Modelação da Transmissão de Ruído de Impacto de Baixa ... · percussão em pavimentos vigados de madeira, o qual se baseia em análise modal. O método é comparado com outro

Janeiro de 2009

Modelação da Transmissão de Ruído de Impacto de Baixa Frequência em Pavimento de Madeira

MARTINHO MONTEIRO DE BARROS GIRÃO MARQUES

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

ENGENHARIA CIVIL

Júri

Presidente: Prof. Augusto Gomes Martins Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa

Vogais: Prof. Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença

i

AGRADECIMENTOS

Queria agradecer ao meu Orientador, o Professor Albano Neves e Sousa, a oportunidade que

me deu em poder fazer esta tese, em segundo lugar, agradecer-lhe a sua disponibilidade,

assim como as preciosas ajudas que me foi dando, que tornaram esta dissertação num

trabalho aliciante e motivador. Muito obrigado.

Queria também agradecer a disponibilidade da sua secretária Alexandra Baixo.

ii

iii

RESUMO

No actual contexto de sustentabilidade ambiental e energética, tem vindo a impôr-se, na

Europa, uma tendência para reforçar a utilização de materiais facilmente recicláveis. A madeira

inclui-se nesse conjunto de materiais, pelo que, recuperando técnicas de construção mais

tradicionais, começa a ser mais frequente a sua utilização como material estrutural em edifícios

de menor dimensão.

Nestes casos, como já acontecia nos edifícios construídos até ao final do séc.XIX, e como

também acontece nos edifícios de estrutura mista aço/betão, o isolamento a ruído de

percussão constitui um problema, por vezes, de difícil resolução.

De facto, nestes pavimentos leves de madeira, a sua flexibilidade combinada com as

características dos compartimentos dos edifícios correntes e com as características dinâmicas

das acções de percussão (impacto) correntes em edifícios, cria condições de campo sonoro

modal, na gama das baixas frequências, as quais impedem a aplicação dos métodos clássicos

de acústica de edifícios para medição e previsão de campos sonoros.

Nesta dissertação é testado um método analítico de previsão da transmissão de ruído de

percussão em pavimentos vigados de madeira, o qual se baseia em análise modal. O método é

comparado com outro método numérico (elementos finitos), previamente validado, com o

objectivo de identificar os seus limites de aplicação.

Palavras Chave:

Baixa frequência; Som; Vibração; Baixa frequência; Pavimentos; Madeira; Mobilidade.

iv

v

ABSTRACT

In the scope of environmental and energetic sustainability, a trend to increase the use of

material easily recyclable materials has been increasing in Europe. As wood is included in this

set of materials, old construction techniques are being recovered, and this material starts to be

used more often as a structural material in small buildings.

In these cases, as used to occur in buildings older than our century, and also as occurs in

buildings with steel/concrete composite structures, impact sound isolation, is, sometimes, a

problem which is hard to solve. Indeed, in this type of lightweight floors, its flexibility, combined

with the characteristics of current rooms and with the dynamic characteristics of current impact

forces, creates conditions for modal sound fields at low frequencies.

Thus, the classical methods of room and building acoustics are no longer applicable.

In this thesis, an analytical method for the prediction of impact sound transmission through

wood joist floors, based in natural mode analysis, is tested. The method is compared with

another numerical method (finite elements) previously validated, in order to identify its limits of

validity.

Keywords:

Sound; Vibration; Low frequency; Floors, Wood; Mobility.

vi

vii

INDICE

RESUMO............................................................................................................ iii ABSTRACT ........................................................................................................ v 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1

1.1. MOTIVAÇÃO ....................................................................................................... 1 1.2. OBJECTIVOS ...................................................................................................... 2 1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO ...................................................................... 2

2. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS .............................. 5 2.1. INTRODUÇÃO..................................................................................................... 5 2.2. EQUAÇÃO DA ONDA DE FLEXÃO EM PLACAS............................................... 5 2.3 PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA ........................................... 8

2.3.1 Descrição do modelo................................................................................................... 8 2.3.2 Implementação do modelo ........................................................................................ 12

2.4 PLACA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA ...................................... 13 2.4.1 Descrição do modelo................................................................................................. 13 2.4.2 Implementação do modelo ........................................................................................ 16

3. VALIDAÇÃO DO MODELO.......................................................................... 17 3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................... 17 3.2. ENSAIOS DE LABORATÓRIO DE MAYR E NIGHTINGALE............................ 17

3.2.1. Descrição geral......................................................................................................... 17 3.2.2. Pavimento de teste em Plexiglas ............................................................................. 20 3.2.3. Pavimento de teste em madeira............................................................................... 21

3.3. VALIDAÇÃO NUMÉRICA .................................................................................. 22 3.3.1. Descrição do processo de validação........................................................................ 22 3.3.2. Pavimento homogéneo............................................................................................. 22 3.3.3. Pavimentos ortotrópicos leves.................................................................................. 26

3.4. VALIDAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO ........................................................... 32 3.4.1. Pavimento de teste em Plexiglas ............................................................................. 33 3.4.2. Pavimento de teste de madeira................................................................................ 36

3.5. CONCLUSÕES.................................................................................................. 39 4. ANÁLISE PARAMÉTRICA ........................................................................... 41

4.1. INTRODUÇÃO................................................................................................... 41 4.2. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE PAVIMENTOS DE MADEIRA ........ 41 4.3. ANÁLISE PARAMÉTRICA................................................................................. 43

4.3.1. Análise preliminar ..................................................................................................... 45

viii

4.3.2. Identificação de comportamentos tipo...................................................................... 49 4.4. DEFINIÇÃO DO CRITÉRIO DE VALIDADE DO MODELO ANALÍTICO........... 67 4.5. CONCLUSÃO .................................................................................................... 69

5. CAMPO SONORO ....................................................................................... 71 5.1. INTRODUÇÃO................................................................................................... 71 5.2. DESCRIÇÃO DO MODELO .............................................................................. 71

5.2.1. Solução da equação homogénea da onda sonora................................................... 73 5.2.2. Acoplamento entre o campo de vibração e o campo sonoro................................... 74

5.3. CASO DE ESTUDO........................................................................................... 80 5.4. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO................................................. 80 5.5. CONCLUSÃO .................................................................................................... 80

6. CONCLUSÃO............................................................................................... 83 6.1. SUMÁRIO E CONCLUSÕES ............................................................................ 83 6.2. TRABALHOS FUTUROS................................................................................... 83

7. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 85 7.1. LIVROS, TESES, OU ARTIGOS ....................................................................... 85 7.2. SÍTIOS NA INTERNET ...................................................................................... 86 7.3. REGULAMENTAÇÃO........................................................................................ 86

ANEXO 1.......................................................................................................... 87 ANEXO 2........................................................................................................ 165

ix

GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS

B – rigidez de flexão de uma viga ;

B’ – rigidez de flexão em placas (Nm2/m);

B’ – rigidez de flexão na forma complexa em placas (Nm2/m);

B’0 – módulo adiabático de volume (Pa);

Cmn – factor de acoplamento estrutura-fluido;

D – módulo de rigidez do material (N/m2);

D – módulo de rigidez em forma complexa do material (N/m2);

E – módulo de elasticidade (N/m2);

Eeq – módulo de elasticidade equivalente para uma placa homogénea (N/m2);

F – força (N);

F(t) – força dinâmica vertical induzida pela acção humana

G – módulo de distorção (N/m2); também utilizado como peso estático de um indivíduo;

I – momento de inércia (m4);

I’ – momento de inércia em placas (m4/m);

Ieq – momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m4);

JJ - momento de inércia de torção

Lp – nível de pressão sonora (dB);

M – momento flector ou torçor (Nm);

M’ – momento por unidade de área (Nm/m2);

N – número de modos do sistema de vibração;

NF – número de forças aplicadas numa placa;

P – pressão instantânea (Pa);

Patm – pressão atmosférica ≈ 1.013 × 105 Pa do nível do mar;

P0 – pressão instantânea estática do ar (Pa);

Q – esforço transverso por unidade de comprimento (N/m);

RH – humidade relativa (%);

S – área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m2);

Si – área da superfície de um elemento do compartimento (m2);

T – período (s);

Tp – período do passo;

TR – tempo de reverberação (s);

V – volume (m3);

Va – volume aparente (m3);

a – dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s2);

b – dimensão segundo o eixo y na placa (m);

x

c – dimensão segundo o eixo z na placa (m), ou velocidade de propagação do som em meio sólido (m/s);

c0 – velocidade de propagação sonora no ar (m/s);

f – frequência (Hz);

g – aceleração gravitica ≈ 9.8 m/s2;

h – espessura da placa (m);

j – constante = -1;

k – número de onda (rad/m);

kp – factor de impacto dinâmico

ls – comprimento do passo (m)

m’ – massa (kg/m);

m’’ – massa por unidade de área numa placa (kg/m2);

p – pressão sonora (Pa);

s – condensação volúmica do ar;

t – tempo (s);

tp – duração de contacto (s);

v – velocidade (m/s);

vs – velocidade de marcha (m/s)

Δ – variação;

ΔG – Coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica;

Χ – termo fonte (m-1s-1);

Φ – termo fonte de velocidade potencial (m/s);

Ψ – velocidade potencial (m/s);

Σ – operador de soma;

α __

– coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento

αi – coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como coeficiente

de amplitude da componente harmónica;

χ – curvatura por flexão (m-1);

δ – coeficiente de absorção temporal (s-1); também utilizado como símbolo de Kronecker;

ε – deformação (também utilizado como coeficiente de amortecimento);

iφ – ângulo de desfasamento da componente harmónica

γ – razão do calor especifico = 1.402 do ar;

η – factor de perdas;

λ – comprimento de onda (m); também utilizado como tensor das tensões principais

λB – máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m);

ϕlmn – funções forma do campo sonoro de compartimentos;

ϕm1n1 – funções forma do campo de vibração de placas;

μ – deslocamento paralelo ao eixo x (m);

ν – Coeficiente de Poisson;

π – constante = 3.141592654…;

θ – temperatura (ºC);

ρ – massa volúmica (kg/m3);

ρa – massa volúmica aparente (kg/m3);

xi

ρ0 – densidade estática do ar (kg/m3);

σ – tensão (N/m2);

σij – tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m2);

υ – parâmetro de viscosidade do material (s);

ω – velocidade angular (rad/s);

ωlmn – frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s);

ωlmn – frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s);

ωm1n1 – frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s);

ωm1n1 – frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s);

ξ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo y (m);

ζ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo z (m);

∂ – diferencial infinitesimal;

∇ – operador divergência;

∇2 – operador Laplaciano tridimensional;

Λm1n1 – norma, conforme indicado na equação (21)

∫ – operador de integral.

xii

1

1. INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO

A transmissão de ruído de baixa frequência (20 a 200 Hz) é um problema que não pode ser

resolvido com recurso às teorias clássicas da acústica de espaços fechados. De facto, no

domínio das baixas frequências, os campos sonoros apresentam um comportamento modal (e

não difuso), ocorrendo, portanto, um forte acoplamento modal com os campos vibratórios

instalados nas superfícies da envolvente dos espaços.

Assim, as normas actualmente existentes, quer para a medição, quer para a previsão da

transmissão sonora, não se aplicam à transmissão de ruído de baixa frequência [N.1 - N.2]. No

entanto, no que se refere à medição da transmissão sonora em laboratório, a norma

EN 140 [N.1] apresenta um anexo relativo à medição nas bandas de terços de oitava de 50 e

80 Hz. Neste anexo são indicados alguns cuidados a ter de modo a criar ambientes sonoros

quase difusos que permitam a aplicabilidade dos métodos de medição preconizados para as

bandas de terços de oitava de 100 a 3150 Hz.

No que se refere à previsão da transmissão de ruído de baixa frequência, existem alguns

métodos disponíveis, os quais foram apresentados em trabalhos de investigação relativamente

recentes [1 a 3]. Estes métodos podem ser numéricos (Método dos Elementos Finitos - MEF)

ou analíticos (Método de Análise Modal). No que se refere à análise da transmissão de ruído

de percussão, Neves e Sousa [3], propõe, com base em trabalhos anteriores [4 a 10], o método

analítico de análise modal, o qual foi validado experimentalmente para pavimentos,

homogéneos pesados com diferentes tipos de revestimento.

Embora o método proposto seja também aplicável a pavimentos heterogéneos (com

ortotropia), não foi efectuada qualquer validação experimental. A ausência de validação

experimental é particularmente crítica no caso dos pavimentos ortrotópicos leves, como é o

caso dos pavimentos de madeira tradicionais ou dos pavimentos mistos com laje de betão

colaborante com uma estrutura metálica de suporte utilizados em construções mais recentes.

Neste tipo de pavimentos, de elevada mobilidade e com frequências próprias de vibração muito

baixas, é mais difícil prever, quer a energia de impacto que é efectivamente transmitida à

estrutura, quer a energia sonora radiada para os compartimentos inferiores.

2

Neste contexto, existe a necessidade de identificar correctamente os limites de aplicação do

método de análise modal na previsão de campos sonoros gerados por forças de impacto

aplicadas sobre pavimentos de madeira.

1.2. OBJECTIVOS

A presente dissertação tem como objectivo principal validar a aplicação do método analítico de

análise modal à previsão de campos sonoros de baixa frequência gerados em compartimentos

correntes de habitação pela vibração de pavimentos ortotrópicos leves. Uma vez que estes

campos sonoros dependem, em larga medida, do campo de vibração dos pavimentos, o

processo de validação em causa é, essencialmente, relativo à previsão do campo de vibração

gerado nos pavimentos por forças de impacto.

A validação do método será efectuada de forma numérica e experimental. No último caso,

serão utilizados resultados de ensaios obtidos por outros investigadores, tais como Mayr e

Nightingale [11]. No que respeita à validação numérica, serão comparados os resultados do

método analítico proposto com os resultados obtidos por aplicação do MEF.

O processo de validação descrito deverá fornecer os limites de aplicação do método analítico e

permitirá ainda identificar os parâmetros que condicionam a aplicação do método.

1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

De modo a cumprir os objectivos da presente dissertação optou-se por organizar o texto da seguinte forma:

• Capítulo 2: Descreve o método analítico proposto para a previsão de campos de

vibração gerados em pavimentos homogéneos ou ortotrópicos por forças de

impacto pontuais.

• Capítulo 3 Descreve o processo de validação experimental e numérico, o qual se aplica

a dois casos de estudo referidos na bibliografia [11]. Para cada caso de

estudo serão apresentados os resultados experimentais disponíveis, os quais

se comparam com os resultados obtidos por aplicação do MEF. Uma vez

validado o MEF, as simulações numéricas obtidas serão utilizadas para aferir

o grau de aproximação da modelação analítica.

• Capítulo 4 Apresenta a análise efectuada com o objectivo de identificar os parâmetros

que condicionam a validade do método analítico e define limites de validade

para o método.

3

• Capítulo 5 Descreve o método analítico proposto para a previsão de campos sonoros

gerados por pavimentos em vibração.

• Capítulo 6 Apresenta as principais conclusões do estudo e indica possíveis trabalhos

futuros sobre o tema.

4

5

2. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS

2.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo é descrito o método analítico proposto por Neves e Sousa [3], com base numa

combinação de métodos propostos por outros autores, como Leissa [7], Warburton [8],

Cremer [9] e Hearmon [10], para a previsão de campos de vibração gerados em pavimentos

homogéneos ou ortotrópicos por forças de impacto pontuais.

2.2. EQUAÇÃO DA ONDA DE FLEXÃO EM PLACAS

A equação de movimento que caracteriza o comportamento vibratório de uma placa é apenas

influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da transmissão sonora, se observa

serem estas as mais importantes.

Em seguida, é determinada a equação diferencial de movimento de uma placa fina no plano y-

z, com deslocamentos, μ (m), perpendiculares a este e paralelos ao eixo x. Os deslocamentos

laterais ξ (m) e ζ (m) ocorrem paralelamente ao eixo y e z, respectivamente.

As vibrações, geradas numa dada estrutura por um impacto, dão origem a campos de

deformação pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos

deslocamentos. Em estado plano de tensão, as extensões segundo x são nulas e os

deslocamentos laterais ξ e ζ são desprezáveis. Torna-se assim possível analisar o campo de

deformações, e εz = ∂μ / ∂z, e de tensões σy e σz (N/m2) segundo o plano médio da placa, na

sua configuração indeformada.

