1

Metodologia de Análise Dinâmica de Estruturas mediante a Aplicação

da Transformada Discreta de Cosseno das Series Temporais.

Novembro 2014

2

1. Introdução

Na “arte” da Análise Estrutural dificilmente existe um único método para atingir os objetivos. É

habitual que cada método forneça uma luz complementar e distinta e que assim cumpra o seu

propósito iluminando de maneira peculiar o caminho das decisões, da confiabilidade ou da

compreensão do desempenho estrutural.

No Universo da Ciência e da Tecnologia quase todas as grandes ideias que surgem e evoluem

para resolver problemas específicos expandem sua aplicação ou são redescobertos para

serem aproveitados em diversos casos. Muitas vezes são transferidas com sucesso a

disciplinas percebidas como distantes e desvinculadas.

A Análise de Fourier é um dos exemplos mais destacados da utilidade de assimilar e extrapolar

conceitos para serem aplicados em áreas diferentes. Desde a música até a sala de cirurgia,

passando por todas as áreas da Engenharia seria muito difícil explicar como teria evoluído o

conhecimento sem a presencia da Análise de Fourier. Em particular, as últimas décadas estão

marcadas pela expansão do uso das Transformadas Cossenos Discretas.

Algoritmos “Transformada Discreta de Cosseno” são chamados habitualmente códigos DCT

(“Discrete Cosine Transform”) e são aplicados na tecnologia moderna em processamento e

compressão de dados.

3

O DCT é a expressão de uma sequencia finita de dados como combinação linear de funções

cosseno em diferentes frequências. Compressão de sinais de áudio MP3 e de imagens JPEG

são exemplos típicos de aplicações do DCT.

Os níveis de resposta dos nossos sentidos assim como os das estruturas que analisamos não

são uniformes para toda a largura do espectro de excitações às quais estão potencialmente

submetidos. Existem partes principais que determinam quase inteiramente o comportamento e

partes irrelevantes e “volumosas em tamanho de dados” que a sua presencia ou ausência não

mudam significativamente o resultado. A redução do tamanho do input à porção menor que

conserve todo o que é relevante sem perder a essência nem a exatidão não é somente

simpático e útil, geralmente será necessária para viabilizar ou aprimorar a Análise. As DCT são

especialmente eficientes na redução da informação e nessa virtude está a clave da expansão

da aplicação da DCT em tantas áreas.

Neste trabalho apresentam-se considerações teóricas, metodologias e exemplos cujo propósito

é expor maneiras nas quais o uso adequado do DCT pode virar ferramenta idônea na mesa de

trabalho do Engenheiro de Estruturas para a análise de resposta vibracional, com ênfase na

integração em alta frequência (HFPI) das respostas dinâmicas estacionárias de estruturas a

partir das series temporais de forças generalizadas como é o caso das deduzidas dos registros

obtidos em ensaios de Túnel de vento.

2. Introdução à Análise Dinâmica da Resposta Induzida pelo

vento nas Estruturas

3. Transformada Cosseno Discreta.

Dado um vector 𝑷 de dimensão N: 𝑷 = [ 𝑃1 ; 𝑃2; … ; 𝑃𝑗 … ; 𝑃𝑁] a Transformada Cosseno

Discreta (tipo DCT-II) completa do vetor 𝑷 é definida como a expressão do mesmo mediante

uma combinação lineal da base ortogonal :

4

{𝑫𝟎; 𝑫𝟏; …𝑫𝒌; …𝑫𝑵−𝟏 }

𝑫𝟎 = [1; 1; … . ; 1; …… ; 1]

𝑫𝟏 = [cos (1 ∙1 ∙ 𝜋

2𝑁 ); cos (1 ∙

3 ∙ 𝜋

2𝑁 );… . ; cos (1 ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 );…… ; cos (1 ∙

(2𝑁 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 )]

𝑫𝟐 = [cos (2 ∙1 ∙ 𝜋

2𝑁 ); cos (2 ∙

3 ∙ 𝜋

2𝑁 );… . ; cos (2 ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 );…… ; cos (2 ∙

(2𝑁 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 )]

…

𝑫𝒌 = [cos (𝑘 ∙1 ∙ 𝜋

2𝑁 ); cos (𝑘 ∙

3 ∙ 𝜋

2𝑁 );… . ; cos (𝑘 ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 );…… ; cos (𝑘 ∙

(2𝑁 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 )]

…

𝑫𝑵−𝟏 = [cos ((𝑁 − 1) ∙1 ∙ 𝜋

2𝑁 ) ; cos ((𝑁 − 1) ∙

3 ∙ 𝜋

2𝑁 ) ;… . ; cos ((𝑁 − 1) ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 ) ;…… ; cos ((𝑁 − 1) ∙

(2𝑁 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 )]

(1)

Na Figura 1 pode ser visualizada a base ortogonal do DCT II de dimensão N=8 e os seus 5

primeiros vetores de maneira gráfica.

