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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIAS APLICADAS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Misael Rodrigues da Silva
Classificação de Cônicas e Quádricas
Rio Tinto – PB 2018
2
Misael Rodrigues da Silva
Classificação de Cônicas e Quádricas
Trabalho Monográfico apresentado à Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Hélio Pires de Almeida
Rio Tinto – PB 2018
4
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço, ao maior matemático de todos os tempos, por ter
me dado à capacidade de elaborar e apresentar esse trabalho. A toda minha família,
por sempre ter me apoiado nessa jornada de estudos. Ao meu orientador Hélio Pires
de Almeida por todo o estímulo e colaboração nessa jornada, como também aos
professores da banca, Jamilson Ramos Campos e Marcos André José Valcácio que
sempre me incentivaram e me apoiaram no estudo de matemática. Aos meus
ilustres colegas de curso, por todas as experiências vividas, pelos incentivos, pelos
momentos bons e também pelo apoio nos momentos ruins.
5
A matemática aplicada necessita da
matemática pura tanto como o formigueiro
necessita das formigas.
(Paul Halmos)
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RESUMO
Neste trabalho realizamos um estudo de formas bilineares e formas quadráticas para classificar cônicas e quádricas por suas equações, quando estas curvas e superfícies têm eixos inclinados em relação aos eixos cartesianos. Nestes casos, quando essas curvas e superfícies são apresentadas desta forma, a sua classificação não é tão simples. Por esta razão, apresentamos as definições de formas bilineares e formas quadráticas, bem como alguns exemplos e resultados importantes que nos ajudarão no processo de classificação. Nesse sentido, apresentamos as equações de cada curva e superfície que estamos interessados em classificar e apresentamos algumas aplicações que podem ser feitas com elas em nosso cotidiano. Então, a partir do estudo das formas quadráticas, mostramos que as equações das cônicas e das quádricas envolvem uma forma quadrática, uma forma linear e um termo constante. Desta forma, estas equações podem ser colocadas em forma matricial, onde uma das matrizes envolvidas é a matriz da forma quadrática, que pode sempre ser diagonalizável. Uma base ortonormal de autovetores dessa matriz da forma quadrática nos leva à mudança de coordenadas que desejamos para a identificação da cônica ou da quádrica em questão, uma vez que a equação com um novo referencial faz com que facilite a identificação.
Palavras-chave: Formas quadráticas; Cônicas; Quádricas; Classificação de cônicas e quádricas.
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ABSTRACT
In this paper we perform a study of bilinear forms and quadratic forms in order to classify conic and quadric by their equations, when these curves and surfaces have inclined axes in relation to the cartesian axes. In this cases, when these curves and surfaces are presented in this way their classification does not it's so simple. For this reason, we present the definitions of bilinear forms and quadratic forms, as well as some examples and important results that will help us in the classification process. In this sense, we present the equations of each curve and surface that we are interested in classifying and we presenting applications that can be made with them in our daily life. Then, from the study of quadratic forms, we show that the conic and quadric equations involve a quadratic form, a linear form, and a constant term. In this way, these equations can be placed in matrix form, where one of the matrices involved is the matrix of the quadratic form, which can always be diagonalizable. An orthonormal basis of eigenvectors of this matrix of the quadratic form takes us to the change of coordinates that we wish for the identification of the conic or the quadric in question, since the equation with a new reference makes it easier to classify.
Keywords: Quadratic forms; Conics section; Quadric surfaces; Classification of conic and quadric.
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Seções cônicas …………………………………………………………………23
Figura 2: Elipsóide com eixo maior sobre o eixo y.……...………………..……………26
Figura 3: Hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo z ………………………………26
Figura 4: Hiperbolóide de duas folhas com eixo y como eixo de simetria …………..27
Figura 5: Parabolóide elíptico ao longo do eixo z ……………………………………...27
Figura 6: Parabolóide hiperbólico ………………………………………………………..28
Figura 7: Cone ……………………………………………………………………………..28
Figura 8: Cilindro elíptico ao longo do eixo y …………………………………...…...…29
Figura 9: Órbita de um planeta..……………………………………………………….....30
Figura 10: Retrovisor de um automóvel …………………………………...………...….31
Figura 11: Ponte suspensa .................................................................................…...31
Figura 12: Ilustração do farol de um automóvel ………………………………….…….32
Figura 13: Antena parabólica ……………………………………………………..……...32
Figura 14: Telescópio …………………………………………………………………..…33
9
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos
Significados
Produto cartesiano
, -
Matriz de B na base
Somatório
Transposta da matriz
Inversa da matriz
Matriz identidade
, - Matriz de mudança da base para a
base
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 11
CAPÍTULO 1............................................................................................................ 13
1.1 Formas bilineares ........................................................................................... 13
1.2 Formas quadráticas ........................................................................................ 18
CAPÍTULO 2............................................................................................................ 23
2.1 Cônicas ........................................................................................................... 23
2.2 Quádricas ....................................................................................................... 25
2.3 Aplicações de cônicas e quádricas ................................................................. 30
CAPÍTULO 3............................................................................................................ 34
3.1 Classificação de cônicas ................................................................................. 34
3.2 Classificação de quádricas ............................................................................. 40
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 46
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 47
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INTRODUÇÃO
Apresentaremos aqui um estudo sobre formas bilineares e sobre formas
quadráticas, com o objetivo de usarmos as formas quadráticas na classificação de
cônicas e quádricas que possuem seus eixos inclinados com relação aos eixos
cartesianos. Verificaremos ao longo de nosso trabalho que no caso em que uma
cônica ou quádrica se encontre com eixos não-paralelos aos eixos cartesianos não é
tão simples o seu reconhecimento a partir da equação cartesiana. Porém, com o
auxílio das formas quadráticas podemos realizar uma rotação de eixos, onde no
novo sistema de coordenadas, após algumas operações elementares, fica fácil o
reconhecimento da cônica ou quádrica.
Nos cursos de licenciatura o estudo de cônicas e quádricas geralmente
consideram apenas os casos em que os eixos das curvas e superfícies são
paralelos aos eixos cartesianos. Uma explicação para isso é que, nesses casos, a
equação cartesiana não possui termos mistos e por meio de operações simples na
equação geral, como completamento de quadrados, obtém-se facilmente a equação
padrão. Daí fica fácil localizar a curva no plano cartesiano ou a superfície no espaço
e também identificar todos os seus elementos. Isso facilita o estudo e o aprendizado
desse assunto. Porém, agindo assim, deixamos de lado casos importantes, por
exemplo, a hipérbole , cujo gráfico encontramos com frequência no estudo de
funções e nas disciplinas de cálculo.