Por outro lado, a lei de Hooke é válida, isto é, o campo de deformações, εy e εz, relaciona-se

com o campo de tensões, σy e σz, através do módulo de elasticidade, E (Pa), do material

constituinte. Em estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito

de Poisson, conduz a: Eεz = σy - νσz e Eεz = σz - νσy, onde ν é o coeficiente de Poisson do

material. As expressões anteriores e as relações de compatibilidade, εy = -x χy = -x ∂2μ / ∂y 2 e

εz = -x χz = -x ∂2μ / ∂z 2, em que χy e χz são as curvaturas segundo a direcção y e z,

respectivamente, conduzem às seguintes expressões,

6

σy = E1 - ν 2 ( )εy + νεz = - E

1 - ν 2 ⎝⎛

⎠⎞∂ 2μ

∂y 2 + ν ∂ 2μ∂z 2 ; (1.a)

σz = E

1 - ν 2 ( )εz + νεy = - E1 - ν 2 ⎝

⎛⎠⎞∂ 2μ

∂z 2 + ν ∂ 2μ∂y 2 . (1.b)

Conforme indicado na Figura 1, os momentos flectores numa placa de espessura h (m)

segundo y e z são dados por

M'yz = -⌡⌠

-h/2

h/2

σy x dx = - B' ⎝

⎛⎠⎞∂2μ

∂y2 + ν ∂μ2

∂z2 ; M'zy = -⌡⌠

-h/2

h/2

σz x dx = - B' ⎝

⎛⎠⎞∂2μ

∂z2 + ν ∂μ2

∂y2 ; (2)

onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra e

B' = E1-ν 2⌡⌠

-h/2

h/2

x2 dx = E

1-ν 2 h3

12 = EI´

1-ν 2 (3)

é a rigidez de flexão do elemento de placa.

Figura 1 - Esforços e tensões num elemento de placa.

Os momentos torçores podem ser determinados por

M'yy = -M'zz = ⌡⌠-h/2

h/2

τyzx dx = -2G

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞∂2μ

∂y∂z⌡⌠-h/2

h/2

x2 dx = -B' ( )1-ν

∂2μ∂y∂z , (4)

7

onde G é o módulo de distorção, o qual é dado por

G = E2( )1+ν =

E( )1-ν2( )1-ν 2 . (5)

Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados

com a secção transversal dos elementos estruturais dos edifícios correntes. Portanto, a energia

cinética utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética utilizada no

movimento de translação transversal. Os esforços transversos podem assim ser determinados

a partir do equilíbrio dos momentos do elemento de placa da Figura 1. Estes esforços são

dados por

Qy = ∂M´yz

∂y + ∂M´zz

∂z = B'∂∂y⎝⎛

⎠⎞∂2μ

∂y2 + ∂2μ∂z2 = B'

∂∂y ∇2μ ; (6.a)

Qz = ∂M´zy

∂z + ∂M´yy

∂z = B'∂∂y⎝⎛

⎠⎞∂2μ

∂y2 + ∂2μ∂z2 = B'

∂∂z ∇2μ ; (6.b)

onde ∇2 é o operador Laplaciano.

A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela

segunda lei de Newton, expressa por

- ∂Qy

∂y - ∂Qz

∂z = m'' ∂2μ∂t 2 , (7)

onde m’’ (kg/m2) é a massa por unidade de área da placa e t (s) é o tempo ao longo do qual

decorre a vibração

Introduzindo as equações (6.a) e (6.b) na equação (7), obtém-se

-B' ∇4μ = m'' ∂2μ∂t 2 , (8)

que corresponde à equação geral das ondas de flexão em placas. Esta equação será

posteriormente utilizada para o desenvolvimento de uma expressão para o cálculo do campo

de vibrações induzido numa placa por uma força de impacto pontual.

8

2.3 PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA

2.3.1 Descrição do modelo

O elemento estrutural mais simples para a análise dinâmica do efeito de um impacto consiste

numa placa homogénea de espessura constante, simplesmente apoiada em todo o seu

contorno. Nestas condições, existe uma solução exacta para a mobilidade pontual da placa,

isto é, para a função de transferência entre uma força de impacto e o campo de velocidades

gerado na placa. Esta solução poderá ser posteriormente generalizada para outras condições

de apoio.

Para a determinação da velocidade num dado ponto da placa, considera-se que o campo de

deslocamentos, μ(y,z,t), se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, dada por

μ(y,z,t) = μ(y,z)ejωt, (9)

onde j = -1 e ω (rad/s) é a velocidade angular da onda sonora.

A equação (8) da onda de flexão na placa pode ser então escrita na forma

∇4μ(y,z) - k4μ(y,z) = 0, (10)

onde k4 = ω2 (m''/B' ) é o número de onda de flexão, que caracteriza a periodicidade da onda no

espaço e no tempo. A sua forma inicial é k = ω / c ,onde c (m/s) é a velocidade com que uma

onda se propaga sem alteração de fase.

A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos

da placa, como a espessura, as condições de apoio, e as características do material

constituinte, nomeadamente a massa volúmica, ρ (kg/m3), o coeficiente de Poisson, e módulo

de elasticidade.

Pelo método de Rayleigh [6], é possível determinar a função da deformada modal da placa a

partir das funções da deformada modal de vigas fictícias, dispostas segundo as direcções y e z

da placa, de largura unitária e com condições de apoio idênticas às da placa. As funções de

forma da placa são então dadas por

μm1n1(y,z) = μm1

(y) μn1(z), (11)

onde μm1 e μn1

são as funções de forma das vigas.

Numa placa rectangular, de largura b (m) e comprimento c (m), como a representada na

Figura 2, os deslocamentos segundo o eixo z terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim

como os momentos flectores. Para que as deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os

9

deslocamentos μm1(y) e μn1

(z) terão de ser nulos nas coordenadas y = 0, y = b, z = 0, e z = c.

Para as mesmas coordenadas, também as segundas derivadas das funções forma terão de ser

nulas.

Uma vez que as funções μm1(y) e μn1

(z) têm variáveis independentes, a equação (8) poderá ser

resolvida para cada direcção y e z, também de uma forma independente. Assim, para a

direcção y, a equação (8) é dada por

-B' ∂4μy

∂y 4 = m'' ∂2μy

∂t 2 , (12)

Figura 2 - Dimensões da placa rectangular homogénea.

As deformadas modais μm1(y) da viga fictícia têm a forma

μm1 = C1sen(Ky)+C2cos(Ky)+C3senh(Ky)+C4cosh(Ky), (13)

onde K é uma constante. As funções μm1(y) são determinada de uma forma análoga.

Resolvendo-se a expressão (13) para as condições de fronteira atrás indicadas, obtêm-se as

funções dos deslocamentos modais da placa,

μm1n1(y,z) = Am1n1

sen⎝⎛

⎠⎞m1πy

b sen⎝⎛

⎠⎞n1πz

c , (14)

onde Am1n1 são constantes de integração.

As frequências fundamentais da placa podem então ser determinadas pela substituição da

equação (14) na equação (10), obtendo-se

ωm1n1 = π2 B'

m'' ⎣⎡

⎦⎤

⎝⎛

⎠⎞m1

b

2

+⎝⎛

⎠⎞n1

c

2

. (15)

A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de

conservação de energia num sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto

10

pela introdução de uma parcela p(y,z,t) no lado esquerdo da equação (7), a qual corresponde à

actuação de uma força externa num ponto (y,z) da placa, com direcção perpendicular a esta e

intensidade variável em função do tempo. A equação (8) é então reescrita como

B'∇4μ(y,z,t) + m'' ∂2μ(y,z,t)

∂t 2 = p(y,z,t). (16)

Para se obter uma equação que exprima a velocidade de um dado ponto da placa devida a

essa força, introduz-se a relação vx(y,z,t) = jωμ(y,z,t). A equação (16) transforma-se assim em

B' ∇4vx(y,z) - m'' ω2 vx(y,z) = jω p(y,z). (17)

A solução da equação (17) é dada por

vx(y,z) = ∑m1n1 = 1

∞

[ ]Am1n1 ϕm1n1

(y,z) , (18)

em que ϕm1n1(y,z) = sen(m1πy / b) sen(n1πz / c) são as funções de forma que satisfazem as

condições de fronteira de uma placa simplesmente apoiada.

Substituindo as equações (15) e (18) em (17) obtém-se, tendo em conta a equação (10),

∑m1n1 = 1

∞

[ ]Am1n1(ω2

m1n1 - ω2)ϕm1n1

(y,z) = ωm'' p(y,z). (19)

A constante de integração Am1n1é determinada por multiplicação de ambos os membros da

equação (19) por ϕm1n1 e posterior integração na área da placa. Tendo em conta a condição de

ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se

Am1n1 = j ωm'' ⋅

⌡⌠0

b

⌡⌠0

c

p(y,z) ϕm1n1

(y,z)dydz

( )ω 2m1n1

- ω2 Λm1n1

, (20)

onde

Λm1n1 = ⌡⌠

0

b

⌡⌠0

c

ϕ 2

m1n1(y,z)dydz. (21)

Para uma placa simplesmente apoiada, Λm1n1 = bc / 4.

Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual, aplicada no ponto (y0, z0),

de amplitude F = p(y,z)dydz, a função p(y,z) é dada por

11

p(y,z) = Fδ(y - y0) δ(z - z0), (22)

onde δ(y - y0) é a função de Dirac, tal que δ(y - y0) = 1, se y = y0, ou δ(y - y0) = 0, se y ≠ y0. A

funçãoδ(z - z0) é similar.

Introduzindo as equações (20) a (22) em (18) obtém-se a expressão

vx(y, z) = j 4 ω Fm'' b c ∑

m1,n1 = 1

∞

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ϕm1n1

(y, z) ϕm1n1(y0, z0)

ω 2m1n1

- ω 2 , (23)

a qual fornece a velocidade pontual de uma placa homogénea, simplesmente apoiada, sem

perdas por amortecimento. O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela

adição, às forças elásticas, de forças viscosas, proporcionais à derivada no tempo da

deformação. A lei de Hooke toma assim a forma

σ(t) = D ⎣⎡

⎦⎤ε(t) + υ

dε(t)dt , (24)

onde D e υ são, respectivamente, a rigidez e o parâmetro de viscosidade do material

constituinte. Para ε(t) = ε cos(ωt), a equação (24), depois de alguma manipulação matemática,

é dada por

σ(t) = D ε 1 + ω2υ2 + cos[ ]ωt + arctg(ωυ) . (25)

Deste modo, para a variação periódica da deformação, o principal efeito do amortecimento é a

produção de uma diferença de fase entre a deformação e a tensão. Isto pode ser expresso, em

notação complexa, por uma rigidez complexa D = D1 + j D2, obtendo-se

σ(t) = Re( )Dε ejωt = ε [ ]D1cos(ωt) - D2sen(ωt) . (26)

Se o factor de perdas da placa for definido como η = D2/D1, em que η = ωυ para o modelo de

viscosidade descrito anteriormente, então D = D1(1 + jη). Assim, a rigidez de flexão da placa é

dada, em notação complexa, por

B' = E1 - ν 2

h3

12 (1+ jη) = B' (1 + jη) . (27)

12

A introdução da equação (27) na equação (10) obriga a que as frequências próprias, ωm1n1

tenham também de ser expressas em notação complexa por ωm1n1 = ωm1n1

1 + jη.

Assim, a equação que descreve a velocidade de um dado ponto da placa é expressa por

vx(y, z) = j 4 ω Fm'' b c ∑

m1,n1 = 1

∞

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ϕm1n1

(y, z) ϕm1n1(y0, z0)

ω 2m1n1

(1 + j η) - ω 2 . (28)

2.3.2 Implementação do modelo

Com o apoio de um programa computacional, a equação (28) pode ser resolvida com relativa

facilidade.

O programa de execução é composto por uma fase de leitura de dados, input, uma fase de

tratamento dos dados, e uma última fase de apresentação dos resultados obtidos, output.

A fase de tratamento de dados organiza-se em duas partes. A primeira parte determina os

modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados

numa matriz com a forma [(m1, n1, ωm1n1)×Nplaca].

O parâmetro Nplaca corresponde ao número de modos da placa considerados, o qual depende

da frequência máxima que será analisada. Neste estudo são analisadas as frequências

compreendidas entre os 18 Hz e os 225 Hz, que correspondem aos limites inferior e superior

das bandas de terços de oitava de 20 e 200 Hz, respectivamente. As frequências abaixo dos

20 Hz têm importância reduzida para o presente estudo por se situarem foram do intervalo de

frequências audíveis do ser humano. Quanto às frequências acima dos 200 Hz, observa-se

que, para as dimensões correntes dos compartimentos dos edifícios de habitação, o campo

sonoro instalado já não apresenta características modais.

Uma vez que, de acordo com a equação (28), o campo de vibração da placa resulta do

somatório de contribuições de cada modo de vibração, é necessário considerar um intervalo de

frequências mais largo. Considera-se suficiente admitir uma frequência quatro vezes superior

ao limite anteriormente estabelecido, pelo que a frequência máxima adoptada será de 900 Hz

(4 × 225 Hz).

A segunda parte corresponde à resolução da equação (28). Esta parte implica a soma de Nplaca

parcelas para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz.

O método, descrito pela equação (28), para a definição do campo de vibração de uma placa

homogénea induzido por uma força de impacto pontual foi validado numérica e

experimentalmente por Neves e Sousa [3] e apresenta a vantagem de ser extremamente

rápido, em baixas frequências, por envolver um número relativamente baixo de operações.

13

2.4 PLACA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA

2.4.1 Descrição do modelo

A ortotropia pode resultar das propriedades anisotrópicas dos materiais do pavimento ou de

diferentes secções geométricas do pavimento nas duas direcções principais de flexão. Os

pavimentos de madeira contêm ambos os tipos de ortotropia. Assumindo que, quer o

revestimento, quer as vigas são do mesmo material e tendo em conta que estas componentes

do pavimento funcionam de forma separada nas diferentes direcções, a anisotropia do material

pode ser desprezada e, portanto, apenas terá de ser considerada a ortotropia geométrica.

Em estudos anteriores sobre a vibração de pavimentos vigados de madeira foram identificados

três domínios de frequência distintos que requerem a utilização de diferentes métodos de

previsão [12-14].

Para frequências altas e comprimentos de onda muito menores do que a distância entre vigas,

a ligação do revestimento às vigas é pontual e, por esse motivo, a resposta do pavimento é

controlada pelas propriedades do revestimento.

Para frequências médias e comprimentos de onda da mesma ordem de grandeza da distância

entre vigas, o revestimento do pavimento comporta-se como estando ligado às vigas ao longo

de todo o comprimento destas e o número de onda do pavimento corresponde ao de uma viga

fina com rigidez idêntica à da placa ortotrópica nessa direcção.

Para baixas frequências e comprimentos de onda muito maiores do que a distância entre vigas

é provável que o revestimento e as vigas se movam de forma conjunta e, portanto, o sistema

pode ser modelado com recurso à teoria da placa equivalente, i.e, modelando a laje reforçada

pela vigas como uma placa anisotrópica equivalente [9, 12-16]. Este modelo de placa

equivalente deve ser definido de forma que os números de onda para ondas de flexão possam

ser estimados com precisão suficiente.

Orrenius e Finnveden [14] observaram que existem modos de vibração do pavimento que

correspondem ao revestimento e às vigas a vibrarem em conjunto (modos “rígidos”) também a

frequências mais altas, o que parece indicar que, mesmo para estas frequências mais

elevadas, a teoria da placa equivalente fornece estimativas razoáveis dos números de onda

correspondentes à propagação de ondas associadas a modos rígidos.

Em seguida, é apresentada a equação de movimento para placas ortotrópicas que se

desenvolvem no plano yz. As expressões (1.a) e (1.b) são agora dadas por

14

σy = 1

1 - νyνz ( )Eyεy + νyEzεz = - x

1 - νyνz ⎝⎛

⎠⎞Ey

∂2μ∂y2 + νyEz

∂2μ∂z2 ; (29.a)

σz = 1

1 - νyνz ( )Ezεz + νzEyεy = - x

1 - νyνz ⎝⎛

⎠⎞Ez

∂2μ∂z2 + νzEy

∂2μ∂y2 ; (29.b)

onde Ey e Ez correspondem aos módulos de elasticidade das duas direcções principais. O

coeficiente de Poisson na direcções y e z são dados por νy e νz, respectivamente. Como

consequência da necessidade de simetria das condições tensão-deformação, é normalmente

aceite a hipótese de que νyEz = νzEy = Eyz. De acordo com Nightingale [13], esta condição pode

não ser verificada em placas reforçadas com vigas, e portanto, nessas situações, o número de

onda na direcção principal já não é controlado apenas pela rigidez de flexão nessa direcção.

