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1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Método do Lugar das Raízes
Conceito de Lugar das Raízes;O Procedimento do Lugar das Raízes;Projeto de Parâmetros pelo Método do Lugar das Raízes;Sensibilidade e Lugar das Raízes;Controlador de Três Termos (PID);Exemplo de Projeto;Lugar das Raízes usando MATLAB.
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Procedimento para Lugar das Raízes
As raízes da EC de um sistema fornecem uma visão do conjunto valiosa com referencia à resposta do sistema
12 Passos para o esboço do Lugar da Raízes:
Passo 1: Escrever a EC como 1 ( ) 0F s+ =Reorganizar a equação de modo que o parâmetro K apareça como um fator multiplicativo sob a forma
1 ( ) 0KP s+ =Passo 2: Fatorar P(s) e escrever na forma de pólos e zeros como segue:
1
1
( )1 0
( )
M
iin
jj
s zK
s p
=
=
++ =
+
∏
∏Passo 3: Localizar os pólos e zeros no plano s com síbolos selecionados. Geralmente, há interesse em determinar o lugar das raízes à medida que K varia no intervalo
0 K≥ ≤ ∞1 1
( ) ( ) 0n M
j ij i
s p K s z= =
+ + + =∏ ∏
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1 1
( ) ( ) 0n M
j ij i
s p K s z= =
+ + + =∏ ∏NotaNota --se que o lugar das raízes da EC se que o lugar das raízes da EC 1+KP(s)=01+KP(s)=0 iniciainicia --se nos pólos de se nos pólos de P(s)P(s) e e
termina nos zeros de termina nos zeros de P(s)P(s) à medida que à medida que KK aumenta a partir de zero até aumenta a partir de zero até infinito.infinito.
Passo 4: Localizar os segmentos do eixo real que são lugares das raízes.
O lugar das raízes no eixo real esta sempre em uma seção do eixo real à esquerda de um numero impar de pólos e zeros.
Numero de zeros nos infinito é igual a n-M.
Exemplo de Sistema de 2a. Ordem:
Um sistema de malha única com retroação possui a seguinte EC (passo 1):
11
21 ( ) 11
14
K sGH s
s s
+ + = + +
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Passo 2: FT GH(s) reescrita em termos de pólos e zeros: ( )( )
2 21 0
4
K s
s s
++ =
+
Determinar o Lugar das raízes para o ganho 0 K≥ ≤ ∞ (Passo 3)
Passo 4: Determinar o Lugar da raízes sobre o eixo real.O Critério do ângulo é satisfeito no eixo real entre os valores 0 e -2.Por exemplo, o Ganho K na raiz s=s1=-1 é
1
1 1
2 2 1 1 4 31
4 2 1 2 2
K sou K
s s
+ − − += = =
+ − +
-6 -1
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Método do Lugar das Raízes
Passo 5: Determinar o número de lugares separados, LS. Como os lugares se iniciam nos pólos e terminam nos zeros, o numero de lugares separados é igual ao número de pólos .
Passo 6: O lugar das raízes deve ser simétrico em relação ao eixo real , porque as raízes complexas devem aparecer aos pares de raízes complexas conjugadas.Passo 7: Os lugares avançam em direção aos zeros no infinito segundo assíntotas centradas em �A com ângulos �A.Quando o numero de zeros finitos de P(s), nz, é menor do que o número de pólos, np, de um numero N=np-nz, então N seções de lugares devem finalizar em zeros no infinito.Estas retas assíntotas estão centradas em um ponto no eixo real
1 1
( ) ( )( ) ( )
n M
j ij i
Ap z p z
p zpolos de P s zeros de P s
n n n nσ = =
− − −−
= =− −
∑ ∑∑ ∑
O ângulo das assíntotas com relação ao eixo real( ) 02 1
180 0,1,2, ,( 1),A p zp z
qonde q n n
n nφ
+= = − −
−K
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Exemplo: Sistema de 4a. OrdemUm sistema de controle com retroação, de malha única, tem uma EC
2
( 1)1 ( ) 1
( 2)( 4)
K sGH s
s s s
++ = ++ +
Deseja-se esboçar o lugar das raízes a fim de determinar o efeito do ganho K.