Os fatos mencionados acima nos levaram a escolher o tema do nosso
trabalho. Resolvemos abordar esse assunto no intuito de dar uma contribuição para
um estudo mais geral de cônicas e quádricas.
Neste trabalho todos os espaços vetoriais considerados são reais e de
dimensão finita, mesmo que não seja dito explicitamente. Assim, algumas definições
que apresentamos são dadas considerando o corpo dos números reais, mesmo que
sejam válidas para corpos quaisquer. A razão disso é que no processo de
classificação de cônicas e quádricas usaremos apenas formas quadráticas e formas
lineares reais.
Este trabalho é composto por esta Introdução e mais quatro capítulos,
dispostos como segue.
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No capítulo 2 apresentamos um estudo sobre formas bilineares e formas
quadráticas, com o objetivo de obter os resultados que serão utilizados no capítulo
4, para identificação de cônicas e quádricas.
No capítulo 3 apresentamos as equações gerais das cônicas e quádricas e
analisamos os casos mais simples dessas curvas e superfícies, ou seja, quando
seus eixos são paralelos aos eixos coordenados e observamos que, nesse caso, a
identificação delas é bastante simples. Como forma de estimular o conhecimento
das cônicas e quádricas, apresentamos aplicações delas no nosso cotidiano e
observamos como elas modelam fenômenos na natureza.
No capítulo 4 consideramos cônicas e quádricas dadas por equações gerais e
observamos que essas equações envolvem uma forma quadrática, uma forma linear
e um termo constante. A partir daí, escrevemos a equação em forma matricial,
diagonalizamos a matriz da forma quadrática e encontramos uma base ortonormal
formada por autovetores dessa matriz. Essa base nos fornece um novo sistema de
coordenadas em relação ao qual a cônica ou a quádrica tem eixos paralelos aos
eixos coordenados, o que permite uma fácil identificação dela.
No capítulo 5 apresentamos as considerações finais do nosso trabalho.
13
CAPÍTULO 1
Neste capítulo iremos apresentar a fundamentação teórica do nosso trabalho.
Apresentaremos os conceitos e resultados sobre formas bilineares e quadráticas
que serão usados no capítulo 4. No desenvolvimento desses tópicos admitiremos o
conhecimento prévio de alguns tópicos de álgebra linear, tais como espaços
vetoriais reais de dimensão finita, matriz de mudança de base, transformações
lineares, matriz de uma transformação linear, autovalores, autovetores,
diagonalização de um operador, matriz ortogonal e operadores autoadjuntos. Os
conceitos e resultados referentes a esses assuntos que usaremos neste trabalho
podem ser encontrados em (BOLDRINI, 1980), (LEON, 1999), (STEINBRUCH;
WINTERLE, 1987), (HOFFMAN, K.; KUNZE, R, 1970) e em (COELHO; LOURENÇO,
2007).
1.1 Formas bilineares
Das funções entre espaços vetoriais, um tipo merece destaque e
desempenha papel fundamental na álgebra linear, são as transformações lineares.
Essas funções podem surgir em situações do nosso cotidiano, como no seguinte
exemplo: Suponha que um supermercado esteja vendendo feijão e arroz ao preço
de R$ 3,00 e R$ 2,00 o quilo, respectivamente. O valor a ser pago por quilos de
feijão e quilos de arroz pode ser representado pela expressão . Logo,
esse valor pode ser dado pela função
( ) .
Essa função é uma transformação linear, conforme a definição seguinte.
Definição 1.1.1: Sejam e espaços vetoriais e uma função. Diz-se que
é uma transformação linear se as condições seguintes são satisfeitas, para
quaisquer e qualquer
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( )
Note que a função no exemplo acima é, de fato, uma transformação linear e o
contradomínio de , conjunto dos números reais, é um espaço vetorial. Boldrini
14
(1980) destaca que esses tipos de transformações lineares surgem constantemente
e por isso recebem um nome especial.
Definição 1.1.2: Seja um espaço vetorial. Uma forma linear é uma transformação
linear .
Exemplo 1.1.1: A função
( )
é uma forma linear. Ela é escrita matricialmente da seguinte maneira,
* + , - *
+.
Sabemos que se e são espaços vetoriais reais então com as operações
de soma, ( ) ( ) ( ), e multiplicação por escalar,
( ), , também é um espaço vetorial real. Um tipo de função de
em que também merece destaque são as formas bilineares, que definimos
a seguir.
Definição 1.1.3: Sejam e espaços vetoriais sobre . Uma função
é chamada de forma bilinear de em se:
) ( ) ( ) ( ) para todos
) ( ) ( ) ( ) para todos
Exemplo 1.1.2: O produto usual de números reais
( ) ( )
é uma forma bilinear. De fato,
i) ( ) ( ) ( ) ( )
ii) ( ) ( ) ( ) ( )
Exemplo 1.1.3: A função dada por
(( ) ( )) é uma forma bilinear. De fato,
( ( ) ( ) ( )) (( ) ( ) ( ))
(( ) ( )) ( ) ( )
15
(( ) ( )) (( ) ( )).
A segunda propriedade é verificada de modo análogo.
Exemplo 1.1.4: A função , definida por
( ) , com ( ) e ( ) é uma forma bilinear.
De fato, sejam, ( ) ( ) e ( ), com * + Temos que,
( ) ( ) (( ) ( ))( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A segunda propriedade é verifica de modo análogo. Então, é de fato uma forma
bilinear de em .
Exemplo 1.1.5: Consideremos a matriz [
].
Podemos associar à matriz uma forma bilinear definida por
(( ) ( )) , - [
] [
]
A bilinearidade de decorre das propriedades do produto e da soma de matrizes.
De um modo geral, para toda matriz quadrada *
+, podemos
associar a uma forma bilinear , onde é definida por
(( ) ( )) , - *
+ [
]
.
Vamos ver agora que qualquer forma bilinear pode ser associada a uma
matriz.
16
Sejam um espaço vetorial e uma forma bilinear. Dada uma base
* + de , associamos a uma matriz, denotada por , - , chamada
matriz de na base , do seguinte modo:
Se e são vetores de , então
( ) ( ) ∑ ( )
, - [ ( )
( )
( ) ( )] [
].
Tomamos , - [
( )
( )
( ) ( )]. Com esta notação temos que
( ) , - , -
, - .
Exemplo 1.1.6: Seja a forma bilinear dada por
( ) , onde ( ) e ( ).
