normais. As tenses nos planos x e y e no maior plano principal esto mostradas novamente na Fig. 2.6b. O plo determinado pela linha que passa pelo ponto A, paralela ao eixo dos x, e pela linha que passa por B, paralela ao eixo dos y do elemento fsico. Observe que agora uma linha paralela a (TI est inclinada de um ngulo () em relao ao eixo dos x, em vez de 2(). Isto se deve ao fato de que a rotao angular em torno do plo a metade da rotao angular em torno do centro do crculo. Assim, a rotao angular em torno do plo das normais exatamente a mesma do elemento fsico. Por exemplo. se quisermos conhecer as tenses que atuam num plano cuja normal de 30 com (TI no sentido contrrio ao da rotao dos ponteiros do relgio, devemos simplesmente desenhar uma linha a partir do plo de normais e obter as tenses normal e cisalhante atuando naqu~le plano.

O estado de tenses tridimensional consiste em trs tenses principais desiguais atuando em um ponto. Este um estado triaxial de tenses. 8'e duas das trs tenses principais so iguais, o estado de tenses denominado cilndrico, enquanto que se todas as trs tenses principais so iguais, o estado de tenses dito ser hidrosttico ou esfrico. A determinao das tenses principais para um estado de tenses tridimensional em termos das tenses atuando em um sistema de coordenadas cartesiano arbitrrio uma extenso do mtodo descrito na Seo 2.3 para o caso de duas dimenses. A Fig. 2.7 representa um corpo livre elementar, similar quele mostrado na Fig. 2. I, com um plano diagonal JKL de rea A. Considera-se que o plano JKL um plano principal que corta o cubo unitrio. A tenso principal que atua normal ao plano JKL (T. Sejam I, m e n os co-senos diretores de (T, isto , os co-senos dos ngulos entre (T e os eixos x, y e z. J que o corpo livre da Fig. 2.7 deve estar em equilbrio, as foras que atuam em cada uma de suas faces devem-se equilibrar. As componentes de (T ao longo de cada um dos eixos so Sx, Sy e Sz. Sx = aII

Sy = amI

Area KOL

= AI

Area JOK=

Am

-'xvi - 'xz

+ ((J I'vz m

(Jv)m -

'zvn (Jz)n

=

O

(2.13b)

+ ((J -

=O

(2.13c)

As Eqs. (2.13) so trs equaes lineares homogneas em termos de 1,111 e n. A nica soluo no-trivial pode ser obtida igualando-se a zero o determinante dos coeficientes de I, 111 e 11, uma vez que I, 111 e n no podem ser todos zero.(J-(Jx -'xv-Txz

-'vx (J-(Jv -'vz

-tzx-'zv (J (Jz

=0

(J3 -

((Jx

+ (Jv + (Jz)(J2 + ((Jx(Jv + (Jv(Jz + (Jx(Jz -(Jx(Jv(Jz + 2,xv'vz'xz - (Jx'v/

'x/ -

(Jv'x/

'v/ -

-

'x/)(J (Jz'x/)

=

O

As trs razes da Eq. (2.14) so as trs tenses principais aI, a2 e a3' Para determinar a direo, com relao aos eixos originais x, y e z, na qual as tenses principais atuam necessrio substituir a" a2 e a3, uma de cada vez, nas trs equaes da Eq. (2.13). As equaes resultantes devem ser resolvidas simultaneamente para I, 111 e n, com a ajuda da relao auxiliar 12 + 1112 + n2= I. Verifique que existem trs combinaes de componentes de tenso na Eq. (2.14) que constituem os coeficientes da equao cbica. J que os valores destes coeficientes determinam as tenses principais, eles obviamente no variam com mudanas nos eixos coordenados. Assim, eles so coeficientes invariantes.(Jx (Jx(Jv (Jx(Jv(Jz+