De acordo à análise de Fourier o vector genérico 𝑷 = [ 𝑃1 ; 𝑃2; … ; 𝑃𝑗 … ; 𝑃𝑁] poderá ser

expressado pela combinação lineal dos vectores da base de acordo a:

𝑷 = 𝐶0 𝑫𝟎 + 𝐶1 𝑫𝟏 … .+𝐶𝑘 𝑫𝒌 + ⋯+ 𝐶𝑁−1 𝑫𝑵−𝟏

𝐶0 =1

𝑁 ∑𝑃𝑗

𝑁

𝑗=1

= 1

𝑁 𝑷 ∙ 𝑫𝟎

𝐶𝑘 =2

𝑁 ∑𝑃𝑗

𝑁

𝑗=1

cos(𝒌 ∙(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 ) =

2

𝑁 𝑷 ∙ 𝑫𝒌 para k > 0

(2)

Onde 𝑷 ∈ 𝑹𝑵 ; 𝑫𝒌 ∈ 𝑹𝑵 ; 𝐶𝑘 ∈ 𝑹 ; Notação: 𝑷 ∙ 𝑫𝟎 = 𝑷 𝑫𝟎𝒕 é o produto escalar dos vetores

𝑷 e 𝑫𝟎

Aos efeitos de interpretar o significado intrínseco das equações poderá se observar que:

|𝑫𝟎| = √𝑫𝟎𝑫𝟎

𝒕 = √𝑁 ; |𝑫𝒌| = √𝑫𝒌𝑫𝒌𝒕 = √𝑁/2

(3)

Dai que 𝐶𝑘𝐷𝑘 é a projeção de 𝑷 no vector 𝑫𝒌 .

5

𝐶0 =

1

𝑁 𝑷 ∙ 𝑫𝟎 =

𝑷 ∙ 𝑫𝟎

|𝑫𝟎|𝟐

→ 𝐶0 𝑫𝟎 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑫𝟎(𝑷)

𝐶𝑘 =2

𝑁 𝑷 ∙ 𝑫𝒌 =

𝑷 ∙ 𝑫𝒌

|𝑫𝒌|𝟐

→ 𝐶𝑘 𝑫𝒌 = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑫𝒌(𝑷) para k > 0

(4)

Ou seja, a Transformada Cosseno de Fourier é uma passagem da Base Canónica à Base

Ortogonal {𝑫𝟎; 𝑫𝟏; …𝑫𝒌; …𝑫𝑵−𝟏 } de acordo à decomposição nas projeções do vetor genérico

𝑷 do espaço 𝑅𝑁:

𝑷 = ∑ 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑫𝒌

(𝑷)

𝑵−𝟏

𝒌=𝟎

(5)

A base {𝑫𝒌} é ortogonal, mas os módulos dos vetores 𝑫𝒌 não são unitários. Se adotarmos a

Base normalizada {𝑫𝑘∗ } (orto-normal):

𝑫𝟎∗ = 𝑫𝟎/|𝑫𝟎| = [

1

√𝑁;

1

√𝑁;… . ;

1

√𝑁;…… ;

1

√𝑁]

𝑫𝒌∗ = 𝑫𝒌

|𝑫𝒌|=

1

√𝑁/2[cos (𝒌 ∙

1 ∙ 𝜋

2𝑁 ) ; cos (𝒌 ∙

3 ∙ 𝜋

2𝑁 ) ;… . ; cos(𝒌 ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 ) ;… ; cos (𝒌 ∙

(2𝑵 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 )]

(6)

𝐶𝑘∗ = 𝑷 ∙ 𝑫𝒌

∗ para 0 ≤ k ≤ N − 1

𝑷 = ∑ 𝐶𝑘∗

𝑵−𝟏

𝒌=𝟎

𝑫𝒌∗

(7)

Na Figura 2 pode se visualizar a base ortogonal normalizada para o DCT II de dimensão 8 e os

seus 5 primeiros vetores de maneira gráfica.