Então se * + é a base canônica de , temos
, - [
( ) ( ) ( ) ( )
]
Os elementos desta matriz são calculados da seguinte maneira:
( ) (( ) ( ))
( ) (( ) ( ))
( ) (( ) ( ))
( ) (( ) ( ))
Assim, podemos escrever a forma bilinear dada na forma matricial
( ) , - 0
1 0
1. Observe que , -
0
1.
Exemplo 1.1.7: Seja a forma bilinear definida por
(( ) ( )) . A matriz , - , onde
* + é a base canônica de , é
, - [
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
]=[
].
Observe que encontramos a matriz do Exemplo 1.1.5.
Teorema 1.1.1: Sejam um espaço vetorial, bases de V e uma
forma bilinear. Se , - for a matriz de mudança de para , então
17
, -
, - , -
, - .
Demonstração: Sejam * + e *
+ e , - a matriz mudança de
base de para .
Temos que, , - , - , - , para cada . ( )
Para teremos que,
( ) , - , -
, -
( )( )
( , - , - )
, -
( , - , - )
( ) , - (, -
) , - , -
, -
Como ( ) , - , -
, - , segue que
, - , -
, - , -
(, - ) , -
, - , -
A igualdade acima é válida para quaisquer . Portanto, , -
, - , -
, - ,
como queríamos demonstrar.
Este teorema nos mostra uma das maneiras de se encontrar a matriz
associada a uma forma bilinear, estabelecendo uma relação entre duas bases. Para
entendermos melhor como funciona na prática o teorema, façamos então um
exemplo que fará justamente a aplicação do mesmo.
Exemplo 1.1.8: Sejam e a base canônica de . Consideremos a forma
bilinear em definida por
(( ) ( ))
Temos então , - 0
1
Seja agora a outra base de tal que a matriz de mudança da base para a base
é , - 0
1. Vamos determinar a matriz , - . Pelo Teorema 1.1.1, temos que
, -
(, - ) , -
, - 0
1 0
1 0
1 0
1.
Definição 1.1.4: Uma forma bilinear é dita simétrica quando
( ) ( ) para todos .
Exemplo 1.1.9: Consideremos a forma bilinear dada por
(( ) ( )) . Vejamos que é simétrica. De fato, sejam
tais que ( ) e ( ). Temos que
( ) e ( ) ( ) ( ).
18
Observe que a matriz da forma bilinear acima com relação à base canônica é 0
1,
que é uma matriz simétrica. O teorema seguinte garante que este fato sempre
ocorre.
Teorema 1.1.2: Uma forma bilinear é simétrica se, e somente se, , -
é uma matriz simétrica para qualquer base .
Demonstração: Suponhamos que é uma forma bilinear simétrica e
seja * + uma base qualquer de . Então por definição
( ) ( ) ( )
Daí, a matriz associada a será da forma , - [
( )
( )
( ) ( )].
Observe que por ( ), ( ) ( ), . Logo, , - é uma matriz
simétrica.
Reciprocamente, suponhamos que , - [
( )
( )
( ) ( )] é uma matriz
simétrica. Então ( ) ( ) * +. Daí segue que ( )
( ) . Logo, é uma forma bilinear simétrica.
1.2 Formas quadráticas
Definição 1.2.1: Sejam um espaço vetorial e uma forma bilinear
simétrica. A função definida por ( ) ( ) é chamada forma
quadrática associada a .
Exemplo 1.2.1: Sejam a forma bilinear dada por
(( ) ( )) e a base canônica do
. Temos que , - 0
1 e é uma forma bilinear simétrica. Observe que
(( ) ( )) .
Considerando a função definida por
( ) (( ) ( )) temos que
( ) , - 0
1 0 1.
Exemplo 1.2.2: Seja a forma quadrática, dada por
( ) .
19
Note que a função pode ser expressa por ( ) , - , -
, - . Assim, ( )
, - 0
1 0 1 . Então,
.
Substituindo, temos ( ) , - 0
1 0
1.
Observe que é a forma quadrática associada à forma bilinear
( ) , - 0
1 0
1
onde , - 0
1 , - 0
1 e , -
0
1 ( a base canônica do ).
Esse exemplo ilustra uma situação particular do caso geral. Dada uma forma
quadrática definida por ( ) , é escrita
matricialmente por ( ) , - 0
1 0 1.
Exemplo 1.2.3: Considere a forma quadrática definida por
( )
Tomando a base canônica do , escrevemos a forma matricial
( ) , - [
] * +.
Este fato pode ser generalizado. Dada uma forma quadrática associada a
uma matriz [
], com a base canônica do , temos que
( ) , - [
] * + .
Definição 1.2.2: Uma matriz é dita ortogonal se é inversível e , ou seja,
.
Observe que se é ortogonal então sua transposta também é ortogonal, pois
( ) e ( ) . Portanto, a inversa de uma matriz ortogonal também é
ortogonal.
Teorema 1.2.1: Uma matriz é ortogonal se, e somente se, as colunas (as linhas)
formam uma base ortonormal.
20
Demonstração: Seja *
+ uma matriz ortogonal, temos que
*
+ *
+
[
] *
+
A igualdade acima é verdadeira pelo fato de .
Note que
, o que implica que [
] é unitário. Como
os elementos de que estão fora da diagonal principal são todos iguais a zero,
isso significa que o produto interno entre [
] e [
] é nulo quando , ou seja,
os vetores coluna de são dois a dois ortogonais. Logo, os vetores colunas formam
uma base ortonormal.
Reciprocamente, suponhamos que *
+ é uma matriz cujos vetores
coluna formam uma base ortonormal, ou seja, são unitários e ortogonais dois a dois.
Temos que *
+ *
+
[
].
Note que se os vetores coluna são unitários, então o produto interno
[
] [
]
.
Além disso, como os vetores coluna são ortogonais dois a dois, então o produto
interno entre [
] e [
] é nulo quando . Daí segue que todos os elementos de
fora da diagonal principal são nulos. Assim,
[
] *
+ e é
uma matriz ortogonal.
21
Teorema 1.2.2: Se é um espaço vetorial com produto interno e e são bases
ortonormais de , então a matriz de mudança de base , - é uma matriz ortogonal.
A demonstração do Teorema 1.2.2 pode ser encontrada em (BOLDRINI,
1980, p. 257).
Definição 1.2.3: Sejam um espaço vetorial com produto interno, uma base de
e um operador linear. Então é chamado um operador autoadjunto se , -
é uma matriz simétrica.
Teorema 1.2.3: Se é um operador autoadjunto, então existe uma base
ortonormal de formada por autovetores de .
Veremos que para qualquer forma quadrática sempre existirá uma
base ortonormal de de maneira que a matriz de é diagonal, ou seja, para
qualquer forma quadrática sua matriz será sempre diagonalizável.
