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Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I
2º Semestre 2012/13 Exame de 3ª época, 19 de Julho de 2013 Nome : Hora : 15:00 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina
1ª Parte
Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte: Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.
1. As equações de conservação da massa e balanço de quantidade de movimento para um
elemento de fluido infinitesimal podem-se escrever em coordenadas Cartesianas da
seguinte forma:
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
zz
v
y
w
yz
u
x
w
xz
p
z
ww
y
wv
x
wu
y
w
z
v
zy
v
yy
u
x
v
xy
p
z
vw
y
vv
x
vu
x
w
z
u
zx
v
y
u
yx
u
xx
p
z
uw
y
uv
x
uu
z
w
y
v
x
u
21
21
21
0
νννρ
νννρ
νννρ
V As equações são válidas para escoamento permanente (estacionário) e incompressível.
V Seν incluir a viscosidade turbulenta, teff νννν +=≡ , as equações correspondem às
equações (em média temporal) de Reynolds com um modelo de viscosidade turbulenta.
V p representa a pressão relativa à pressão hidrostática.
V são satisfeitas pela solução exacta de um escoamento permanente (estacionário),
incompressível e irrotacional de um fluido perfeito.
2. A figura em baixo representa o perfil de velocidade de uma camada limite de um
escoamento sobre uma placa plana.
é a velocidade do escoamento exterior e
V O deslocamento das linhas de corrente do escoamento exterior é equivalente à área B.
V A área A define a espessura de quantidade de movimento
F A componente de velocidade na direcção normal à placa é nula.
F Para y=C, a tensão de corte é exactamente igual a zero.
3. A transição de uma camada limite de regime laminar a
V pode diminuir a força de resist
F provoca um aumento do factor de forma
F não é afectada pelo gradiente de pressão imposto à camada limite.
V pode ser retardada com a utilizaçã
4. Um modelo de turbulência
V determina as tensões de Reynolds.
V pode não utilizar o conceito de
F pode ser baseado exclusivamente
F só se pode aplicar a escoamentos na
A figura em baixo representa o perfil de velocidade de uma camada limite de um
escoamento sobre uma placa plana. U é a componente da velocidade paralela à placa,
é a velocidade do escoamento exterior e y é a distância à parede
O deslocamento das linhas de corrente do escoamento exterior é equivalente à área B.
ne a espessura de quantidade de movimento θ.
A componente de velocidade na direcção normal à placa é nula.
, a tensão de corte é exactamente igual a zero.
de uma camada limite de regime laminar a turbulento
resistência de um corpo finito.
do factor de forma H.
gradiente de pressão imposto à camada limite.
etardada com a utilização de sucção na parede.
ncia para as equações de Navier-Stokes em média de Reynold
es de Reynolds.
o utilizar o conceito de viscosidade turbulenta.
pode ser baseado exclusivamente na energia cinética da turbulência, k.
se pode aplicar a escoamentos na vizinhança de paredes.
A figura em baixo representa o perfil de velocidade de uma camada limite de um
mponente da velocidade paralela à placa, Ue
O deslocamento das linhas de corrente do escoamento exterior é equivalente à área B.
Stokes em média de Reynolds
5. A figura em baixo apresenta o coeficiente de sust
resistência Cd determinado experimentalmente para um perf
Reynolds de 6,1×105, 1,5×10
V O perfil testado é um perfil laminar
F Re A corresponde ao número de Reynolds mais baixo, 6,1×10
F O perfil tem o centro aerodinâmico coincidente com o centro de pressão
F Para Cl próximo de 0,6, o aumento de Cd obtido para o Re B é devido à resistência de
atrito.
6. A figura em baixo representa o coeficiente de resistência de um perfil sustentador em
função do número de Mach.
F O escoamento é totalmente subsónico até ao ponto e.
F No ponto f o número de Mach é igual a 1 no pico de sucção.
V O aumento de resistência de c para
V O coeficiente de sustentação varia com o número de Mach para a gama de valores entre
zero e o correspondente ao ponto c.
apresenta o coeficiente de sustentação Cl em função do coeficiente de
resistência Cd determinado experimentalmente para um perfil sustentador a números de
, 1,5×106 e 2×10
6.