+ (Jv + (Jz ='x/ 2 -(Jz'xv 'v/ 2

/1

+ (Jv(Jz + (Jx(Jz

2

'x/ -(Jv'xz

-

= /2

2 'xv'vz'xz-(Jx'vz

=

/

3

o primeiro invariante de tenso, I" foi visto anteriormente para o estado bidimensional de tenses. Fica, assim, proposta a relao bastante til de que a soma das tenses normais para qualquer orientao no sistema coordenado igual soma das tenses normais para qualquer outra orientao. Por exemplo,Na discusso acima ns desenvolvemos uma equao para a tensol num plano oblquo especial, um plano principal no qual no existe tenso cisalhante. Desenvolvamos agora as equaes para as tenses normal e cisalhante em qualquer plano oblquo cuja normal tem co-senos diretores I, m e n com os eixos x, y e z. Poderemos utilizar a Fig. 2.7 uma vez mais se compreendermos que para esta situao geral a

tenso total no plano S no ser coaxial com a tenso normal, e que S2 = (J"2 + r. A tenso total pode, mais uma vez, ser desmembrada nas componentes S x, S y e S z, de maneira que

Fazendo-se o somatrio das foras nas direes x, y e z, chegamos s expresses para as componentes ortogonais da tenso total:Sx Sy Sz

=

(Jxl

= 'xyl = 'xzl

+ 'yxm + 'zxn + (Jym + 'zyn + 'yzm + (Jzn

(2.170)

(2.17b)(2.17c)

Para encontrar a tenso normal (J" no plano oblquo, necessrio determinar as componentes de S x, S y e S z na direo da normal ao plano oblquo. Assim,

ou, aps substituio das Eqs. (2.17) e simplificando com(J

TXY

=

TyI,

etc.,

=

(Jx12

+ (Jym2 + (Jzn2 + 2'xylm

+ 2'yzmn

+ 2'zxnl

A magnitude da tenso cisalhante no plano oblquo dada por r = S2 - (J"2. Para se obter a magnitude e direo das duas componentes da tenso cisalhante no plano oblquo necessrio rebater as componentes de tenso Sx, Sy e Sz nas direes y' e z' contidas no plano oblquo!. Este desenvolvimento no ser realizado aqui porque as equaes pertinentes podem ser mais facilmente derivadas pelos mtodos apresentados na Seo 2.6. J que o escoamento plstico envolve tenses cisalhantes, importante identificar os planos nos quais as tenses cisa/hantes mximas ou principais ocorrem. Na nossa discusso do estado de tenses bidimensional vimos que Tmax ocorria num plano a meio caminho entre os dois planos principais. Assim, mais fcil definir os planos principais de cisalhamento em termos dos trs eixos principais 1, 2 e 3. A partir de r = S2 - u2, pode-se mostrar que

onde I, m e 11 so os co-senos diretores entre a normal ao plano oblquo e os eixos principais. As tenses cisalhantes principais ocorrem para as seguintes combinaes de cosenos diretores que dividem ao meio o ngulo entre dois dos trs eixos principais: I Om n

,2

-

+JI +JI +JI +JI +JI +JI2 2O

'I =

(J2 -

(J3

2(JI (J3

-

2

'2 =---2 B2, B3), respectivamente. resulta num tensor de segunda ordem. Ti}. As componentes deste tensor podem ser apresentadas numa matriz 3 x 3. TuTij = T21

T31

TI2 T22 T32

TI3 T23 T33

Transformando-se os eixos, as componentes dos vetores se tornam (A' I, A' 2, A' 3) e (B' I, B' 2, B' 3)' Ns desejamos encontrar a relao entre as nove componentes de Tu e as nove componentes de Tu aps a mudana de eixos.

A;B~ = (aij AJ(akIB[) Ti~ = aij akl Tj[

Como a tenso um tensor de segunda ordem, as componentes do tensor-tenso podem ser escritas como() II ()ij

()12 ()22()32

() 13 () 23 () 33

()x 'yx 'zx

'xy ()y 'zy

'xz 'yz()z

=

() 21 () 31

-,'2, X'3

A transformao do tensor-tenso dada por

au do sistema de eixos x

I,

X2,

X3

para os eixos x'

I,

onde i e j so subndices de operao e k e I so subndices livres. Para expandir a equao tensorial fazemos primeiramente o somatrio paraj = I, 2, 3:

IUma relao mais precisa N = k". onde N o nmero de componenles necessrias para a descrio de um tensor da n-sima ordem num espao de dimenso k. Para um espao bidimensional, somenle quatro componentes sonecessrias para descrever um tensor de segunda ordem.