Teorema 1.2.4: Seja ( ) ( ) uma forma quadrática em . Existe uma base
ortonormal de tal que se , - [
], então existem tais que
( )
.
Demonstração: Seja uma base ortonormal de . Temos que ( ) ( )
, - , -
, - . Como, a matriz , - é simétrica portanto, é a matriz de um operador
autoadjunto , ou seja,, - , -
. Como um operador autoadjunto é
diagonalizável, existe uma base ortonormal de autovetores. Então, se
são os autovalores associados a esses autovetores, temos que
, - , -
, - [
] , -
(, - )
[
] , -
(, - )
[
] , -
pois e são bases ortonormais e, portanto , - é uma matriz ortogonal. Então,
22
( ) , - (, -
) [
] , - , -
(, - , - )
[
] (, - , - )
, - [
] , -
, - [
] [
]
.
Exemplo 1.2.4: Seja a forma quadrática definida por:
( )
, - 0
1 0
1.
Vamos calcular os seus autovalores.
( ) 0
1
√ e √
Logo, existe uma base de autovetores associados a esses autovalores, tal que se
, - 0
1 então ( ) , - [
√
√ ] 0
1, isto é,
( ) ( √ ) ( √ )
.
Boldrini (1980) destaca que essa diagonalização que fizemos possui muitas
aplicações e uma delas é na classificação de cônicas. Veremos no capítulo 3 que
além da classificação de cônicas iremos também utilizar desta diagonalização para
classificar quádricas.
23
CAPÍTULO 2
Nesse capítulo consideraremos as cônicas e as quádricas e apresentaremos
algumas aplicações importantes delas. Os resultados e discussões que iremos
realizar aqui, como também alguns exemplos e aplicações podem ser encontrados
em (STEINBRUCH; WINTERLE. 1987), (WINTERLE, 2000), (SOMMERFELD, 2013)
e em (BOLDRINI, 1980).
2.1 Cônicas
Realizaremos agora um estudo de curvas planas que podem ser
representadas por uma equação polinomial do segundo grau. As curvas que
trataremos aqui são a elipse, a parábola e a hipérbole, que podem ser obtidas por
meio de uma intersecção entre um cone e um plano, como mostra a Figura 1. Em
virtude disso essas curvas são conhecidas como seções cônicas ou simplesmente
cônicas.
Definição 2.1.1: Uma cônica é o lugar geométrico dos pontos do cujas
coordenadas na base canônica satisfazem uma equação do tipo
,
onde e são números reais e e não são todos nulos. Esta
equação é chamada equação geral da cônica.
Vamos apresentar essas cônicas adimitindo conhecidos alguns elementos
delas como o centro, os vértices e os eixos.
Figura 1: Seções cônicas.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 160).
24
Definição 2.1.2: Parábola é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano
equidistantes de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa desse plano,
chamada diretriz.
Se uma parábola tem vértice ( ) e eixo paralelo ao eixo , sua equação
padrão é da forma ( ) ( ), onde
é a distância do foco à diretriz. Esta
equação pode ser posta na forma , que é a equação geral
para este caso. Se o eixo é paralelo ao eixo , a equação padrão é da forma
( ) ( ), que pode ser posta na forma , que é a
equação geral para este caso.
A partir da equação geral de uma parábola em qualquer um destes casos,
efetuando-se operações elementares, dentre elas completamento de quadrados,
obtém-se a sua equação padrão.
Definição 2.1.3: Elipse é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano cuja
soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano, e , é constante. Os pontos
e são chamados focos da elipse.
Se uma elipse tem centro ( ) e eixos paralelos aos eixos coordenados,
sua equação padrão é da forma ( )
( )
. Desenvolvendo esta equação, a
equação geral , com . Reciprocamente, a partir
da equação geral de uma elipse, nessa situação, obtém-se a sua equação padrão.
Definição 2.1.4: Hipérbole é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano
cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano,
e é constante. Esses dois pontos fixos são chamados de focos da hipérbole.
A equação padrão de uma hipérbole com centro ( ) e eixo real paralelo
ao eixo é da forma ( )
( )
. Se o eixo real paralelo ao eixo , sua
equação padrão é da forma ( )
( )
. Em qualquer um destes dois
casos, a equação padrão conduz a uma equação da forma
, com , que é a equação geral da hipérbole para estes casos. Dada uma
equação geral de uma hipérbole que enquadra em um desses dois casos, obtém-se
facilmente a sua equação padrão.
Uma cônica descrita pela equação da Definição 1.1.1, com , tem eixo
inclinado em relação aos eixos coordenados e não podemos identificá-la facilmente,
como nos casos anteriores. No próximo capítulo veremos como determinar um novo
25
sistema de eixos no qual a cônica tenha eixo paralelo a um dos eixos coordenados,
o que permite uma fácil identificação da mesma.
Podem ocorrer alguns casos degenerados, como:
. Daí, temos que
e √
, que é um par
de retas concorrentes. Neste caso diz-se tratar-se de uma hipérbole
degenerada;
e . Neste caso temos que √
, que é um par
de retas paralelas e dizemos que é uma parábola degenerada;
Temos que , que é uma reta. Neste caso também dizemos que é
uma parábola degenerada;
e Nestas condições, o conjunto de
pontos satisfazendo esta equação é vazio e temos uma elipse degenerada.
2.2 Quádricas
Trataremos aqui das superfícies conhecidas por elipsóide, hiperbolóide de
uma folha, hiperbolóide de duas folhas, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico,
cone e cilindro. Chamaremos essas superfícies de superfícies quádricas, ou
simplesmente quádricas.
Definição 2.2.1: Uma quádrica é um conjunto de pontos ( ) que
satisfazem uma equação
, onde, e não são todos nulos.
Apresentaremos a seguir as equações das superfícies citadas acima, para
alguns casos particulares.
A superfície de equação ( )
( )
( )
, onde e são
números reais positivos, é um elipsóide com centro no ponto ( ) e eixos
paralelos aos eixos coordenados. A Figura 2 mostra um elipsóide com centro na
origem e eixos sobre os eixos coordenados, sendo que o eixo maior está sobre o
eixo .
26
Figura 2: Elipsóide com eixo maior sobre o eixo y.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAk1IAC/superficies-quadricas.
Em um caso particular, se então a superfície obtida será uma esfera
de raio √ .
A quádrica descrita por uma das equações ( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
ou ( )
( )
( )
é um hiperbolóide de
uma folha, que está ao longo dos eixos coordenados ou paralelos a eles. Veja como
exemplo a Figura 3.