Os momentos flectores que resultam das equações (29) são dados por

M'yz = -⌡⌠

-h/2

h/2

σy x dx = B'y

∂μ2

∂y2 + B'0 ∂μ2

∂z2 ; (30.a)

M'zy = ⌡⌠

-h/2

h/2

σz x dx = -B 'z

∂ 2μ∂z2 - B'0

∂ 2μ∂y2 ; (30.b)

onde B'y = Ey h3/[ ]12 (1 - νyνz) e B'z = Ez h3/[ ]12 (1 - νyνz) são os módulos de rigidez de flexão da

placa equivalente com a espessura uniforme h; e B'0 = Eyz h3/[ ]12 (1 - νyνz) .

Os momentos torçores são calculados de acordo com as expressões

M'yy = -M'zz = ⌡⌠

-h/2

h/2

τyz x dx = -2

G h3

12 ⋅∂ 2μ∂y∂z = -2 B 'yz

∂ 2μ∂y∂z . (31)

Em resultado do equilíbrio estático de momentos e da segunda lei de Newton, obtém-se a

equação geral de flexão para placas ortotrópicas, a qual é dada por

B'y ∂ 4μ(y, z, t)

∂y 4 + 2 H ∂ 4μ(y, z, t)∂ y2∂ z2 + B'z

∂ 4μ(y, z, t)∂ z4 + m''

∂ 2μ(y, z, t)∂ t 2 = p( )y, z, t (32)

onde H = B'0 + 2 B'yz representa a relação tensão-deformação no plano da placa ortotrópica e a

rigidez de corte transversal.

De acordo com autores como Bares [17], Panc [18] e Szilard [19], o módulo de corte no plano

yz, pode ser estimado por G = EyEz / [ ]2 ( )1 + νyνz . Como definido por Timoshenko [15],

Panc [18] e Thomas [20], os valores de G deverão ser confirmados por ensaios de laboratório,

ou seja, deverá ser usado um factor de correcção G0. No caso de lajes vigadas de madeira,

tem-se (νy ≈ νz) ≈ ν ⇒ νyνz ≈ ν.

15

Figura 3 - Tipo de modelação adoptada.

De acordo com Cremer [9] e Timoshenko [15], a teoria acima descrita fornece apenas uma

aproximação grosseira da resposta em vibração do pavimento ilustrado na Figura 3, sendo, por

isso, necessário melhorar a precisão do modelo. Assumindo que as vigas estão orientadas

segundo a direcção y (com comprimento b) e tomando o módulo de elasticidade Ez do

revestimento como módulo de elasticidade do material da placa equivalente (E), as rigidezes

da laje podem ser calculadas através das expressões seguintes:

B'y = E Ijws

; (33)

B 'z = E ws h

3

s

12 ⎣⎡

⎦⎤ws - wj + ⎝

⎛⎠⎞hs

ht

3

⋅wj

; (34)

B'0 = 0; B 'yz = G h

3

s12 +

GJj2 ws

; (35)

onde Ij (m4) corresponde ao momento de inércia de uma viga (secção em T), calculada através

da largura efectiva assumida como ws; e Jj (m4) corresponde ao momento de inércia de torção

que pode ser obtido em qualquer tabela técnica. Nas equações acima descritas, o módulo de

corte G é igual a G0 E[ ]2 (1 + ν) .

Para placas homogéneas simplesmente apoiadas, de espessura constante, o campo de

velocidades vx(y,z) gerado por uma força pontual de amplitude F é dado pela expressão (28),

onde as frequências modais do pavimento ωm1n1 são agora dadas por

ωm1n1 =

π2

m''

m41 B'yb4 +

2 m21 n

21 H

b2c2 + n4

1 B'zc4 . (36)

ωlmn ≈ ωlmn(1 + jη / 2) (37)

O factor de perdas η na expressão (28) é dado por

ws

wj

ws

wj wj

hj

hs

16

η = 0,015 + 2 α -

31/4 π3/2 c cL hs

f + Nj Bj

2b B'w , (38)

onde Bj é a rigidez de flexão de uma viga e B´

w é a rigidez de flexão da parede de suporte. O

primeiro termo da equação (38) corresponde às perdas internas do material e o segundo e

terceiro termos correspondem a aproximações, dadas por Craik [21], para as perdas por

acoplamento que ocorrem, a baixas frequências, no perímetro do pavimento, ao longo do

contacto linear piso/parede (eixo y) e dos contactos pontuais viga/parede (eixo z).

2.4.2 Implementação do modelo

Com o apoio de um programa computacional, a equação (28), com as alterações impostas

pelas expressões (36) e (38), pode, mais uma vez, ser resolvida com relativa facilidade.

Em geral, o modelo pode ser implementado de forma idêntica à descrita na secção 2.3.2.

Contudo, uma vez que a expressão (28), na sua forma original, foi desenvolvida para secções

homogéneas, é necessário, no caso das placas ortotrópicas, proceder a uma homogeneização

prévias da secção segundo o eixo y.

17

3. VALIDAÇÃO DO MODELO

3.1. INTRODUÇÃO

No presente capítulo é descrito o processo de validação do modelo apresentado em 2.4 para

previsão do campo de vibração de uma placa ortotrópica sujeita a uma força de impacto

pontual.

A forma ideal de validar o método consiste na realização de ensaios comparativos em

laboratório ou in situ. Uma vez que os ensaios in situ envolvem uma quantidade demasiado

grande de incertezas e que os ensaios em laboratório não poderiam ser, actualmente,

realizados nas instalações do Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico,

optou-se por recorrer a resultados de ensaios disponíveis na bibliografia. Infelizmente, a

bibliografia encontrada foi escassa, limitando-se a informação disponível para análise aos

resultados dos testes laboratoriais realizados por Mayr e Nightingale [11] em placas

ortotrópicas de Plexiglas (placa monolítica de vidro acrílico) [W.1] e de madeira.

Assim, a validação do método processar-se-á em duas fases. Primeiro, os resultados

experimentais de Mayr e Nightingale [11] serão utilizados para validar directamente o Método

dos Elementos Finitos. Para tal será utilizado o programa comercial de análise estrutural,

SAP2000 [22]. De seguida, o MEF, entretanto validado, servirá para validar, indirectamente, o

método analítico descrito em 2.4.

3.2. ENSAIOS DE LABORATÓRIO DE MAYR E NIGHTINGALE

3.2.1. Descrição geral

Mayr e Nightingale [11] efectuaram medições da mobilidade pontual de pavimentos de teste em

Plexiglas e em madeira.

O pavimento de teste em Plexiglas (Figura 4) é constituído por uma placa com 2,40 × 1,20 m2,

com uma espessura de 12 mm, reforçada com vigas espaçadas de 40 cm. As vigas têm uma

secção transversal rectangular com 18,7 mm de largura por 235 mm de altura e estão ligadas à

placa por 16 parafusos igualmente espaçados.

Foram consideradas as seguintes propriedades do material: ρ = 1190 kg/m3; E = 3,3 GPa; e

ν = 0,37.

Todos os bordos da placa foram considerados livres.

18

I1

H1

G1

F1

E1

D1

C1

B1

A1

0

0,4

0,8

1,2

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4

z (m)

y (m)

Figura 4 - Localização dos pontos de medição para o pavimento de teste em Plexiglas.

O pavimento de madeira testado (Figuras 5 e 6) é constituído por placa de revestimento e vigas

de diferentes tipos de madeira. O revestimento é constituído por placas de aglomerado de

fibras de madeira com 4,55 × 4,95 m2, com uma espessura de 21 mm, ligadas a 7 vigas de

pinho por parafusos espaçados de 20 cm. As vigas têm uma secção transversal com 96 mm de

largura e 192 mm de altura.

Figura 5 – Solução construtiva do pavimento de teste em madeira.

Foram consideradas as seguintes propriedades dos materiais: ρrevestimento = 668 kg/m3;

ρvigas = 400 kg/m3; Erevestimento = 2 GPa; Evigas = 11 GPa; νrevestimento = 0,30 e νvigas = 0,25.

Todos os bordos da placa de revestimento foram considerados simplesmente apoiados.

A mobilidade pontual dos dois pavimentos de teste acima descritos foi medida por Mayr e

Nightingale [11] nos pontos indicados nas Figuras 4 e 6.

19

G2

F2E2D2

H2

C2B2A2

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

z (m)

y (m)

Figura 6 - Localização dos pontos de medição para o pavimento de teste em madeira.

Os valores reais das mobilidades pontuais medidas por Mayr e Nightingale [11] foram

comparados com os valores característicos da mobilidade pontual (mobilidade característica)

das placas de revestimento e das vigas presentes em cada pavimento de teste.

As mobilidades características dos pavimentos correspondem às mobilidades pontuais obtidas

em pavimentos com a mesma configuração mas de dimensões infinitas em planta. Pode

constatar-se que as mobilidades características são valores (limites) para os quais tendem os

espectros de mobilidade pontual dos pavimentos. As mobilidades características afastam-se

mais do espectro da mobilidade pontual dos pavimentos nas baixas frequências, onde os

pavimentos exibem um comportamento modal, dependente das suas dimensões em planta.

Nas altas frequências, onde o comportamento dinâmico dos pavimentos pode ser definido

como estatístico e independente das suas dimensões em planta, a mobilidade característica

constitui uma boa aproximação do espectro da mobilidade pontual dos pavimentos.

As mobilidades características de uma viga e de uma placa são dadas, respectivamente, por

Re{Yc,j}= 1

4 cB m'j ; (39)

Re{Yc,s} = 1

8 B's m''s ; (40)

onde cB, dada por

cB = λB f , (41)

20

é a velocidade de propagação das ondas de flexão numa viga de massa m’j (kg/m). O

comprimento de onda de flexão, λB, em placas é dado por

λB = B'm''

2πf (m). (42)

3.2.2. Pavimento de teste em Plexiglas

Na estrutura de Plexiglas foram definidos 4 pares de pontos idênticos (A1 e I1; B1 e H1; C1 e G1;

D1 e F1) e um ponto (E1) que marca o eixo de simetria em relação aos restantes pontos de

medição. Desta forma, existem 2 pontos de medição que se encontram em cima de uma viga

de reforço (pontos A1 e I1) e um ponto (E1) que se encontra sobre a placa de piso,

precisamente a meia distância entre vigas. Os pontos A1 a I1 estão distanciados 0,05 m uns

dos outros (Figura 4).

Os resultados experimentais de Mayr e Nightingale [11] mostram que é a distância do ponto de

medição à viga de reforço mais próxima que determina a mobilidade pontual do pavimento.

Assim, nos pontos A1 e I1 o comportamento registado nas baixas frequências será próximo do

comportamento de uma viga infinita, tendendo nas altas frequências, para o comportamento de

placa infinita, o que mostra claramente que, para frequências mais altas, o revestimento

funciona de forma completamente independente da viga (Figura 7). De uma forma mais

precisa, como demonstrado por Mayr e Nightingale [11], a mobilidade do pavimento é, em

virtude do exposto, determinada pela distância do ponto de medição ao ponto de ligação da

viga à placa de revestimento (parafuso).

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Ponto A1 Ponto B1 Ponto C1 Ponto D1Ponto E1 Ponto F1 Ponto G1 Ponto H1Ponto I1 Yc,j Yc,s

Figura 7 – Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em

Plexiglas em bandas de terços de oitava [11].

21

No ponto E1 o pavimento deverá apresentar um comportamento dinâmico próximo do da placa

infinita. Nos pontos restantes, o comportamento dinâmico do pavimento deverá situar-se entre

estes dois limites: viga e placa infinitas.

3.2.3. Pavimento de teste em madeira

No pavimento de teste em madeira, foram seleccionados pontos de medição de uma forma

mais aleatória. No entanto, as conclusões retiradas da análise das mobilidades pontuais

medidas são semelhantes às obtidas por análise do pavimento em Plexiglas (Figura 8).

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Ponto A2 Ponto B2 Ponto D2 Ponto E2

Ponto G2 Yc,j Yc;s

Figura 8 - Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em madeira

em bandas de terços de oitava [11].

Na Figura 9 são apresentados os valores reais do espectro de mobilidade pontual em banda

estreita obtidos nos pontos B2 e D2 do pavimento de teste em madeira.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 70 120 170 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Ponto B2 Ponto D2

Figura 9 - Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em madeira

em banda estreita [dados fornecidos por Andreas Mayr [11].

22

3.3. VALIDAÇÃO NUMÉRICA

3.3.1. Descrição do processo de validação

A validação numérica do modelo de cálculo descrito na secção 2.4 foi efectuada por

comparação com modelos de elementos finitos construídos com base num programa comercial

[22]. Num primeira fase, com o objectivo de confirmar a correcta utilização do programa de

cálculo automático, optou-se por testar um pavimento homogéneo submetido a uma força de

impacto pontual. Os resultados fornecidos pelo MEF puderam ser validados por comparação

com os resultados obtidos com o modelo analítico descrito na secção 2.3, o qual foi

previamente validado experimentalmente por Neves e Sousa [3].

Uma vez validado o MEF para pavimentos homogéneos, foram construídos modelos de

elementos finitos relativos aos pavimentos de teste descritos em 3.2, os quais, após validação

por comparação com os resultados experimentais obtidos por Mayr e Nightingale [11],

permitiram definir um processo adequado de construção de modelos de pavimentos

ortotrópicos leves.

Em seguida, são descritos os modelos de elementos finitos acima referidos.

3.3.2. Pavimento homogéneo

A avaliação, pelo MEF, do campo de vibração de um pavimento uniforme sujeito à acção de

uma força de impacto pontual pode ser efectuada de diferentes formas. No presente trabalho,

onde se pretende determinar funções de mobilidade pontual do pavimento, ou seja, funções de

transferência entre a força de impacto e a vibração num determinado ponto do pavimento,

optou-se por efectuar uma análise no domínio do tempo. Desta forma, a força dinâmica

exercida no pavimento foi introduzida no programa de cálculo automático através de um sinal

no tempo (impulso apresentado na Figura 10) com um espectro correspondente constante e de

valor unitário (Figura 11).

A resposta do pavimento foi assim obtida em diferentes pontos na forma de sinais no tempo, os

quais foram posteriormente convertidos em espectros de velocidade por aplicação do algoritmo

FFT (Fast Fourier Transform). Estes espectros correspondem aos espectros de mobilidade

desejados.

O MEF pode ser aplicado com base em integração no tempo ou em análise modal. Neste

trabalho, tendo em conta o objectivo de validação do método analítico de análise modal, optou-

se por aplicar o MEF também com base na análise modal. Este procedimento tem a vantagem

de permitir identificar de forma mais directa os modos de vibração dos pavimentos e os

eventuais desvios registados entre o método numérico e o método analítico.

23

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

0 50 100 150 200 250

f (Hz)

F (N)

Figura 10 – Espectro de força de impacto aplicada no pavimento.

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

0,000 0,001 0,002

t (seg)

F (N)

Figura 11 – Impulso da força de impacto aplicada no pavimento.

A opção por uma análise modal no programa de elementos finitos exige alguns cuidados,

nomeadamente, na escolha do número de modos de vibração a calcular. Uma vez que o

método numérico de Elementos Finitos, bem como o método analítico proposto, recorre à

análise modal, a resposta da placa vibrante resulta da sobreposição dos efeitos de cada modo

de vibração. Assim, a precisão da resposta aumenta com o número de modos de vibração

considerado. Uma vez que se pretende obter uma resposta fiável no domínio das baixas

frequências (20-200 Hz) quer em banda estreita, quer em bandas de 1/3 de oitava, onde o

limite superior da banda de 200 Hz se situa a 225 Hz, é necessário efectuar a análise, pelo

menos, até 900 Hz, conforme foi explicado em 2.3.2.

24

Tendo em conta as observações acima indicadas, optou-se por modelar um pavimento de

betão armado, simplesmente apoiado, com 5,00 × 4,00 m2 de área e 20 cm de espessura.

Consideraram-se as seguintes propriedades do betão armado:

• Massa volúmica ρ = 2400 kg/m3, onde é contabilizada a massa do betão (2300 kg/m3)

e a massa da armadura ordinária (100 kg/m3 de betão);

• Módulo de elasticidade E = 30 GPa;

• Coeficiente de Poisson ν = 0,2;

• Factor de perdas dado por

η = 0,01 + 1f , (43)

onde a primeira parcela corresponde às perdas internas de energia de vibração sob a

forma de calor e a segunda parcela a uma aproximação das perdas ocorridas no

perímetro do pavimento por transmissão a outros elementos estruturais [21]. O

coeficiente de amortecimento introduzido no modelo numérico, ζ, é um parâmetro de

amortecimento que se relaciona com o factor de perdas por ζ = η / 2.

