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A Modelagem Matemática no ensino e na aprendizagem de Matemática
Por muito tempo, vimos e fomos sujeitos a um quadro onde o ensino e à
aprendizagem da Matemática tinha como preocupação central o treinamento
dos alunos em exercícios com respostas prontas, o aluno adquiria
conhecimento mecânico, o ensino era partindo de repetições, onde o aluno não
pensava e não agia. Era nesse contexto que se limitava a transmissão de
informações e ensino programado, onde os exercícios eram sequências de
repetidas regras, reprodução de um conhecimento transmitido. Freire assinala
que: “Quando entro em uma sala de aula, devo estar sendo um ser aberto a
indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, às suas inibições; um ser
crítico e inquiridor [...]”. (FREIRE, 2001,p.52).
Entretanto, o processo educacional é muito mais que transmitir
conhecimentos, é necessário que além de adquirirem conhecimentos
matemáticos, os alunos devem ser responsáveis em relação aos outros e a
sociedade em que vivem, ser um cidadão democrático e através da formação
escolar, criar habilidades para um contínuo aprendizado. Esse mesmo
processo deve dar condições aos alunos para que eles possam analisar e
argumentar criticamente a realidade cultural, social e política em que vivem.
Nossas escolas exercem papéis muito importantes no desenvolvimento
de habilidades e competências para a formação de pessoas capazes de
superar obstáculos que surgem no nosso cotidiano. Segundo o pedagogo
Antonio Carlos Gomes da Costa (1999), somente através da educação é
possível o homem se desenvolver como ser humano. Sendo a educação única
via para o desenvolver humano, é papel de a escola concorrer para que as
gerações futuras se desenvolvam, sendo capaz de viver, conhecer e produzir
numa sociedade de muitas transformações.
Sendo assim, as interações com o meio na qual vivemos faz da
matemática uma poderosa ferramenta para resolução de muitos problemas,
que surgem em nossas vidas e muitas vezes não conseguimos o resolver
completamente.
As várias formas de pensar e as mais diferentes maneiras de busca para
resolver esse problemas nos deixa algumas perguntas:
Em quais situações a modelagem matemática nos auxilia nas
buscas por estratégias para solucionar esses problemas?
Seria ela capaz, de nos ajudar a resolver problemas do nosso
contexto escolar ?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (1999), faz
referência a modelagem para modelar a realidade.
Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. [...] Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la. (BRASIL, 1999, p.251).
Barbosa(2001) diz que há três estratégias diferentes de modelar:
Caso 1: O professor apresenta a descrição de uma situação-problema
com as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado,
cabendo aos alunos o processo de resolução;
Caso 2: O professor traz para a sala de aula um problema de outra área
do conhecimento, cabendo aos alunos a coleta das informações
necessárias à sua resolução;
Caso 3: A partir de temas não matemáticos, os alunos formulam e
resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de
informações e simplificação das situações-problema.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Formulação do problema professor professor professor/aluno
Simplificação professor professor/aluno professor/aluno
Coleta de dados professor professor/aluno professor/aluno
Solução professor/aluno professor/aluno professor/aluno
Tabela 1: Tarefas no processo de Modelagem
Modelagem Matemática
Muitos autores têm trabalhado com a Modelagem Matemática no ensino
de matemática.
O que é Modelagem Matemática?
Em termos genéricos, ela foi conceituada como a aplicação de
matemática em outras áreas do conhecimento.
Barbosa (2001) diz que:
“Modelagem trata-se de um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar por meio da matemática, situações com referência na realidade”. (Barbosa, 2003, p.3)
Segundo Bassanezi (2004),
“Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual”. (Bassanezi, 2004, p.24)
Bassanezi explica que a “Modelagem é eficiente a partir do momento
que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações
da realidade, ou seja, que estamos sempre elaborando sobre representações
de um sistema ou parte dele”. (2004, p.24).
Modelos Matemáticos
Em seu livro Bassanezi explica que a Modelagem Matemática de uma
situação ou problema real deve seguir uma sequência de etapas,
simplificadamente visualizadas no esquema da figura:
Figura 1 (BASSANEZI, 2002, P.27)
Experimentação – É uma atividade essencialmente laboratorial
onde se processa a obtenção de dados;
Abstração: É o procedimento que deve levar à formulação dos
Modelos Matemáticos;
a. Seleção de variáveis;
b. Problematização ou formulação aos problemas teóricos numa
linguagem própria da área em que se está trabalhando;
c. Formulação das hipóteses;
d. Simplificação.
Resolução: O modelo matemático é obtido quando se substitui a
linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática
coerente – é como num dicionário, a linguagem matemática
admite “sinônimos” que traduzem os diferentes graus de
sofisticação da linguagem natural;
Validação: É o processo de aceitação ou não do modelo
proposto. Nesta etapa, os modelos, juntamente com as hipóteses
que lhes são atribuídas, devem ser testados em confronto com os
dados empíricos, comparando suas soluções e previsões com os
valores obtidos no sistema real. O grau de aproximação desejado
destas previsões será o fator preponderante para validação;
Modificação: Alguns fatores ligados ao problema original podem
provocar a rejeição ou aceitação dos modelos. Quando os
modelos são obtidos considerando simplificações e idealizações
da realidade, suas soluções geralmente não conduzem às
previsões corretas e definitivas, pois o aprofundamento da teoria
implica na reformulação dos modelos. Nenhum modelo deve ser
considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, poder-se-
ía dizer que um bom modelo é aquele que propicia a formulação
de novos modelos, sendo esta reformulação dos modelos uma
das partes fundamentais do processo de modelagem.