O perfil testado é um perfil laminar.
Re A corresponde ao número de Reynolds mais baixo, 6,1×105.
O perfil tem o centro aerodinâmico coincidente com o centro de pressão.
Para Cl próximo de 0,6, o aumento de Cd obtido para o Re B é devido à resistência de
representa o coeficiente de resistência de um perfil sustentador em
função do número de Mach.
O escoamento é totalmente subsónico até ao ponto e.
No ponto f o número de Mach é igual a 1 no pico de sucção.
O aumento de resistência de c para g é devido ao aparecimento de ondas de choque.
O coeficiente de sustentação varia com o número de Mach para a gama de valores entre
zero e o correspondente ao ponto c.
entação Cl em função do coeficiente de
il sustentador a números de
Para Cl próximo de 0,6, o aumento de Cd obtido para o Re B é devido à resistência de
representa o coeficiente de resistência de um perfil sustentador em
g é devido ao aparecimento de ondas de choque.
O coeficiente de sustentação varia com o número de Mach para a gama de valores entre
7. A figura em baixo apresenta a distribuição do coeficiente de sustentação (Cl) e do ângulo
de ataque induzido (αind) ao longo da envergadura (y/c) de duas asas finitas rectangulares
a um ângulo de ataque de 2 graus, determinadas com a teoria da linha sustentadora
linearizada. As duas asas têm o mesmo perfil simétrico. Uma das asas tem torção e a
outra não tem.
F A curva A corresponde ao coeficiente de sustentação (Cl) da asa com torção.
F A curva D corresponde ao ângulo de ataque induzido (αind) da asa sem torção.
V O alongamento da asas é igual a 8 (Λ=8).
V O coeficiente de resistência induzida da asa com torção é superior ao da asa sem torção.
8. Na utilização de métodos de cálculo numéricos em aerodinâmica
V a verificação de códigos requer soluções com erros iterativos e de arredondamento
desprezáveis face ao erro de discretização.
F a determinação do erro de discretização não requer o conhecimento da solução exacta.
F a verificação de soluções destina-se a determinar a incerteza do modelo matemático.
V a validação requer resultados experimentais.
y/c
Cl
αin
do(g
rau
s)
0 1 2 3 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
A
B
C
D
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Aerodinâmica I
2º Semestre 2012/13 Exame de 3ª época, 19 de Julho de 2013 Hora : 15:00 Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina
2ª Parte
Figura 1 – Características aerodinâmicas de um perfil NACA 63-009.
1. A figura 1 apresenta as características aerodinâmicas de um perfil NACA 63-009. Para
pequenos ângulos de ataque, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil pode ser
estimado a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite idênticas
dos dois lados da placa) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num
ponto (Reynolds crítico igual ao Reynolds de transição). Admita ainda que o coeficiente de
resistência de pressão é igual a 10% do coeficiente de resistência de atrito, atritopressao dd CC 1,0= .
( 3
ar
2
ar kg/m/s,m 2,11051,1 5 =×= − ρν )
a) Para Re=3×106, estime a localização do “ponto de transição”.
A partir do gráfico dado temos 0045,0=perfildC , como
atritopressao dd CC 1,0= temos
( )
−+××=⇒= −−− 2,05,02.0
072,033,1072,021,10045,01,1 trtr
c
tr
cdd ReReRe
ReReCC
atritoperfil, o
que equivale a
.52,01055,1
072,0
33,195,4803
6
25,15,0
cxRe
ReRe
trtr
tr
tr
=⇒×=
+=
b) Para Re=3×106, estime o coeficiente de resistência do perfil para transição forçada junto
ao bordo de ataque. Discuta o resultado obtido com base nos gráficos da figura 1.
Para transição forçada ( ) 008,0072,021,1 =××= −0,2
cd ReCperfil
. Este valor é
substancialmente maior do que o sugerido pelo gráfico que deveria estar próximo dos
0,006, pelo que as aproximações assumidas não fornecem bons resultados para transição
forçada.
c) Para escoamento com transição forçada desde o bordo de ataque a um número de
Reynolds de 3×106 e ângulo de ataque nulo, estime o valor da distância à parede
adimensionalisada pela espessura da camada limite (y/δ) do limite inferior da região do
perfil de velocidade em que é válida a lei da parede (y+=50) em função da distância
adimensional ao bordo de ataque (x/c). Determine o valor de x/c para y=0,15δ.