(Jkl

=

aklal1(JU + +

+ ak1a12 (J12 + akla13 (J13 + ak2aI2(J22 + ak2a13(J23 ak3al1(J31 + ak3aZ2(J32 + ak3aZ3(J33ak2al1(J21

Existir uma equao similar (2.27) para cada valor de k e I. Assim, para encontrar a equao da tenso normal na direo X'I, seja k = 1 e 1 = 1(Ju = auau(Ju+ +

+ aUa12 (J12 + aUa13 (J13 a12 au (J21 + a12 a12 (J22 + a12 a13 (J23 a13al1(J31 + a13a12(J32 + a13aI3(J33

Pode-se verificar que, escrevendo-se esta equao com a simbologia utilizada na Seo2.5, ela se recluzir Eq. (2.18).

Analogamente, se desejarmos determinar a tenso cisalhante no plano x', na direo z', isto , Tx,z', seja k = 1 e 1 = 3(J13

=

aUa31(Jll + a12a31(J21

+

aUa32

(J12

+

aUa33

(J13

+ a12a32(J22+aI3a32(J32

+ a12a33(J23+a13a33(J33

+a13a31(J31

Talvez valha a pena enfatizar novamente que no importa que letras so utilizadas como subndices na notao tensorial. Assim, a transformada de um tensor de segunda ordem poderia muito bem ser escrita como T'sl = asr/ltqTpq, onde Tp!, so as componentes nos eixos originais e T' si so as componentes referidas aos novos eixos. A lei de transformao para um tensor de terceira ordem escrita como

A matria apresentada at agora nesta seo , na realidade, pouco mais do que notao tensorial. Ainda assim, j ganhamos um poderoso mtodo resumido para escrever as equaes da mecnica do contnuo, que so freqentemente difceis de serem manejadas. (O estudante notar que isto facilitar bastante o problema de memorizar equaes.) Aprendemos tambm uma tcnica til para transformar uma quantidade tensorial de um conjunto de eixos para outro. Existem apenas alguns fatos adicionais sobre tensores que precisamos considerar. O estudante interessado em se aprofundar um pouco mais neste tpico pode consultar algumas obras de aplicaes orientadas em tensores cartesianos1 Uma quantidade til na teoria tensorial o delta de Kronecker, ai}. O delta de Kronecker um tensor isotrpico unitrio de segunda ordem, ou seja, tem componentes idnticas em qualquer sistema de coordenadas. I O O I

6ij

=

~ =

O O

I

{I

i=ji#j

O

A multiplicao de um tensor ou produtos de tensores por Ou causa 'uma reduo de dois na ordem do tensor. Isto se denomina contraio do tensor. A regra apresentada

aqui sem prova, porm, so fornecidos exemplos para que possamos fazer uso disto em discusses posteriores. Consideremos o produto de dois tensores de segunda ordem, Apq B Esta multiplicao produziria um tensor de quarta ordem, nove equaes cada, com nove termos. Se multiplicarmos o produto por a,,,1"O este se reduzir a um tensor de segunda ordem.ulC'

A "regra" consiste em substituir ll' por q e eliminar aq1c' O processo de contrao pode ser repetido diversas vezes. Assim, na primeira contrao, Apq BVlc aqlC apv se reduz a Ap" Bvq apv e ento a Apq Bpq, que um tensor de ordem zero (um escalar). Se aplicarmos a contrao ao vetor de tenso de segunda ordem

obteremos o primeiro invariante do tensor (um escalar). Os invariantes do tensor de tenso podem ser prontamente determinados a partir da matriz de suas componentes. Uma vez que (T12 = (T21, etc., o tensor e tenso um rensor simrrico.() 11 (}ij (}12 (}22 (}23 (}13 (}23 (}33

=

(}12

() 13

O primeiro invariante o trao da matriz, isto , a soma dos termos da diagonal principal:

O segundo invariante a soma dos secundrios principais. O secundrio de um elemento de uma matriz o determinante de ordem imediatamente mais baixa que permanece quando se suprimem a linha e a coluna do elemento em questo. Assim, tomando cada um dos termos principais (diagonal principal) em ordem e suprimindo aquela linha e coluna, temos:

Finalmente, o terceiro invariante o determinante da matriz inteira dos componentes do tensor-tenso. Como um exemplo das vantagens da contrao e conceitos fornecidos pela notao tensorial derivaremos novamente as equaes para a tenso principal, que foram desenvolvidas na Seo 2.5. O leitor deve notar a facilidade com que se pode perder o significado fsico na manipulao matemtica. Um teorema bsico da teoria tensorial afirma que existe uma certa orientao dos eixos coordenados tal que as componentes de um tensor simtrico de segunda ordem sero todas nulas para i 4=.i. Isto equivale a dizer que os conceitos de tenso principal e eixos principais so inerentes caracterstica tensorial da tenso. As trs equaes de somatrio de foras, Eqs. (2.17), podem ser escritas na forma

onde o subndice n usado para denotar que estamos lidando com os ngulos normal de um plano oblquo. Se fazemos com que o plano oblquo seja um plano principal e a

Entretanto, quo, alli =

api,

uma vez que a tenso principal est na direo da normal ao plano oblassim,

J que ap1 = I, ap2 = /11, e Oji = O quando} f- i, a expanso da Eq. (2.32) fornecer as trs Eqs. (2.13). Para que a Eq. (2.32) tenha uma soluo no trivial em ap;, o determinante dos coeficientes deve desaparecer, o que resulta em(Jx (Jp 'xy (Jy-(Jp 'zy 'xz 'yz (Jz-(Jp

I (Jij

-

(Jp6jil

=

'yx 'zx

=0

que leva equao cbica (2.14). Os coeficientes desta equao em notao tensorial so/1 = /2 = /3 =(Jii t(CTikCTki i(2(JijCTjkCTki CTii(Jkk) 3(JijCTjiCTkk

+ CTiiCTjjCTkk)

O fato de aparecerem nestas equaes apenas subndices de operao indica a natureza escalar dos invariantes do tensor-tenso.

A discusso sobre a representao de um estado de tenso bidimensional atravs do crculo de Mohr apresentada na Seo 2.4 pode ser estendida a trs dimenses. A Fig. 2.10 mostra como um estado triaxial de tenses, definido pelas trs tenses principais, pode ser representado pelos crculos de Mohr. Pode ser mostrado! que todas as condies de tenso possveis no corpo encontram-se na rea sombreada entre os crculosna Fig. 2.10.

Embora O nico significado fsico do crculo de Mohr seja o fato de fornecer uma representao geomtrica das equaes que expressam a transformao das componentes de tenso em diferentes conjuntos de eixos, ele representa uma maneira muito conveniente de visualizar o estado de tenso. A Fig. 2.11 apresenta diversos estados de tenso comuns, representados atravs do crculo de Mohr. Verifique que, com a aplicao de uma tenso de trao (T2, fazendo ngulo reto com uma tenso (TI j existente (Fig. 2.llc), ocorre um decrscimo na tenso cisalhante principal em dois

IA.

Nadai, Theory of FlolV alld Fracture of Solids, 2" ed., pp. 96-98, McGraw-Hill Book Company, New York, 1950.

dos trs conjuntos de planos nos quais atua uma tenso cisalhante principal. Se tivssemos utilizado um crculo de Mohr bidimensional, no ficaria claro o fato de que a tenso cisalhante mxima no decresce para valores inferiores ao que possuiria em trao uniaxial. A tenso cisalhante mxima ser reduzida apreciavelmente se uma tenso de trao for aplicada na terceira direo principal (Fig. 2.lld). Para o caso limite de trs tenses triaxiais iguais (tenso hidrosttica), o crculo de Mohr se reduz a um ponto e no existem tenses cisalhantes atuando em nenhum plano no corpo. A eficcia das tenses de trao biaxiais e triaxiais em reduzir as tenses cisalhantes leva a um decrscimo considervel na ductilidade do material, uma vez que a deformao plstica produzida por tenses cisalhantes. Assim, a fratura frgil est invariavelmente associada com tenses triaxiais desenvolvidas em um entalhe ou concentrador de tenso. Entretanto, a Fig. 2.lle mostra que, se tenses compressivas forem aplicadas lateralmente a uma tenso trativa, a tenso cisalhante mxima ser maior do que para o caso de uma tenso uniaxial em trao ou compresso. Devido ao elevado valor da tenso cisalhante em relao tenso de trao aplicada, o material tem uma excelente oportunidade de se deformar plasticamente sem fraturar quando submetido a este estado de tenses. Na conformao plstica dos metais faz-se um importante uso deste fato. Por exemplo, obtm-se maior ductilidade na trefilao de um arame atravs de uma matriz do que em simples trao uniaxial, j que a reao do metal com a matriz produz tenses compressivas laterais.