Figura 3: Hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo z.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAk1IAC/superficies-quadricas?part=2.
A quádrica descrita por uma das equações ( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
ou ( )
( )
( )
é um hiperbolóide de
duas folhas, com seus eixos paralelos aos eixos cartesianos. (Veja a Figura 4)
27
Figura 4: Hiperbolóide de duas folhas com eixo y como eixo de simetria.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAgWAAAE/quadricas
Perceba que as equações acima dos elipsóides e dos hiperbolóides são da
forma ( )
( )
( )
. Para identificar a quádrica basta olharmos os
sinais dos termos no primeiro membro, como indicado na Tabela 1.
Tabela 1: Resumo dos sinais do elipsóide e dos hiperbolóides. SINAIS QUÁDRICA AO LONGO DO EIXO
Elipsóide
Hiperbolóide de uma folha X
Hiperbolóide de uma folha Y
Hiperbolóide de uma folha Z
Hiperbolóide de duas folhas X
Hiperbolóide de duas folhas Y
Hiperbolóide de duas folhas Z Fonte: Acervo do autor.
A quádrica descrita por uma das equações ( ) ( )
( )
,
( ) ( )
( )
ou ( ) ( )
( )
é um parabolóide
elíptico, como exemplificamos na Figura 5.
Figura 5: Parabolóide elíptico ao longo do eixo z.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAk1IAC/superficies-quadricas?part=2.
28
A quádrica descrita por uma das equações ( ) ( )
( )
,
( ) ( )
( )
ou ( ) ( )
( )
é um parabolóide
hiperbólico. A Figura 6 ilustra uma superfície deste tipo.
Figura 6: Paraboloide hiperbólico.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAk1IAC/superficies-quadricas?part=2.
A quádrica descrita por uma das equações ( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
ou ( )
( )
( )
é um cone, conforme
ilustração na Figura 7.
Figura 7: Cone.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAk1IAC/superficies-quadricas?part=2.
29
Seja uma curva plana e uma reta fixa não paralela ao plano que contém
. A superfície gerada por uma reta que se move paralelamente à reta fixa em
contato permanente com a curva é chamada superfície cilíndrica. A reta que se
move é denominada geratriz e a curva é a diretriz da superfície cilíndrica.
Tomando como caso particular em que a diretriz do cilindro é uma das
cônicas citadas na seção anterior, ou seja, uma elipse, uma hipérbole ou uma
parábola, o cilindro é dito, respectivamente, elíptico, hiperbólico ou parabólico. Os
exemplos a seguir são cilindros com geratriz paralela ao eixo .
i) Cilindro elíptico (ver Figura 8), cuja equação é ( )
( )
.
ii) Cilindro hiperbólico, cuja equação será ( )
( )
.
iii) Cilindro parabólico definido por ( ) ( ) .
Figura 8: Cilindro elíptico ao longo do eixo y.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAk1IAC/superficies-quadricas?Part=2.
É importante ressaltar que além das equações acima apresentadas de
superfícies quádricas, a equação da definição 2.2.1 pode representar o conjunto
vazio, um ponto, uma reta, um plano, dois planos paralelos ou dois planos que se
interceptam. Neste caso denominamos quádricas degeneradas.
Uma quádrica descrita pela equação
, com ou , possui seus eixos inclinados em
relação aos eixos coordenados, e não é tão simples sua classificação, como ocorre
nos casos considerados anteriormente. De modo análogo ao que será feito com as
cônicas, veremos como realizar uma rotação de eixos de modo que a identificação
das quádricas seja feita.
30
2.3 Aplicações de cônicas e quádricas
Mostraremos nessa seção algumas aplicações das cônicas e das quádricas
em situações vivenciadas no nosso cotidiano. Além disso, buscamos ressaltar a
importância dessas curvas e superfícies em um contexto mais amplo. Muitas vezes
usamos alguns objetos, algumas formas ou até mesmo construímos algo, que ali
estão presentes as seções cônicas ou as superfícies quádricas, sem
necessariamente nos darmos conta disso.
Podemos, por exemplo, considerar a órbita dos planetas do sistema solar. Já
foi provado que elas têm forma elíptica e têm o sol como um dos seus focos, como
ilustrado na Figura 9.
Figura 9: Órbita de um planeta.
Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/leis-movimento-planetario.htm
Como vimos nas definições apresentadas na seção anterior, a esfera é um
caso particular de um elipsóide e são vários os objetos que utilizamos no nosso
cotidiano que possuem seu formato. O rolamento que é usado nos eixos de um
automóvel, por exemplo, possuem em seu interior diversas esferas de aço,
permitindo o giro da roda em um eixo. Esses rolamentos também são muito
utilizados em indústrias e facilitam o transporte de mercadorias em uma esteira.
Como aplicações dessa quádrica também são válidas as esferas em geral, usadas
em jogos e brincadeiras.
Uma aplicação importante da esfera é na utilização de lentes esféricas em
óculos de grau. Já em retrovisores de carros, saídas de ônibus e espelhos de lojas
têm um espelho esférico (Veja a Figura 10). Segundo Sommerfeld (2013, p. 10), “O
espelho esférico é qualquer porção de uma superfície esférica capaz de exibir, em
predominância, o fenômeno da reflexão regular da luz”
31
Figura 10: Retrovisor de um automóvel.
Fonte: http://www.fisicainvertida.com/optica_aulas/aula_11/optica_aula_11.html
Como a esfera, a parábola é uma curva que possui uma aplicabilidade muito
grande em nosso cotidiano em construções civis. Uma dessas construções que mais
usam esse conceito são as pontes suspensas por cabos ou tirantes de suspensão,
onde cada cabo ou tirante forma uma curva parabólica (veja a Figura 11). Além da
construção de uma ponte a propriedade refletora da parábola permite a construção
de antenas, radares e faróis.
Figura 11: Ponte suspensa.
Fonte: http://awacomercial.com.br/blog/tipos-estruturas-de-pontes/
Através da rotação de uma parábola em torno de um eixo de simetria
obtemos um parabolóide. Considerando então um parabolóide elíptico e a
propriedade refletora da parábola, podemos encontrar aplicações em faróis de
automóveis e antenas parabólicas. Se colocarmos uma luz no foco da parábola, os
raios de luz irão se espalhar pela superfície do parabolóide elíptico e, pela
32
propriedade refletora da parábola, esses raios serão refletidos paralelamente ao seu
eixo de simetria, o que acontece no farol de um automóvel (veja a Figura 12).
Figura 12: Ilustração do farol de um automóvel.