6

Figura 1 - Base ortogonal para o DCT II de dimensão 8.

j 1 2 3 4 5 6 7 8

k

0 D 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 D 1 0,980785 0,83147 0,55557 0,19509 -0,19509 -0,55557 -0,83147 -0,98079

2 D 2 0,92388 0,382683 -0,38268 -0,92388 -0,92388 -0,38268 0,382683 0,92388

3 D 3 0,83147 -0,19509 -0,98079 -0,55557 0,55557 0,98079 0,19509 -0,83147

4 D 4 0,707107 -0,70711 -0,70711 0,707107 0,70711 -0,70711 -0,70711 0,707107

5 D 5 0,55557 -0,98079 0,19509 0,83147 -0,83147 -0,19509 0,980785 -0,55557

6 D 6 0,382683 -0,92388 0,92388 -0,38268 -0,38268 0,92388 -0,92388 0,382683

7 D 7 0,19509 -0,55557 0,83147 -0,98079 0,98079 -0,83147 0,55557 -0,19509

N=8

7

Figura 2 - Base ortogonal normalizada para o DCT II de dimensão 8

j 1 2 3 4 5 6 7 8

k

0 D* 0 0,353553 0,353553 0,353553 0,353553 0,353553 0,353553 0,353553 0,353553

1 D* 1 0,490393 0,415735 0,277785 0,097545 -0,09755 -0,27779 -0,41573 -0,49039

2 D* 2 0,46194 0,191342 -0,19134 -0,46194 -0,46194 -0,19134 0,191342 0,46194

3 D* 3 0,415735 -0,09755 -0,49039 -0,27779 0,277785 0,490393 0,097545 -0,41573

4 D* 4 0,353553 -0,35355 -0,35355 0,353553 0,353553 -0,35355 -0,35355 0,353553

5 D* 5 0,277785 -0,49039 0,097545 0,415735 -0,41573 -0,09755 0,490393 -0,27779

6 D* 6 0,191342 -0,46194 0,46194 -0,19134 -0,19134 0,46194 -0,46194 0,191342

7 D* 7 0,097545 -0,27779 0,415735 -0,49039 0,490393 -0,41573 0,277785 -0,09755

N=8

8

Os termos 𝑯𝒌 = 𝐶𝑘 𝑫𝒌 = 𝐶𝑘∗𝑫𝒌

∗ são denominados Harmônicos de ordem k e os

coeficientes 𝐶𝑘 os Coeficientes de Fourier do Harmônico de ordem k ou ordenadas

espectrais.

Observe-se que os Harmônicos são invariantes respeito à normalização das Bases Ortogonais,

mas os coeficientes de Fourier dependerão dos módulos da Base Ortogonal adotada.

Porém, a grande vantagem de expressar os coeficientes 𝐶𝑘 na base não normalizada deriva do

fato que os mesmos são as amplitudes reais dos harmónicos em tanto os coeficientes

𝐶𝑘∗ ressultam amplificados por fatores que dependem da dimensão da amostra: √𝑁 para

𝐶𝑜∗𝒆 √

𝑵

𝟐 para 𝐶𝑘

∗ quando K>0).

Os sinais 𝑷 de dimensão 𝑁 estarão associados a sucessões de registros (p.e. forças

generalizadas deduzidas a partir de registros de pressões) em intervalos de tempo 𝜹𝒕 (entre

registros sucessivos). Ou seja, a duração total da medição é 𝑻𝒕𝒐𝒕 = 𝑁 𝜹𝒕 .

A qualidade do registro dependerá tanto da quantidade 𝑁 como do intervalo 𝜹𝒕. Quando o

propósito é detectar efeitos de amplificação devidos às componentes harmônicas do sinal, as

informações obtidas mediante DCT II haverão de ser confiáveis somente para Harmônicos

cujos períodos associados sejam maiores que 6 δt .

Por exemplo, se uma estrutura não possui modos próprios de vibração relevantes menores de

1,75 s bastará adotar o intervalo 𝜹𝒕 não menor que 0,25 s de maneira que as componentes

harmônicas sejam assertivas a partir de períodos da ordem de 1,5 s.

Para 𝑘 > 0 as componentes harmônicas do vetor 𝑃 estão associados a um sinal harmônico

𝐶𝑘∗𝑫𝒌

∗ de Período 𝑻𝒌: 𝑻𝒌 =𝟐𝑵 𝜹𝒕

𝒌=

𝟐𝑻𝒕𝒐𝒕

𝒌 ; 𝑻𝒕𝒐𝒕 = duração da medição.

No caso de 𝑫𝟎∗ trata-se de um sinal constante que será chamado de período infinito.

A identidade entre o sinal e a expansão em cossenos estará garantida unicamente quando são

tomados todos os 𝑁 Harmônicos, contudo aqueles Harmônicos cujo período seja menor que

6 𝜹𝒕 serão de baixa resolução.

O objetivo é obter os conteúdos harmônicos do sinal. Por isso geralmente a expansão é

truncada nos primeiros 𝐾 harmônicos. Não adiantaria que 𝐾 seja maior que 𝑵

𝟑 já que 𝑻𝑲

resultaria menor que 6 𝜹𝒕 . Dai que será adotado:

𝑻𝑲 =

𝟐𝑻𝒕𝒐𝒕

𝑲 ≥ 𝟔𝒅𝒕 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑲 ≤

𝑵

𝟑

(8)

9

Quanto maior seja a ordem 𝑘 do harmônico, menor será o período do mesmo e também menor

será a diferencia entre o período do harmônico e o do harmônico seguinte.