1 1
( ) ( )( 2) 2( 4) ( 1) 9
34 1 3
n M
j ij i
Ap z
p z
n nσ = =
− − −− + − − − −= = = = −
− −
∑ ∑
( ) 0
0
0
0
2 1180 0,1,2, , ( 1),
60 , 0
180 , 1
300 , 2
A p zp z
A
A
A
qonde q n n
n n
q
q
q
φ
φφφ
+= = − −
−
= + =
= =
= =
K
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( )
( )0
p s K
dK dp s
ds ds
=
= =
Passo 8: Determinar o ponto no qual o lugar cruza o eixo imaginário (se isto ocorrer).
O ponto no qual o lugar das raízes intercepta o eix o imaginário é calculado usando-se o critério de Routh-Hurwitz.
Passo 9: Determinar o ponto de saída do eixo real (se existir).A saída do lugar das raízes do eixo real ocorre ond e a variação líquida no
ângulo causada por um pequeno deslocamento é zero.O lugar deixa o eixo real onde existem raízes múltiplas.A analiticamente encontra-se o máximo de K=p(s), derivando-se o polinômio, e igualando a zero.
2
( ) 1 ( ) 1( 2)( 4) ( 2)( 4)
( ) ( 2)( 4) ( 6 8)
K KG s G s
s s s s
K p s s s s s
= → + = ++ + + +
= = − + + = − + +
Exemplo, sendo
( )(2 6) 0 3
dp ss s
ds= − + = = −a
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Passo 10: Determinar o ângulo de saída do lugar a partir de um pólo e o ângulo de chegada do lugar em um zero, usando o critério de fase
O ângulo de saída do lugar a partir de um pólo é a diferença entre o ângulo líquido devido a todos os outros pólos e zeros e o ângulo do critério
±180º(2q+1).É particularmente de interesse para pólos complexos (e zeros).
Exemplo: seja a FT a malha aberta de 3a. ordem
2 23
( ) ( ) ( )( )( 2 )n n
KF s G s H s
s p s sζω ω= =
+ + +As localizações do pólo e os ângulos dos vetores no pólo complexo p1
Os ângulos num ponto de teste s1, a uma distancia infinitesimal de p1, deve satisfazer o critério de ângulo.
0 0 02 1 2 3 1 3
01 3
02 3 1
90 90 180
90
90
eθ θ θ θ θ θθ θθ θ γ θ γ
= + + = + + =
= −
− = → = +
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Método do Lugar das Raízes
Passo 11: Determinar que satisfazem o critério de fase na raiz sx, x=1,2,...np.O critério de fase é
0 0( ) 180 360 , 1,2,P s q onde q= ± = K
1
1x
n
jj
x M
ii s s
s p
Ks z
=
= =
+=
+
∏
∏
Passo 12: Determinar o valor do parâmetro Kx em uma raiz especifica sx usando o requisito de magnitude.O requisito de magnitude se sx é
10Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng12. Determinar o valor do parâmetro Kx na raíz especifica sx.
11. Determinar as localizações das raízes que satisfazem o critério do ângulo de fase
10. Determinar o ângulo de partida e ângulo de chegada, usando o critério do ângulo de fase.
a)Fazer K=p(s); b) Obter dp(s)/ds=0;c)Determinar as raízes (b) ou usar o método gráfico para obter o máximo de p(s).
9. Determinar o ponto de saída sobre o eixo real (se existir)
8. Determinar o ponto em que o lugar cruza o eixo imaginário, usando o critério de Routh-Hurwitz.
7. Os lugares perseguem em direção aos zeros no infinito ao longo de assintotas centralizadas em �A e com ângulo de �A
6. Os lugar das raízes são simétricos em relação ao eixo real horizontal
LS=np, quando nz � np; nz =no. de zeros finitos, np= no. de pólos finitos
5. Determinar o no. de lugares separados, LS
O lugar se situa a esquerda de um no. ímpar de pólos e zeros.
4. Assinalar os segmentos do eixo real que são lugares das raízes.
x = pólos, O = zeros, � = raízes da EC.O lugar começa no pólo e termina no zero.