O pavimento foi modelado com elementos de casca do tipo “Shell – Thin” [22], sendo este o

tipo de secção mais corrente na modelação de elementos estruturais planos. Considerando os

limites de aplicabilidade do método numérico, foi definida uma malha de elementos

rectangulares de largura não superior a um sexto do menor comprimento de onda analisado.

Foram utilizados elementos de 30 cm de largura, pelo que a regra atrás enunciada foi cumprida

com uma margem bastante confortável. Na Figura 12 é ilustrado o modelo do pavimento.

Figura 12 - Modelo do pavimento de betão armado.

Na Figura 13 são apresentados os espectros de mobilidade obtidos para análises efectuadas

até aos 450, 900 e 1800 Hz. Observa-se que, de facto, quando se passa de uma frequência

máxima de 450 Hz para 900 Hz, a resposta do pavimento é alterada para frequências

superiores a 35 Hz. No entanto, quando se utiliza uma frequência máxima de análise de

1800 Hz, não se registam alterações na resposta do pavimento para frequências inferiores a

225 Hz, o que confirma a regra descrita em 2.3.2.

25

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

1800Hz 900Hz 450Hz

Figura 13 – Efeito da sobreposição modal.

Para efeitos de validação deste modelo, foram calculados os espectros das velocidades em

dois pontos do pavimento de betão armado, definidos pelas coordenadas (y, z) = (y0, z0) =

(1,50; 1,25) m e (y, z) = (y0, z0) = (2,50; 2,00) m. As Figuras 14 e 15 mostram as magnitudes

das funções de transferência entre a força de impacto exercida no pavimento e a velocidade

obtidas com o MEF e com o método analítico descrito na secção 2.3.

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF Análise Modal

Figura 14 - Amplitude da mobilidade calculada no ponto (y, z) = (1,50; 1,25) m com os

métodos numérico e analítico. Para ambos os pontos, observa-se que a magnitude da mobilidade obtida através do método

numérico se aproxima bastante dos valores teóricos. Os modos de vibração do pavimento

surgem também em frequências semelhantes às obtidas teoricamente. Como exemplo, o modo

(m1,n1) = (1,1), doravante designado apenas por modo (1,1), surge nas frequências 33,4 Hz e

33,5 Hz para o método MEF e analítico, respectivamente.

26

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y} (m/Ns)

MEF Análise Modal

Figura 15 - Amplitude da mobilidade calculada no ponto (y, z) = (2,50; 2,00) m com os métodos numérico e analítico.

Essencialmente, estes resultados permitem concluir que os procedimentos adoptados na

utilização do SAP2000 [22] para a modelação numérica do pavimento estão correctos,

podendo, assim, ser seguidos para a modelação de estruturas mais complexas.

3.3.3. Pavimentos ortotrópicos leves

A modelação de pavimentos ortotrópicos constituídos por placas finas reforçadas por vigas

deve ter em conta dois aspectos fundamentais. Um destes aspectos é a posição do centro de

gravidade das diferentes componentes do pavimento, a qual é importante para definir

correctamente as suas propriedades mecânicas, em particular, a rigidez de flexão.

O outro aspecto a ter em conta na modelação é a ligação das vigas de reforço à placa, a qual é

importante principalmente nas frequências mais altas. No entanto, com o objectivo de eliminar

o maior número possível de eventuais fontes de erro, optou-se, neste trabalho, por modelar a

ligação pontual das vigas de reforço à placa. Para tal, foram utilizados, no programa

SAP2000 [22], elementos “constraint” caracterizados por serem indeformáveis à flexão e à

compressão, o que garante uma ligação perfeitamente rígida. Estes elementos rígidos foram

definidos entre pontos no centro de gravidade da viga e pontos no centro de gravidade da

placa, os quais se situam tão próximo quanto o permitido pelas condicionantes da malha

adoptada das posições reais dos parafusos no pavimento testado experimentalmente.

3.3.3.1. Pavimento de teste em Plexiglas

Tendo em conta os aspectos de modelação acima referidos, optou-se por modelar o pavimento

de teste de Plexiglas, na zona de interesse, com elementos de placa quadrados de 5×5 cm2

ligados a vigas modeladas com elementos de barra com 5 cm de comprimento por elementos

27

rígidos (parafusos) espaçados, em geral, de 10 cm. Fora da zona de interesse do pavimento

optou-se por uma malha de elementos de placa quadrados de 10×10 cm2, reduzindo, dessa

forma, significativamente a dimensão do modelo e o tempo de cálculo, sem perda de precisão.

A ligação entre os elementos de placa de diferentes dimensões foi efectuada tendo em atenção

a necessidade de garantir a continuidade e compatibilidade entre o nós da malha, de acordo

com a Figura 16

Figura 16 - Compatibilização da malha de elementos finitos de placa na zona de transição.

Na Figura 17 é ilustrada a diferença de mobilidades obtida pelo MEF para um pavimento de

teste diferente do pavimento de Plexiglas modelado com uma malha apertada em toda a área e

com uma malha mais larga nas zonas exteriores à zona de controlo da mobilidade.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Malha mais apertada Malha mais larga

Figura 17 - Comparação de espectros de mobilidade obtidos pelo MEF com diferentes

malhas de elementos de placa.

28

Na Figura 18 é apresentada a modelação de uma viga de reforço, incluindo os parafusos de

ligação à placa de piso.

Figura 18 – Vista de uma viga de reforço (█), com indicação dos parafusos (█) de ligação

à placa (█).

Apesar de o pavimento em Plexiglas testado experimentalmente apresentar os bordos da placa

de piso livre (FF), optou-se por modelar, além desta situação, também a situação de placa de

piso simplesmente apoiada no bordo (SS). Tal deve-se ao facto de o método analítico a validar

ter sido desenvolvido para placas simplesmente apoiadas e também ao facto de a generalidade

dos pavimentos existentes apresentar o bordo apoiado em paredes. Por outro lado, desta

forma, é possível avaliar a influência das condições de apoio do bordo da placa de piso no

desempenho do pavimento. Na figura 19 é apresentado o modelo tridimensional do pavimento

de teste em Plexiglas com o bordo simplesmente apoiado.

Figura 19 – Modelo tridimensional do pavimento de teste em Plexiglas com o bordo

simplesmente apoiado.

Na Figura 20 são apresentados os espectros da parte real da mobilidade obtidos com o MEF

para os pontos A1 a I1, em ambos os modelos (FF e SS). Para efeitos de validação do modelo é

apresentado, na Figura 21, uma comparação entre os espectros em bandas de terços de oitava

da parte real das mobilidades medidas experimentalmente no pontos A1, C1 e E1 com os

espectros correspondentes obtidos com o MEF para os casos de placa de piso com bordos

livres e simplesmente apoiados.

29

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s Y(A1;I1)_FF Y(B1;H1)_FFY(C1;G1)_FF Y(D1;F1)_FF Y(E1)_FF Y(A1;I1)_SSY(B1;H1)_SS Y(C1;G1)_SS Y(D1;F1)_SS Y(E1)_SS

Figura 20 - Espectros da parte real da mobilidade obtidos com o MEF para os pontos A1 a I1, em ambos os modelos (FF e SS).

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s Y(A1)_FF Y(C1)_FFY(E1)_FF Y(A1)_SS Y(C1)_SS Y(E1)_SSY(A1;Medição) Y(C1;Medição) Y(E1;Medição)

Figura 21 - Comparação entre os espectros da parte real das mobilidades medidas experimentalmente no pontos A1, C1 e E1 com os espectros correspondentes obtidos com o MEF para ambos os modelos (FF e SS).

A Figura 21 mostra que os resultados obtidos com os dois modelos não diferem

significativamente, o que permite concluir que as condições de apoio do bordo da placa de piso

não são muito importantes para o desempenho do pavimento, podendo, por isso, de uma forma

simplificada, considerar-se, na generalidade dos casos, os bordos simplesmente apoiados.

Esta simplificação é considerada no modelo analítico proposto. Paradoxalmente, a Figura 21

mostra que os resultados obtidos com o modelo de placa de piso simplesmente apoiado são

mais próximos dos resultados experimentais do que os obtidos com o modelo de placa de piso

com bordos livre.

30

Em geral, a parte real da mobilidade prevista com o MEF é superior à medida

experimentalmente, mas a forma do espectro, ou seja, a evolução da mobilidade com a

frequência, é semelhante para os valores previstos e medidos. A maior mobilidade dos

pavimentos modelados, bem como a semelhança de desempenho entre os pavimentos com

bordos livres e simplesmente apoiados, explica a maior convergência, relativamente aos

resultados obtidos por via experimental, dos resultados obtidos com o modelo simplesmente

apoiado, o qual é um pouco mais rígido.

Na Tabela 1 são apresentadas as diferenças, em dB, entre os valores medidos e previstos da

parte real da mobilidade do pavimento. Observe-se que o erro diminui com a frequência e com

a distância às vigas. A fiabilidade dos valores apresentados para as bandas de terços de oitava

centradas nas frequências de 250 a 1000 Hz é menor devido à insuficiente sobreposição

modal, no entanto, o erro é geralmente baixo. Tal pode dever-se ao facto de, para frequências

mais elevadas, o pavimento apresentar um comportamento mais difuso e menos modal.

Ponto

Frequência (Hz) A1;I1 B1;H1 C1;G1 D1;F1 E1

100 -9,7 -4,0 -5,4 -5,2 -4,9 125 -8,2 -7,7 -6,5 -5,6 -5,1 160 -7,9 -5,2 -1,9 -0,3 0,3 200 -8,4 -5,6 -0,9 2,6 3,9 250 -3,7 -5,1 -3,5 0,7 2,9 315 7,4 -3,7 -3,1 2,6 6,3 400 -1,1 1,5 3,2 6,3 5,9 500 -5,3 3,8 4,6 2,3 2,9 630 -3,9 2,0 1,6 0,9 0,9 800 4,2 -0,6 -0,7 -0,4 -0,9 1000 8,0 2,7 2,3 3,5 5,8

Tabela 1 - Diferenças, em dB, entre o valor da parte real da mobilidade obtida experimentalmente e numericamente.

3.3.3.2. Pavimento de teste em madeira

Para o pavimento de madeira foi utilizada uma malha de elementos finitos semelhante à

utilizada na modelação do pavimento de teste em Plexiglas. Mais uma vez, o revestimento foi

modelado com elementos de placa quadrados de 5×5 cm2 e as vigas foram modeladas por

elementos de barra de 5 cm de comprimento ligados rigidamente na posição dos parafusos aos

elementos de placa.

Uma vez que o pavimento de teste em madeira apresenta os bordos da placa de piso

simplesmente apoiados, apenas este caso foi modelado. Nas Figuras 22 a 24 são

apresentados os espectros em bandas de terços de oitava da parte real da mobilidade do

pavimento obtidos por via experimental e com recurso ao MEF.

31

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s Y(A2)_EXP Y(A2)_MEF

Y(B2)_MEF Y(B2)_EXP Y(C2)_EXP Y(C2)_MEF

Figura 22 - Espectros da parte real da mobilidade do pavimento obtidos por via experimental e com recurso ao MEF nos pontos A2 a C2.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s Y(D2)_EXP Y(D2)_MEF

Y(E2)_EXP Y(E2)_MEF Y(F2)_EXP Y(F2)_MEF

Figura 23 - Espectros da parte real da mobilidade do pavimento obtidos por via

experimental e com recurso ao MEF nos pontos D2 a F2.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s Y(G2)_EXP

Y(G2)_MEF Y(H2)_EXP Y(H2)_MEF

Figura 24 - Espectros da parte real da mobilidade do pavimento obtidos por via

experimental e com recurso ao MEF nos pontos G2 e H2.

32

Constata-se que o modelo permite prever com suficiente rigor a mobilidade do pavimento quer

em pontos próximos da viga quer em pontos afastados da viga. Nos pontos A2 e B2, o modelo

fornece valores mais elevados de mobilidade mas permite estimar correctamente o crescimento

da mobilidade com a frequência. Note-se que estes pontos se situam bastante próximos do

bordo do pavimento, sendo pois natural que o apoio realmente existente confira algum grau de

encastramento.

Na Tabela 2 são apresentadas as diferenças obtidas, em bandas de terços de oitava, entre os

valores da parte real da mobilidade obtidos com o MEF e através da medição em laboratório.

As conclusões retiradas da análise da Tabela 1, relativamente ao pavimento de teste em

Plexiglas, mantêm-se relativamente à Tabela 2.

Ponto Frequência

(Hz) A2 B2 D2 E2 G2

50 -8,4 0,8 0,8 -4,0 -5,1 63 -6,1 2,5 -2,7 -2,1 -7,0 80 -7,8 1,0 -6,0 -0,5 -8,2 100 -7,2 -0,9 -1,8 3,5 -8,2 125 -9,5 0,6 -0,2 -1,5 -13,2160 -10,5 -5,8 -3,8 -2,9 -10,3200 -13,2 -8,6 -1,8 -1,1 -9,3 250 -6,6 -6,9 4,6 2,3 -6,5 315 6,0 -0,7 3,2 4,0 -1,1 400 0,9 7,3 1,0 5,5 3,8 500 -1,7 -2,4 2,4 1,0 -0,7 630 0,0 -1,5 1,4 -0,5 -0,8 800 3,0 4,9 8,2 4,5 4,4

1000 10,9 11,5 15,5 11,7 12,0

Tabela 2 - Diferenças, em dB, entre o valor da parte real da mobilidade obtida experimentalmente e numericamente.

3.4. VALIDAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO

Uma vez que o modelo analítico descrito na secção 2.4 considerou apenas a ortropia

geométrica, definindo uma placa equivalente com o módulo de elasticidade da placa de piso

(Es), torna-se necessário efectuar uma homogeneização da secção a considerar na direcção

das vigas de reforço.

O procedimento de homogeneização que conduziu a melhores resultados baseia-se na

determinação da altura equivalente (heq) da viga de reforço constituída pelo material da placa

de piso que possui a mesma frequência própria (fs) que a viga original simplesmente apoiada.

33

Para aplicar este procedimento, considerou-se o sistema ilustrado na Figura 25.

Figura 25 – Sistema dinâmico equivalente ao de uma viga simplesmente apoiada.

A rigidez do sistema é dado por

s = 6EIL3 (N/m). (44)

A frequência própria do sistema é então dado por

fs =

1(2π)

sm = h

4πL2Eρ (Hz). (45)

Assim, a altura da viga equivalente resulta da igualdade

hj,eq

4πL2Es

ρs = hj

4πL2Ej

ρj , (46)

onde os índices “s” e “j” se aplicam à placa de piso e à viga originais, respectivamente. A

solução da equação (46) é dada por

hj,eq

= hj Ej ρsEs ρj

(m). (47)

3.4.1. Pavimento de teste em Plexiglas

Tendo em conta o procedimento descrito acima, foi possível aplicar o modelo analítico de

previsão da mobilidade do pavimento apresentado em 2.4. Para o caso do pavimento de teste

de Plexiglas foram consideradas as seguintes propriedades:

m=ρAL (kg)

L(m) L(m)

Secção de área A(m2)

34

• b = 1,20 m;

• c = 2,40 m;

• hs = 0,012 m;

• ws = 0,40 m;

• wj = 0,0187 m;

• hjeq = 0,247 m;

• Es = 3,3 GPa;

• ν = 0,37;

• ρ = 1190 Kg/m3;

• η = 0,015;

• G0 = 0,25 (como recomendado por Neves e Sousa [3]).

Nas Figuras 26 a 30 são apresentados os espectros em bandas de 1/3 de oitava da parte real

da mobilidade do pavimento obtidos com o modelo analítico para os pontos A1 a E1,

respectivamente. Os resultados obtidos para os pontos F1 a I1 não são apresentados por serem

idênticos em virtude da simetria do problema. São também apresentados, para efeitos de

comparação, os espectros obtidos por vias experimental e numérica (MEF), bem como os

espectros correspondentes à mobilidades características das vigas e da placa de piso.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Resultado Experimental MEF (FF)MEF (SS) Análise ModalYc,j Yc,s

Figura 26 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto A1, por via

experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).

As Figuras 26 a 30 mostram que o método analítico subestima a mobilidade do pavimento,

condicionando-a às mobilidade das vigas. De facto, a precisão do modelo é adequada para

mobilidades previstas sobre as vigas ou suficientemente próximo destas (Figuras 26 e 27), mas

é fraca para mobilidades a prever em pontos afastados das vigas (Figuras 29 e 30).

35

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 27 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto B1, por via


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 28 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto C1, por via


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 29 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto D1, por via


36

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 30 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto E1, por via experimental,

numérica (MEF) e analítica (análise modal).