𝑻𝒌 − 𝑻𝒌+𝟏 =

𝟐𝑵 𝒅𝒕

𝒌(𝒌 + 𝟏)=

𝑻𝒌

𝒌 + 𝟏

(9)

Caso a expansão não propicie conteúdos em períodos próximos aos períodos próprios de

vibração da estrutura, ficariam mascarados potenciais amplificações por proximidade à

ressonância. Dai a importância de garantir que todos os períodos naturais da estrutura tenham

harmônicos da expansão cujos períodos sejam próximo a ele. O modo crítico enquanto à

proximidade entre harmônicos será o modo fundamental relevante já que ele possui o maior

período natural 𝑻𝒅.

Considerando que 𝑻𝒅 está entre 2 períodos harmônicos sucessivos:

𝑻𝒌 > 𝑻𝒅 > 𝑻𝒌+𝟏 (10)

Devemos garantir que a diferencia entre o harmônico mais próximo e 𝑻𝒅 seja menor que 𝑻𝒅

𝟐𝟎 :

𝑻𝒌 − 𝑻𝒅

𝑻𝒅<

1

20

𝑻𝒌 − 𝑻𝒅

𝑻𝒅<

𝑻𝒌 − 𝑻𝒌+𝟏

𝑻𝒌+𝟏=

𝟏

𝒌 + 𝟏∙ 𝒌 + 𝟏

𝟐𝑻𝒕𝒐𝒕=

𝟏

𝟐𝑻𝒕𝒐𝒕<

1

20→ 𝑻𝒕𝒐𝒕 > 𝟏𝟎 𝑻𝒅

(11)

Podemos assim adotar como critério de aceitabilidade da proximidade de Harmônicos com o

modo fundamental a condição que impõe que o período fundamental 𝑻𝒅 seja menor que 𝑻𝒕𝒐𝒕

𝟏𝟎 .

Dai que para todo sinal 𝑷 ∈ 𝑅𝑁 (com N registros) e uma duração total 𝑻𝒕𝒐𝒕 o range de períodos

próprios 𝑻𝒑 da estrutura para os quais a Transforma Cosseno Discreta (DCT II) haverá de ser

confiável enquanto a levar em conta amplificações associadas a efeitos de amplificação será:

7 𝜹𝒕 < 𝑻𝒑 <

𝑁 𝜹𝒕

10

(12)

Para o caso específico de 𝜹𝒕 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒔 :

1,75 𝑠 < 𝑻𝒑 <

𝑁 (𝑠)

40

(13)

10

Considerando o caso de prédios elevados, e ponderando que os mais arrojadas entre eles

dificilmente possuem período fundamental além dos 10s, o critério de resolução por

proximidade dos períodos dos harmônicos ao período fundamental implicaria sempre a

necessidade de uma medição de duração 𝑻𝒕𝒐𝒕 não menor que 100 s independente do 𝜹𝒕

adotado.

Ou seja, para 𝜹𝒕 =0,25 s a amostra mínima a ser considerada confiável enquanto à resolução

na proximidade do período fundamental será de dimensão maior que 400.

Nas hipóteses de prédios com modos próprios relevante com períodos na faixa [1,75 s ; 10 s] e

usando dimensões de registros de potencias de 2 para intervalos entre registros 𝜹𝒕 =0,25 s

teremos que o menor 𝑁 aceitável será 512.

Observe-se que harmônicos cujos períodos sejam menores que 6 𝜹𝒕 aportarão informação de

baixa resolução e não adiantaria levar eles em conta. Caso eles possam ser relevantes deverá

ser adotado 𝜹𝒕 menor e consequentemente aumentar a dimensão da amostra. Mas, uma vez

fixado o 𝜹𝒕 a confiabilidade da análise de resposta não será afetada caso a expansão do DCT II

seja truncada em K=N/3.

Por outra parte, uma vez fixado 𝜹𝒕 o incremento de 𝑁 permite estender a duração da medição

e eventualmente capturar efeitos extremos que estavam ausentes no intervalo reduzido.

Porém, isso obrigará a levar em conta maior quantidade de harmônicos incrementando de

maneira considerável o esforço computacional na obtenção dos componentes harmônicos e

especialmente na posterior análise da resposta. Uma estratégia conveniente será conservar a

dimensão N=512 particionando com solape o domínio dos registros em sequencias de 512

leituras.

As possíveis dimensões dos registros como potencias de 2 e os parâmetros de quantidade

mínima de harmônicos a ser considerada em cada caso estão apresentadas na tabela da

Figura 3.