22
f
c
feC
c
x
x
yRe
c
x
x
yCcUyuy
δ
δ
δ
δνντ ===+
para escoamento turbulento desde o
bordo de ataque 0,2
cf Rec
xC
−
−
=
2,0
0581,0 e 0,2
cRec
x
x
−
−
=
2,0
373,0δ
. Como
6103×=cRe e 50=+y , temos
.069,015,0,023,0
7,0
=
⇒=
=
−
c
xy
c
xy
δδ
d) Como aplicava as condições de fronteira na superfície do perfil para calcular o
escoamento em torno do perfil nas condições das alíneas a) e b) com a solução numérica
das equações de Navier-
viscosidade turbulenta? Justifique claramente a sua resposta.
• Nas condições da alínea a) temos transiçã
parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da
condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição
em que +2y corresponde
primeiro ponto interior da malha à parede.
• Para a alínea b) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir
escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento
ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser
determinada a partir de
( ) .50min2 >+
y
2. Considere o escoamento estaci
um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e
referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproxima
eixo real ξ e tem uma velocidade com um m
vórtice com a intensidade necess
positivo, ξ=b, seja um ponto de estagna
a) Escreva o potencial complexo que repres
ataque α indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
Para o sistema de eixos
oe ζζζ α += i* com =oζ
W
-Stokes em média temporal de Reynolds com um modelo de
viscosidade turbulenta? Justifique claramente a sua resposta.
Nas condições da alínea a) temos transição natural pelo que a tensão de corte na
parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da
condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição
onde à distância adimensional (em coordenadas da parede) do
primeiro ponto interior da malha à parede.
Para a alínea b) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir
escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento
ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser
determinada a partir de ( ) CyU += ++22 ln
1
κ. A malha teria de respeitar a condição
estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressí
um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (
. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α, (|
m uma velocidade com um módulo igual a U∞. No centro do cilindro existe um
intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real
, seja um ponto de estagnação.
Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de
indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.
Para o sistema de eixos ζ∗=ξ∗
+iη∗ representado na figura, em que ζ *
04,0i , temos
( ) ( )*
*
** ln2
1ζ
πζζζ
Γ−
+= ∞ iUW
e Reynolds com um modelo de
o natural pelo que a tensão de corte na
parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da
condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição ( ) ,1max2 <+
y
à distância adimensional (em coordenadas da parede) do
Para a alínea b) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir
escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento deveria
ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser
A malha teria de respeitar a condição
al, potencial e incompressível em torno de
á centrado no ponto ( i0,04 0 ; ) do
, (|α|<π/4), com o
tro do cilindro existe um
o com o eixo real
enta o escoamento em função do ângulo de
( ) αζζ i−−= eo ou
com (απ +−=Γ ∞ sen4 U
b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual a coor
pressão mínima é maior do que 0,95
)β e º.29,2rad04,0)04,0arctg( ===β
Determine a gama de ângulos de ataque para a qual a coordenada imaginária do ponto de
do que 0,95, ( ) 95,0min
>pCη .
denada imaginária do ponto de
A figura da esquerda apresenta a localização dos pontos de pressão mínima para o
ângulo de sustentação nula º.29,2−=−= βα Para ,º29,2−<α o ponto de pressão
mínima encontra-se no 3º quadrante pelo que não satisfaz a condição pedida.
A figura da direita apresenta a situação limite para a qual ( ) 95,0min
=pCη quando
º29,2−>α . Como a equação da circunferência é dada por ( ) 104,022 =−+ ηξ temos
para 415,0415,095,0 1 =⇒±=⇒= aξη o que implica º.1,23rad4,0 ==α A gama de
ângulos de ataque que satisfaz ( ) 95,0min
>pCη é º.1,23º29,2 << α
Considere a transformação de Joukowski dada por
yxzb
z icom2
+=+=ζ
ζ
c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado para o ângulo de
ataque de sustentação nula. Identifique claramente a forma do perfil no plano
transformado.