3.4.2. Pavimento de teste de madeira

Para a aplicação do método analítico descrito em 2.4 ao pavimento de teste em madeira, foram

consideradas as seguintes propriedades

• b = 4,55 m;

• c = 4,96 m;

• hs = 0,021 m;

• ws = 0,78 m;

• wj = 0,10 m;

• hjeq = 0,60 m;

• Es = 2,0 GPa;

• ν = 0,30;

• ρ = 668 Kg/m3;

• η = 0,015;

• G0 = 0,25 (como recomendado por Neves e Sousa [3]).

Nas Figuras 31 a 38 são apresentados os espectros em bandas de 1/3 de oitava da parte real

da mobilidade obtidos por via experimental, numérica e analítica.

Mais uma vez, a precisão do modelo é adequada para pontos localizados sobre as vigas ou

próximo destas (Figuras 34 e 36 a 38) e insuficiente para pontos afastados das vigas (Figura

35). Neste caso de estudo, a precisão do modelo analítico é até superior à do MEF. No caso

dos pontos A2 e C2, o modelo subestima em demasia a mobilidade do pavimento devido à

proximidade do bordo apoiado.

37

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)Resultado Experimental MEF Análise Modal Yc,j Yc,s

Figura 31 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto A2, por via


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)


Figura 32 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto B2, por via


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)


Figura 33 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto C2, por via


38

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Resultado Experimental MEFAnálise Modal Yc,jYc,s

Figura 34 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto D2, por via


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 35 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto E2, por via


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 36 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto F2, por via


39

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 37 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto G2, por via


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)


Figura 38 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto H2, por via


3.5. CONCLUSÕES

A precisão dos modelos de elementos finitos cresce com a distância do ponto de medição à

viga de reforço. No caso do pavimento de teste em Plexiglas, apesar de os bordos da placa

serem, de facto, livres, foi obtida uma maior precisão na previsão da mobilidade obtida com um

modelo simplesmente apoiado.

Pelo contrário, a precisão do modelo analítico de análise de modos naturais baseado na

abordagem de Timoshenko [15] diminui com a distância do ponto de medição às vigas de

reforço. No caso do pavimento de madeira, a precisão da mobilidade prevista no ponto H2

40

(sobre uma viga de reforço) é surpreendente, mas a mobilidade prevista a meio do vão entre

vigas de reforço aproxima-se da mobilidade característica da viga, a qual é muito inferior à da

placa de piso.

Considera-se que, mantendo a abordagem de Timoshenko [15], não é possível melhorar a

precisão do modelo, pois a contribuição das vigas de reforço, quando estas forem muito mais

rígidas do que a placa de piso, conduzirá sempre a mobilidades subestimadas do pavimento

em pontos afastados das vigas.

Assim, nos capítulos seguintes é efectuado um estudo no sentido de perceber, nas situações

correntes, qual a influência das vigas no desempenho dinâmico dos pavimentos ortotrópicos

leves, nomeadamente dos pavimentos vigados de madeira. O objectivo final é determinar o

campo de aplicação do modelo analítico descrito em 2.4.

41

4. ANÁLISE PARAMÉTRICA

4.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo é efectuado um estudo para identificar os parâmetros que condicionam a

validade do método analítico proposto em 2.4. Para tal, foi analisado um conjunto de

pavimentos vigados de madeira de dimensões correntes, com características idênticas às que

poderiam ser esperadas de um dimensionamento efectuado conforme o EC5 [N.3], sendo

utilizado o MEF para controlo da validade dos resultados obtidos com o modelo analítico. As

dimensões em planta dos pavimentos estudados foram seleccionadas com base nas regras de

disponibilidade de espaços correntemente utilizadas em habitação [23, N.4].

4.2. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE PAVIMENTOS DE MADEIRA

Nesta secção são apresentados os critérios de dimensionamento de um pavimento de madeira

definidos no EC5 [N.3].

Para o dimensionamento de pavimentos de madeira, é necessário definir, em primeiro lugar, as

acções actuantes, podendo para tal ser utilizado o R.S.A [N.5]. Uma vez definida a carga a

suportar pelos pavimentos, deve ser efectuada uma análise em Estado Limite Último, no

sentido de avaliar a capacidade resistente da estrutura, e em Estado Limite de Utilização, no

sentido de avaliar a deformação estrutural em serviço. Estas análises dependem das

propriedades resistentes do material, as quais podem ser retiradas da Norma EN 338 [N.6]. De

acordo com o EC5 [N.3], o valor de dimensionamento da resistência da madeira é dado por

Xd = kmod⋅Xk

γM , (48)

onde: Xk representa o valor característico da resistência do material; γM é um factor de

segurança normalmente considerado igual a 1,3 para madeira maciça; e kmod é um factor

parcial de segurança que depende da duração da acção, conforme indicado na Tabela 3.

Acção permanente

Acção de longa de duração

Acção de média duração

Acção de curta duração

Acção instantânea

0,6 0,7 0,8 0,9 1,1

Tabela 3 - Valores kmod.

42

Assim, para Estado Limite Último, o valor de dimensionamento do momento resistente de uma

secção estrutural em madeira deverá ser dado por

Mrd = W⋅fm,d1,0 (Nm), (49)

onde W = b⋅h2 / 6 (m3) representa o módulo de flexão da secção e fm,d (N/m2) é o valor de

dimensionamento da tensão resistente de flexão do material.

O valor de dimensionamento do esforço tranverso resistente é dado por

Vrd = Av⋅fv,d1,0 (N), (50)

onde Av = b⋅h / 6 (m2) é a área de corte da secção e fv,d (N/m2) é o valor de dimensionamento

da tensão de corte do material.

A avaliação da deformação estrutural em Estados Limites de Utilização deve ser efectuada

com base na combinação de acções quase permanente. O módulo de elasticidade a considerar

deverá ser afectado por um factor de segurança, de acordo com

Ed = EγM (N/m2). (51)

A deformação a calcular deverá ser a deformação instantânea, dada por

δinst = 5⋅p⋅L4

384⋅Ed⋅I .....(m), (52)

onde: p (N/m) é o valor da carga actuante; L (m) é o comprimento da viga; e I (m4) é o

momento de inércia da secção da viga; afectada de um parâmetro de contabilização de

deformações secundárias. Esse parâmetro é dado por

δfinal = δinst⋅ ( )1+ψ2⋅kdef ....(m), (53)

onde kdef é um factor de deformação que depende da classe de serviço do material e Ψ2 é o

valor reduzido das acções variáveis presentes na combinação quase permanente.

O valor global da deformação, δfinal, deve ser comparado com um valor máximo admissível, o

qual, no pior dos casos, é dado por

δmáx = L300 ....(m). (54)

43

4.3. ANÁLISE PARAMÉTRICA

Nesta secção foram calculadas as mobilidades de 39 pavimentos de madeira (Tabela 4)

dimensionados conforme se descreve em 4.2.

Numa primeira fase foram considerados dois conjuntos de pavimentos com:

• ν = 0,30;

• ρ = 750 Kg/m3;

• η = 0,015;

• G0 = 0,25;

e com restantes propriedades mecânicas situadas no limite dos valores esperados. Assim, um

conjunto de pavimentos corresponde ao que se definirá como pavimentos rígidos (pavimentos

8 a 20 na Tabela 4), e o outro conjunto corresponde aos pavimentos flexíveis (pavimentos 22 a

34 na Tabela 4). Para os pavimentos rígidos foram consideradas as seguintes propriedades:

• Es = Ej = 27,0 GPa;

• ws = 0,35 m; wj = 0,10 m;

• hs = 0,022 m; hj = 0,198 m.

Para os pavimentos flexíveis foram consideradas as seguintes propriedades:

• Es = Ej = 7,0 GPa;

• ws = 0,40 m; wj = 0,05 m;

• hs = 0,022 m; hj = 0,078 m.

Para cada conjunto de pavimentos, fez-se variar as dimensões em planta de maneira a cobrir

um intervalo de relações b/c entre 0,5 e 2,0. Recorde-se que se consideram sempre as vigas

orientadas ao longo da dimensão b (segundo y). Considerou-se para as vigas um comprimento

mínimo de 2,0 m e um comprimento máximo de 5,0 m.

Além destes 26 pavimentos, foram ainda analisados, numa fase posterior, outros 13

pavimentos, nos quais se fez variar:

• ρ (caso 35);

• Es e Ej (casos 1 a 3, 5, 7 e 36 a 39);

• hs (casos 1, 7, 35, 36 e 38 a 39);

• wj (casos 1 a 7 e 35 a 39);

• hj (casos 1 a 7 e 35 a 39).

A mobilidade do pavimento foi calculada em todos os casos analisados num ponto sobre uma

viga e num ponto entre vigas, ambos próximos de um terço do comprimento da diagonal do

pavimento. Os resultados obtidos são apresentados, na sua totalidade, no Anexo 1.

44

(Ponto P1j) (Ponto P1s) Caso ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)y0 (m) z0 (m) y0 (m) z0 (m)

1 750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 1,00 1,60 1,00 1,40 2 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 3 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 4 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,1 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 5 750 0,30 3,0 4,0 3 0,022 0,40 3 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 6 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 7 750 0,30 3,0 4,0 27 0,012 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 8 750 0,30 2,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,65 1,60 0,65 1,40 9 750 0,30 2,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,85 1,60 0,85 1,40

10 750 0,30 4,0 6,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,40 1,35 2,20 11 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 12 750 0,30 4,0 5,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,00 1,35 1,80 13 750 0,30 3,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,10 1,60 1,10 1,40 14 750 0,30 4,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 1,60 1,30 1,40 15 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 16 750 0,30 5,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,65 1,60 1,65 1,40 17 750 0,30 4,0 3,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 18 750 0,30 6,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 2,00 1,60 2,00 1,40 19 750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,20 1,35 1,00 20 750 0,30 4,0 2,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 0,80 1,30 0,60 21 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 22 750 0,30 2,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,65 1,40 0,65 1,20 23 750 0,30 2,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,85 1,40 0,85 1,20 24 750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 2,10 1,35 1,90 25 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,00 1,40 1,00 1,20 26 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 27 750 0,30 3,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,15 1,40 1,15 1,20 28 750 0,30 4,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 29 750 0,30 4,0 3,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 30 750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,65 1,40 1,65 1,20 31 750 0,30 4,0 3,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 32 750 0,30 6,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 2,00 1,40 2,00 1,20 33 750 0,30 4,0 2,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 34 750 0,30 4,0 2,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,70 1,35 1,50 35 1190 0,37 1,2 2,4 3 0,012 0,40 3 0,0187 0,235 0,235 0,80 1,20 0,80 1,00 36 750 0,30 3,0 4,0 27 0,1 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 37 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20 38 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,40 27 0,05 0,078 0,250 1,00 1,60 1,00 1,40 39 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20

Tabela 4- Propriedades físicas usadas nas diferentes modelações

45

4.3.1. Análise preliminar

Ao contrário do sucedido na validação experimental efectuada no Capítulo 3, onde o método

analítico para previsão da mobilidade do pavimento subestimou o valor desta grandeza em

pontos afastados das vigas de reforço, o que não aconteceu com o MEF, foram observados, na

primeira fase da análise paramétrica, vários casos em que a mobilidade prevista para essas

zonas dos pavimentos pelo método analítico e pelo MEF foi semelhante. Em seguida são

apresentados, de forma ilustrativa, dois desses casos, nomeadamente os casos 19 e 24.

4.3.1.1. Caso 19

O caso 19 está caracterizado na Tabela 5. Para facilitar a leitura, optou-se por reproduzir na

Tabela 5 os valores das variáveis relevantes.

ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)

750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 5 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 19.

Nas Figuras 39 e 40 são apresentados os espectros em banda estreita obtidos com o método

analítico e com o MEF para o valor real da mobilidade num ponto sobre uma viga e num ponto

afastado das vigas.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 39 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do

pavimento 19 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF. Nas Figuras 41 e 42 é apresentada a conversão em bandas de terços de oitava dos espectros

das Figuras 39 e 40. Observa-se que a aproximação entre os dois métodos é, ao contrário do

esperado, maior no ponto afastado das vigas do que sobre a viga. Quando se comparam estes

espectros com os analisados no Capítulo 3, constata-se que a principal diferença entre o

pavimento 19 e os pavimentos estudados experimentalmente reside na posição relativa das

mobilidades características das vigas e da placa de revestimento.

46

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


pavimento 19 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 41 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do

pavimento 19 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



47

4.3.1.2. Caso 24

Os parâmetros relevantes para a caracterização do pavimento 24 são reproduzidos, para

facilitar a leitura, na Tabela 6.

ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)

750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 6 Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 24.



afastado das vigas.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



48

Nas Figuras 45 e 46 são apresentadas as conversões em bandas de terços de oitava dos

espectros das Figuras 43 e 44. Neste caso observa-se que a aproximação entre os dois

métodos é muito boa quer para o ponto afastado das vigas quer para o ponto localizado sobre

a viga, embora se mantenha a tendência já anteriormente demonstrada pelo MEF para

conduzir a valores mais elevados de mobilidade. Mais uma vez, quando se comparam estes

espectros com os analisados no Capítulo 3, constata-se que a principal diferença entre o

pavimento 24 e os pavimentos estudados experimentalmente reside na posição relativa das

mobilidades características das vigas e da placa de revestimento. No entanto, enquanto que no

caso 19 a mobilidade da viga de reforço era significativamente superior à mobilidade da placa

de revestimento no intervalo de frequências de interesse, para o caso 24 isso só acontece

abaixo dos 20 Hz, mantendo-se a mobilidade da viga abaixo da mobilidade da placa acima

dessa frequência, o que configura uma situação mais próxima dos casos experimentais, onde a

mobilidade da viga de reforço era significativamente menor do que a da placa.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



49

4.3.1.3. Conclusões da análise preliminar

A análise preliminar dos casos de estudo parece indicar que a fiabilidade do modelo analítico é

próxima da fiabilidade do MEF sempre que a mobilidade característica das vigas de reforço do

pavimento se aproxima da mobilidade característica da placa de revestimento, podendo

eventualmente exceder este valor. À primeira vista poderá parecer estranho que, em

pavimentos correntes de madeira, as vigas de reforço sejam tão ou menos rígidas do que a

placa de revestimento, no entanto, conforme se demonstra com os casos apresentados na

Tabela 4, para pavimentos de madeira dimensionados de acordo com os regulamentos e

normas estruturais em vigor, as vigas de reforço não têm, de facto, uma rigidez muito

significativa.

Assim, conclui-se que o modelo analítico poderá em geral ser aplicado com segurança na

estimativa da previsão da mobilidade de pavimentos vigados de madeira correntes. Na secção

seguinte é apresentado um estudo destinado a confirmar esta conclusão.

4.3.2. Identificação de comportamentos tipo

Com base nas conclusões da análise preliminar, segundo as quais a fiabilidade do método

analítico parece depender da posição relativa das mobilidades características das vigas de

reforço e da placa de revestimento do pavimento, opta-se por separar os casos de estudo em

três comportamentos típicos:

• Comportamento tipo A – mobilidade característica da viga superior à da placa;

• Comportamento tipo B - mobilidade característica da viga semelhante à da placa;

• Comportamento tipo C - mobilidade característica da viga inferior à da placa.

Nas Figuras 47 a 49 são esquematizados estes três tipos de comportamento.

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s

Figura 47 - Comportamento tipo A.

50

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s

Figura 48 - Comportamento tipo B.

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

Yc,j Yc,s

Figura 49 - Comportamento tipo C.

4.3.2.1. Comportamento tipo A

O comportamento tipo A foi observado nos pavimentos 1 a 21. A análise dos resultados obtidos

nestes pavimentos (ver Anexo 1) sugere ainda a subdivisão deste tipo de comportamento em

cinco subtipos consoante a concordância, em banda estreita, entre as primeiras frequências

próprias de vibração identificadas pelo MEF e pelo método analítico. Assim, os cinco subtipos

podem ser caracterizados da seguinte forma:

• Subtipo 1 – boa concordância (casos 2 e 6);

• Subtipo 2 – primeiras frequências próprias obtidas analiticamente tipicamente abaixo

dos 20 Hz e frequências correspondentes obtidas pelo MEF em geral

próximas dos 20 Hz (casos 5, 10, 12 a 20);

51

• Subtipo 3 - primeiras frequências próprias obtidas analiticamente próximas dos 20 Hz

e frequências correspondentes obtidas pelo MEF em geral situadas entre

os 30 Hz e os 40 Hz (casos 7, 9 e 11);

• Subtipo 4 - primeiras frequências próprias obtidas analiticamente próximas dos 20 Hz

e frequências correspondentes obtidas pelo MEF em geral situadas entre

os 40 Hz e os 50 Hz (casos 1, 3 e 4);

• Subtipo 5 - primeira frequência própria obtida analiticamente próxima dos 30 Hz e

frequência correspondente obtida pelo MEF próxima dos 120 Hz (caso 8).

