Método de multiplicadores de LaGrange

Esté método consiste en maximizar una función f en una o más variables a lo largo de un conjunto S, sujeta a una condición g=k con las mismas variables (sabiendo que f tiene máximo y mínimo en S).

El método establece que:

∇ f=λ∇ g

Siendo ∇ f=derivadas parciales conrespecto acadavariable que poseala funcion

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtendrán varias soluciones ( p , λ) de dicho sistema el máximo de f será el mayor f ( p) y el minimo será el menor valor entre los f ( p).

Ejemplo:

Cuál es el rectángulo de mayor área que se puede formar, si su diagonal mide dos unidades.

Nuestra restricción g ( x , y )=k seria dada por la diagonal:

2=√x2+ y2

Con k=2

Y f ( x , y )=xy (Areadel rectangulo)

Planteando el sistema ∇ f=λ∇ g

Para nuestro caso:

∇ f=( ∂ f∂ x , ∂ f∂ y ) ,∇ g=( ∂ g∂ x , ∂ g∂ y )Reescribiendo la restricción g ( x , y )

4=x2+ y2

Con k=4

2 unidades

x

y

∂ f∂ x

= ∂∂ x

( xy )= y ∂ f∂ y

= ∂∂ y

( xy )=x

∂g∂ x

= ∂∂ x

(x2+ y2 )=2 x ∂g∂ y

= ∂∂ y

(x2+ y2 )=2 y

Por tanto obtenemos como sistema de ecuaciones:

y=2λx (1 ) , x=2 λy (2 ) ,4=x2+ y2(3)

Multiplicando (1 )∗ y (2 )∗x

y2=2 λxy (4) , x2=2 λxy (5)

(4 ) y (5 ) y2=x2(6)

(3 ) y (6 )4=x2+ x2

4=2 x2

x=±√2Como sabemos la longitud soló puede tomar valores positivos por lo cual obtenemos como solución:

x=√2 y y=√2Obteniendo como área:

f (√2 ,√2 )=(√2 ) (√2 )=2

Notemos que si empleamos los valores:

x=1 y y=1

Cumplen la restricción y el valor de dicha área seria 1, concluyendo así que el valor encontrado por el método de multiplicadores de LaGrange es el área máxima.

Aplicando este método a un problema de aplicación en las finanzas.

La empresa Wyndor productora de puertas y ventanas desea encontrar los valores óptimos para invertir en sus dos productos, obteniendo el máximo de ganancias posibles, la empresa debe realizar un valor mínimo de inversión, para así garantizar la sostenibilidad de la misma, y un valor máximo el cual no debe exceder la capacidad financiera de la misma, por tanto se debe hallar las cantidades de inversión que generen una mayor productividad en la empresa.

La expresión que denota la capacidad de inversión de la empresa viene dada por:

(x−3.6)2+( y−4.2)2=12.96

Región de inversión

Siendo x : inversion en puertas y : inversionen ventanas, todos estos valores en millones.

Y la función que denota las ganancias netas de la empresa en función de la cantidad invertida vienen dadas por:

P ( x , y )=1.3 (6 x+3 y)

Hallando los valores óptimos de inversión, por el método de multiplicadores de LaGrange.

∇P=λ∇ g

Siendo g ( x , y )=K

g ( x , y )=(x−3.6)2+( y−4.2)2=12.96

Con K=12.96

Para nuestro caso:

∇P=( ∂ P∂x , ∂ P∂ y ) ,∇ g=( ∂g∂ x , ∂ g∂ y )∂P∂ x

= ∂∂ x

(1.3 (6 x+3 y ) )=1.3∗6=7.8

∂P∂ y

= ∂∂ y

(1.3 (6 x+3 y ) )=1.3∗3=3.9

∂g∂ x

= ∂∂ x

((x−3.6)2+( y−4.2)2 )=2 ( x−3.6 )=2 x−7.2

∂ g∂ y

= ∂∂ y

((x−3.6)2+( y−4.2)2 )=2 ( y−4.2 )=2 y−8.4

Obteniendo así el sistema de ecuaciones:

7.8=λ (2x−7.2 )(1)

3.9=λ (2 y−8.4 )(2)

(x−3.6)2+( y−4.2)2=12.96 (3)

Despejando x de (1 )

7.8=λ (2x−7.2 )

7.8=2λx−7.2λ

x=7.8+7.2 λ2 λ

=3.9λ

+3.6 (4 )

Despejando y de (2)

3.9=λ (2 y−8.4 )

3.9=2λy−8.4 λ

y=3.9+8.4 λ2 λ

=1.95λ

+4.2(5)

(4 ) y (5 )en (3)

((3.9λ +3.6)−3.6)2

+(( 1.95λ +4.2)−4.2)2

=12.96

( 3.9λ )2

+( 1.95λ )2

=12.96

15.21

λ2+ 3.8025

λ2=12.96

λ2=19.012512.96

λ=±√ 19.012512.96=± 13√5

24

Con : λ=13√524

x= 3.9

( 13√524 )+3.6= 93.6

13√5+3.6=90+36√5

25≈6.8199

y= 1.95

( 13√524 )+4.2= 46.8

13√5+4.2=105+18√5

25≈5.8099

P (6.8199,5 .8099 )=1.3 (6 (6.8199 )+3 (5.8099))=75.8538

Con : λ=−13√524

x= 3.9

(−13√524 )+3.6=−93.6

13√5+3.6=90−36 √5

25≈0.38

y= 1.95

(−13√524 )+4.2=−46.8

13√5+4.2=105−18√5

25≈2.59

P (0.38,2.59 )=1.3 (6 (0.38 )+3 (2.59))=13.065

Concluyendo así que la cantidad que la Wyndor debe invertir en los productos para garantizar la sostenibilidad de la empresa como mínimo serian de 380,000 para las puertas y 2’590,000 para las ventanas.

Y la cantidad a invertir necesaria para maximizar la utilidad de las ventas sin desfasar la capacidad de inversión de la empresa es de 6´819,900 millones para las puertas y 5’809,900 para las ventanas.