o deslocamento de pontos em um meio contnuo pode ser resultado da translao; rotao e deformao de um corpo lgido. A deformao de um slido pode ser composta de dilatao (variao de volume) ou distoro (variao de forma). As situaes que envolvem translao e rotao so geralmente consideradas na seo de mecnica denominada dinmica. As pequenas deformaes encontram-se no campo da teoria da elasticidade, enquanto que as deformaes maiores so consideradas na plasticidade e na hidrodinmica. As equaes desenvolvidas nesta seo so basicamente geomtricas, sendo, assim, aplicveis a todos os tipos de meios contnuos. Considere um corpo slido em coordenadas fixas x, y, Z (Fig. 2.12) e que uma combinao de deformao e movimento desloca o ponto Q para Q', cujas novas coordenadas so x + li, Y + 1', Z + \I'. As componentes do deslocamento so 11, 1', \1',

?

6c.

Fig. 2.11 Crculo de Mohr (tridimensional) para vrios estados de tenses. (a) Trao uniaxiaJ; (b) compresso uniaxial; (c) trao biaxial; (d) trao triaxial (desigual); (e) trao uniaxial mais

compresso biaxial.

~

'Y1

I

,

:, ,

""z + W"""

!

iY + v

, ,, , --------------~X+ U

sendo o vetor u(J = f(II, \', \I') o deslocamento de Q. Se o vetor-deslocamento for constante para todas as partculas no corpo, ento no haver deformao. Entretanto, 11; , em geral, diferente de partcula para partcula, sendo o deslocamento uma funo da distncia, 11; = }rXj). Para slidos elsticos e pequenos deslocamentos, lIj uma funo linear de Xj (deslocamentos homogneos) e as equaes de deslocamento so lineares. Porm, para outros materiais o deslocamento pode no ser linear com a distncia, o que leva a relaes matemticas bastante incmodas. Para iniciar a nossa discusso sobre deformao, consideremos um caso simples unidimensional (Fig. 2.13). Antes da deformao os pontos A e B esto separados por uma distncia dx. Quando uma fora aplicada na direo x, A se move para A' e B para B'. Uma vez que o deslocamento ti uma funo de x neste caso unidimensional, B deslocado um pouco mais que A, j que est mais longe da extremidade fixa. A deformao normal dada por

ex

!J.L L

A'B' - AB AB

dx

+ -dx

=-=-----

OU - dx OX OX

Para este caso unidimensional o deslocamento dado por ti = e ~,r. Para que isto seja generalizado para trs dimenses, cada uma das componentes do deslocamento deve ser relacionada linearmente com cada uma das trs coordenadas iniciais do ponto.li

v

= exxx + exyY + exzz = eyxx + eyyY + eyzz

w = ezxx

+ ezyY + ezzz

(2.34) (2.35)

Os coeficientes que relacionam o deslocamento com as coordenadas corpo so as componentes do tensor-deslocamento relativo. Trs destes ser prontamente identificados como as deformaes normais.

do ponto no termos podem

ezz

=-

ow

oz

Entretanto, os outros seis coeficientes necessitam de maiores consideraes. Considere um elemento no plano xy que foi distorcido devido atuao de tenses isalhantes (Fig. 2.14). O elemento sofreu uma distoro angular. O deslocamento dos pontos ao longo da linha AD paralelo ao eixo dos x, entretanto esta componente do deslocamento aumenta em proporo distncia a partir da origem, ao longo do eixo

oI I

0'...._---I

-------- :C!

