ANÁLISE DE TENSÃO PARA SEÇÃO COM VÁRIOS MATERIAIS (SEÇÃO COMPOSTA)1

Kássia Karla Rodrigues Oliveira2

André Sarkis Muller3

RESUMO

Este trabalho procurou apresentar a viabilidade do uso de vigas compostas de variados

materiais, a visão geral de seus comportamentos e suas vantagens relativamente ligadas às

suas características mecânicas, tanto a sua resistência quanto na questão econômica. Essa

ideia teve como base, também, as amostras de exemplos pelo método da Seção Transformada,

que avalia a flexão estática e estuda os conectores presentes, e o método da Rigidez

Equivalente, que estuda as tensões em vários pontos e, portanto, funcionam como ferramentas

válidas para análise de vigas mistas.

PALAVRAS-CHAVE: Vigas Compostas. Método. Flexão estática. Tensões.

1 INTRODUÇÃO

O surgimento das estruturas mistas está estritamente relacionado ao

desenvolvimento econômico, técnico e científico. Com a intenção de aproveitamento de

propriedades específicas de cada material, tanto no quesito estrutural, quanto no quesito

construtivo, a combinação de perfis metálicos com concreto tornou-se prática comum nos

países europeus e cresce no Brasil de modo modesto (ALVA e MALITE, 2005; NARDIN,

TOLEDO e SOUZA, 2010).

Cada vez com mais frequências, os projetos de determinadas obras são procuradas

com pontos importantes de rapidez no momento de execução. Essas estruturas têm a

capacidade de anteciparem o andamento de uma obra, vantagens de um melhor

aproveitamento desses materiais e, portanto, as construções em sistema misto são

1 Paper apresentado à disciplina Resistência dos Materiais II, da Unidade de Ensino Superior Dom Bosco - UNDB.2 Aluna do 5° Período do curso de Engenharia Civil, da UNDB.3 Professor orientador.

intensamente usáveis em edifícios e pontes tanto no exterior assim como estão evolucionando

no mercado brasileiro.

Os sistemas estruturais mistos facilitam no processo construtivo e,

consequentemente, amenizam os desperdícios. Ainda, possui inúmeras vantagens como: a

utilização de médios e grandes vãos, uma melhor estabilidade, o uso de formas, possui uma

resistência das lajes de concreto necessárias, entre outros. Logo, é um meio de alternativa

tanto para superestruturas quanto para lajes e vigas no qual a interação, por exemplo, de aço-

concreto se interagem pela força de adesão dos materiais e, assim, mostram-se mais

eficientes.

Nesse sentindo, o presente trabalho tem como objetivo principal apresentar

conhecimentos mais profundos sobre o comportamento estrutural com materiais mistos, além

do seu histórico, apresentar modelos de análises de seções mistas com respectivos exemplos

demostrados, extraído de outros trabalhos encontrados e com ajuda de autores conhecidos do

assunto para um melhor embasamento sobre o tema.

2 HISTÓRICO SOBRE VIGAS MISTAS

As vigas mistas são resultados da combinação de uma viga de aço com uma laje

de concreto, no qual é preciso de uma ligação por meio de conectores mecânicos com o

objetivo de que tanto a viga quanto a laje se relacionem. Essa interação permite que os dois

materiais se deformem para se tornar um só elemento e gerar melhorias estruturais.

No contexto mundial, estudos referentes aos sistemas compostos tiveram seu

início antes da primeira grande guerra, na Inglaterra, com base em uma série de ensaios para

pisos. Entre 1922 e 1939, foram construídos edifícios e pontes que adotavam o sistema de

vigas compostas. No Brasil, por sua vez, na década de 50 a construção de elementos mistos se

ateve apenas a alguns edifícios e mais em pontes pequenas. (MALITE, 1990).

. Embora, ainda falte muita mão de obra especializada e conhecimentos das

vantagens desse processo no Brasil, esse sistema torna-se uma nova forma de utilização aceita

e recomendável para lajes, vigas e pilares, pois tem vantagens quanto à rigidez, que é

resultado da mistura de aço e concreto, e acrescida resistência. Alva e Malite (2005), afirmam

que as construções com materiais mistos tiveram maior procura e execução no país com o

aumento da produção do aço estrutural.

As vigas compostas, por exemplo, que é a combinação de materiais distintos, tem

o perfil mais utilizado do tipo “I” nas construções de edifícios como viga de aço. Já as lajes de

concreto são moldadas in loco com forma de aço agrupada. Dessa junção de aço e concreto é

proporcionado, também, às vantagens do material que possibilita a redução da altura gerando

uma economia no uso do material.

Logo, a construção em sistemas compostos se torna competitiva no mercado para

estruturas de vãos elevados, locais de difíceis acessos e solos de baixa capacidade resistente,

pois tem características na rapidez de execução e pela redução do peso total da estrutura

quando comparado a outros sistemas de concretos.