Em seguida são apresentados espectros do valor real da mobilidade ilustrativos de cada um

destes subtipos.

Para ilustrar o subtipo 1 do comportamento tipo A foi seleccionado o pavimento 6. Os

parâmetros relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 7.





afastado das vigas. Nas Figuras 52 e 53 é apresentada a conversão em bandas de terços de

oitava dos espectros das Figuras 50 e 51. Observa-se uma boa concordância geral entre os

dois métodos, sendo, no entanto, a mobilidade do pavimento obtida pelo método analítico

subestimada para frequências superiores a 80 Hz tanto sobre a viga como entre vigas.

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



52

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



53

O subtipo 2 do comportamento tipo A pode ser ilustrado pelo pavimento 5, cujos parâmetros

relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 8.





afastado das vigas. Nas Figuras 56 e 57 é apresentada a conversão em bandas de terços de

oitava dos espectros das Figuras 54 e 55.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



54

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 57 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da

mobilidade do pavimento 5 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF

A concordância entre os dois métodos é, em geral, muito boa tanto sobre a viga como entre

vigas, embora neste último caso se note, mais uma vez, uma tendência do método analítico

para subestimar a mobilidade para frequências acima dos 80 Hz. Note-se que, uma vez que os

espectros em bandas de terços de oitava da mobilidade são apresentados apenas para bandas

de frequência central superior a 12,5 Hz, não é possível identificar a discordância causada

nessa gama de muito baixas frequências pela diferença entre as primeiras frequências próprias

do pavimento obtidas pelos dois métodos.

55

Para ilustrar o subtipo 3 do comportamento tipo A foi seleccionado o pavimento 7, cujos




Nas Figuras 58 a 61 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da

mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois

métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava. Observa-se uma

boa concordância entre os dois métodos para frequências superiores a 30 Hz. Ao contrário do

que se sucedeu nos subtipos 1 e 2, o método analítico deixa de subestimar a mobilidade do

pavimento para a região mais alta do intervalo de frequências de interesse, em particular no

que se refere à mobilidade medida entre vigas. Abaixo dos 30 Hz, a mobilidade prevista pelo

método analítico aproxima-se da mobilidade característica das vigas, a qual é

significativamente superior à mobilidade característica da placa. O MEF fornece um modelo

globalmente mais rígido, o qual só é excitado dinamicamente para frequências próximas dos

30 Hz. Desta forma, os dois métodos divergem significativamente abaixo dos 30 Hz.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



56

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



57

O subtipo 4 do comportamento tipo A pode ser ilustrado pelo pavimento 1. Os parâmetros






métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



58

Uma vez que o modelo de elementos finitos só é excitado dinamicamente para frequências

próximas dos 50 Hz, observa-se uma discordância significativa entre os dois métodos abaixo

dessa frequência. Tal como ocorreu no subtipo 3, a mobilidade prevista pelo método analítico

é, nessa zona do espectro, francamente superior à mobilidade característica da placa de piso,

embora não atinja a mobilidade característica das vigas, a qual é muito elevada. Acima dos

50 Hz, apesar da boa concordância entre o valor médio das mobilidades previstas pelos dois

modelos, os espectros fornecidos por cada método de previsão diferem significativamente na

forma, ou seja, nas frequências naturais excitadas.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



Para ilustrar o subtipo 5 do comportamento tipo A foi seleccionado o pavimento 8. Os


59






1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


pavimento 8 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF. O caso 8 corresponde a um pavimento com um vão de apenas 2,0 m. Este pavimento é

caracterizado por parâmetros em tudo idênticos aos do pavimento 9, cujo comportamento

dinâmico se inclui no subtipo 3 do comportamento tipo A. Apesar de se esperar um aumento

das frequências próprias do sistema estrutural, parece exagerado o aumento para cerca de

60

120 Hz indicado pelo MEF. Uma vez salientado este aspecto, podem repetir-se as conclusões

da análise do subtipo 4 tendo apenas o cuidado de substituir a frequência de 50 Hz por 120 Hz.

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



A análise do comportamento tipo A mostra que, além da posição relativa das mobilidades

características das vigas de reforço e da placa de revestimento do pavimento, também as

frequências correspondentes aos primeiros modos de vibração influenciam o comportamento

dinâmico do pavimento. Observa-se que, quando a mobilidade característica das vigas excede

a da placa de piso, o método analítico conduz em geral a frequências próprias mais baixas.

O pavimento 21 (ver Anexo 1) corresponde a um caso extremo, não expectável, onde a

mobilidade característica das vigas de reforço é muito superior à da placa de revestimento.

Neste caso, as mobilidades obtidas com o método analítico sobre a viga e entre vigas

61

aproximam-se da mobilidade característica da placa. Pelo contrário, o MEF aproxima ambas

das mobilidades da mobilidade característica da viga.

4.3.2.2. Comportamento tipo B

O comportamento tipo B foi observado nos pavimentos 22 a 35. A análise dos resultados

obtidos nestes pavimentos (ver Anexo 1) indica que, tal como no comportamento tipo A, em

geral, as primeiras frequências próprias obtidas com o método analítico são mais baixas do que

as obtidas com o MEF. Consequentemente, as mobilidades previstas pelo método analítico

para frequências inferiores à primeira frequência própria determinada pelo MEF são superiores

às mobilidades determinadas numericamente. Acima desta frequência, os modelos de

elementos finitos apresentam maior mobilidade. Nota-se também que as mobilidades previstas

pelo MEF para as mais altas frequências do intervalo de interesse tendem para as mobilidades

características da placa de revestimento, o que não acontece com as mobilidades previstas

pelo método analítico. Uma vez que, para o comportamento tipo B, a mobilidade característica

das vigas é, em termos médios ao longo do intervalo de frequências analisado, apenas

ligeiramente inferior à mobilidade característica da placa de revestimento, conclui-se que, ao

contrário do que sucedeu nos pavimentos analisados experimentalmente, a aproximação do

método analítico é ainda aceitável.

Para ilustrar o comportamento tipo B foi seleccionado o pavimento 30, cujos parâmetros







1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



62

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



63

O pavimento 35 (ver Anexo 1) constitui um caso particular do comportamento tipo B pois,

apesar de também exibir valores semelhantes das mobilidades características das vigas de

reforço e da placa de revestimento do pavimento, ao contrário do que ocorreu com os

pavimentos 22 a 34, as primeiras frequências próprias determinadas pelo MEF são bastante

inferiores às determinadas analiticamente. Consequentemente, o espectro da mobilidade

previsto pelo método analítico é subestimado em practicamente todo o intervalo de frequências

de interesse.

4.3.2.3. Comportamento tipo C

O comportamento tipo C foi observado nos pavimentos 36 a 39. A análise dos resultados

obtidos nestes pavimentos (ver Anexo 1) sugere ainda a subdivisão deste tipo de

comportamento em dois subtipos consoante a aproximação, em termos médios ao longo do

intervalo de frequências analisado, entre as mobilidades obtidas pelo MEF e pelo método

analítico. Assim, os dois subtipos podem ser caracterizados da seguinte forma:

• Subtipo 1 – mobilidade prevista pelo MEF significativamente superior, em média, à

mobilidade prevista analiticamente (casos 36 e 37);

• Subtipo 2 – boa aproximação (casos 38 e 39).

Para ilustrar o subtipo 1 do comportamento tipo C foi seleccionado o pavimento 36, cujos







Os espectros obtidos configuram uma situação relativamente próxima dos casos

experimentais, onde a mobilidade prevista pelo método analítico é condicionada pela

mobilidade característica das vigas de reforço do pavimento quer em medições sobre uma viga

quer num ponto afastado das vigas. As mobilidades previstas pelo MEF para ambos os pontos

acompanham a mobilidade característica da placa de piso. Uma vez que este comportamento é

diferente do obtido experimentalmente, optou-se por, no caso 37, diminuir o módulo de

elasticidade da placa de revestimento de 27 para 7 GPa. Desta forma, a mobilidade prevista

numericamente passou a acompanhar a mobilidade característica das vigas até aos 30 Hz,

tendendo depois para a mobilidade característica da placa, ou seja, reproduziu-se o

comportamento obtido experimentalmente.

64

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



65

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



O subtipo 2 do comportamento tipo C pode ser ilustrado pelo pavimento 39. Os parâmetros







1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



66

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j



67

As Figuras 78 a 81 mostram uma situação em que a mobilidade medida sobre uma viga ou

num ponto afastado das vigas é completamente distinta na generalidade do intervalo de

frequências de interesse. Este comportamento é correctamente reproduzido pelo MEF mas não

pelo método analítico, o qual subestima a mobilidade da placa de revestimento. Tal como

ocorreu nos casos estudados experimentalmente, a mobilidade característica das vigas de

reforço é significativamente à da placa de revestimento em todas as frequências analisadas, o

que vem reforçar a conclusão preliminar relativa à inviabilidade do método analítico neste tipo

de casos.

4.4. DEFINIÇÃO DO CRITÉRIO DE VALIDADE DO MODELO ANALÍTICO

Na secção 4.3 foram identificados como parâmetros de controlo da fiabilidade do modelo

analítico as mobilidades características da placa de piso e das vigas de reforço, bem como as

primeiras frequências próprias do pavimento. Uma vez que este último parâmetro só pode ser

calculado correctamente pelo método analítico para os pavimentos com comportamento do

subtipo 1 do tipo A, optou-se por tentar identificar um critério de definição prévia da validade do

modelo apenas baseado nas mobilidades características das suas componentes.

Assim, tendo em conta que os melhores resultados fornecidos pelo modelo analítico foram

obtidos para pavimentos com comportamento do tipo A ou B, ou seja, para mobilidades

características das vigas de reforço iguais ou superiores às da placa de revestimento, e que a

mobilidade característica das vigas decresce com a frequência, pode definir-se como campo de

aplicação do modelo o intervalo de frequências limitado superiormente por uma frequência

crítica, fc, que satisfaça a condição

Re{Yc,s / Yc,j} = C, (55)

onde C é uma constante a definir.

Tendo em conta que a mobilidade dos pavimentos ortotrópicos leves tende a acompanhar a

mobilidade das vigas de reforço, quando estas são mais rígidas do que a placa de

revestimento, para as frequências mais baixas, e a mobilidade da placa, nas mesmas

condições, para as frequências mais altas, pode considerar-se ainda, com base nos resultados

obtidos nos casos de estudo, que, em geral, o modelo analítico é válido para frequências

inferiores ou iguais à frequência em que a mobilidade medida entre vigas passa a exceder

ligeiramente a mobilidade sobre uma viga. Uma vez que a análise visual efectuada na secção

4.3 incidiu sobre espectros de mobilidade apresentados em escala logarítmica, entende-se que

uma relação Re{Ys / Yj} ≈ 5 corresponde ao referido aumento “ligeiro” da mobilidade das vigas.

68

Se a relação Re{Ys / Yj} for apresentada em função da grandeza adimensionalizada

Re{Yc,s / Yc,j}, poderá ser obtido, por inspecção visual, o valor de C necessário para definição

do limite superior do intervalo de frequências em que o modelo analítico pode ser aplicado com

fiabilidade. Uma vantagem adicional de relacionar Re{Ys / Yj} com Re{Yc,s / Yc,j} decorre do

facto de valores reduzidos de Re{Yc,s / Yc,j} corresponderem a comportamentos do tipo A,

enquanto que valores elevados dessa grandeza correspondem a comportamentos do tipo C.

As curvas adimensionalizadas esperadas serão do tipo indicado na Figura 82 para pavimentos

com comportamento do tipo A e B. Os pavimentos com comportamento do tipo C, conforme se

observou na secção 4.3, estão fora do campo de aplicação do modelo analítico proposto.

1,00E-01

1,00E+00

1,00E+01

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

Re{Yc,s /Yc,j }

Re{Ys/Yj}

Curva tipo ACurva tipo B

Figura 82 - Andamento da função

Uma vez que as curvas obtidas, em consequência do comportamento marcadamente modal

apresentado pelos pavimentos estudados na gama das baixas frequências, embora seguindo

as tendências ilustradas na Figura 82, são bastante mais irregulares, dificultando, por isso, a

identificação visual da constante C correspondente a Re{Ys / Yj} ≈ 5. Assim, optou-se por, para

cada tipo e subtipo de comportamento, obter, por regressão polinomial, uma curva de

aproximação relativa às médias das curvas adimensionalizadas obtidas a partir dos resultados

fornecidos pelo MEF.

Na Figura 83 é ilustrado este procedimento para o pavimento de estudo 1.

Desta forma foi possível calcular automaticamente para todos os casos de estudo os valores

de C. A frequência fc pode então ser obtida por substituição das equações (39) e (40) na

equação (55), através de

69

fc= 2π B´

s m´´s

Bjm´

j m´

j

3 C2....(Hz). (56)

y = 1,3142x6 + 1,9423x5 - 17,566x4 + 21,695x3 - 6,1978x2 - 0,4832x + 1,1628R2 = 0,4562

1,E-01

1,E+00

1,E+01

0 Re(Yc,s/Yc,j )

Re(Ys/Yj )

Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})

Figura 83 – Curva adimensionalizada para determinação de C obtida para o pavimento 1.

No Anexo 2 são apresentadas as curvas adimensionalizadas para o cálculo de C relativas a

todos os pavimentos analisados na secção anterior. Estas curvas conduziram, para cada tipo e

subtipo de comportamento, aos seguintes valores de C:

• Comportamento tipo A: C ≤ 0,03;

• Subtipo 1 do comportamento tipo A: C ≤ 0,8;





• Comportamento tipo B: C ≤ 1,20.

4.5. CONCLUSÃO

Neste capítulo foi efectuado um estudo aplicado a 39 pavimentos vigados de madeira que

identificou a relação entre mobilidades características das vigas de reforço e da placa de

revestimento como o parâmetro fundamental para a definição da fiabilidade do método analítico

de previsão da mobilidade pontual de pavimentos ortrotrópicos descrito no Capítulo 2.

Assim, antes da aplicação deste método a um determinado pavimento, deve ser verificado

qual o tipo de comportamento que o caracteriza (A,B ou C) e em função do resultado, deve ser

adoptada a constante C definida em 4.4 que permitirá calcular, através da equação (56), o

valor da frequência máxima até à qual poderá ser aplicado o modelo analítico.

70

Uma vez definida a gama de frequências em que o método analítico proposto para a previsão

da mobilidade de pavimentos leves de madeira é válido, é possível determinar o campo sonoro

gerado num compartimento corrente, com planta rectangular, por uma força de impacto de

intensidade conhecida aplicada no pavimento superior. No capítulo seguinte é descrito o

modelo analítico proposto para prever o referido campo sonoro.

71

5. CAMPO SONORO

5.1. INTRODUÇÃO

A modelação do campo sonoro induzido num compartimento pela vibração do pavimento

superior constitui um problema cuja resolução pode ser dividida em duas fases. A primeira fase

foi descrita no Capítulo 2, onde se procedeu à modelação do campo de vibração do pavimento.

A segunda fase é descrita no presente capítulo, no qual se procederá à modelação do campo

sonoro do interior do compartimento, tendo em conta, o campo de vibração do sistema

estrutural do pavimento com o campo sonoro.

Será utilizado método analítico para a previsão de campos sonoros gerados por pavimentos

em vibração, proposto por Neves e Sousa [3] com base no trabalho de Pretlove [5] e Khilman

[4]

Apesar destas condicionantes, neste capítulo é modelado analiticamente, recorrendo à análise

modal, o campo sonoro do compartimento tendo em consideração o campo de vibração do

sistema estrutural do pavimento.

5.2. DESCRIÇÃO DO MODELO

O campo sonoro no interior de um compartimento resulta da sobreposição de um grande

número de ondas sonoras simples (esféricas ou planas), as quais se propagam através de um

fluído compressível e sem perdas. No caso de compartimentos de dimensões correntes, as

ondas sonoras são de pequena amplitude, pelo que a variação da densidade do ar devida às

as flutuações de pressão sonora é, também, pequena quando comparada com o valor estático

da densidade do ar. Se as flutuações de pressão e de densidade ocorrerem sem transferência

de calor, o processo acústico é adiabático e

PP0

= ⎝⎛

⎠⎞ρ

ρ0

γ

; (57)

p = P - P0 = B0 ⎝⎛

⎠⎞ρ - ρ0

ρ0 = B0⋅sv , (58)

72

onde: p (Pa) é a pressão sonora; P e P0 (Pa) são as pressões instantânea e estática totais,

respectivamente; ρ e ρ0 (kg/m3) são as massas volúmicas do ar instantânea e estática,

respectivamente; γ é a razão dos calores específicos do ar γ = (cp / cv), a qual, para as

condições de temperatura e pressão normais, toma o valor de 1,4012; s = -ΔV / V = Δρ / ρ0 é a

condensação volúmica do ar, a qual é muito pequena; e B0 = ρ0 ( ∂P / ∂ρ )ρ0, em Pa, é o módulo

adiabático de volume (compressibilidade).