3. Assinalar os pólos e zeros s malha aberta de F(s) no plano s com símbolos selecionado
2. Fatorar P(s) em termos dos np pólos e nz zeros
1. Escrever a EC de modo que K seja um multiplicador
RegraRegra12 Passos12 Passos
1 ( ) 0KP s+ =
1
1
( )1 0
( )
M
iin
jj
s zK
s p
=
=
++ =
+
∏
∏
1 1
( ) ( )n M
j ij i
Ap z
p z
n nσ = =
− − −=
−
∑ ∑ ( ) 02 1180A
p z
q
n nφ
+=
−
0 0( ) 180 360 , j iP s q em s p ou z= ± =
0 0( ) 180 360 , xP s q na localização da raiz s= ±
1
1x
n
jj
x M
ii s s
s p
Ks z
=
= =
+=
+
∏
∏
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Exemplo: Sistema de 4a. Ordem1. Deseja-se traçar o lugar das raízes para a EC de um sistema à medida que K varia para K>0, no caso em que
4 3 21 0
12 64 128
K
s s s s+ =
+ + +2. Determinando os pólos, tem-se
1 0( 4)( 4 4)( 4 4)
K
s s s j s j+ =
+ + + + −
À medida que K varia de zero a infinito. O sistema não possui zeros finitos.
3. Os pólos são localizados sobre o plano s.4. Existe um segmento do lugar das raízes sobre o eixo real entre s=0 e s=-45. Como o no. de pólos np é igual a 4, tem-se LS=4.6. Os lugares das raízes são simétricos com respeito ao eixo real.7. Os ângulos das assíntotas são
O centro das assíntotas é
( ) 0
0 0 0 0
2 1180 , 0,1,2,3
445 ,135 ,225 ,315
A
A
qqφ
φ
+= =
= +4 4 4
34Aσ − − −= = −
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8. A EC é reescrita como2 4 3( 4)( 8 32) 12 64 128 0s s s s K s s s s K+ + + + = + + + + =
4
3
21
11
0
1 64
12 128
Ks
s
b Ks
cs
Ks
O arranjo de Routh será
1
12(64) 12853,33
12b
−= =
1
53,33(128) 12
53,33
Kc
−=
O valor limite de ganho para garantir estabilidade é K=568,89.E as raízes das equação auxiliar são
2 253,33 568,89 53,33( 10,67) 53,33( 3,266)( 3,266)s s s j s j+ = + = + −
Ponto onde cruza o eixo imaginário
9. O ponto de saída é estimado pelo cálculo
( ) ( 4)( 4 4)( 4 4)K p s s s j s j= = − + + + + −
13Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
8. A EC é resescrita como2 4 3( 4)( 8 32) 12 64 128 0s s s s K s s s s K+ + + + = + + + + =
4
3
21
11
0
1 64
12 128
Ks
s
b Ks
cs
Ks
O arranjo de Routh será
1
12(64) 12853,33
12b
−= =
1
53,33(128) 12
53,33
Kc
−=
9. O ponto de saída é estimado pelo calculo
( ) ( 4)( 4 4)( 4 4)K p s s s s j s j= = − + + + + −Entre s=-4 e s=0. O Maximo de p(s) é encontrado na posição aproximada s=1,5.
0-1,0-1,5-2,0-2,5-3,0-4,0s
07585858068,5510p(s)
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10. O ângulo de saída no pólo complexo p1 pode ser estimado utilizando-se o critério de ângulo, como se segue: 0 0 0
1 390 90 180θ θ+ + + =
Onde �3 é o ângulo subtendido por um vetor que sai do pólo p3.Os ângulos de s=-4 e s=-4-j4 são ambos iguais a 900. Como �3=135, então
0 01 135 225θ = − = +
11. Determinar as localizações das raízes que satisfaçam o critério de fase, na Fig.
12. Determine o valor de K em s=s1.O ganho K pode ser obtido graficamente (�=0,707).Os comprimentos dos vetores que ligam os polos a malha aberta ao lugar das raízes em s1 são calculadas e resulta um ganho em s1 de
1 1 1 1 1 14 (1,9)(2,9)(3,8)(6,0) 126K s s s p s p= + − − = =
Resposta Transitória1 2
1
1 1 2 2
1 1
( ) 1 ( ) ( )
( ) 1 ( )
t t
t
y t c e sen t c e sen t
y t c e sen t
σ σ
σ
ω ωω
− −
−
= + + + +
≅ + +
Raíz Dominante
