 103104 105 106 107 107 107 109 110 110 111111 113 114 115 115 116 118 118 118 119119 119 119 120 121 121 121 122 123 124126 127 128 129 131 132 133 135 141 141

Ou podemos utilizar o Método Ramos-e-folhas

9 1, 3, 4 10 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 9 11 0, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 9, 9 12 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 13 1, 2, 3, 5 14 1, 1

20 passo: determinar a amplitude total (A).A = Maior medida – menor medida = 141 – 91 = 50A = 50

30 passo: determinação do número de classes (k)Processos:a) Tabela estatística

N 5 10 25 50 100 200 500 1000K 2 4 6 8 10 12 15 15

N = número de dados

Para N = 50, a tabela estatística determina 8 intervalos de classe

b) Fórmula de Struges: K = 1 + 3,22 log nNo exemplo, pela fórmula de Struges, tem-se K = 1 + 3,22 log 50 = 6,47 7

60

ESTATÍSTICA BÁSICAc) Método da raiz: K =

Pelo método da raiz encontra-se = 7,07

Os resultados são semelhantes. Optaremos por utilizar a tabela estatística.N = 50 k = 8 classes

40 passo: determinação da amplitude de classe (h = A K)

No exemplo: h = 50 8 = 6,25 7

Classes Intervalos de classes fi Fi % xi

1 91 98 3 3 6 94,52 98 105 8 11 16 101,53 105 112 10 21 20 108,54 112 119 8 29 16 115,55 119 126 11 40 22 122,56 126 133 6 46 12 129,57 133 140 2 48 4 136,58 140 147 2 50 4 143,5

Total 50 100

Histograma: em sala (quadro)

Exercícios:

1. Os salários-hora de 5 funcionários de uma Cia. são: 75, 90, 142, 88, 100. determinar:d) a média dos salários-horae) o salário-hora mediano

2. O número de carros vendidos por cada um dos 10 vendedores, de um negócio de automóveis, durante um mês foi de: 2, 4, 7, 10,10, 10, 12, 12, 14 e 15. Determinar:a) média b) mediana c) moda

3. Qual das quantidades calculadas no exercício anterior melhor descreve o volume “típico”de vendas?

4. Dada a distribuição de freqüência a seguir, calculef) média aritmética b) moda c) mediana

Estaturas (cm) N0 de alunos

(fi)

Ponto médio(xi)

xi . fi

150 ├── 155 5155 ├── 160 4160 ├── 165 19165 ├── 170 18170 ├── 175 14175 ├── 180 12180 ├── 185 4

61

ESTATÍSTICA BÁSICA

5. Dada a distribuição a seguir, calcule a média, moda e mediana.Classe Fi

0 ├── 02 22 ├── 04 74 ├── 06 196 ├── 08 268 ├── 10 3010 ├── 12 35

6. Calcular a média, a mediana e a moda para os montantes de empréstimos para a tabela a seguirMontante ($) N0 de empréstimos

300 – 600 13700 – 1099 111100 – 1499 61500 – 1899 51900 – 2299 32300 – 2699 12700 – 3099 1

7. A seguir estão dadas as notas(em créditos) de 50 alunos60 85 33 52 65 77 84 65 74 5771 35 81 50 35 64 74 47 54 6880 61 41 91 55 73 59 53 77 4541 55 78 48 69 85 67 39 60 7694 98 66 66 73 42 65 94 88 89

Pede-sea) determinar a amplitude total da amostrab) amplitude das classesc) quis as classes? (inicie pelo 30)d) freqüência absoluta das classese) freqüências relativasf) pontos médios das classesg) freqüência acumuladah) histogramai) polígono de freqüênciaj) gráfico da freqüência acumuladak) médial) moda – processo gráficom) mediana – pelo gráfico do item jn) 10 e 30 quartis – pelo gráfico do item jo) 70 decil e 550 percentil pelo gráfico.

8. Sendo:

Idade 10⊢14 14⊢18 18⊢22 22⊢26 26⊢30 30⊢34 34⊢38 38⊢42

62

ESTATÍSTICA BÁSICAn0 15 28 40 30 20 15 10 5

a) Determinar a médiab) Calcular a medida que separa 50% dos elementosc) Determinar a moda (fórmula de Czuber)d) Calcular o 30 decile) Determinar a medida que separa ¼ dos elementosf) Calcular o percentil 80g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?

9. Um pesquisador aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado é dado pela tabela:

35 26 39 25 39 22 42 40 30 22 21 40 16 32 39 21 28 39 18 37 23 14 27 44 30 32 21 15 26 43

a) Resumir as informações sob forma de distribuição de freqüência. Dados log 30 = 1,48b) Apresentar os dados sob forma de histogramac) Calcular a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação.

10. Considere a população de empregados da Cia. BETA. a) Retirar uma amostra aleatória simples de 60 funcionários da empresa,

registrando os valores das rendas familiares.b) Construir uma tabela de distribuição de freqüênciasc) Calcular e interpretar todas as medidas de tendência central d) Calcular e interpretar todas as medidas de dispersão e) Preparar um relatório que explique as rendas familiares dos empregados da

empresa BETA.

11. Dada a mostra de 60 rendas ( em milhares) de dada região geográfica:07 08 05 04 03 02 09 09 06 03 15 01 13 14 04 03 06 06 10 0712 13 14 08 02 15 05 04 10 02 01 03 08 10 11 13 14 15 16 0808 09 05 03 02 03 03 04 04 04 05 07 08 09 01 12 13 14 16 10

a) Agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3.b) Construir o histogramac) Calcular a médiad) Calcular e interpretar a medianae) Determinar e interpretar o 30 quartilf) Determinar e interpretar o 40 decilg) Determinar e interpretar o 470 percentilh) Determinar a medida que separa 25% das rendasi) Determinar a variânciaj) Determinar o desvio padrãok) Calcular o coeficiente da variação.l) Constatar as regras de distribuição do desvio padrão.

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