_-,c'

lUI

exy

,

I I I

I

,I

I I

!I _----------

I

_--a'eyx

e

=--=xy

DD' DA

auay

e

=--=yx

BB' AB

avOX

Estes deslocamentos cisalhantes so pOSItIVOS quando provocam a rotao de uma linha, de um eixo positivo para um outro eixo positivo. Atravs de mtodos anlogos, pode-se ver que as demais componentes do tensor-deslocamento so

eij

=

exx eyx ezx

exy eyy ezy

exz eyz ezz

au ax ov ox aw ax

au oy av ay aw oy

ou az ov oz ow oz

(2.39)

Em geral, as componentes do deslocamento, tais como eXY, eyX' etc., produzem tanto deformao cisalhante quanto rotao do corpo rgido. A Fig. 2.15 ilustra diversos casos. J que precisamos identificar aquela parcela do deslocamento que resulta em deformao, devemos subdividir o tensor-deslocamento em uma contribuio da deformao e outra da rotao. Felizmente, um postulado bsico da teoria tensorial afirma que qualquer tensor de segunda ordem pode ser decomposto em um tensor simtrico e outro anti-simtrico.(2.40) (2.41 )

" C"J'wiJ.

= 2 (aax +. aaxJ

1

U i

uJ , ',)

e denominado tensor-deformao e denominado tensor-rotao

=

_1(au; _2aXj

au

j)

OXi

yexy = eyx -----I I I I I I I

yexy = - eyx

yexy = Y eyx = O---7 -1I I I I I

---7I I I I I I I I

!x

~

,I

I I

,,

I

Y /'....

I

,I I I

I I

x

--_J(bl

""(c)

"x

{ai

Fig. 2.15 Alguns exemplos de deslocamento com cisalhamento e rotao. (a) Cisalhamento puro sem rotao; (b) rotao pura sem cisalhamento; (c) cisalhamento simples.

Exx

eij = eyx ezx

exy eyy ezy

exz eyz ezz

~ eu + av) ~ (au + aw) 2 ay ax 2 az ax av 1 eu av) ~ eu + aw) 2 ay + ax ay 2 az ay aw ~ eu + aw) ~ ev + aw) az 2 az ax 2 az ayo

au ax

(2.42)

~eu _ aV) ~ eu _ aw) 2 ay ax 2 az axo

Wxx

wxyWyy

Wxz

wij=

wyx wzx

wyzWzz

wzy

~ ev _ au) 2 ax ay

~ ev _ aw) 2 z ayo

(2.43)

~ ew _ au) ~ ew _ av) 2 ax z 2 ay az

Pode-se notar que Sij um tensor simtrico j que Sij = Sj;, isto , SI!! = SIZ> etc. Wij um tensor anti-simtrico uma vez que Wij = -Wj;, isto , W;r.v = -W,IJI' Se Wij = O, a deformao denominada irrotacional. Substitui ndo-se a Eq. (2.41) na Eq. (2.35), obtm-se as equaes genricas do deslocamento

Na Seo 1.9, a deformao cisalhante )' foi definida como a variao angular total de um ngulo reto. Referindo-se Fig. 2.15a, )' = e I!! + eVI = SI!! + SYI = 2 SI!!' Esta definio de deformao cisalhante. )'ij = 2 Sij, denominada deformao cisaIhanfe de engenharia.

,

Yxy =

Yxz

au au ay + ax aw au = ax + az w av= y + az

Yyz

Esta definio de deformao cisalhante comu.mente utilizada na elasticidade de engenharia. Entretanto, a deformao cisalhante definida de acordo com~a Eq. (2.45) no uma quantidade tensorial. Devido s vantagens bvias, obtidas nas transformaes de tensores pelos mtodos discutidos na Seo 2.6, torna-se interessante utilizar o tensor-deformao conforme definido pela Eq. (2.42). Uma vez que o tensor-deformao um tensor de segunda ordem, ele apresenta todas as propriedades anteriormente descritas para a tenso. Assim, um tensor-deformao pode ser transformado de um conjunto de eixos coordenados para um novo sistema de eixos por

Por simplicidade, as equaes para deformao, anlogas quelas para tenso, podem ser escritas diretamente, substituindo-se e por (J e y/2 por 'T. Assim, a deformao normal em um plano oblquo dada por

[Compare a equao acima com a Eq. (2.18).] Por completa analogia com as tenses, possvel definir um sistema de eixos coordenados ao longo dos quais no h deformaes cisalhantes. Estes eixos so eixos de deformao principal. Para um corpo isotrpico, as direes das deformaes principais coincidem com as das tenses principais'. Um elemento orientado ao longo de um dos eixos de deformao principal se submeter a uma extenso ou contrao puras, sem qualquer rotao ou deformao cisalhante. As trs deformaes cisalhantes principais so as razes da equao cbica

/1 = /2

Bx

+ By + Bz+ByBz

=

BxBy

+

BzBx

_

t(yx/l(4

+

Yz/2

+

Yy/) 2

_ / 3-BxByBz(2.13),

+ l4YxyYzxYyz

BxYyz

+ ByYzx

+ BzYxy

2)

As direes das deformaes principais so obtidas das trs equaes anlogas s Eqs.