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfxCEAG/quadricas-marlon
No caso de uma antena parabólica, elas captam as ondas eletromagnéticas
dos satélites em órbita ao redor da terra. Isso é possível devido à propriedade da
parábola de refletir os raios recebidos em um único ponto, o foco, onde se encontra
o receptor de ondas que é responsável por enviar o sinal recebido para o conversor.
Este codifica e envia essas ondas para o receptor de televisão. Por esse motivo as
antenas parabólicas são usadas para receber sinais eletromagnéticos (veja a Figura
13).
Figura 13: Antena parabólica.
Fonte: https://sites.unicentro.br/wp/petfisica/2016/03/30/parabolas-as-curvas-misteriosas/
A hipérbole é uma cônica que também possui grandes contribuições no nosso
cotidiano, como na óptica, na mecânica celeste, na mecânica dos fluidos, na
engenharia e na arquitetura. Na óptica, temos o telescópio de reflexão (veja a Figura
33
14) que tem dois espelhos: um espelho maior chamado primário, este é parabólico,
e outro espelho menor, que é hiperbólico.
Figura 14: Telescópio.
Fonte: http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/prob_aplicas2.html
34
CAPÍTULO 3
Neste capítulo estamos interessados em classificar as cônicas e as quádricas
dadas por meio de suas equações gerais. Vimos no capítulo anterior que quando a
equação geral não possui termos mistos a identificação da cônica ou quádrica é feita
facilmente. O caso geral, em que ocorre termo misto na equação, ou seja, em que
os eixos são inclinados em relação aos eixos de coordenadas, exige uma mudança
de coordenadas que faça uma rotação de eixos de modo que, no novo sistema de
coordenadas, os eixos da curva ou superfície fiquem paralelos aos eixos de
coordenadas. Então, nesse novo sistema de coordenadas, as equações das cônicas
e quádricas assumem uma forma reduzida e, a partir daí elas podem ser
identificadas.
Realizaremos um processo de classificação de cônicas e quádricas seguindo,
em cada caso, um total de cinco etapas, onde será exposto como realizar a
classificação. Apresentaremos alguns exemplos ilustrando esse processo. Convém
salientar que o processo utilizado funciona mesmo que a equação não tenha termos
mistos.
3.1 Classificação de cônicas
Consideremos uma cônica definida por uma equação do tipo
(1), onde e são números
reais e e não são todos nulos. Observe que essa equação envolve uma forma
quadrática, ( ) , uma forma linear, ( ) , e um
termo constante , ou seja, a equação que define a cônica é do tipo
( ) ( )
O método a seguir será usado para investigarmos que tipo de cônica é
representada pela equação (1).
1º passo: Escrevemos a equação da cônica na forma matricial:
, - 0
1 0 1 , - 0
1 . ( )
2º passo: Encontramos os autovalores e e os autovetores unitários e
ortogonais, e , associados a e , respectivamente, de 0
1. Isto será feito
para podermos diagonalizar a forma quadrática e assim eliminar os termos mistos da
equação.
35
Vamos considerar um novo sistema de eixos determinado pelos vetores e
. Esse novo sistema é uma rotação do sistema de eixos inicial.
3º passo: Obtemos as coordenadas no novo sistema de eixos. Para isso,
sejam a base canônica e * + a base de autovetores. Se ( ) são as
coordenadas de um ponto no sistema de eixos inicial e ( ) são as coordenadas
desse mesmo ponto no novo sistema de eixos, ou seja, ,( )- 0
1, então essas
coordenadas estão relacionadas de acordo com a equação 0 1 , -
0
1.
4º passo: Substituímos as novas coordenadas na equação ( ), e obtemos a
equação da cônica no novo sistema de eixos:
, - [
] 0
1 , -, -
0
1 .
Daí obtemos a equação
, ( ) onde , -
, -, - .
5º passo: Por meio de completamento de quadrados eliminamos os termos
lineares das coordenadas cujos autovalores são não-nulos. Temos três casos:
) No caso em que e são diferentes de zero, temos que a equação ( )
é da forma
. Então, por meio de um completamento
de quadrados obtemos a equação .
/
.
/
.
Assim, fazendo
e
, obtemos a equação
, onde
) Se e , Então a equação ( ) é da forma
. Realizando o completamento de quadrado temos que .
/
. Daí, tornando
e , temos
, onde
) e . (similar ao anterior)
Exemplo 3.1.1: Consideremos a equação na base canônica do
Pretendemos identificar a cônica que esta equação representa e, para isso,
iremos seguir os cinco passos mostrados anteriormente.
36
1º passo: escrevendo esta equação na forma matricial, temos
, - 0
1 0 1 , - 0
1 .
2º passo: Vamos diagonalizar a forma quadrática com o objetivo de eliminar
os termos mistos. Para isso vamos calcular os autovalores e seus respectivos
autovetores unitários e ortogonais, da matriz 0
1.
( ) 0
1 ( ) .
Temos que ( ) ou . Assim, os autovalores são e .
Para , temos 0
1 0 1 0
1, e .
√
√
/, para , temos
0
1 0 1 0
1, e .
√
√
/.
Temos então uma base ortonormal de autovetores * +, e com essa base
escrevemos a forma quadrática ( ) , - 0
1 0
1, onde ,( )- 0
1.
3º passo: obteremos agora as novas coordenadas no sistema de eixos
determinado pelos vetores . √
√
/ e .
√
√
/. Sejam a base canônica
e * +. Temos que , -
[
√
√
√
√
]. Então, se ( ) e ( ) são as
coordenadas de um mesmo ponto em relação aos sistemas de coordenadas inicial e
ao novo sistema de coordenadas, respectivamente, temos que essas coordenadas
estão relacionadas pela equação 0 1 [
√
√
√
√
] 0
1.
4º passo: Temos então que a equação na nova base ortonormal será da
forma , - 0
1 0
1 , - [
√
√
√
√
] 0
1
(
√
√
) (
√
√
)
√
√
√
√
√
√
.
Esta é a equação no novo sistema de coordenadas.
37
5º passo: Para eliminar os termos lineares fazemos um completamento de
quadrado nos termos de
√
√
e obtemos a equação
. √
/
√
Fazendo
√
e , obtemos
√
. Esta é a equação de uma parábola, no novo referencial, que
foi obtido por meio de uma rotação de eixos. Portanto, a cônica representada pela
equação é uma parábola.
Estamos interessados apenas em classificar cônicas dadas por equação do
tipo . Nesse sentido vamos apresentar um
método mais rápido de solucionar esse problema realizando uma análise dos sinais
dos autovalores associados à forma quadrática e verificando as possibilidades que
temos.