11

N=2n Duração da amostra em

segundos para 𝛿𝑡 = 0,25𝑠

Quantidade K mínima de

harmônicos com

resolução confiável

(independente de t)

Harmônico para o qual se

atinge o entorno de

T=10s para t=0,25s

Resolução em segundos

para o entorno de T= 10s

para t=0,25s

512 128 171 25 0,39

1024 256 342 51 0,195

2048 512 683 102 0,097

4096 1024 1366 204 0,048

8192 2048 2731 409 0,024

16384 4096 5462 819 0,012

Figura 3 - Parâmetros associados às diferentes dimensões de registros para incremental 𝛿𝑡 =0,25s .

12

4. Generalização da Transformada Cosseno para excitações

simultâneas.

O presente trabalho visa abordar e explorar o uso do DCT na análise estrutural mediante a

obtenção das componentes harmônicas 𝐶𝑖𝑘 relevantes de um sinal discreto genérico 𝑷𝒊 que

representa uma história de forças generalizadas.

𝑷𝒊 = [ 𝑃𝑖1 ; 𝑃𝑖2; … ; 𝑃𝑖𝑗 … ; 𝑃𝑖𝑁]

(14)

O truncamento leva a que seja relevante levar em conta somente 𝐾 + 1 componentes para

cada vetor 𝑷𝒊 . Ou seja 𝑘 < 𝑁/3 = 𝐾 .

Dai que a cada vetor 𝑷𝒊 corresponderá um vetor espectral 𝑪𝒊 :

𝑪𝒊 = [𝐶𝑖0; 𝐶𝑖1 ; … ; 𝐶𝑖𝑘;…𝐶𝑖𝐾] (15)

Definiremos ∆∗̂ a matriz [K+1 xN] de K+1 fileiras :

∆∗̂=

[ ∆01

∗ … . ∆0𝑗∗ … . ∆0𝑁

∗

∆11∗ … . ∆1𝑗

∗ ⋯ ∆1𝑁∗

⋮ ⋱ ⋮∆𝐾1

∗ … . ∆𝐾𝑗∗ ⋯ ∆𝐾𝑁

∗]

; ∆0𝑗∗ =

1

𝑁 ; ∆𝑘𝑗

∗ = 2

𝑁 cos (𝒌 ∙

(2𝑗−1)∙𝜋

2𝑁 )

(16)

O vetor 𝑪𝒊 𝑡 pode ser obtido mediante o produto matricial:

𝑪𝒊 𝑡 = ∆∗̂ 𝑷𝒊

𝑡 (17)

A correspondência entre os vetores 𝑷𝒊𝑡 𝑒 𝑪𝒊

𝑡 é uma aplicação linear com domínio 𝑅𝑁 e

condomínio 𝑅𝐾+1 . A matriz dessa aplicação é ∆∗̂.

Em geral teremos Q sinais atuando simultaneamente e com registros discretos

correlacionados.

𝑷�̂� é a matriz excitação (input da análise) [NxQ] cujas colunas são os Q vetores 𝑷𝒊𝑡 .

𝑪�̂� é a matriz espectral [(K+1)xQ] cujas colunas são os Q vetores 𝑪𝒊 𝑡.

A correspondência entre as matrizes 𝑷�̂� e 𝑪�̂� é uma aplicação linear com domínio no espaço

das matrizes [NxQ] e condomínio no espaço das matrizes [(K+1)xQ]. A matriz dessa aplicação

será também ∆∗̂.

13

𝑪�̂� = ∆∗̂ 𝑷�̂� (18)

Sempre que adotemos N como potencia de 2 poderá se aplicar algoritmos FFT para obter as

matrizes espectrais de maneira mais rápida.

A coluna 𝒊 da matriz 𝑪�̂� conterá as componentes espectrais associadas ao sinal 𝑷𝒊

𝑪𝒊𝒕 ̂ = [

𝐶𝑖0

𝐶𝑖1...

𝐶𝑖𝐾

]

(19)

Esses coeficientes permitirão expressar o sinal como:

𝑷𝒊 = 𝐶𝑖0 𝑫𝟎 + 𝐶𝑖1 𝑫𝟏 … .+𝐶𝑖𝑘 𝑫𝒌 + ⋯+ 𝐶𝑖𝐾 𝑫𝑲 (20)

Deve ser destacado que os vetores 𝑫𝒌 serão os mesmos para todo 𝑖.