2l(Bx lyxy lyxz

+ myxy + nyxz = O + 2m(By - B) + nyyz = OB)

+

myyz

+

2n(Bz

-

B)

=O

Continuando com a analogia entre as equaes de tenso e deformao, as equaes para as deformaes cisalhantes principais podem ser obtidas da Eq. (2.20).

Ymax

=

Y2

=

B1 -

B3

Y3 = B1 - B2

Para uma derivao deste ponto ver C. T. Wang, Applied Elaslicily, New York, 1953.I

pp. 2f>.27, McGraw-Hill Book Company,

Geralmente, a deformao de um slido envolve variao em volume e 11a forma. Assim, precisamos determinar quanto desta deformao devido a estas contribuies. A deformao l'o/umtrica ou dilatao cbica a variao em volume por unidade de volume. Considere um paraleleppedo retangular de arestas dx, dy e dz. O volume na condio deformada (I + ex)(I + ey)(l + ez) dx dy dz, uma vez que somente as deformaes normais resultam em mudanas volumtricas. A deformao volumtrica t. . =( _1 _+_8x_)_(1 +_8y_)(.1_+_8z_) _dx_dy_dz _ __ __-d_x_d_y_dz dx dy dz

a qual para pequenas deformaes, reduz a

aps desprezar os produtos de deformaes,

se

Observe que a deformao volumtrica igual ao primeiro invariante do tensordeformao, t.- = ex + Bv + ez = 101 + 102 + 103' Podemos tambm definir (ex + eJl + eJ/3 como a dejrmao mdia ou a componente hidrosttica (esfrica) da deformao.

Aquela parte do tensor-deformao que envolvida em variao de forma em vez de mudana volumtrica denominada deformao-desvio e'u. Para se obter as deformaes-desvio, simplesmente subtramos em de cada uma das componentes da deformao normal. Assim,

8x -

8m

8xy 8y 8zy 8m

8xz 8yz Cz -

cij

=

8yx 8zx

em

A diviso do tensor-deformao notao iensorial por

total em deformaes-desvio

e dilatacional dada em

Por exemplo, quando EU so as deformaes principais, (i = j), as deformaes-desvio so 10'11 = 1011 - e"" 10'22 = 1022 - em, 10'33 = 1033 - em' Estas deformaes apresentam elongaes ou contraes ao longo dos eixos principais que mudam a forma do corpo a volume constante.

Exceto em alguns casos que envolvem tenses de contato, no possvel medir diretamente as tenses. Desta maneira, medidas experimentais de tenso so, na realidade, baseadas em deformaes medidas que so convertidas para tenses por meio da Lei de Hooke e das relaes mais gerais que so dadas na Seo 2.11. O dispositivo mais empregado para medidas de deformao o extensmetro SR-4, que opera por medida de resistncia eltrica de um minicircuito colado amostra.' Estes extensmetros (slrain gages) so constitudos de vrios enrolamentos de fios finos ou folhas finas de composio especial, que so colados superfcie do corpo a ser estudado. Quando o corpo deformado, os fios no extensmetro tambm se deformam, alternando, assim, a sua resistncia eltrica. A variao em resistncia, que proporcional deformao, pode ser determinada com preciso atravs de um simples circuito de ponte de Wheatstone. A alta sensibilidade, estabilidade, relativa resistncia mecnica e facilidade de utilizao tornam os extensmetros resistncia uma importante ferramenta na determinao de deformaes. Em problemas prticos de anlise experimental de tenses, freqentemente importante determinar as tenses principais. Se as direes principais forem conhecidas, os extensmetros podero ser orientados nestas direes, determinando-se prontamente as tenses principais. Em geral, no se conhecem as direes das deformaes principais, sendo ento necessrio determinar a orientao e magnitude das deformaes principais atravs de deformaes medidas em direes arbitrrias. Devido ao fato de que nenhuma tenso age perpendicularmente a uma superfcie livre, as medidas por extensmetros envolvem um estado de tenses bidimensional. O estado de deformaes completamente determinado se CI' cye YIY podem ser medidos. Entretanto, os extensmetros podem registrar diretamente apenas deformaes lineares, enquanto que deformaes cisalhantes devem ser determinadas indiretamente. Assim, utiliza-se freqentemente, para a determinao de esforos triaxiais, trs extensmetros separados por ngulos fixos, dispostos em roseta, como mostra a Fig. 2.16. Leituras de extensmetros com trs valores de (J diferentes fornecem trs equaes simultneas, similares Eq. (2.53), das quais se obtm os valores de CI, Bve YIY' A verso bidimensional da Eq. (2.47) pode ento ser utilizada para determinar as deformaes principaIs.