Uma vez que as variações de massa volúmica e pressão, as quais são consideradas variáveis

independentes, dependem do tempo, é possível relacionar a velocidade de uma partícula de ar,

v, com a massa volúmica instantânea do ar. Para tal, considera-se um elemento infinitesimal

dV = dx dy dz fixo no espaço. Devido à conservação de massa, a taxa à qual a massa flui para

o interior do elemento através de uma superfície é igual à taxa ( ∂ρ / ∂t ) dV, à qual a massa no

interior do volume do elemento aumenta. Assim, obtém-se

∂ρ∂t + ∇⋅( )ρv = 0 , (59)

onde ∇ é o operador divergência: ∇⋅(ρv) = div(ρv).

Escrevendo ρ na forma ρ = ρ0 (1 + sv) e considerando que a variação de ρ0 no tempo e no

espaço é suficientemente pequena, então a equação (59) pode ser simplificada para

∂2ρ∂t2 + ∇⋅⎝

⎛⎠⎞ρ0

∂v∂t ≈ 0 , (60)

Assumindo que o elemento dV, cuja massa infinitesimal é ρ dV, se movimenta como o fluido, é

possível aplicar o teorema da quantidade de movimento, obtendo-se a expressão de Euler

∇⋅⎝⎛

⎠⎞ρ0

∂v∂ t ≈ - ∇

2p , (61)

onde ∇2 = ∇⋅∇ é o operador Laplaciano tridimensional.

Introduzindo as equações (58) e (61) na equação (60), obtém-se a equação que governa a

propagação das ondas sonoras num fluido

∇2p = 1

c02⎝⎛

⎠⎞∂2p

∂ t2 , (62)

73

onde c0 (m/s) é a velocidade do som, definida por c02 = B0 / ρ0. Assumindo que o ar é

essencialmente ar seco, a velocidade de propagação do som, pode ser aproximada por

c0 = 33,14 1 + θ273,15 , (63)

em que θ (ºC) é a temperatura do ar.

5.2.1. Solução da equação homogénea da onda sonora

Em seguida é deduzida a solução da equação homogénea da onda sonora em meios fluidos

sem perdas para um compartimento com a configuração ilustrada na Figura 84.

Figura 84 - Dimensões do compartimento com forma rectangular. Assume-se que todas as paredes são rígidas, ou seja, a sua impedância é muito superior à do

ar através do qual se propagam as ondas sonoras. Portanto, a velocidade das partículas do ar

na direcção normal às paredes é zero sobre as paredes. Assumindo, que a velocidade é uma

função harmónica do tempo, v = v0ejωt, a equação (61) pode ser escrita na forma

∇p = - jωρ0v , (64)

pelo que as condições de fronteira da equação (62) são dadas por:

∂p(0,y,z,t)∂x =

∂p(a,y,z,t)∂x =0 ; (65.a)

∂p(x,0,z,t)∂y =

∂p(x,b,z,t)∂y =0 ; (65.b)

∂p(x,y,0,t)∂z =

∂p(x,y,c,t)∂z =0 . (65.c)

74

Assumindo que a pressão sonora instantânea também é uma função harmónica no tempo,

p(x,y,z,t) = p(x,y,z) ejωt a equação (62) adquire a forma

∇2 p(x,y,z) + k2p(x,y,z) = 0 , (66)

onde k = ω / c0 representa o número de onda.

As soluções da equação (66) para as condições de fronteira (65) são obtidas pelo método de

separação de variáveis. Após alguma manipulação matemática, obtém-se

plmn(x,y,z) = Almn cos⎝⎛

⎠⎞lπx

a cos⎝⎛

⎠⎞mπy

b cos⎝⎛

⎠⎞nπz

c , (67)

onde Almn são constantes de integração.

Embora as condições iniciais de p(x,y,z,t) = p(x,y,z)ejωt não tenham sido definidas, estas

existem, sendo portanto necessário encontrar uma solução que as satisfaça. Esta solução

pode ser obtida aplicando-se o princípio da sobreposição de efeitos, segundo o qual, a soma

das soluções plmn(x,y,z) é também uma solução de p(x,y,z). Assim, p(x,y,z,t) é dada por uma

série de Fourier, ou seja, por uma série de funções de forma dos modos acústicos

p(x,y,z,t) = ∑l,m,n = 0

∞

⎣⎡

⎦⎤Almn cos⎝

⎛⎠⎞lπx

a cos⎝⎛

⎠⎞mπy

b cos⎝⎛

⎠⎞nπz

c ejωt . (68)

As frequências próprias correspondentes são obtidas por introdução da equação (68) na

equação (62), o que conduz a

ωlmn = c0π ⎝⎛⎠⎞l

a

2

+ ⎝⎛⎠⎞m

b

2

+ ⎝⎛⎠⎞n

c

2

. (69)

5.2.2. Acoplamento entre o campo de vibração e o campo sonoro

É necessário encontrar uma solução para o campo sonoro excitado pelo movimento oscilatório

induzido por uma força pontual numa das superfícies da envolvente do compartimento, neste

caso, no pavimento superior.

Tal como já foi referido na secção anterior, a propagação das ondas sonoras num meio fluido

contínuo, compressível e sem perdas, é dada pela equação (62). De acordo com Kihlman [4],

esta equação pode ser escrita em função do potencial da velocidade, Ψ (x,y,z,t), através de

75

∇ 2Ψ (x,y,z,t) - 1

c20 ∂2Ψ (x,y,z,t)

∂t2 . (70)

Considerando um compartimento com geometria idêntica ao da Figura 84, onde todas as

paredes são rígidas, à excepção de uma, em x = a, que exibe um campo de velocidades,

f(y, z) ejωt as condições de fronteira a satisfazer pela equação (70) são:

∂∂xΨ (0,y,z,t) = 0 e ∂∂xΨ (a,y,z,t) = vx(y,z,t) = f(y,z)ejωt ; (71.a)

∂∂yΨ (x,0,z,t) = 0 = ∂∂yΨ (x,b,z,t) = 0 ; (71.b)

∂∂zΨ (x,y,0,t) = 0 = ∂∂zΨ (x,y,c,t) = 0 . (71.c)

Introduzindo o termo Φ(x,y,z,t), a equação (70), escrita em termos de Ψ(x,y,z,t), com condições

de fronteira não homogéneas, pode ser transformada numa equação, em termos de uma

solução particular Ψ1(x,y,z,t), com condições de fronteira homogéneas, em que

Ψ1 (x,y,z,t) = Ψ (x,y,z,t) - Φ(x,y,z,t) . (72)

O termo Φ(x,y,z,t) satisfaz as mesmas condições de fronteira que Ψ(x,y,z,t), ou seja:

∂∂xΦ (0,y,z,t) = 0 e ∂∂xΦ (a,y,z,t) = f(y,z)ejωt ; (73.a)

∂∂yΦ (x,0,z,t) = 0 = ∂∂yΦ (x,b,z,t) = 0 ; (73.b)

∂∂zΦ (x,y,0,t) = 0 = ∂∂zΦ (x,y,c,t) = 0 . (73.c)

Na função Φ(x,y,z,t), t pode ser considerado um parâmetro porque a análise se restringe a

funções harmónicas no tempo. Assumindo que, para as condições de fronteira (73), Φ(x,y,z)

satisfaz a equação de Laplace, ∇2Φ(x,y,z) = 0, a qual é separável, então as suas soluções são

dadas por Kihlman [4] como

76

Φ (x,y,z,t) = ∑n,m=0

∞

Amn 2 cosh⎣⎡

⎦⎤

⎝⎛

⎠⎞mπ

b

2

+ ⎝⎛

⎠⎞nπ

c

2

cos⎝⎛

⎠⎞mπy

b cos⎝⎛

⎠⎞nπz

c x ejωt , (74)

onde Amn são constantes de integração. Introduzindo a equação (74) na equação (73.a) para

x = a e multiplicando-se ambos os termos da equação resultante pela função ortogonal

cos(mπy / b) cos(nπz / c), obtém-se, após integração na superfície do pavimento,

Amn = 2Cmn

bc C1 sinh( )C1a , (75)

onde C1 = (mπ / b)2 + (nπ / c)2 e Cmn é dado por

Cmn = ⌡⎮⌠

0

b

⌡⎮⌠

0

c

f(y,z) cos⎝

⎛⎠⎞mπy

b cos⎝⎛

⎠⎞nπz

c dydz . (76)

Como Φ(x,y,z) satisfaz a equação de Laplace, introduzindo a equação (72) em (70), obtém-se

∇ 2Ψ1 (x,y,z,t) - 1c2

0 ∂2Ψ1(x,y,z,t)

∂t2 = 1c2

0 ∂2Φ(x,y,z,t)

∂t2 = -Χ(x,y,z,t) , (77)

onde o termo Χ (x,y,z,t) é dado por uma série de funções de forma

Χ (x,y,z,t) = ∑n,m=1

∞

Amn 2ω2

c20

cosh⎣⎡

⎦⎤

⎝⎛

⎠⎞mπ

b

2

+ ⎝⎛

⎠⎞nπ

c

2

cos⎝⎛

⎠⎞mπy

b cos⎝⎛

⎠⎞nπz

c x ejωt . (78)

Como definido anteriormente, as condições de fronteira da equação (77) são homogéneas e

podem ser escritas como

∂∂xΨ1 (0,y,z,t) = ∂∂xΨ1 (a,y,z,t) = 0 ; (79.a)

∂∂yΨ1 (x,0,z,t) = ∂∂yΨ1 (x,b,z,t) = ∂∂zΨ1 (x,y,0,t) = ∂∂zΨ1 (x,y,c,t) = 0 . (79.b)

Portanto, o potencial da velocidade Ψ1(x,y,z,t) pode também ser escrito como uma expansão

de Fourier dada por,

77

Ψ1 (x,y,z,t) = ∑l,m,n=0

∞

[ ]A1,lmnϕlmn(x,y,z) ejωt , (80)

onde φlmn(x,y,z) são as funções de forma que satisfazem a equação homogénea da onda

sonora,

∇2ϕlmn (x,y,z,t) - 1c2

0 ∂2ϕlmn(x,y,z,t)

∂t2 = 0 . (81)

Para condições de fronteira análogas às definidas pelas equações (79), as funções φlmn(x,y,z)

têm a forma,

ϕlmn (x,y,z,t) = cos⎝⎛

⎠⎞lπx

a + cos⎝⎛

⎠⎞mπy

b + cos⎝⎛

⎠⎞nπz

c , (82)

sendo as frequências próprias correspondentes dadas pela equação (69).

Introduzindo as equações (69), (80) e (82) na equação (77) e multiplicando ambos os lados da

equação resultante a função φlmn(x,y,z), obtém-se, após integração volúmica e tendo em conta

as condições de ortogonalidade, a solução estacionária de Ψ1(x,y,z,t), dada por

Ψ1 (x,y,z,t) = ∑l,m,n=0

∞

⎣⎡

⎦⎤8c2

0Χlmnϕlmn(x,y,z)abc(ω2

lmn - ω2) ejωt , (83)

onde Χlmn é dado por

Χlmn = Amn ω2

c20 (-1)lbc sinh( C1a)

2 C1⎣⎡

⎦⎤1 +

1C1

⎝⎛⎠⎞lπ

a

2 . (84)

O potencial da velocidade, Ψ(x,y,z,t), que satisfaz a equação (70), também pode ser escrito

como uma série de funções de forma, que satisfazem condições de fronteira homogéneas.

Logo, as funções de forma e as frequências próprias podem ser dadas pelas equações (69) e

(82) respectivamente. A equação (72) pode ser agora escrita na forma

∑l,m,n=0

∞

( )A2,lmnϕ(x,y,z)ejωt - Ψ1(x,y,z,t) = Φ(x,y,z,t) . (85)

78

Introduzindo as equações (74), (75), (83) e (84) na equação (85) e multiplicando ambos os

lados da equação resultante pela função ortogonal φlmn(x,y,z), obtém-se, após integração

volúmica e tendo em conta as condições de ortogonalidade, a constante

A2,lmn = 8c2

0(-1)lCmn

abc( )ω2lmn - ω2 . (86)

A solução estacionária de Ψ(x,y,z,t) é então dada por

Ψ(x,y,z,t) = ∑l,m,n=1

∞

8c20(-1)lCmnϕlmn(x,y,z)abc( )ω2

lmn - ω2 ejωt . (87)

O campo de pressões sonoras pode ser calculado, com base na equação (64) e na definição

de potêncial da velocidade, fazendo

p(x,y,z,t) = - jωρ0Ψ(x,y,z,t) . (88)

Através das equações (87) e (88) é possível estabelecer, para uma dada frequência, ω, uma

relação entre o campo de vibração de uma parede e o campo sonoro no interior de um

compartimento. O campo sonoro total é determinado por sobreposição modal.

A solução (87) foi desenvolvida para compartimentos sem perdas. No entanto, a solução

também pode ser utilizada para salas com pequenas perdas, através da introdução de

frequências próprias na forma complexa, as quais, como observado em 2.3.1 são dadas por

ωlmn ≈ ωlmn(1 + jη / 2) , (89)

em que η é o factor de perdas do compartimento. O factor de perdas pode ser obtido a partir do

tempo de reverberação, TR (s), do compartimento, através de

η = ln10

6

ωlmnTR ≈

13,8ωlmnTR

. (90)

O tempo de reverberação pode ser calculado pela expressão de Sabine

TR = 0,161V

Sα . (91)

79

onde: V (m3) e S (m2) são, respectivamente, o volume e a área total das superfícies

envolventes da sala; e α é o coeficiente de absorção sonora médio da sala. Este coeficiente é

calculado através do coeficiente de absorção, αi, do material de cada superfície Si, utilizando-

se a fórmula

α = 1S ∑

i

n

Siαi . (92)

Para baixas frequências, a absorção sonora das superfícies das paredes e pavimentos

correntes nos edifícios de habitação é pequena. Por outro lado, nessa gama de frequências, a

variação dos coeficientes de absorção das superfícies numa sala é pequena. A norma EN

12354 [N.6] afirma que, desde que os compartimentos tenham geometria regular e absorção

sonora distribuída uniformemente, a equação (91) pode ser utilizada para as baixas

frequências, onde a atenuação do ar é muito baixa e a presença de objectos de dimensão

corrente é desprezável (inferior aos comprimentos de onda em análise).

Introduzindo a equação (91) em (90), obtém-se

ωlmn ≈ ωlmn⎝⎛

⎠⎞1 + j

6,9 ωlmnTR

= ωlmn + j 6,9TR

= ωlmn + jδ , (93)

onde δ = 6,9 / TR representa um coeficiente de absorção temporal.

O campo sonoro gerado pela vibração de uma placa, no interior de um compartimento com

pequenas perdas é dado então pela expressão

p (x,y,z,t) = -jωρ0∑l,m,n=1

∞

8c20(-1)lCmnϕlmn (x,y,z)

abc[ ](ω2lmn - jδ) - ω2 ejωt . (94)

Neste trabalho é analisado apenas o caso em que o pavimento se encontra simplesmente

apoiada. Neste caso, o parâmetro Cmn é determinado pela introdução, na equação (76), do

campo de velocidades vx(y,z) gerado por uma força pontual aplicada no pavimento ortotrópico

determinado conforme descrito em 2.4. Após integração obtém-se o factor de acoplamento

Cmn = j4ωFπ2 m'' ∑

m1,n1=1

∞

ϕm1n1(y0,z0)

ω2m1n1

(1 + jη) - ω2 ⋅ [ ](-1)

m1

+m

-1 [ ](-1)n1+n

-1

m1n1⎣⎡

⎦⎤

⎝⎛

⎠⎞m

m1

2

-1 ⎣⎡

⎦⎤

⎝⎛

⎠⎞n

n1

2

-1 . (95)

80

O campo de pressões sonoras de um compartimento, gerado pela vibração de compartimento

ortotrópico, é obtido pela introdução da expressão (95) na expressão (94).

O modelo analítico apresentado foi experimentalmente validado num estudo desenvolvido por

Neves e Sousa [3]. O método é adequado para o cálculo de campos sonoros em salas

rectangulares com uma das superfícies sujeita a uma força de impacto pontual.

5.3. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO

Analogamente ao modelo teórico descrito na secção 2.4, o modelo descrito pela equação (112)

também é de fácil implementação num programa computacional.