𝑫𝒌 = [cos (𝒌 ∙1 ∙ 𝜋

2𝑁 ); cos (𝒌 ∙

3 ∙ 𝜋

2𝑁 );… . ; cos (𝒌 ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 );…… ; cos (𝒌 ∙

(2𝑵 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁 )]

(21)

𝑘 ∙

(2𝑗 − 1) ∙ 𝜋

2𝑁= (2 (𝑗 − 1/2) 𝛿𝑡 ∙ 𝜋)/(2𝑁𝛿𝑡/𝑘) =

2𝜋 (𝑗 − 1/2) 𝑑𝑡

𝑇𝑘

(22)

Tomando a variável temporal como: 𝑡 = (𝑗 − 1/2) 𝛿𝑡 , associaremos ao vetor 𝑫𝒌 a função no

domínio do tempo:

𝑫𝒌 (𝒕) = 𝒄𝒐𝒔

𝟐 𝝅

𝑇𝑘𝒕

(23)

Consequentemente associaremos ao sinal a função no domínio do tempo:

𝑃𝑖(𝑡) = 𝐶𝑖0 + 𝐶𝑖1 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝝅

𝑇1𝒕 + ⋯ .+𝐶𝑖𝑘 𝒄𝒐𝒔

𝟐 𝝅

𝑇𝑘𝒕 + ⋯+ 𝐶𝑖𝐾 𝒄𝒐𝒔

𝟐 𝝅

𝑇𝐾𝒕 ; 𝑻𝒌 =

𝟐𝑻𝒕𝒐𝒕

𝒌

𝑃𝑖(𝑡) = 𝐶𝑖0 + 𝐶𝑖1 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟏𝒕 + ⋯ .+𝐶𝑖𝑘 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒌𝒕 + ⋯+ 𝐶𝑖𝐾 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝑲𝒕 ; 𝝎𝒌 =𝒌 𝝅

𝑻𝒕𝒐𝒕

(24)

14

A expressão global das excitações simultâneas será:

𝑃(𝑡) = �̂�. 𝑆(𝑡)

(25)

[ 𝑃1(𝑡)

𝑃2(𝑡)…

𝑃𝑖(𝑡)……

𝑃𝑄(𝑡)]

=

[ 𝐶10 𝐶11….𝐶1𝑘….𝐶1𝐾

𝐶20 𝐶21….𝐶2𝑘….𝐶2𝐾

…𝐶𝑖0 𝐶𝑖1….𝐶𝑖𝑘….𝐶𝑖𝐾

……

𝐶𝑄0 𝐶𝑄1….𝐶𝑄𝑘….𝐶𝑄𝐾 ]

[

1𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡

…𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑘𝑡…𝑐𝑜𝑠 𝜔𝐾𝑡]

(26)

É importante ressaltar que se mudarmos o vetor de excitação (outro estado de carga) implicará

a necessidade de obter novamente a matriz espectral �̂� , mas o vetor 𝑆(𝑡) será invariante, não

somente para a estrutura, será o mesmo para qualquer caso no qual se escolha o mesmo 𝐾 e

𝑻𝒕𝒐𝒕.

15

5. Aplicação da Transformada Cosseno (DCT) para a análise

de resposta de estruturas e obtenção de forças estáticas

equivalentes.

Assumimos que as excitações escalares 𝑷𝒊 conformam a ação total à qual está submetida a

estrutura.

Submetendo por separado cada uma das ações obteremos as histórias de resposta induzidas

por cada ação e depois será possível superpor as respostas das ações individuais para obter a

resposta total de todas as ações que atuam simultaneamente.

Até agora o estudo se limitou a considerar os sinais como magnitudes escalares. Sem perder

generalidade, assumiremos que cada ação 𝑷𝒊 está associada à magnitude de uma força

generalizada aplicada a um grau de liberdade da estrutura.

Poderá haver graus de liberdade para os quais nenhuma ação esteja atuando. Chamando Q’

aos graus de liberdade da estrutura afirmamos que 𝑄’ ≥ 𝑄

Seja �⃑⃑� 𝒊 o vetor unitário associado ao grau de liberdade 𝒊 .

Para cada nó da estrutura teremos até 6 graus de liberdade (3 deslocamentos paralelos aos

eixos cartesianos e 3 rotações ao redor dos mesmos) . Na maioria dos casos podemos reduzir

a quantidade de graus de liberdade a serem considerados.