O crculo de Mohr um mtodo mais conveniente para determinar as deformaes principais atravs de leituras de extensmetros do que a utilizao das trs equaes simultneas a trs variveis. Para a construo de um crculo de Mohr represen-

Fig. 2.16 Extensmetro roseta pico. (a) Retangular; (b) delta.

t-

Para um tratamento de extensmetros e outras tcnicas de anlise de tenso experimental, ver J. W. Dally e W. F. Riley, Experimental Stress Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.1

tativo de deformao, valores da deformao linear e so representados em um grfico ao longo do eixo dos x e a deformao cisalhante dividida por 2 ao longo do eixo dos y. A Fig. 2.17 mostra a construo' de um crculo de Mohr para a roseta de extensmetros ilustrada na parte superior da figura. Trs extensmetros, situados nas posies definidas pelos ngulos arbitrrios a e {3,fornecem leituras de ea, eb e eco O objetivo determinar a magnitude e a orientao das deformaes principais e] e e2' I. Ao longo de um eixo arbitrrio X'X' traam-se linhas verticais aa, bb e cc, correspondentes s deformaes ea, eb e eco 2. De qualquer ponto da linha bb (extensmetro do meio) traa-se uma linha DA fazendo ngulo a com bb e interceptando aa no ponto A. Da mesma forma, traa-se De interceptando cc no ponto e. 3. Constri-se um crculo atravs de A, e e D. O centro deste crculo O, determinado pela interseo dos bissetores perpendiculares a eD e AD. 4. Os pontos A, B e e no crculo fornecem os valores de e e y/2 (medidas atravs do novo eixo dos x que passa por O) para os trs extensmetros. 5. Os valores das deformaes principais so determinados pela interseo do crculo com o novo eixo dos x que passa por O. A relao angular de e] com o extensmetro a metade do ngulo AOP no crculo de Mohr (AOP = 20).

'G. Murphy. J. App/. p. 209. 1951.

Mech.,

vol.

12, p. A209.

1945: F. A. McClintock,

Proc.

Soco Exp. 5tress

Ano/.,

vol. 9.

Aps introduzido o conceito de que o tensor de deformao pode ser dividido em uma deformao hidrosttica ou mdia e uma deformao de desvio, torna-se importante considerar o significado fsico de uma operao similar para o tensor de tenso. Assim, o tensor de tenso total pode ser dividido em um tensor de tenso hidrosttico ou mdia, (Til" que envolve somente trao ou compresso pura, e um tensor-tenso desvio, (T'ij, que representa a tenso cisalhante no estado de tenses total (Fig. 2.18). Por analogia direta com a situao apresentada para a deformao, a componente hidrosttica do tensor de tenso produz apenas variaes volumtricas elsticas, no causando deformao plstica. Medidas experimentais mostram que a tenso de escoamento dos metais independente da tenso hidrosttica, embora a deformao de fratura seja fortemente influenciada por esta componente de tenso. Devido ao fato da tenso-desvio envolver tenses cisalhantes. ela importante na gerao da deformao plstica. No Capo 3 veremos que a tenso-desvio til na formulao de teorias de escoamento.

2CTx

-

CTy

-

CTz

32CTy a~j

'xy

'xz

-

CTz

-

CTx

=

'yx

32CT

'yz

z -

CT x

-

CT y

'zx

'zy

3

Pode-se notar prontamente que a tenso-desvio envolve tenses cisalhantes. exemplo, referindo-se a-'ij a um sistema de eixos principais, tem-see