Neste caso, a fase de tratamento de dados divide-se em três partes. A primeira parte determina

os modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e

armazenados numa matriz, tal como foi descrito na secção 2.4.2. Na segunda parte são

determinados os modos acústicos do compartimento, os quais são posteriormente contados,

ordenados e armazenados numa matriz com a forma [(l, m, n, ωlmn) × Nsala], onde Nsala é o

número de modos acústicos do compartimento considerado. Como já foi referido, neste estudo,

são analisadas as frequências compreendidas entre os 18 e os 225Hz. Porém, de acordo com

a equação (94), o campo sonoro no compartimento resulta do somatório de contribuições de

cada modo acústico do compartimento e de cada modo de vibração da placa, sendo assim

necessário considerar um intervalo de frequências mais extenso, com uma frequência máxima

de 900 Hz. A terceira parte corresponde à resolução da equação (94). Esta parte implica a

soma de Nplaca×Nsala parcelas, para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz.

Apesar do número exaustivo de operações, a aplicação do método analítico através de um

programa computacional tem a vantagem de ser bastante rápida.

5.4. CASO DE ESTUDO

Para ilustrar a aplicação do modelo apresentado nas secções anteriores, é apresentada, em

seguida, a previsão da função de transferência entre a pressão sonora gerada num ponto no

interior de um compartimento por uma força de impacto pontual aplicada sobre o pavimento 30,

cujas propriedades mecânicas se recordam na Tabela 15.


750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 15 - Parâmetros de caracterização do pavimento 30.

Considerou-se a força de impacto aplicada nas coordenadas (y0, z0) = (1,65; 1,40) m. O

espectro da magnitude da pressão sonora foi avaliado no ponto com as coordenadas (x, y, z) =

81

(0.40; 0,40; 0,40) m, situado num canto inferior do compartimento em análise, para o qual se

admitiu um pé-direito (altura livre), a = 2,70 m. Coonsiderou-se um coeficiente de absorção

sonora médio das superfícies e objectos do compartimento, α = 0,02, o que constitui um valor

corrente em baixas frequências. Para avaliar a propagação sonora no ar, foram admitidas as

seguintes condições de temperatura e humidade relativa:

• θ = 22,5 ºC;

• RH = 50 %.

Nas Figuras 85 e 86 são apresentados os espectros, em banda estreita e em bandas terços de

oitava, da magnitude da função de transferência entre a força de impacto em (y0, z0) e a

pressão sonora em (x, y, z).

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Mag{p/F } (m-2)

Campo Sonoro

Figura 85 - Espectro, em banda estreita, da magnitude da função de transferência entre a

força de impacto em (y0, z0) e a pressão sonora em (x, y, z).

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Mag{p/F} (m-2)

Campo Sonoro

Figura 86 - Espectro, em bandas de terços de oitava, da magnitude da função de transferência

entre a força de impacto em (y0, z0) e a pressão sonora em (x, y, z).

82

5.5. CONCLUSÃO

Neste capítulo foi descrita a modelação analítica do campo sonoro gerado por uma força de

impacto aplicada numa das paredes do compartimento, o qual foi validado experimentalmente

em estudos anteriores.

Foi apresentado um caso de estudo para ilustração da aplicação do método. No entanto, a

análise dos resultados carece de um estudo prévio do efeito, na avaliação dos campos

sonoros, introduzido pelo erro decorrente da utilização do modelo analítico proposto para a

previsão do campo de vibração de pavimentos ortotrópicos leves. Este trabalho fica, no

entanto, fora do âmbito da presente dissertação, sendo, por esse motivo, remetido para um

eventual trabalho futuro.

83

6. CONCLUSÃO

6.1. SUMÁRIO E CONCLUSÕES

Na presente dissertação foi desenvolvido um método analítico baseado em análise de modos

naturais para previsão da mobilidade pontual de pavimentos ortotrópicos leves, nomeadamente

de pavimentos vigados de madeira. A validação do método foi efectuada com base na

utilização do Método dos Elementos Finitos, o qual foi previamente validado por comparação

directa com resultados obtidos experimentalmente por Mayr e Nightingale [11].

Concluiu-se que o método analítico proposto não é adequado à modelação de todos os tipos

de pavimentos de madeira. Foi então efectuada uma análise de 39 pavimentos diferentes com

o objectivo de identificar os parâmetros mais importantes para a validade do modelo.

A análise paramétrica permitiu concluir que os pavimentos vigados de madeira podem ser

divididos em três tipos básicos de comportamento dinâmico, os quais são caracterizados pela

relação entre as mobilidades características das vigas de reforço e da placa de revestimento do

pavimento. Concluiu-se que o método analítico fornece previsões com precisão suficiente,

principalmente em bandas de terços de oitava, quando a mobilidade característica das vigas de

reforço é próxima ou superior à mobilidade característica da placa de piso.

Tendo em conta, adicionalmente, o comportamento típico da mobilidade dos pavimentos de

madeira, o qual se aproxima da mobilidade característica das vigas nas frequências mais

baixas e da mobilidade característica da placa nas frequências mais altas, foi definido um

critério de verificação prévia da validade do modelo.

Uma vez conhecido o campo de aplicação do modelo analítico, foi possível desenvolver, com

segurança, um método analítico, também baseado na análise de modos naturais, para a

previsão do campo sonoro gerado em salas de dimensãoes e geometria correntes por forças

de impacto pontuais aplicadas no pavimento de madeira superior.

6.2. TRABALHOS FUTUROS

O trabalho desenvolvido na presente dissertação ficaria mais completo com a execução das

seguintes tarefas:

• Construção de curvas adimensionais para definição do critério de validade do modelo

com base em métodos estatísticos adequados;

84

• Validação experimental do método global proposto para previsão da função de

transferência entre a força de impact exercida no pavimento ortotrópico leve e a

pressão sonora gerada num ponto do compartimento inferior.

• Análise do efeito na avaliação dos campos sonoros introduzido pelo erro decorrente da

utilização do modelo analítico proposto para a previsão do campo de vibração de

pavimentos ortotrópicos leves.

Estas tarefas poderão constituir trabalhos a desenvolver no futuro no âmbito deste tema de

estudo.

85

7. BIBLIOGRAFIA

7.1. LIVROS, TESES, OU ARTIGOS

[1] Maluski, S.: “Low frequency sound insulation in dwellings”, Tese de Doutoramento,

Sheffield Hallam University, Sheffield, Reino Unido, 1999

[2] Vieira de Melo, G. “Measurement and prediction of sound absorption of room surfaces

and contents at low frequencies”, Tese de Doutoramento, Universidade Federal de Santa

Catarina, Florianópolis, Brasil, 2002

[3] A. Neves e Sousa: “Low frequency impact sound transmission in dwellings”, Tese de

Doutoramento, University of Liverpool, Reino Unido, 2005

[4] T. Kihlman: “Sound radiation into a rectangular room. Applications to airborne sound

transmission in buildings”, Acustica 18 (11), 11-20 (1967)

[5] A.J. Pretlove: “Free vibrations of a rectangular panel backed by a closed rectangular

cavity”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 2 (3), pp. 197-209 (1965)

[6] J.W.S. Rayleigh: “The theory of sound – Vol. 1”, Dover Publications; EUA, 1945

[7] A. Leissa: “Vibration of plates”, Acoustical Society of America, Columbus, Ohio, 1993

[8] G.B. Warburton: “The vibration of rectangular plates”, Actas do Institute of Mechanical

Eng., Série A, Vol. 168 (12), pp. 371-384 (1954)

[9] L. Cremer, M. Heckl, E.E Ungar: “Structure-Borne Sound – Structural Vibrations and

Sound Radiation at Audio Frequencies – 2nd Edition”, Springer-Verlag, Berlim, 1973

[10] R.F.S Hearmon: “Frequency of flexural vibration of rectangular orthotropic plates with

clamped or supported edges”, Journal of Applied Mechanics 26 (3-4), 537-540 (1959)

[11] A.R Mayr, T.R.T. Nightingale: “On the mobility of joist floors and periodic rib-stiffened

plates”, Actas do Inter-Noise 2007, Istambul, Turquia, 2007

[12] J. Brunskog, P. Hammer: “Prediction models for impact sound insulation on timber floor

structures: a literature survey”, Building Acoustics 7 (1), pp. 89-112 (2000)

[13] T.R.T. Nightingale, R.E. Halliwell, G. Pernica: “Estimating in-situ material properties of a

wood joist floor: Part 1 – Measurements of the real part of bending wavenumber”, Building

Acoustics 11 (3), pp. 175-196 (2004)

[14] U. Orrenius, S. Finnveden: “Calculation of wave propagation in rib-stiffened plate

structures”, Journal of Sound and Vibration 198 (2), pp. 203-224 (1996)

86

[15] S. Timoshenko; S. Woinowski-Krieger: “Theory of plates and shells”, McGraw-Hill, EUA,

1959

[16] M.E. Biancolini, C. Brutti, L. Reccia: “Approximate solution for free vibrations of thin

orthotropic rectangular plates”, Journal of Sound and Vibration 288 (1-2), pp. 321-344

(2005)

[17] R. Bares: “Tables for the analysis of plates, slabs and diaphragms - German-English

Edition”, Bauverlag, Gmbh. Wiesbaden und Berlin, Alemanha, 1971

[18] V. Panc: “Theories of elastic plates”, Noordhoff International, Holanda, 1975

[19] R. Szilard: “Theory and analysis of plates – Classical and numerical methods”, Prentice-

Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, EUA, 1974

[20] W.H. Thomas: “Shear and flexural deflection equations for OSB floor decking with point

load”, Holz als Roh und Werkstoff 60, pp. 165 – 180 (2002)

[21] R. Craik: “Sound transmission through buildings using statistical energy analysis”,

Cambrigde, Reino Unido, 1996

[22] CSI: “SAP2000 User´s Manual”, Computers and Structures, Inc, Berkeley, Califórnia,

EUA, 2007

[23] Neufert : A arte de projectar em arquitectura – Gustavo Gili, S.A

7.2. SÍTIOS NA INTERNET

[W.1] http://www.plexiglas.de

7.3. REGULAMENTAÇÃO

[N.1] EN 140: Acoustics – Measurement of sound insulation in buildings and of building

elements, International Organization for Standardisation;

[N.2] EN 12354: Building Acoustics – Estimation of acoustic performance of buildings from the

performance of elements, International Organisation for Standardisation;

[N.3] EC5 Parte 1.1: Design of timber structures; General rules and general rules for buildings

[N.4] RGEU: Regulamento Geral das Edificações Urbanas – Porto Editora

[N.5] RSA: Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes – Porto

Editora

[N.6] EN 338: Structural timber; Strength classes

87

ANEXO 1

Resultados de todos os casos corridos para a modelação paramétrica

88

(Ponto P1j) (Ponto P1s) Caso ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)y0 (m) z0 (m) y0 (m) z0 (m)

1 750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 1,00 1,60 1,00 1,40 2 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 3 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 4 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,1 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 5 750 0,30 3,0 4,0 3 0,022 0,40 3 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 6 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 7 750 0,30 3,0 4,0 27 0,012 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 8 750 0,30 2,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,65 1,60 0,65 1,40 9 750 0,30 2,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,85 1,60 0,85 1,40

10 750 0,30 4,0 6,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,40 1,35 2,20 11 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 12 750 0,30 4,0 5,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,00 1,35 1,80 13 750 0,30 3,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,10 1,60 1,10 1,40 14 750 0,30 4,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 1,60 1,30 1,40 15 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 16 750 0,30 5,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,65 1,60 1,65 1,40 17 750 0,30 4,0 3,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 18 750 0,30 6,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 2,00 1,60 2,00 1,40 19 750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,20 1,35 1,00 20 750 0,30 4,0 2,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 0,80 1,30 0,60 21 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 22 750 0,30 2,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,65 1,40 0,65 1,20 23 750 0,30 2,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,85 1,40 0,85 1,20 24 750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 2,10 1,35 1,90 25 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,00 1,40 1,00 1,20 26 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 27 750 0,30 3,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,15 1,40 1,15 1,20 28 750 0,30 4,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 29 750 0,30 4,0 3,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 30 750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,65 1,40 1,65 1,20 31 750 0,30 4,0 3,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 32 750 0,30 6,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 2,00 1,40 2,00 1,20 33 750 0,30 4,0 2,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 34 750 0,30 4,0 2,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,70 1,35 1,50 35 1190 0,37 1,2 2,4 3 0,012 0,40 3 0,0187 0,235 0,235 0,80 1,20 0,80 1,00 36 750 0,30 3,0 4,0 27 0,1 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 37 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20 38 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,40 27 0,05 0,078 0,250 1,00 1,60 1,00 1,40 39 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20

Tabela 16 - Propriedades físicas usadas nas diferentes modelações

89

Caso 1 – Comportamento Tipo A


750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 Tabela 17 - Parâmetros de caracterização do pavimento.

P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)

Figura 87 - Localização dos pontos de medição.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 88 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 89 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.

90

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 90 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j

Figura 91 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.

91




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


92

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


93




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


94

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


95




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


96

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


97




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


98

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


99




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


100

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


101




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


102

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


103




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


104

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


105




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


106

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


107




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


108

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


109




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


110

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


111




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


112

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


113




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


114

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


115




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


116

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


117




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


118

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


119

Caso16 – Comportamento Tipo A



P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


120

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


121




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


122

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


123




Nota: Não consegui modelar e retirar os resultados

P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


124




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


125

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


126




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


127

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


128




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2 4,55 4,9

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


129

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


130

Caso 22 – Comportamento Tipo B



P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


131

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


132




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


133

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


134




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2 4,55 4,9 5,25 5,6 5,95

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


135

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


136




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


137

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


138




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2 4,55 4,9

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


139

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


140




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


141

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


142




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


143

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

"MEF" AM Yc,s Yc,j


144




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


145

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


146




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


147

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


148




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


149

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


150




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


Nota: Não consegui modelar e retirar os resultados

151




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


152

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


153




P1jP1s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


154

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


155




P1jP1s

0

0,5

1

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


156

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


157

Caso 36 – Comportamento Tipo C



P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


158

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


159




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


160

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


161




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4

c (m)

b (m)


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


162

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


163




P1sP1j

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85

c (m)

b (m)


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


164

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)

Re{Y } (m/Ns)

MEF AM Yc,s Yc,j


165

ANEXO 2 Gráficos para as equações tipo A e B

Caso 1

0,01

0,1

1

10

100

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação

Figura 274 - Curva do critério de validade.

Caso 2

0,01

0,1

1

10

100

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


166

Caso 3

0,01

0,1

1

10

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


Caso 4

0,01

0,1

1

10

100

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


167

Caso 5

0,01

0,1

1

10

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


Caso 6

0,01

0,1

1

10

100

0,04 0,24 0,44 0,64 0,84 1,04 1,24 1,44

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


168

Caso 7

0,01

0,1

1

10

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


Caso 21

0,01

0,1

1

10

100

0 1 2 3 4 5 6 7

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


169

Caso 36

0,01

0,1

1

10

100

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Re{Yc,s/Yc,j}

(-)

Re{Ys/Yj}Equação


CURVAS COM EQUAÇÕES DE CADA SUBTIPO DO COMPORTAMENTO TIPO A SUBTIPO 1 caso 6

y = -977,51x6 + 2325,8x5 - 2061,8x4 + 851,41x3 - 166,92x2 + 13,987x + 0,7011R2 = 0,5439

1,E-01

1,E+00

1,E+01

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re{Yc,s/Yc,j}

Re{Ys/Yj }


170

SUBTIPO 2 caso 5

y = 3815,6x6 - 12270x5 + 15175x4 - 8908x3 + 2435x2 - 245,48x + 4,8509R2 = 0,0529

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re{Yc,s/Yc,j}

Re{Ys/Yj }


SUBTIPO 3 caso 7

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re{Yc,s/Yc,j}

Re{Ys/Yj }


171

SUBTIPO 4 caso 1

y = -3E+12x6 + 3E+11x5 - 1E+10x4 + 2E+08x3 - 2E+06x2 + 5927,6x - 2,7199R2 = 0,1307

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Re{Yc,s/Yc,j}

Re{Ys/Yj }


SUBTIPO 5 caso 8

y = -75,74x6 + 206,36x5 - 189,37x4 + 67,448x3 - 3,3292x2 - 3,1918x + 1,7975R2 = 0,337

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re{Yc,s/Yc,j}

Re{Ys/Yj }


172

Documents

Modelação da Transmissão de Ruído de Impacto de Baixa ... · percussão em pavimentos vigados de madeira, o qual se baseia em análise modal. O método é comparado com outro