Sendo que se trata de forças generalizadas, podemos definir a história de forças associada à

ação 𝑷𝒊 como:

𝑭𝒊(𝒕) = 𝑷𝒊(𝒕)�⃑⃑� 𝒊 (27)

A História de solicitações à qual estará submetida a estrutura será:

𝑭(𝒕) = ∑𝑷𝒊(𝒕)�⃑⃑� 𝒊

𝑸

𝒊=𝟏

(28)

A ação associada ao grau de liberdade 𝑖 será:

𝑷𝒊(𝒕)�⃑⃑� 𝒊 = 𝐶𝑖0 [ 𝟏 ∙ �⃑⃑� 𝒊] + 𝐶𝑖1 [( 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟏𝒕)�⃑⃑� 𝒊]… . +𝐶𝑖𝑘 [(𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒌𝒕)�⃑⃑� 𝒊] + ⋯+ 𝐶𝑖𝐾 [(𝒄𝒐𝒔 𝝎𝑲𝒕)�⃑⃑� 𝒊] (29)

16

Para cada grau de liberdade ao qual está aplicada uma excitação poderíamos achar as (K+1)

histórias de resposta de deslocamentos:

𝒗𝒊𝟎(𝒕) = 𝒗[𝟏 ∙ �⃑⃑� 𝒊] ; 𝒗𝒊𝟏(𝒕) = 𝒗[( 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟏𝒕)�⃑⃑� 𝒊]; … ; 𝒗𝒊𝒌(𝒕) = 𝒗[( 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒌𝒕)�⃑⃑� 𝒊];

… ;𝒗𝒊𝑲(𝒕) = 𝒗[( 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒌𝒕)�⃑⃑� 𝒊]

(30)

A história da resposta total será combinação linear:

𝒗(𝒕) = ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑘

𝑘=𝐾

𝑘=0

𝑖=𝑄

𝑖=1

𝒗𝒊𝒌(𝒕) (31)

Assumindo a hipótese que a estrutura satisfaz as condições de Rayleigh. Daí que

podemos afirmar que o modelo analítico terá P modos clássicos de vibração

relevantes:

∅1 ; ∅2 ; …; ∅𝑝 ; …; ∅𝑃

(32)

Os autovalores associados aos modos serão respectivamente:

𝜔𝑛12 ;𝜔𝑛2

2 ; …;𝜔𝑛𝑝2 ; …; 𝜔𝑛𝑃

2 (33)

A equação do movimento em coordenadas canônicas será:

𝑴�̈�(𝑡) + 𝑪�̇�(𝑡) + 𝑲𝒗(𝑡) = 𝑭(𝑡) (34)

𝑴 = matriz de massa ; 𝑪 = matriz de amortecimento e 𝑲 = matriz de rigidez.

(matrizes de dimensões [ Q’x Q’] )

A partir das hipóteses de Rayleigh e assumindo que a quantidade de modos

adotados é suficiente para os propósitos da análise, podemos aproximar a

história de deslocamentos de acordo à projeção no subespaço definido pelos P

modos de vibração considerados:

𝒗(𝑡)~ 𝑌1(𝑡)∅𝟏 …+ 𝑌𝑝(𝑡)∅𝒑 + ….+𝑌𝑃(𝑡)∅𝑷

(35)

17

Em particular para 𝑭 = (𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒌𝒕)�⃑⃑� 𝒊 a equação do movimento é a de uma excitação

harmônica:

𝑴𝒗 ̈𝒊𝒌(𝑡) + 𝑪𝒗𝒊𝒌̇ (𝑡) + 𝑲𝒗𝒊𝒌(𝑡) = (𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒌𝒕)�⃑⃑� 𝒊

(36)

𝒗𝒊𝒌(𝒕)~ 𝑌1𝑖𝑘(𝑡)∅𝟏 …+ 𝑌𝑝𝑖𝑘(𝑡)∅𝒑 + ….+𝑌𝑃𝑖𝑘(𝑡)∅𝑷 = ∑ 𝑌𝑝𝑖𝑘(𝑡)∅𝒑 𝒑=𝑷𝒑=𝟏

(37)

𝑌𝑝𝑖𝑘(𝑡) = 1

√ ( 1 −𝜔𝑘

2

𝜔𝑝2)

2 + (2𝜔𝑘 𝜔𝒑

𝜉𝒑 )𝟐

∅𝑝𝑡 �⃑⃑� 𝒊

𝜔𝑝2∅𝑝

𝑡 𝑴∅𝑝

cos [𝜔𝑘 𝑡 + 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔

(

2𝜔𝑘 𝜔𝒑

𝜉𝒑

1 −𝜔𝑘

2

𝜔𝑝2

)

]

(38)

𝜉𝒑 = taxa de amortecimento modal

Definindo:

𝐾𝑝 = 𝜔𝑝2∅𝑝

𝑡 𝑴∅𝑝 = Rigidez modal do modo p

𝐿𝑖 𝑝 = ∅𝑝𝑡 �⃑⃑� 𝒊 = Produto escalar dos vetores ∅𝑝 ; �⃑⃑� 𝒊

𝐴𝑘𝑝 =1

√ ( 1−𝜔𝑘

2

𝜔𝑝2)2 + (2

𝜔𝑘 𝜔𝒑

𝜉𝒑 )𝟐 = amplificação no modo 𝑝 associada à frequência

𝜔𝑘 .