Tomando então os autovalores e de 0
1, como vimos no 4º passo,
após a eliminação dos termos mistos, obtemos uma equação da forma
( )
.
( ) Analisando o primeiro caso em que , por meio de um
completamento de quadrados, como feito no 5º passo, obtemos
.
Consideremos as três possibilidades:
) e . Se , então
.
Note que está equação pode ser posta na forma
, onde
e
, portanto ela representa uma elipse. Se , então
.
Nesse caso temos que está equação representará um ponto, pois temos a soma de
dois números positivos resultando em zero. Se então
. Nesse caso temos a soma de dois números positivos dando
negativo, logo temos um conjunto vazio.
) e . Se temos uma elipse; se temos um ponto e,
se um conjunto vazio. Os procedimentos para comprovarem estes casos são
análogos aos do caso anterior, basta multiplicar as equações por .
38
) . Se , então
,
temos que está equação representa uma hipérbole e se temos
. Daí, temos que
e
√
que é um par de retas concorrentes.
( ) No segundo caso em que e , partindo da equação ( ),
chegamos à equação . Realizando o completamento de
quadrados obtemos . Note que se temos então a equação
de uma parábola. Se e , temos . Neste caso temos
que √
, que é um par de retas paralelas. Se e , temos
√
e neste caso será um conjunto vazio. Se e , então
, portanto temos uma reta.
( ) O caso em que e , o procedimento é análogo ao ( ).
Exemplo 3.1.2: Vamos classificar a cônica dada pela equação
√ . Para isso, a primeira coisa a ser feita é colocá-la na forma matricial
, - [
] 0
1 , √ - 0
1 .
Com objetivo de eliminarmos os termos mistos, vamos diagonalizar a forma
quadrática, e calcularmos seus autovalores e seus respectivos autovetores.
Como ( ) [
] ( )
, então os autovalores
são
e
.
Para
, temos [
] 0 1 0
1, daí .
√
√
/ e para
, temos
[
] 0 1 0
1, onde .
√
√
/.
39
Assim obtemos uma base ortonormal de autovetores * +, e com essa base
escrevemos a forma quadrática ( ) , - [
] 0
1, onde ,( )-
0
1.
Agora realizamos a rotação de eixos por meio da base ortonormal de
autovetores * + Assim, 0 1 [
√
√
√
√
] 0
1.
Logo, a equação da cônica se reduz a
, - [
] 0
1 , √ -
[ √
√
√
√
]
0
1
. Daí, realizamos um completamento de quadrados e
obtemos
(
)
(
)
Fazendo
e
, obtemos a equação
.
Observe que encontramos uma nova equação a partir de uma rotação de eixos
e que e . Neste caso, por (( ) )) está equação representa uma elipse.
Exemplo 3.1.3: Dada a equação √ √ vamos
classificar a cônica representada por ela. Para isto, basta observar os sinais dos
autovalores da forma quadrática e também do termo constante.
Assim, colocamos esta equação na forma matricial.
, - 0
1 0
1 , √ √ - 0
1 e determinando os
autovalores da forma quadrática, obtemos
( ) 0
1 ( )( ) .
Logo, os autovalores da forma quadrática são e
Para , temos 0
1 0 1 0
1, e .
√
√
/ e
para , temos 0
1 0
1 0
1, onde .
√
√
/.
40
Agora, com os autovalores e os autovetores da forma quadrática, podemos
facilmente escrever a forma quadrática diagonalizada com os termos mistos
eliminados, como também escrever a relação entre 0 1 e 0
1. Com isso, a equação
matricial da cônica é da forma
, - 0
1 0
1 , √ √ -
[
√
√
√
√
]
0
1
√ ( √
√
) √ (
√
√
)
Podemos agora eliminar os termos lineares das coordenadas cujos
autovalores são não-nulos e, por meio de completamento de quadrados, podemos
reescrever a equação da cônica da seguinte maneira:
.
/
.
/
.
Fazendo
e
, temos então que a equação da cônica no novo
referencial é
. Note que e o termo constante é diferente
de zero, portanto esta equação representa uma hipérbole.
3.2 Classificação de quádricas
Realizaremos agora um processo análogo ao que foi feito na seção anterior
pela a classificação de quádricas, com apenas alguns ajustes.
Consideremos uma quádrica definida por uma equação da forma
, onde,
e são números reais e e não são todos nulos.
Observe que essa equação envolve uma forma quadrática
( ) . Uma forma linear,
( ) , e um termo constante , ou seja, a equação que define a
quádrica é do tipo ( ) ( ) .
41
Iremos identificar a quádrica que essa equação representa, seguindo os
mesmos cinco passos que foram mostrados na classificação de cônicas, com
apenas alguns ajustes.
1º passo: Escrevemos a equação da quádrica na forma matricial:
, - [
] * + , - *
+ .
2º passo: Encontramos os autovalores e e os autovetores unitários e
ortogonais e associados a e respectivamente, de [
] para
podermos diagonalizar a forma quadrática e assim eliminar os termos mistos da
equação. Desta forma iremos realizar uma rotação de eixos por meio de um novo
sistema de coordenadas determinado pelos autovetores e .
3º passo: Obtemos agora novas coordenadas no novo sistema de eixos. Para
isso, consideraremos a base ortonormal { +. Daí, realizamos a mudança
da base para a base canônica. Se ( ) são coordenadas de um ponto referente a
base canônica e ( ) é a coordenada desse ponto no novo sistemas de eixos,
então relacionamos essas coordenadas pela seguinte equação * + , -
[
].
4º passo: Substituímos as novas coordenadas na equação do 1º passo,
obtendo a equação na nova base ortonormal { + formada pelos autovetores:
, - [
] [
] , -, - [
] .
A partir daí obtemos
, com , -
, -, - .
5º passo: Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores
são não-nulos através de completamento de quadrados. Temos quatro casos:
) No caso em que , temos que a equação será da forma
. Assim, basta realizarmos um completamento de
quadrado da seguinte maneira .
/
.
/
.
42
/
. Fazendo
,
, e
temos então
que equação é
, onde
.
)Se , e então a equação é da forma
, daí realizando o completamento de quadrado
temos .
/
.
/
. Tornando
,
e a equação é
, onde
.
) , e (análogo ao caso ))
) , e (análogo ao caso ))
Exemplo 3.2.1: Seja √
a equação
de uma quádrica na base canônica do . Vamos classificar está quádrica, para
isso, iremos seguir os cinco passos mostrados anteriormente.