Biembengut e Hein (2005) descreve o modelo de Modelagem Matemática,
onde a matemática e a realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é
o meio de fazer com que eles venham a interagir.
Figura 2 (BEIMBENGUT;HEIN, 2003, P.13)
Esse modelo permite nos representar um modelo matemático que envolve
procedimentos agrupados em três etapas e seis subetapas:
Interação
Reconhecimento da situação-problema;
Familiarização com o assunto a ser modelado referencial teórico.
Matematização
Formulação do problema hipóteses;
Resolução do problema em termos do modelo;
Modelo matemático
Interpretação da solução;
Validação do modelo avaliação.
Caso o modelo não seja concluído, o processo deve voltar a segunda
etapa – Matematização – alterando ou trabalhando outras hipóteses, variáveis,
etc.
Figura 3 (BEIMBENGUT;HEIN, 2005, P.15)
É importante ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que
registre todas as fases do desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma
adequada (Biembengut, 1999).
A Modelagem Matemática no Brasil está interligada a trabalho de projeto,
onde os estudantes são separados em grupos, onde será definido um tema para
investigarem a partir da matemática tendo o suporte de um professor.
Por que incluir Modelagem Matemática nas aulas de matemática?
Bassanezi (1994) diz que em geral são apresentados cinco argumentos:
motivação, facilitação de aprendizagem, preparação para utilizar a matemática
em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e
compreensão do papel sócio-cultural da matemática.
As atividades de Modelagem contribui para formação de pessoas críticas,
tornando o aluno um cidadão reflexivo.
Segundo Barbosa (2001) a Modelagem pode potencializar a intervenção
das pessoas nos debates e nas tomadas de decisões sociais que envolvem
aplicações matemáticas, o que parece ser uma contribuição para alargar as
possibilidades de construção e consolidação de sociedades democráticas.
O que é uma atividade de Modelagem
Modelagem são atividades colocadas onde existem algumas condições
que proporcionam ações e discussões, é uma problematização a ser
investigada. Na problematização deve haver perguntas e/ou problemas e na
investigação deve-se buscar, selecionar, organizar e manipular as informações
refletindo sobre elas.
Etapas de uma modelagem
Para Bassanezi (2012) a modelagem é o processo de criação de modelos
onde estão definidas as estratégias de ação do indivíduio sobre a realidade,
mais especificamente sobre a sua realidade, carregada de interpretações e
subjetividades próprias de cada modelador.
Dessa forma a Modelagem Matemática é vista como uma estratégia
utilizada para explicar ou entender algumas situações reais, selecionando
argumentos essenciais e os formalizando (modelo matemático).
1. Procedimentos
1.1 Escolha de temas
O primeiro passo é escolher um tema, eles podem ser escolhidos pelo
professor ou pelo aluno, no entanto se for escolhido pelo aluno eles se sentirão
responsáveis pelo processo e sua participação será mais efetiva. Porém o
professor deverá orientar nas escolhas.
1.2 Coleta de dados
Com o tema já escolhido, devem-se buscar informações sobre o assunto,
podendo ser pesquisados em revistas, bibliografias, livros, internet, em
pesquisas entre outros.
Esses dados coletados devem ser organizados em tabelas, pois dessa
forma haverá uma análise mais eficiente e posteriormente esses dados podem
ser utilizados para construção de gráficos para se analisar o comportamento.
1.3 Análise de dados e formulação de modelos
Após encontrar os dados e analisá-los deve-se buscar um modelo
matemático através de variáveis, dessa forma é importante se entender como é
a variação das variáveis envolvidas no fenômeno analisado.
1.4 Validação
No processo de validação o modelo pode ser aceito ou rejeitado ao fazer
a comparação do modelo com os dados. Um bom modelo irá prever novos
resultados ou relações insuspeitas. Será fundamental para se compreender
melhor uma situação e diagnosticá-la. Porém nem sempre o modelo terá bons
resultados e será necessário reformulá-lo modificando as variáveis ou as leis de
formação estabelecidas.
Nesse trabalho, foi elaborado aulas para uma turma do 2º ano do ensino médio
utilizando a modelagem matemática como forma diferenciada de resolver
situações utilizando o conteúdo de funções.
Modelagem Matemática na Educação Matemática
Consideremos três perspectivas de Modelagem Matemática na Educação
Matemática: a de Bassanezi (1994), Galbraith e Clatworthy (1990), e Borba,
Meneghetti e Hermini (1997), esses autores falam a respeito de como a
Modelagem Matemática de se instituir em sala de aula.
Ambas perspectivas falam da utilização da Matemática estudando
problemas ou situações reais entre seus objetivos. Bassanezi (1994) leva em
consideração os interesses dos estudantes, o meio na qual a modelagem é
efetivada e os seus recursos quando usada em sala de aula. Para Galbraith e
Clatworthy (1990):
os alunos deveriam aprender a cooperar como membros de uma equipe, deveriam desenvolver confiança e competência em comunicações escritas e verbais e, portanto, deveriam aprender a preparar relatórios (individuais e em grupos) e ser articulados ao explicar e defender decisões tomadas, métodos usados e conclusões alcançadas (p.138)
Borba, Meneghetti e Hermini (1997), enfatizam a importância de os alunos
escolherem o tema (ou problema) a ser trabalhado por meio da Modelagem.
Essas perspectivas sobre a Modelagem Matemática indicam como
acontecem as atividades, porém não diz muito sobre a Matemática e a realidade.