𝜑𝑘𝑝 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (2𝜔𝑘 𝜔𝒑

𝜉𝒑

1−𝜔𝑘

2

𝜔𝑝2

) = fase associada ao modo 𝑝 para a frequência 𝜔𝑘 .

𝑌𝑝𝑖𝑘(𝑡) = 𝐴𝑘𝑝

𝐿𝑖 𝑝

𝐾𝑝 cos [𝜔𝑘 𝑡 + 𝜑𝑘𝑝]

(39)

Substituindo na expressão da História de resposta global:

𝒗(𝒕) = ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑘

𝑘=𝐾

𝑘=0

𝑖=𝑄

𝑖=1

∑ 𝐴𝑘𝑝 𝐿𝑖 𝑝

𝐾𝑝 cos [𝜔𝑘 𝑡 + 𝜑𝑘𝑝] ∅𝒑

𝒑=𝑷

𝒑=𝟏

(40)

18

Observe-se que:

𝒗(𝒕) = ∑

∅𝒑

𝐾𝑝 {∑ 𝐿𝑖 𝑝

𝑖=𝑄

𝑖=1

∑ 𝐶𝑖𝑘

𝑘=𝐾

𝑘=0

𝐴𝑘𝑝 cos[𝜔𝑘 𝑡 + 𝜑𝑘𝑝]}

𝒑=𝑷

𝒑=𝟏

(41)

Dai que:

𝑌𝑝(𝑡) =

𝟏

𝐾𝑝 {∑ 𝐿𝑖 𝑝

𝑖=𝑄

𝑖=1

∑ 𝐶𝑖𝑘

𝑘=𝐾

𝑘=0

𝐴𝑘𝑝 cos[𝜔𝑘 𝑡 + 𝜑𝑘𝑝]} (42)

Um dos alvos principais da análise estrutural é deduzir parâmetros que permitam o

dimensionamento, por isso será de interesse analisar esforços extremos na

estrutura durante a oscilação.

Cada estado de deformação implica um estado de esforços internos dos

elementos constituintes da estrutura. Ou seja, as histórias de deslocamentos

contem implicitamente toda essa informação que o engenheiro precisa, mas numa

linguagem que não é a habitual na “mesa de trabalho” do escritório de projetos.

É de praxe na análise de projeto estrutural gerar um conjunto de estados de

cargas estáticas básicas e um conjunto de combinações de esses estados de

carga para estudar as solicitações internas “estáticas” induzidas (sem perder

generalidade forças axiais, cortantes e momentos). A estratégia do

dimensionamento estrutural estabelece como alvo resistente determinar quais

serão as dimensões ótimas dos elementos estruturais para que os limites

resistentes não sejam atingidos quando as solicitações são afetados pelos

coeficientes de magnificação exigidos pelas normas

Forças estáticas equivalentes associadas a um estado de deformação são aquelas

forças estáticas que quando aplicadas (estaticamente) provocam uma deformação

igual à deformação instantânea crítica durante um processo dinâmico. Trata-se

de uma ficção, mas uma simplificação extremamente útil e pragmática para unificar

estados de carga de natureza estática (ou quase estática) com efeitos de cargas

que variam no tempo.

19

Lembre-se que é ideia central da análise modal expressar os estados de

deformação da estrutura como combinação lineal das formas modais (vetores

constantes) e limitar a mudança do tempo aos coeficientes dessa combinação

lineal (que serão funções no domínio do tempo). Dai que a estratégia poderá ser a

de associar a cada forma modal um estado de carga estático igual a aquele

sistema de forças estáticas que provoca “estaticamente” cada deformada modal.

Uma vez feito isso, as combinações de carga relevantes serão os associados aos

coeficientes de combinação das formas modais na história de movimento

(deformação) da estrutura.

A força estática equivalente associada à deformação modal ∅𝒑 é:

𝑃∅𝒑 = 𝜔𝑝

2 𝑴∅𝑝

(43)

Para um instante 𝑡𝑗 :

𝒗(𝑡𝑗 )~ 𝑌1(𝑡𝑗 )∅𝟏 …+ 𝑌𝑝(𝑡𝑗 )∅𝒑 + ….+𝑌𝑃(𝑡𝑗 )∅𝑷

(44)

Dai que para o instante 𝑡𝑗 a força generalizada estática equivalente será:

𝑷𝒔𝒕,𝒆𝒒(𝑡𝑗 )~ 𝑌1(𝑡𝑗 )𝜔12 𝑴∅1 …+ 𝑌𝑝(𝑡𝑗 )𝜔𝑝

2 𝑴∅𝑝 + ….+𝑌𝑃(𝑡𝑗 )𝜔𝑝2 𝑴∅𝑝 (45)