1º passo: escrevendo esta equação na forma matricial, temos
, - [
] * + , √ - *
+
2º passo: Vamos diagonalizar a forma quadrática com o objetivo de eliminar
os termos mistos, para isso vamos calcular os autovalores e seus respectivos
autovetores unitários e ortogonais da matriz [
].
( ) [
]
Logo, quando ( ) , temos que , e .
Para , temos [
] * + [
], e .
√
√
/,
para , temos [
] * + [
], e .
√
√
√
/ e
para , temos [
] * + [
], onde .
√
√
√
/.
43
Temos então uma base ortonormal de autovetores * +, e com essa base
a forma quadrática pode ser escrita da seguinte maneira
( ) , - [
] [
], onde ,( )- [
].
3º passo: obteremos agora as novas coordenadas, de modo com que
aconteça a rotação de eixos por meio da mudança da base para a base atual, para
isso basta verificarmos a relação entre * + e [
].
Assim, * +
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
[
].
4º passo: Substituindo a forma quadrática já diagonalizada e feito a mudança
de base, a equação será da forma
, - [
] [
] , √ -
[ √
√
√
√
√
√
√
√
]
[
]
√
.
5º passo: Para eliminar os termos lineares agrupamos convenientemente os
termos de
√
por meio de completamento de
quadrado. Assim, a equação é escrita do seguinte modo
.
/
.
√
/
.
Fazendo ,
, e
√
finalmente encontramos
, que se trata da equação de um elipsóide.
No primeiro caso obtido no 5º passo do processo de classificação, temos que
a equação final da quádrica será da forma
. Dependendo
dos sinais de e e do valor de esta quádrica será do tipo elipsóide ou
hiperbolóide, conforme a Tabela 1, apresentada no capítulo 2.
44
Exemplo 3.2.2: Considere a equação de uma
quádrica na base canônica do . Escrevemo-la na forma matricial, no qual
obtemos:
, - [
] * + , - *
+ .
Calculando os autovalores e seus respectivos autovetores já normalizados obtemos:
Para , temos ( ), para , temos ( ) e para
temos ( ). Daí, encontramos novas coordenadas no novo sistema
determinado pelos vetores e . Sejam * , + e a base canônica.
Temos a matriz de mudança da base para a base , -
[
].
Assim, a equação na nova base é do tipo
, - [
] [
] , - [
] [
]
, então com um completamento de
quadrados obtemos ( ) ( ) . Fazendo
e , temos
.
Neste caso, podemos para por aqui, pois basta olharmos os sinais dos
autovalores e do valor do termo constante e podemos concluir que esta equação
representa um hiperbolóide de uma folha.
Exemplo 3.2.3: Consideremos a quádrica representada pela equação
. Determinaremos
que tipo de quádrica está representada.
Temos que a equação dessa quádrica pode ser escrita na forma matricial
, - [
] * + , - *
+
.
Calculando o polinômio característico da matriz da forma quadrática temos
( ) [
]
Logo, os autovalores são 0, 3 e 6.
Para , temos [
] * + [
], e .
√
√
/,
45
para , temos [
] * + [
], e .
√
√
√
/ e
para , temos [
] * + [
], e .
√
√
√
/.
Daí, encontraremos as novas coordenadas com relação a um novo referencial
determinado pelos autovetores .√
√
/ .
√
√
√
/ e
. √
√
√
/ associados a e respectivamente. Nesse sentido, obtemos a
matriz de mudança da base para a base , , -
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
, onde
* + e é a base canônica. Assim, seja ( ) um ponto na base
canônica e seja ( ) o mesmo ponto com relação a base , onde ,( ) -
[
], temos que , * +
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
[
].
Logo, a equação após a rotação de eixos será da forma
, - [
] [
] , -
[ √
√
√
√
√
√
√
√
]
[
]
√
e escrevendo essa equação convenientemente
obtemos por meio de um completamento de quadrado a seguinte equação:
. √
/
. Fazendo
√
, e ,
obtemos a equação
que representa um parabolóide elíptico.
46
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O processo de classificação de quádricas é realizado de maneira análoga ao
que é feito na classificação de cônicas, a única diferença é que a forma quadrática
usada na classificação de cônicas é do tipo enquanto a que é usada na
classificação de quádricas é da forma . Portanto, se estamos interessados
em classificar uma cônica ou uma quádrica, seguimos sempre os mesmo passos
que foram mostrados no capitulo 3, onde utilizamos a diagonalização da forma
quadrática para encontrar uma base ortonormal de autovetores, e com isso
realizamos uma rotação de eixos, o que faz com que a equação se reduza a uma
forma simplificada, que facilita a sua identificação.
O processo de classificação de cônicas e quádricas que foi apresentado
destina-se, principalmente, aos casos em que a equação da cônica ou da quádrica
envolve termos mistos, porém no caso em que esses termos mistos não aparecem é
porque a matriz da forma quadrática já será diagonal.
Esse processo de classificação que apresentamos, será sempre válido pelo
fato da forma quadrática ser sempre diagonalizável, como foi demonstrado no
Teorema 1.2.3, ou seja, sempre poderemos diagonalizar a forma quadrática para
eliminar os termos mistos da equação e encontrar uma base ortonormal e assim
realizar a rotação de eixos que faz com que a nova equação possa ser classificada.
Porém, é válido lembrar que a equação de uma cônica nem sempre representará
uma parábola, uma hipérbole ou uma elipse, como é esperado, pois existem os
casos degenerados apresentados no final da seção 2.1 e essa mesma observação é
válida para a classificação de quádricas.
O processo de classificação de cônicas e quádricas que apresentamos faz
uso de conceitos e resultados importantes da Álgebra Linear, Isso mostra a
importância da interdisciplinaridade no estudo de qualquer área em particular da
matemática. Nesse sentido, por meio deste trabalho buscamos contribuir no estudo
das cônicas e quádricas aqui citadas, nas quais os alunos de Licenciatura não tem a
oportunidade de estudar no decorrer do curso. Além disso, também pretendemos
proporcionar um estudo mais aprofundado da Álgebra Linear.
47
REFERÊNCIAS
BOLDRINI, L. J. et al. Álgebra Linear. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1980. COELHO, F. U.; LOURENÇO, M. L. Um Curso de Álgebra Linear. 2. ed. rev. e ampl. 1 reimpressão. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2007. HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, 1970. LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações. 4. Ed. Rio de Janeiro, 1999.
SOMMERFELD, G. F. F. Cônicas, quádricas e suas aplicações. Belo Horizonte: 2013, 41 f. Monografia (Especialista) Programa de Pós– Graduação em Matemática para Professores com Ênfase em Cálculo, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte: 2013. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.