Figura I: Seções mistas em vigas – Fonte: UERJ

3 O MÉTODO DE ANÁLISE DA SEÇÃO TRANSFORMADA

Sabe-se que a fórmula da flexão é aplicada apenas quando a flexão acontece em

torno dos eixos principais de inércia para a seção transversal nas vigas de material

homogêneo. Assim, o método de análise da seção transformada foi desenvolvido a fim de

modificar o material misto (seção transversal) em um único elemento e, portanto, será

possível ser usada à fórmula da flexão para estudo da tensão.

Para o cálculo de uma viga mista é necessário, primeiro, tornar a seção

homogeneizada, escolhendo-se apenas o módulo de deformação de um material como

referência. A área total da seção transversal continuará plana após uma flexão, caso o

momento fletor seja aplicado a essa viga e, consequentemente, as alterações normais variarão

linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais distante desse eixo. Ou seja, a

seção transversal da viga composta em estudo será transformada em uma seção semelhante,

formada por um único material.

A declaração de Timon-shenko & Gere (1960), garante que para a seção

transformada seja igual à seção real, é necessário que duas hipóteses aconteçam. A primeira é

que a linha neutra deve está na posição tanto da seção transformada quanto da real, ou seja, as

duas devem estar na mesma posição. A segunda hipótese é quando se trata da capacidade de

resistir ao momento fletor de serviço que precisa ser a mesma na seção transformada e real.

Define-se fator de transformação (n), ou razão modular, o quociente entre o

módulo de deformação do material (E1) e o módulo de deformação do material de referência

(E2), encaminhada da necessidade de determinar a largura considerando a força que age em

uma área da viga. Esse fator transformação é usável nesse método de seção no qual faz

aumentar a base do material mais rígido ou reduz do material mais frágil.

n=E1E2

Portanto, nota-se, que a viga acabara por se tornar em um só material, a sua

distribuição de tensão normal se torna linear depois do processo de transformação. Por

conseguinte, a fórmula da flexão pode ser ajustada nesse tipo de viga para determinar a tensão

em cada ponto da estrutura transformada, com um detalhe a ser observado que as larguras dos

outros materiais (diferente do material de referência) têm que ser multiplicadas pelas suas

respectivas razões modulares. Além disso, é possível determinar, também, o eixo neutro e o

momento de inércia nessa área.

3.1 Exemplo

Uma viga de abeto branco é reforçada com tiras de aço A-36 nas partes superior e

inferior. Determinar a tensão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for

submetida a um momento fletor M = 8 kip.pés. Desenhar a distribuição de tensão que atua na

seção. Sabe que Emad = Ew = 1,40 (10³) e o Eaço = Est = 29,0 (10³).

Para solucionar o problema, primeiramente, precisa saber o fator de multiplicação

(n) entre os dois materiais.

n=Emad

Eaço=

1,40 (103)29,0 (103)

=0,048276

baço=nbmad=0,048276 (3 )=0,14483∈¿

Obteve-se, também, a espessura necessária caso fosse um só material. Nesse caso,

correspondente a madeira se fosse aço.

Para determinar a tensão de flexão se tem conhecimento que é obtido pelo

teorema do eixo paralelo ou, para facilitar, pode usar a fórmula conhecida do retângulo inteiro

subtraindo o retângulo vazio.

σ=−MyI

Nesse caso, ficaria:

INA=112

(3 ) (53 )− 112

(3−0,14483 ) ( 43 )=16,0224¿4

E, por fim, é possível determinar a tensão normal máxima por flexão na viga

transformada para um só material, nesse caso, para aço.

σ (max )aço=McI

=8 (12)(2,5)

16,0224=15,0ksi

Para junção y=2 este valor seria:

σ (B )aço=MyI

=8(12)(2)16,0224

=12,0 ksi

E para obter a tensão real na madeira para y=2, basta multiplicar pelo fator n.

σ (max )mad=nMyI

=0,048276 [ 8(12)(2)16,0224 ]=0,578ksi

4 O MÉTODO DE ANÁLISE DA RIGIDIZ EQUIVALENTE

A fórmula conhecida da tensão cisalhante em uma seção ( τ=V QT I

) não pode ser

aproveitada diretamente para determinar as tensões de cisalhamento em vigas mistas. Nesses

casos deve-se considerar uma viga composta carregada transversalmente para o estudo e,

ainda, notar somente as forças axiais atuando nas seções transversais do comprimento dx da

viga estuda. Assim, têm-se os dois anexos abaixo:

Viga comporta carregada transversalmente.

Tensões atuando num elemento da viga composta.

Notam-se as imposições do equilíbrio de forças na direção x, no qual se tem a

equação do somatório das forças nesse sentido.

∑ Fx=0 ; ∫A '

❑

σ dA−∫A'

❑

σ 'dA+τ ( t . dx )=0

Onde σ é a tensão normal atuando na seção transversal esquerda do elemento, σ ' é

a tensão normal atuando do lado direito na seção, t é a largura da seção no ponto onde se

deseja determinar a tensão cisalhante e A’ é área acima do ponto onde se deseja determinar a

tensão de cisalhamento. Agora, necessita fazer a substituição da equação ( I=∫A

❑

y ²dA ¿¿ que

determina a tensão de flexão nas vigas mistas na equação do equilíbrio de forças.

