Mensuração de Poder de Mercado

Bresnhan (1982), Vuong (1989), Nevo (2000)

Seleção de Modelos

• Vuong (1989), motivação:– Selecionar um modelo contra o outro– Modelo que mais se “aproxima” do verdadeiro

é selecionado– Serve para testes do tipo:

• Aninhados: uma hipótese é um sub-conjunto da outra

• Embricados: as duas hipóteses têm uma interseção mas esta é “menor” do que ambas as hipóteses

• Não-aninhadas: as duas hipóteses não têm interseção

As hipóteses

• y e z são os observáveis

• Sejam Fθ e Gγ os seguintes conjuntos de hipóteses:

• Estes são dois conjuntos de hipóteses paramétricas

;;| e ;;| zygGzyfF

O teste

• Seja:

• A verdadeira distribuição condicional de y dado z

zyh |0

O teste

• Defina a distância mínima entre o modelo proposto e o verdadeiro como:

N

i

N

i

hhh

hhh

zyg

zyf

zygEzyhEGD

zyfEzyhEFD

1*

1*

*0

*0

;|log maxarg

e ;|log maxarg onde

;|log|log

e ;|log|log

00*

0

00*

0

O teste

• Hipótese nula: os modelos são observasionalmente equivalentes:

• Hipótese alternativa: o modelo F é observasionalmente superior:

*

0*

0 FDFDhh

*

0*

0 FDFDhh

O teste

• Isto é equivalente a:

• Evidentemente, estas quantidades não são observáveis

• Mas podem ser estimadas

1

;|

;|log :

1;|

;|log :

*

*1

*

*0

0

0

zyg

zyfEH

zyg

zyfEH

h

h

O teste

• Já se sabe que:– Sob certas condições de regularidade (Newey,

MacFadden Handbook chapter):

– O problema é derivar a distribuição assintótica de

;|

;|log

;|

;|log

1

*

*

1 *

*0

zyg

zyfE

zyg

zyf

N h

pN

nN

N

O teste

• O problema é derivar a distribuição assintótica de:

– Sabemos que se a nula é verdadeira, então -2 vezes a a razão de verossimilhança tem é uma chi-quadrado assintoticamente

N

nn

n

zyg

zyf

N 1 *

*

;|

;|log

1

O teste

• E quando não temos certeza de que a nula está correta:– Se alguma das hipóteses está certa, então

n-½, adequadamente centrado e normalizado, é assintoticamente normal

– Vuong deriva para o caso no qual nenhuma das hipóteses está correta, e o teste pode ser aninhado, não-aninhado e embricado

O teste

• Suponha que seguintes matrizes existam:

Ttttt

hfg

Ttttt

hl

Ttt

hl

ZYgZYfEB

gflZYlZYl

EA

ZYlEA

;|log;|log

, e , ,;|log;|log

;|log

0

0

0

2

O teste não-aninhado

• Definição: dois modelos condicionais são estritamente não-aninhandos se e somente se:

GF

O teste não-aninhado

• Definição (soma ponderada de distribuições chi-quadrado):– Seja Z = (Z1, …., Zm) um vetor de m variáveis normais

padrão independentes. Seja λ = (λ1, …., λm) um vetor de m números reais. Então a variável aleatória:

é distribuida de acordo com uma soma ponderada de variáveis chi-quadrado com parâmetros (m, λ). A distribuição cumulativa é denotada por Mm(·; λ)

m

iiiZ2

O teste não-aninhado

• Lema: Seja Y um vetor de m variáveis aleatórias com distribuição N(0,Ω),com rank(Ω) ≤ m. Seja Q uma matriz mxm real simétrica. Então

onde λ é o vetor de auto-valores de QΩ

;~ mT MQYY

O teste não-aninhado

• Denote ω*2 a variância de:

Então:

*

*

;|

;|log

tt

tt

ZYg

ZYf

2

*

*

2

*

*2* ;|

;|

;|

;|00

tt

tth

tt

tth ZYg

ZYfE

ZYg

ZYfE

O teste não-aninhado

• Teorema: Suponha que o vetor θ tenha dimensão p e o vetor γ tenha dimensão q. – Se f(·|·; θ*) = g(·|·; γ*), então:

onde λ* é um vetor p + q de auto-valores de

*;ˆ,ˆ2 qpd

nnn MLR

*1

**1

**

*1

***1

*

,

,

ggffg

gfgff

ABAB

ABABW

O teste não-aninhado

– Se f(·|·; θ*) ≠ g(·|·; γ*), então:

2

**

*21

,0;|

;|logˆ,ˆ

0 N

ZYg

ZYfELRN d

tt

tthnNN

Um exemplo: regime de competição

• Suponha que tenhamos a seguinte curva de demanda:

onde i = 1,…,I são I mercados independetes. Z é um choque observável (para todos) exógeno na demanda , ε é um choque não-observável para o econometrista (mas observável para as firmas)

iiii ZQp 210

Regime de competição

• Suponha que εi ~N(0,σε) e ci ~N(c,σc), e são independetes entre si

• Suponha que há duas firmas com custo marginal constante ci (não observado, mas comum às firmas) no mercado e você não sabe o verdadeiro regime de competição

• Mas você quer testar se o regime parece mais Cournot ou mais conluio

Regime de competição

• 1º passo: derivar as funções verossimilhança para cada regime

• Cournot:

3

2 e

3

2

max

20

1

20*2

*1

*

221101

iiii

iiiiii

iiiiii

cZp

cZqqq

cZqqq

Regime de competição

• Conluio, o problema do monopolista:

2 e

2

max

20*

1

20*

210

iiii

iiii

iiiiiiq

cZp

cZq

cZqqqi

Regime de competição

• Note que:– As firmas produzem quantidades iguais (entre

si) nos dois regimes, o que os torna indistinguíveis sob este ponto de vista

– Cournot e conluio têm implicações diferentes para preços e quantidades. Esta diferença que é explorada para tentar ver qual dos dois modelos “ajusta” melhor os dados

Regime de competição

• Em conluio

• Em Cournot:

21

22

1

20

21

22

1

20

4,

2~|

4

| e 2

|

ciii

cii

iii

cZNZQ

ZQVARcZ

ZQE

21

22

1

20

21

22

1

20

9

4,

3

2~|

9

4| e

3

2|

ciii

cii

iii

cZNZQ

ZQVARcZ

ZQE

Regime de competição

• As funções verossimilhança:– Cournot

– Conluio

I

i c

ii

c

cornout

cZq

Logf1

22

2

1

2021

22

12

2

exp2

2

I

i c

ii

c

conluio

cZq

Logf1

22

2

1

2021

22

1

8

32

9

exp4

3

Regime de competição

• Sejam

• Agora é só aplicar o teorema

conluioc

cournotc

Logfc

Logfc

maxarg,,,,

maxarg,,,,****

1*0*

****1

*0*

O parâmetro de conduta

• Bresnahan (1982)– É o método mais utilizado– Por sua simplicidade– O custo é que o parâmetro, muitas vezes, não

é diretamente interpretável– É preciso uma quantidade grande de variação

exógena para estimá-lo– É um parâmentro de conduta média das

empresas

O parâmetro de conduta

• A idéia: a estática comparativa (como preço e quantidade são afetados por fatores exógenos) identifica a conduta (Cournot, Bertrand, Conluio) no mercado

• Suponha que os consumidores tenham a seguinte demanda de mercado:

demanda a alteram que sobservávei-não fatores são demanda, da

parâmetros devetor demanda, a mudam que exógenos fatores

mercado no preço e quantidade onde ,,

i

i

iiiiii

Y

iPQYPDQ

O parâmetro de conduta

• A oferta. Se os ofertantes são tomadores de preço

oferta da sobservávei

-não fatores custo, função da parâmetros

firma da custo função a alteram que fatores

marginal custo onde ,,

i

i

iiii

W

cWQcP

O parâmetro de conduta

• Quando as firmas não são tomadoras de preço, custo marginal é igual à receita marginal percebida pela firma:

conluio 1

perfeita iaconcorrênc 0

amonopolist do marginal receita ,, onde

,,,,

iii

iiiiii

YQhP

YQhWQcP

O parâmetro de conduta

• A pergunta: podemos identificar λ? Ou seja, concorrência perfeita e cartel são observacionalmente distintos?

• Façamos um exemplo linear, Lau é mais geral

A problema de identificação

• A demanda é linear:

• O custo marginal também:

iiii YPQ 210

iii WQMC 210

A problema de identificação

• Com esta demanda, a receita marginal é

• O que implica que a relação de oferta é:

1i

ii

QPMR

iiii

i WQQ

P

2101

A problema de identificação

• Da maneira como está a relação de oferta é identificada, mas não o parâmetro de conduta. Tudo o que podemos identificar é

• Podemos tratar α1 como conhecido (por que?)

• Mas temos dois parâmetros e uma equação (sabemos γ e temos que saber β1 e λ)

1120 onde

iiii WQP

A problema de identificação

• Ou seja, do jeito que está é impossível saber se o preço é maior que o custo marginal se é porque o custo marginal é alto (β1 alto) ou é porque a estrutura é pouco concorrencial (λ) mesmo se soubermos bem qual é a sensibilidade da demanda

A problema de identificação

• Graficamente

Q

P

D1(P)

MR1(P)D2(P)

MR2(P)MCconluio

MCconcorrência

A problema de identificação

• Ou seja, somente algo que desloque a curva de demanda não resolve

• É preciso algo que altere a inclinação da curva de demanda

A solução: rotação da demanda

Q

P

D1(P)

MR1(P)

D2(P)MR2(P)

MCconluio

MCconcorrência

Q1concorrência = Q2 concorrência = Q1

conluio

Q2conluio

A solução

• Algebricamente, suponha que a demanda agora é:

• Z é algo tanto descola como roda a demanda– Pode ser o preço de um substituto

• Mas preço de substituto pode muito bem pertencer à oferta

– Pode ser renda em um mundo não quase-linear

iiiiiii ZZPYPQ 43210

A solução

• A relação de oferta é agora:

• Se a demanda é identificada (se sabemos α1 e α3) então a oferta também é identificada

iiii

ii WQ

Z

QP

21031

Lições

• Antes de mais nada a demanda tem que ser identificada

• Rotações só têm efeito sob concorrência imperfeita– O tamanho do efeito depende da magnitude

da imperfeições concorrencial– Robusto à diferenciação de produtos (Nevo

1998) – Não robusto à custo de entrada (Salvo 2005)

Mais formal (Lau 1982)

• O problema, novamente:

Q

Q

ZQfzQfzQMR

zzQgMC

zzQfP

111

22

11

,,,

exógenos shifterscost devetor um é ,,

exógenos shifters demand devetor um é ,,

Lau 1982

• Novamente, em um mercado em concorrência perfeita:

• Em um mercado em conluio:

• Em geral

MCzQgzQfP 21 ,,

MCzQgQQ

ZQfzQfzQMR

21

11 ,,

,,

MCzQgQQ

ZQfzQfzQMR

21

11 ,,

,,

O teorema da impossibilidade

• O parâmetro de conduta não é identificado se e somente se a demanda inversa é separável em z1:

1, zrQfP