No plano transformado temos um perfil sem espessura
= 0
c
d com flecha positiva dada
por ( ) 02,02
1== βtg
c
f a um ângulo de ataque de º.29,2−=−= βα
d) Determine o ângulo de ataque para o qual a razão das diferenças entre o coeficiente de
pressão máximo e mínimo no plano transformado e no plano do cilindro é mínima.
( ) ( )( )( ) ( )( )
−
−=⇒
ζ
αplanopp
zplanopp
CC
CCrr
minmax
minmax
min com
Determine rmin.
Para qualquer ângulo de ataque diferente de zero ( )0≠α , o coeficiente de pressão no
bordo de ataque tende para -∞, pelo que rmin ocorre para .0=α A ângulo de ataque nulo e no
plano ζ temos ( ) ( ) ( ) 33,308,2)º29,2sen(12,1minmaxmax
−=⇒=+== ∞∞ pp CUUUC . No plano z
com 0=α não há pontos de estagnação e os pontos velocidade máxima (extradorso) e mínima
(intradorso) encontram-se na intersecção do perfil com o eixo imaginário.
( )( )
( )( )
.074,033,31
17,015,0
15,0922,0
96,0
cos1
92,1
,17,0082,1
04,1
cos1
08,2
min
min2min
min2max
=+
+=
=⇒=
−
=
−=⇒=
−
=
∞∞
∞∞
r
CUU
U
CUU
U
p
p
i-
i
β
β
3. Uma pequena aeronave que pesa 2500N tem uma asa cuja secção é um perfil NACA 63-009.
A asa tem uma área de 8m2. Os coeficientes de sustentação e resistência da asa a pequenos
ângulos de ataque (α em radianos) são dados por
0045,004,0
67,4
2 +=
=
LD
L
CC
C α
Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à asa.
( 3
ar
2
ar kg/m/s,m 2,11051,1 5 =×= − ρν )
a) Para a secção da asa, determine o coeficiente de momento de picada em torno do centro
do perfil em função do ângulo de ataque e a localização do centro de pressão.
A partir dos gráficos da figura 1 temos
(graus)1,0 α=lC ou (rad)73,5 α=lC e cxca 258,0≅ com a origem do referencial no
bordo de ataque. Como o perfil é simétrico 0=caMC , pelo que uma simples propagação
de momentos conduz a (rad)39,1)258,05,0( α−=−−= lM CCc
. Naturalmente, .cacp xx =
b) A asa tem torção? A distribuição de circulação é elíptica? Justifique claramente as suas
respostas.
Para 0=α temos 0=LC . Como o perfil é simétrico não temos torção.
Admitindo que a distribuição de circulação é elíptica temos
.81
73,5
1
167,4 =Λ⇒
Λ+
=
π
Para 0=LC temos 0045,0=DC que é igual ao valor de perfilDC na bossa laminar, pelo
que
.04,08
22
L
L
D CC
Ci
==π
A distribuição de circulação é elíptica.
c) Determine a velocidade de cruzeiro mínima a altitude constante e numa zona sem vento
para que o ângulo de ataque esteja na região de validade das equações dadas.
A velocidade de cruzeiro mínima obtem-se para o coeficiente de sustentação máximo
dentro da região da bossa laminar, i.e. .2,0≅= lL CC A partir da igualdade entre o peso
W e a sustentação L obtemos
./7,183/51
2
1hkmsm
SC
WU
L
===∞
ρ
d) Se a aeronave mantiver o voo horizontal com vento horizontal frontal à velocidade de
45km/h sem alterar a configuração da asa, qual a velocidade da aeronave se a potência de
propulsão for igual à da alínea c).
Se força de propulsão permanece igual à da alínea c) e o vento é horizontal, os
coeficientes de sustentação e resistência são iguais aos da alínea c) o que implica que a
velocidade relativa à aeronave tem de permanecer igual.
./7,138457,183 hkmUUUUUU ventoaeroventoaero =−=−=⇒+= ∞∞