E, portanto, tem-se:

∫A '

❑

−Ei ¿¿

Depois de considerar que o momento dM e a rigidez equivalente <EI> é constante

na seção e simplificando a equação acima, basta isolar a variável tensão de cisalhamento da

equação:

τ=−dMdx

1¿EI >t∫A'

❑

Ei y dA

Tendo conhecimento da parte da última equação é dMdx

=−V e considerando que o

primeiro momento da área A’ seja igual a Q=∫A '

❑

Ei y dA = ∑ Ei yi Ai , tem-se:

τ= VQ¿EI >t

Onde se nomeia o τ é a tensão cisalhante em y’ , V é o cortante na seção

analisada, Q é o primeiro momento de área, <EI> é a rigidez equivalente e t é a largura da

vida na mesma posição y’. Na equação de Q, Ei é o módulo de elasticidade do material i, Yi é

a posição do centroide da área do material i e a Ai é a área do material i. Logo, a rigidez

equivalente é igual a ∑ Ei I i.

4.1 Exemplo

Se o momento máximo no ski abaixo é 77,78 N.m, determine as tensões de flexão

no aço e na madeira se a seção transversal do ski é como apresentando abaixo. Tome E aço =

200 GPa e Emad = 12 GPa.

Calcula-se a rigidez equivalente <EI>:

¿ EI>¿2Eaço [ 100.23

12+2 .100 .(15

2+ 2

2 )2]+Emad [ 100 .153

12 ]

¿ EI>¿2.200. 10³[ 100 .23

12+2.100.( 15

2+ 2

2 )2]+12 .10³[ 100 .153

12 ]¿ EI>¿6,14x109 N.mm²

Para o cálculo das tensões em cada ponto;

No ponto A (aço)

σ A=−Eaço M

¿EI>¿ y A=−200.103 77,78.103 .9,56,14.109

, σ A=−24,05Mpa¿

No ponto B (aço)

σ B=−Eaço M

¿ EI>¿ yB=−200.103 77,78.103 .7,56,14.109

, σB=−18,99Mpa¿

No ponto C (aço)

σ C=−Emad M

¿EI >¿ yC=−12.103 77,78.103.7,56,14.109

, σC=−1,14Mpa ¿

5 CONCLUSÃO

As estruturas mistas, principalmente de aço e concreto, apresentam soluções

bastante competitivas no mercado brasileiro para edifícios, pontes e entre outros meios que

são baseadas nessas estruturas. O emprego do sistema misto no Brasil, ainda vem se

encontrando relativamente, mas já tem crescido de maneira gradual no comercio da

construção civil brasileira.

O objetivo principal do estudo realizado foi aprofundar os conhecimentos no

comportamento desse tipo de estrutura que envolve as vigas mistas de diversos materiais

comuns da construção e, ainda, mostrar que elas são alternativas quando envolvem o consumo

de matérias e quanto sua resistência relacionando as dimensões para diferentes tamanhos de

obras.

Essas estruturas se tornam atraentes para edifícios de múltiplos andares, com

necessidade de grandes ou médios vãos e se quer uma execução mais rápida. Logo, aos

poucos, acaba por se tornar uma crescente demanda por esse tipo de material que pode

influenciar no desenvolvimento econômico, as perspectivas de melhorias e agilidade para

diversas e grandiosas obras pelo Brasil, visando sua eficiência construtiva, custos, seus

aproveitamentos e prazos de execução.

REFERÊNCIAS

ALVA, G. M. S.; MALITE, M. Cadernos de Engenharia de Estruturas. São Carlos, v. 7, n.

25, p. 51-84, 2005.

ALVA, G. M. S.; MALITE, M. Comportamento estrutural e dimensionamento de

elementos mistos aço-concreto – Caderno de Engenharia de Estruturas. 2005. 34 f. São

Carlos.

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

LABCIV. Estruturas mistas aço-concreto. Rio de Janeiro. 59 p. Disponível em: <

http://www.labciv.eng.uerj.br/pgeciv/files/7_vigas_mistas.pdf>. Acesso em: 10 out. 2014.

MALITE, M. (1990). Sobre o cálculo de vigas mistas aço-concreto: ênfase em edifícios.

São Carlos. 144p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos -

Universidade de São Paulo.

MARCONCIN, Liliane do Rocio. Modelagem numérica de vigas mistas aço-concreto.

Curitiba: Universidade Federal do Paraná. 2008. 155 p. Dissertação – Pós Graduação em

Construção Civil. Paraná. 2008.

NARDIN, S.; TOLEDO, G. N.; SOUZA, A. S. C. Viabilidade da utilização de pilares

mistos parcialmente revestidos em edifícios de múltiplos pavimentos: estudo de caso. In:

CONSTRUMETAL 2010 – CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO

2010, Nº 8.

RUSSEL, Johnston Jr; MAZUREK, David F.; BEER, Ferdinand P.; DEWOLF, John T.

Mecânica dos materiais. McGrawHill. New York: NY, 2008. p. 229-260.