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Método arvore semântica
Alunos: Cláudio Moisés Carlos Dória David Cláudio Neymar
Método arvore semântica
Já teve varios nomes
Semantic Tableaux Semantic Tableau Semantic trees Usa-se hoje habitualmente o termo “logic trees” ou “tree proofs”
Método arvore semântica
Basicamente a decomposiçao de uma fórmula em várias sub-fórmulas, colocando-as numa árvore binária afim de testar sua consistência
Um conhecido substituto superior do metodo “tabela-verdade”
Método arvore semantica
É um metodo automático de avaliação
Muito usado caso queira confirmar que a afirmação é uma tautologia
A essência do metódo é basicamente achar “contra-exemplos” que geralmente se manifestam como absurdos lógicos
Uso Casual
Na vida quotidiana usamos por vezes variações desta forma de argumentação. Por exemplo, uma pessoa afirma algo. Nós queremos mostrar o contrário. E o que fazemos? Aceitamos a sua afirmação, e mostramos que dela se segue uma inconsistência qualquer
Uso Casual
— Nada existe. —tens a certeza? Admitamos que nada existe. Nesse caso, nada disseste mesmo agora. Mas é óbvio que admites que disseste algo mesmo agora. Portanto, se nada existe, segue-se que disseste e não disseste algo mesmo tempo. Mas isto é absurdo. Logo, é falso que nada exista.
Absurdo Lógico
Numa árvore semantica, um absurdo logico se manifesta como um “Ramo terminal”
Um Ramo terminal ocorre quando a expressão “A” tem a sua propia negaçao “¬A”
Para qualquer outro caso, damos o nome de “Ramo aberto”
Método árvore semântica
Um exemplo de fácil entendimento do seu uso seria a prova de uma tautologia da expressão “A”
Montando a arvore com a expressão “¬A” e chegando a apenas galhos fechados(Contradições) provamos que não existe interpretaçao em que “A” é falsa
Construção
representam graficamente as disjunções e as conjunções. E é por isso que dão origem a coisas parecidas com árvores.
Construção
Construção
Por exemplo, a simplificação da forma lógica P → Q é ¬P v Q, mas representaremos isso graficamente fazendo dois ramos:
Construção
Façamos agora uma árvore que demonstra a validade do modus ponens:
P → Q P Então Q
Construção
Começamos por juntar a negação da conclusão às premissas, e depois simplificamos a única forma complexa que temos:
Construção
Como todos os ramos fecharam(contradiçao), temos que a afirmativa original é uma tautologia
Utilizando o esquema contrário(partindo de uma afirmação mentirosa) podemos provar que sua negação e verdadeira, oferecendo um contra-exemplo válido
Construção
P → Q Q Então P
Outras simplificações usuais
Metodo da arvore semantica
Neste metodo a validade de uma formula e determinada a partir deuma arvore.
Uma arvore e um conjunto de nos ou vertices ligados por arestas.
Na figura abaixo os nos estao rotulados por numeros inteiros. Osnos 2, 6, 7 e 5 sao denominados folhas e o no 1 e a raiz da arvore.
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T T
T FTNo3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F F
F TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TF
F T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TF
F T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 3: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 4: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FTT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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Exemplo: lei da contraposicao
Exemplo 4: lei da contraposicao
A formulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
e uma tautologia.
No2 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)T TT FTT FT
No3 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)F FF TFF T T TFF T T T TF
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A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
T T
A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
T T
T
A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
T T
T
No5 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T FTTF F
A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
T T
T
No5 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T FTTF F
FTF
A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
T T
T
No5 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T FTTF F
FF
A fórmulaH = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P) é uma tautologia.
No4 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T T FT FT
T T
T
No5 = (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P)
T FTTF F
FF
T
